CN103123668A - 一种基于混合单元法的空间绳系机器人系统的仿真方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于混合单元法的空间绳系机器人系统的仿真方法，利用精确的Ritz法计算释放点附近应力变化比较剧烈的绳段，对于其它位置应力变化比较平缓的绳段则使用简单的“珠子模型”进行计算，并通过与“珠子模型”完全相同的机制在释放过程中增加“珠点”的数目，这样一方面可以使得Ritz法计算的绳段长度得到了严格的限制，从而保证了Ritz法的计算精度和有效性，另一方面利用Ritz法计算系绳中应力变化最为剧烈的绳段，可以避免为计算不断增长的系绳而引入“锚点”，有效提高“珠子模型”的计算精度和计算效率。

Description

一种基于混合单元法的空间绳系机器人系统的仿真方法

技术领域

本发明涉及一种基于混合单元法的空间绳系机器人系统的仿真方法。

背景技术

近年来，随着空间技术的发展，空间任务日趋多样化和复杂化，对于故障卫星维修、近距离目标捕获、轨道垃圾清理等在轨服务技术的需求越来越迫切。对于目前应用非常广泛的“平台／基座+多自由度机械臂+机械手”构型的空间机器人，由于其抓捕距离近、控制系统复杂、碰撞风险高，因而在非合作目标操作等方面存在着很大的局限性。利用空间系绳取代多自由度机械臂，构成由“平台／基座+空间系绳+抓捕装置”组成的新型空间绳系机器人，不仅能够将传统机器人的操作半径延伸至百米量级，避免了空间平台近距离的逼近和停靠机动，减少燃料消耗，而且能够防止末端碰撞力向平台的传递，从而大幅度提高了空间平台在任务过程中的安全性。

空间绳系机器人系统的释放过程是一个复杂的动力学过程，不恰当的系绳仿真方法将使得系绳中的应力出现较大的误差，考虑到末端机器人的质量很小（几公斤至几十公斤）且所使用的控制力也非常小（几十至几百毫牛），因而仿真中应力的误差将使得仿真结果严重偏离系统的真实运动，这就要求对于系绳的仿真有着非常高的精度。目前，对于空间系绳的精确仿真主要有两类方法：一类是利用经典的“珠子模型”对系绳进行近似计算，另一类是通过Ritz法等数值方法对系绳进行数值离散化处理。这两种方法有着各自不同的特点，“珠子模型”形式简单且对于任意长度的系绳都有着非常好的计算效果，但它的求解速度非常慢且对于求解过程中的误差非常敏感；Ritz法的求解速度快且对于短系绳的求解有着非常高的求解精度，但随着系绳长度的增长，它的仿真精度将急剧下降，其计算结果也会变得不可信甚至完全不可接受。

通过上面的分析可以发现，目前所使用两种方法在对空间绳系机器人系统进行仿真时都存在着较大的缺陷，但Ritz法高精度与“珠子模型”计算稳定性的优势却是互补的，因此如果能够给出一种方法，使其能够综合Ritz法与“珠子模型”的优点，避免两者的不足，这种算法不仅具有重要的学术价值，也具有广泛的应用前景。

发明内容

要解决的技术问题

为了避免现有技术的不足之处，本发明提出一种基于混合单元法的空间绳系机器人系统的仿真方法，利用Ritz法计算释放点附近的系绳，对于其它位置的系绳则依然使用“珠子模型”进行计算，并通过与“珠子模型”完全相同的机制在释放过程中增加“珠点”的数目。

技术方案

一种基于混合单元法的空间绳系机器人系统的仿真方法，其特征在于：空间绳系机器人系统是通过系绳连接空间平台和末端执行机构，仿真步骤如下：

步骤1：建立空间绳系机器人系统的数学模型，空间绳系机器人中柔性系绳的运动满足：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\ρ}(\stackrel{..}{x}-2\mathrm{\ω}\stackrel{.}{z})=N_x^{\′}\\ \mathrm{\ρ}(\stackrel{..}{y}+{\mathrm{\ω}}^{2}y)=N_y^{\′}\\ \mathrm{\ρ}(\stackrel{..}{z}+2\mathrm{\ω}\stackrel{.}{x}-{3\mathrm{\ω}}^{2}z)=N_z^{\′}\end{array}\right.---\left(1\right)$

式中，ρ表示系绳密度，x、y和z表示系绳上的点在轨道坐标系中的坐标，N_x、N_y和N_z表示系绳中的张力在三个坐标轴上的分量，ω表示空间绳系机器人系统的轨道角速度；

系绳中的张力满足胡克定律：

$\left[\begin{array}{c}{N}_x\\ N_x\\ N_z\end{array}\right]=\mathrm{EA}(1-\frac{1}{\left|r^{\′}\right|})\left[\begin{array}{c}{x}^{\′}\\ y^{\′}\\ z^{\′}\end{array}\right]---\left(2\right)$

式中，EA表示系绳的弹性刚度， $\left|r^{\′}\right|=\sqrt{{\left(x^{\′}\right)}^2+{\left(y^{\′}\right)}^2+{\left(z^{\′}\right)}^2}$

空间平台的运动满足：x(ξ)＝y(ξ)＝z(ξ)＝0          (3)

末端机构运动满足：

$\left\{\begin{array}{c}M[\stackrel{..}{x}\left(L\right)-2\mathrm{\ω}\stackrel{.}{z}\left(L\right)]=F_{\mathrm{Rx}}-N_x\left(L\right)\\ M[\stackrel{..}{y}\left(L\right)+{\mathrm{\ω}}^{2}y\left(L\right)]=F_{\mathrm{Ry}}-N_y\left(L\right)\\ M[\stackrel{..}{z}\left(L\right)+2\mathrm{\ω}\stackrel{.}{x}\left(L\right)-{3\mathrm{\ω}}^{2}z\left(L\right)]=F_{\mathrm{Rz}}-N_z\left(L\right)\end{array}---\left(4\right)\right.$

式中，M表示末端执行机构的质量，F_Rx、F_Ry和F_Rz分别表示作用在末端执行机构上的机动力；

步骤2：将系绳按自然长度分割为n+1段，并将靠近末端执行机构的绳段编号为1，靠近释放点的绳段编号为n+1，前n段系绳的自然长度为l，最后一段系绳的自然长度为η，且在释放过程中，η满足η＝L-ξ-nl；

记第n段系绳和第n+1段系绳之间的连接点为结合点C；ξ表示释放机构处的自然坐标，L表示系绳总的自然长度；

步骤3：采用高精度的Ritz法对第n+1段系绳ξ≤s≤ξ+η进行离散化，选取基函数u_i＝v_i＝w_i＝(s-ξ)ⁱ，其中：s表示系绳上点的自然坐标，定义域为[ξ，L]，i＝1,2,…,m；

系绳上点的坐标为： $\left\{\begin{array}{c}\tilde{x}\left(t\right)=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{u}_i(s,\mathrm{\ξ}\left(t\right))a_i\left(t\right)\\ \tilde{y}\left(t\right)=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{v}_i(s,\mathrm{\ξ}\left(t\right))b_i\left(t\right)\\ \tilde{z}\left(t\right)=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{w}_i(s,\mathrm{\ξ}\left(t\right))c_i\left(t\right)\end{array}---\left(5\right)\right.$

得 $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\ρ}(\stackrel{\stackrel{..}{~}}{x}-2\mathrm{\ω}\stackrel{\stackrel{.}{~}}{z})\≈N_x^{\′}\\ \mathrm{\ρ}(\stackrel{\stackrel{..}{~}}{y}+{\mathrm{\ω}}^2\tilde{y})\≈N_y^{\′}\\ \mathrm{\ρ}\left(\stackrel{\stackrel{..}{~}}{z}+2\mathrm{\ω}\stackrel{\stackrel{.}{~}}{x}-{3\mathrm{\ω}}^2\tilde{z}\right)\≈N_z^{\′}\end{array}\right.,$

上式的系数满足： $\left\{\begin{array}{c}\underset{\mathrm{\ξ}}{\overset{L}{\∫}}\left[\mathrm{\ρ}(\stackrel{..}{x}-2n\stackrel{.}{z}-N_x^{\′})\right]u_i\mathrm{ds}+[N_x\left(L\right)-F_{0x}]u_i\left(L\right)=0\\ \underset{\mathrm{\ξ}}{\overset{L}{\∫}}[\mathrm{\ρ}(\stackrel{..}{y}+n^{2}y)-N_y^{\′}]v_i\mathrm{ds}+[N_y\left(L\right)-F_{0y}]v_i\left(L\right)=0\\ \underset{\mathrm{\ξ}}{\overset{L}{\∫}}[\mathrm{\ρ}(\stackrel{..}{z}+2n\stackrel{.}{x}-{3n}^{2}z)-N_z^{\′}]w_i\mathrm{ds}+[N_z\left(L\right)-F_{0z}]w_i\left(L\right)=0\end{array}\right.,$

将上式写成矩阵形式得：

$\left\{\begin{array}{c}{M}_1\stackrel{..}{a}+2\stackrel{.}{\mathrm{\ξ}}{M}_2\stackrel{.}{a}+(\stackrel{..}{\mathrm{\ξ}}{M}_2+{\stackrel{.}{\mathrm{\ξ}}}^2{M}_3)a-2n{M}_4\stackrel{.}{c}-2n\stackrel{.}{\mathrm{\ξ}}{M}_{5}c=U\\ M_6\stackrel{..}{b}+2\stackrel{.}{\mathrm{\ξ}}{M}_7\stackrel{.}{b}+(\stackrel{..}{\mathrm{\ξ}}{M}_7+{\stackrel{.}{\mathrm{\ξ}}}^2{M}_8)b+n^2{M}_{6}b=V\\ M_9\stackrel{..}{c}+2\stackrel{.}{\mathrm{\ξ}}{M}_{10}\stackrel{.}{c}+(\stackrel{..}{\mathrm{\ξ}}{M}_{10}+{\stackrel{.}{\mathrm{\ξ}}}^2{M}_{11}-{3n}^2{M}_9)c+2n{M}_{12}\stackrel{.}{a}+2n\stackrel{.}{\mathrm{\ξ}}{M}_{13}a=W\end{array}---\left(6\right)\right.$

式中，

a＝(a₁,a₂,…,a_m)^T，b＝(b₁,b₂,…,b_m)^T，c＝(c₁,c₂,…,c_m)^T，

$M_1=\left[{\∫}_{\mathrm{\ξ}}^{\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η}}{u}_i{u}_j\mathrm{ds}\right],$ $M_2=\left[{\∫}_{\mathrm{\ξ}}^{\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η}}{u}_i\frac{{\∂u}_j}{\∂\mathrm{\ξ}}\mathrm{ds}\right],$ $M_3=\left[{\∫}_{\mathrm{\ξ}}^{\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η}}{u}_i\frac{{\∂}^2{u}_j}{{\∂\mathrm{\ξ}}^2}\mathrm{ds}\right],$ $M_4=\left[{\∫}_{\mathrm{\ξ}}^{\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η}}{u}_i{w}_j\mathrm{ds}\right],$

$M_5=\left[{\∫}_{\mathrm{\ξ}}^{\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η}}{u}_i\frac{{\∂w}_j}{\∂\mathrm{\ξ}}\mathrm{ds}\right],$ $M_6=\left[{\∫}_{\mathrm{\ξ}}^{\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η}}{v}_i{v}_j\mathrm{ds}\right],$ $M_7=\left[{\∫}_{\mathrm{\ξ}}^{\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η}}{v}_i\frac{{\∂v}_j}{\∂\mathrm{\ξ}}\mathrm{ds}\right],$ $M_8=\left[{\∫}_{\mathrm{\ξ}}^{\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η}}{v}_i\frac{{\∂}^2{v}_j}{{\∂\mathrm{\ξ}}^2}\mathrm{ds}\right],$

$M_9=\left[{\∫}_{\mathrm{\ξ}}^{\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η}}{w}_i{w}_j\mathrm{ds}\right],$ $M_{10}=\left[{\∫}_{\mathrm{\ξ}}^{\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η}}{w}_i\frac{{\∂w}_j}{\∂\mathrm{\ξ}}\mathrm{ds}\right],$ $M_{11}=\left[{\∫}_{\mathrm{\ξ}}^{\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η}}{w}_i\frac{{\∂}^2{w}_j}{{\∂\mathrm{\ξ}}^2}\mathrm{ds}\right],$ $M_{12}=\left[{\∫}_{\mathrm{\ξ}}^{\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η}}{w}_i{u}_j\mathrm{ds}\right],$

$M_{13}=\left[{\∫}_{\mathrm{\ξ}}^{\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η}}{w}_i\frac{{\∂u}_j}{\∂\mathrm{\ξ}}\mathrm{ds}\right],$ (i＝1,2,…,m,j＝1,2,…,m)

$U=-F_{n,c}^{x}u\left(L\right)-{\∫}_{\mathrm{\ξ}}^{\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η}}{N}_x\frac{\∂u}{\∂s}\mathrm{ds},$ $V=-F_{n,c}^{y}v\left(L\right)-{\∫}_{\mathrm{\ξ}}^{\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η}}{N}_y\frac{\∂v}{\∂s}\mathrm{ds},$ $W=-F_{n,c}^{z}w\left(L\right)-{\∫}_{\mathrm{\ξ}}^{\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η}}{N}_z\frac{\∂w}{\∂s}\mathrm{ds}$

其中，u＝(u₁,u₂,…,u_m)^T，v＝(v₁,v₂,…,v_m)^T，w＝(w₁,w₂,…,w_m)^T，

和

表示第n段系绳上的作用力F_n,c在轨道坐标系三个坐标轴上的分量；

步骤4：对于第1段系绳，将末端执行机构设为一个节点，节点的质量由末端执行机构的质量与等效的系绳质量相加得到；对于第n段系绳，结合点C为其两个节点之一，而由步骤3可知C点的坐标满足：

$\left[\begin{array}{c}{\tilde{x}}_C\\ {\tilde{y}}_C\\ {\tilde{z}}_C\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{a}_i{u}_i(\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η})\\ \underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{b}_i{v}_i(\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η})\\ \underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{c}_i{w}_i(\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η})\end{array}\right];$

从末端执行机构开始依次对节点进行编号，从而获得了编号为1~n的n个有质量无体积的“珠点”，它们的运动满足：

$\left\{\begin{array}{c}{m}_i({\stackrel{\stackrel{..}{~}}{x}}_i-2\mathrm{\ω}{\stackrel{\stackrel{.}{~}}{z}}_i)=F_{i-1,i}^x-F_{i,i+1}^x\\ m_i(\stackrel{\stackrel{..}{~}}{y_i}+{\mathrm{\ω}}^2{\tilde{y}}_i)=F_{i-1,i}^y-F_{i,i+1}^y\\ m_i({\stackrel{\stackrel{..}{~}}{z}}_i+2\mathrm{\ω}{\stackrel{\stackrel{.}{~}}{x}}_i-{3\mathrm{\ω}}^2{\tilde{z}}_i)=F_{i-1,i}^z-F_{i,i+1}^z\end{array}\right.---\left(7\right)$

式中：

$\left[\begin{array}{c}{F}_{\mathrm{0,1}}^x\\ F_{\mathrm{0,1}}^y\\ F_{\mathrm{0,1}}^z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{F}_{\mathrm{Rx}}\\ F_{\mathrm{Ry}}\\ F_{\mathrm{Rz}}\end{array}\right],$

$\left[\begin{array}{c}{F}_{k,k+1}^x\\ F_{k,k+1}^y\\ F_{k,k+1}^z\end{array}\right]=\mathrm{EA}(\frac{1}{l}-\frac{1}{d_{k,k+1}})\left[\begin{array}{c}{\tilde{x}}_k-{\tilde{x}}_{k+1}\\ {\tilde{y}}_k-{\tilde{y}}_{k+1}\\ {\tilde{z}}_k-{\tilde{z}}_{k+1}\end{array}\right],$

$\left[\begin{array}{c}{F}_{n,n+1}^x\\ F_{n,n+1}^y\\ F_{n,n+1}^z\end{array}\right]=F_{n,c}=\left[\begin{array}{c}{F}_{n,c}^x\\ F_{n,c}^y\\ F_{n,c}^z\end{array}\right]=\mathrm{EA}(\frac{1}{l}-\frac{1}{d_{n,c}})\left[\begin{array}{c}{\tilde{x}}_n-{\tilde{x}}_c\\ {\tilde{y}}_n-{\tilde{y}}_c\\ {\tilde{z}}_n-{\tilde{z}}_c\end{array}\right],$

其中，k＝1,2,…,n-1，

$d_{k,k+1}=\sqrt{{({\tilde{x}}_{i+1}-{\tilde{x}}_i)}^2+{({\tilde{y}}_{i+1}-{\tilde{y}}_i)}^2+{({\tilde{z}}_{i+1}-{\tilde{z}}_i)}^2},$

$d_{n,c}=\sqrt{{({\tilde{x}}_n-{\tilde{x}}_c)}^2+{({\tilde{y}}_n-{\tilde{y}}_c)}^2+{({\tilde{z}}_n-{\tilde{z}}_c)}^2};$

步骤5：选择系绳的释放加速度控制率，其表达式为：

$\stackrel{..}{\mathrm{\ξ}}=f(\mathrm{\ξ},\stackrel{.}{\mathrm{\ξ}},{\tilde{x}}_i,{\tilde{y}}_i,{\tilde{z}}_i,{\stackrel{\stackrel{.}{~}}{x}}_i,{\stackrel{\stackrel{.}{~}}{y}}_i,{\stackrel{\stackrel{.}{~}}{z}}_i,{\stackrel{\stackrel{..}{~}}{x}}_i,{\stackrel{\stackrel{..}{~}}{y}}_i,{\stackrel{\stackrel{..}{~}}{z}}_i)---\left(8\right)$

步骤6：使用四阶Runge-Kutta方法对(6)、(7)、(8)式构成的常微分方程组进行积分求解，完成空间绳系机器人系统的仿真任务；

在计算过程中，第n+1段系绳的自然长度η会随着时间不断增长，每当η超过了设定的上限η_max时，在第n+1段系绳上插入一个新的节点，它与原结合点之间的绳段长度为l，它的位置满足：

$\left\{\begin{array}{c}{\tilde{x}}_{C^{*}}=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{u}_i(\mathrm{\η}-l)a_i\\ {\tilde{y}}_{C^{*}=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{v}_i(\mathrm{\η}-l)b_i}\\ {\tilde{z}}_{C^{*}}=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{w}_i(\mathrm{\η}-l)c_i\end{array}\right.$

将n的值增加1，并将新的节点与原结合点之间的系绳近似为弹性杆，继续进行求解。

所述l取0.5m～5m，η不超过5l。

所述上限η_max为3l~5l。

有益效果

本发明提出的一种基于混合单元法的空间绳系机器人系统的仿真方法，与现有技术相比，本发明的有益效果是：混合单元法实现了Ritz法与“珠子模型”的结合，它利用精确的Ritz法计算释放点附近应力变化比较剧烈的绳段，对于其它位置应力变化比较平缓的绳段则使用简单的“珠子模型”进行计算，并通过与“珠子模型”完全相同的机制在释放过程中增加“珠点”的数目，这样一方面可以使得Ritz法计算的绳段长度得到了严格的限制，从而保证了Ritz法的计算精度和有效性，另一方面利用Ritz法计算系绳中应力变化最为剧烈的绳段，可以避免为计算不断增长的系绳而引入“锚点”，有效提高“珠子模型”的计算精度和计算效率。

附图说明

图1为空间绳系机器人系统的示意图；

图2为系绳分段离散示意图；

图3为“珠点”增加过程示意图。

具体实施方式

现结合实施例、附图对本发明作进一步描述：

本实施例综合两种经典算法的优点，规避各自的不足，本发明提供了混合单元法，该算法利用Ritz法计算释放点附近的系绳，对于其它位置的系绳则依然使用“珠子模型”进行计算，并通过与“珠子模型”完全相同的机制在释放过程中增加“珠点”的数目。步骤如下：

1、建立系统数学模型：

对于如图1所示的空间绳系机器人系统，它由空间平台、系绳和末端执行机构组成，通过系绳连接空间平台和末端执行机构，并利用平台上的释放机构控制系绳的释放速度，从而实现对于末端机构的控制。在平台轨道坐标系下，空间绳系机器人中柔性系绳的运动满足：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\ρ}(\stackrel{..}{x}-2\mathrm{\ω}\stackrel{.}{z})=N_x^{\′}\\ \mathrm{\ρ}(\stackrel{..}{y}+{\mathrm{\ω}}^{2}y)=N_y^{\′}\\ \mathrm{\ρ}(\stackrel{..}{z}+2\mathrm{\ω}\stackrel{.}{x}-{3\mathrm{\ω}}^{2}z)=N_z^{\′}\end{array}---\left(9\right)\right.$

式中，s表示系绳上点的自然坐标，它的定义域为[ξ，L]，ξ表示释放机构处的自然坐标，L表示系绳总的自然长度，ρ表示系绳密度，t表示系统时间，ω表示空间绳系机器人系统的轨道角速度，()·表示

()'表示

x、y和z表示系绳上的点在轨道坐标系中的坐标，N_x、N_y和N_z表示系绳中的张力在三个坐标轴上的分量，系绳中的张力满足胡克定律：

$\left[\begin{array}{c}{N}_x\\ N_x\\ N_z\end{array}\right]=\mathrm{EA}(1-\frac{1}{\left|r^{\′}\right|})\left[\begin{array}{c}{x}^{\′}\\ y^{\′}\\ z^{\′}\end{array}\right]---\left(10\right)$

式中，EA表示系绳的弹性刚度，

空间平台可以看作质点，其运动满足：

x(ξ)＝y(ξ)＝z(ξ)＝0         (11)

末端机构也可简化为质点，其运动满足：

$\left\{\begin{array}{c}M[\stackrel{..}{x}\left(L\right)-2\mathrm{\ω}\stackrel{.}{z}\left(L\right)]=F_{\mathrm{Rx}}-N_x\left(L\right)\\ M[\stackrel{..}{y}\left(L\right)+{\mathrm{\ω}}^{2}y\left(L\right)]=F_{\mathrm{Ry}}-N_y\left(L\right)\\ M[\stackrel{..}{z}\left(L\right)+2\mathrm{\ω}\stackrel{.}{x}\left(L\right)-{3\mathrm{\ω}}^{2}z\left(L\right)]=F_{\mathrm{Rz}}-N_z\left(L\right)\end{array}---\left(12\right)\right.$

式中，M表示末端执行机构的质量，F_Rx、F_Ry和F_Rz分别表示作用在末端执行机构上的机动力；

2、系绳离散分段

将系绳按自然长度分割为n+1段，并将靠近末端执行机构的绳段编号为1，靠近释放点的绳段编号为n+1，如图2所示，要求前n段系绳的自然长度为l，最后一段系绳的自然长度为η（l一般取0.5m～5m，η一般不超过5l），且在释放过程中，η满足：

η＝L-ξ-nl            (13)

记第n段系绳和第n+1段系绳之间的连接点为结合点C；

3、第n+1段系绳的离散求解

针对受力情况比较复杂的第n+1段系绳（ξ≤s≤ξ+η），采用高精度的Ritz法进行离散化，选取基函数u_i＝v_i＝w_i＝(s-ξ)ⁱ；

其中，i＝1,2,…,m，s满足ξ≤s≤ξ+η，于是系绳上点的坐标可近似写为：

$\left\{\begin{array}{c}\tilde{x}\left(t\right)=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{u}_i(s,\mathrm{\ξ}\left(t\right))a_i\left(t\right)\\ \tilde{y}\left(t\right)=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{v}_i(s,\mathrm{\ξ}\left(t\right))b_i\left(t\right)\\ \tilde{z}\left(t\right)=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{w}_i(s,\mathrm{\ξ}\left(t\right))c_i\left(t\right)\end{array}---\left(14\right)\right.$

将位置近似值代入系绳动力学方程(1)可得：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\ρ}(\stackrel{\stackrel{..}{~}}{x}-2\mathrm{\ω}\stackrel{\stackrel{.}{~}}{z})\≈N_x^{\′}\\ \mathrm{\ρ}(\stackrel{\stackrel{..}{~}}{y}+{\mathrm{\ω}}^2\tilde{y})\≈N_y^{\′}\\ \mathrm{\ρ}\left(\stackrel{\stackrel{..}{~}}{z}+2\mathrm{\ω}\stackrel{\stackrel{.}{~}}{x}-{3\mathrm{\ω}}^2\tilde{z}\right)\≈N_z^{\′}\end{array}\right.$

为了使得上式的近似误差最小，由Ritz法可知(5)式中系数需满足：

$\left\{\begin{array}{c}\underset{\mathrm{\ξ}}{\overset{L}{\∫}}\left[\mathrm{\ρ}(\stackrel{..}{x}-2n\stackrel{.}{z}-N_x^{\′})\right]u_i\mathrm{ds}+[N_x\left(L\right)-F_{0x}]u_i\left(L\right)=0\\ \underset{\mathrm{\ξ}}{\overset{L}{\∫}}[\mathrm{\ρ}(\stackrel{..}{y}+n^{2}y)-N_y^{\′}]v_i\mathrm{ds}+[N_y\left(L\right)-F_{0y}]v_i\left(L\right)=0\\ \underset{\mathrm{\ξ}}{\overset{L}{\∫}}[\mathrm{\ρ}(\stackrel{..}{z}+2n\stackrel{.}{x}-{3n}^{2}z)-N_z^{\′}]w_i\mathrm{ds}+[N_z\left(L\right)-F_{0z}]w_i\left(L\right)=0\end{array}\right.$

将上式写成矩阵形式可得：

$\left\{\begin{array}{c}{M}_1\stackrel{..}{a}+2\stackrel{.}{\mathrm{\ξ}}{M}_2\stackrel{.}{a}+(\stackrel{..}{\mathrm{\ξ}}{M}_2+{\stackrel{.}{\mathrm{\ξ}}}^2{M}_3)a-2n{M}_4\stackrel{.}{c}-2n\stackrel{.}{\mathrm{\ξ}}{M}_{5}c=U\\ M_6\stackrel{..}{b}+2\stackrel{.}{\mathrm{\ξ}}{M}_7\stackrel{.}{b}+(\stackrel{..}{\mathrm{\ξ}}{M}_7+{\stackrel{.}{\mathrm{\ξ}}}^2{M}_8)b+n^2{M}_{6}b=V\\ M_9\stackrel{..}{c}+2\stackrel{.}{\mathrm{\ξ}}{M}_{10}\stackrel{.}{c}+(\stackrel{..}{\mathrm{\ξ}}{M}_{10}+{\stackrel{.}{\mathrm{\ξ}}}^2{M}_{11}-{3n}^2{M}_9)c+2n{M}_{12}\stackrel{.}{a}+2n\stackrel{.}{\mathrm{\ξ}}{M}_{13}a=W\end{array}---\left(15\right)\right.$

式中，

a＝(a₁,a₂,…,a_m)^T，b＝(b₁,b₂,…,b_m)^T，c＝(c₁,c₂,…,c_m)^T，

$M_1=\left[{\∫}_{\mathrm{\ξ}}^{\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η}}{u}_i{u}_j\mathrm{ds}\right],$ $M_2=\left[{\∫}_{\mathrm{\ξ}}^{\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η}}{u}_i\frac{{\∂u}_j}{\∂\mathrm{\ξ}}\mathrm{ds}\right],$ $M_3=\left[{\∫}_{\mathrm{\ξ}}^{\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η}}{u}_i\frac{{\∂}^2{u}_j}{{\∂\mathrm{\ξ}}^2}\mathrm{ds}\right],$

$M_4=\left[{\∫}_{\mathrm{\ξ}}^{\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η}}{u}_i{w}_j\mathrm{ds}\right],$ $M_5=\left[{\∫}_{\mathrm{\ξ}}^{\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η}}{u}_i\frac{{\∂w}_j}{\∂\mathrm{\ξ}}\mathrm{ds}\right],$ $M_6=\left[{\∫}_{\mathrm{\ξ}}^{\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η}}{v}_i{v}_j\mathrm{ds}\right],$

$M_7=\left[{\∫}_{\mathrm{\ξ}}^{\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η}}{v}_i\frac{{\∂v}_j}{\∂\mathrm{\ξ}}\mathrm{ds}\right],$ $M_8=\left[{\∫}_{\mathrm{\ξ}}^{\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η}}{v}_i\frac{{\∂}^2{v}_j}{{\∂\mathrm{\ξ}}^2}\mathrm{ds}\right],$ $M_9=\left[{\∫}_{\mathrm{\ξ}}^{\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η}}{w}_i{w}_j\mathrm{ds}\right],$

$M_{10}=\left[{\∫}_{\mathrm{\ξ}}^{\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η}}{w}_i\frac{{\∂w}_j}{\∂\mathrm{\ξ}}\mathrm{ds}\right],$ $M_{11}=\left[{\∫}_{\mathrm{\ξ}}^{\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η}}{w}_i\frac{{\∂}^2{w}_j}{{\∂\mathrm{\ξ}}^2}\mathrm{ds}\right],$ $M_{12}=\left[{\∫}_{\mathrm{\ξ}}^{\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η}}{w}_i{u}_j\mathrm{ds}\right],$

$m_{13}=\left[{\∫}_{\mathrm{\ξ}}^{\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η}}{w}_i\frac{{\∂u}_j}{\∂\mathrm{\ξ}}\mathrm{ds}\right],$ (i＝1,2,…,m,j＝1,2,…,m)

$U=-F_{n,c}^{x}u\left(L\right)-{\∫}_{\mathrm{\ξ}}^{\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η}}{N}_x\frac{\∂u}{\∂s}\mathrm{ds},$ $V=-F_{n,c}^{y}v\left(L\right)-{\∫}_{\mathrm{\ξ}}^{\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η}}{N}_y\frac{\∂v}{\∂s}\mathrm{ds},$ $W=-F_{n,c}^{z}w\left(L\right)-{\∫}_{\mathrm{\ξ}}^{\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η}}{N}_z\frac{\∂w}{\∂s}\mathrm{ds}$

其中，u＝(u₁,u₂,…,u_m)^T，v＝(v₁,v₂,…,v_m)^T，w＝(w₁,w₂,…,w_m)^T，

和

表示第n段系绳上的作用力F_n，c在轨道坐标系三个坐标轴上的分量，其表达式将在步骤4中得到；

4、前n段系绳的近似求解

对于受力情况比较简单的前n段系绳，可将它们近似简化为无质量的弹性杆，并将它们的质量集中到连接相邻两根杆的节点上。对于第1段系绳，由于它有一侧连接在末端执行机构上，因此可以直接将末端执行机构设为一个节点，节点的质量由末端执行机构的质量与等效的系绳质量相加得到；对于第n段系绳，结合点C为其两个节点之一，而由步骤3可知C点的坐标满足：

$\left[\begin{array}{c}{\tilde{x}}_C\\ {\tilde{y}}_C\\ {\tilde{z}}_C\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{a}_i{u}_i(\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η})\\ \underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{b}_i{v}_i(\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η})\\ \underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{c}_i{w}_i(\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η})\end{array}\right]$

因此只需要考虑一个节点的运动。从末端执行机构开始依次对节点进行编号，从而获得了编号为1~n的n个有质量无体积的“珠点”，它们的运动满足：

$\left\{\begin{array}{c}{m}_i({\stackrel{\stackrel{..}{~}}{x}}_i-2\mathrm{\ω}{\stackrel{\stackrel{.}{~}}{z}}_i)=F_{i-1,i}^x-F_{i,i+1}^x\\ m_i(\stackrel{\stackrel{..}{~}}{y_i}+{\mathrm{\ω}}^2{\tilde{y}}_i)=F_{i-1,i}^y-F_{i,i+1}^y\\ m_i({\stackrel{\stackrel{..}{~}}{z}}_i+2\mathrm{\ω}{\stackrel{\stackrel{.}{~}}{x}}_i-{3\mathrm{\ω}}^2{\tilde{z}}_i)=F_{i-1,i}^z-F_{i,i+1}^z\end{array}\right.---\left(16\right)$

式中，i＝1,2,…,n，

$\left[\begin{array}{c}{F}_{\mathrm{0,1}}^x\\ F_{\mathrm{0,1}}^y\\ F_{\mathrm{0,1}}^z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{F}_{\mathrm{Rx}}\\ F_{\mathrm{Ry}}\\ F_{\mathrm{Rz}}\end{array}\right],$

$\left[\begin{array}{c}{F}_{k,k+1}^x\\ F_{k,k+1}^y\\ F_{k,k+1}^z\end{array}\right]=\mathrm{EA}(\frac{1}{l}-\frac{1}{d_{k,k+1}})\left[\begin{array}{c}{\tilde{x}}_k-{\tilde{x}}_{k+1}\\ {\tilde{y}}_k-{\tilde{y}}_{k+1}\\ {\tilde{z}}_k-{\tilde{z}}_{k+1}\end{array}\right],$

$\left[\begin{array}{c}{F}_{n,n+1}^x\\ F_{n,n+1}^y\\ F_{n,n+1}^z\end{array}\right]=F_{n,c}=\left[\begin{array}{c}{F}_{n,c}^x\\ F_{n,c}^y\\ F_{n,c}^z\end{array}\right]=\mathrm{EA}(\frac{1}{l}-\frac{1}{d_{n,c}})\left[\begin{array}{c}{\tilde{x}}_n-{\tilde{x}}_c\\ {\tilde{y}}_n-{\tilde{y}}_c\\ {\tilde{z}}_n-{\tilde{z}}_c\end{array}\right],$

其中，k＝1,2,…,n-1，

$d_{k,k+1}=\sqrt{{({\tilde{x}}_{i+1}-{\tilde{x}}_i)}^2+{({\tilde{y}}_{i+1}-{\tilde{y}}_i)}^2+{({\tilde{z}}_{i+1}-{\tilde{z}}_i)}^2},$

$d_{n,c}=\sqrt{{({\tilde{x}}_n-{\tilde{x}}_c)}^2+{({\tilde{y}}_n-{\tilde{y}}_c)}^2+{({\tilde{z}}_n-{\tilde{z}}_c)}^2};$

5、选取系绳释放控制率

系绳的释放加速度控制率一般会根据系绳控制系统的要求来给出，其表达式为：

$\stackrel{..}{\mathrm{\ξ}}=f(\mathrm{\ξ},\stackrel{.}{\mathrm{\ξ}},{\tilde{x}}_i,{\tilde{y}}_i,{\tilde{z}}_i,{\stackrel{\stackrel{.}{~}}{x}}_i,{\stackrel{\stackrel{.}{~}}{y}}_i,{\stackrel{\stackrel{.}{~}}{z}}_i,{\stackrel{\stackrel{..}{~}}{x}}_i,{\stackrel{\stackrel{..}{~}}{y}}_i,{\stackrel{\stackrel{..}{~}}{z}}_i)---\left(17\right)$

6、离散方程的积分求解

使用四阶Runge-Kutta方法对(6)、(7)、(8)式构成的常微分方程组进行积分求解，完成空间绳系机器人系统的仿真任务；

在计算过程中，第n+1段系绳的自然长度η会随着时间不断增长，每当η超过了设定的上限η_max（一般为3l~5l）时，在第n+1段系绳上插入一个新的节点，它与原结合点之间的绳段长度为l，它的位置满足：

$\left\{\begin{array}{c}{\tilde{x}}_{C^{*}}=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{u}_i(\mathrm{\η}-l)a_i\\ {\tilde{y}}_{C^{*}=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{v}_i(\mathrm{\η}-l)b_i}\\ {\tilde{z}}_{C^{*}}=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{w}_i(\mathrm{\η}-l)c_i\end{array}\right.$

如图3所示，同时将n的值增加1，并将新的节点与原结合点之间的系绳近似为弹性杆，继续进行模型的求解。

具体实施例：

1、建立系统数学模型：

对于如图1所示的空间绳系机器人系统，它由空间平台、系绳和末端执行机构组成。在平台轨道坐标系下，空间绳系机器人中柔性系绳的运动满足：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\ρ}(\stackrel{..}{z}-2\mathrm{\ω}\stackrel{.}{z})=N_x^{\′}\\ \mathrm{\ρ}(\stackrel{..}{y}+{\mathrm{\ω}}^{2}y)=N_y^{\′}\\ \mathrm{\ρ}(\stackrel{..}{z}+2\mathrm{\ω}\stackrel{.}{x}-{3\mathrm{\ω}}^{2}z)=N_y^{\′}\end{array}---\left(18\right)\right.$

式中，系绳总的自然长度L＝200m，系绳的线密度ρ＝4.524×10^-3kg/m，空间绳系机器人系统的运行轨道为标准圆形，轨道角速度ω＝0.0011085rad/s，N_x、N_y和N_z表示系绳中的张力在三个坐标轴上的分量，系绳中的张力满足胡克定律：

$\left[\begin{array}{c}{N}_x\\ N_x\\ N_z\end{array}\right]=\mathrm{EA}(1-\frac{1}{\left|r^{\′}\right|})\left[\begin{array}{c}{x}^{\′}\\ y^{\′}\\ z^{\′}\end{array}\right]---\left(19\right)$

式中，系绳的弹性刚度EA＝104×10⁵N。空间平台的运动满足：

x(ξ)＝y(ξ)＝z(ξ)＝0         (20)

末端机构的运动满足：

$\left\{\begin{array}{c}M[\stackrel{..}{x}\left(L\right)-2\mathrm{\ω}\stackrel{.}{z}\left(L\right)]=F_{\mathrm{Rx}}-N_x\left(L\right)\\ M[\stackrel{..}{y}\left(L\right)+{\mathrm{\ω}}^{2}y\left(L\right)]=F_{\mathrm{Ry}}-N_y\left(L\right)\\ M[\stackrel{..}{z}\left(L\right)+2\mathrm{\ω}\stackrel{.}{x}\left(L\right)-{3\mathrm{\ω}}^{2}z\left(L\right)]=F_{\mathrm{Rz}}-N_z\left(L\right)\end{array}---\left(21\right)\right.$

式中，作用在末端机器人上的机动力F_Rx＝F_Ry＝F_Rz＝0，末端机器人的质量M＝10kg；

2、系绳离散分段

初始将系绳分为3段，即令n＝2，将靠近末端执行机构的绳段编号为1，靠近释放点的绳段编号为n+1，如图2所示，前n段系绳的自然长度l＝1，最后一段系绳的初始自然长度η＝1，记第n段系绳和第n+1段系绳之间的连接点为结合点C；

3、第n+1段系绳的离散求解

针对受力情况比较复杂的第n+1段系绳（ξ≤s≤ξ+η），采用高精度的Ritz法进行离散化，选取基函数

u_i＝v_i＝w_i＝(s-ξ)ⁱ，

其中，i＝1,2,3，s满足ξ≤s≤ξ+η，于是系绳上点的坐标可近似写为：

$\left\{\begin{array}{c}\tilde{x}\left(t\right)=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{u}_i(s,\mathrm{\ξ}\left(t\right))a_i\left(t\right)\\ \tilde{y}\left(t\right)=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{v}_i(s,\mathrm{\ξ}\left(t\right))b_i\left(t\right)\\ \tilde{z}\left(t\right)=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{w}_i(s,\mathrm{\ξ}\left(t\right))c_i\left(t\right)\end{array}---\left(22\right)\right.$

将位置近似值代入系绳动力学方程(18)可得：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\ρ}(\stackrel{\stackrel{..}{~}}{x}-2\mathrm{\ω}\stackrel{\stackrel{.}{~}}{z})\≈N_x^{\′}\\ \mathrm{\ρ}(\stackrel{\stackrel{..}{~}}{y}+{\mathrm{\ω}}^2\tilde{y})\≈N_y^{\′}\\ \mathrm{\ρ}\left(\stackrel{\stackrel{..}{~}}{z}+2\mathrm{\ω}\stackrel{\stackrel{.}{~}}{x}-{3\mathrm{\ω}}^2\tilde{z}\right)\≈N_z^{\′}\end{array}\right.$

为了使得上式的近似误差最小，由Ritz法可知(22)式中系数需满足：

$\left\{\begin{array}{c}\underset{\mathrm{\ξ}}{\overset{L}{\∫}}\left[\mathrm{\ρ}(\stackrel{..}{x}-2n\stackrel{.}{z}-N_x^{\′})\right]u_i\mathrm{ds}+[N_x\left(L\right)-F_{0x}]u_i\left(L\right)=0\\ \underset{\mathrm{\ξ}}{\overset{L}{\∫}}[\mathrm{\ρ}(\stackrel{..}{y}+n^{2}y)-N_y^{\′}]v_i\mathrm{ds}+[N_y\left(L\right)-F_{0y}]v_i\left(L\right)=0\\ \underset{\mathrm{\ξ}}{\overset{L}{\∫}}[\mathrm{\ρ}(\stackrel{..}{z}+2n\stackrel{.}{x}-{3n}^{2}z)-N_z^{\′}]w_i\mathrm{ds}+[N_z\left(L\right)-F_{0z}]w_i\left(L\right)=0\end{array}\right.$

将上式写成矩阵形式可得：

$\left\{\begin{array}{c}{M}_1\stackrel{..}{a}+2\stackrel{.}{\mathrm{\ξ}}{M}_2\stackrel{.}{a}+(\stackrel{..}{\mathrm{\ξ}}{M}_2+{\stackrel{.}{\mathrm{\ξ}}}^2{M}_3)a-2n{M}_4\stackrel{.}{c}-2n\stackrel{.}{\mathrm{\ξ}}{M}_{5}c=U\\ M_6\stackrel{..}{b}+2\stackrel{.}{\mathrm{\ξ}}{M}_7\stackrel{.}{b}+(\stackrel{..}{\mathrm{\ξ}}{M}_7+{\stackrel{.}{\mathrm{\ξ}}}^2{M}_8)b+n^2{M}_{6}b=V\\ M_9\stackrel{..}{c}+2\stackrel{.}{\mathrm{\ξ}}{M}_{10}\stackrel{.}{c}+(\stackrel{..}{\mathrm{\ξ}}{M}_{10}+{\stackrel{.}{\mathrm{\ξ}}}^2{M}_{11}-{3n}^2{M}_9)c+2n{M}_{12}\stackrel{.}{a}+2n\stackrel{.}{\mathrm{\ξ}}{M}_{13}a=W\end{array}---\left(23\right)\right.$

式中，

a＝(a₁,a₂,a₃)^T，b＝(b₁,b₂,b₃)^T，c＝(c₁,c₂,c₃)^T，

$M_1=\left[{\∫}_{\mathrm{\ξ}}^{\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η}}{u}_i{u}_j\mathrm{ds}\right],$ $M_2=\left[{\∫}_{\mathrm{\ξ}}^{\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η}}{u}_i\frac{{\∂u}_j}{\∂\mathrm{\ξ}}\mathrm{ds}\right],$ $M_3=\left[{\∫}_{\mathrm{\ξ}}^{\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η}}{u}_i\frac{{\∂}^2{u}_j}{{\∂\mathrm{\ξ}}^2}\mathrm{ds}\right],$

$M_4=\left[{\∫}_{\mathrm{\ξ}}^{\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η}}{u}_i{w}_j\mathrm{ds}\right],$ $M_5=\left[{\∫}_{\mathrm{\ξ}}^{\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η}}{u}_i\frac{{\∂w}_j}{\∂\mathrm{\ξ}}\mathrm{ds}\right],$ $M_6=\left[{\∫}_{\mathrm{\ξ}}^{\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η}}{v}_i{v}_j\mathrm{ds}\right],$

$M_7=\left[{\∫}_{\mathrm{\ξ}}^{\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η}}{v}_i\frac{{\∂v}_j}{\∂\mathrm{\ξ}}\mathrm{ds}\right],$ $M_8=\left[{\∫}_{\mathrm{\ξ}}^{\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η}}{v}_i\frac{{\∂}^2{v}_j}{{\∂\mathrm{\ξ}}^2}\mathrm{ds}\right],$ $M_9=\left[{\∫}_{\mathrm{\ξ}}^{\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η}}{w}_i{w}_j\mathrm{ds}\right],$

$M_{10}=\left[{\∫}_{\mathrm{\ξ}}^{\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η}}{w}_i\frac{{\∂w}_j}{\∂\mathrm{\ξ}}\mathrm{ds}\right],$ $M_{11}=\left[{\∫}_{\mathrm{\ξ}}^{\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η}}{w}_i\frac{{\∂}^2{w}_j}{{\∂\mathrm{\ξ}}^2}\mathrm{ds}\right],$ $M_{12}=\left[{\∫}_{\mathrm{\ξ}}^{\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η}}{w}_i{u}_j\mathrm{ds}\right],$

$m_{13}=\left[{\∫}_{\mathrm{\ξ}}^{\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η}}{w}_i\frac{{\∂u}_j}{\∂\mathrm{\ξ}}\mathrm{ds}\right],$ (i＝1,2,3,j＝1,2,3)

$U=-F_{n,c}^{x}u\left(L\right)-{\∫}_{\mathrm{\ξ}}^{\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η}}{N}_x\frac{\∂u}{\∂s}\mathrm{ds},$ $V=-F_{n,c}^{y}v\left(L\right)-{\∫}_{\mathrm{\ξ}}^{\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η}}{N}_y\frac{\∂v}{\∂s}\mathrm{ds},$ $W=-F_{n,c}^{z}w\left(L\right)-{\∫}_{\mathrm{\ξ}}^{\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η}}{N}_z\frac{\∂w}{\∂s}\mathrm{ds}$

其中，u＝(u₁,u₂,u₃)^T，v＝(v₁,v₂,v₃)^T，w＝(w₁,w₂,w₃)^T，

和表示第n段系绳上的作用力F_n,c在轨道坐标系三个坐标轴上的分量，其表达式将在步骤4中得到；

4、前n段系绳的近似求解

对于受力情况比较简单的前n段系绳，可将它们近似简化为无质量的弹性杆，并将它们的质量集中到连接相邻两根杆的节点上。对于第1段系绳，由于它有一侧连接在末端执行机构上，因此可以直接将末端执行机构设为一个节点，节点的质量由末端执行机构的质量与等效的系绳质量相加得到；对于第n段系绳，结合点C为其两个节点之一，而由步骤3可知C点的坐标满足：

$\left[\begin{array}{c}{\tilde{x}}_C\\ {\tilde{y}}_C\\ {\tilde{z}}_C\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{a}_i{u}_i(\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η})\\ \underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{b}_i{v}_i(\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η})\\ \underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{c}_i{w}_i(\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η})\end{array}\right]$

因此只需要考虑一个节点的运动。从末端执行机构开始依次对节点进行编号，从而获得了编号为1~n的n个有质量无体积的“珠点”，它们的运动满足：

$\left\{\begin{array}{c}{m}_i({\stackrel{\stackrel{..}{~}}{x}}_i-2\mathrm{\ω}{\stackrel{\stackrel{.}{~}}{z}}_i)=F_{i-1,i}^x-F_{i,i+1}^x\\ m_i(\stackrel{\stackrel{..}{~}}{y_i}+{\mathrm{\ω}}^2{\tilde{y}}_i)=F_{i-1,i}^y-F_{i,i+1}^y\\ m_i({\stackrel{\stackrel{..}{~}}{z}}_i+2\mathrm{\ω}{\stackrel{\stackrel{.}{~}}{x}}_i-{3\mathrm{\ω}}^2{\tilde{z}}_i)=F_{i-1,i}^z-F_{i,i+1}^z\end{array}\right.---\left(24\right)$

式中，i＝1,2,…,n，

$\left[\begin{array}{c}{F}_{\mathrm{0,1}}^x\\ F_{\mathrm{0,1}}^y\\ F_{\mathrm{0,1}}^z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{F}_{\mathrm{Rx}}\\ F_{\mathrm{Ry}}\\ F_{\mathrm{Rz}}\end{array}\right],$

$\left[\begin{array}{c}{F}_{k,k+1}^x\\ F_{k,k+1}^y\\ F_{k,k+1}^z\end{array}\right]=\mathrm{EA}(\frac{1}{l}-\frac{1}{d_{k,k+1}})\left[\begin{array}{c}{\tilde{x}}_k-{\tilde{x}}_{k+1}\\ {\tilde{y}}_k-{\tilde{y}}_{k+1}\\ {\tilde{z}}_k-{\tilde{z}}_{k+1}\end{array}\right],$

$\left[\begin{array}{c}{F}_{n,n+1}^x\\ F_{n,n+1}^y\\ F_{n,n+1}^z\end{array}\right]=F_{n,c}=\left[\begin{array}{c}{F}_{n,c}^x\\ F_{n,c}^y\\ F_{n,c}^z\end{array}\right]=\mathrm{EA}(\frac{1}{l}-\frac{1}{d_{n,c}})\left[\begin{array}{c}{\tilde{x}}_n-{\tilde{x}}_c\\ {\tilde{y}}_n-{\tilde{y}}_c\\ {\tilde{z}}_n-{\tilde{z}}_c\end{array}\right],$

其中，k＝1,2,…,n-1，

$d_{k,k+1}=\sqrt{{({\tilde{x}}_{i+1}-{\tilde{x}}_i)}^2+{({\tilde{y}}_{i+1}-{\tilde{y}}_i)}^2+{({\tilde{z}}_{i+1}-{\tilde{z}}_i)}^2},$

$d_{n,c}=\sqrt{{({\tilde{x}}_n-{\tilde{x}}_c)}^2+{({\tilde{y}}_n-{\tilde{y}}_c)}^2+{({\tilde{z}}_n-{\tilde{z}}_c)}^2};$

5、选取系绳释放控制率

系绳释放的加速度控制率为：

$\stackrel{..}{\mathrm{\ξ}}=-\frac{d^{2}r}{{\mathrm{dt}}^2}=-\frac{\stackrel{\·}{p}{r}^2-p^2}{r^3}---\left(25\right)$

式中， $r={(x_1^2+y_1^2+z_1^2)}^{1/2},$ $p=x_1{\stackrel{.}{x}}_1+y_1{\stackrel{.}{y}}_1+z_1{\stackrel{.}{z}}_1;$

6、离散方程的积分求解

对(23)、(24)、(25)式构成的常微分方程组，设定系统初始状态如下：

通过四阶Runge-Kutta方法（取积分步长为5×10^-5s）对进行积分求解，完成空间绳系机器人系统的仿真任务；

在计算过程中，第n+1段系绳的自然长度η会随着时间不断增长，每当η超过了设定的上限η_max（设为3.5l）时，在第n+1段系绳上插入一个新的节点，它与原结合点之间的绳段长度为l，它的位置满足：

$\left\{\begin{array}{c}{\tilde{x}}_{C^{*}}=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{u}_i(\mathrm{\η}-l)a_i\\ {\tilde{y}}_{C^{*}=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{v}_i(\mathrm{\η}-l)b_i}\\ {\tilde{z}}_{C^{*}}=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{w}_i(\mathrm{\η}-l)c_i\end{array}\right.$

如图3所示，同时将n的值增加1，并将新的节点与原结合点之间的系绳近似为弹性杆，继续进行模型的求解。

Claims (3)

1.一种基于混合单元法的空间绳系机器人系统的仿真方法，其特征在于：空间绳系机器人系统是通过系绳连接空间平台和末端执行机构，仿真步骤如下：

步骤1：建立空间绳系机器人系统的数学模型，空间绳系机器人中柔性系绳的运动满足：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\ρ}(\stackrel{..}{x}-2\mathrm{\ω}\stackrel{.}{z})=N_x^{\′}\\ \mathrm{\ρ}(\stackrel{..}{y}+{\mathrm{\ω}}^{2}y)=N_y^{\′}\\ \mathrm{\ρ}(\stackrel{..}{z}+2\mathrm{\ω}\stackrel{.}{x}-{3\mathrm{\ω}}^{2}z)=N_z^{\′}\end{array}\right.---\left(1\right)$

式中，ρ表示系绳密度，x、y和z表示系绳上的点在轨道坐标系中的坐标，N_x、N_y和N_z表示系绳中的张力在三个坐标轴上的分量，ω表示空间绳系机器人系统的轨道角速度；

系绳中的张力满足胡克定律：

$\left[\begin{array}{c}{N}_x\\ N_x\\ N_z\end{array}\right]=\mathrm{EA}(1-\frac{1}{\left|r^{\′}\right|})\left[\begin{array}{c}{x}^{\′}\\ y^{\′}\\ z^{\′}\end{array}\right]---\left(2\right)$

式中，EA表示系绳的弹性刚度， $\left|r^{\′}\right|=\sqrt{{\left(x^{\′}\right)}^2+{\left(y^{\′}\right)}^2+{\left(z^{\′}\right)}^2}$

空间平台的运动满足：x(ξ)＝y(ξ)＝z(ξ)＝0             (3)末端机构运动满足：

$\left\{\begin{array}{c}M[\stackrel{..}{x}\left(L\right)-2\mathrm{\ω}\stackrel{.}{z}\left(L\right)]=F_{\mathrm{Rx}}-N_x\left(L\right)\\ M[\stackrel{..}{y}\left(L\right)+{\mathrm{\ω}}^{2}y\left(L\right)]=F_{\mathrm{Ry}}-N_y\left(L\right)\\ M[\stackrel{..}{z}\left(L\right)+2\mathrm{\ω}\stackrel{.}{x}\left(L\right)-{3\mathrm{\ω}}^{2}z\left(L\right)]=F_{\mathrm{Rz}}-N_z\left(L\right)\end{array}---\left(4\right)\right.$

式中，M表示末端执行机构的质量，F_Rx、F_Ry和F_Rz分别表示作用在末端执行机构上的机动力；

步骤2：将系绳按自然长度分割为n+1段，并将靠近末端执行机构的绳段编号为1，靠近释放点的绳段编号为n+1，前n段系绳的自然长度为l，最后一段系绳的自然长度为η，且在释放过程中，η满足η＝L-ξ-nl；

记第n段系绳和第n+1段系绳之间的连接点为结合点C；ξ表示释放机构处的自然坐标，L表示系绳总的自然长度；

步骤3：采用高精度的Ritz法对第n+1段系绳ξ≤s≤ξ+η进行离散化，选取基函数u_i＝v_i＝w_i＝(s-ξ)ⁱ，其中：s表示系绳上点的自然坐标，定义域为[ξ，L]，i＝1,2,…,m；

系绳上点的坐标为： $\left\{\begin{array}{c}\tilde{x}\left(t\right)=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{u}_i(s,\mathrm{\ξ}\left(t\right))a_i\left(t\right)\\ \tilde{y}\left(t\right)=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{v}_i(s,\mathrm{\ξ}\left(t\right))b_i\left(t\right)\\ \tilde{z}\left(t\right)=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{w}_i(s,\mathrm{\ξ}\left(t\right))c_i\left(t\right)\end{array}---\left(5\right)\right.$

得 $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\ρ}(\stackrel{\stackrel{..}{~}}{x}-2\mathrm{\ω}\stackrel{\stackrel{.}{~}}{z})\≈N_x^{\′}\\ \mathrm{\ρ}(\stackrel{\stackrel{..}{~}}{y}+{\mathrm{\ω}}^2\tilde{y})\≈N_y^{\′}\\ \mathrm{\ρ}\left(\stackrel{\stackrel{..}{~}}{z}+2\mathrm{\ω}\stackrel{\stackrel{.}{~}}{x}-{3\mathrm{\ω}}^2\tilde{z}\right)\≈N_z^{\′}\end{array}\right.,$

上式的系数满足： $\left\{\begin{array}{c}\underset{\mathrm{\ξ}}{\overset{L}{\∫}}\left[\mathrm{\ρ}(\stackrel{..}{x}-2n\stackrel{.}{z}-N_x^{\′})\right]u_i\mathrm{ds}+[N_x\left(L\right)-F_{0x}]u_i\left(L\right)=0\\ \underset{\mathrm{\ξ}}{\overset{L}{\∫}}[\mathrm{\ρ}(\stackrel{..}{y}+n^{2}y)-N_y^{\′}]v_i\mathrm{ds}+[N_y\left(L\right)-F_{0y}]v_i\left(L\right)=0\\ \underset{\mathrm{\ξ}}{\overset{L}{\∫}}[\mathrm{\ρ}(\stackrel{..}{z}+2n\stackrel{.}{x}-{3n}^{2}z)-N_z^{\′}]w_i\mathrm{ds}+[N_z\left(L\right)-F_{0z}]w_i\left(L\right)=0\end{array}\right.,$

将上式写成矩阵形式得：

$\left\{\begin{array}{c}{M}_1\stackrel{..}{a}+2\stackrel{.}{\mathrm{\ξ}}{M}_2\stackrel{.}{a}+(\stackrel{..}{\mathrm{\ξ}}{M}_2+{\stackrel{.}{\mathrm{\ξ}}}^2{M}_3)a-2n{M}_4\stackrel{.}{c}-2n\stackrel{.}{\mathrm{\ξ}}{M}_{5}c=U\\ M_6\stackrel{..}{b}+2\stackrel{.}{\mathrm{\ξ}}{M}_7\stackrel{.}{b}+(\stackrel{..}{\mathrm{\ξ}}{M}_7+{\stackrel{.}{\mathrm{\ξ}}}^2{M}_8)b+n^2{M}_{6}b=V\\ M_9\stackrel{..}{c}+2\stackrel{.}{\mathrm{\ξ}}{M}_{10}\stackrel{.}{c}+(\stackrel{..}{\mathrm{\ξ}}{M}_{10}+{\stackrel{.}{\mathrm{\ξ}}}^2{M}_{11}-{3n}^2{M}_9)c+2n{M}_{12}\stackrel{.}{a}+2n\stackrel{.}{\mathrm{\ξ}}{M}_{13}a=W\end{array}---\left(6\right)\right.$

式中，a＝(a₁,a₂,…,a_m)^T，b＝(b₁,b₂,…,b_m)^T，c＝(c₁,c₂,…,c_m)^T，

$M_1=\left[{\∫}_{\mathrm{\ξ}}^{\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η}}{u}_i{u}_j\mathrm{ds}\right],$ $M_2=\left[{\∫}_{\mathrm{\ξ}}^{\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η}}{u}_i\frac{{\∂u}_j}{\∂\mathrm{\ξ}}\mathrm{ds}\right],$ $M_3=\left[{\∫}_{\mathrm{\ξ}}^{\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η}}{u}_i\frac{{\∂}^2{u}_j}{{\∂\mathrm{\ξ}}^2}\mathrm{ds}\right],$ $M_4=\left[{\∫}_{\mathrm{\ξ}}^{\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η}}{u}_i{w}_j\mathrm{ds}\right],$

$M_5=\left[{\∫}_{\mathrm{\ξ}}^{\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η}}{u}_i\frac{{\∂w}_j}{\∂\mathrm{\ξ}}\mathrm{ds}\right],$ $M_6=\left[{\∫}_{\mathrm{\ξ}}^{\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η}}{v}_i{v}_j\mathrm{ds}\right],$ $M_7=\left[{\∫}_{\mathrm{\ξ}}^{\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η}}{v}_i\frac{{\∂v}_j}{\∂\mathrm{\ξ}}\mathrm{ds}\right],$ $M_8=\left[{\∫}_{\mathrm{\ξ}}^{\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η}}{v}_i\frac{{\∂}^2{v}_j}{{\∂\mathrm{\ξ}}^2}\mathrm{ds}\right],$

$M_9=\left[{\∫}_{\mathrm{\ξ}}^{\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η}}{w}_i{w}_j\mathrm{ds}\right],$ $M_{10}=\left[{\∫}_{\mathrm{\ξ}}^{\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η}}{w}_i\frac{{\∂w}_j}{\∂\mathrm{\ξ}}\mathrm{ds}\right],$ $M_{11}=\left[{\∫}_{\mathrm{\ξ}}^{\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η}}{w}_i\frac{{\∂}^2{w}_j}{{\∂\mathrm{\ξ}}^2}\mathrm{ds}\right],$ $M_{12}=\left[{\∫}_{\mathrm{\ξ}}^{\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η}}{w}_i{u}_j\mathrm{ds}\right],$

$m_{13}=\left[{\∫}_{\mathrm{\ξ}}^{\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η}}{w}_i\frac{{\∂u}_j}{\∂\mathrm{\ξ}}\mathrm{ds}\right],$ (i＝1,2,…,m,j＝1,2,…,m)

$U=-F_{n,c}^{x}u\left(L\right)-{\∫}_{\mathrm{\ξ}}^{\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η}}{N}_x\frac{\∂u}{\∂s}\mathrm{ds},$ $V=-F_{n,c}^{y}v\left(L\right)-{\∫}_{\mathrm{\ξ}}^{\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η}}{N}_y\frac{\∂v}{\∂s}\mathrm{ds},$ $W=-F_{n,c}^{z}w\left(L\right)-{\∫}_{\mathrm{\ξ}}^{\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η}}{N}_z\frac{\∂w}{\∂s}\mathrm{ds}$

其中，u＝(u₁,u₂,…,u_m)^T，v＝(v₁,v₂,…,v_m)^T，w＝(w₁,w₂,…,w_m)^T，和

表示第n段系绳上的作用力F_n,c在轨道坐标系三个坐标轴上的分量；

步骤4：对于第1段系绳，将末端执行机构设为一个节点，节点的质量由末端执行机构的质量与等效的系绳质量相加得到；对于第n段系绳，结合点C为其两个节点之一，而由步骤3可知C点的坐标满足：

$\left[\begin{array}{c}{\tilde{x}}_C\\ {\tilde{y}}_C\\ {\tilde{z}}_C\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{a}_i{u}_i(\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η})\\ \underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{b}_i{v}_i(\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η})\\ \underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{c}_i{w}_i(\mathrm{\ξ}+\mathrm{\η})\end{array}\right];$

从末端执行机构开始依次对节点进行编号，从而获得了编号为1~n的n个有质量无体积的“珠点”，它们的运动满足：

$\left\{\begin{array}{c}{m}_i({\stackrel{\stackrel{..}{~}}{x}}_i-2\mathrm{\ω}{\stackrel{\stackrel{.}{~}}{z}}_i)=F_{i-1,i}^x-F_{i,i+1}^x\\ m_i(\stackrel{\stackrel{..}{~}}{y_i}+{\mathrm{\ω}}^2{\tilde{y}}_i)=F_{i-1,i}^y-F_{i,i+1}^y\\ m_i({\stackrel{\stackrel{..}{~}}{z}}_i+2\mathrm{\ω}{\stackrel{\stackrel{.}{~}}{x}}_i-{3\mathrm{\ω}}^2{\tilde{z}}_i)=F_{i-1,i}^z-F_{i,i+1}^z\end{array}\right.---\left(7\right)$

式中：

$\left[\begin{array}{c}{F}_{\mathrm{0,1}}^x\\ F_{\mathrm{0,1}}^y\\ F_{\mathrm{0,1}}^z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{F}_{\mathrm{Rx}}\\ F_{\mathrm{Ry}}\\ F_{\mathrm{Rz}}\end{array}\right],$

$\left[\begin{array}{c}{F}_{k,k+1}^x\\ F_{k,k+1}^y\\ F_{k,k+1}^z\end{array}\right]=\mathrm{EA}(\frac{1}{l}-\frac{1}{d_{k,k+1}})\left[\begin{array}{c}{\tilde{x}}_k-{\tilde{x}}_{k+1}\\ {\tilde{y}}_k-{\tilde{y}}_{k+1}\\ {\tilde{z}}_k-{\tilde{z}}_{k+1}\end{array}\right],$

$\left[\begin{array}{c}{F}_{n,n+1}^x\\ F_{n,n+1}^y\\ F_{n,n+1}^z\end{array}\right]=F_{n,c}=\left[\begin{array}{c}{F}_{n,c}^x\\ F_{n,c}^y\\ F_{n,c}^z\end{array}\right]=\mathrm{EA}(\frac{1}{l}-\frac{1}{d_{n,c}})\left[\begin{array}{c}{\tilde{x}}_n-{\tilde{x}}_c\\ {\tilde{y}}_n-{\tilde{y}}_c\\ {\tilde{z}}_n-{\tilde{z}}_c\end{array}\right],$

其中，k＝1,2,…,n-1，

$d_{k,k+1}=\sqrt{{({\tilde{x}}_{i+1}-{\tilde{x}}_i)}^2+{({\tilde{y}}_{i+1}-{\tilde{y}}_i)}^2+{({\tilde{z}}_{i+1}-{\tilde{z}}_i)}^2},$

$d_{n,c}=\sqrt{{({\tilde{x}}_n-{\tilde{x}}_c)}^2+{({\tilde{y}}_n-{\tilde{y}}_c)}^2+{({\tilde{z}}_n-{\tilde{z}}_c)}^2};$

步骤5：选择系绳的释放加速度控制率，其表达式为：

$\stackrel{..}{\mathrm{\ξ}}=f(\mathrm{\ξ},\stackrel{.}{\mathrm{\ξ}},{\tilde{x}}_i,{\tilde{y}}_i,{\tilde{z}}_i,{\stackrel{\stackrel{.}{~}}{x}}_i,{\stackrel{\stackrel{.}{~}}{y}}_i,{\stackrel{\stackrel{.}{~}}{z}}_i,{\stackrel{\stackrel{..}{~}}{x}}_i,{\stackrel{\stackrel{..}{~}}{y}}_i,{\stackrel{\stackrel{..}{~}}{z}}_i)---\left(8\right)$

步骤6：使用四阶Runge-Kutta方法对(6)、(7)、(8)式构成的常微分方程组进行积分求解，完成空间绳系机器人系统的仿真任务；

在计算过程中，第n+1段系绳的自然长度η会随着时间不断增长，每当η超过了设定的上限η_max时，在第n+1段系绳上插入一个新的节点，它与原结合点之间的绳段长度为l，它的位置满足：

$\left\{\begin{array}{c}{\tilde{x}}_{C^{*}}=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{u}_i(\mathrm{\η}-l)a_i\\ {\tilde{y}}_{C^{*}=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{v}_i(\mathrm{\η}-l)b_i}\\ {\tilde{z}}_{C^{*}}=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{w}_i(\mathrm{\η}-l)c_i\end{array}\right.$

将n的值增加1，并将新的节点与原结合点之间的系绳近似为弹性杆，继续进行求解。

2.根据权利要求1所述基于混合单元法的空间绳系机器人系统的仿真方法，其特征在于：所述l取0.5m～5m，η不超过5l。

3.根据权利要求1所述基于混合单元法的空间绳系机器人系统的仿真方法，其特征在于：所述上限η_max为3l~5l。

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