CN102721875A - 一种基于输电导线表面等效电荷曲线积分的三维工频电场的测定方法 - Google Patents

Abstract

一种基于输电导线表面等效电荷曲线积分的三维工频电场的测定方法，首先获取计算输电线路三维工频电场强度的相关参数，然后基于导线悬链线方程建立不等高悬挂输电线路的三维模型，确定档距内输电线路任一点位置处的导线实际高度，进而利用不等高悬挂输电线路导线表面等效电荷的曲线积分法获取档距内输电线路任一点位置处的导线表面等效电荷，最后根据场强叠加原理计算档距两端导线不等高时多导线系统所产生的空间电场强度分布情况。该方法能真实反映实际高压输电线路的空间架设情况，有利于准确地计算高压输电线路的空间三维电场强度，为评价输电线路的电磁环境提供了可靠依据。

Description

一种基于输电导线表面等效电荷曲线积分的三维工频电场的测定方法

技术领域

本发明涉及一种输电线路三维工频电场的测定方法，特别涉及一种架空输电线路档距两端导线不等高时基于导线表面等效电荷曲线积分的三维工频电场测定方法。 

背景技术

随着我国经济建设的不断发展，用户对电力等能源的需求量呈现出不断攀升的趋势，致使我国输电线路电压等级不断提高、输送功率日益增大。运行的架空输电线路会在导线上产生电荷，载有电荷的导线即会在周围空间激发电场。输电线路周围空间电场强度，特别是地面附近的电场强度，是衡量输电线路电磁环境污染程度的主要物理量之一。电场强度准确计算的核心问题在于导线表面等效电荷的计算。 

针对架空导线表面等效电荷的计算，现有理论多以导线平均高度或导线最小对地高度作为计算高度，将实际输电线路简化为与大地平行的无限长直导线，建立输电线路周围空间电场强度的二维计算模型，忽略了架空导线的弧垂及档距对电场强度计算结果的影响。电场强度的二维计算模型难以评估大跨越超/特高压输电线路的导线自重、导线载荷、应力及弧垂等因素对空间电场强度计算的影响。 

发明内容

本发明的目的是为了确定架空输电线路三维工频电场强度，提出一种基于导线表面等效电荷曲线积分的三维工频电场测定方法，旨在考虑架空导线的弧垂及档距对电场强度结果的影响，并采用导线表面等效电荷以确定架空输电线路的空间三维电场强度。 

本发明的目的是这样实现的：一种基于输电导线表面等效电荷曲线积分的三维工频电场的测定方法，所述计算方法包括如下步骤： 

第一步，获取计算输电线路三维工频电场强度的参数，包括输电线路档距，输电线路导线架设高度，导线布置参数，导线力学参数；上述导线布置参数是指 相导线之间的空间相对位置，导线分裂数和导线分裂间距，导线力学参数是指导线半径、导线单位长度单位截面所承受的载荷和导线最低点所承受的应力； 

第二步，采用不等高悬挂的导线悬链线方程计算确定不等高悬挂的输电线路档距内任一点x位置的导线实际高度z，确定高压输电线路上任一点与其镜像点之间的空间距离参数； 

第三步，基于上述计算确定的档距内任一点x位置的导线实际高度z以及任一点与其镜像点之间的空间距离参数，求取导线上任一点处电位，再对各输电导线微元段的表面等效电荷进行曲线积分，确定档距内输电导线上任一点位置处的导线表面等效电荷； 

第四步，确定档距内各导线表面等效电荷在周围空间产生的电场强度，采用场强叠加技术，获取档距两端导线不等高时多导线系统的空间电场强度分布情况。 

上述采用下述导线悬链式方程确定档距内任一点x位置的导线实际高度z： 

$\left\{\begin{array}{cc}z=\frac{{\mathrm{\σ}}_0}{\mathrm{\γ}}(\mathrm{ch}\frac{\mathrm{\γx}}{{\mathrm{\σ}}_0}-1)+H,& l_{\mathrm{OA}}\≤x\≤l_{\mathrm{OB}}\\ y=0& \end{array}\right.$

其中： 

$\left\{\begin{array}{c}{l}_{\mathrm{OA}}=\frac{l-\frac{2{\mathrm{\σ}}_0}{\mathrm{\γ}}\·\mathrm{arsh}\left[\frac{\mathrm{h\γ}}{2{\mathrm{\σ}}_0}{\mathrm{sh}}^{-1}\left(\frac{\mathrm{\γl}}{2{\mathrm{\σ}}_0}\right)\right]}{2}\\ l_{\mathrm{OB}}=\frac{l+\frac{2{\mathrm{\σ}}_0}{\mathrm{\γ}}\·\mathrm{arsh}\left[\frac{\mathrm{h\γ}}{2{\mathrm{\σ}}_0}{\mathrm{sh}}^{-1}\left(\frac{\mathrm{\γl}}{2{\mathrm{\σ}}_0}\right)\right]}{2}\end{array}\right.$

式中，l_OA为档距内导线最低点O与导线悬挂点的水平距离，l_OB为档距内导线最低点O与另一导线悬挂点的水平距离，γ表示导线单位长度单位界面上所承受的载荷，σ₀表示导线上各点的水平应力，亦即导线最低点承受的应力，l表示该选定区段输电线路档距，h表示两相邻杆塔导线悬挂点的高度差，H表示导线最低点O距地面的高度。 

上述高压输电线路上任一点与其镜像点之间的空间距离参数按以下算式确定： 

$L_{11}^{\′}=2\frac{{\mathrm{\σ}}_0}{\mathrm{\γ}}(\mathrm{ch}\frac{\mathrm{\γ}{x}_1}{{\mathrm{\σ}}_0}-1)+2H$

$L_{21}=L_{12}=\sqrt{{(x_1-x_2)}^2+L^2+{\left[\frac{{\mathrm{\σ}}_0}{\mathrm{\γ}}(\mathrm{ch}\frac{\mathrm{\γ}{x}_1}{{\mathrm{\σ}}_0}-\mathrm{ch}\frac{\mathrm{\γ}{x}_2}{{\mathrm{\σ}}_0})\right]}^2}$

$L_{22}^{\′}=2\frac{{\mathrm{\σ}}_0}{\mathrm{\γ}}(\mathrm{ch}\frac{\mathrm{\γ}{x}_2}{{\mathrm{\σ}}_0}-1)+2H$

$L_{12}^{\′}=L_{21}^{\′}=\sqrt{{(x_2-x_1^{\′})}^2+L^2+{[\frac{{\mathrm{\σ}}_0}{\mathrm{\γ}}(\mathrm{ch}\frac{\mathrm{\γ}{x}_2}{{\mathrm{\σ}}_0}+\mathrm{ch}\frac{\mathrm{\γ}{x}_1^{\′}}{{\mathrm{\σ}}_0})+2(H-\frac{{\mathrm{\σ}}_0}{\mathrm{\γ}})]}^2}$

式中，L₂₁、L₁₂表示导线l₁上点(x₁，y₁，z₁)与导线l₂上点(x₂，y₂，z₂)间的空间距离，L′₁₂表示导线l₁上点(x₁，y₁，z₁)与导线l₂的镜像导线上点(x′₂，y′₂，z′₂)间的空间距离，L′₂₁表示导线l₁的镜像导线上点(x′₁，y′₁，z′₁)与导线l₂上点(x₂，y₂，z₂)间的空间距离，L′₁₁表示导线l₁上点(x₁，y₁，z₁)与其镜像点(x′₁，y′₁，z′₁)间的空间距离，L′₂₂表示导线l₂上点(x₂，y₂，z₂)与其镜像点(x′₂，y′₂，z′₂)间的空间距离，L为导线l₁与导线l₂的水平间距，x₁为导线l₁上点(x₁，y₁，z₁)的x方向坐标，x₂为导线l₂上点(x₂，y₂，z₂)的x方向坐标，x′₁为导线l₁的镜像导线上点(x′₁，y′₁，z′₁)的x方向坐标。 

上述输电导线中某导线上任一点位置处的电位 

由以下算式求得： 

式（1）中， 

为自电位，计算公式为： 

式（1）中， 

为互电位，计算公式如下： 

上述式中， 

为导线i上任一点处的电位， 为导线j上任一点处的等效电荷及其镜像点处的等效电荷在导线i上任一点处产生的互电位， 

为导线i上任一点及其镜像点处的点电荷在该点处导线表面产生的自电位， 

分别为以计算点为分界面档距内导线左、右侧电荷及其镜像位置处电荷在该计算点处导线表面产生的自电位，ε₀表示空气的介电常数，ε₁表示土壤的介电常数，dx_j表示导线j上点x_j，y_j，z_j)相应微元dl_j的x坐标轴增量，dx′_j表示导线j的镜像导线上对应点(x′_j，y′_j，z′_j)相应微元dl′_j的x坐标轴增量，dx_L表示导线i上点(x_i，y_i，z_i)左侧任一点(x_L，y_L，z_L)相应微元dl_L的x坐标轴增量，dx′_L表示导线i的镜像导线上点(x′_i，y′_i，z′_i)左侧任一点(x′_L,y′_L,z′_L)相应微元dl′_L的x坐标轴增量，dx_R表示导线i上点(x_i，y_i，z_i)右侧任一点(x_R，y_R，z_R)相应微元dl_R的x坐标轴增量，dx′_R导线i上点(x_i，y_i，z_i)右侧任一点(x′_R,y′_R,z′_R)相应微元dl′_R的x坐标轴增量，q_j表示导线j上点(x_j，y_j，z_j)相应微元dl_j的导线表面等效电荷，q′_j表示导线j的镜像导线上对应点(x′_j，y′_j，z′_j)相应微元dl′_j的导线表面等效电荷，q_L表示导线i上点(x_i，y_i，z_i)左侧任一点(x_L，y_L，z_L)相应微元dl_L的导线表面等效电荷，q′_L表示导线i的镜像导线上点(x′_i，y′_i，z′_i)左侧任一点(x′_L,y′_L,z′_L)相应微元dl′_L的导线表面等效电荷，q_R表示导线i上点(x₁，y₁，z₁)右侧任一点(x_R，y_R，z_R)相应微元dl_R的导线表面等效电荷，q′_R表示导线i的镜像导线上点(x′_i，y′_i，z′_i)右侧任一点(x′_R,y′_R,z′_R)相应微元dl′_R的导线表面等效电荷。 

上述各输电导线微元段的表面等效电荷由如下积分公式求得： 

$q_2=q_1=2\mathrm{\π}{\mathrm{\ϵ}}_0\underset{l_{\mathrm{OA}}}{\overset{l_{\mathrm{OB}}}{\∫}}\frac{U_1\ln \frac{L_{22}^{\′}}{R}-U_2\ln \frac{L_{12}^{\′}}{L_{12}}}{\ln \frac{L_{11}^{\′}}{R}\ln \frac{L_{22}^{\′}}{R}-{\ln }^2\left(\frac{L_{12}^{\′}}{L_{12}}\right)}\mathrm{ch}\frac{\mathrm{\γ}{x}_2}{{\mathrm{\σ}}_0}d{x}_2$

$q_1^{\′}=\frac{{\mathrm{\ϵ}}_0-{\mathrm{\ϵ}}_1}{{\mathrm{\ϵ}}_0+{\mathrm{\ϵ}}_1}{q}_1$

$q_2^{\′}=\frac{{\mathrm{\ϵ}}_0-{\mathrm{\ϵ}}_1}{{\mathrm{\ϵ}}_0+{\mathrm{\ϵ}}_1}{q}_2$

$q_L=q_1=2\mathrm{\π}{\mathrm{\ϵ}}_0\underset{l_{\mathrm{OA}}}{\overset{l_{\mathrm{OB}}}{\∫}}\frac{U_1\ln \frac{L_{22}^{\′}}{R}-U_2\ln \frac{L_{12}^{\′}}{L_{12}}}{\ln \frac{L_{11}^{\′}}{R}\ln \frac{L_{22}^{\′}}{R}-{\ln }^2\left(\frac{L_{12}^{\′}}{L_{12}}\right)}\mathrm{ch}\frac{\mathrm{\γ}{x}_2}{{\mathrm{\σ}}_0}{\mathrm{dx}}_2{|}_{x_1=x_L}$

$q_L^{\′}=\frac{{\mathrm{\ϵ}}_0-{\mathrm{\ϵ}}_1}{{\mathrm{\ϵ}}_0+{\mathrm{\ϵ}}_1}{q}_L{|}_{x_L=x_L^{\′}}$

$q_R=q_1=2\mathrm{\π}{\mathrm{\ϵ}}_0\underset{l_{\mathrm{OA}}}{\overset{l_{\mathrm{OB}}}{\∫}}\frac{U_1\ln \frac{L_{22}^{\′}}{R}-U_2\ln \frac{L_{12}^{\′}}{L_{12}}}{\ln \frac{L_{11}^{\′}}{R}\ln \frac{L_{22}^{\′}}{R}-{\ln }^2\left(\frac{L_{12}^{\′}}{L_{12}}\right)}\mathrm{ch}\frac{\mathrm{\γ}{x}_2}{{\mathrm{\σ}}_0}{{\mathrm{dx}}_2|}_{x_1=x_R}$

$q_R^{\′}=\frac{{\mathrm{\ϵ}}_0-{\mathrm{\ϵ}}_1}{{\mathrm{\ϵ}}_0+{\mathrm{\ϵ}}_1}{q}_R{|}_{x_R=x_R^{\′}}$

式中，U₁、U₂为线路额定电压，q₁表示导线1上点(x₁，y₁，z₁)相应微元dl₁的导线表面等效电荷，q′₁表示导线1的镜像导线上对应点(x′₁，y′₁，z′₁)相应微元dl′₁的导线表面等效电荷，q₂表示导线2上点(x₂，y₂，z₂)相应微元dl₂的导线表面等效电荷，q′₂表示导线2的镜像导线上对应点(x′₂，y′₂，z′₂)相应微元dl′₂的导线表面等效电荷。 

上述档距内各导线表面等效电荷在空间产生的电场强度按以下步骤确定：导线l₁及其镜像导线在待求空间中的任一点P(x，y，z)处产生的电场强度 

为： 

${\stackrel{\→}{E}}_1=\underset{l_{\mathrm{OA}}}{\overset{l_{\mathrm{OB}}}{\∫}}\frac{q_1{\mathrm{dl}}_1}{4\mathrm{\π}{\mathrm{\ϵ}}_0{L}_{1P}^2}\stackrel{\→}{e_{L_{1P}}}+\underset{l_{\mathrm{OA}}}{\overset{l_{\mathrm{OB}}}{\∫}}\frac{q_1^{\′}{\mathrm{dl}}_1^{\′}}{4\mathrm{\π}{\mathrm{\ϵ}}_0{L}_{1P}^{\′2}}\stackrel{\→}{e_{L_{1P}^{\′}}}$

式中， 

为由(x₁，y₁，z₁)指向P(x，y，z)和由(x′₁，y′₁，z′₁)指向P(x，y，z)的单位向量，L_1P、L′_1P为点(x₁，y₁，z₁)到P(x，y，z)和点(x′₁，y′₁，z′₁)到P(x，y，z)的距离； 

同理，导线l₂及其镜像导线在点P(x，y，z)处产生的电场强度 为： 

${\stackrel{\→}{E}}_2=\underset{l_{\mathrm{OA}}}{\overset{l_{\mathrm{OB}}}{\∫}}\frac{q_2{\mathrm{dl}}_2}{4\mathrm{\π}{\mathrm{\ϵ}}_0{L}_{2P}^2}\stackrel{\→}{e_{L_{2P}}}+\underset{l_{\mathrm{OA}}}{\overset{l_{\mathrm{OB}}}{\∫}}\frac{q_2^{\′}{\mathrm{dl}}_2^{\′}}{4\mathrm{\π}{\mathrm{\ϵ}}_0{L}_{2P}^{\′2}}\stackrel{\→}{e_{L_{2P}^{\′}}}$

式中， 

为由(x₂，y₂，z₂)指向P(x，y，z)和由(x′₂，y′₂，z′₂)指向P(x，y，z)的单位向量，L_2P、L′_2P为点(x₂，y₂，z₂)到P(x，y，z)和点(x′₂，y′₂，z′₂)到P(x，y，z)的距离； 

利用场强叠加技术，点P(x，y，z)处的合成电场强度 

为： 

${\stackrel{\→}{E}}_P={\stackrel{\→}{E}}_1+{\stackrel{\→}{E}}_2=\underset{l_{\mathrm{OA}}}{\overset{l_{\mathrm{OB}}}{\∫}}\frac{q_1{\mathrm{dl}}_1}{4\mathrm{\π}{\mathrm{\ϵ}}_0{L}_{1P}^2}\stackrel{\→}{e_{L_{1P}}}+\underset{l_{\mathrm{OA}}}{\overset{l_{\mathrm{OB}}}{\∫}}\frac{q_1^{\′}{\mathrm{dl}}_1^{\′}}{4\mathrm{\π}{\mathrm{\ϵ}}_0{L}_{1P}^{\′2}}\stackrel{\→}{e_{L_{1P}^{\′}}}+\underset{l_{\mathrm{OA}}}{\overset{l_{\mathrm{OB}}}{\∫}}\frac{q_2{\mathrm{dl}}_2}{4\mathrm{\π}{\mathrm{\ϵ}}_0{L}_{2P}^2}\stackrel{\→}{e_{L_{2P}}}+\underset{l_{\mathrm{OA}}}{\overset{l_{\mathrm{OB}}}{\∫}}\frac{q_2^{\′}{\mathrm{dl}}_2^{\′}}{4\mathrm{\π}{\mathrm{\ϵ}}_0{L}_{2P}^{\′2}}\stackrel{\→}{e_{L_{2P}^{\′}}}.$

本发明提出的基于导线表面等效电荷曲线积分方法，本发明主要包括不等高悬挂的输电线路模型，导线表面等效电荷的曲线积分法和三维工频电场计算方法三部分； 

该不等高悬挂的输电线路模型，用于获得不同气象条件、线路参数下输电线路档距内任一点位置的导线实际高度； 

该导线表面等效电荷的曲线积分法，用于对所述的档距两端导线不等高时架空导线表面等效电荷进行积分求解，获得档距内任一点导线表面的等效电荷。 

本发明的有益效果是： 

（1）在线路的一个档距范围内以导线最低点对应地面位置为坐标原点建立了空间直角坐标系，推导出了不等高悬挂输电线路的悬链线方程表达式，在此基础上建立了不等高悬挂输电线路的三维模型，可对档距内导线任一点的实际对地高度进行求解。 

（2）基于镜像法原理及电位系数法求解二维空间下输电线路导线表面等效电荷理论，通过导线表面电位叠加及匹配得到了三维空间下二导体传输线上导线表面等效电荷的求解方法。 

（3）将所得三维空间下二导体输电线路上导线表面等效电荷的求解方法进行了推广，得到了当采用多导体输电线路时其各个子导体上表面等效电荷的求解方法，使本发明专利的方法更具实际应用意义。 

该方法能真实反映实际高压输电线路的空间架设情况，有利于准确地计算高压输电线路的空间三维电场强度，为评价输电线路的电磁环境提供了可靠依据。 

附图说明

图1为本发明的不等高悬挂输电线路模型的示意图。 

图2为本发明的输电线路微段导线元的表面等效电荷的求解示意图。 

图3为本发明的多导线系统各子导线的表面等效电荷的求解示意图。 

图4为本发明的多导线系统地上空间任一点处电场强度计算的示意图。 

具体实施方式

本发明基于输电导线表面等效电荷曲线积分的三维工频电场测定方法，包括以下步骤： 

第一步，获取计算输电线路三维工频电场强度的参数，包括输电线路档距（指两相邻杆塔导线悬挂点间的水平距离），导线架设高度（指在两相邻杆塔上导线的架设高度），导线布置参数（指相导线之间的空间相对位置，导线分裂数和分裂间距），导线力学参数（指导线半径，导线单位长度单位截面所承受的载荷和导线最低点所承受的应力）。 

第二步，采用不等高悬挂的导线悬链线方程代替原有输电线路导线高度的计算方法，建立不等高悬挂输电线路的三维模型（见图1），然后按照下列算式确定档距内任一点x(l_OA≤x≤l_OB)位置的导线实际高度z（见图1）： 

$\left\{\begin{array}{cc}z=\frac{{\mathrm{\σ}}_0}{\mathrm{\γ}}(\mathrm{ch}\frac{\mathrm{\γx}}{{\mathrm{\σ}}_0}-1)+H,& l_{\mathrm{OA}}\≤x\≤l_{\mathrm{OB}}\\ y=0& \end{array}\right.$

（1） 

其中： 

$\left\{\begin{array}{c}{l}_{\mathrm{OA}}=\frac{l-\frac{2{\mathrm{\σ}}_0}{\mathrm{\γ}}\·\mathrm{arsh}\left[\frac{\mathrm{h\γ}}{2{\mathrm{\σ}}_0}{\mathrm{sh}}^{-1}\left(\frac{\mathrm{\γl}}{2{\mathrm{\σ}}_0}\right)\right]}{2}\\ l_{\mathrm{OB}}=\frac{l+\frac{2{\mathrm{\σ}}_0}{\mathrm{\γ}}\·\mathrm{arsh}\left[\frac{\mathrm{h\γ}}{2{\mathrm{\σ}}_0}{\mathrm{sh}}^{-1}\left(\frac{\mathrm{\γl}}{2{\mathrm{\σ}}_0}\right)\right]}{2}\end{array}\right.$

式中，γ表示导线单位长度单位界面上所承受的载荷，σ₀表示导线上各点的水平应力，亦即导线最低点承受的应力，l表示该选定区段输电线路档距，z_A、z_B分别表示导线悬挂点A、B的对地高度（见图1），h表示两相邻杆塔导线悬挂点的高度差（见图1），H表示导线最低点O距地面（XOY平面）的高度（见图1）。 

接着，在图2所示的两架空导线微元上电位求解示意图中，在导线l₁，l₂上 分别取点(x₁，y₁，z₁)、(x₂，y₂，z₂)对应微元dl₁、dl₂，其对应镜像导线微元分别为dl₁、dl₂，对应点(x′₁，y′₁，z′₁)和(x′₂，y′₂，z′₂)，采用上述档距内任一点位置处导线实际高度的求解公式，按照下列算式可得到导线l₁，l₂上点(x₁，y₁，z₁)，(x₂，y₂，z₂)及其镜像点(x′₁，y′₁，z′₁)，(x′₂，y′₂，z′₂)之间的空间距离参数（见图2）： 

$L_{11}^{\′}=2\frac{{\mathrm{\σ}}_0}{\mathrm{\γ}}(\mathrm{ch}\frac{\mathrm{\γ}{x}_1}{{\mathrm{\σ}}_0}-1)+2H---\left(2\right)$

$L_{21}=L_{12}=\sqrt{{(x_1-x_2)}^2+L^2+{\left[\frac{{\mathrm{\σ}}_0}{\mathrm{\γ}}(\mathrm{ch}\frac{\mathrm{\γ}{x}_1}{{\mathrm{\σ}}_0}-\mathrm{ch}\frac{\mathrm{\γ}{x}_2}{{\mathrm{\σ}}_0})\right]}^2}---\left(3\right)$

$L_{22}^{\′}=2\frac{{\mathrm{\σ}}_0}{\mathrm{\γ}}(\mathrm{ch}\frac{\mathrm{\γ}{x}_2}{{\mathrm{\σ}}_0}-1)+2H---\left(4\right)$

$L_{12}^{\′}=L_{21}^{\′}=\sqrt{{(x_2-x_1^{\′})}^2+L^2+{[\frac{{\mathrm{\σ}}_0}{\mathrm{\γ}}(\mathrm{ch}\frac{\mathrm{\γ}{x}_2}{{\mathrm{\σ}}_0}+\mathrm{ch}\frac{\mathrm{\γ}{x}_1^{\′}}{{\mathrm{\σ}}_0})+2(H-\frac{{\mathrm{\σ}}_0}{\mathrm{\γ}})]}^2}---\left(5\right)$

式中，L₂₁、L₁₂表示导线l₁上点(x₁，y₁，z₁)与导线l₂上点(x₂，y₂，z₂)间的空间距离，L′₁₂表示导线l₁上点(x₁，y₁，z₁)与导线l₂的镜像导线上点(x′₂，y′₂，z′₂)间的空间距离，L′₂₁表示导线l₁的镜像导线上点(x′₁，y′₁，z′₁)与导线l₂上点(x₂，y₂，z₂)间的空间距离，L′₁₁表示导线l₁上点(x₁，y₁，z₁)与其镜像点(x′₁，y′₁，z′₁)间的空间距离，L′₂₂表示导线l₂上点(x₂，y₂，z₂)与其镜像点(x′₂，y′₂，z′₂)间的空间距离。 

第三步，基于上述不等高悬挂导线悬链线方程所求得的档距内任一点导线的实际高度z，利用不等高悬挂输电线路导线表面等效电荷的曲线积分法对任一点x处导线表面等效电荷q进行求解，便可得到考虑了输电线路导线自重、导线载荷、应力及弧垂等因素的档距内导线表面等效电荷的函数表达式。具体实现过程如下所示。 

在图2所示的两架空导线微段导线元上电位求解示意图中，导线l₁上任一点(x₁，y₁，z₁)处电位可由以下计算公式求得： 

式中， 

为导线l₁上任一点处的电位， 

为导线l₂上任一点处的等效电荷及其镜像点处的等效电荷在导线l₁上任一点处产生的互电位， 

为导线l₁上任一点及其镜像点处的点电荷在该点处导线表面产生的自电位， 

分别为以计算点为分界面档距内导线左、右侧电荷及其镜像位置处电荷在该计算点处导线表面产生的自电位，ε₀表示空气的介电常数，ε₁表示土壤的介电常数，dx₂表示导线l₂上点(x₂，y₂，z₂)相应微元dl₂的x坐标轴增量，dx′₂表示导线l₂的镜像导线上对应点(x′₂，y′₂，z′₂)相应微元dl′₂的x坐标轴增量，dx_L表示导线l₁上点(x₁，y₁，z₁)左侧任一点(x_L，y_L，z_L)相应微元dl_L的x坐标轴增量，dx′_L表示导线l₁的镜像导线上点(x′₁，y′₁，z′₁)左侧任一点(x′_L,y′_L,z′_L)相应微元dl′_L的x坐标轴增量，dx_R表示导线l₁上点(x₁，y₁，z₁)右侧任一点(x_R，y_R，z_R)相应微元dl_R的x坐标轴增量，dx′_R导线l₁上点(x₁，y₁，z₁)右侧任一点(x′_R,y′_R,z′_R)相应微元dl′_R的x坐标轴增量，q₂表示导线l₂上点(x₂，y₂，z₂)相应微元dl₂的导线表面等效电荷，q′₂表示导线l₂的镜像导线上对应点(x′₂，y′₂，z′₂)相应微元dl′₂的导线表面等效电荷，q_L表示导线l₁上点(x₁，y₁，z₁)左侧任一点(x_L，y_L，z_L)相应微元dl_L的导线表面等效电荷，q′_L表示导线l₁的镜像导线上点(x′₁，y′₁，z′₁)左侧任一点(x′_L,y′_L,z′_L)相应微元dl′_L的导线表面等效电荷，q_R表示导线l₁上点(x₁，y₁，z₁)右侧任一点(x_R，y_R，z_R)相应微元dl_R的导线表面等效电荷，q′_R表示导线l₁的镜像导线上点(x′₁，y′₁，z′₁)右侧任一点(x′_R,y′_R,z′_R)相应微元dl′_R的导线表面等效电荷。 

其中，在考虑输电线路导线自重、导线载荷、应力及弧垂等因素对档距内导线间空间距离影响的基础之上，各导线微元段的表面等效电荷可由如下积分公式求得： 

$q_2=q_1=2\mathrm{\π}{\mathrm{\ϵ}}_0\underset{l_{\mathrm{OA}}}{\overset{l_{\mathrm{OB}}}{\∫}}\frac{U_1\ln \frac{L_{22}^{\′}}{R}-U_2\ln \frac{L_{12}^{\′}}{L_{12}}}{\ln \frac{L_{11}^{\′}}{R}\ln \frac{L_{22}^{\′}}{R}-{\ln }^2\left(\frac{L_{12}^{\′}}{L_{12}}\right)}\mathrm{ch}\frac{\mathrm{\γ}{x}_2}{{\mathrm{\σ}}_0}d{x}_2---\left(10\right)$

$q_1^{\′}=\frac{{\mathrm{\ϵ}}_0-{\mathrm{\ϵ}}_1}{{\mathrm{\ϵ}}_0+{\mathrm{\ϵ}}_1}{q}_1---\left(11\right)$

$q_2^{\′}=\frac{{\mathrm{\ϵ}}_0-{\mathrm{\ϵ}}_1}{{\mathrm{\ϵ}}_0+{\mathrm{\ϵ}}_1}{q}_2---\left(12\right)$

$q_L=q_1=2\mathrm{\π}{\mathrm{\ϵ}}_0\underset{l_{\mathrm{OA}}}{\overset{l_{\mathrm{OB}}}{\∫}}\frac{U_1\ln \frac{L_{22}^{\′}}{R}-U_2\ln \frac{L_{12}^{\′}}{L_{12}}}{\ln \frac{L_{11}^{\′}}{R}\ln \frac{L_{22}^{\′}}{R}-{\ln }^2\left(\frac{L_{12}^{\′}}{L_{12}}\right)}\mathrm{ch}\frac{\mathrm{\γ}{x}_2}{{\mathrm{\σ}}_0}{\mathrm{dx}}_2{|}_{x_1=x_L}---\left(13\right)$

$q_L^{\′}=\frac{{\mathrm{\ϵ}}_0-{\mathrm{\ϵ}}_1}{{\mathrm{\ϵ}}_0+{\mathrm{\ϵ}}_1}{q}_L{|}_{x_L=x_L^{\′}}---\left(14\right)$

$q_R=q_1=2\mathrm{\π}{\mathrm{\ϵ}}_0\underset{l_{\mathrm{OA}}}{\overset{l_{\mathrm{OB}}}{\∫}}\frac{U_1\ln \frac{L_{22}^{\′}}{R}-U_2\ln \frac{L_{12}^{\′}}{L_{12}}}{\ln \frac{L_{11}^{\′}}{R}\ln \frac{L_{22}^{\′}}{R}-{\ln }^2\left(\frac{L_{12}^{\′}}{L_{12}}\right)}\mathrm{ch}\frac{\mathrm{\γ}{x}_2}{{\mathrm{\σ}}_0}{{\mathrm{dx}}_2|}_{x_1=x_R}---\left(15\right)$

$q_R^{\′}=\frac{{\mathrm{\ϵ}}_0-{\mathrm{\ϵ}}_1}{{\mathrm{\ϵ}}_0+{\mathrm{\ϵ}}_1}{q}_R{|}_{x_R=x_R^{\′}}---\left(16\right)$

本发明认为：输电线路档距内任一点处导线电位均为该线路的额定电压，即u₁＝g(x₁)=U₁，u₂＝g(x₂)=U₂，U₁、U₂为线路额定电压；并且任一点处导线电位由两部分组成：①该导线上除计算点及其镜像点外其它位置处的等效电荷在该计算点处产生的自电位，②其它导线上任一点处等效电荷及其镜像导线相对应点处等效电荷在该导线计算点处产生的互电位。如图2所示，导线l₁上点(x₁，y₁，z₁)处的电位等于：①导线l₁上除点(x₁，y₁，z₁)及其镜像点(x′₁，y′₁，z′₁)以外其它位置处的等效电荷在点(x₁，y₁，z₁)处产生的自电位，②导线l₂上任一点(x₂，y₂，z₂)处的等效电荷及其镜像点(x′₂，y′₂，z′₂)处的等效电荷在导线l₁上计算点(x₁，y₁，z₁)处产生的互电位。即导线l₁上点(x₁，y₁，z₁)处的导线表面电位为： 

对此式进行求解，可得在考虑了输电线路导线自重、导线载荷、应力及弧垂 等因素下档距内导线l₁上表面等效电荷的函数表达式q₁=f(x₁)。在两导线表面等效电荷的计算模型中，由于导线l₁与导线l₂的对称性，重复上述工作，同理可得出导线l₂上表面等效电荷的函数表达式 

本发明专利可通过建立多导线系统各子导线表面等效电荷的计算模型（见图3），运用曲线积分法对多导线系统中每个导线表面的等效电荷进行求解。如图2所示，导线i表面点(x_i，y_i，z_i)的电位 

为： 

对此式进行求解，可得在考虑了输电线路导线自重、导线载荷、应力及弧垂等因素下档距内导线i上表面等效电荷的函数表达式q_i=f(x_i)。 

式中， 

为自电位，计算公式为： 

为互电位，计算公式如下： 

第四步，获得了档距内各导线上任一点的导线表面等效电荷，可得到该档距内各导线表面等效电荷在周围空间任一点产生的电场强度，利用场强叠加技术便可得到档距两端导线不等高时多导线系统的空间电场强度分布情况。 

考虑档距两端导线不等高的空间电场强度计算示意图如图4所示，图4中P(x，y，z)为待求空间中的任一点，dl₁为导线l₁上点(x₁，y₁，z₁)处的导线微段，dl′₁为其镜像点(x′₁，y′₁，z′₁)处的导线微段， 

为由(x₁，y₁，z₁)指向P(x，y，z)和由(x′₁，y′₁，z′₁)指向P(x，y，z)的单位向量，L_1P、L′_1P为点(x₁，y₁，z₁)到P(x，y，z)和点(x′₁，y′₁，z′₁)到P(x，y，z)的距离。在图4所示的一个档距内，导线l₁ 及其镜像导线在点P(x，y，z)处产生的电场强度 

为： 

${\stackrel{\→}{E}}_1=\underset{l_{\mathrm{OA}}}{\overset{l_{\mathrm{OB}}}{\∫}}\frac{q_1{\mathrm{dl}}_1}{4\mathrm{\π}{\mathrm{\ϵ}}_0{L}_{1P}^2}\stackrel{\→}{e_{L_{1P}}}+\underset{l_{\mathrm{OA}}}{\overset{l_{\mathrm{OB}}}{\∫}}\frac{q_1^{\′}{\mathrm{dl}}_1^{\′}}{4\mathrm{\π}{\mathrm{\ϵ}}_0{L}_{1P}^{\′2}}\stackrel{\→}{e_{L_{1P}^{\′}}}---\left(23\right)$

同理，重复上述工作，在图4所示的一个档距内，导线l₂及其镜像导线在P(x，y，z)处产生的电场强度 

为： 

${\stackrel{\→}{E}}_2=\underset{l_{\mathrm{OA}}}{\overset{l_{\mathrm{OB}}}{\∫}}\frac{q_2{\mathrm{dl}}_2}{4\mathrm{\π}{\mathrm{\ϵ}}_0{L}_{2P}^2}\stackrel{\→}{e_{L_{2P}}}+\underset{l_{\mathrm{OA}}}{\overset{l_{\mathrm{OB}}}{\∫}}\frac{q_2^{\′}{\mathrm{dl}}_2^{\′}}{4\mathrm{\π}{\mathrm{\ϵ}}_0{L}_{2P}^{\′2}}\stackrel{\→}{e_{L_{2P}^{\′}}}---\left(24\right)$

其中， 

为由(x₂，y₂，z₂)指向P(x，y，z)和由(x′₂，y′₂，z′₂)指向P(x，y，z)的单位向量，L_2P、L′_2P为点(x₂，y₂，z₂)到P(x，y，z)和点(x′₂，y′₂，z′₂)到P(x，y，z)的距离。 

利用场强叠加技术，在图4所示的空间电场强度计算示意图中，点P(x，yz)处的合成电场强度 

为： 

${\stackrel{\→}{E}}_P={\stackrel{\→}{E}}_1+{\stackrel{\→}{E}}_2=\underset{l_{\mathrm{OA}}}{\overset{l_{\mathrm{OB}}}{\∫}}\frac{q_1{\mathrm{dl}}_1}{4\mathrm{\π}{\mathrm{\ϵ}}_0{L}_{1P}^2}\stackrel{\→}{e_{L_{1P}}}+\underset{l_{\mathrm{OA}}}{\overset{l_{\mathrm{OB}}}{\∫}}\frac{q_1^{\′}{\mathrm{dl}}_1^{\′}}{4\mathrm{\π}{\mathrm{\ϵ}}_0{L}_{1P}^{\′2}}\stackrel{\→}{e_{L_{1P}^{\′}}}+\underset{l_{\mathrm{OA}}}{\overset{l_{\mathrm{OB}}}{\∫}}\frac{q_2{\mathrm{dl}}_2}{4\mathrm{\π}{\mathrm{\ϵ}}_0{L}_{2P}^2}\stackrel{\→}{e_{L_{2P}}}+\underset{l_{\mathrm{OA}}}{\overset{l_{\mathrm{OB}}}{\∫}}\frac{q_2^{\′}{\mathrm{dl}}_2^{\′}}{4\mathrm{\π}{\mathrm{\ϵ}}_0{L}_{2P}^{\′2}}\stackrel{\→}{e_{L_{2P}^{\′}}}---\left(25\right)$

本发明由于所述方法而获得的效果是显而易见的： 

（1）在线路的一个档距范围内以导线最低点对应地面位置为坐标原点建立了空间直角坐标系，推导出了不等高悬挂输电线路的悬链线方程表达式，在此基础上建立了不等高悬挂输电线路的三维模型，可对档距内导线任一点的实际对地高度进行求解； 

（2）基于镜像法原理及电位系数法求解二维空间下输电线路导线表面等效电荷理论，通过导线表面电位叠加及匹配得到了三维空间下二导体传输线上导线表面等效电荷的求解方法； 

（3）将所得三维空间下二导体输电线路上导线表面等效电荷的求解方法进行了推广，得到了当采用多导体输电线路时其各个子导体上表面等效电荷的求解方法，使本发明专利的方法更具实际应用意义。 

下面结合附图及实施例，对本发明提出的基于导线表面等效电荷曲线积分的三维工频电场计算方法进行详细说明： 

第一步，获取计算输电线路三维工频电场强度的参数。输电线路杆塔技术为 2基，档距长度为450m，三相导线等高悬挂，悬挂点高度为24m，导线水平排列，相间距离为14m，导线距离地面最小距离为16m，导线型号为4×LGJ-300/25，每相分裂间距为450mm，导线半径为11.88mm，导线弧垂最低点应力为100.099N/mm²，导线安全系数取2.5。 

第二步，根据以上线路参数及本发明提出的不等高悬挂的导线悬链线方程，建立输电线路的三维模型。 

按照前述公式（1）求解三相输电线路及其镜像导线的悬链线方程，即可确定档距内三相输电线路及其镜像导线上任一点位置处导线的实际高度，进而利用前述公式（2）——（5）可得到输电线路上任一点与其镜像点之间的空间距离参数。 

第三步，利用第二步中所求得的三相输电线路及其镜像导线的悬链线方程，按照前述公式（6）——（22）即可得到档距内输电导线上任一点位置处的导线表面等效电荷。 

第四步，利用第三步中所求得的档距内各导线上任一点处的导线表面等效电荷，按照前述公式（23）——（25）即可得到档距内三相输电线路在周围空间产生的总电场强度的分布情况。 

Claims (6)

1.一种基于输电导线表面等效电荷曲线积分的三维工频电场的测定方法，其特征是，所述计算方法包括如下步骤：

第一步，获取计算输电线路三维工频电场强度的参数，包括输电线路档距，输电线路导线架设高度，导线布置参数，导线力学参数；上述导线布置参数是指相导线之间的空间相对位置，导线分裂数和导线分裂间距，导线力学参数是指导线半径、导线单位长度单位截面所承受的载荷和导线最低点所承受的应力；

第二步，采用不等高悬挂的导线悬链线方程计算确定不等高悬挂的输电线路档距内任一点x位置的导线实际高度z，确定高压输电线路上任一点与其镜像点之间的空间距离参数；

第三步，基于上述计算确定的档距内任一点x位置的导线实际高度z以及任一点与其镜像点之间的空间距离参数，求取导线上任一点处电位，再对各输电导线微元段的表面等效电荷进行曲线积分，确定档距内输电导线上任一点位置处的导线表面等效电荷；

第四步，确定档距内各导线表面等效电荷在周围空间产生的电场强度，采用场强叠加技术，获取档距两端导线不等高时多导线系统的空间电场强度分布情况。

2.根据权利要求1所述的一种基于输电导线表面等效电荷曲线积分的三维工频电场的测定方法，其特征是，所述采用下述导线悬链式方程确定档距内任一点x位置的导线实际高度z：

$\left\{\begin{array}{cc}z=\frac{{\mathrm{\σ}}_0}{\mathrm{\γ}}(\mathrm{ch}\frac{\mathrm{\γx}}{{\mathrm{\σ}}_0}-1)+H,& l_{\mathrm{OA}}\≤x\≤l_{\mathrm{OB}}\\ y=0& \end{array}\right.$

其中：

$\left\{\begin{array}{c}{l}_{\mathrm{OA}}=\frac{l-\frac{2{\mathrm{\σ}}_0}{\mathrm{\γ}}\·\mathrm{arsh}\left[\frac{\mathrm{h\γ}}{2{\mathrm{\σ}}_0}{\mathrm{sh}}^{-1}\left(\frac{\mathrm{\γl}}{2{\mathrm{\σ}}_0}\right)\right]}{2}\\ l_{\mathrm{OB}}=\frac{l+\frac{2{\mathrm{\σ}}_0}{\mathrm{\γ}}\·\mathrm{arsh}\left[\frac{\mathrm{h\γ}}{2{\mathrm{\σ}}_0}{\mathrm{sh}}^{-1}\left(\frac{\mathrm{\γl}}{2{\mathrm{\σ}}_0}\right)\right]}{2}\end{array}\right.$

式中，l_OA为档距内导线最低点O与导线悬挂点的水平距离，l_OB为档距内导线最低点O与另一导线悬挂点的水平距离，γ表示导线单位长度单位界面上所承受的载荷，σ₀表示导线上各点的水平应力，亦即导线最低点承受的应力，l表示该选定区段输电线路档距，h表示两相邻杆塔导线悬挂点的高度差，H表示导线最低点O距地面的高度。

3.根据权利要求2所述的一种基于输电导线表面等效电荷曲线积分的三维工频电场的测定方法，其特征是，所述高压输电线路上任一点与其镜像点之间的空间距离参数按以下算式确定：

$L_{11}^{\′}=2\frac{{\mathrm{\σ}}_0}{\mathrm{\γ}}(\mathrm{ch}\frac{\mathrm{\γ}{x}_1}{{\mathrm{\σ}}_0}-1)+2H$

$L_{21}=L_{12}=\sqrt{{(x_1-x_2)}^2+L^2+{\left[\frac{{\mathrm{\σ}}_0}{\mathrm{\γ}}(\mathrm{ch}\frac{\mathrm{\γ}{x}_1}{{\mathrm{\σ}}_0}-\mathrm{ch}\frac{\mathrm{\γ}{x}_2}{{\mathrm{\σ}}_0})\right]}^2}$

$L_{22}^{\′}=2\frac{{\mathrm{\σ}}_0}{\mathrm{\γ}}(\mathrm{ch}\frac{\mathrm{\γ}{x}_2}{{\mathrm{\σ}}_0}-1)+2H$

$L_{12}^{\′}=L_{21}^{\′}=\sqrt{{(x_2-x_1^{\′})}^2+L^2+{[\frac{{\mathrm{\σ}}_0}{\mathrm{\γ}}(\mathrm{ch}\frac{\mathrm{\γ}{x}_2}{{\mathrm{\σ}}_0}+\mathrm{ch}\frac{\mathrm{\γ}{x}_1^{\′}}{{\mathrm{\σ}}_0})+2(H-\frac{{\mathrm{\σ}}_0}{\mathrm{\γ}})]}^2}$

式中，L₂₁、L₂₂表示导线l₁上点(x₁，y₁，z₁)与导线l₂上点(x₂，y₂，z₂)间的空间距离，L′₁₂表示导线l₁上点(x₁，y₁，z₁)与导线l₂的镜像导线上点(x′₂，y′₂，z′₂)间的空间距离，L′₂₁表示导线l₁的镜像导线上点(x′₁，y′₁，z′₁)与导线l₂上点(x₂，y₂，z₂)间的空间距离，L′₁₁表示导线l₁上点(x₁，y₁，z₁)与其镜像点(x′₁，y′₁，z′₁)间的空间距离，L′₂₂表示导线l₂上点(x₂，y₂，z₂)与其镜像点(x′₂，y′₂，z′₂)间的空间距离，L为导线l₁与导线l₂的水平间距，x₁为导线l₁上点(x₁，y₁，z₁)的x方向坐标，x₂为导线l₂上点(x₂，y₂，z₂)的x方向坐标，x′₁为导线l₁的镜像导线上点(x′₁，y′₁，z′₁)的x方向坐标。

4.根据权利要求3所述的一种基于输电导线表面等效电荷曲线积分的三维工频电场的测定方法，其特征是，所述输电导线中某导线上任一点位置处的电位

由以下算式求得：

式（1）中，

为自电位，计算公式为：

式（1）中，

为互电位，计算公式如下：

上述式中，

为导线i上任一点处的电位，

为导线j上任一点处的等效电荷及其镜像点处的等效电荷在导线i上任一点处产生的互电位，为导线i上任一点及其镜像点处的点电荷在该点处导线表面产生的自电位，

分别为以计算点为分界面档距内导线左、右侧电荷及其镜像位置处电荷在该计算点处导线表面产生的自电位，ε₀表示空气的介电常数，ε₁表示土壤的介电常数，dx_j表示导线j上点(x_j，y_j，z_j)相应微元dl_j的x坐标轴增量，dx′_j表示导线j的镜像导线上对应点(x′_j，y′_j，z′_j)相应微元dl′_j的x坐标轴增量，dx_L表示导线i上点(x_i，y_i，z_i)左侧任一点(x_L，y_L，z_L)相应微元dl_L的x坐标轴增量，dx′_l表示导线i的镜像导线上点(x′_i，y′_i，z′_i)左侧任一点(x′_L,y′_L,z′_L)相应微元dl′_L的x坐标轴增量，dx_R表示导线i上点(x_i，y_i，z_i)右侧任一点(x_R，y_R，z_R)相应微元dl_R的x坐标轴增量，dx′_R导线i上点(x_i，y_i，z_i)右侧任一点(x′_R,y′_R,z′_R)相应微元dl′_R的x坐标轴增量，q_j表示导线j上点(x_j，y_j，z_j)相应微元dl_j的导线表面等效电荷，q′_j表示导线j的镜像导线上对应点(x′_j，y′_j，z′_j)相应微元dl′_j的导线表面等效电荷，q_L表示导线i上点(x_i，y_i，z_i)左侧任一点(x_L，y_L，z_L)相应微元dl_L的导线表面等效电荷，q′_L表示导线i的镜像导线上点(x′_i，y′_i，z′_i)左侧任一点(x′_L,y′_L,z′_L)相应微元dl′_L的导线表面等效电荷，q_R表示导线i上点(x₁，y₁，z₁)右侧任一点(x_R，y_R，z_R)相应微元dl_R的导线表面等效电荷，q′_R表示导线i的镜像导线上点(x′_i，y′_i，z′_i)右侧任一点(x′_R,y′_R,z′_R)相应微元dl′_R的导线表面等效电荷。

5.根据权利要求4所述的一种基于输电导线表面等效电荷曲线积分的三维工频电场的测定方法，其特征是，所述各输电导线微元段的表面等效电荷由如下积分公式求得：

$q_2=q_1=2\mathrm{\π}{\mathrm{\ϵ}}_0\underset{l_{\mathrm{OA}}}{\overset{l_{\mathrm{OB}}}{\∫}}\frac{U_1\ln \frac{L_{22}^{\′}}{R}-U_2\ln \frac{L_{12}^{\′}}{L_{12}}}{\ln \frac{L_{11}^{\′}}{R}\ln \frac{L_{22}^{\′}}{R}-{\ln }^2\left(\frac{L_{12}^{\′}}{L_{12}}\right)}\mathrm{ch}\frac{\mathrm{\γ}{x}_2}{{\mathrm{\σ}}_0}d{x}_2$

$q_1^{\′}=\frac{{\mathrm{\ϵ}}_0-{\mathrm{\ϵ}}_1}{{\mathrm{\ϵ}}_0+{\mathrm{\ϵ}}_1}{q}_1$

$q_2^{\′}=\frac{{\mathrm{\ϵ}}_0-{\mathrm{\ϵ}}_1}{{\mathrm{\ϵ}}_0+{\mathrm{\ϵ}}_1}{q}_2$

$q_L=q_1=2\mathrm{\π}{\mathrm{\ϵ}}_0\underset{l_{\mathrm{OA}}}{\overset{l_{\mathrm{OB}}}{\∫}}\frac{U_1\ln \frac{L_{22}^{\′}}{R}-U_2\ln \frac{L_{12}^{\′}}{L_{12}}}{\ln \frac{L_{11}^{\′}}{R}\ln \frac{L_{22}^{\′}}{R}-{\ln }^2\left(\frac{L_{12}^{\′}}{L_{12}}\right)}\mathrm{ch}\frac{\mathrm{\γ}{x}_2}{{\mathrm{\σ}}_0}{\mathrm{dx}}_2{|}_{x_1=x_L}$

$q_L^{\′}=\frac{{\mathrm{\ϵ}}_0-{\mathrm{\ϵ}}_1}{{\mathrm{\ϵ}}_0+{\mathrm{\ϵ}}_1}{q}_L{|}_{x_L=x_L^{\′}}$

$q_R=q_1=2\mathrm{\π}{\mathrm{\ϵ}}_0\underset{l_{\mathrm{OA}}}{\overset{l_{\mathrm{OB}}}{\∫}}\frac{U_1\ln \frac{L_{22}^{\′}}{R}-U_2\ln \frac{L_{12}^{\′}}{L_{12}}}{\ln \frac{L_{11}^{\′}}{R}\ln \frac{L_{22}^{\′}}{R}-{\ln }^2\left(\frac{L_{12}^{\′}}{L_{12}}\right)}\mathrm{ch}\frac{\mathrm{\γ}{x}_2}{{\mathrm{\σ}}_0}{{\mathrm{dx}}_2|}_{x_1=x_R}$

$q_R^{\′}=\frac{{\mathrm{\ϵ}}_0-{\mathrm{\ϵ}}_1}{{\mathrm{\ϵ}}_0+{\mathrm{\ϵ}}_1}{q}_R{|}_{x_R=x_R^{\′}}$

式中，U₁、U₂为线路额定电压，q₁表示导线1上点(x₁，y₁，z₁)相应微元dl₁的导线表面等效电荷，q′₁表示导线1的镜像导线上对应点(x′₁，y′₁，z′₁)相应微元dl′₁的导线表面等效电荷，q₂表示导线2上点(x₂，y₂，z₂)相应微元dl₂的导线表面等效电荷，q′₂表示导线2的镜像导线上对应点(x′₂，y′₂，z′₂)相应微元dl′₂的导线表面等效电荷。

6.根据权利要求5所述的一种基于输电导线表面等效电荷曲线积分的三维工频电场的测定方法，其特征是，所述档距内各导线表面等效电荷在空间产生的电场强度按以下步骤确定：导线l₁及其镜像导线在待求空间中的任一点P(x，y，z)处产生的电场强度

为：

${\stackrel{\→}{E}}_1=\underset{l_{\mathrm{OA}}}{\overset{l_{\mathrm{OB}}}{\∫}}\frac{q_1{\mathrm{dl}}_1}{4\mathrm{\π}{\mathrm{\ϵ}}_0{L}_{1P}^2}\stackrel{\→}{e_{L_{1P}}}+\underset{l_{\mathrm{OA}}}{\overset{l_{\mathrm{OB}}}{\∫}}\frac{q_1^{\′}{\mathrm{dl}}_1^{\′}}{4\mathrm{\π}{\mathrm{\ϵ}}_0{L}_{1P}^{\′2}}\stackrel{\→}{e_{L_{1P}^{\′}}}$

式中，

为由(x₁，y₁，z₁)指向P(x，y，z)和由(x′₁，y′₁，z′₁)指向P(x，y，z)的单位向量，L_1P、L′_1P为点(x₁，y₁，z₁)到P(x，y，z)和点(x′₁，y′₁，z′₁)到P(x，y，z)的距离；

同理，导线l₂及其镜像导线在点P(x，y，z)处产生的电场强度

为：

${\stackrel{\→}{E}}_2=\underset{l_{\mathrm{OA}}}{\overset{l_{\mathrm{OB}}}{\∫}}\frac{q_2{\mathrm{dl}}_2}{4\mathrm{\π}{\mathrm{\ϵ}}_0{L}_{2P}^2}\stackrel{\→}{e_{L_{2P}}}+\underset{l_{\mathrm{OA}}}{\overset{l_{\mathrm{OB}}}{\∫}}\frac{q_2^{\′}{\mathrm{dl}}_2^{\′}}{4\mathrm{\π}{\mathrm{\ϵ}}_0{L}_{2P}^{\′2}}\stackrel{\→}{e_{L_{2P}^{\′}}}$

式中，为由(x₂，y₂，z₂)指向P(x，y，z)和由(x′₂，y′₂，z′₂)指向P(x，y，z)的单位向量，L_2P、L′_2P为点(x₂，y₂，z₂)到P(x，y，z)和点(x′₂，y′₂，z′₂)到P(x，y，z)的距离；

利用场强叠加技术，点P(x，y，z)处的合成电场强度

为：

${\stackrel{\→}{E}}_P={\stackrel{\→}{E}}_1+{\stackrel{\→}{E}}_2=\underset{l_{\mathrm{OA}}}{\overset{l_{\mathrm{OB}}}{\∫}}\frac{q_1{\mathrm{dl}}_1}{4\mathrm{\π}{\mathrm{\ϵ}}_0{L}_{1P}^2}\stackrel{\→}{e_{L_{1P}}}+\underset{l_{\mathrm{OA}}}{\overset{l_{\mathrm{OB}}}{\∫}}\frac{q_1^{\′}{\mathrm{dl}}_1^{\′}}{4\mathrm{\π}{\mathrm{\ϵ}}_0{L}_{1P}^{\′2}}\stackrel{\→}{e_{L_{1P}^{\′}}}+\underset{l_{\mathrm{OA}}}{\overset{l_{\mathrm{OB}}}{\∫}}\frac{q_2{\mathrm{dl}}_2}{4\mathrm{\π}{\mathrm{\ϵ}}_0{L}_{2P}^2}\stackrel{\→}{e_{L_{2P}}}+\underset{l_{\mathrm{OA}}}{\overset{l_{\mathrm{OB}}}{\∫}}\frac{q_2^{\′}{\mathrm{dl}}_2^{\′}}{4\mathrm{\π}{\mathrm{\ϵ}}_0{L}_{2P}^{\′2}}\stackrel{\→}{e_{L_{2P}^{\′}}}.$

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