CN103199822B - 一种带宽可变低通数字滤波器的设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种带宽可变低通数字滤波器的设计方法，通过将Farrow结构的FIR数字滤波器各子滤波器的系数C作为变量，在设计准则下，通过迭代运算，以得到最优的各子滤波器的系数C。这样在保持低通数字滤波器不变的前提下，只要修改输入期望截止频率ω_{c_des}，就可以改变低通数字滤波器截止频率参数ω_c即带宽可变，提高了低通数字滤波器使用的灵活性，避免了在线设计或存储大量滤波器系数表的复杂性。

Description

一种带宽可变低通数字滤波器的设计方法

技术领域

本发明属于数字滤波器技术领域，更为具体地讲，涉及一种带宽可变低通数字滤波器的设计方法。

背景技术

在电子通讯、数字音频、雷达和测试仪器等领域中，往往需要应用的不同使用不同截止频率的数字滤波器。一般而言，截止频率可在一个带宽范围内任意选择。无论是在线设计滤波器或存储预先设计好的大量滤波器系数表，都将占用大量的系统资源和存储空间。

1、FIR数字滤波器

因有限长单位冲激响应(FIR)数字滤波器可以设计成具有严格的线性相位，同时又可以具有任意的幅度特性。此外，FIR数字滤波器的单位抽样响应是有限长的，滤波器一定是稳定的。

FIR数字滤波器可以使用Farrow结构，Farrow结构可以由其理想频率响应的泰勒展开(Taylor series)所得到。

2、Farrow结构

基于Farrow结构的数字滤波器可用样条拟合或多项式逼近的方法，进一步分解为多个子滤波器组，实现不同的截止频率，达到理想频率响应。即对于一个P₂阶FIR数字滤波器的传输函数，如式（1）：

$H_{\mathrm{des}}(z,{\mathrm{\ω}}_{c\_\mathrm{des}})=\underset{n=0}{\overset{P_2-1}{\mathrm{\Σ}}}h(n,{\mathrm{\ω}}_{c\_\mathrm{des}})z^{-n}---\left(1\right)$

可利用多项式逼近进一步将滤波器继续分解为P₃个P₂阶子滤波器组，便形成了Farrow结构。例如，我们将数字滤波器系数h(n,ω_{c_des})关于ω_{c_des}做多项式展开：

$H_{\mathrm{des}}(z,{\mathrm{\ω}}_{c\_\mathrm{des}})=\underset{n=0}{\overset{P_2-1}{\mathrm{\Σ}}}h(n,{\mathrm{\ω}}_{c\_\mathrm{des}})z^{-n}$

$\≈\underset{n=0}{\overset{P_2-1}{\mathrm{\Σ}}}\left[\underset{l=0}{\overset{P_3-1}{\mathrm{\Σ}}}{c}_l\left(n\right){\mathrm{\ω}}_{c\_\mathrm{des}}^l\right]z^{-n}$

$=\underset{l=0}{\overset{P_3-1}{\mathrm{\Σ}}}\left[\underset{n=0}{\overset{P_2-1}{\mathrm{\Σ}}}{c}_l\left(n\right)z^{-n}\right]{\mathrm{\ω}}_{c\_\mathrm{des}}^l---\left(2\right)$

$=\underset{l=0}{\overset{P_3-1}{\mathrm{\Σ}}}{C}_l\left(z\right){\mathrm{\ω}}_{c\_\mathrm{des}}^l$

上式相当于按泰勒级数展开取的前P₃项，将需要设计带宽可变滤波器各子滤波器的系数定义为C：

$C=[c_0\left(0\right),c_0\left(1\right),...{,c}_0(P_2-1),$

$c_1\left(0\right),c_1\left(1\right),...,c_1(P_2-1),...$

$c_{P_3-1}\left(0\right),c_{P_3-1}\left(1\right),...,c_{P_3-1}(P_2-1)]---\left(3\right)$

可以得到如图1所示结构。

发明内容

本发明的目的在于克服现有技术的不足，提供一种基于Farrow结构有限长单位冲激响应（Finite Impulse-Response，简称FIR)数字滤波器的带宽（Adjustable-Bandwidth）可变低通数字滤波器的设计方法，使设计的低通数字滤波器截止频率参数ω_c可调节即带宽可变，在使用过程中可以直接更改低通数字滤波器输入的期望截止频率参数ω_{c_des}而不需要重新设计低通数字滤波器。

为实现以上目的，本发明带宽可变低通数字滤波器的设计方法，其特征在于，包括以下步骤：

（1）、带宽可变低通数字滤波器设计准则

准则1：截止频率准则

${\mathrm{\&Delta;}}_c=\underset{{\mathrm{\&omega;}}_L<{\mathrm{\&omega;}}_c<{\mathrm{\&omega;}}_u}{\max }|{\mathrm{\&omega;}}_c-{\mathrm{\&omega;}}_{c\_\mathrm{des}}|\&le;{\mathrm{\&delta;}}_c---\left(4\right)$

准则2：幅度准则

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{ap}}=\underset{0<\mathrm{\&omega;}<{\mathrm{\&omega;}}_c-{\mathrm{\&omega;}}_p}{\max }\left|\right|H(C,e^{\mathrm{j\&omega;}},{\mathrm{\&omega;}}_c)|-1|\&le;{\mathrm{\&delta;}}_p$

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{as}}=\underset{{\mathrm{\&omega;}}_c+{\mathrm{\&omega;}}_s<\mathrm{\&omega;}<\mathrm{\&pi;}}{\max }\left|H(C,e^{\mathrm{j\&omega;}},{\mathrm{\&omega;}}_c)\right|{\&le;\mathrm{\&delta;}}_s---\left(5\right)$

其中，ω_L为截止频率下限、ω_H为截止频率的上限，ω_c为实际截止频率，ω_{c_des}为输入的期望截止频率，δ_c为截止频率的误差限；H(C,e^jω,ω_c)为带宽可变低通数字滤波器的传递函数，C为带宽可变低通滤波器各子滤波器的系数，ω为数字频率，δ_p为频带[0,ω_c-ω_p]内幅度响应误差限，δ_s为阻带内幅度响应误差限，ω_c-ω_p为通带增益第一次低于幅度响应误差限δ_p时所对应的频率点，ω_s为过渡带宽度；

（2）、带宽可变低通数字滤波器阶数P₂的确定

a)、子滤波器C₀(z)在频带[0,ω_c-ω_p]内幅度响应为1，阻带内幅度响为0，期望截止频率为ω_{c_des}=ω_L，设置子滤波器C₀(z)的初始阶数N₀；

b)、利用频率抽样，根据幅度以及相位确定子滤波器C₀(z)的N₀个频响样值，再利用IFFT（傅里叶反变换），计算得到子滤波器C₀(z)的系数c₀(n),n=0,...,N₀-1；

c)、根据系数c₀(n),n＝0,...,N₀-1，计算子滤波器C₀(z)的实际频响即传递函数H(C,e^jω,ω_c)以及截止频率参数ω_c；

d)、如果子滤波器C₀(z)未满足约束条件式（4）、（5）即准则1、2的要求，则更新子滤波器C₀(z)阶数N₀＝N₀+1，重复步骤b)、c)，直至满足为止，则此时子滤波器C₀(z)阶数N₀即为带宽可变低通数字滤波器阶数P₂；

（3）、带宽可变低通滤波器各子滤波器的系数C的确定

a)、子滤波器的个数P₃=0；

b)、子滤波器的个数加1即P₃=P₃+1，根据步骤（2）得到的带宽可变低通数字滤波器阶数P₂，按照FIR数字滤波器的泰勒展开式：

$H_{\mathrm{des}}(z,{\mathrm{\&omega;}}_{c\_\mathrm{des}})\&ap;\underset{n=0}{\overset{P_2-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\left[\underset{l=0}{\overset{P_3-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{c}_l\left(n\right){({\mathrm{\&omega;}}_{c\_\mathrm{des}}-{\mathrm{\&omega;}}_L)}^l\right]z^{-n}$

$=\underset{l=0}{\overset{P_3-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\left[\underset{n=0}{\overset{P_2-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{c}_l\left(n\right)z^{-n}\right]{({\mathrm{\&omega;}}_{c\_\mathrm{des}}-{\mathrm{\&omega;}}_L)}^l---\left(\text{6}\right)$

$=\underset{l=0}{\overset{P_3-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{C}_l\left(z\right){({\mathrm{\&omega;}}_{c\_\mathrm{des}}-{\mathrm{\&omega;}}_L)}^l$

写出传输函数H_des(z,ω_{c_des})，然后根据傅里叶变换，得到传递函数H(C,e^jω,ω_c)，其中，带宽可变低通滤波器各子滤波器的系数C为：

$C=[c_0\left(0\right),c_0\left(1\right),...,c_0(P_2-1),$

$c_1\left(0\right),c_1\left(1\right),...,c_1(P_2-1),...$

$c_{P_3-1}\left(0\right),c_{P_3-1}\left(1\right),...,c_{P_3-1}(P_2-1)]$

c)、频带分成I等份，即ω_i∈[0,π],i＝1,2,...,I；截止频率变化范围为其中的J等份，ω_cj∈[ω_L,ω_U],j＝1,2,...,J，将约束条件式（4）、（5）即准则1、2写为：

${\mathrm{\&epsiv;}}_c=\underset{0\&le;j\&le;J-1}{\max }|{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{cj}}-{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{cj}\_\mathrm{des}}|-{\mathrm{\&delta;}}_c\&le;0---\left(7\right)$

ε_a=(Δ_ap-δ_p)+(Δ_as-δ_s)≤0    （8）

其中：

为取整算子；

使用Minimax（最大误差最小化）非线性优化算法，在非线性约束条件式（8）控制下，利用序列二次规划算法(sequential quadratic programming，SQP)，寻找使得式（7）最小的带宽可变低通滤波器各子滤波器的系数C，即性能函数为

$J=\min \left\{\underset{0\&le;j\&le;J-1}{\max }\right|{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{cj}}-{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{cj}\_\mathrm{des}}|-{\mathrm{\&delta;}}_c\}---\left(10\right)$

如果最小的带宽可变低通滤波器各子滤波器的系数C存在，且满足约束条件式（7）、（8），则实现了带宽可变低通滤波器，否则返回步骤(b)，增加子滤波器的个数，重新寻找带宽可变低通滤波器各子滤波器的系数C。

本发明的目的是这样实现的：

本发明带宽可变低通数字滤波器的设计方法，通过将Farrow结构的FIR数字滤波器各子滤波器的系数C作为变量，在设计准则下，通过迭代运算，以得到最优的各子滤波器的系数C。这样在保持低通数字滤波器不变的前提下，只要修改输入期望截止频率ω_{c_des}，就可以改变低通数字滤波器截止频率参数ω_c即带宽可变，提高了低通数字滤波器使用的灵活性，避免了在线设计或存储大量滤波器系数表的复杂性。

附图说明

图1是Farrow结构的FIR数字滤波器结构图；

图2是本发明带宽可变低通数字滤波器传递函数曲线图；

图3是本发明带宽可变低通数字滤波器的简化结构图；

图4是本发明带宽可变低通数字滤波器一具体实例的幅度响应曲线图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的具体实施方式进行描述，以便本领域的技术人员更好地理解本发明。需要特别提醒注意的是，在以下的描述中，当已知功能和设计的详细描述也许会淡化本发明的主要内容时，这些描述在这里将被忽略。

1、带宽可变低通数字滤波器设计准则

本发明带宽可变低通数字滤波器设计准则中各个参数的含义，如图2所示。

准则1：截止频率准则

${\mathrm{\&Delta;}}_c=\underset{{\mathrm{\&omega;}}_L<{\mathrm{\&omega;}}_c<{\mathrm{\&omega;}}_u}{\max }|{\mathrm{\&omega;}}_c-{\mathrm{\&omega;}}_{c\_\mathrm{des}}|\&le;{\mathrm{\&delta;}}_c---\left(4\right)$

其含义是实际截止频率ω_c在带宽上下限即截止频率下限ω_L、截止频率的上限ω_H范围内与输入的期望截止频率ω_{c_des}的最大误差Δ_c小于等于截止频率的误差限δ_c，以满足实际的要求，其中截止频率的误差限δ_c根据实际应用要求确定。

准则2：幅度准则

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{ap}}=\underset{0<\mathrm{\&omega;}<{\mathrm{\&omega;}}_c-{\mathrm{\&omega;}}_p}{\max }\left|\right|H(C,e^{\mathrm{j\&omega;}},{\mathrm{\&omega;}}_c)|-1|\&le;{\mathrm{\&delta;}}_p$

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{as}}=\underset{{\mathrm{\&omega;}}_c+{\mathrm{\&omega;}}_s<\mathrm{\&omega;}<\mathrm{\&pi;}}{\max }\left|H(C,e^{\mathrm{j\&omega;}},{\mathrm{\&omega;}}_c)\right|{\&le;\mathrm{\&delta;}}_s---\left(5\right)$

在幅度准则中，要求在频带0<ω<ω_c-ω_p范围内，频带内幅度响应|H(C,e^jω,ω_c)|与1相比，误差最大绝对值Δ_ap不得超过通带内幅度响应误差限δ_p；在阻带ω_c+ω_s<ω<π内，阻带内幅度响应|H(C,e^jω,ω_c)|的最大值Δ_as不得超过阻带内幅度响应误差限δ_s。

根据傅里叶变换，可将式（1）表示为

$H(C,e^{\mathrm{j\&omega;}},{\mathrm{\&omega;}}_{c\_\mathrm{des}})=\underset{n=0}{\overset{P_2-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}h(C,n,{\mathrm{\&omega;}}_{c\_\mathrm{des}})e^{-\mathrm{j\&omega;n}}---\left(\text{11}\right)$

其中，

$h(C,n,{\mathrm{\&omega;}}_{c\_\mathrm{des}})=\underset{l=0}{\overset{P_3-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{c}_l\left(n\right){\mathrm{\&omega;}}_{c\_\mathrm{des}}^l---\left(12\right)$

为减小低通滤波运算中所使用的乘法器资源，在本实施例中，利用系数对称(symmetric or anti-symmetric)的特点来约束带宽可变低通滤波器各子滤波器，即所有的子滤波器都是线性相位滤波器，即对与第l个子滤波器，其系数满足：

c_l(n)＝c_l(P₃-1-n)    （13）

或

c_l(n)＝-c_l(P₃-1-n)    （14）

这样不但可以使子滤波器所使用的乘法器更少，而且结构简单，更容易实现。

2、带宽可变低通数字滤波器的优化设计

标准的数字滤波器设计方法，如Remez交换法、Chybeshev法、特征值滤波器设计法等等，都无法应用于带宽可变低通数字滤波器的设计，因为带宽可变低通数字滤波器并不是简单对称结构，而是一种多相结构。

针对带宽可变低通数字滤波器变化性强，同时为减小逼近误差，本发明使用最优化设计进行带宽可变低通数字滤波器的设计。最优化设计是将数字滤波器系数作为变量，在某一优化设计准则下，通过迭代运算，以得到最优的结果。数字滤波器设计通常有两种最优化准则，即均方误差最小(LMS)准则和最大误差最小化(MiniMax)准则。最大误差最小化准则设计出的数字滤波器在同样阶数时性能更优越，故本发明选用最大误差最小化准则对带宽可变低通数字滤波器进行设计。

基于现有计算机的计算能力，本发明利用MiniMax优化设计的方式，求解Farrow结构中各子滤波器系数C，目的是在带宽可变低通数字滤波器资源消耗尽可能少的情况下，使设计偏差最小。

（1）、在优化设计中，本发明首先需要寻找一个宽可变低通数字滤波器作为优化算法使用中的初值滤波器。由式（2）可以看出，当期望截止频率ω_{c_des}＝0，Farrow结构的FIR数字滤波器只有第0个子滤波器在起作用。而在实际的应用中ω_L≤ω_c≤ω_U，为了方便初值滤波器设计，可以更新式（2）为：

$H_{\mathrm{des}}(z,{\mathrm{\&omega;}}_{c\_\mathrm{des}})\&ap;\underset{n=0}{\overset{P_2-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\left[\underset{l=0}{\overset{P_3-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{c}_l\left(n\right){({\mathrm{\&omega;}}_{c\_\mathrm{des}}-{\mathrm{\&omega;}}_L)}^l\right]z^{-n}$

$=\underset{l=0}{\overset{P_3-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\left[\underset{n=0}{\overset{P_2-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{c}_l\left(n\right)z^{-n}\right]{({\mathrm{\&omega;}}_{c\_\mathrm{des}}-{\mathrm{\&omega;}}_L)}^l---\left(\text{6}\right)$

$=\underset{l=0}{\overset{P_3-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{C}_l\left(z\right){({\mathrm{\&omega;}}_{c\_\mathrm{des}}-{\mathrm{\&omega;}}_L)}^l$

其中，C_l(z),l＝0,...,P₃-1为带宽可变低通滤波器中的子滤波器。则相应的Farrow结构的带宽可变低通数字滤波器更新为如图3所示。

因此，在ω_{c_des}-ω_L＝0的情况下，根据期望截止频率ω_{c_des}＝ω_L以及幅度准则，首先设计满足要求的子滤波器C₀(z)的系数c₀(n)，确定满足约束条件式（4）、（5）的最小的子滤波器阶数P₂，并将其作为优化设计中的初值滤波器。

$h(C,n,{\mathrm{\&omega;}}_{c\_\mathrm{des}}){|}_{{\mathrm{\&omega;}}_{c\_\mathrm{des}}={\mathrm{\&omega;}}_L}=c_0\left(n\right)---\left(15\right)$

对于子滤波器C₀(z)的系数c₀(n)的设计，因已知其幅频响应，本发明选择使用频率抽样滤波器设计法与Parks-McClellan优化算法相结合的方式进行设计。具体为：

a)、子滤波器C₀(z)在频带[0,ω_c-ω_p]内幅度响应为1，阻带内幅度响为0，期望截止频率为ω_{c_des}=ω_L，设置子滤波器C₀(z)的初始阶数N₀；

b)、利用频率抽样，根据幅度以及相位确定子滤波器C₀(z)的N₀个频响样值，再利用IFFT（傅里叶反变换），计算得到子滤波器C₀(z)的系数c₀(n),n＝0,...,N₀-1；

c)、根据系数c₀(n),n=0,...,N₀-1，计算子滤波器C₀(z)的实际频响即传递函数H(C,e^jω,ω_c)以及截止频率参数ω_c；

d)、如果子滤波器C₀(z)未满足约束条件式（4）、（5）即准则1、2的要求，则更新子滤波器C₀(z)阶数N₀＝N₀+1，重复步骤b)、c)，直至满足为止，则此时子滤波器C₀(z)阶数N₀即为带宽可变低通数字滤波器阶数P₂。

（2）、在确定带宽可变低通数字滤波器阶数P₂的基础上，确定各子滤波器的系数C，具体为：

a)、子滤波器的个数P₃＝0；

b)、子滤波器的个数加1即P₃=P₃+1，根据步骤（2）得到的带宽可变低通数字滤波器阶数P₂，按照FIR数字滤波器的泰勒展开式：

$H_{\mathrm{des}}(z,{\mathrm{\&omega;}}_{c\_\mathrm{des}})\&ap;\underset{n=0}{\overset{P_2-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\left[\underset{l=0}{\overset{P_3-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{c}_l\left(n\right){({\mathrm{\&omega;}}_{c\_\mathrm{des}}-{\mathrm{\&omega;}}_L)}^l\right]z^{-n}$

$=\underset{l=0}{\overset{P_3-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\left[\underset{n=0}{\overset{P_2-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{c}_l\left(n\right)z^{-n}\right]{({\mathrm{\&omega;}}_{c\_\mathrm{des}}-{\mathrm{\&omega;}}_L)}^l---\left(\text{6}\right)$

$=\underset{l=0}{\overset{P_3-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{C}_l\left(z\right){({\mathrm{\&omega;}}_{c\_\mathrm{des}}-{\mathrm{\&omega;}}_L)}^l$

写出传输函数H_des(z,ω_{c_des})，然后根据傅里叶变换，得到传递函数H(C,e^jω,ω_c)，其中，带宽可变低通滤波器各子滤波器的系数C为：

$C=[c_0\left(0\right),c_0\left(1\right),...,c_0(P_2-1),$

$c_1\left(0\right),c_1\left(1\right),...,c_1(P_2-1),...$

$c_{P_3-1}\left(0\right),c_{P_3-1}\left(1\right),...,c_{P_3-1}(P_2-1)]$

c)、频带分成I等份，即ω_i∈[0,π],i＝1,2,...,I；截止频率变化范围为其中的J等份，ω_cj∈[ω_L,ω_U],j＝1,2,...,J，将约束条件式（4）、（5）即准则1、2写为：

${\mathrm{\&epsiv;}}_c=\underset{0\&le;j\&le;J-1}{\max }|{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{cj}}-{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{cj}\_\mathrm{des}}|-{\mathrm{\&delta;}}_c\&le;0---\left(7\right)$

ε_a=(Δ_ap-δ_p)+(Δ_as-δ_s)≤0    （8）

其中：

为取整算子；

使用Minimax（最大误差最小化）非线性优化算法，在非线性约束条件式（8）控制下，利用序列二次规划算法(sequential quadratic programming，SQP)，寻找使得式（7）最小的带宽可变低通滤波器各子滤波器的系数C，即性能函数为

$J=\min \left\{\underset{0\&le;j\&le;J-1}{\max }\right|{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{cj}}-{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{cj}\_\mathrm{des}}|-{\mathrm{\&delta;}}_c\}---\left(10\right)$

如果最小的带宽可变低通滤波器各子滤波器的系数C存在，且满足约束条件式（7）、（8），则实现了带宽可变低通滤波器，否则返回步骤(b)，增加子滤波器的个数，重新寻找带宽可变低通滤波器各子滤波器的系数C。

至此便实现了一种基于Farrow结构的带宽可变低通数字滤波器的设计。

3、实例

在本实例中，取带宽可变低通数字滤波器的期望截止频率ω_{c_des}∈[0.7π,0.9π]，ω_p=ω_s=0.1π，通带内幅频响应误差δ_p=10^-2，阻带内幅频响应误差δ_s=10^-3。根据上述设计方法，设计满足准则式（7）、（8）的带宽可变低通数字滤波器实例。

图4给出了该4相26阶的Farrow结构的本发明带宽可变低通数字滤波器在分别期望截止频率ω_{c_des}为0.7π、0.75π、0.8π、0.85π、0.9π时的幅频响应图。

从图4可以看出，带宽可变低通数字滤波器的实际截止频率ω_c满足设计要求，在频带[0,ω_c-ω_p]内，该带宽可变低通数字滤波器的增益为1，在阻带[ω_c+ω_s,π]内，该带宽可变低通数字滤波器的增益为0，误差未超过误差限。

本发明给出一种在保持低通数字滤波器不变的前提下，将期望截止频率ω_{c_des}作为输入参数，运用Farrow结构，实现带宽可变低通数字滤波器的设计方法，以提高带宽可变低通数字滤波器使用的灵活性，避免了在线设计或存储大量滤波器系数表的复杂性。该多相结构的带宽可变滤波器，可以使用FPGA进行并行实现，同时各子滤波器系数对称，具有消耗资源少、运算速度快的特点。

尽管上面对本发明说明性的具体实施方式进行了描述，以便于本技术领域的技术人员理解本发明，但应该清楚，本发明不限于具体实施方式的范围，对本技术领域的普通技术人员来讲，只要各种变化在所附的权利要求限定和确定的本发明的精神和范围内，这些变化是显而易见的，一切利用本发明构思的发明创造均在保护之列。

Claims (2)

1.一种带宽可变低通数字滤波器的设计方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)、带宽可变低通数字滤波器设计准则

准则1：截止频率准则

${\mathrm{\&Delta;}}_c=\underset{{\mathrm{\&omega;}}_L<{\mathrm{\&omega;}}_c<{\mathrm{\&omega;}}_H}{\max }|{\mathrm{\&omega;}}_c-{\mathrm{\&omega;}}_{c\_\mathrm{des}}|\&le;{\mathrm{\&delta;}}_c---\left(4\right)$

准则2：幅度准则

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{ap}}=\underset{0<\mathrm{\&omega;}<{\mathrm{\&omega;}}_c-{\mathrm{\&omega;}}_p}{\max }\left|\right|H(C,e^{\mathrm{j\&omega;}},{\mathrm{\&omega;}}_c)|-1|\&le;{\mathrm{\&delta;}}_p$

${\mathrm{\&Delta;}}_{\mathrm{as}}=\underset{{\mathrm{\&omega;}}_c+{\mathrm{\&omega;}}_s<\mathrm{\&omega;}<\mathrm{\&pi;}}{\max }\left|H(C,e^{\mathrm{j\&omega;}},{\mathrm{\&omega;}}_c)\right|\&le;{\mathrm{\&delta;}}_s---\left(5\right)$

其中，ω_L为截止频率下限、ω_H为截止频率的上限，ω_c为实际截止频率，ω_{c_des}为输入的期望截止频率，δ_c为截止频率的误差限；H(C,e^jω,ω_c)为带宽可变低通数字滤波器的传递函数，C为带宽可变低通滤波器各子滤波器的系数，ω为数字频率，δ_p为频带[0,ω_c-ω_p]内幅度响应误差限，δ_s为阻带内幅度响应误差限，ω_c-ω_p为通带增益第一次低于幅度响应误差限δ_p时所对应的频率点，ω_s为过渡带宽度；

(2)、带宽可变低通数字滤波器阶数P₂的确定

a)、子滤波器C₀(z)在频带[0,ω_c-ω_p]内幅度响应为1，阻带内幅度响为0，期望截止频率为ω_{c_des}＝ω_L，设置子滤波器C₀(z)的初始阶数N₀；

b)、利用频率抽样，根据幅度以及相位确定子滤波器C₀(z)的N₀个频响样值，再利用傅里叶反变换，计算得到子滤波器C₀(z)的系数c₀(n),n＝0,…,N₀-1；

c)、根据系数c₀(n),n＝0,…,N₀-1，计算子滤波器C₀(z)的实际频响即传递函数H(C,e^jω,ω_c)以及截止频率参数ω_c；

d)、如果子滤波器C₀(z)未满足约束条件式(4)、(5)即准则1、2的要求，则更新子滤波器C₀(z)阶数N₀＝N₀+1，重复步骤b)、c)，直至满足为止，则此时子滤波器C₀(z)阶数N₀即为带宽可变低通数字滤波器阶数P₂；

(3)、带宽可变低通滤波器各子滤波器的系数C的确定

a)、子滤波器的个数P₃＝0；

b)、子滤波器的个数加1即P₃＝P₃+1，根据步骤(2)得到的带宽可变低通数字滤波器阶数P₂，按照FIR数字滤波器的泰勒展开式：

$\begin{array}{c}{H}_{\mathrm{des}}(z,{\mathrm{\&omega;}}_{c\_\mathrm{des}})\&ap;\underset{n=0}{\overset{P_2-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\left[\underset{l=0}{\overset{P_3-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{c}_l\left(n\right){({\mathrm{\&omega;}}_{c\_\mathrm{des}}-{\mathrm{\&omega;}}_L)}^l\right]z^{-n}\\ =\underset{l=0}{\overset{P_3-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\left[\underset{n=0}{\overset{P_2-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{c}_l\left(n\right)z^{-n}\right]{({\mathrm{\&omega;}}_{c\_\mathrm{des}}-{\mathrm{\&omega;}}_L)}^l\\ =\underset{l=0}{\overset{P_3-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{C}_l\left(z\right){({\mathrm{\&omega;}}_{c\_\mathrm{des}}-{\mathrm{\&omega;}}_L)}^l\end{array}---\left(6\right)$

写出传输函数H_des(z,ω_{c_des})，然后根据傅里叶变换，得到传递函数H(C,e^jω,ω_c)，其中，带宽可变低通滤波器各子滤波器的系数C为：

$\begin{array}{c}C=[c_0\left(0\right),c_0\left(1\right),...,c_0(P_2-1)\\ c_1\left(0\right),c_1\left(1\right),...,c_1(P_2-1),...\\ c_{P_3-1}\left(0\right),c_{P_3-1}\left(1\right),...,c_{P_3-1}(P_2-1)]\end{array}$

c)、频带分成I等份，即ω_i∈[0,π],i＝1,2,…,I；截止频率变化范围为其中的J等份，ω_cj∈[ω_L,ω_U],j＝1,2,…,J，将约束条件式(4)、(5)即准则1、2写为：

${\mathrm{\&epsiv;}}_c=\underset{0\&le;j\&le;J-1}{\max }|{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{cj}}-{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{cj}\_\mathrm{des}}|-{\mathrm{\&delta;}}_c\&le;0---\left(7\right)$

ε_a＝(Δ_ap-δ_p)+(Δ_as-δ_s)≤0           (8)

其中：

为取整算子；

使用最大误差最小化非线性优化算法，在非线性约束条件式(8)控制下，利用序列二次规划算法，寻找使得式(7)最小的带宽可变低通滤波器各子滤波器的系数C，即性能函数为：

$J=\min \left\{\underset{0\&le;j\&le;J-1}{\max }\right|{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{cj}}-{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{cj}\_\mathrm{des}}|-{\mathrm{\&delta;}}_c\}---\left(10\right)$

如果最小的带宽可变低通滤波器各子滤波器的系数C存在，且满足约束条件式(7)、(8)，则实现了带宽可变低通滤波器，否则返回步骤(b)，增加子滤波器的个数，重新寻找带宽可变低通滤波器各子滤波器的系数C。

2.根据权利要求1所述的带宽可变低通数字滤波器的设计方法，其特征在于，所述的所有的子滤波器都是线性相位滤波器，即系数满足：

c_l(n)＝c_l(P₃-1-n)             (13)

或

c_l(n)＝-c_l(P₃-1-n)          (14)。