CN102778404A - 基于材料r曲线的金属结构疲劳裂纹扩展寿命预测方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于材料R曲线的金属结构疲劳裂纹扩展寿命预测模型，技术特征在于：基于材料裂纹扩展阻力曲线（R曲线）及裂纹扩展能量释放率理论，定义疲劳载荷下的有效能量释放率为疲劳裂纹完全张开后用于裂纹扩展的能量，与同一载荷循环中由裂纹扩展阻力曲线表征的消耗能相等，提出了一种能够反映裂纹扩展物理本质的疲劳裂纹扩展寿命预测模型。借助这一模型，可以计算每一载荷循环中的裂纹扩展量，进而通过对裂纹扩展量的累积计算，预测裂纹扩展寿命，适用于工程上对金属结构疲劳裂纹扩展寿命的预测，为结构损伤容限评估提供了一种参考方法。

Description

基于材料R曲线的金属结构疲劳裂纹扩展寿命预测方法

技术领域

本发明涉及金属结构的疲劳裂纹扩展寿命预测方法，特别涉及一种基于材料R曲线的金属结构疲劳裂纹扩展寿命预测模型。 

背景技术

机械、运载和能源等行业的典型重大装备已经服役多年时间，可靠预测含裂纹构件寿命是有效提高装备服役性能和控制失效事故发生的重要途径，因为过早判废退役则意味着巨额浪费和经济损失，继续运行则需要合理的寿命预测以保证安全。金属材料作为结构的主承力件被广泛应用于航空装备，这在我国现役的各型主战飞机中体现得尤为明显，即使作为国际上最先进的战斗机F-22，其复合材料的用量也仅占到飞机结构重量的24％。因此，较长的一段时期内，金属材料仍将作为飞机结构的主承力构件被广泛应用。 

金属材料结构在使用过程中由于疲劳载荷、磨损、环境腐蚀、材料老化、构件缺陷以及其它自然及人为因素的作用而极有可能发生损伤直至破坏，其中疲劳失效是飞机构件基本和主要的破坏模式。作为主承力构件的金属结构一旦发生损伤，其造成的结果往往是十分惨痛的，航空史上发生过多起因飞机结构疲劳问题引起的重大事故。 

为了保证飞行安全，必须对作为主承力件的金属结构的疲劳寿命进行准确预测。在疲劳裂纹扩展寿命预测方面，断裂力学是研究疲劳裂纹扩展的有力工具。断裂力学已较成功地描述疲劳裂纹扩展，在裂纹闭合模型、厚度效应模型、高载迟滞模型发展等方面做了大量的研究，取得很多成果，但是，以上所述的疲劳裂纹扩展模型均是基于裂纹扩展过程的物理模型和基于描述裂纹扩展速率数据趋势公式模拟，目前仍然缺少符合疲劳裂纹扩展断裂的真实物理过程的模型。 

国际断裂力学先驱D.Broek对裂纹扩展的本质进行了阐述，并详细介绍了R曲线 的概念和作用。R曲线反映了疲劳裂纹扩展断裂的真实物理过程。所以，对于R曲线及其应用的研究工作一直吸引着断裂力学工作者们的注意力。目前R曲线研究大多集中在试验方面。在利用材料R曲线研究材料断裂特性时，人们常用的是试验测定的薄板材料在平面应力状态下的R曲线。但是，众所周知，R曲线除了与材料性质有关，还与试样的厚度有关，完全通过实验获取裂纹扩展阻力曲线，耗费资源非常大，而且应用起来并非十分方便。对此，北京航空航天大学的张行教授与杨继运博士用断裂力学理论导出了裂纹扩展阻力曲线及其厚度效应的解析表达式，并运用裂纹扩展阻力曲线对金属结构剩余强度进行了较为准确的估算。在运用R曲线进行疲劳裂纹扩展寿命预测方面，空军工程大学的何宇廷教授等提出了一种有效能量准则，可以描述为：在疲劳裂纹扩展中，只有有效能量释放率对疲劳裂纹扩展特性有直接影响，而每一载荷循环中裂纹扩展量可以通过有效能量释放率给出。有效能量释放率被认为是疲劳裂纹完全张开后用于裂纹扩展的能量，与同一载荷循环中裂纹扩展的消耗能相等。而裂纹扩展的消耗能可以通过裂纹扩展阻力曲线获得。 

发明内容

要解决的技术问题 

为了避免现有技术的不足之处，本发明提出一种基于材料R曲线的金属结构疲劳裂纹扩展寿命预测模型，目的在于避免现有寿命预测技术不能反映裂纹扩展物理本质的不足之处，为金属结构疲劳裂纹扩展寿命的准确预测、保证机械设备安全运行提供一套理论方法。 

技术方案 

一种基于材料R曲线的金属结构疲劳裂纹扩展寿命的预测模型，其特征在于步骤如下： 

步骤1材料R曲线的试验测定： 

选取与被预测结构相同的金属材料，按照标准《ASTM E561-08 Standard Test Method for K-R Curve Determination》或《HB 5261-83金属板材K-R曲线试验方法》，加工中心孔板试件CCT试件，并测量该材料的载荷—裂纹嘴张开位移曲线P-v曲线； 

CCT试件尺寸参数标注见图1，P-v曲线示意图见图2； 

步骤2材料R曲线表达式的拟合： 

步骤（a）、利用柔度法计算裂纹半长a： 

根据《ASTM E561-08Standard Test Method for K-R Curve Determination》标准，CCT试样柔度计算公式为： 

$\frac{2a}{W}=1.2235x-{0.669032x}^2+{3.25584x}^3-6.65042x^4+{5.54x}^5-1.166989x^6---\left(1\right)$

$x=1-\exp \left\{\frac{-\sqrt{(\mathrm{EBC}+\mathrm{\η})(\mathrm{EBC}-\mathrm{\η})}}{2.141}\right\}---\left(2\right)$

其中，a为裂纹半长，W为板宽，B为板厚，E为弹性模量，C=v/P为柔度，η=2y/W为引伸计无因次跨距，y为引伸计半跨距； 

在步骤1所获取的材料P-v曲线线性范围以上至少选择20个计算点，对每一计算点(v_i，P_i)计算其与原点v₀之间的割线斜率： 

${\left(\frac{\mathrm{\Δv}}{\mathrm{\ΔP}}\right)}_i=\frac{v_i-v_0}{P_i}---\left(3\right)$

将割线斜率(Δv/ΔP)_i代入柔度表达式（1）和（2），得到选择点的裂纹长度a_i； 

步骤（b）、计算裂纹长度a_i下的应力强度因子K_i： 

将选择点的裂纹长度a_i带入式（4）和式（5）计算得到此裂纹长度下的应力强度因子K_i

$K_i=\frac{P}{\mathrm{BW}}\sqrt{{\mathrm{\πa}}_i}f\left(\frac{a_i}{W}\right)---\left(4\right)$

$f\left(\frac{a_i}{W}\right)=\sqrt{\sec \left(\frac{{\mathrm{\πa}}_i}{W}\right)}---\left(5\right)$

步骤（c）、计算选择点的裂纹长度a_i下的裂纹扩展阻力R_i： 

在裂纹稳定扩展过程中，裂纹扩展阻力R等于能量释放率G 

$R_i=G_i=\frac{K_i^2}{E}---\left(6\right)$

其中，E为材料弹性模量； 

从而计算得到选择点的裂纹长度a_i下的裂纹扩展阻力R_i； 

步骤（d）、拟合材料R曲线表达式： 

将上述步骤中计算的选择点的裂纹长度a_i减去初始裂纹长度a₀得到Δa_i，以Δa_i为横坐标，裂纹扩展阻力R为纵坐标，将所得到的Δa_i与对应的R_i数据绘制在此坐标系中，得到材料R曲线数据点分布，将这些数据点分布拟合成曲线，得到该曲线的表达式即R曲线表达式； 

拟合R曲线表达式的步骤为： 

将实验得到的R曲线数据点代入D.Broek的已有的R曲线的表达式： 

$R_i=\mathrm{\β}{\left({\mathrm{\Δa}}_i\right)}^{\frac{\mathrm{\α}-1}{\mathrm{\α}}}---\left(7\right)$

其中，α、β为R曲线形状参数， 

将式（7）两端取自然对数得 

$\lg \left(R_i\right)=\mathrm{lg\β}+\left(\frac{\mathrm{\α}-1}{\mathrm{\α}}\right)\lg \left({\mathrm{\Δa}}_i\right)---\left(8\right)$

令Y_i=lg(R_i)，X_i=lg(Δa_i)，得 

$Y_i=\mathrm{lg\β}+\left(\frac{\mathrm{\α}-1}{\mathrm{\α}}\right)X_i---\left(9\right)$

以X为横坐标，Y为纵坐标，将X_i、Y_i数据点绘制在坐标系中，根据最小二乘法拟合直线，此直线斜率即为 

与Y轴交点即为lgβ，从而得到R曲线表达式中的α和β的数值； 

步骤3建立基于材料R曲线的裂纹扩展模型： 

$\left\{\begin{array}{c}{G}_{\mathrm{eff}}=\frac{K_{\mathrm{eff}}^2}{E}\\ R_i=\mathrm{\β}{\left({\mathrm{\Δa}}_i\right)}^{\frac{\mathrm{\α}-1}{\mathrm{\α}}}\\ G_{\mathrm{eff}}=R_i\\ \frac{{\∂G}_{\mathrm{eff}}}{{\∂a}_i}＜\frac{\∂R_i}{{\∂a}_i}\end{array}\right.---\left(10\right)$

其中： 

G_eff为在平面应力状态下的I型穿透裂纹，在疲劳载荷下扩展时的有效能量释放率 

$G_{\mathrm{eff}}=\frac{K_{\mathrm{eff}}^2}{E}---\left(11\right)$

式中，K_eff是有效应力强度因子，通过裂纹闭合系数U计算得到 

K_eff=K_max·U(1-R_s)          （12） 

其中，R_s为疲劳载荷应力比，即疲劳载荷谷值与峰值之比；闭合系数U由试验确定，试验确定方法采用西北工业大学马君峰、吕国志发表在《机械科学与技术》期刊第18卷第3期的“一种确定有效应力强度因子ΔK_eff的解析模型”。 

有益效果 

本发明提出的一种基于材料R曲线的金属结构疲劳裂纹扩展寿命预测模型，基于材料裂纹扩展阻力曲线（R曲线）及裂纹扩展能量释放率理论，定义疲劳载荷下的有效能量释放率为疲劳裂纹完全张开后用于裂纹扩展的能量，与同一载荷循环中由裂纹扩展阻力曲线表征的消耗能相等，提出了一种能够反映裂纹扩展物理本质的疲劳裂纹扩展寿命预测模型。 

借助这一模型，可以计算每一载荷循环中的裂纹扩展量，进而通过对裂纹扩展量的累积计算，预测裂纹扩展寿命，适用于工程上对金属结构疲劳裂纹扩展寿命的预测，为结构损伤容限评估提供了一种参考方法。 

附图说明

图1：CCT试件尺寸参数标注； 

图2：载荷-裂纹嘴张开位移曲线（P-v曲线）； 

图3：引伸计测量参数标注； 

图4：P-v曲线计算点与原点v₀之间的割线斜率； 

图5：裂纹扩展寿命计算流程图； 

图6：实施例CCT试件尺寸； 

图7：实施例P-v曲线； 

图8：实施例CCT试验件R曲线的拟合； 

图9：实施例耳片结构试验件尺寸图。 

图10：实施例中基于材料R曲线的预测结果与试验数据对比 

具体实施方式

现结合实施例、附图对本发明作进一步描述： 

步骤1测定材料P-v曲线： 

试验件材料为7050-T7410铝合金板材，尺寸设计如图6所示，试样厚度为6.7mm。材料P-v曲线的试验测定满足航标HB5261-83《金属板材KR曲线试验方法》要求。试验所得的P-v曲线见图7。 

步骤2材料R曲线表达式的拟合： 

步骤（a）、利用柔度法计算裂纹半长a： 

根据《ASTM E561-08 Standard Test Method for K-R Curve Determination》标准，CCT试样柔度计算公式为： 

$\frac{2a}{W}=1.2235x-{0.669032x}^2+{3.25584x}^3-6.65042x^4+{5.54x}^5-1.166989x^6---\left(1\right)$

$x=1-\exp \left\{\frac{-\sqrt{(\mathrm{EBC}+\mathrm{\η})(\mathrm{EBC}-\mathrm{\η})}}{2.141}\right\}---\left(2\right)$

其中，a为裂纹半长，W为板宽，B为板厚，E为弹性模量，C=v/P为柔度，η=2y/W为引伸计无因次跨距，y为引伸计半跨距； 

在步骤1所获取的材料P-v曲线线性范围内至少选择20个计算点，对每一计算点(v_i，P_i)计算其与原点v₀之间的割线斜率： 

${\left(\frac{\mathrm{\Δv}}{\mathrm{\ΔP}}\right)}_i=\frac{v_i-v_0}{P_i}---\left(3\right)$

将割线斜率(Δv/ΔP)_i代入柔度表达式（1）和（2），得到选择点的裂纹长度a_i； 

步骤（b）、计算裂纹长度a_i下的应力强度因子K_i： 

将选择点的裂纹长度a_i带入式（4）和式（5）计算得到此裂纹长度下的应力强度因子K_i

$K_i=\frac{P}{\mathrm{BW}}\sqrt{{\mathrm{\πa}}_i}f\left(\frac{a_i}{W}\right)---\left(4\right)$

$f\left(\frac{a_i}{W}\right)=\sqrt{\sec \left(\frac{{\mathrm{\πa}}_i}{W}\right)}---\left(5\right)$

步骤（c）、计算选择点的裂纹长度a_i下的裂纹扩展阻力R_i： 

在裂纹稳定扩展过程中，裂纹扩展阻力R等于能量释放率G 

$R_i=G_i=\frac{K_i^2}{E}---\left(6\right)$

其中，E为材料弹性模量； 

从而计算得到选择点的裂纹长度a_i下的裂纹扩展阻力R_i； 

步骤（d）、拟合材料R曲线表达式： 

将上述步骤中计算的选择点的裂纹长度a_i减去初始裂纹长度a₀得到Δa_i，以Δa_i为横坐标，裂纹扩展阻力R为纵坐标，将所得到的Δa_i与对应的R_i数据绘制在此坐标系中，得到材料R曲线数据点分布，将这些数据点分布拟合成曲线，得到该曲线的表 达式即R曲线表达式； 

拟合R曲线表达式的步骤为： 

将实验得到的R曲线数据点代入D.Broek的已有的R曲线的表达式： 

$R_i=\mathrm{\β}{\left({\mathrm{\Δa}}_i\right)}^{\frac{\mathrm{\α}-1}{\mathrm{\α}}}---\left(7\right)$

其中，α、β为R曲线形状参数， 

将式（7）两端取自然对数得 

$\lg \left(R_i\right)=\mathrm{lg\β}+\left(\frac{\mathrm{\α}-1}{\mathrm{\α}}\right)\lg \left({\mathrm{\Δa}}_i\right)---\left(8\right)$

令Y_i=lg(R_i)，X_i=lg(Δa_i)，得 

$Y_i=\mathrm{lg\β}+\left(\frac{\mathrm{\α}-1}{\mathrm{\α}}\right)X_i---\left(9\right)$

以X为横坐标，Y为纵坐标，将X_i、Y_i数据点绘制在坐标系中，见图8；图中，A为由Δa≤1mm的数据点拟合的直线，B为由Δa>1mm的数据点拟合的直线。 

根据最小二乘法拟合直线，此直线斜率即为 

与Y轴交点即为lgβ，从而得到R曲线表达式中的α和β的数值； 

$\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{\α}=1.1568,\mathrm{\β}=0.0591& \mathrm{\Δa}＜1\mathrm{mm}\\ \mathrm{\α}=2.3602,\mathrm{\β}=0.0533& \mathrm{\Δa}>1\mathrm{mm}\end{array}\right.---\left(13\right)$

步骤3建立基于材料R曲线的裂纹扩展模型： 

步骤（a）： 

在疲劳载荷下，疲劳裂纹完全张开后的裂纹扩展，与单调加载下的裂纹缓慢扩展所释放的能量是等同的。在此，定义疲劳载荷下的有效能量释放率为疲劳裂纹完全张开后用于裂纹扩展的能量，与同一载荷循环中由裂纹扩展阻力曲线表征的消耗能相等。 

对于平面应力状态下的I型穿透裂纹，在疲劳载荷下扩展时的有效能量释放率为 

$G_{\mathrm{eff}}=\frac{K_{\mathrm{eff}}^2}{E}$

式中，K_eff是有效应力强度因子，可以通过裂纹闭合系数U计算得到。 

K_eff=K_max·U(1-R_s) 

其中，R_s为疲劳载荷应力比，即疲劳载荷谷值与峰值之比。闭合系数U与材料属性及试验条件有关，一般由试验确定，确定方法可参考西北工业大学马君峰、吕国志发表在《机械科学与技术》期刊第18卷第3期的“一种确定有效应力强度因子ΔK_eff的解析模型”。 

根据以上分析，可以建立平面应力状态下的疲劳裂纹扩展模型： 

$\left\{\begin{array}{c}{G}_{\mathrm{eff}}=\frac{K_{\mathrm{eff}}^2}{E}\\ R=\mathrm{\β}{\left(\mathrm{\Δa}\right)}^{\frac{\mathrm{\α}-1}{\mathrm{\α}}}\\ G_{\mathrm{eff}}=R\\ \frac{{\∂G}_{\mathrm{eff}}}{\∂a}＜\frac{\∂R}{\∂a}\end{array}\right.$

步骤4利用模型预测耳片结构疲劳裂纹扩展寿命： 

借助步骤3的模型，可以计算每一载荷循环中的裂纹扩展量。进而通过对裂纹扩展量的累积计算，预测裂纹从初始长度a₁扩展到a₂时的疲劳寿命N，计算流程见图5。 

步骤（a）耳片结构的疲劳裂纹扩展环境及裂纹扩展数据 

耳片结构尺寸如图9所示，厚度为6.7mm，材料为7050-T7451铝合金。裂纹扩展试验在MTS810-100KN材料试验系统上进行，选取等幅谱进行疲劳裂纹扩展试验，载荷相对误差<±2％。采用JXD-2型50mm读数显微镜（精度为0.01mm）进行裂纹长度的观察与测量。疲劳裂纹扩展最大载荷为12.6KN，应力比取0.05，加载频率5Hz，正弦波形。试验室温度为25°C，相对湿度为82％RH。裂纹扩展数据见表1。 

表1疲劳裂纹扩展试验数据 

步骤（b）基于材料R曲线的疲劳裂纹扩展寿命估算 

根据空军工程大学何宇廷、伍黎明等及中航第一飞机设计研究院王新波发表在《Applied Mechanics and Materials》期刊上的文章“Study on Fatigue Crack Growth Model of 7050-T7451 Aluminum Alloy Straight Attachment Lug”计算得到直耳片试件受直载的裂纹尖端应力强度因子表达式，运用此表达式并结合式（10）～式（11）计算得出裂纹扩展能量释放率。根据本发明提出的疲劳裂纹扩展模型，通过迭代计算，分别得出耳片裂纹从2mm至6mm每扩展1mm的疲劳寿命值，与表1中的试验数据一同绘制裂纹扩展的a-N曲线，如图10所示。从图中可以看出，运用该模型能够较好地实现对金属结构疲劳裂纹扩展寿命的预测。 

Claims (1)

1.一种基于材料R曲线的金属结构疲劳裂纹扩展寿命的预测模型，其特征在于步骤如下：

步骤1材料R曲线的试验测定：

选取与被预测结构相同的金属材料，按照标准《ASTM E561-08Standard TestMethod for K-R Curve Determination》或《HB 5261-83金属板材K-R曲线试验方法》，加工中心孔板试件CCT试件，并测量该材料的载荷—裂纹嘴张开位移曲线P-v曲线；

步骤2材料R曲线表达式的拟合：

步骤（a）、利用柔度法计算裂纹半长a：

根据《ASTM E561-08Standard Test Method for K-R Curve Determination》标准，CCT试样柔度计算公式为：

$\frac{2a}{W}=1.2235x-{0.669032x}^2+{3.25584x}^3-6.65042x^4+{5.54x}^5-1.166989x^6---\left(1\right)$

$x=1-\exp \left\{\frac{-\sqrt{(\mathrm{EBC}+\mathrm{\&eta;})(\mathrm{EBC}-\mathrm{\&eta;})}}{2.141}\right\}---\left(2\right)$

其中，a为裂纹半长，W为板宽，B为板厚，E为弹性模量，C=v/P为柔度，η=2y/W为引伸计无因次跨距，y为引伸计半跨距；

在步骤1所获取的材料P-v曲线线性范围内至少选择20个计算点，对每一计算点(v_i，P_i)计算其与原点v₀之间的割线斜率：

${\left(\frac{\mathrm{\&Delta;v}}{\mathrm{\&Delta;P}}\right)}_i=\frac{v_i-v_0}{P_i}---\left(3\right)$

将割线斜率(Δv/ΔP)_i代入柔度表达式（1）和（2），得到选择点的裂纹长度a_i；

步骤（b）、计算裂纹长度a_i下的应力强度因子K_i：

将选择点的裂纹长度a_i带入式（4）和式（5）计算得到此裂纹长度下的应力强度因子K_i

$K_i=\frac{P}{\mathrm{BW}}\sqrt{{\mathrm{\&pi;a}}_i}f\left(\frac{a_i}{W}\right)---\left(4\right)$

$f\left(\frac{a_i}{W}\right)=\sqrt{\sec \left(\frac{{\mathrm{\&pi;a}}_i}{W}\right)}---\left(5\right)$

步骤（c）、计算选择点的裂纹长度a_i下的裂纹扩展阻力R_i：

在裂纹稳定扩展过程中，裂纹扩展阻力R等于能量释放率G

$R_i=G_i=\frac{K_i^2}{E}---\left(6\right)$

其中，E为材料弹性模量；

从而计算得到选择点的裂纹长度a_i下的裂纹扩展阻力R_i；

步骤（d）、拟合材料R曲线表达式：

将上述步骤中计算的选择点的裂纹长度a_i减去初始裂纹长度a₀得到Δa_i，以Δa_i为横坐标，裂纹扩展阻力R为纵坐标，将所得到的Δa_i与对应的R_i数据绘制在此坐标系中，得到材料R曲线数据点分布，将这些数据点分布拟合成曲线，得到该曲线的表达式即R曲线表达式；

拟合R曲线表达式的步骤为：

将实验得到的R曲线数据点代入D.Broek的已有的R曲线的表达式：

$R_i=\mathrm{\&beta;}{\left({\mathrm{\&Delta;a}}_i\right)}^{\frac{\mathrm{\&alpha;}-1}{\mathrm{\&alpha;}}}---\left(7\right)$

其中，α、β为R曲线形状参数，

将式（7）两端取自然对数得

$\lg \left(R_i\right)=\mathrm{lg\&beta;}+\left(\frac{\mathrm{\&alpha;}-1}{\mathrm{\&alpha;}}\right)\lg \left({\mathrm{\&Delta;a}}_i\right)---\left(8\right)$

令Y_i=lg(R_i)，X_i=lg(Δa_i)，得

$Y_i=\mathrm{lg\&beta;}+\left(\frac{\mathrm{\&alpha;}-1}{\mathrm{\&alpha;}}\right)X_i---\left(9\right)$

以X为横坐标，Y为纵坐标，将X_i、Y_i数据点绘制在坐标系中，根据最小二乘法拟合直线，此直线斜率即为

与Y轴交点即为lgβ，从而得到R曲线表达式中的α和β的数值；

步骤3建立基于材料R曲线的裂纹扩展模型：

$\left\{\begin{array}{c}{G}_{\mathrm{eff}}=\frac{K_{\mathrm{eff}}^2}{E}\\ R_i=\mathrm{\&beta;}{\left({\mathrm{\&Delta;a}}_i\right)}^{\frac{\mathrm{\&alpha;}-1}{\mathrm{\&alpha;}}}\\ G_{\mathrm{eff}}=R_i\\ \frac{{\&PartialD;G}_{\mathrm{eff}}}{{\&PartialD;a}_i}<\frac{\&PartialD;R_i}{{\&PartialD;a}_i}\end{array}\right.---\left(10\right)$

其中：

G_eff为在平面应力状态下的I型穿透裂纹，在疲劳载荷下扩展时的有效能量释放率

$G_{\mathrm{eff}}=\frac{K_{\mathrm{eff}}^2}{E}---\left(11\right)$

式中，K_eff是有效应力强度因子，通过裂纹闭合系数U计算得到

K_eff=K_max·U(1-R_s)（12）

其中，R_s为疲劳载荷应力比，即疲劳载荷谷值与峰值之比；闭合系数U由试验确定，试验确定方法采用西北工业大学马君峰、吕国志发表在《机械科学与技术》期刊第18卷第3期的“一种确定有效应力强度因子ΔK_eff的解析模型”。

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