CN102998540A - 共形承载微带天线阵面形貌对电性能影响的预测方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种共形承载微带天线阵面形貌对电性能影响的预测方法，主要解决现有技术不能预测阵面形貌变化对电性能影响的问题。其实现步骤是：（1）根据设计指标，建立几何模型，获得理想阵面形貌；（2）利用分形函数描述制造引起的阵面形貌误差，并施加气动和温度载荷到其力学模型中，获得阵面变形数据；（3）根据变形数据，利用多核支持向量回归重构服役载荷导致的阵面形貌变化量；（4）通过修正理想阵面形貌，得到实际阵面形貌；（5）根据实际阵面形貌，计算天线电性能，并根据提取的电性能指标修改天线结构以获得最优天线设计。本发明能够评估阵面形貌变化对电性能的影响程度，实现机电集成分析，缩短研制周期，降低研制成本。

Description

共形承载微带天线阵面形貌对电性能影响的预测方法

技术领域

本发明属于天线技术领域，具体涉及共形承载微带天线阵面形貌对电性能影响的预测方法，该方法可用于机载、弹载、车载和舰载等平台中的共形承载微带天线机电综合分析、设计以及补偿控制等领域。

背景技术

共形承载微带天线是指将微带天线嵌入到武器平台的蒙皮结构中，在满足平台结构力学性能的前提下，还要实现较高的电磁性能，它可以应用到未来的各种海陆空武器装备如变体飞机、无人机、飞艇预警机、智能战车、隐身战舰等，是实现武器平台隐身化、多功能化、智能化和高机动性的关键技术。图1给出了共形承载微带天线的组成示意图，它主要由上面板1、蜂窝2、微带天线电路板3和下面板4等组成。通过使用复合成型制造工艺，把微带天线埋入到平台结构中，其中，面板具有力学承载功能，蜂窝具有隔热防护功能，而微带天线电路板主要实现电磁辐射功能。

与传统天线对比，共形承载微带天线具有结构/电路的高度融合特点，降低了天线重量和空间占用率，实现了天线与结构的共形、轻量化和小型化的统一。另外，该类型天线既可以作为力学承载功能的平台结构，也可以作为发射和接收电磁波的微波装置，满足武器平台气动性能、电磁隐身和适装性能等需求。虽然这些特点带来了结构与功能的一体化优势，但是也导致了这种天线电性能的准确预测困难。特别地，由于这种天线是通过一体化热压复合成型工艺来制造的，在其制造过程中，不可避免地会引入一些加工误差、装配误差和残余热应力，这会导致微带天线阵面形貌相对期望阵面形貌发生了改变。除此之外，当武器平台快速机动时，平台结构会受到冲击振动、温度和气动等服役载荷的影响，这些服役载荷会引起结构变形，从而导致嵌入结构中的微带天线阵面形貌发生变化。由于微带天线对阵面形貌的影响非常敏感，阵面形貌的变化会影响服役中的天线电性能。

目前，国内外一些科研机构已认识到共形承载微带天线结构和电性能之间的影响问题，并开展了一些相关研究，下面介绍国内外公开的研究情况。

(1)早在上世纪90年代，为了实现天线与飞行器结构的共形，美国在世界上率先开展了相关的研究。如波音公司设计了与机翼共形的蒙皮天线，并研究了机翼在疲劳破坏过程中天线辐射性能的变化情况。NASA也研制了一种长航程无人机的机翼，其微带天线阵列、太阳能电池阵列与机翼结构完全融为一体。飞行实验表明了扭曲、摇摆诱发的阵面应力会对电性能产生影响。这些结果在文献“Lockyer A J,Alt K H,Coughlin D P.et al.Design and development of a conformal load-bearing smart-skinantenna:overview of the AFRL smart skin structures technology demonstration(S3TD).In:Proceedings of SPIE;1999:410-424.”中有报导。虽然他们通过实验方法发现了机械应力对电性能的影响关系，然而却没有给出描述其关系的数学模型，也没有给出相关的电性能预测方法以指导设计。

(2)韩国浦项科技大学的研究团队采用层合粘接的方法将微带天线嵌入到复合结构中，从而做成共形承载天线。为了提高这种天线增益，Chisang You使用传输线理论研究了多层几何结构尺寸对天线电性能的影响关系，给出了提高天线增益的方法。该研究在文献“Chisang You,Manos M.Tentzeris,Woonbong H.Multilayer effects onmicrostrip antennas for their integration with mechanical structures.IEEE Transactions onAntennas and Propagation.2007,55(4):1051-1058.”有报道。除此之外，该团队的Kim也研究了天线阵面、蜂窝和面板之间的表面粘接情况对其力学和电性能的影响关系。该研究在文献Kim D,You C,Hwang W.Effect of adhesive bonds on electricalperformance in multi-layer composite antenna.Composite Structures.2009,90(4):413-417.有报道。尽管该团队对这种类型的天线进行了深入研究，然而，他们并没有研究服役和制造中的阵面形貌变化对天线电性能的影响关系。

(3)国内的东华大学研制了一种基于三维正交机织复合材料的柔性共形天线。该研究通过纺织技术将微带天线嵌入到三维机织织物中。通过实验样件，他们研究了不同编织方式、复合材料、介质材料等对天线力电性能的影响关系。尽管这种天线具有柔性好和易与武器平台结构共形的特点，然而，它的力学承载性能比较差，特别是冲击载荷时，容易出现分层，塌陷等缺陷，导致整个天线功能失效。该研究在文献“FujunXu,Lan Yao,Da Zhao,et al.Performance and impact damage of a three dimensionallyintegrated microstrip feeding antenna structure.Composite Structures.2010,93(1):193-197.”有报道。

(4)哈尔滨工业大学复合材料研究所研制了以环氧玻璃纤维板和聚四氟乙烯板为介质基板的埋微带天线叠层结构样件，并研究了不同介电参数和蜂窝夹层厚度对天线力电性能的影响规律。然而他们没有研究这种天线在服役环境和成型制造中的阵面形貌变化对天线电性能的影响规律。该研究在文献“戴福洪,王广宁.埋微带天线蜂窝夹层结构的力电性能分析.复合材料学报,2011,28(2):231-234.”有报道。

上面公开文献还存在以下不足：1)上述文献虽然使用实验方法发现了机械应力、蜂窝、介质材料等因素会影响天线的力电性能，然而在理论方面缺乏阵面形貌对电性能影响的预测方法，导致在设计阶段不能预测制造和服役中的阵面形貌对电性能的影响程度。2)由于该类型天线具有集成度高、材料非均匀性和多学科性，现有技术通常使用实验样件凭经验的设计方法，导致了研制成本高、周期长和产品性能一致性差。

发明内容

本发明的目的在于针对共形承载微带天线电性能的影响问题，提供了一种阵面形貌变化对电性能影响的预测方法，以便分析制造和服役中的阵面形貌变化对电性能的影响程度，为该类型天线的机电集成分析、设计以及电性能补偿奠定理论基础，降低研制成本，提高产品性能一致性。

实现本发明目的的技术思路是，通过几何模型提取理想阵面形貌，利用分形函数描述成型制造中引起的阵面形貌误差，利用多核支持向量回归重构服役载荷导致的阵面形貌变形量，利用这些阵面形貌变化量修正理想阵面形貌，得到考虑制造和服役影响下的实际阵面形貌，并根据此阵面形貌，计算天线的电性能，获得阵面形貌对电性能的影响程度。具体步骤包括如下：

(1)指定的设计指标d，设计共形承载微带天线结构的几何模型，并通过该模型提取理想情况下的阵面形貌高度S₀(x,y)，其中，x,y分别表示阵面轮廓横坐标和纵坐标；

(2)根据设计指标确定阵面平面度R_a，利用Weierstrass-Mandelbrot分形函数构造一体化成型制造中由加工、装配和成型残余热应力引起的阵面形貌高度误差函数ΔS₁(x,y)：

$\mathrm{\Δ}{S}_1(x,y)=\frac{R_{a}z(x,y)}{\max \left(z(x,y)\right)}$

式中，z(x,y)是指利用Weierstrass-Mandelbrot分形函数描述的实际阵面形貌偏离理想形貌的微观起伏程度；

(3)把共形承载微带天线的几何模型导入到有限元软件中，并施加气动载荷和温度载荷，获得服役载荷导致的阵面形貌变形数据集Z；

(4)根据阵面形貌变形数据集Z进行三维重构，获得服役载荷导致的阵面形貌高度变形函数：

$f\left(X\right)=\underset{r=1}{\overset{L}{\mathrm{\Σ}}}\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}({\mathrm{\α}}_{\mathrm{ri}}^{+}-{\mathrm{\α}}_{\mathrm{ri}}^{-})k_r(X,X_i)+b$

式中，向量X=[x,y]^T表示阵面轮廓的横坐标和纵坐标，T表示向量或矩阵的转置运算，L表示核函数的个数，k_r(X,X_i)表示第r个核函数k(X,X_i)，N表示阵面形貌变形数据Z的个数，向量X_i表示第i个数据样本，参数

分别表示函数f(X)的正负支持向量，b表示函数f(X)的偏置项；

(5)利用阵面形貌高度误差函数ΔS₁(x,y)和阵面形貌高度的变形函数f(X)，修正理想阵面形貌轮廓高度S₀(x,y)，获得共形承载微带天线在成型制造和服役载荷影响下的实际阵面形貌函数S(x,y)：

S(x,y)=S₀(x,y)+ΔS₁(x,y)+f(X)，

(6)根据获得的实际阵面形貌函数S(x,y)，根据电磁学原理，计算共形承载微带天线的远场辐射电场：

$E\left(r\right)=-\mathrm{jk}\frac{e^{-\mathrm{jkR}}}{4\mathrm{\πR}}{\∫}_{\mathrm{\Ω}}M\left(r\right)\×\hat{R}{e}^{\mathrm{jkR}\·\hat{R}}\mathrm{d\Ω},$

式中，积分方程表示对实际阵面进行面积分，E(r)表示从原点到矢量r处的辐射电场，k表示电磁波传播常数，变量Ω表示实际阵面形貌S(x,y)确定的表面，M(r)表示与实际阵面S(x,y)正切的磁表面电流，R是坐标原点到观察点的距离，

是坐标原点到观察点的单位方向矢量，j表示复数的虚部；

(7)从远场辐射电场E(r)中提取波束宽度BW、中心频率F、副瓣SL、驻波比V和增益G电性能指标，并使用向量D=[BW,F,SL,V,G]^T表示，其中T表示转置；

(8)把提取的电性能指标D与电性能设计指标d进行比较，并使用差值E=D-d误差来评估阵面形貌对电性能的影响程度，其中d由步骤(1)中的设计指标指定；

(9)判断误差绝对值|E|是否大于预先设定的电性能指标误差值R，该误差值R根据中心频率来设定，如果|E|≥R，修改天线的结构设计，重复上述步骤(1)~(8)，直到电性能指标满足设计指标，进而获得最优的天线设计。

上述预测方法，其特征在于所述步骤(1)的设计指标d，包括天线的中心频率、带宽、副瓣和增益以及结构强度、结构刚度和阵面平面度公差。

上述预测方法，其特征在于步骤(2)所述的利用Weierstrass-Mandelbrot分形函数构造一体化成型制造中由加工、装配和成型残余热应力引起的阵面形貌高度误差函数ΔS₁(x,y)，按如下步骤进行：

(3a)利用Weierstrass-Mandelbrot分形函数来描述成型制造后的实际阵面偏离理想阵面形貌的微观起伏程度：

$z(x,y)=L{\left(\frac{G}{L}\right)}^{D-2}{\left(\frac{1\mathrm{n\γ}}{M}\right)}^{0.5}\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\underset{n=0}{\overset{n_{\max }}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\γ}}^{(D-3)n}$

$\×\{{\cos \mathrm{\φ}}_{m,n}-\cos [\frac{{2\mathrm{\π\γ}}^n{(x^2+y^2)}^{-0.5}}{L}\×\cos ({\tan }^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)-\frac{\mathrm{\πm}}{M})+{\mathrm{\φ}}_{m,n}\left]\right\}$

式中，z(x,y)为阵面形貌轮廓的高度，L为分形取样长度，G为分形粗糙度参数，它是一个不依赖空间频率的轮廓高度参数，γ>1表示分形尺度参数，它决定表面轮廓的空间频率，D为表面轮廓的分形维数，其取值为2<D<3，它决定表面轮廓的高频和低频部分，n是求和项的个数，n_max=int[log(L/L_s)/logγ]，其中，int表示取整数运算，M表示构造分形表面叠加脊波函数的个数，L_s表示截止频率长度，它由测量装置的分辨率来决定，φ_m,n是在[-π,π]范围内服从均匀分布的随机相位；

(3b)根据阵面平面度R_a和阵面形貌轮廓的高度z(x,y)，构造一体化成型中由加工、装配和成型残余热应力引起的阵面形貌高度误差函数ΔS₁(x,y)：

$\mathrm{\&Delta;}{S}_1(x,y)=\frac{R_{a}z(x,y)}{\max \left(z(x,y)\right)}.$

上述的预测方法，其特征在于步骤(3)所述的“把共形承载微带天线的几何模型导入到有限元软件中，并施加气动载荷和温度载荷，获得服役载荷导致的阵面形貌变形数据集Z”，按如下步骤进行：

(4a)根据初始设计的几何模型，利用Fluent软件建立其空气动力学分析模型，获得随时间t变化的气动载荷F_q(t)；

(4b)利用热分析软件Flotherm，建立共形承载微带天线的热分析模型，获得夹层微带天线结构的时变温差载荷F_ΔT(t)；

(4c)把气动载荷F_q(t)和温度载荷F_ΔT(t)施加到有限元模型中，得到在温度载荷和气动载荷影响下的结构动力学方程：

$M\left(t\right)\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}}+C\left(t\right)\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}}+K\left(t\right)\mathrm{\&delta;}=F_q\left(t\right)+F_{\mathrm{\&Delta;T}}\left(t\right),$

式中，M(t)为时变质量矩阵，C(t)为时变阻尼矩阵，K(t)为时变刚度矩阵，它们都是时间t的函数，向量

和δ分别表示节点的加速度、速度和位移；

(4d)利用ANSYS软件求解(4c)中的动力学方程，获得天线结构在气动载荷F_q(t)和温度载荷F_ΔT(t)共同作用下的三维阵面变形图；

(4e)从三维阵面变形图中提取变形数据样本集Γ={(x_i,y_i,z_i),i＝1,2,...,N}，其中，x_i,y_i表示阵面变形的水平坐标，z_i表示变形阵面形貌的高度坐标，N表示从三维阵面变形图中抽样得到的数据样本个数；

(4f)从理想阵面形貌高度函数S₀(x,y)中提取理想数据样本集P={(x_i,y_i,h_i),i＝1,2,...,N}，其中，h_i表示理想阵面形貌的高度坐标；

(4g)根据变形阵面形貌的高度坐标z_i和理想阵面形貌的高度坐标h_i，计算水平坐标(x_i,y_i)处阵面形貌的高度变化量Δz_i：

Δz_i=z_i-h_i，

(4h)组合N个水平坐标(x_i,y_i)和高度变化量Δz_i的数据，获得温度和气动载荷引起的阵面形貌变形数据集Z={(x_i,y_i,Δz_i),i＝1,2,...,N}。

上述预测方法，其特征在于步骤(4)所述的根据阵面形貌变形数据集Z进行三维重构，获得服役载荷导致的阵面形貌高度变形函数，按如下过程进行：

(5a)将阵面形貌变形数据集Z={(x_i,y_i,Δz_i),i＝1,2,...,N}进行归一化处理，得到归一化的数据；

(5b)根据归一化的数据，使用5倍交叉验证方法确定多核支持向量回归算法中的核函数类型、核函数个数、核参数、折衷常数C和误差容限ε；

(5c)根据步骤(5b)中预先指定的核函数类型、核函数个数、核参数、折衷常数C和误差容限ε，使用线性规划求解下面的多核支持向量回归算法，获得未知参数

b和松弛变量ξ_i：

求解:

ξ_i,b

最小: $\underset{r=1}{\overset{L}{\mathrm{\&Sigma;}}}{c}_r\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}({\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{ri}}^{+}+{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{ri}}^{-})+2C\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&xi;}}_i$

限制: $\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&Delta;z}}_i-\underset{r=1}{\overset{L}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}({\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{rj}}^{+}-{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{rj}}^{-})k_r(X_i,X_j)-b\&le;\mathrm{\&epsiv;}+{\mathrm{\&xi;}}_i\\ \underset{r=1}{\overset{L}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}({\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{rj}}^{+}-{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{rj}}^{-})k_r(X_i,X_j)+b-{\mathrm{\&Delta;z}}_i\&le;\mathrm{\&epsiv;}+{\mathrm{\&xi;}}_i\\ {\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{rj}}^{+}\&GreaterEqual;0,{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{rj}}^{-}\&GreaterEqual;0,r=\mathrm{1,2}...,L,j=\mathrm{1,2},...,N\\ {\mathrm{\&xi;}}_i\&GreaterEqual;0,i=\mathrm{1,2},...,N.\end{array}\right.$

式中，c_r是非零正负支持向量的惩罚项，ξ_i表示松弛变量，k_r(X,X_i)表示第r个核函数，本发明使用了Gaussian、Polynomial和Wavelet三个核函数，即L=3；

(5d)利用(5c)中获得的和b，得到描述服役载荷导致的阵面形貌高度变形函数：

$f\left(X\right)=\underset{r=1}{\overset{L}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}({\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{ri}}^{+}-{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{ri}}^{-})k_r(X,X_i)+b.$

本发明与现有技术相比，具有如下优点：

1)本发明由于使用了分形函数来描述一体化成型制造中引起的阵面形貌随机误差，能够从微观角度深入分析阵面形貌对电性能的影响机理，克服了现有技术难以准确预测制造缺陷导致电性能降低的不足。

2)本发明使用多核支持向量回归算法建立了服役环境对电性能影响的机电耦合模型，能够准确重构服役载荷导致的结构阵面形貌变形，易于实现电磁性能的计算。

(3)本发明可以充分利用现有的气动、力学和温度分析软件，实现结构、温度和电磁的机电集成分析，不仅能够实现天线结构性能的准确分析，而且能够评估阵面变形对电磁性能的影响程度。

(4)本发明不仅可以预测制造和服役导致的阵面形貌对电性能的影响，而且可以应用到该天线的结构和电磁机电综合设计领域，从而实现基于仿真模型的机电集成设计，避免凭经验或实验设计的不足，缩短研制周期，降低其研制成本。

附图说明

图1是现有共形承载微带天线的组成示意图；

图2是本发明的预测方法流程图；

图3是本发明的共形承载微带天线电路板图；

图4是本发明的共形承载微带天线的面板图；

图5是本发明的共形承载微带天线的蜂窝图；

图6是本发明的共形载微带微带天线几何模型图；

图7是用本发明成型前的微带天线电路板；

图8是用本发明成型后共形承载微带天线样件；

图9是理想天线阵面形貌；

图10是用本发明成型制造引起的天线阵面形貌变化；

图11是用本发明服役载荷引起的阵面形貌变形；

图12是本发明预测的方向图、实测方向图及理想方向图的对比结果图；

图13是本发明预测驻波比、实测驻波比及理想驻波比的对比结果图。

具体实施方式

以下参照附图对本发明作进一步详细描述。

参照图2，本发明方法的实施步骤如下：

第一步，根据天线的电性能设计指标d和结构性能指标s，设计共形承载微带天线几何模型，并通过该模型提取理想情况下的阵面形貌高度S₀(x,y)，其中，x,y分别表示阵面轮廓横坐标和纵坐标。

本实例中，给定天线的电性能设计指标d包括中心频率f为12.5GHz,驻波比v为1.5，波束宽度bw为14.5GHz，增益g为13dB,副瓣sl为13.5DB，并用向量d=[bw,f,sl,v,g]^T表示这些电性能指标，结构性能指标s包括结构拉压强度130MPa、结构弯曲刚度3300Pa，结构阵面平面度R_a为0.3mm。

首先，根据给定的电性能设计指标设计天线电路板，即电路板的长度为120mm，宽度为90mm，厚度为1mm，如图3所示；

然后，根据给定的结构性能设计指标和微带天线电路板的长度和宽度，设计共形承载微带天线的面板和蜂窝，图4给出了本实例设计的面板，它采用环氧玻璃纤维板材料，厚度为1mm，图5给出了本实例设计的正六边形纸蜂窝，蜂窝厚度为2.5mm，其中，面板和蜂窝的长度和宽度与微带天线电路板一样；

最后，把面板、蜂窝和微带天线电路板进行一体化成型，得到图6所示的共形承载微带天线几何模型。

通过图6所示的几何模型提取理想情况下的描述该微带天线阵面形貌的数据(x,y,z)，其中，x,y分别表示阵面轮廓横坐标和纵坐标，z表示水平坐标(x,y)处对应的阵面形貌高度，为了方便表示，本发明使用函数S₀(x,y)表示阵面形貌高度，它是水平坐标(x,y)的非线性函数。

第二步，根据阵面平面度R_a设计指标，利用Weierstrass-Mandelbrot分形函数构造一体化成型制造中由加工、装配和成型残余热应力引起的阵面形貌高度误差函数ΔS₁(x,y)。

2a）利用分形函数来描述成型制造后实际阵面形貌偏离理想阵面形貌的微观起伏程度：由于阵面平面度R_a不能考虑阵面的三维形貌特征，即使天线阵面平面度数值R_a相同，实际阵面的微观形貌也会存在明显的差异，故本发明利用Weierstrass-Mandelbrot分形函数来描述实际阵面形貌偏离理想阵面形貌的微观起伏程度，其描述函数如下：

$z(x,y)=L{\left(\frac{G}{L}\right)}^{D-2}{\left(\frac{1\mathrm{n\&gamma;}}{M}\right)}^{0.5}\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{n=0}{\overset{n_{\max }}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&gamma;}}^{(D-3)n}$

$\&times;\{{\cos \mathrm{\&phi;}}_{m,n}-\cos [\frac{{2\mathrm{\&pi;\&gamma;}}^n{(x^2+y^2)}^{-0.5}}{L}\&times;\cos ({\tan }^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)-\frac{\mathrm{\&pi;m}}{M})+{\mathrm{\&phi;}}_{m,n}\left]\right\}---1)$

式中，z(x,y)为阵面形貌轮廓的微观起伏高度，L为分形取样长度，G为分形粗糙度参数，它是一个不依赖空间频率的轮廓高度参数，γ>1表示分形尺度参数，它决定表面轮廓的空间频率，D为表面轮廓的分形维数，其取值为2<D<3，它决定表面轮廓的高频和低频部分，n是求和项的个数，n_max=int[log(L/L_s)/logγ]，其中，int表示取整数运算，M表示构造分形表面叠加脊波函数的个数，L_s表示截止频率长度，它由测量装置的分辨率来决定，φ_m,n是在[-π,π]范围内服从均匀分布的随机相位；

2b）根据阵面平面度R_a和阵面形貌的微观起伏高度z(x,y)，构造一体化成型中由加工、装配和成型残余热应力引起的阵面形貌高度误差函数ΔS₁(x,y)：

$\mathrm{\&Delta;}{S}_1(x,y)=\frac{R_{a}z(x,y)}{\max \left(z(x,y)\right)}.---2)$

第三步，把共形承载微带天线的几何模型导入到有限元软件中，并施加气动载荷和温度载荷，获得服役载荷导致的阵面形貌变形数据集Z，具体实现过程如下：

3a)根据初始设计如图6所示的几何模型，利用Fluent软件建立其空气动力学分析模型，获得随时间t变化的气动载荷F_q(t)；

3b)利用热分析软件Flotherm，建立共形承载微带天线的热分析模型，获得夹层微带天线结构的时变温差载荷F_ΔT(t)；

3c)把气动载荷F_q(t)和温度载荷F_ΔT(t)施加到有限元模型中，得到在温度载荷和气动载荷影响下的结构动力学方程：

$M\left(t\right)\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}}+C\left(t\right)\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}}+K\left(t\right)\mathrm{\&delta;}=F_q\left(t\right)+F_{\mathrm{\&Delta;T}}\left(t\right)---3)$

式中，M(t)为时变质量矩阵，C(t)为时变阻尼矩阵，K(t)为时变刚度矩阵，它们都是时间t的函数，向量

和δ分别表示节点的加速度、速度和位移；

3d)利用ANSYS软件求解式3），获得天线结构在气动载荷F_q(t)和温度载荷F_ΔT(t)共同作用下的三维阵面变形图；

3e)从三维阵面变形图中提取变形数据样本集Γ={(x_i,y_i,z_i),i＝1,2,...,N}，其中，x_i,y_i表示阵面变形的水平坐标，z_i表示变形阵面形貌的高度坐标，N表示从三维阵面变形图中抽样得到的数据样本个数；

3f)从理想阵面形貌高度S₀(x,y)中提取理想数据样本集P={(x_i,y_i,h_i),i＝1,2,...,N}，其中，h_i表示理想阵面形貌的高度坐标；

3g)根据变形数据样本集Γ中的变形阵面形貌高度坐标z_i和理想数据样本集P中的理想阵面形貌高度坐标h_i，计算水平坐标(x_i,y_i)处对应的阵面形貌高度变化量Δz_i：

Δz_i=z_i-h_i                                        4)

3h)组合N个水平坐标(x_i,y_i)和高度变化量Δzi的数据，获得温度和气动载荷引起的阵面形貌变形数据集Z={(x_i,y_i,Δz_i),i＝1,2,...,N}。

第四步，根据阵面结构变形数据Z={(x_i,y_i,Δz_i),i＝1,2,...,N}，利用多核支持向量回归算法对阵面结构变形数据集Z进行重构，获得服役载荷导致的阵面形貌高度变形函数。

4a)将阵面形貌变形数据集Z={(x_i,y_i,Δz_i),i＝1,2,...,N}进行归一化处理，得到归一化的数据；

4b)根据归一化的数据，使用5倍交叉验证方法确定多核支持向量回归算法中的核函数类型、核函数个数、核参数、折衷常数C和误差容限ε；

4c)根据步骤4b)中预先指定的核函数类型、核函数个数、核参数、折衷常数C和误差容限ε，使用线性规划求解下面的多核支持向量回归算法，获得未知参数

b和ξ_i：

求解:ξ_i,b

最小: $\underset{r=1}{\overset{L}{\mathrm{\&Sigma;}}}{c}_r\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}({\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{ri}}^{+}+{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{ri}}^{-})+2C\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&xi;}}_i$

限制: $\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&Delta;z}}_i-\underset{r=1}{\overset{L}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}({\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{rj}}^{+}-{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{rj}}^{-})k_r(X_i,X_j)-b\&le;\mathrm{\&epsiv;}+{\mathrm{\&xi;}}_i\\ \underset{r=1}{\overset{L}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}({\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{rj}}^{+}-{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{rj}}^{-})k_r(X_i,X_j)+b-{\mathrm{\&Delta;z}}_i\&le;\mathrm{\&epsiv;}+{\mathrm{\&xi;}}_i\\ {\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{rj}}^{+}\&GreaterEqual;0,{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{rj}}^{-}\&GreaterEqual;0,r=\mathrm{1,2}...,L,j=\mathrm{1,2},...,N\\ {\mathrm{\&xi;}}_i\&GreaterEqual;0,i=\mathrm{1,2},...,N.\end{array}\right.---5$

式中，参数

分别表示正负支持向量，b表示偏置项，ξ_i表示松弛变量，C表示训练误差最小化与回归函数泛化能力最大化的折衷常数，c_r是正负支持向量

的惩罚项，c_r的取值与对应核函数的核参数有关，可以选择c_r等于核参数的倒数，ξ_i表示松弛变量，向量X=[x,y]^T表示阵面轮廓的横坐标和纵坐标，向量X_i表示第i个数据样本，L表示核函数的个数，N表示阵面形貌变形数据集Z的个数，k_r(X,X_i)表示第r个核函数，本发明使用了Gaussian，Polynomial和Wavelet三个核函数，其核函数表达式如表1。

表1本发明使用的核函数

为了利用现有软件Matlab中的linprog算法对5)进行求解，可以将式5)转化为矢量表示的线性规划问题，其表示形式如下：

求解:s

最小:h^Ts

限制: $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{As}\&le;B\\ s\&GreaterEqual;l\end{array}\right.---6)$

其中

$s={[{\mathrm{\&alpha;}}_1^{+},...,{\mathrm{\&alpha;}}_L^{+},{\mathrm{\&alpha;}}_1^{-},...,{\mathrm{\&alpha;}}_L^{-},\mathrm{\&xi;},b]}^T$

h=[c₁e,…c_Le,c₁e,…c_Le,2Ce,0]^T

B=[εe-y,εe+y]^T

l=[o₁,…,o_L,o₁,…,o_L,o,-∞]^T

$A=\left[\begin{array}{c}{-K}_1,...,{-K}_L,K_1,...,K_L,-E,-e\\ K_1,...,K_L,{-K}_1,...,-K_L,-E,e\end{array}\right]$

式中，s，h，B，l，A都是中介变量，它们没有物理意义，向量s∈R^(2L+1)N+1，向量h∈R^(2L+1)N+1，向量B∈R^2N，向量l∈R^(2L+1)N+1，矩阵A∈R^{2N×(2LN+N+1)}，s中的向量 ${\mathrm{\&alpha;}}_r^{+}={[{\mathrm{\&alpha;}}_{r1}^{+},{\mathrm{\&alpha;}}_{r2}^{+},...,{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{rN}}^{+}]}^T,$ s中的向量 ${\mathrm{\&alpha;}}_r^{-}={[{\mathrm{\&alpha;}}_{r1}^{-},{\mathrm{\&alpha;}}_{r2}^{-},...,{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{rN}}^{-}]}^T,$ s中的向量ξ=[ξ₁,ξ₂,…,ξ_N]^T，参数

b和ξ_i是需要求解的未知量，向量e=[1,1,…,1]^T和o=[0,0,…,0]^T表示N×1维的列矢量，K_rr=1,2,…,L表示N×N维的核矩阵，矩阵中的每一单元由所使用的核函数k_r(X_i,X_j)来计算，E是N×N维的单位阵，向量y是由阵面形貌变形数据集中高度变化量Δz_i∈R，i＝1,2,…N作为元素所形成的列矢量，T表示向量或矩阵的转置运算；

4d)利用4c)中获得的和b，得到描述服役载荷导致的阵面形貌高度变形函数：

$f\left(X\right)=\underset{r=1}{\overset{L}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}({\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{ri}}^{+}-{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{ri}}^{-})k_r(X,X_i)+b.---7)$

第五步，利用阵面形貌高度误差函数ΔS₁(x,y)和阵面形貌高度的变形函数f(X)，修正理想阵面形貌轮廓高度函数S₀(x,y)，获得共形承载微带天线在成型制造和服役载荷影响下的实际阵面形貌函数S(x,y)：

S(x,y)=S₀(x,y)+ΔS₁(x,y)+f(X)。                    8)

第六步，根据获得的实际阵面形貌函数S(x,y)，根据电磁学原理，计算共形承载微带天线的远场辐射电场：

$E\left(r\right)=-\mathrm{jk}\frac{e^{-\mathrm{jkR}}}{4\mathrm{\&pi;R}}{\&Integral;}_{\mathrm{\&Omega;}}M\left(r\right)\&times;\hat{R}{e}^{\mathrm{jkR}\&CenterDot;\hat{R}}\mathrm{d\&Omega;},---9)$

式中，积分方程表示对实际阵面进行面积分，E(r)表示从原点到矢量r处的辐射电场，k表示电磁波传播常数，M(r)表示与实际阵面S(x,y)正切的磁表面电流，R是坐标原点到观察点的距离，

是坐标原点到观察点的单位方向矢量，j表示复数的虚部，变量Ω表示实际阵面形貌S(x,y)确定的表面，在理想阵面形貌情况下，Ω由理想阵面形貌轮廓高度S₀(x,y)决定，当考虑服役载荷和制造精度影响时，Ω由实际阵面形貌函数S(x,y)来决定。

上述积分方程9)的求解可以利用数值方法来实现，现有的Feko或HFSS软件提供了这样的求解工具。利用这些软件计算其电磁性能，只要把实际阵面形貌数据导入到软件中，重新生成与实际阵面形貌对应的实体模型，就可以利用它们计算远场辐射电场，从而获得远场方向图、驻波和增益。

第七步，从远场辐射电场E(r)中提取波束宽度BW、中心频率F、副瓣SL、驻波比V和增益G电性能指标，并使用向量D=[BW,F,SL,V,G]^T表示，其中T表示转置。

第八步，把提取的电性能指标D与预期电性能设计指标d进行比较，并使用其差值E来评估阵面形貌对电性能的影响程度：

E=D-d    。                                        10)

第九步，判断绝对值误差值|E|是否大于预先设定的电性能指标误差值R，该误差值R根据中心频率来设定，如果|E|≥R，修改天线的结构设计，重复上述步骤，直到电性能指标满足设计指标，进而获得最优的天线设计。

本发明的优点可通过下面的Ku频段共形承载微带天线实验样件进一步说明。

根据图6所示的共形承载微带天线几何模型，分别加工了面板、蜂窝和微带天线电路板。图7给出了本发明加工的微带天线电路板。通过一体化热压复合成型工艺，把上下面板、蜂窝以及微带天线电路板进行一体化复合成型，得到图8所示的共形承载微带天线实验样件。

为了验证本发明方法的有效性，首先从共形承载微带天线几何模型中提取理想情况下的微带天线三维阵面形貌数据样本(x,y,z)，该数据表明了期望的阵面形貌S₀(x,y)，附图9表明了该阵面形貌，图中坐标z=0表示阵面形貌没有误差。然后，根据设计指标给出的阵面平面度R_a=0.3，利分形函数描述成型中由于加工、装配和残余应力导致的阵面形貌相对理性阵面的随机误差形貌ΔS₁(x,y)，如图10，该图中每个水平坐标(x,y)处对应的阵面形貌高度z是随机变化的，即存在阵面形貌存在微观起伏程度。

根据初始设计的几何模型，获得其气动载荷F_q(t)和温度载荷F_ΔT(t)，并施加这些载荷到ANSYS软件中，得到该天线的阵面形貌变化变形量，如图11，该图中的虚线表示理想阵面形貌，实现表示服役载荷引起的变形阵面形貌。然后，利用重构的阵面形貌高度变形量和阵面形貌误差形貌修正理想阵面形貌轮廓高度，获得实际阵面形貌。最后，根据该阵面形貌计算其电磁辐射性能，结果如图12和图13。图12给出了本发明预测方向图、理想阵面和实测结果的对比情况，其中，理想阵面表示不考虑阵面形貌变化时的远场方向图，预测结果表示该天线在阵面形貌变化情况时的远场方向图，测试结果是阵面形貌发生同样变化时的实测方向图。

从图12中可以看到，本发明预测结果比理想阵面结果更接近实测结果，其原因是理想阵面没有考虑成型制造和服役载荷引起的阵面形貌变化。图12也清楚地表明了本发明预测的左右第一副瓣都比理想阵面时高1~2dB，即比理想阵面更接近实测结果，这也说明了副瓣对阵面形貌变化的影响非常敏感。图13给出了本发明预测驻波比、理想阵面驻波比和实测驻波比的对比情况，该图表明了阵面形貌变化也会引起驻波比和中心频率改变，并且预测结果在最低中心频率处与实测结果更接近。

图12和图13中的结果也表明了本发明方法的预测电性能与实测结果非常接近，能够预测阵面形貌变化对电性能影响的程度，克服了现有技术难于分析阵面形貌变化对电性能影响的预测问题。

通过从图12和图13中提取中心频率、波束宽度、驻波比、增益和副瓣电性能指标，可以得到其电性能指标，如表2中初始设计的电性能。

表2电性能指标对比结果

根据初始设计的电性能和电性能设计指标，计算出初始设计对应的误差绝对值|E|。然后，与预先设定的电性能指标误差值R=[0.01,0.0001,0.5,0.15,0.2]^T进行对比，其中，左右第一副瓣的电性能指标误差值都是0.5，对比后发现初始设计的误差绝对值|E|大于误差值R，因此，通过修改天线结构，得到修正后的电性能指标，如表2中修正设计后的电性能。通过计算其误差绝对值|E|，发现修正后的设计指标小于电性能指标误差值R，进而得到满足电性能设计指标的设计结果。

从该实验样件的结果可以看到：使用本发明可以预测成型制造和服役载荷导致的阵面形貌变化对微带天线电性能的影响，克服了现有软件难以实现该类型天线机电集成分析的缺陷，避免了凭实验设计的不足，缩短了研制周期，降低了研制成本，为高性能共形承载微带天线的机电集成设计奠定了理论基础。

Claims (5)

1.一种共形承载微带天线阵面形貌对电性能影响的预测方法，包括如下步骤：

(1)根据指定的设计指标d，设计共形承载微带天线结构的几何模型，并通过该模型提取理想情况下的阵面形貌高度S₀(x,y)，其中，x,y分别表示阵面轮廓横坐标和纵坐标；

(2)根据阵面平面度R_a设计指标，利用Weierstrass-Mandelbrot分形函数构造一体化成型制造中由加工、装配和成型残余热应力引起的阵面形貌高度误差函数ΔS₁(x,y)：

$\mathrm{\&Delta;}{S}_1(x,y)=\frac{R_{a}z(x,y)}{\max \left(z(x,y)\right)}$

式中，z(x,y)是指利用Weierstrass-Mandelbrot分形函数描述的实际阵面形貌偏离理想形貌的微观起伏程度；

(3)把共形承载微带天线的几何模型导入到有限元软件中，并施加气动载荷和温度载荷，获得服役载荷导致的阵面形貌变形数据集Z；

(4)根据阵面形貌变形数据集Z进行三维重构，获得服役载荷导致的阵面形貌高度变形函数：

$f\left(X\right)=\underset{r=1}{\overset{L}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}({\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{ri}}^{+}-{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{ri}}^{-})k_r(X,X_i)+b$

式中，向量X=[x,y]^T表示阵面轮廓的横坐标和纵坐标，T表示向量或矩阵的转置运算，L表示核函数的个数，k_r(X,X_i)表示第r个核函数k(X,X_i)，N表示阵面形貌变形数据Z的个数，向量X_i表示第i个数据样本，参数

分别表示函数f(X)的正负支持向量，b表示函数f(X)的偏置项；

(5)利用阵面形貌高度误差函数ΔS₁(x,y)和阵面形貌高度的变形函数f(X)，修正理想阵面形貌轮廓高度S₀(x,y)，获得共形承载微带天线在成型制造和服役载荷影响下的实际阵面形貌函数S(x,y)：

S(x,y)=S₀(x,y)+ΔS₁(x,y)+f(X)，

(6)根据获得的实际阵面形貌函数S(x,y)，根据电磁学原理，计算共形承载微带天线的远场辐射电场：

$E\left(r\right)=-\mathrm{jk}\frac{e^{-\mathrm{jkR}}}{4\mathrm{\&pi;R}}{\&Integral;}_{\mathrm{\&Omega;}}M\left(r\right)\&times;\hat{R}{e}^{\mathrm{jkR}\&CenterDot;\hat{R}}\mathrm{d\&Omega;},$

式中，积分方程表示对实际阵面进行面积分，E(r)表示从原点到矢量r处的辐射电场，k表示电磁波传播常数，变量Ω表示实际阵面形貌S(x,y)确定的表面，M(r)表示与实际阵面S(x,y)正切的磁表面电流，R是坐标原点到观察点的距离，

是坐标原点到观察点的单位方向矢量，j表示复数的虚部；

(7)从远场辐射电场E(r)中提取波束宽度BW、中心频率F、副瓣SL、驻波比V和增益G电性能指标，并使用向量D=[BW,F,SL,V,G]^T表示，其中T表示转置；

(8)把提取的电性能指标D与电性能设计指标d进行比较，并使用差值E=D-d误差来评估阵面形貌对电性能的影响程度，其中d由步骤(1)中的设计指标指定；

(9)判断误差绝对值|E|是否大于预先设定的电性能指标误差值R，该误差值R根据中心频率来设定，如果|E|≥R，修改天线的结构设计，重复上述步骤(1)~(8)，直到电性能指标满足设计指标，进而获得最优的天线设计。

2.根据权利要求1所述的预测方法，其特征在于所述步骤(1)的设计指标d，包括天线的中心频率、带宽、副瓣和增益以及结构强度、结构刚度和阵面平面度。

3.根据权利要求1所述的预测方法，其特征在于步骤(2)所述的利用Weierstrass-Mandelbrot分形函数构造一体化成型制造中由加工、装配和成型残余热应力引起的阵面形貌高度误差函数ΔS₁(x,y)，按如下步骤进行：

(3a)利用Weierstrass-Mandelbrot分形函数来描述成型制造后的实际阵面偏离理想阵面形貌的微观起伏程度：

$z(x,y)=L{\left(\frac{G}{L}\right)}^{D-2}{\left(\frac{1\mathrm{n\&gamma;}}{M}\right)}^{0.5}\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{n=0}{\overset{n_{\max }}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&gamma;}}^{(D-3)n}$

$\&times;\{{\cos \mathrm{\&phi;}}_{m,n}-\cos [\frac{{2\mathrm{\&pi;\&gamma;}}^n{(x^2+y^2)}^{-0.5}}{L}\&times;\cos ({\tan }^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)-\frac{\mathrm{\&pi;m}}{M})+{\mathrm{\&phi;}}_{m,n}\left]\right\}$

式中，z(x,y)为阵面形貌轮廓的高度，L为分形取样长度，G为分形粗糙度参数，它是一个不依赖空间频率的轮廓高度参数，γ>1表示分形尺度参数，它决定表面轮廓的空间频率，D为表面轮廓的分形维数，其取值为2<D<3，它决定表面轮廓的高频和低频部分，n是求和项的个数，n_max=int[log(L/L_s)/logγ]，其中，int表示取整数运算，M表示构造分形表面叠加脊波函数的个数，L_s表示截止频率长度，它由测量装置的分辨率来决定，φ_m,n是在[-π,π]范围内服从均匀分布的随机相位；

(3b)根据阵面平面度R_a和阵面形貌轮廓的高度z(x,y)，构造一体化成型中由加工、装配和成型残余热应力引起的阵面形貌高度误差函数ΔS₁(x,y)：

$\mathrm{\&Delta;}{S}_1(x,y)=\frac{R_{a}z(x,y)}{\max \left(z(x,y)\right)}.$

4.根据权利要求1所述的预测方法，其特征在于步骤(3)所述的“把共形承载微带天线的几何模型导入到有限元软件中，并施加气动载荷和温度载荷，获得服役载荷导致的阵面形貌变形数据集Z”，按如下步骤进行：

(4a)根据初始设计的几何模型，利用Fluent软件建立其空气动力学分析模型，获得随时间t变化的气动载荷F_q(t)；

(4b)利用热分析软件Flotherm，建立共形承载微带天线的热分析模型，获得夹层微带天线结构的时变温差载荷F_ΔT(t)；

(4c)把气动载荷F_q(t)和温度载荷F_ΔT(t)施加到有限元模型中，得到在温度载荷和气动载荷影响下的结构动力学方程：

$M\left(t\right)\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}}+C\left(t\right)\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}}+K\left(t\right)\mathrm{\&delta;}=F_q\left(t\right)+F_{\mathrm{\&Delta;T}}\left(t\right),$

式中，M(t)为时变质量矩阵，C(t)为时变阻尼矩阵，K(t)为时变刚度矩阵，它们都是时间t的函数，向量

和δ分别表示节点的加速度、速度和位移；

(4d)利用ANSYS软件求解(4c)中的动力学方程，获得天线结构在气动载荷F_q(t)和温度载荷F_ΔT(t)共同作用下的三维阵面变形图；

(4e)从三维阵面变形图中提取变形数据样本集Γ={(x_i,y_i,z_i),i＝1,2,...,N}，其中，x_i,y_i表示阵面变形的水平坐标，z_i表示变形阵面形貌的高度坐标，N表示从三维阵面变形图中抽样得到的数据样本个数；

(4f)从理想阵面形貌高度函数S₀(x,y)中提取理想数据样本集P={(x_i,y_i,h_i),i＝1,2,...,N}，其中，h_i表示理想阵面形貌的高度坐标；

(4g)根据变形阵面形貌的高度坐标z_i和理想阵面形貌的高度坐标h_i，计算水平坐标(x_i,y_i)处阵面形貌的高度变化量Δz_i：

Δz_i=z_i-h_i，

(4h)组合N个水平坐标(x_i,y_i)和高度变化量Δz_i的数据，获得温度和气动载荷引起的阵面形貌变形数据集Z={(x_i,y_i,Δz_i),i＝1,2,...,N}。

5.根据权利要求1所述的预测方法，其特征在于步骤(4)所述的根据阵面形貌变形数据集Z进行三维重构，获得服役载荷导致的阵面形貌高度变形函数，按如下过程进行：

(5a)将阵面形貌变形数据集Z={(x_i,y_i,Δz_i),i＝1,2,...,N}进行归一化处理，得到归一化的数据；

(5b)根据归一化的数据，使用5倍交叉验证方法确定多核支持向量回归算法中的核函数类型、核函数个数、核参数、折衷常数C和误差容限ε；

(5c)根据步骤(5b)中预先指定的核函数类型、核函数个数、核参数、折衷常数C和误差容限ε，使用线性规划求解下面的多核支持向量回归算法，获得未知参数

b和松弛变量ξ_i：

求解:

ξ_i,b

最小: $\underset{r=1}{\overset{L}{\mathrm{\&Sigma;}}}{c}_r\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}({\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{ri}}^{+}+{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{ri}}^{-})+2C\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&xi;}}_i$

限制: $\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&Delta;z}}_i-\underset{r=1}{\overset{L}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}({\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{rj}}^{+}-{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{rj}}^{-})k_r(X_i,X_j)-b\&le;\mathrm{\&epsiv;}+{\mathrm{\&xi;}}_i\\ \underset{r=1}{\overset{L}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}({\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{rj}}^{+}-{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{rj}}^{-})k_r(X_i,X_j)+b-{\mathrm{\&Delta;z}}_i\&le;\mathrm{\&epsiv;}+{\mathrm{\&xi;}}_i\\ {\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{rj}}^{+}\&GreaterEqual;0,{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{rj}}^{-}\&GreaterEqual;0,r=\mathrm{1,2}...,L,j=\mathrm{1,2},...,N\\ {\mathrm{\&xi;}}_i\&GreaterEqual;0,i=\mathrm{1,2},...,N.\end{array}\right.$

式中，c_r是非零正负支持向量的惩罚项，ξ_i表示松弛变量，k_r(X,X_i)表示第r个核函数，本发明使用了Gaussian，Polynomial和Wavelet三个核函数，即L=3，N表示训练样本T的个数；

(5d)利用(5c)中获得的

和b，得到描述服役载荷导致的阵面形貌高度变形函数：

$f\left(X\right)=\underset{r=1}{\overset{L}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}({\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{ri}}^{+}-{\mathrm{\&alpha;}}_{\mathrm{ri}}^{-})k_r(X,X_i)+b.$

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