CN102661381B - 一种弧齿锥齿轮及其四阶传动误差曲线的设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出了一种性能更加优异的四阶传动误差曲线及其设计方法，这种四阶传动误差曲线在相邻两条曲线之间只有一个交点，减少了换齿次数，降低了冲击和振动频率，且相邻两条曲线在交点处的斜率极为接近，使得换齿时的振动和冲击很小，进一步提高弧齿锥齿轮的传动性能。通过设置预控点，并结合四阶传动误差计算式，确定四阶多项式中各项的系数；按照最大函数值点将曲线向下平移到零线上；将传动误差曲线向左和向右平移一个小轮齿距角，得到前一对齿和后一对齿的传动误差曲线，观察相邻两条传动误差曲线的交点数目和交点处曲线的斜率差，同时调整预控点，使传动误差曲线满足要求。

Description

一种弧齿锥齿轮及其四阶传动误差曲线的设计方法

技术领域

本发明涉及齿轮传动技术领域，具体为一种弧齿锥齿轮及其四阶传动误差曲线的设计方法。

背景技术

弧齿锥齿轮是机械传动中十分重要的传动零件，在飞行器、舰船以及其他精密机械中应用十分广泛。弧齿锥齿轮的传动性能与传动误差曲线和齿面接触印痕有关，其中传动误差曲线又对其振动和噪声有更大的影响。从动力学角度讲，振动是由于物体位移或/和速度发生周期性变化而引起的；冲击是速度突变引起的，振动和冲击产生噪声。齿轮传动的振动、冲击和噪声主要来源于轮齿啮合振动和冲击。相互啮合的一对齿轮，轮齿啮合处的相对位移和速度的周期性变化产生齿轮啮合振动；轮齿啮入时的相对速度突变产生齿轮啮合冲击。齿轮传动误差是大轮实际转角与名义转角之差，名义转角根据小轮的转角和名义传动比计算得来，传动误差是小轮转角或时间的函数，其斜率表示齿轮传动中的相对速度变化。齿轮传动误差曲线表示的就是齿轮传动过程中的位移和速度变化，相邻传动误差曲线在换齿点的速度差意味着轮齿在啮入时会产生冲击。因此，齿轮系统动力学中常用传动误差曲线来衡量齿轮系统啮合振动和冲击的剧烈程度。

为了提高弧齿锥齿轮传动的平稳性，降低振动和噪声，研究人员提出了多种传动误差曲线。Litvin在文献“Methods of Synthesis and Analysis for Hypoid Gear-Drives of"Formate"and"HeIixform".Journal of Mechanical Design,1981,103(1):83～110”中提出的抛物线型传动误差曲线有利于吸收安装误差造成的线性冲击。美国Gleason公司的工程师Stadtfeld在仔细研究对称抛物线型传动误差曲线之后发现，此种传动误差曲线在传动过程中相邻齿对虽然只经历一次换齿，但是换齿点处存在较大的速度阶跃，换齿的冲击和振动较大。为此，他在文献“The Ultimate Motion Graph.Journal ofMechanical Design,2000,122(9):317～322”提出了四阶传动误差曲线(其形式如图1)。

四阶传动误差是关于小轮转角的四次函数，它记录了从小轮轮齿进入啮合到退出啮合过程中，大轮的转角波动量随小轮转角的变化规律。一对轮齿的啮合产生一条传动误差曲线。齿轮副每转过一个齿距，四阶传动误差曲线就重复出现一次。由此可知，一对弧齿锥齿轮的四阶传动误差曲线实际上是由一簇重复出现在二维笛卡尔坐标系中的四阶曲线构成(图1中列出了其中相邻的三条)。只要搞清楚一条四阶传动误差曲线的构型以及相邻两条四阶传动误差曲线之间的关系，也就抓住了弧齿锥齿轮的四阶传动误差曲线的构型要素。这些要素具体包括：

1、单独一条四阶传动误差曲线上有两个极大值点和一个极小值点，极大值点位于极小值点两侧。

2、单独一条四阶传动误差曲线左极大值点左侧的曲线斜率为正，右极大值点右侧的曲线斜率为负。

3、一条四阶传动误差曲线向左或向右平移一个小轮齿距角，即可得到相邻的一条四阶传动误差曲线。

3、相邻两条四阶传动误差曲线交点的数目。

4、相邻两条四阶传动误差曲线交点所处的位置以及两条曲线在交点处的斜率差。

四阶传动误差曲线的特点是将换齿时产生的冲击，由抛物线型传动误差曲线的一次大冲击，变为四阶传动误差曲线的三次小冲击，希望以此降低轮齿因冲击而受到的损害，从而有利于提高传动平稳性和齿轮寿命。然而，Stadtfeld提出四阶传动误差曲线尽管降低了每次冲击的强度，但却增加了冲击的次数。在相邻齿对换齿时要经历三次换齿。就同一齿对而言，从齿根到齿顶的啮合过程中实际上要经历六次换齿，其中前三次发生在当前齿与先导齿之间，后三次发生在当前齿与后继齿之间。细看Stadtfeld型的四阶传动误差曲线还会发现，换齿时仍然存在较大的相对速度阶跃，换齿所形成的冲击没有得到很好的解决。

发明内容

要解决的技术问题

为解决现有技术存在的问题，有效减少换齿次数，同时大幅降低换齿冲击强度，降低弧齿锥齿轮传动振动、冲击和噪声，提高齿轮寿命，本发明在Stadtfeld的基础上，提出了一种性能更加优异的四阶传动误差曲线的设计方法，这种四阶传动误差曲线在相邻两条曲线之间只有一个交点，减少了换齿次数，降低了冲击和振动频率，且相邻两条曲线在交点处的斜率极为接近，使得换齿时的振动和冲击很小，进一步提高弧齿锥齿轮的传动性能。

技术方案

本发明的技术方案为：

所述一种具有四阶传动误差曲线的弧齿锥齿轮，所述弧齿锥齿轮的四阶传动误差曲线具有两个极大值点和一个极小值点，极大值点位于极小值点两侧，单独一条四阶传动误差曲线左极大值点左侧的曲线斜率为正，右极大值点右侧的曲线斜率为负，其特征在于：相邻两条四阶传动误差曲线只有一个交点；相邻两条四阶传动误差曲线在交点处的斜率同号，且相邻两条四阶传动误差曲线在交点处切向量之间的夹角Δθ≤5°。

所述一种弧齿锥齿轮的四阶传动误差曲线的设计方法，其特征在于：包括以下步骤：

步骤1：在传动误差曲线坐标系中设置10个预控点A_i(φ_1i,Δφ_2i),i＝1,2,,10，其中传动误差曲线坐标系的横坐标为小轮转角，纵坐标为大轮传动误差，当前齿对啮合的齿面参考点为坐标原点；预控点A₂、A₅、A₆和A₉位于横坐标轴上，A₅、A₆对称分布于原点两侧，Δφ_2j＝0,j＝2,5,6,9，φ₁₅＝-(0.05～0.1)φ_1P，φ₁₆＝-φ₁₅，φ₁₂＝-(0.6～0.7)φ_1P，φ₁₉＝-φ₁₂；A₃和A₈用于调节传动误差的极大值，φ₁₃＝-(0.4～0.5)φ_1P，φ₁₈＝-φ₁₃，Δφ₂₃＝Δφ₂₈＝2″～20″；A₄位于的中点，A₇位于的中点，A₁和A₁₀用于控制传动误差曲线波浪形顶部以下的曲线走向，分别在靠近齿根和齿顶处选取，φ₁₁＝-(0.9～0.98)φ_1P，φ₁₁₀＝-φ₁₁，Δφ₂₁＝Δφ₂₁₀＝-(1.5～3)Δφ₂₃；其中φ_1P为小轮齿距角；

步骤2：在Stadtfeld提出的四阶传动误差曲线

中分离得到从中抽取出二阶曲线

步骤3：应用步骤1中的10个预控点，建立拟合二阶曲线的目标函数

$\min F=\underset{i=1}{\overset{10}{\mathrm{\Σ}}}{\left[{\mathrm{\Δ\φ}}_{2^{\′}}\left({\mathrm{\φ}}_{1i}\right){-\mathrm{\Δ\φ}}_{2i}\right]}^2$

其中Δφ_2'(φ_1i)表示二阶曲线在预控点A_i处的函数值；计算目标函数F对A、B和C的偏导数并令三个偏导数等于零，求解得到二阶曲线中的三个系数A、B和C；

步骤4：将步骤3得到的A、B和C代入四阶传动误差曲线计算的最大值将四阶传动误差曲线向下平移得到单齿对啮合时的传动误差曲线

步骤5：观察步骤4得到的传动误差曲线中相邻两条传动误差曲线的交点个数，以及相邻两条传动误差曲线交点处切向量之间的夹角，若不能同时满足相邻两条传动误差曲线只有一个交点，且相邻两条传动误差曲线在交点处切向量之间的夹角Δθ≤5°，则在预控点A₃和A₈中保持一个预控点的纵坐标不变，另一个预控点纵坐标值递增或递减自身的5％，然后重复步骤2至步骤5，直至得到的传动误差曲线同时满足相邻两条传动误差曲线只有一个交点，且相邻两条传动误差曲线在交点处切向量之间的夹角Δθ≤5°；

步骤6：横向平移步骤5得到的传动误差曲线使相邻的传动误差曲线的交点以坐标原点为中心左右对称，左右平移后得到的传动误差曲线为：

其中为步骤5中的左侧传动误差曲线与步骤5中的中间传动误差曲线交点的横坐标，为步骤5中的右侧传动误差曲线与步骤5中的中间传动误差曲线交点的横坐标。

有益效果

Stadtfeld提出的四阶传动误差曲线换齿频率高，换齿点的相对速度阶跃仍然偏大，传动性能有待提高。本发明可以从以下两个方面提高弧齿锥齿轮的传动性能：

(1)相邻传动误差曲线从三个交点减少为只有一个交点，避免了齿轮运转过程中频繁换齿而造成的波动。

齿轮传动过程中，相邻齿对的换齿发生在相邻传动误差曲线的交点处。在每一个换齿点，一般都会在啮入齿对之间存在相对运动速度差，从而导致啮入冲击。冲击频率与换齿点的数目(传动误差曲线的交点数)成正比，本发明实现了将原来相邻齿对间的三次换齿减少为一次，换齿点数减少为原来的1/3；或同一轮齿从齿根到齿顶之间的六次换齿减少为两次换齿，而同一轮齿所经历的换齿点数也减少为原来的1/3，从而将齿轮传动时的啮入冲击频率降为原来的1/3。

(2)将相邻传动误差曲线交点处的斜率设计为同号，且大小极为接近，从而缩小换齿时相对速度阶跃，以及由此造成的冲击和振动。

传动误差曲线的斜率代表着大轮实际转速与其名义转速之差，换齿点处相邻传动误差曲线的斜率差则代表着换齿点的实际相对速度之差。换齿点实际相对速度差越大，那么换齿冲击就越剧烈。在对称抛物线型传动误差曲线中，换齿点处的一条传动误差曲线的斜率为正，另一条传动误差曲线的斜率为负，换齿点实际相对运动速度之差很大，故换齿冲击也很大。Stadtfeld正是看到对称抛物线型传动误差曲线在换齿时的这一缺点，提出了四阶传动误差曲线，并指出为了降低换齿时产生的冲击，建议该处相邻传动误差曲线的切线之间的夹角最好大于135°，而这只有在换齿点相邻传动误差曲线的切线同时为正或同时为负时才能实现。从传动误差曲线图上观察，这种要求等价于换齿点位于相邻两条传动误差曲线的上升段或下降段。在Stadtfeld提出的四阶传动误差曲线中，相邻传动误差曲线有三个换齿点，其中左边和右边的换齿点分别位于相邻传动误差曲线的上升段和下降段，但上升段和下降段中有一条曲线正向着拐点方向发展，意味着这两处换齿点的切线斜率之间的夹角难于有效扩大；而剩下的中间换齿点，却又是一条传动误差曲线的上升段与相邻传动误差曲线下降段的交点，要增加该换齿点处传动误差曲线的切线之间的夹角难度更大。也就是说，Stadtfeld型的四阶传动误差曲线的三次换齿点都难以有效降低换齿带来的冲击。尽管Stadtfeld提出的四阶传动误差曲线对抛物线型传动误差曲线有了一定的改进，但是显然还有极大的改进空间。

以上两点分别从降低换齿冲击频率和减小换齿冲击载荷两个方面减小了弧齿锥齿轮传动的振动、冲击和噪声，提高了弧齿锥齿轮的寿命。

附图说明

图1：Stadtfeld传动误差曲线；

图2：改进的传动误差曲线a；

图3：改进的传动误差曲线b；

图4：预控点位置图；

图5：极值点为零的四阶传动误差曲线；

图6：平移前的改进传动误差曲线a；

图7：平移前的改进传动误差曲线b。

具体实施方式

下面结合具体实施例描述本发明：

1、传动误差的基本原理

1.1、传动误差的形成原理

弧齿锥齿轮为点接触局部共轭传动，传动误差定义为

式中——小轮、大轮的实际转角

——齿面参考点啮合时，小轮和大轮的实际转角

z₁、z₂——小轮、大轮的齿数

式(1)中的第一项为大轮相对于参考点啮合时的转角，为小轮相对于参考点啮合时的转角，为按名义传动比确定的大轮名义转角。其中，大轮相对转角是小轮相对转角的函数，一般可写为

其值与小轮齿面修形方式和修形量有关。

1.2、传动误差的级数形式

将大轮实际转角式(2)在参考点处展开成Taylor级数

一般取参考点处的瞬时传动比等于名义传动比，则级数形式的传动误差为

或简记为

式中A——传动误差曲线的二阶导数或瞬时传动比的一阶导数

B——传动误差曲线的三阶导数或瞬时传动比的二阶导数

C——传动误差曲线的四阶导数或瞬时传动比的三阶导数

——高于五阶各项之和

当仅取式(5)的第一项时，即得到Litvin提出的二阶传动误差曲线

当取式(5)至第三项时，即得到Stadtfeld提出的四阶传动误差曲线

Stadtfeld提出的四阶传动误差曲线如图1所示，图中左边曲线(虚线)、中间曲线(实线)和右边曲线(点划线)分别表示先导齿对、当前齿对和后继齿对。其中，先导齿对与当前齿对有三个交点(左边三个实心点)，当前齿对与后继对齿也有三个交点(右边三个空心点)，最左边的交点(实心点)和最右边的交点(空心点)基本以坐标原点为中心左右对称。这些交点都是用来表示相邻齿对间发生换齿的位置的。

2、本实施例中提出的传动误差曲线及其设计方法

为了克服Stadtfeld提出的四阶传动误差曲线换齿频率高，换齿点的相对速度阶跃仍然偏大的问题，本实施例在Stadtfeld的基础上，提出了一种性能更加优异的四阶传动误差曲线及其设计方法：

2.1、传动误差曲线坐标系

描述四阶传动误差曲线的坐标系为笛卡尔直角坐标系，其横坐标为小轮转角，纵坐标为大论传动误差。当前齿对啮合的齿面参考点为坐标原点，其他齿对的齿面参考点依据小轮齿距角沿横坐标轴向两侧平移延拓而得。定义相邻传动误差曲线的交点处的传动误差为传动误差曲线幅值，其值根据大轮转动角加速度和跃度大致在2"～20"范围内选取。

2.2、曲线描述：

单对齿啮合的四阶传动误差曲线有三个极值点，从左到右依次为极大值点、极小值点和极大值点，本实施例不涉及四阶传动误差的这些基本形态，只对相邻两对齿啮合时的传动误差曲线的相交情况进行设计，从而提高弧齿锥齿轮的传动性能。

2.2.1、相邻两条四阶传动误差曲线只有一个交点：

四阶传动误差曲线具有两个极大值点和一个极小值点，本实施例在四阶传动误差曲线的两个极值点之间形成一定的差距，使得相邻两条曲线只会有一个交点，换齿点数减少为原来的1/3，冲击频率也减为原来的1/3，这是本发明的创新点之一。

2.2.2、相邻两条四阶传动误差曲线在交点处的斜率同号，且相邻两条四阶传动误差曲线在交点处切向量之间的夹角Δθ≤5°。

使交点处两条传动误差曲线的斜率同号，即两条传动误差曲线的走向一致，并且保证了该处传动误差曲线的切向量的夹角Δθ≤5°，极大地缩小了相邻齿对在该处的实际相对转速差，有效地降低换齿产生的冲击和振动。这是本发明的第二个创新点。

2.3、曲线的设计方法

弧齿锥齿轮的大轮转角是小轮转角的函数。在参考点啮合时，齿轮传动比等于名义传动比。大轮转角相对于名义转角之差，即为传动误差曲线函数。将大轮转角在齿面参考点处按泰勒级数展开后，常数项为零。把泰勒级数的第一阶项移到等式左边，等式右侧即为传动误差的表达式。该级数中每一项的系数决定传动误差曲线的形态。将级数形式的传动误差取到四阶，即为四阶传动误差曲线表达式。

实现本发明目标的技术方法由以下几个步骤构成：

(1)在齿面上参考点的两侧各选5个误差预控点，利用这10个预控点，在最小二乘意义下用四阶多项式拟合。做法是将预控点的横坐标代入四阶传动误差计算式，计算得到对应的由参数表示的传动误差值，减去对应预控点的纵坐标之后取平方和，以平方和为目标函数分别对各参数求偏导数，并令其偏导数为零，得到三个方程构成的方程组，解这个方程组即可确定四阶多项式中各项的系数。

(2)求拟合曲线的导函数，令导函数为零，求解计算拟合曲线的极大值点，按照最大函数值点向下平移到零线上。

(3)将传动误差曲线向左和向右平移一个小轮齿距角，得到前一对齿和后一对齿的传动误差曲线。观察相邻两条传动误差曲线的交点数目和交点处曲线的斜率差。

(4)调整预控点，在两个极值点之间形成一定的差值，直至相邻两条传动误差曲线只有一个交点，并且交点同时位于两条曲线的上升段或者下降段。

(5)平移传动误差曲线，使参考点位于相邻传动误差曲线的交点的中间。

具体曲线设计方法包括以下步骤：

步骤1：为了使一对轮齿由啮入到啮出整个过程的传动误差得到有效的控制，在传动误差曲线坐标系中设置10个预控点A_i(φ_1i,Δφ_2i),i＝1,2,…,10，其分布状态如图4所示，预控点A₂、A₅、A₆和A₉位于横坐标轴上，A₅、A₆对称分布于原点两侧，Δφ_2j＝0,j＝2,5,6,9，φ₁₅＝-(0.05～0.1)φ_1P，φ₁₆＝-φ₁₅，φ₁₂＝-(0.6～0.7)φ_1P，φ₁₉＝-φ₁₂；A₃和A₈用于调节传动误差的极大值，φ₁₃＝-(0.4～0.5)φ_1P，φ₁₈＝-φ₁₃，Δφ₂₃＝Δφ₂₈＝2″～20″；A₄位于的中点，A₇位于的中点，A₁和A₁₀用于控制传动误差曲线波浪形顶部以下的曲线走向，分别在靠近齿根和齿顶处选取，φ₁₁₀＝-φ₁₁，Δφ₂₁＝Δφ₂₁₀＝-(1.5～3)Δφ₂₃；其中φ_1P为小轮齿距角；

本实施例中，弧齿锥齿轮的小齿轮齿数z₁＝23，A₁～A₁₀的坐标点可取为：A₁(-0.95φ_1P,-2A_m)，A₂(-0.61φ_1P,0)，A₃(-0.47φ_1P,A_m)，A₄(-0.34φ_1P,A_m/2)，A₅(-0.07φ_1P,0)，A₆(0.07φ_1P,0)，A₇(0.34φ_1P,A_m/2)，A₈(0.47φ_1P,A_m)，A₉(0.61φ_1P,0)，A₁₀(0.95φ_1P,-2A_m)。其中，A_m为传动误差曲线波浪形顶部的极大值，一般根据大齿轮的角加速度和跃度在2"～20"范围内选取。

步骤2：在Stadtfeld提出的四阶传动误差曲线

中分离得到从中抽取出二阶曲线

步骤3：应用步骤1中的10个预控点，建立拟合二阶曲线的目标函数

$\min F=\underset{i=1}{\overset{10}{\mathrm{\Σ}}}{\left[{\mathrm{\Δ\φ}}_{2^{\′}}\left({\mathrm{\φ}}_{1i}\right){-\mathrm{\Δ\φ}}_{2i}\right]}^2$

其中Δφ_2'(φ_1i)表示二阶曲线在预控点A_i处的函数值；按照最小二乘法，计算目标函数F对A、B和C的偏导数并令三个偏导数等于零，求解得到二阶曲线中的三个系数A、B和C；

步骤4：将步骤3得到的A、B和C代入四阶传动误差曲线计算的最大值将四阶传动误差曲线向下平移得到单齿对啮合时的传动误差曲线如附图5所示。此时当预控点A₃和A₈的纵坐标值近乎相等时，就得到Stadtfeld四阶传动误差曲线(参见图1)。Stadtfeld四阶传动误差曲线的当前齿对的啮入点和啮出点基本以坐标原点为对称，所得接触印痕基本上位于齿高和齿宽的中部。

步骤5：观察步骤4得到的传动误差曲线中相邻两条传动误差曲线的交点个数，以及相邻两条传动误差曲线交点处切向量之间的夹角，若不能同时满足相邻两条传动误差曲线只有一个交点，且相邻两条传动误差曲线在交点处切向量之间的夹角Δθ≤5°，则在预控点A₃和A₈中保持一个预控点的纵坐标不变，另一个预控点纵坐标值递增或递减自身的5％，然后重复步骤2至步骤5，直至得到的传动误差曲线同时满足相邻两条传动误差曲线只有一个交点，且相邻两条传动误差曲线在交点处切向量之间的夹角Δθ≤5°；如图6和图7所示，当预控点A₃比A₈的纵坐标值大时，此时相邻传动误差曲线在上升段相交，如图6中的左边交点所示；当预控点A₃比A₈的纵坐标值小，此时相邻传动误差曲线在下降段相交，如图7中的右边交点所示。

但这样得到的相邻曲线交点不以坐标原点对称，使齿面接触印痕相对于齿面参考点或者偏向齿顶和齿根，或者偏向小端和大端。为此，需要横向平移传动误差曲线，使相邻传动误差曲线的交点以坐标原点为对称，从而保证齿面接触印痕基本上位于轮齿边界的中部。

步骤6：横向平移步骤5得到的传动误差曲线使相邻的传动误差曲线的交点以坐标原点为中心左右对称，左右平移后得到的传动误差曲线为：

其中为步骤5中的左侧传动误差曲线与步骤5中的中间传动误差曲线交点的横坐标，为步骤5中的右侧传动误差曲线与步骤5中的中间传动误差曲线交点的横坐标。最终得到曲线如图2和图3所示。

Claims (2)

1.一种具有四阶传动误差曲线的弧齿锥齿轮，所述弧齿锥齿轮的四阶传动误差曲线具有两个极大值点和一个极小值点，极大值点位于极小值点两侧，单独一条四阶传动误差曲线左极大值点左侧的曲线斜率为正，右极大值点右侧的曲线斜率为负，其特征在于：相邻两条四阶传动误差曲线只有一个交点；相邻两条四阶传动误差曲线在交点处的斜率同号，且相邻两条四阶传动误差曲线在交点处切向量之间的夹角Δθ≤5°。

2.一种弧齿锥齿轮的四阶传动误差曲线的设计方法，其特征在于：包括以下步骤：

步骤1：在传动误差曲线坐标系中设置10个预控点A_i(φ_1i,Δφ_2i),i＝1,2,…,10，其中传动误差曲线坐标系的横坐标为小轮转角，纵坐标为大轮传动误差，当前齿对啮合的齿面参考点为坐标原点；预控点A₂、A₅、A₆和A₉位于横坐标轴上，A₅、A₆对称分布于原点两侧，Δφ_2j＝0,j＝2,5,6,9，φ₁₅＝-(0.05～0.1)φ_1P，φ₁₆＝-φ₁₅，φ₁₂＝-(0.6～0.7)φ_1P，φ₁₉＝-φ₁₂；A₃和A₈用于调节传动误差的极大值，φ₁₃＝-(0.4～0.5)φ_1P，φ₁₈＝-φ₁₃，Δφ₂₃＝Δφ₂₈＝2″～20″；A₄位于的中点，A₇位于的中点，A₁和A₁₀用于控制传动误差曲线波浪形顶部以下的曲线走向，分别在靠近齿根和齿顶处选取，φ₁₁＝-(0.9～0.98)φ_1P，φ₁₁₀＝-φ₁₁，Δφ₂₁＝Δφ₂₁₀＝-(1.5～3)Δφ₂₃；其中φ_1P为小轮齿距角；

步骤2：在Stadtfeld提出的四阶传动误差曲线

中分离得到从中抽取出二阶曲线

步骤3：应用步骤1中的10个预控点，建立拟合二阶曲线的目标函数

$\min F=\underset{i=1}{\overset{10}{\mathrm{\Σ}}}{[\mathrm{\Δ}{\mathrm{\φ}}_{2^{\′}}\left({\mathrm{\φ}}_{1i}\right)-\mathrm{\Δ}{\mathrm{\φ}}_{2i}]}^2$

其中Δφ_2′(φ_1i)表示二阶曲线在预控点A_i处的函数值；计算目标函数F对A、B和C的偏导数并令三个偏导数等于零，求解得到二阶曲线中的三个系数A、B和C；

步骤4：将步骤3得到的A、B和C代入四阶传动误差曲线计算的最大值将四阶传动误差曲线向下平移得到单齿对啮合时的传动误差曲线

步骤5：观察步骤4得到的传动误差曲线中相邻两条传动误差曲线的交点个数，以及相邻两条传动误差曲线交点处切向量之间的夹角，若不能同时满足相邻两条传动误差曲线只有一个交点，且相邻两条传动误差曲线在交点处切向量之间的夹角Δθ≤5°，则在预控点A₃和A₈中保持一个预控点的纵坐标不变，另一个预控点纵坐标值递增或递减自身的5%，然后重复步骤2至步骤5，直至得到的传动误差曲线同时满足相邻两条传动误差曲线只有一个交点，且相邻两条传动误差曲线在交点处切向量之间的夹角Δθ≤5°；

步骤6：横向平移步骤5得到的传动误差曲线使相邻的传动误差曲线的交点以坐标原点为中心左右对称，左右平移后得到的传动误差曲线为：

其中为步骤5中的左侧传动误差曲线与步骤5中的中间传动误差曲线交点的横坐标，为步骤5中的右侧传动误差曲线与步骤5中的中间传动误差曲线交点的横坐标。