CN102628913A - 基于输电线路结构及地形的输电线路三维雷击计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于输电线路结构及地形的输电线路三维雷击计算方法，属于输电线路雷电防护领域。本发明方法利用现有的相对成熟的参数对雷击过程建模，综合考虑输电线路结构、输电线路运行电压、地形、雷云电荷等因素对雷电发展过程的影响，对雷电下行先导、上行先导的发展进行模拟，得到雷电击中的位置。本发明方法计算得到的雷击过程更加符合实际雷击情况，因此当用于计算实际工程的雷击跳闸率时，提高了实际工程中输电线路雷击跳闸分析的准确度；本发明方法能够计算各种地形上的输电线路的雷击过程，使本发明的计算适用范围更广。

Description

基于输电线路结构及地形的输电线路三维雷击计算方法

技术领域

本发明涉及一种基于输电线路结构及地形的输电线路三维雷击计算方法，属于输电线路雷电防护领域。

背景技术

输电线路的雷电绕击分析方法主要有规程法、电气几何模型、先导发展模型等。

各国学者根据实际运行经验和模拟试验结果总结出绕击率经验公式，认为绕击率与地线保护角、杆塔高度以及沿输电线路的地形地貌条件有关。规程法没有考虑雷电发展过程，物理意义不明确；规程法没有考虑雷电流幅值等对屏蔽效果的影响，不能反映具体线路的特点，无法合理地解释屏蔽失效现象。

20世纪60年代提出了电气几何模型(Electrogeometric Model，EGM)。电气几何模型将输电线路雷电绕击问题的分析与输电线路结构尺寸联系起来，是一种几何分析模型。电气几何模型是目前使用比较广泛的一种输电线路绕击分析方法，多数情况下计算结果与实际运行经验比较吻合。但电气几何模型的击距公式缺乏普适性，许多研究者根据各自的运行数据提出了不同的击距公式，根据不同的击距公式计算得到的绕击率相差较大，而且电气几何模型难以处理输电线路运行电压的影响问题。理论上，电气几何模型的击距公式只适用于特定地区的输电线路。

20世纪末，许多研究者根据雷电发展过程和长空气间隙放电的相似性，通过试验方法对输电线路雷击过程进行研究。Dellera和Garbagnati在1990年提出雷击输电线路的先导发展模型(Leader Progression Model，LPM)。先导发展模型对雷电下行先导、上行先导起始条件进行简单建模，但是没有提出完整的、可实现的雷电发展模型。

无论采用那种方法，传统输电线路雷击分析方法没有深入考察局部地形的影响，仅仅区分山区与平原，往往导致评估与运行结果出入较大；传统输电线路雷击分析方法没有在考虑输电线路结构及地形影响下对输电线路的雷击过程进行详细的三维建模分析。

发明内容

本发明的目的是提出一种基于输电线路结构及地形的输电线路三维雷击计算方法，利用现有的相对成熟的参数对雷击过程建模，综合考虑输电线路结构、输电线路运行电压、地形、雷云电荷等因素对雷电发展过程的影响，对雷电下行先导、上行先导的发展进行模拟，得到雷电击中的位置。

本发明提出的基于输电线路结构及地形的输电线路三维雷击计算方法，包括以下各步骤：

(1)确定一个水平正方形区域，作为输电线路下方地面雷击计算范围，该水平正方形区域的中心为O′、边长为D，建立一个三维直角坐标系(X、Y、Z)，三维直角坐标系的原点为O，X轴为正东方向，Y轴为正南方向，Z轴为垂直水平面方向向上，坐标系原点O位于上述地面雷击计算范围内最低点所在的水平面上，且O′O垂直于水平面；将上述地面雷击计算范围的地形表面划分为N个三角形，定义各三角形的重心A_u为地表匹配点，重心A_u的坐标记为(X_u，Y_u，Z_u)，u＝1，2，...，N；

(2)将输电线路中各导线分别划分为W_c段，各地线分别划分为W_g段，每段导线和地线的中心位置的上表面为导线匹配点和地线匹配点，设输电线路中第i根导线表面的第s个导线匹配点A_{ci_s}在上述三维直角坐标系中的位置为(X_{ci_s}，Y_{ci_s}，Z_{ci_s})第j根地线表面第t个地线匹配点A_{gj_t}在上述三维直角坐标系中的位置为(X_{gj_t}，Y_{gj_t}，Z_{gj_t})，其中，下标c表示导线，下标g表示地线，i＝1，2，...，N_c，N_c为输电线路中导线的数量，j＝1，2，...，N_g，N_g为输电线路中地线的数量，s＝1，2，...，W_c，t＝1，2，...，W_g；

(3)设雷电下行先导在上述三维直角坐标系中的起始位置为(X_down，Y_down，Z_down)，其中Z_down为设定的雷云高度，雷电下行先导中电荷线密度q_down为：

q_down＝38×10^-6I^2/3

其中I为根据统计数据设定的雷电流峰值，单位为千安；

设雷电下行先导的初始长度为L_down，方向为沿上述三维直角坐标系中的Z轴向下，记雷云电荷平均分布在高度为Z_down、圆心为上述雷电下行先导的起始位置(X_down，Y_down，Z_down)、直径为d_cloud的圆形区域S_cloud内，雷云总电荷量为Q_cloud；

(4)根据步骤(3)设定的雷云电荷的分布位置和电荷量以及雷电下行先导的起始位置、初始长度和雷电下行先导中电荷线密度，计算地表匹配点、导线匹配点和地线匹配点的电压如下：

第i根导线的第s个匹配点A_ci s的电压

为：

第j根地线的第t个匹配点A_{gj_t}的电压

为：

地表上第u个匹配点A_u的电压

为：

(x₁，y₁，z₁)为雷云电荷分布的圆形区域S_cloud中的任何一点，(x₂，y₂，z₂)为下行先导l_down中的任何一点，r(x₁，y₁，z₁，A_{ci_s})为(x₁，y₁，z₁)与第i根导线的第s个匹配点A_{ci_s}之间的距离，r(x₂，y₂，z₂，A_{ci_s})为(x₂，y₂，z₂)与A_{ci_s}之间的距离；r(x₁，y₁，z₁，A_{gj_t})为(x₁，y₁，z₁)与第j根地线的第t个匹配点A_{gj_t}之间的距离，r(x₂，y₂，z₂，A_{gj_t})为(x₂，y₂，z₂)与A_{gj_t}之间的距离；

r(x₁，y₁，z₁，A_u)为(x₁，y₁，z₁)与地表上第u个匹配点A_u之间的距离，r(x₂，y₂，z₂，A_u)为(x₂，y₂，z₂)与A_u之间的距离；ε₀为真空的介电常数，ε₀＝8.85×10^-12法拉/米；

(5)设地形表面各三角形中电荷均匀分布，输电线路中各导线和各地线中各段的电荷面密度均匀分布，求解以下联立方程组，得到输电线路各导线表面匹配点处的电荷面密度

各地线表面匹配点处电荷面密度

和地表各匹配点处电荷面密度

s₁＝1，2，...，W_c，t₁＝1，2，...，W_g，i₁＝1，2，...，N_c，j₁＝1，2，...，N_g，u₁＝1，2，...，N：

其中s＝1，2，...，W_c，t＝1，2，...，W_g，i＝1，2，...，N_c，j＝1，2，...，N_g，u＝1，2，...，N；U_ci为第i根导线的运行电压；(x₃，y₃，z₃)为第u₁个地表三角形

中任何一点，(x₄，y₄，z₄)为第i₁根导线第s₁段表面

上任何一点，(x₅，y₅，z₅)为第j₁根地线第t₁段表面

上任何一点；

r(x₃，y₃，z₃，A_{ci_s})为(x₃，y₃，z₃)与A_{ci_s}之间的距离，r(x₃，y₃，z₃，A_{gj_t})为(x₃，y₃，z₃)与A_{gj_t}之间的距离，r(x₃，y₃，z₃，A_u)为(x₃，y₃，z₃)与A_u之间的距离，r(x₄，y₄，z₄，A_{ci_s})为(x₄，y₄，z₄)与A_{ci_s}之间的距离，r(x₄，y₄，z₄，A_{gj_t})为(x₄，y₄，z₄)与A_{gj_t}之间的距离，r(x₄，y₄，z₄，A_u)为(x₄，y₄，z₄)与A_u之间的距离，r(x₅，y₅，z₅，A_{ci_s})为(x₅，y₅，z₅)与A_{ci_s}之间的距离，r(x₅，y₅，z₅，A_{gj_t})为(x₅，y₅，z₅)与A_{gj_t}之间的距离，r(x₅，y₅，z₅，A_u)为(x₅，y₅，z₅)与A_u之间的距离；

(6)在雷电下行先导头部半球表面上取N_dir个点B_α，α＝1，2，...，N_dir，计算点B_α处的电场强度

$\stackrel{\→}{E}\left(B_{\mathrm{\α}}\right)={\∫\∫}_{S_{\mathrm{cloud}}}\frac{Q_{\mathrm{cloud}}/(\mathrm{\π}\·d_{\mathrm{cloud}}^2)\·\stackrel{\→}{r}(x_1,y_1,z_1,B_{\mathrm{\α}})}{{\mathrm{\π\ϵ}}_0\·{\left[r(x_1,y_1,z_1,B_{\mathrm{\α}})\right]}^3}\mathrm{dS}+{\∫}_{l_{\mathrm{down}}}\frac{q_{\mathrm{down}}\·\stackrel{\→}{r}(x_2,y_2,z_2,B_{\mathrm{\α}})}{4\mathrm{\π}{\mathrm{\ϵ}}_0\·{\left[r(x_2,y_2,z_2,B_{\mathrm{\α}})\right]}^3}\mathrm{dl}$

$+\underset{u_1=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{\∫\∫}_{S_{u_1}}\frac{\mathrm{\ρ}\left(A_{u_1}\right)\·\stackrel{\→}{r}(x_3,y_3,z_3,B_{\mathrm{\α}})}{4{\mathrm{\π\ϵ}}_0{\·\left[r(x_3,y_3,z_3,B_{\mathrm{\α}})\right]}^3}\mathrm{dS}+\underset{i_1=1}{\overset{N_c}{\mathrm{\Σ}}}\underset{s_1=1}{\overset{W_c}{\mathrm{\Σ}}}{\∫\∫}_{S_{{\mathrm{ci}}_1\_s_1}}\frac{\mathrm{\ρ}\left(A_{{\mathrm{ci}}_1\_s_1}\right)\·\stackrel{\→}{r}(x_4,y_4,z_4,B_{\mathrm{\α}})}{{4\mathrm{\π\ϵ}}_0\·{\left[r(x_4,y_4,z_4,B_{\mathrm{\α}})\right]}^3}\mathrm{dS}$

$+\underset{j_1=1}{\overset{N_g}{\mathrm{\Σ}}}\underset{t_1=1}{\overset{W_g}{\mathrm{\Σ}}}{\∫\∫}_{S_{{\mathrm{gj}}_1\_t_1}}\frac{\mathrm{\ρ}\left(A_{{\mathrm{gj}}_1\_t_1}\right)\·\stackrel{\→}{r}(x_5,y_5,z_5,B_{\mathrm{\α}})}{{4\mathrm{\π\ϵ}}_0\·{\left[r(x_5,y_5,z_5,B_{\mathrm{\α}})\right]}^3}\mathrm{dS}$

其中，雷电下行先导的头部半球的半径为R_down＝3.0lg(I+20)，I为雷电流峰值，单位为千安；

为雷云电荷分布的圆形区域S_cloud中的任何一点(x₁，y₁，z₁)指向雷电下行先导头部半球上任意一点B_α的向量，

为下行先导l_down中的任何一点(x₂，y₂，z₂)指向B_α的向量，

为第u₁个地表三角形

中任何一点(x₃，y₃，z₃)指向B_α的向量，为第i₁根导线第s₁段表面

上任何一点(x₄，y₄，z₄)指向B_α的向量，

为第j₁根地线第t₁段表面

上任何一点(x₅，y₅，z₅)指向B_α的向量；r(x₁，y₁，z₁，B_α)为(x₁，y₁，z₁)与B_α之间的距离，r(x₂，y₂，z₂，B_α)为(x₂，y₂，z₂)与B_α之间的距离，r(x₃，y₃，z₃，B_α)为(x₃，y₃，z₃)与B_α之间的距离，r(x₄，y₄，z₄，B_α)为(x₄，y₄，z₄)与B_α之间的距离，r(x₅，y₅，z₅，B_α)为(x₅，y₅，z₅)与B_α之间的距离；

(7)设雷电下行先导朝头部半球表面上电场强度幅值最大的方向发展的速度为V_down，当雷电下行先导头部高度大于H₀时，将雷电下行先导发展步长L_step的值设定为L_step1，L_step1的取值范围为50米～60米，当雷电下行先导头部高度小于H₀时，下行先导发展步长L_step的值设定为L_step2，L_step2的取值范围为5米～10米，则下行先导发展一步的时间为

H₀的取值范围为250米～350米；

(8)设输电线路中没有产生上行先导的导线有K_c根，地线有K_g根，上述导线或地线的各段中心位置上方一点G_β与该导线或地线轴线之间的距离为临界半径R₀，β＝1，2，...，(W_g·K_g+W_c·K_c)，输电线路中不分裂导线和地线的临界半径为0.1m，四分裂导线的临界半径为0.04m，六分裂导线的临界半径设定为0.03m，八分裂导线的临界半径设定为0.02m；计算G_β的电场强度

为：

$\stackrel{\→}{E}\left(G_{\mathrm{\β}}\right)={\∫\∫}_{S_{\mathrm{cloud}}}\frac{Q_{\mathrm{cloud}}/(\mathrm{\π}\·d_{\mathrm{cloud}}^2)\·\stackrel{\→}{r}(x_1,y_1,z_1,G_{\mathrm{\β}})}{{\mathrm{\π\ϵ}}_0\·{\left[r(x_1,y_1,z_1,G_{\mathrm{\β}})\right]}^3}\mathrm{dS}+{\∫}_{l_{\mathrm{down}}}\frac{q_{\mathrm{down}}\·\stackrel{\→}{r}(x_2,y_2,z_2,G_{\mathrm{\β}})}{4\mathrm{\π}{\mathrm{\ϵ}}_0\·{\left[r(x_2,y_2,z_2,G_{\mathrm{\β}})\right]}^3}\mathrm{dl}$

$+\underset{u1=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{\∫\∫}_{S_{u1}}\frac{\mathrm{\ρ}\left(A_{u1}\right)\·\stackrel{\→}{r}(x_3,y_3,z_3,B_{\mathrm{\α}})}{4{\mathrm{\π\ϵ}}_0{\·\left[r(x_3,y_3,z_3,G_{\mathrm{\β}})\right]}^3}\mathrm{dS}+\underset{i1=1}{\overset{N_c}{\mathrm{\Σ}}}\underset{s1=1}{\overset{W}{\mathrm{\Σ}}}{\∫\∫}_{S_{\mathrm{ci}1\_s1}}\frac{\mathrm{\ρ}\left(A_{\mathrm{ci}1\_s1}\right)\·\stackrel{\→}{r}(x_4,y_4,z_4,G_{\mathrm{\β}})}{{4\mathrm{\π\ϵ}}_0\·{\left[r(x_4,y_4,z_4,G_{\mathrm{\β}})\right]}^3}\mathrm{dS}$

$+\underset{j1=1}{\overset{N_g}{\mathrm{\Σ}}}\underset{t1=1}{\overset{W}{\mathrm{\Σ}}}{\∫\∫}_{S_{\mathrm{gj}1\_t1}}\frac{\mathrm{\ρ}\left(A_{\mathrm{gj}1\_t1}\right)\·\stackrel{\→}{r}(x_5,y_5,z_5,G_{\mathrm{\β}})}{{4\mathrm{\π\ϵ}}_0\·{\left[r(x_5,y_5,z_5,G_{\mathrm{\β}})\right]}^3}\mathrm{dS}$

其中，

为(x₁，y₁，z₁)指向G_β的向量，

为(x₂，y₂，z₂)指向G_β的向量，为(x₃，y₃，z₃)指向G_β的向量，为(x₄，y₄，z₄)指向G_β的向量，

为(x₅，y₅，z₅)指向G_β的向量；r(x₁，y₁，z₁，G_β)为(x₁，y₁，z₁)与G_β之间的距离，r(x₂，y₂，z₂，G_β)为(x₂，y₂，z₂)与G_β之间的距离，r(x₃，y₃，z₃，G_β)为(x₃，y₃，z₃)与G_β之间的距离，r(x₄，y₄，z₄，G_β)为(x₄，y₄，z₄)与G_β之间的距离，r(x₅，y₅，z₅，G_β)为(x₅，y₅，z₅)与G_β之间的距离；

设输电线路中导线或地线产生上行先导的电场强度临界值E_c为：

$E_c=3000\mathrm{\δm}(1+\frac{0.03}{{\mathrm{\δR}}_0})\·$

式中，δ为发生雷电时的空气相对密度，m为导线表面粗糙系数，R₀为导线或地线的临界半径，k为修正系数，k取值范围为0.9～1.0；

将上述

与G_β对应的导线或地线产生上行先导的电场强度临界值E_c进行比较，若

大于或等于E_c，则上行先导从G_β产生，上行先导朝着雷电下行先导头部发展，设发展速度为V_up，发展步长为V_up·t_step，多次发展的步长相加得到上行先导长度L_up，若

小于E_c，则没有上行先导从G_β产生；

(9)设输电线路中已经产生的上行先导中第p个上行先导朝着雷电下行先导头部发展，发展速度为V_up，发展步长为V_up·t_step，多次发展的步长相加得到上行先导长度L_p，p＝1，2，...，N_up，N_up为上行先导的个数；计算第p个上行先导的电压降ΔU_p为：

${\mathrm{\ΔU}}_p=50L_p+37.5\ln (8-7e^{-1.33L_p})$

第p个上行先导头部电位U_0p为：

U_p＝U_0p+ΔU_p

其中，若第p个上行先导在地线上产生，则U_0p＝0，若第p个上行先导在第i根导线上产生，则U_0p＝U_ci，U_ci为第i根导线的运行电压；

(10)记雷电下行先导头部的位置为A_tip，计算A_tip处的电位U_tip为：

$U_{\mathrm{tip}}={\∫\∫}_{S_{\mathrm{cloud}}}\frac{Q_{\mathrm{cloud}}/(\mathrm{\π}\·d_{\mathrm{cloud}}^2)\·}{{\mathrm{\π\ϵ}}_0\·r(x_1,y_1,z_1,A_{\mathrm{tip}})}\mathrm{dS}+{\∫}_{l_{\mathrm{down}}}\frac{q_{\mathrm{down}}}{4\mathrm{\π}{\mathrm{\ϵ}}_0\·r(x_2,y_2,z_2,A_{\mathrm{tip}})}\mathrm{dl}$

$+\underset{u1=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{\∫\∫}_{S_{u1}}\frac{\mathrm{\ρ}\left(A_{u1}\right)}{4{\mathrm{\π\ϵ}}_0\·r(x_3,y_3,z_3,A_{\mathrm{tip}})}\mathrm{dS}+\underset{i1=1}{\overset{N_c}{\mathrm{\Σ}}}\underset{s1=1}{\overset{W}{\mathrm{\Σ}}}{\∫\∫}_{S_{\mathrm{ci}1\_s1}}\frac{\mathrm{\ρ}\left(A_{\mathrm{ci}1\_s1}\right)}{{4\mathrm{\π\ϵ}}_0\·r(x_4,y_4,z_4,A_{\mathrm{tip}})}\mathrm{dS}$

$+\underset{j1=1}{\overset{N_g}{\mathrm{\Σ}}}\underset{t1=1}{\overset{W}{\mathrm{\Σ}}}{\∫\∫}_{S_{\mathrm{gj}1\_t1}}\frac{\mathrm{\ρ}\left(A_{\mathrm{gj}1\_t1}\right)}{{4\mathrm{\π\ϵ}}_0\·r(x_5,y_5,z_5,A_{\mathrm{tip}})}\mathrm{dS}$ 其中，r(x₁，y₁，z₁，A_tip)为(x₁，y₁，z₁)与A_tip之间的距离，r(x₂，y₂，z₂，A_tip)为(x₂，y₂，z₂)与A_tip之间的距离，r(x₃，y₃，z₃，A_tip)为(x₃，y₃，z₃)与A_tip之间的距离，r(x₄，y₄，z₄，A_tip)为(x₄，y₄，z₄)与A_tip之间的距离，r(x₅，y₅，z₅，A_tip)为(x₅，y₅，z₅)与A_tip之间的距离；

(11)计算雷电下行先导头部A_tip处与第p个上行先导头部之间的平均场强E_p为：

$E_p=\frac{U_{\mathrm{tip}}-U_p}{L_{\mathrm{tip}\_p}}$

其中L_{tip_p}为雷电下行先导头部与第p个上行先导头部之间的距离；计算雷电下行先导头部A_tip处与地面雷击计算范围内地表之间的平均场强E₀为：

$E_0=\frac{U_{\mathrm{tip}1}}{L_{\mathrm{tip}\_0}}$

其中L_{tip_0}为雷电下行先导头部与地面雷击计算范围内地表的最小距离；

(12)设雷电下行先导头部与上行先导头部之间的平均场强的临界值为500千伏/米，雷电下行先导头部与地表之间的场强的临界值为750千伏/米；

分别计算中间量

其中p为上行先导编号，p＝1，2，...，N_up，将N_up个

和一起进行比较，得到最大值η_max；

将η_max与1进行比较，若η_max小于1，则返回步骤(4)；若η_max大于等于1，则雷电击中输电线路或地表，其中当η_max＝η_p时，雷电击中产生第p个上行先导的导线或地线，当η_max＝η₀时，雷电击中地表。

本发明提出的基于输电线路结构及地形的输电线路三维雷击计算方法，与原有的输电线路雷击分析方法相比，其优点是：

1、本发明考虑了雷电发展过程中空间电场变化对上、下行先导在三维空间中发展的影响，综合考虑了输电线路结构、输电线路运行电压等因素对雷电发展过程的影响，计算得到的雷击过程更加符合实际雷击情况，因此当用于计算实际工程的雷击跳闸率时，提高了实际工程中输电线路雷击跳闸分析的准确度。

2、本发明方法中，采用边界元方法考虑地形对计算的影响，使本发明方法能够不局限于平面上输电线路的雷击过程的计算，而可以计算各种地形上的输电线路的雷击过程，使本发明的计算适用范围更广。

3、本发明对雷电先导发展过程中的雷云和雷电下行先导的电荷进行建模，更方便借鉴成熟的各种参数以及判据，简化了整个计算过程。

附图说明

图1是本发明提出的基于输电线路结构及地形的输电线路三维雷击计算方法中建立的三维直角坐标系以及上行先导和下行先导的示意图。

图2是本发明方法中定义的临界半径示意图。

图1和图2中，1是地形表面，2是地面雷击计算范围，3是地面雷击计算范围内最低点所在的水平面，4是地线，5是导线，6是雷云电荷分布的圆形区域，7是下行先导，8是上行先导，9是导线或地线，10是该导线或地线轴线。

具体实施方式

本发明提出的基于输电线路结构及地形的输电线路三维雷击计算方法，包括以下各步骤：

(1)确定一个水平正方形区域，作为输电线路下方地面雷击计算范围，该水平正方形区域的中心为O′、边长为D，建立一个三维直角坐标系(X、Y、Z)，三维直角坐标系的原点为O，X轴为正东方向，Y轴为正南方向，Z轴为垂直水平面方向向上，坐标系原点O位于上述地面雷击计算范围内最低点所在的水平面上，且O′O垂直于水平面；将上述地面雷击计算范围的地形表面划分为N个三角形，定义各三角形的重心A_u为地表匹配点，重心A_u的坐标记为(X_u，Y_u，Z_u)，u＝1，2，...，N；

(2)将输电线路中各导线分别划分为W_c段，各地线分别划分为W_g段，每段导线和地线的中心位置的上表面为导线匹配点和地线匹配点，设输电线路中第i根导线表面的第s个导线匹配点A_{ci_s}在上述三维直角坐标系中的位置为(X_{ci_s}，Y_{ci_s}，Z_{ci_s})第j根地线表面第t个地线匹配点A_{gj_t}在上述三维直角坐标系中的位置为(X_{gj_t}，Y_{gj_t}，Z_{gj_t})，其中，下标c表示导线，下标g表示地线，i＝1，2，...，N_c，N_c为输电线路中导线的数量，j＝1，2，...，N_g，N_g为输电线路中地线的数量，s＝1，2，...，W_c，t＝1，2，...，W_g；

(3)设雷电下行先导在上述三维直角坐标系中的起始位置为(X_down，Y_down，Z_down)，其中Z_down为设定的雷云高度，雷电下行先导中电荷线密度q_down为：

q_down＝38×10^-6I^2/3

其中I为根据国际大电网会议(CIGRE)推荐的雷电流峰值累积概率公式P＝[1+(I/31)^2.6]^-1设定的雷电流峰值，单位为千安；

设雷电下行先导的初始长度为L_down，方向为沿上述三维直角坐标系中的Z轴向下，记雷云电荷平均分布在高度为Z_down、圆心为上述雷电下行先导的起始位置(X_down，Y_down，Z_down)、直径为d_cloud的圆形区域S_cloud内，雷云总电荷量为Q_cloud，Z_down取值范围为2千米～3千米，d_cloud取值范围为8千米～10千米，Q_cloud取值范围为8库伦～10库伦，以上取值范围根据Dellera和Garbagnati 1990年在IEEE Transactions on Power Delivery期刊5卷4期上的文章，第2009～2022页；

(4)根据步骤(3)设定的雷云电荷的分布位置和电荷量以及雷电下行先导的起始位置、初始长度和雷电下行先导中电荷线密度，计算地表匹配点、导线匹配点和地线匹配点的电压如下：

第i根导线的第s个匹配点A_ci s的电压

为：

第j根地线的第t个匹配点A_gj t的电压

为：

地表上第u个匹配点A_u的电压

为：

(x₁，y₁，z₁)为雷云电荷分布的圆形区域S_cloud中的任何一点，(x₂，y₂，z₂)为下行先导l_down中的任何一点，r(x₁，y₁，z₁，A_{ci_s})为(x₁，y₁，z₁)与第i根导线的第s个匹配点A_{ci_s}之间的距离，r(x₂，y₂，z₂，A_{ci_s})为(x₂，y₂，z₂)与A_{ci_s}之间的距离；r(x₁，y₁，z₁，A_{gj_t})为(x₁，y₁，z₁)与第j根地线的第t个匹配点A_{gj_t}之间的距离，r(x₂，y₂，z₂，A_{gj_t})为(x₂，y₂，z₂)与A_{gj_t}之间的距离；r(x₁，y₁，z₁，A_u)为(x₁，y₁，z₁)与地表上第u个匹配点A_u之间的距离，r(x₂，y₂，z₂，A_u)为(x₂，y₂，z₂)与A_u之间的距离；ε₀为真空的介电常数，ε₀＝8.85×10^-12法拉/米；

(5)设地形表面各三角形中电荷均匀分布，输电线路中各导线和各地线中各段的电荷面密度均匀分布，求解以下联立方程组，得到输电线路各导线表面匹配点处的电荷面密度

各地线表面匹配点处电荷面密度

和地表各匹配点处电荷面密度

S₁＝1，2，...，W_c，t₁＝1，2，...，W_g，i₁＝1，2，...，N_c，j₁＝1，2，...，N_g，u₁＝1，2，...，N：

其中s＝1，2，...，W_c，t＝1，2，...，W_g，i＝1，2，...，N_c，j＝1，2，...，N_g，u＝1，2，...，N；U_ci为第i根导线的运行电压；(x₃，y₃，z₃)为第u₁个地表三角形

中任何一点，(x₄，y₄，z₄)为第i₁根导线第S₁段表面上任何一点，(x₅，y₅，z₅)为第j₁根地线第t₁段表面

上任何一点；

r(x₃，y₃，z₃，A_{ci_s})为(x₃，y₃，z₃)与A_{ci_s}之间的距离，r(x₃，y₃，z₃，A_{gj_t})为(x₃，y₃，z₃)与A_{gj_t}之间的距离，r(x₃，y₃，z₃，A_u)为(x₃，y₃，z₃)与A_u之间的距离，r(x₄，y₄，z₄，A_{ci_s})为(x₄，y₄，z₄)与A_{ci_s}之间的距离，r(x₄，y₄，z₄，A_{gj_t})为(x₄，y₄，z₄)与A_{gj_t}之间的距离，r(x₄，y₄，z₄，A_u)为(x₄，y₄，z₄)与A_u之间的距离，r(x₅，y₅，z₅，A_{ci_s})为(x₅，y₅，z₅)与A_{ci_s}之间的距离，r(x₅，y₅，z₅，A_{gj_t})为(x₅，y₅，z₅)与A_{gj_t}之间的距离，r(x₅，y₅，z₅，A_u)为(x₅，y₅，z₅)与A_u之间的距离；

(6)在雷电下行先导头部半球表面上取N_dir个点B_α，α＝1，2，...，N_dir，计算点B_α处的电场强度

$\stackrel{\→}{E}\left(B_{\mathrm{\α}}\right)={\∫\∫}_{S_{\mathrm{cloud}}}\frac{Q_{\mathrm{cloud}}/(\mathrm{\π}\·d_{\mathrm{cloud}}^2)\·\stackrel{\→}{r}(x_1,y_1,z_1,B_{\mathrm{\α}})}{{\mathrm{\π\ϵ}}_0\·{\left[r(x_1,y_1,z_1,B_{\mathrm{\α}})\right]}^3}\mathrm{dS}+{\∫}_{l_{\mathrm{down}}}\frac{q_{\mathrm{down}}\·\stackrel{\→}{r}(x_2,y_2,z_2,B_{\mathrm{\α}})}{4\mathrm{\π}{\mathrm{\ϵ}}_0\·{\left[r(x_2,y_2,z_2,B_{\mathrm{\α}})\right]}^3}\mathrm{dl}$

$+\underset{u_1=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{\∫\∫}_{S_{u_1}}\frac{\mathrm{\ρ}\left(A_{u_1}\right)\·\stackrel{\→}{r}(x_3,y_3,z_3,B_{\mathrm{\α}})}{4{\mathrm{\π\ϵ}}_0{\·\left[r(x_3,y_3,z_3,B_{\mathrm{\α}})\right]}^3}\mathrm{dS}+\underset{i_1=1}{\overset{N_c}{\mathrm{\Σ}}}\underset{s_1=1}{\overset{W_c}{\mathrm{\Σ}}}{\∫\∫}_{S_{{\mathrm{ci}}_1\_s_1}}\frac{\mathrm{\ρ}\left(A_{{\mathrm{ci}}_1\_s_1}\right)\·\stackrel{\→}{r}(x_4,y_4,z_4,B_{\mathrm{\α}})}{{4\mathrm{\π\ϵ}}_0\·{\left[r(x_4,y_4,z_4,B_{\mathrm{\α}})\right]}^3}\mathrm{dS}$

$+\underset{j_1=1}{\overset{N_g}{\mathrm{\Σ}}}\underset{t_1=1}{\overset{W_g}{\mathrm{\Σ}}}{\∫\∫}_{S_{{\mathrm{gj}}_1\_t_1}}\frac{\mathrm{\ρ}\left(A_{{\mathrm{gj}}_1\_t_1}\right)\·\stackrel{\→}{r}(x_5,y_5,z_5,B_{\mathrm{\α}})}{{4\mathrm{\π\ϵ}}_0\·{\left[r(x_5,y_5,z_5,B_{\mathrm{\α}})\right]}^3}\mathrm{dS}$

其中，雷电下行先导的头部半球的半径为R_down＝3.0lg(I+20)，I为雷电流峰值，单位为千安；

为雷云电荷分布的圆形区域S_cloud中的任何一点(x₁，y₁，z₁)指向雷电下行先导头部半球上任意一点B_α的向量，

为下行先导l_down中的任何一点(x₂，y₂，z₂)指向B_α的向量，

为第u₁个地表三角形

中任何一点(x₃，y₃，z₃)指向B_α的向量，

为第i₁根导线第s₁段表面

上任何一点(x₄，y₄，z₄)指向B_α的向量，

为第j₁根地线第t₁段表面

上任何一点(x₅，y₅，z₅)指向B_α的向量；r(x₁，y₁，z₁，B_α)为(x₁，y₁，z₁)与B_α之间的距离，r(x₂，y₂，z₂，B_α)为(x₂，y₂，z₂)与B_α之间的距离，r(x₃，y₃，z₃，B_α)为(x₃，y₃，z₃)与B_α之间的距离，r(x₄，y₄，z₄，B_α)为(x₄，y₄，z₄)与B_α之间的距离，r(x₅，y₅，z₅，B_α)为(x₅，y₅，z₅)与B_α之间的距离；

(7)设雷电下行先导朝头部半球表面上电场强度幅值最大的方向发展的速度为V_down，当雷电下行先导头部高度大于H₀时，将雷电下行先导发展步长L_step的值设定为L_step1，L_step1的取值范围为50米～60米，当雷电下行先导头部高度小于H₀时，下行先导发展步长L_step的值设定为L_step2，L_step2的取值范围为5米～10米，则下行先导发展一步的时间为

H₀的取值范围为250米～350米；

(8)设输电线路中没有产生上行先导的导线有K_c根，地线有K_g根，上述导线或地线的各段中心位置上方一点G_β与该导线或地线轴线之间的距离为临界半径R₀，β＝1，2，...，(W_g·K_g+W_c·K_c)，输电线路中不分裂导线和地线的临界半径为0.1m，四分裂导线的临界半径为0.04m，六分裂导线的临界半径设定为0.03m，八分裂导线的临界半径设定为0.02m；计算G_β的电场强度

为：

$\stackrel{\→}{E}\left(G_{\mathrm{\β}}\right)={\∫\∫}_{S_{\mathrm{cloud}}}\frac{Q_{\mathrm{cloud}}/(\mathrm{\π}\·d_{\mathrm{cloud}}^2)\·\stackrel{\→}{r}(x_1,y_1,z_1,G_{\mathrm{\β}})}{{\mathrm{\π\ϵ}}_0\·{\left[r(x_1,y_1,z_1,G_{\mathrm{\β}})\right]}^3}\mathrm{dS}+{\∫}_{l_{\mathrm{down}}}\frac{q_{\mathrm{down}}\·\stackrel{\→}{r}(x_2,y_2,z_2,G_{\mathrm{\β}})}{4\mathrm{\π}{\mathrm{\ϵ}}_0\·{\left[r(x_2,y_2,z_2,G_{\mathrm{\β}})\right]}^3}\mathrm{dl}$

$+\underset{u1=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{\∫\∫}_{S_{u1}}\frac{\mathrm{\ρ}\left(A_{u1}\right)\·\stackrel{\→}{r}(x_3,y_3,z_3,B_{\mathrm{\α}})}{4{\mathrm{\π\ϵ}}_0{\·\left[r(x_3,y_3,z_3,G_{\mathrm{\β}})\right]}^3}\mathrm{dS}+\underset{i1=1}{\overset{N_c}{\mathrm{\Σ}}}\underset{s1=1}{\overset{W}{\mathrm{\Σ}}}{\∫\∫}_{S_{\mathrm{ci}1\_s1}}\frac{\mathrm{\ρ}\left(A_{\mathrm{ci}1\_s1}\right)\·\stackrel{\→}{r}(x_4,y_4,z_4,G_{\mathrm{\β}})}{{4\mathrm{\π\ϵ}}_0\·{\left[r(x_4,y_4,z_4,G_{\mathrm{\β}})\right]}^3}\mathrm{dS}$

$+\underset{j1=1}{\overset{N_g}{\mathrm{\Σ}}}\underset{t1=1}{\overset{W}{\mathrm{\Σ}}}{\∫\∫}_{S_{\mathrm{gj}1\_t1}}\frac{\mathrm{\ρ}\left(A_{\mathrm{gj}1\_t1}\right)\·\stackrel{\→}{r}(x_5,y_5,z_5,G_{\mathrm{\β}})}{{4\mathrm{\π\ϵ}}_0\·{\left[r(x_5,y_5,z_5,G_{\mathrm{\β}})\right]}^3}\mathrm{dS}$

其中，为(x₁，y₁，z₁)指向G_β的向量，

为(x₂，y₂，z₂)指向G_β的向量，

为(x₃，y₃，z₃)指向G_β的向量，

为(x₄，y₄，z₄)指向G_β的向量，

为(x₅，y₅，z₅)指向G_β的向量；r(x₁，y₁，z₁，G_β)为(x₁，y₁，z₁)与G_β之间的距离，r(x₂，y₂，z₂，G_β)为(x₂，y₂，z₂)与G_β之间的距离，r(x₃，y₃，z₃，G_β)为(x₃，y₃，z₃)与G_β之间的距离，r(x₄，y₄，z₄，G_β)为(x₄，y₄，z₄)与G_β之间的距离，r(x₅，y₅，z₅，G_β)为(x₅，y₅，z₅)与G_β之间的距离；

设输电线路中导线或地线产生上行先导的电场强度临界值E_c为：

$E_c=3000\mathrm{\δm}(1+\frac{0.03}{{\mathrm{\δR}}_0})\·k$

式中，δ为发生雷电时的空气相对密度，m为导线表面粗糙系数，R₀为导线或地线的临界半径，k为修正系数，k取值范围为0.9～1.0；

将上述

与G_β对应的导线或地线产生上行先导的电场强度临界值E_c进行比较，若

大于或等于E_c，则上行先导从G_β产生，上行先导朝着雷电下行先导头部发展，设发展速度为V_up，发展步长为V_up·t_step，多次发展的步长相加得到上行先导长度L_up，若

小于E_c，则没有上行先导从G_β产生；

(9)设输电线路中已经产生的上行先导中第p个上行先导朝着雷电下行先导头部发展，发展速度为V_up，发展步长为V_up·t_step，多次发展的步长相加得到上行先导长度L_p，p＝1，2，...，N_up，N_up为上行先导的个数；计算第p个上行先导的电压降ΔU_p为：

${\mathrm{\ΔU}}_p=50L_p+37.5\ln (8-7e^{-1.33L_p})$

第p个上行先导头部电位U_0p为：

U_p＝U_0p+ΔU_p

其中，若第p个上行先导在地线上产生，则U_0p＝0，若第p个上行先导在第i根导线上产生，则U_0p＝U_ci，U_ci为第i根导线的运行电压；

(10)记雷电下行先导头部的位置为A_tip，计算A_tip处的电位U_tip为：

$U_{\mathrm{tip}}={\∫\∫}_{S_{\mathrm{cloud}}}\frac{Q_{\mathrm{cloud}}/(\mathrm{\π}\·d_{\mathrm{cloud}}^2)\·}{{\mathrm{\π\ϵ}}_0\·r(x_1,y_1,z_1,A_{\mathrm{tip}})}\mathrm{dS}+{\∫}_{l_{\mathrm{down}}}\frac{q_{\mathrm{down}}}{4\mathrm{\π}{\mathrm{\ϵ}}_0\·r(x_2,y_2,z_2,A_{\mathrm{tip}})}\mathrm{dl}$

$+\underset{u1=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{\∫\∫}_{S_{u1}}\frac{\mathrm{\ρ}\left(A_{u1}\right)}{4{\mathrm{\π\ϵ}}_0\·r(x_3,y_3,z_3,A_{\mathrm{tip}})}\mathrm{dS}+\underset{i1=1}{\overset{N_c}{\mathrm{\Σ}}}\underset{s1=1}{\overset{W}{\mathrm{\Σ}}}{\∫\∫}_{S_{\mathrm{ci}1\_s1}}\frac{\mathrm{\ρ}\left(A_{\mathrm{ci}1\_s1}\right)}{{4\mathrm{\π\ϵ}}_0\·r(x_4,y_4,z_4,A_{\mathrm{tip}})}\mathrm{dS}$

$+\underset{j1=1}{\overset{N_g}{\mathrm{\Σ}}}\underset{t1=1}{\overset{W}{\mathrm{\Σ}}}{\∫\∫}_{S_{\mathrm{gj}1\_t1}}\frac{\mathrm{\ρ}\left(A_{\mathrm{gj}1\_t1}\right)}{{4\mathrm{\π\ϵ}}_0\·r(x_5,y_5,z_5,A_{\mathrm{tip}})}\mathrm{dS}$

其中，r(x₁，y₁，z₁，A_tip)为(x₁，y₁，z₁)与A_tip之间的距离，r(x₂，y₂，z₂，A_tip)为(x₂，y₂，z₂)与A_tip之间的距离，r(x₃，y₃，z₃，A_tip)为(x₃，y₃，z₃)与A_tip之间的距离，r(x₄，y₄，z₄，A_tip)为(x₄，y₄，z₄)与A_tip之间的距离，r(x₅，y₅，z₅，A_tip)为(x₅，y₅，z₅)与A_tip之间的距离；

(11)计算雷电下行先导头部A_tip处与第p个上行先导头部之间的平均场强E_p为：

$E_p=\frac{U_{\mathrm{tip}}-U_p}{L_{\mathrm{tip}\_p}}$

其中L_{tip_p}为雷电下行先导头部与第p个上行先导头部之间的距离；

计算雷电下行先导头部A_tip处与地面雷击计算范围内地表之间的平均场强E₀为：

$E_0=\frac{U_{\mathrm{tip}1}}{L_{\mathrm{tip}\_0}}$

其中L_{tip_0}为雷电下行先导头部与地面雷击计算范围内地表的最小距离；

(12)设雷电下行先导头部与上行先导头部之间的平均场强的临界值为500千伏/米，雷电下行先导头部与地表之间的场强的临界值为750千伏/米；

分别计算中间量

其中p为上行先导编号，p＝1，2，...，N_up，将N_up个

和

一起进行比较，得到最大值η_max；

将η_max与1进行比较，若η_max小于1，则返回步骤(4)；若η_max大于等于1，则雷电击中输电线路或地表，其中当η_max＝η_p时，雷电击中产生第p个上行先导的导线或地线，当η_max＝η₀时，雷电击中地表。

Claims (1)

1.一种基于输电线路结构及地形的输电线路三维雷击计算方法，其特征在于该方法包括以下各步骤：

(1)确定一个水平正方形区域，作为输电线路下方地面雷击计算范围，该水平正方形区域的中心为O′、边长为D，建立一个三维直角坐标系(X、Y、Z)，三维直角坐标系的原点为O，X轴为正东方向，Y轴为正南方向，Z轴为垂直水平面方向向上，坐标系原点O位于上述地面雷击计算范围内最低点所在的水平面上，且O′O垂直于水平面；将上述地面雷击计算范围的地形表面划分为N个三角形，定义各三角形的重心A_u为地表匹配点，重心A_u的坐标记为(X_u，Y_u，Z_u)，u＝1，2，...，N；

(2)将输电线路中各导线分别划分为W_c段，各地线分别划分为W_g段，每段导线和地线的中心位置的上表面为导线匹配点和地线匹配点，设输电线路中第i根导线表面的第s个导线匹配点A_{ci_s}在上述三维直角坐标系中的位置为(X_{ci_s}，Y_{ci_s}，Z_{ci_s})第j根地线表面第t个地线匹配点A_{gj_t}在上述三维直角坐标系中的位置为(X_{gj_s}，Y_{gj_t}，Z_{gj_t})，其中，下标c表示导线，下标g表示地线，i＝1，2，...，N_c，N_c为输电线路中导线的数量，j＝1，2，...，N_g，N_g为输电线路中地线的数量，s＝1，2，...，W_c，t＝1，2，...，W_g；

(3)设雷电下行先导在上述三维直角坐标系中的起始位置为(X_down，Y_down，Z_down)，其中Z_down为设定的雷云高度，雷电下行先导中电荷线密度q_down为：

q_down＝38×10^-6I^2/3

其中I为根据统计数据设定的雷电流峰值，单位为千安；

设雷电下行先导的初始长度为L_down，方向为沿上述三维直角坐标系中的Z轴向下，记雷云电荷平均分布在高度为Z_down、圆心为上述雷电下行先导的起始位置(X_down，Y_down，Z_down)、直径为d_cloud的圆形区域S_cloud内，雷云总电荷量为Q_cloud；

(4)根据步骤(3)设定的雷云电荷的分布位置和电荷量以及雷电下行先导的起始位置、初始长度和雷电下行先导中电荷线密度，计算地表匹配点、导线匹配点和地线匹配点的电压如下：

第i根导线的第s个匹配点A_ci s的电压

为：

第j根地线的第t个匹配点A_gj t的电压

为：

地表上第u个匹配点A_u的电压

为：

(x₁，y₁，z₁)为雷云电荷分布的圆形区域S_cloud中的任何一点，(x₂，y₂，z₂)为下行先导l_down中的任何一点，r(x₁，y₁，z₁，A_{ci_s})为(x₁，y₁，z₁)与第i根导线的第s个匹配点A_{ci_s}之间的距离，r(x₂，y₂，z₂，A_{ci_s})为(x₂，y₂，z₂)与A_{ci_s}之间的距离；r(x₁，y₁，z₁，A_{gj_t})为(x₁，y₁，z₁)与第j根地线的第t个匹配点A_{gj_t}之间的距离，r(x₂，y₂，z₂，A_{gj_t})为(x₂，y₂，z₂)与A_{gj_t}之间的距离；

r(x₁，y₁，z₁，A_u)为(x₁，y₁，z₁)与地表上第u个匹配点A_u之间的距离，r(x₂，x₂，z₂，A_u)为(x₂，y₂，z₂)与A_u之间的距离；ε₀为真空的介电常数，ε₀＝8.85×10^-12法拉/米；

(5)设地形表面各三角形中电荷均匀分布，输电线路中各导线和各地线中各段的电荷面密度均匀分布，求解以下联立方程组，得到输电线路各导线表面匹配点处的电荷面密度

各地线表面匹配点处电荷面密度

和地表各匹配点处电荷面密度s₁＝1，2，...，W_c，t₁＝1，2，...，W_g，i₁＝1，2，...，N_c，j₁＝1，2，...，N_g，u₁＝1，2，...，N：

其中s＝1，2，...，W_c，t＝1，2，...，W_g，i＝1，2，...，N_c，j＝1，2，...，N_g，u＝1，2，...，N；U_ci为第i根导线的运行电压；(x₃，y₃，z₃)为第u₁个地表三角形

中任何一点，(x₄，y₄，z₄)为第i₁根导线第s₁段表面

上任何一点，(x₅，y₅，z₅)为第j₁根地线第t₁段表面

上任何一点；

r(x₃，y₃，z₃，A_{ci_s})为(x₃，y₃，z₃)与A_{ci_s}之间的距离，r(x₃，y₃，z₃，A_{gj_t})为(x₃，y₃，z₃)与A_{gj_t}之间的距离，r(x₃，y₃，z₃，A_u)为(x₃，y₃，z₃)与A_u之间的距离，r(x₄，y₄，z₄，A_{ci_s})为(x₄，y₄，z₄)与A_{ci_s}之间的距离，r(x₄，y₄，z₄，A_{gj_t})为(x₄，y₄，z₄)与A_{gj_t}之间的距离，r(x₄，y₄，z₄，A_u)为(x₄，y₄，z₄)与A_u之间的距离，r(x₅，y₅，z₅，A_{ci_s})为(x₅，y₅，z₅)与A_{ci_s}之间的距离，r(x₅，y₅，z₅，A_{gj_t})为(x₅，y₅，z₅)与A_{gj_t}之间的距离，r(x₅，y₅，z₅，A_u)为(x₅，y₅，z₅)与A_u之间的距离；

(6)在雷电下行先导头部半球表面上取N_dir个点B_α，α＝1，2，...，N_dir，计算点B_α处的电场强度

$\stackrel{\→}{E}\left(B_{\mathrm{\α}}\right)={\∫\∫}_{S_{\mathrm{cloud}}}\frac{Q_{\mathrm{cloud}}/(\mathrm{\π}\·d_{\mathrm{cloud}}^2)\·\stackrel{\→}{r}(x_1,y_1,z_1,B_{\mathrm{\α}})}{{\mathrm{\π\ϵ}}_0\·{\left[r(x_1,y_1,z_1,B_{\mathrm{\α}})\right]}^3}\mathrm{dS}+{\∫}_{l_{\mathrm{down}}}\frac{q_{\mathrm{down}}\·\stackrel{\→}{r}(x_2,y_2,z_2,B_{\mathrm{\α}})}{4\mathrm{\π}{\mathrm{\ϵ}}_0\·{\left[r(x_2,y_2,z_2,B_{\mathrm{\α}})\right]}^3}\mathrm{dl}$

$+\underset{u_1=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{\∫\∫}_{S_{u_1}}\frac{\mathrm{\ρ}\left(A_{u_1}\right)\·\stackrel{\→}{r}(x_3,y_3,z_3,B_{\mathrm{\α}})}{4{\mathrm{\π\ϵ}}_0{\·\left[r(x_3,y_3,z_3,B_{\mathrm{\α}})\right]}^3}\mathrm{dS}+\underset{i_1=1}{\overset{N_c}{\mathrm{\Σ}}}\underset{s_1=1}{\overset{W_c}{\mathrm{\Σ}}}{\∫\∫}_{S_{{\mathrm{ci}}_1\_s_1}}\frac{\mathrm{\ρ}\left(A_{{\mathrm{ci}}_1\_s_1}\right)\·\stackrel{\→}{r}(x_4,y_4,z_4,B_{\mathrm{\α}})}{{4\mathrm{\π\ϵ}}_0\·{\left[r(x_4,y_4,z_4,B_{\mathrm{\α}})\right]}^3}\mathrm{dS}$

$+\underset{j_1=1}{\overset{N_g}{\mathrm{\Σ}}}\underset{t_1=1}{\overset{W_g}{\mathrm{\Σ}}}{\∫\∫}_{S_{{\mathrm{gj}}_1\_t_1}}\frac{\mathrm{\ρ}\left(A_{{\mathrm{gj}}_1\_t_1}\right)\·\stackrel{\→}{r}(x_5,y_5,z_5,B_{\mathrm{\α}})}{{4\mathrm{\π\ϵ}}_0\·{\left[r(x_5,y_5,z_5,B_{\mathrm{\α}})\right]}^3}\mathrm{dS}$

其中，雷电下行先导的头部半球的半径为R_down＝3.0lg(I+20)，I为雷电流峰值，单位为千安；为雷云电荷分布的圆形区域S_cloud中的任何一点(x₁，y₁，z₁)指向雷电下行先导头部半球上任意一点B_α的向量，为下行先导l_down中的任何一点(x₂，y₂，z₂)指向B_α的向量，

为第u₁个地表三角形

中任何一点(x₃，y₃，z₃)指向B_α的向量，

为第i₁根导线第s₁段表面

上任何一点(x₄，y₄，z₄)指向B_α的向量，

为第j₁根地线第t₁段表面

上任何一点(x₅，y₅，z₅)指向B_α的向量；r(x₁，y₁，z₁，B_α)为(x₁，y₁，z₁)与B_α之间的距离，r(x₂，y₂，z₂，B_α)为(x₂，y₂，z₂)与B_α之间的距离，r(x₃，y₃，z₃，B_α)为(x₃，y₃，z₃)与B_α之间的距离，r(x₄，y₄，z₄，B_α)为(x₄，y₄，z₄)与B_α之间的距离，r(x₅，y₅，z₅，B_α)为(x₅，y₅，z₅)与B_α之间的距离；

(7)设雷电下行先导朝头部半球表面上电场强度幅值最大的方向发展的速度为V_down，当雷电下行先导头部高度大于H₀时，将雷电下行先导发展步长L_step的值设定为L_step1，L_step1的取值范围为50米～60米，当雷电下行先导头部高度小于H₀时，下行先导发展步长L_step的值设定为L_step2，L_step2的取值范围为5米～10米，则下行先导发展一步的时间为H₀的取值范围为250米～350米；

(8)设输电线路中没有产生上行先导的导线有K_c根，地线有K_g根，上述导线或地线的各段中心位置上方一点G_β与该导线或地线轴线之间的距离为临界半径R₀，β＝1，2，...，(W_g·K_g+W_c·K_c)，输电线路中不分裂导线和地线的临界半径为0.1m，四分裂导线的临界半径为0.04m，六分裂导线的临界半径设定为0.03m，八分裂导线的临界半径设定为0.02m；计算G_β的电场强度

为：

$\stackrel{\→}{E}\left(G_{\mathrm{\β}}\right)={\∫\∫}_{S_{\mathrm{cloud}}}\frac{Q_{\mathrm{cloud}}/(\mathrm{\π}\·d_{\mathrm{cloud}}^2)\·\stackrel{\→}{r}(x_1,y_1,z_1,G_{\mathrm{\β}})}{{\mathrm{\π\ϵ}}_0\·{\left[r(x_1,y_1,z_1,G_{\mathrm{\β}})\right]}^3}\mathrm{dS}+{\∫}_{l_{\mathrm{down}}}\frac{q_{\mathrm{down}}\·\stackrel{\→}{r}(x_2,y_2,z_2,G_{\mathrm{\β}})}{4\mathrm{\π}{\mathrm{\ϵ}}_0\·{\left[r(x_2,y_2,z_2,G_{\mathrm{\β}})\right]}^3}\mathrm{dl}$

$+\underset{u1=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{\∫\∫}_{S_{u1}}\frac{\mathrm{\ρ}\left(A_{u1}\right)\·\stackrel{\→}{r}(x_3,y_3,z_3,B_{\mathrm{\α}})}{4{\mathrm{\π\ϵ}}_0{\·\left[r(x_3,y_3,z_3,G_{\mathrm{\β}})\right]}^3}\mathrm{dS}+\underset{i1=1}{\overset{N_c}{\mathrm{\Σ}}}\underset{s1=1}{\overset{W}{\mathrm{\Σ}}}{\∫\∫}_{S_{\mathrm{ci}1\_s1}}\frac{\mathrm{\ρ}\left(A_{\mathrm{ci}1\_s1}\right)\·\stackrel{\→}{r}(x_4,y_4,z_4,G_{\mathrm{\β}})}{{4\mathrm{\π\ϵ}}_0\·{\left[r(x_4,y_4,z_4,G_{\mathrm{\β}})\right]}^3}\mathrm{dS}$

$+\underset{j1=1}{\overset{N_g}{\mathrm{\Σ}}}\underset{t1=1}{\overset{W}{\mathrm{\Σ}}}{\∫\∫}_{S_{\mathrm{gj}1\_t1}}\frac{\mathrm{\ρ}\left(A_{\mathrm{gj}1\_t1}\right)\·\stackrel{\→}{r}(x_5,y_5,z_5,G_{\mathrm{\β}})}{{4\mathrm{\π\ϵ}}_0\·{\left[r(x_5,y_5,z_5,G_{\mathrm{\β}})\right]}^3}\mathrm{dS}$

其中，

为(x₁，y₁，z₁)指向G_β的向量，为(x₂，y₂，z₂)指向G_β的向量，

为(x₃，y₃，z₃)指向G_β的向量，

为(x₄，y₄，z₄)指向G_β的向量，

为(x₅，y₅，z₅)指向G_β的向量；r(x₁，y₁，z₁，G_β)为(x₁，y₁，z₁)与G_β之间的距离，r(x₂，y₂，z₂，G_β)为(x₂，y₂，z₂)与G_β之间的距离，r(x₃，y₃，z₃，G_β)为(x₃，y₃，z₃)与G_β之间的距离，r(x₄，y₄，z₄，G_β)为(x₄，y₄，z₄)与G_β之间的距离，r(x₅，y₅，z₅，G_β)为(x₅，y₅，z₅)与G_β之间的距离；

设输电线路中导线或地线产生上行先导的电场强度临界值E_c为：

$E_c=3000\mathrm{\δm}(1+\frac{0.03}{{\mathrm{\δR}}_0})\·k$

式中，δ为发生雷电时的空气相对密度，m为导线表面粗糙系数，R₀为导线或地线的临界半径，k为修正系数，k取值范围为0.9～1.0；

将上述

与G_β对应的导线或地线产生上行先导的电场强度临界值E_c进行比较，若

大于或等于E_c，则上行先导从G_β产生，上行先导朝着雷电下行先导头部发展，设发展速度为V_up，发展步长为V_up·t_step，多次发展的步长相加得到上行先导长度L_up，若

小于E_c，则没有上行先导从G_β产生；

(9)设输电线路中已经产生的上行先导中第p个上行先导朝着雷电下行先导头部发展，发展速度为V_up，发展步长为V_up·t_step，多次发展的步长相加得到上行先导长度L_p，p＝1，2，...，N_up，N_up为上行先导的个数；计算第p个上行先导的电压降ΔU_p为：

${\mathrm{\ΔU}}_p=50L_p+37.5\ln (8-7e^{-1.33L_p})$

第p个上行先导头部电位U_0p为：

U_p＝U_0p+ΔU_p

其中，若第p个上行先导在地线上产生，则U_0p＝0，若第p个上行先导在第i根导线上产生，则U_0p＝U_ci，U_ci为第i根导线的运行电压；

(10)记雷电下行先导头部的位置为A_tip，计算A_tip处的电位U_tip为：

$U_{\mathrm{tip}}={\∫\∫}_{S_{\mathrm{cloud}}}\frac{Q_{\mathrm{cloud}}/(\mathrm{\π}\·d_{\mathrm{cloud}}^2)\·}{{\mathrm{\π\ϵ}}_0\·r(x_1,y_1,z_1,A_{\mathrm{tip}})}\mathrm{dS}+{\∫}_{l_{\mathrm{down}}}\frac{q_{\mathrm{down}}}{4\mathrm{\π}{\mathrm{\ϵ}}_0\·r(x_2,y_2,z_2,A_{\mathrm{tip}})}\mathrm{dl}$

$+\underset{u1=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{\∫\∫}_{S_{u1}}\frac{\mathrm{\ρ}\left(A_{u1}\right)}{4{\mathrm{\π\ϵ}}_0\·r(x_3,y_3,z_3,A_{\mathrm{tip}})}\mathrm{dS}+\underset{i1=1}{\overset{N_c}{\mathrm{\Σ}}}\underset{s1=1}{\overset{W}{\mathrm{\Σ}}}{\∫\∫}_{S_{\mathrm{ci}1\_s1}}\frac{\mathrm{\ρ}\left(A_{\mathrm{ci}1\_s1}\right)}{{4\mathrm{\π\ϵ}}_0\·r(x_4,y_4,z_4,A_{\mathrm{tip}})}\mathrm{dS}$

$+\underset{j1=1}{\overset{N_g}{\mathrm{\Σ}}}\underset{t1=1}{\overset{W}{\mathrm{\Σ}}}{\∫\∫}_{S_{\mathrm{gj}1\_t1}}\frac{\mathrm{\ρ}\left(A_{\mathrm{gj}1\_t1}\right)}{{4\mathrm{\π\ϵ}}_0\·r(x_5,y_5,z_5,A_{\mathrm{tip}})}\mathrm{dS}$

其中，r(x₁，y₁，z₁，A_tip)为(x₁，y₁，z₁)与A_tip之间的距离，r(x₂，y₂，z₂，A_tip)为(x₂，y₂，z₂)与A_tip之间的距离，r(x₃，y₃，z₃，A_tip)为(x₃，y₃，z₃)与A_tip之间的距离，r(x₄，y₄，z₄，x_tip)为(x₄，y₄，z₄)与A_tip之间的距离，r(x₅，y₅，z₅，A_tip)为(x₅，y₅，z₅)与A_tip之间的距离；

(11)计算雷电下行先导头部A_tip处与第p个上行先导头部之间的平均场强E_p为：

$E_p=\frac{U_{\mathrm{tip}}-U_p}{L_{\mathrm{tip}\_p}}$

其中L_{tip_p}为雷电下行先导头部与第p个上行先导头部之间的距离；

计算雷电下行先导头部A_tip处与地面雷击计算范围内地表之间的平均场强E₀为：

$E_0=\frac{U_{\mathrm{tip}1}}{L_{\mathrm{tip}\_0}}$

其中L_{tip_0}为雷电下行先导头部与地面雷击计算范围内地表的最小距离；

(12)设雷电下行先导头部与上行先导头部之间的平均场强的临界值为500千伏/米，雷电下行先导头部与地表之间的场强的临界值为750千伏/米；

分别计算中间量

其中p为上行先导编号，p＝1，2，...，N_up，将N_up个

和

一起进行比较，得到最大值η_max；

将η_max与1进行比较，若η_max小于1，则返回步骤(4)；若η_max大于等于1，则雷电击中输电线路或地表，其中当η_max＝η_p时，雷电击中产生第p个上行先导的导线或地线，当η_max＝η₀时，雷电击中地表。

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