CN103438186A - 基于弧齿锥齿轮的四阶传动误差曲线设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于弧齿锥齿轮的四阶传动误差曲线设计方法，用于解决现有四阶传动误差曲线设计方法存在换齿冲击的技术问题。技术方案是将传动误差方程在齿面参考点处按Taylor级数展开成四阶形式，从四阶Taylor级数展开式方程中分离出小轮相对于参考点啮合时转角的表达式，建立拟合二阶曲线的目标函数。建立控制峰峰值之间差距的目标函数，使得当前齿传动误差曲线向左或向右平移一个小轮齿距的距离时，刚好得到先导齿和后继齿的传动误差曲线，即此时相邻两传动误差曲线峰峰之间的距离为一个小轮齿距的距离，交点刚好落在极大值点，使交点处的切线夹角趋近于180°，消除了换齿时的振动和冲击。

Description

基于弧齿锥齿轮的四阶传动误差曲线设计方法

技术领域

本发明涉及一种四阶传动误差曲线设计方法，特别是涉及一种基于弧齿锥齿轮的四阶传动误差曲线设计方法。

背景技术

参照图1-4。弧齿锥齿轮是机械传动中十分重要的传动零件，它具有承载能力强，传动平稳，效率高等特点，因此被广泛应用在航空、航天、航海和汽车等机械传动领域。弧齿锥齿轮的传动性能与传动误差曲线和齿面接触印痕有关，而传动误差的存在是弧齿锥齿轮传动中振动、冲击、噪声产生的主要因素之一，它包括了动态性能和强度性能等大量信息。从动力学角度讲，振动是由物体位移、速度发生周期性变化而引起的；冲击是速度突变引起的，而振动和冲击产生噪声。相互啮合的一对齿轮，在轮齿啮合处的相对位移和速度的周期性变化产生齿轮啮合振动；轮齿啮入时的相对角速度差及其导数突变产生齿轮啮合冲击。

理想的齿轮传动是共轭的，即当小轮（主动轮）转过一个角度时，大轮（从动轮）也转过一个相应的角度，角度比为两轮齿数的反比。但实际上由于多种因素的影响，此理论不能严格成立，因此，定义齿轮传动误差为：当小轮转过一个角度时，大轮与理想位置的偏离。传动误差是关于小轮转角或时间的函数，齿轮传动误差曲线反映的就是齿轮传动过程中的转角及其导数变化的情况，传动误差函数的一阶导数代表着大轮实际角速度与其名义角速度之差，二阶导数则表示其相对角加速度之差。相邻传动误差曲线在换齿点的切线夹角能够表示齿轮冲击的程度。因此，齿轮系统动力学中常用传动误差曲线来衡量齿轮系统啮合振动和冲击的剧烈程度，它也是评价弧齿锥齿轮啮合性能的重要指标。

为了提高弧齿锥齿轮传动的平稳性，降低振动和噪声，研究人员提出了多种传动误差曲线。

文献1“F.L.Litvin,Y.Gutman.Methods of Synthesis and Analysis for HypoidGear-Drives of"Formate"and"HeIixform".Journal of Mechanical Design,1981,103(1):83～110”公开了一种抛物线型传动误差设计方法，该方法可减少由于齿轮安装误差产生的线性误差，并通过控制传动误差的幅值来降低齿轮副噪声，有利于吸收安装误差造成的线性冲击。观察对称抛物线型传动误差曲线图像（见图4），发现在换齿点（交点）处，相对角速度差值陡然增大，然后慢慢下降；同时在换齿点处，相对角加速度差值瞬时增加到无穷大，这都反映出每对轮齿在开始啮合时产生的冲击和振动是很大的。

后来美国Gleason公司的工程师Stadtfeld在文献2“H.J.Stadtfeld,U.Gaiser.TheUltimate Motion Graph.Journal of Mechanical Design,2000,122(9):317～322”中仔细研究对称抛物线型传动误差曲线之后发现，此种传动误差曲线在传动过程中相邻齿对虽然只经历一次换齿，但是在啮合中的换齿点处为不平滑过渡，相邻两曲线的切线夹角小于90°，换齿的冲击和振动较大。为此，他提出了高阶（四阶）传动误差曲线的设计思想（见图3）。

四阶传动误差多项式是有关小轮转角的函数，其传动误差曲线反映了轮齿从啮入到啮出的整个过程。一对轮齿完成一次啮合就出现一条传动误差曲线，轮齿每转过一个齿距角，就新产生一条传动误差曲线，因此一对弧齿锥齿轮的四阶传动误差曲线线图实际上是由一组重复出现在笛卡尔坐标系中的传动误差曲线所交叉构成的。我们只需研究其中相邻的三条曲线即可，而这三条曲线分别是先导齿，当前齿和后继齿的曲线图。我们要抓住四阶传动误差曲线的基本特点对这三条曲线进行研究，四阶传动误差曲线有如下特点：

（1）一条传动误差曲线有两个极大值点和一个极小值点，即有两个凸峰和一个凹峰，两个凸峰位于凹峰的两侧

（2）左侧极大值点的左侧斜率为正，右侧极大值点的右侧斜率为负

（3）将一条传动误差曲线向左或向右平移一个齿距的距离，就得到另外一条传动误差曲线

（4）相邻两条传动误差曲线的交点数目代表了齿对啮合时的换齿次数

（5）相邻两条传动误差曲线在每一个交点处的切线的夹角反映了换齿时冲击的程度，夹角越大，冲击越小

为了在换齿时仅产生微小冲击，相邻传动误差曲线交点处的切线夹角要大于135°，理想状态下要尽可能趋近180°，但抛物线型传动误差曲线还不到90°。这个角度可由前一齿对的啮出区和当前齿对的啮入区，或者当前一齿对的啮出区和下一齿对的啮入区所形成的，研究这一角度的大小，对于研究改善弧齿锥齿轮传动性能问题十分重要。观察Stadtfeld型传动误差曲线线图，发现要满足之前所说的角度条件，必须使换齿点同时位于两条曲线的上升段与下降段。两个齿对啮合时会产生三个换齿点（比如1,2,3），但2号换齿点则在一条曲线的上升段和另一条曲线的下降段，因此切线所围成的夹角无法大于预定的135°，冲击偏大；换齿点1和换齿点3所在的某一曲线，凹凸性即将发生改变，想要对这两个换齿点处的切线所围成的夹角进行扩大十分困难。因此，Stadtfeld型传动误差曲线所反映出的传动性能依然不够好。

Stadtfeld型四阶传动误差曲线的设计旨在将抛物线型传动误差曲线中换齿时所产生的一次大冲击，转变成三次小的冲击，但无形中却增加了换齿次数及冲击频率，使得同一齿对在啮合时，从齿根到齿顶，一共需要经历六次换齿，这样以来，相比二阶传动误差曲线，Stadtfeld的四阶传动误差曲线明显降低了换齿冲击，但依然还有进一步改进的空间。

发明内容

为了克服现有四阶传动误差曲线设计方法存在换齿冲击的不足，本发明提供一种基于弧齿锥齿轮的四阶传动误差曲线设计方法。该方法在Stadtfeld四阶传动误差曲线设计方法的基础上，将传动误差方程在齿面参考点处按Taylor级数展开成四阶形式，从这个四阶Taylor级数展开式方程中分离出小轮相对于参考点啮合时转角的表达式，建立拟合二阶曲线的目标函数。建立控制峰峰值之间差距的目标函数，使得当前齿传动误差曲线向左或向右平移一个小轮齿距的距离时，刚好得到先导齿和后继齿的传动误差曲线，即此时相邻两传动误差曲线峰峰之间的距离为一个小轮齿距的距离，交点刚好落在极大值点。这种四阶传动误差曲线中的相邻两条曲线只有一个交点，这样就减少了换齿次数，降低了冲击和振动频率，且相邻两条曲线的交点几乎落在了两条曲线的极大值点处，使交点处的切线夹角趋近于180°，可以消除换齿时的振动和冲击，进一步提高弧齿锥齿轮的传动性能。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：一种基于弧齿锥齿轮的四阶传动误差曲线设计方法，其特点是包括以下步骤：

步骤一、弧齿锥齿轮为点接触局部共轭传动，传动误差定义为

式中，是小轮的实际转角，

是小大轮的实际转角；

表示齿面参考点啮合时，小轮和大轮的实际转角；z₁、z₂分别小轮、大轮的齿数。

为大轮相对于参考点啮合时的转角，为小轮相对于参考点啮合时的转角，

为按名义传动比确定的大轮名义转角。其中，大轮相对转角

是小轮相对转角

的函数，写为

步骤二、将大轮实际转角式（2）在参考点处展开成Taylor级数

              （3）

取参考点处的瞬时传动比等于名义传动比，则级数形式的传动误差为

                      （4）

或简记为

式中，A是传动误差曲线的二阶导数或瞬时传动比的一阶导数；B是传动误差曲线的三阶导数或瞬时传动比的二阶导数；C是传动误差曲线的四阶导数或瞬时传动比的三阶导数；是高于五阶各项之和。

当仅取式（5）的右端第一项时，即得到Litvin提出的二阶传动误差曲线

当取式（5）至右端第三项时，即得到Stadtfeld四阶传动误差曲线

步骤三、采用笛卡尔直角坐标系描述四阶传动误差曲线，笛卡尔直角坐标系的横坐标为小轮转角，纵坐标为大轮传动误差。当前齿对啮合的齿面参考点为坐标原点，其他齿对的齿面参考点依据齿距角沿横坐标轴向两侧平移延拓而得。定义相邻传动误差曲线交点处的传动误差为传动误差曲线幅值，其值根据大轮转动角加速度和跃度在2"～20"范围内选取。

步骤四、四阶传动误差曲线设计方法。

1）四阶传动误差曲线生成。

选择若干预控点A₁,A₂,…A_n，采用最小二乘法拟合四阶传动误差曲线即获得四阶传动误差曲线的三个系数A、B和C。

2）预控点的选取。

选择10个预控点A_i(φ_1i,△φ_2i),i=1,2,…,10。其中，预控点A₂、A₅、A₆和A₉位于横坐标轴上，即△φ_2j=0,j=2,5,6,9，φ₁₅=-(0.05～0.1)φ_1P，φ_1P为小齿轮齿距角，φ₁₆=-φ₁₅；φ₁₂=-(0.6～0.7)φ_1P，φ₁₉=-φ₁₂；A₃和A₈用于调节传动误差的极大值，初步计算时，A₃和A₈对称分布在纵轴两侧，φ₁₃=-(0.4～0.5)φ_1P，φ₁₈=-φ₁₃，纵坐标△φ₂₃=△φ₂₈=2′′～20′′；A₄位于

的中部，A₇位于

的中部，A₁和A₁₀用于控制传动误差曲线波浪形顶部以下的曲线走向，φ₁₁=-(0.9～0.98)φ_1P，φ₁₁₀=-φ₁₁，△φ₂₁=△φ₂₁₀=(1.5～3)△φ₂₃。

3）系数A、B和C的确定。

从式（7）右端提出

得到

从中抽取出二阶曲线

方程，即

用前面的10个预控点，建立拟合二阶曲线的目标函数

式中，△φ_2'(φ_1i)是二阶曲线

在φ_1i处的函数值；△φ_2i是预控点A_i处的误差控制值。

式（10）中有三个未知参数A、B和C，按照最小二乘法，计算目标函数F对A、B和C的偏导数

令其等于零

$\left\{\begin{array}{c}\frac{\∂F}{\∂A}=0\\ \frac{\∂F}{\∂B}=0\\ \frac{\∂F}{\∂C}=0\end{array}\right.---\left(11\right)$

求解这个方程组，即得二阶传动误差曲线中的三个系数A、B和C。

4）Stadtfeld四阶传动误差曲线。

计算式（7）的极大值

将传动误差曲线向下平移这个极值的距离，即

则形成单齿对啮合时的传动误差曲线。当预控点A₃和A₈的纵坐标值近乎相等时，就得到Stadtfeld四阶传动误差曲线。Stadtfeld当前齿对的啮入点和啮出点基本以坐标原点为对称，所得接触印痕基本上位于齿高和齿宽的中部。

5）改进的传动误差曲线。

继续保证预控点A₃和A₈的纵坐标值相等，以便得到改进的四阶传动误差曲线。对峰峰点之间的距离进行控制。建立控制峰峰之间差距的目标函数。拆分10个点的横纵坐标，将四阶传动误差降为二阶，得到ax²+bx+c=0，求得

对应的分别是A₃和A₈的横坐标。令

并且使右峰向左侧平移一个齿距，此时，两峰间距离为：

由于预控点的横坐标是由a、b、c三个参数所表示的，对预控点的横坐标中的参数进行优化，不断调整预控点的横坐标，使得相对应的两个右峰或两个左峰之间的距离刚好为一个小轮齿距的距离，即△x_peak=0，此时x=0，所以相邻传动误差曲线的两凸峰重合，得到改进后的传动误差曲线。

本发明的有益效果是：该方法在Stadtfeld四阶传动误差曲线设计方法的基础上，将传动误差方程在齿面参考点处按Taylor级数展开成四阶形式，从这个四阶Taylor级数展开式方程中分离出小轮相对于参考点啮合时转角的表达式，建立拟合二阶曲线的目标函数。建立控制峰峰值之间差距的目标函数，使得当前齿传动误差曲线向左或向右平移一个小轮齿距的距离时，刚好得到先导齿和后继齿的传动误差曲线，即此时相邻两传动误差曲线峰峰之间的距离为一个小轮齿距的距离，交点刚好落在极大值点。这种四阶传动误差曲线中的相邻两条曲线只有一个交点，这样就减少了换齿次数，降低了冲击和振动频率，且相邻两条曲线的交点几乎落在了两条曲线的极大值点处，使交点处的切线夹角趋近于180°，消除了换齿时的振动和冲击，进一步提高了弧齿锥齿轮的传动性能。

下面结合附图和实施例对本发明作详细说明。

附图说明

图1是背景技术方法预控点的选取图。

图2是背景技术方法极值点为零的四阶传动误差曲线。

图3是背景技术文献1中Stadtfeld传动误差曲线。

图4是背景技术文献2中Litvin抛物线型传动误差曲线及其导数曲线。

图5是本发明方法设计的传动误差曲线。

图6是本发明方法设计的传动误差曲线一阶导数。

具体实施方式

参照图1-6。本发明基于弧齿锥齿轮的四阶传动误差曲线设计方法的具体步骤如下：

一、弧齿锥齿轮为点接触局部共轭传动，传动误差定义为

式中，

是小轮的实际转角，

是小大轮的实际转角；

表示齿面参考点啮合时，小轮和大轮的实际转角；z₁、z₂分别小轮、大轮的齿数。

为大轮相对于参考点啮合时的转角，为小轮相对于参考点啮合时的转角，

为按名义传动比确定的大轮名义转角。其中，大轮相对转角

是小轮相对转角

的函数，写为

其值与小轮齿面修形方式和修形量有关。

二、传动误差的级数形式。

将大轮实际转角式（2）在参考点处展开成Taylor级数

             （3）

取参考点处的瞬时传动比等于名义传动比，则级数形式的传动误差为

                  （4）

或简记为

式中，A是传动误差曲线的二阶导数或瞬时传动比的一阶导数；B是传动误差曲线的三阶导数或瞬时传动比的二阶导数；C是传动误差曲线的四阶导数或瞬时传动比的三阶导数；

是高于五阶各项之和。

当仅取式（5）的右端第一项时，即得到Litvin提出的二阶传动误差曲线

当取式（5）至右端第三项时，即得到Stadtfeld提出的四阶传动误差曲线

三、传动误差曲线坐标系。

描述四阶传动误差曲线的坐标系为笛卡尔直角坐标系，其横坐标为小轮转角，纵坐标为大轮传动误差。当前齿对啮合的齿面参考点为坐标原点，其他齿对的齿面参考点依据齿距角沿横坐标轴向两侧平移延拓而得。定义相邻传动误差曲线交点处的传动误差为传动误差曲线幅值，其值根据大轮转动角加速度和跃度在2"～20"范围内选取。

四、具体设计方法。

1）四阶传动误差曲线生成原理。

选择若干预控点A₁,A₂,…A_n，采用最小二乘法拟合四阶传动误差曲线即获得四阶传动误差曲线的三个系数A、B和C。

2）预控点的选取。

为了使一对轮齿由啮入到啮出整个过程的传动误差得到有效的控制，选择10个预控点A_i(φ_1i,△φ_2i),i=1,2,…,10。其中，预控点A₂、A₅、A₆和A₉位于横坐标轴上（即△φ_2j=0,j=2,5,6,9），φ₁₅=-(0.05～0.1)φ_1P（φ_1P为小齿轮齿距角，下同），φ₁₆=-φ₁₅；φ₁₂=-(0.6～0.7)φ_1P，φ₁₉=-φ₁₂；A₃和A₈用于调节传动误差的极大值，初步计算时，A₃和A₈对称分布在纵轴两侧，φ₁₃=-(0.4～0.5)φ_1P，φ₁₈=-φ₁₃，纵坐标△φ₂₃=△φ₂₈=2′′～20′′；A₄位于

的中部，A₇位于

的中部，A₁和A₁₀用于控制传动误差曲线波浪形顶部以下的曲线走向，φ₁₁=-(0.9～0.98)φ_1P，φ₁₁₀=-φ₁₁，△φ₂₁=△φ₂₁₀=(1.5～3)△φ₂₃。

当弧齿锥齿轮的小齿轮齿数z₁=23时，A₁～A₁₀的坐标点取为：A₁(-0.95φ_1P,-2A_m)，A₂(-0.61φ_1P,0)，A₃(-0.47φ_1P,A_m)，A₄(-0.34φ_1P,A_m/2)，A₅(-0.07φ_1P,0)，A₆(0.07φ_1P,0)，A₇(0.34φ_1P,A_m/2)，A₈(0.47φ_1P,A_m)，A₉(0.61φ_1P,0)，A₁₀(0.95φ_1P,-2A_m)。其中，

A_m为传动误差曲线波浪形顶部的极大值，根据大齿轮的角加速度和跃度在2"～20"范围内选取。这样构造出来的传动误差曲线左右对称，为下一步的调整提供基础。

3）系数A、B和C的确定。

从式（7）右端提出

得到

从中抽取出二阶曲线

方程，即

用前面的10个预控点，建立拟合二阶曲线的目标函数

式中，△φ_2'(φ_1i)是二阶曲线在φ_1i处的函数值；△φ_2i是预控点A_i处的误差控制值。

式（10）中有三个未知参数A、B和C，按照最小二乘法，计算目标函数F对A、B和C的偏导数

令其等于零

$\left\{\begin{array}{c}\frac{\∂F}{\∂A}=0\\ \frac{\∂F}{\∂B}=0\\ \frac{\∂F}{\∂C}=0\end{array}\right.---\left(11\right)$

求解这个方程组，即得二阶传动误差曲线中的三个系数A、B和C。

4）Stadtfeld四阶传动误差曲线。

计算式（7）的极大值

将传动误差曲线向下平移这个极值的距离，即

则形成单齿对啮合时的传动误差曲线。当预控点A₃和A₈的纵坐标值近乎相等时，就得到Stadtfeld四阶传动误差曲线。Stadtfeld当前齿对的啮入点和啮出点基本以坐标原点为对称，所得接触印痕基本上位于齿高和齿宽的中部。

5）改进的传动误差曲线。

继续保证预控点A₃和A₈的纵坐标值相等，以便得到改进的四阶传动误差曲线。为了能达到预期目标，对峰峰点之间的距离进行控制。因此，建立控制峰峰之间差距的目标函数。依照先前所述，拆分10个点的横纵坐标，将四阶传动误差降为二阶，得到形如ax²+bx+c=0的形式，求得

对应的分别是A₃和A₈的横坐标，这里，令

并且使右峰向左侧平移一个齿距，此时，两峰间距离为：

由于预控点的横坐标是由a、b、c三个参数所表示的，对预控点的横坐标中的参数进行优化，不断调整预控点的横坐标，使得相对应的两峰（两个右峰或两个左峰）之间的距离刚好为一个小轮齿距的距离，即△x_peak=0，此时x=0，所以相邻传动误差曲线的两凸峰重合，得到改进后的传动误差曲线。

从图5可以看出，左边曲线、中间曲线和右边曲线分别表示先导齿对、当前齿对和后继齿对。其中，先导齿对与当前齿对有一个交点（凸峰顶点），当前齿对与后继对齿也有一个交点（凸峰顶点），左边的交点和右边的交点基本以坐标原点为中心左右对称。这些交点都是用来表示相邻齿对间发生换齿的位置的。

Claims (1)

1.一种基于弧齿锥齿轮的四阶传动误差曲线设计方法，其特征在于包括以下步骤：

步骤一、弧齿锥齿轮为点接触局部共轭传动，传动误差定义为

式中，

是小轮的实际转角，

是小大轮的实际转角；表示齿面参考点啮合时，小轮和大轮的实际转角；z₁、z₂分别小轮、大轮的齿数；

为大轮相对于参考点啮合时的转角，

为小轮相对于参考点啮合时的转角，

为按名义传动比确定的大轮名义转角；其中，大轮相对转角

是小轮相对转角

的函数，写为

步骤二、将大轮实际转角式（2）在参考点处展开成Taylor级数

         （3）

取参考点处的瞬时传动比等于名义传动比，则级数形式的传动误差为

                     （4）

或简记为

式中，A是传动误差曲线的二阶导数或瞬时传动比的一阶导数；B是传动误差曲线的三阶导数或瞬时传动比的二阶导数；C是传动误差曲线的四阶导数或瞬时传动比的三阶导数；

是高于五阶各项之和；

当仅取式（5）的右端第一项时，即得到Litvin提出的二阶传动误差曲线

当取式（5）至右端第三项时，即得到Stadtfeld四阶传动误差曲线

步骤三、采用笛卡尔直角坐标系描述四阶传动误差曲线，笛卡尔直角坐标系的横坐标为小轮转角，纵坐标为大轮传动误差；当前齿对啮合的齿面参考点为坐标原点，其他齿对的齿面参考点依据齿距角沿横坐标轴向两侧平移延拓而得；定义相邻传动误差曲线交点处的传动误差为传动误差曲线幅值，其值根据大轮转动角加速度和跃度在2"～20"范围内选取；

步骤四、四阶传动误差曲线设计方法；

1）四阶传动误差曲线生成；

选择若干预控点A₁，A₂，…A_n，采用最小二乘法拟合四阶传动误差曲线即获得四阶传动误差曲线的三个系数A、B和C；

2）预控点的选取；

选择10个预控点A_i(φ_1i，Δφ_2i)，i=1，2，...，10；其中，预控点A₂、A₅、A₆和A₉位于横坐标轴上，即Δφ_2j＝0,j＝2,5,6,9，φ₁₅＝-(0.05～0.1)φ_1P，φ_1P为小齿轮齿距角，φ₁₆＝-φ₁₅；φ₁₂＝-(0.6～0.7)φ_1P，φ₁₉＝-φ₁₂；A₃和A₈用于调节传动误差的极大值，初步计算时，A₃和A₈对称分布在纵轴两侧，φ₁₃＝-(0.4～0.5)φ_1P，φ₁₈＝-φ₁₃，纵坐标Δφ₂₃＝Δφ₂₈＝2′′～20′′；A₄位于

的中部，A₇位于

的中部，A₁和A₁₀用于控制传动误差曲线波浪形顶部以下的曲线走向，φ₁₁＝-(0.9～0.98)φ_1P，φ₁₁₀＝-φ₁₁，Δφ₂₁＝Δφ₂₁₀＝(1.5～3)Δφ₂₃；

3）系数A、B和C的确定；

从式（7）右端提出

得到

从中抽取出二阶曲线

方程，即

用前面的10个预控点，建立拟合二阶曲线的目标函数

式中，Δφ_2'(φ_1i)是二阶曲线

在φ_1i处的函数值；Δφ_2i是预控点A_i处的误差控制值；

式（10）中有三个未知参数A、B和C，按照最小二乘法，计算目标函数F对A、B和C的偏导数

令其等于零

$\left\{\begin{array}{c}\frac{\∂F}{\∂A}=0\\ \frac{\∂F}{\∂B}=0\\ \frac{\∂F}{\∂C}=0\end{array}\right.---\left(11\right)$

求解这个方程组，即得二阶传动误差曲线中的三个系数A、B和C；

4）Stadtfeld四阶传动误差曲线；

计算式（7）的极大值将传动误差曲线向下平移这个极值的距离，即

则形成单齿对啮合时的传动误差曲线；当预控点A₃和A₈的纵坐标值近乎相等时，就得到Stadtfeld四阶传动误差曲线；Stadtfeld当前齿对的啮入点和啮出点基本以坐标原点为对称，所得接触印痕基本上位于齿高和齿宽的中部；

5）改进的传动误差曲线；

继续保证预控点A₃和A₈的纵坐标值相等，以便得到改进的四阶传动误差曲线；对峰峰点之间的距离进行控制；建立控制峰峰之间差距的目标函数；拆分10个点的横纵坐标，将四阶传动误差降为二阶，得到ax²+bx+c＝0，求得

对应的分别是A₃和A₈的横坐标；令并且使右峰向左侧平移一个齿距，此时，两峰间距离为：

由于预控点的横坐标是由a、b、c三个参数所表示的，对预控点的横坐标中的参数进行优化，不断调整预控点的横坐标，使得相对应的两个右峰或两个左峰之间的距离刚好为一个小轮齿距的距离，即Δx_peak=0，此时x＝0，相邻传动误差曲线的两凸峰重合，得到改进后的传动误差曲线。

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