CN102566508B - 飞机复杂结构件平面轮廓数控加工刀轨触线计算方法 - Google Patents

Abstract

飞机复杂结构件平面轮廓数控加工刀轨触线计算方法，包括如下步骤：①基线链建模，根据给定的基线链建立基线链模型；②点对计算计算，计算点对间的跨弧；③跨弧有效性判断，判断跨弧的有效性；④触线计算，根据有效跨弧及基边计算触边；⑤触线链建模，提取触边和有效跨弧，构造触线链。该计算方法可根据零件平面轮廓计算出加工时刀轨触线，有效地解决了数控自动编程中刀具外包络线的求解问题，显著提高了数控程序编制效率与加工效率，对于智能数控加工编程的实现具有重要意义。

Description

飞机复杂结构件平面轮廓数控加工刀轨触线计算方法

技术领域

本发明是一种飞机复杂结构件平面轮廓数控加工刀轨触线计算方法，用于飞机复杂结构件数控加工中加工刀轨的计算，为专业化、智能化CAD/CAPP/CAM集成系统“飞机复杂结构件快速数控加工准备系统”提供刀轨计算中触线计算的一种方法，属于飞机数字化数控编程技术领域。

背景技术

计算机辅助制造中的数控加工相关技术发展快速、应用广泛，有力地推动了制造业的发展。现代飞机普遍采用性能优越的整体薄壁结构件，而数控加工技术的发展可以有效地实现飞机复杂结构件的加工。刀具轨迹的生成是数控加工技术中最重要也是研究最为广泛的内容。因此，研究和开发飞机复杂结构件数控加工刀轨计算方法，对于提高数控编程智能化水平、实现飞机复杂结构件高效高质的制造具有重要意义。数控加工中刀具触线的计算是刀轨计算中非常重要的内容，通过触线的计算可以实现刀具的优化选择以及零件的中间模型的生成。因此，如何得到有效的刀轨触线对于数控加工技术至关重要。

发明内容

本发明提供一种飞机复杂结构件平面轮廓数控加工刀轨触线计算方法，能够根据零件平面轮廓计算出加工时刀具外包络线，有利于数控编程智能化水平的进一步提高。

本发明的目的是通过下述技术方案实现的：

飞机复杂结构件平面轮廓数控加工刀轨触线计算方法，包括如下步骤：

1)基线链建模；2)点对计算；3)跨弧有效性判断；4)触边计算；5)触线链构造。

所述的1)基线链建模流程包括：①计算基线链中各边相对所属基线链正向方向；②生成基点表；③生成基边表；④计算基点凸凹性；

设e_f和e_b分别为顶点v的前继边和后续边，

和

分别为e_f和e_b在v处沿动向的切矢方向，其叉积令

为：

$\stackrel{\→}{n}=\stackrel{\→}{n_f}\×\stackrel{\→}{n_b}$

则v的凸凹性定义为

$k=\left\{\begin{array}{cc}-1,& n_z*s>0\\ 0,& n_z*s\&ap;0\\ 1,& n_z*s<0\end{array}\right.$

其中n_z为

的z向分量，s为动元相对线链的侧位码：

所述步骤2)点对计算的流程包括：给定基点表和基边表，依次计算基边间、基点间和基边点间的所有点对的跨弧；

所述的基点间点对计算，包括：确定当前基点的最近基点；计算这两基点间的跨弧；

所述的基边间点对计算，包括：计算不同类型边间过渡圆角；确定圆角端点类别；

所述的基边、基点间点对计算，包括：对于每条基边，选择不是此边端点的凸基点；计算基边和凸基点间的跨弧；确定圆角断点类别。

所述步骤3)跨弧有效性判断具体为：根据跨弧的特点分为基点处、基边内、基点间、基边间、基边基点间五类，根据相应的判断原则，判断并保留有效跨弧；

其中(1)基点处跨弧有效性是根据最左与最右原则来判断：若同一触点处存在多个跨弧及后续基线段，则对于动元相对基线链左向时，与基线段不相交的最左侧跨弧有效；而对于动元相对基线链右向时，与基线段不相交的最右侧跨弧有效；若同一碍点处存在多个跨弧及前继基线段，则对于动元相对基线链左向时，最右侧跨弧有效；而对于动元相对基线链右向时，最左侧跨弧有效；

(2)基点间跨弧有效性需要同时满足距离原则、保凸原则和侧位原则，则有效；

所述的距离原则：两基点均为凸且两基点间距离不大于动元直径；

保凸原则：跨弧与其始点所在基点的前继边在其始点处非凸；跨弧与其碍点所在基点的后续边在其终点处非凹；

侧位原则：跨弧圆心相对第一到第二个顶点的侧位必须与动元侧位相同；

(3)基边内跨弧有效性，根据奇偶性原则判断：给定一条基边e_b，p_i和cb_i(i＝1，2，...，n)为位于e_b上且沿e_b和动向依次排列的所有跨弧a_i的端点及其类别，则跨弧有效性判断条件为cb_j≠cb_i(j＞i，i，j＝1，2，...，n)，其中i为离j最近的有效跨弧端点号；

若有两个跨弧端点重合于e_b的始点或终点，则跨弧端点提取原则如下：

<1>若跨弧端点与e_b始点重合，则当e_b为正向，取其中终点重合于e_b始点的跨弧，并令此基点为碍点；否则，取其中始点重合于e_b始点的跨弧，并令此基点为触点；

<2>若跨弧端点与e_b终点重合，则当e_b为正向，取其中始点重合于e_b终点的跨弧，并令此基点为触点；否则，取其中终点重合于e_b终点的跨弧，并令此基点为碍点；

(4)基边间跨弧有效性

给定一条基边e_b，p_i和cb_i(i＝1，2，...，n)为位于e_b上(包括重合于e_b的始末点)且沿e_b和动向依次排列的所有跨弧a_i的端点及其类别，则跨弧有效性判断条件为：

设当前基边e_b上沿动向的最后一个跨弧a₁及其端点类别cb₁，a₂为沿动向且端点位于e_b后续连接基边e_f上的第一个跨弧，cb₂为a₂位于e_f上的端点类别，则若同时满足如下五条件，a₁和a₂均无效：

<1>cb₁＝cb₂＝1，亦即均为触点；

<2>a₁和a₂的始点方位相对动元侧位为“凹”；

<3>两圆心距离不大于动元直径；

<4>a₁和a₂的终点不重合；

<5>两跨弧间相交；

(5)基边、基点间跨弧有效性需要满足跨弧端点不能重合于基边始末点的条件，且当基点为凹时，跨弧无效；基点的凸凹性计算如下：

i.若在基边上的端点为触点，则取基点的后续边，并根据跨弧和后续边在基点处沿动向的切方向，计算该基点的凸凹性；

ii.若在基边上的端点为碍点，则取基点的前继边，并根据前继边和跨弧在基点处沿动向的切方向，计算该基点的凸凹性；

所述步骤4)触边计算的内容包括：对于存在有效跨弧端点的基边，利用这些点对基边基线分段，并根据这些点的奇偶性原则，确定其中的触线段；

其中触边有效性判断原则如下：

(1)触边端点不能重合；

(2)若一条触边相对动向的相对始点是某有效跨弧的始点，但非其它跨弧的终点，则此触边是无效的；

(3)若一条触边相对动向的相对终点是某有效跨弧的终点，但非其它跨弧的始点，则此触边是无效的；

(4)设e_b为一条触边e的后续触边，e_f为e_b的前继触边，若e无效且e_f或无或非跨弧，则e_b是无效的。

(5)设e_f为一条触边e的前继触边，e_b为e_f的后续触边，若e无效且e_b或无或非跨弧，则e_f是无效的；

(6)对于触边，满足下列条件之一，则此触边无效：

<1>触边为基边且原端点有连接边，但现在却任何无连接边；

<2>触边为基边且其只有一条前继边，而此前继边有两条及两条以上的后续边；

<3>触边为基边且其只有一条后续边，而此后续边有两条及两条以上的前继边；

<4>触边为跨弧，且其无任何前继边或后续边，则此触边无效；

<5>触边为原基边上一段(其中一个端点号大于或等于原基点数)，且其无任何前继边或后续边，则此触边无效；

所述步骤5)触线链构造的主要内容有：根据首末相连关系，依次选择触边和跨弧，构造相应的触线链；

(1)判断触线的有效性：若当前边为触边，且其后续边的前继为跨弧，则此当前边及其所在触线链是无效的；

若触边的唯一链接边是无效的触边，则此触线链无效；

若触线链只含一条基边，且此基边的原一条连接边为无效的，则此触线链无效；

若触线链只含一条跨弧，则此触线链无效；

(2)边选择：

(a)后续边选择

若当前为基边，则跨弧为后续边的最先选择，只有无连接跨弧时才选择连接基边；

若当前为跨弧，则基边为后续边的最先选择，只有无连接基边时才选择连接跨弧；

(b)前继边选择

若当前为基边，则跨弧为后续边的最先选择，只有无连接跨弧时才选择连接基边。

若当前为跨弧，则基边为后续边的最先选择，只有无连接基边时才选择连接跨弧；

(3)从缓存边表中提取边，来构造触线链，其步骤为：

(a)提取和删除当前缓存边表中的第一条边，以此边作为当前边和新构造触线链的首边；

(b)从缓存边表中搜索和删除当前边的后续边，插入到当前触线链的末尾位置中；

(c)以此后续边为当前边，重复(b)，直到缓存边表结束；

(d)以当前触线链的首边为当前边；

(e)从缓存边表中搜索和删除当前边的前继边，插入到当前触线链的头部位置；

(f)以此前继边为当前边，重复(e)，直到缓存边表结束；

(g)计算当前触线链中所有重合于基点的顶点的凸凹性，并保证均为凸和平的，否则，有错误，此触线链不正确。

本发明的有益效果：本发明提供的飞机复杂结构件平面轮廓数控加工刀轨触线计算方法可根据零件平面轮廓计算出加工时刀轨触线，有效地解决了数控自动编程中刀具外包络线的求解问题，显著提高了数控程序编制效率与加工效率，对于智能数控加工编程的实现具有重要意义。

附图说明

图1为触线计算总流程。

图2(a)为触点处跨弧选择。

图2(b)为碍点出跨弧选择。

图3(a)为基边为正向时的跨弧选择。

图3(b)为基边为负向时的跨弧选择。

图4(a)为基线链的实例图。

图4(b)为点对计算实例图。

图4(c)为跨弧有效性判断实例图。

图4(d)为计算所得的触线实例图。

具体实施方式

本发明中涉及的概念如下：在空间运动的几何单元表示为动元m_g。圆动元称为滚圆

直线动元称为滑线

将滚圆直径和滑线长度统称为动元的大小。将滚圆圆心和滑线中点统称为动元的中心。滚圆的参数化表示为

其中：r为半径(静态参数)，p_c为圆心，n_c为圆平面法矢(动态参数)，v为圆心移动方向。滑线的参数化表示为

其中：d为长度(静态参数)，p_l位置点，n_l为滑线指向，v为滑线滑动方向(动态参数)。

给定一组线段e_i(i＝1，2，...，n)，若同时满足：1)e_i与e_i+1(i＝1，2，...，n-1)间当且仅当有一个端点重合；2)e₁中未与e₂重合的端点或仅与e_n中未与e_n-1重合的端点重合，或不与其它任何线段的端点重合；3)e_n中未与e_n-1重合的端点或仅与e₁中未与e₂重合的端点重合，或不与其它任何线段的端点重合，则称这组线段为一条线链，表示为c(e₁，e₂，...，e_n)。其中e_i也可称为c的第i条边。c正向：沿边的连接次序所定义的方向；c负向：与c正向相反的方向。正边：e_i和c的正向一致，则称e_i为c的正边；反之，则称e_i为c的负边。

给定一个点和一个动元，若动元绕这个点转动，则称这个点为该动元的基点。给定一条线段和一个动元，若动元沿这条线段运动，则称这条线段为该动元的基边。给定一条线链和一个动元，若动元沿这条线链运动，则称这条线链为该动元的基线链。沿基线段正向，若动元运动过程中始终位于基线段e左侧，则称动元位于基线段左侧或左位，称该基线段为动元的左基线段，表示为e⁺。若动元运动过程中始终位于基线段e右侧，则称动元位于基线段右侧或右位，称该基线段为动元的右基线段，表示为e^-。无论动元位于基线段e左侧或右侧，若其运动方向与基线段正向一致，则称动元沿该基线段正向运动，或动元沿该基线段的运动方向为正向，表示为+e；反之，为负向运动或运动方向是负向，表示为-e。

滚圆滚动过程中与e⁺/e^-或顶点的接触点，称为当前时刻滚圆的左/右触点，表示为

(左触点)和

(右触点)。

和

统称为触点。前者，滚动过程中触点一直前移；而后者，触点位置不变，一直重合于顶点。在某时刻，基线在触点位置的切矢方向定义了下一时刻滚圆滚动的方向，简称滚圆的滚向。当前滚圆与基线/顶点的接触位置是触点的充要条件是所有基线段不与滚圆相交(但可相切)。

由连续左/右触点形成的线段称为滚圆在左/右基线段上的左/右触线段，表示为t⁺(左触线段)和t^-(右触线段)。t⁺和t^-统称为触线段(简称触线)。t⁺和t^-线也可认为是对曲线进行左/右光顺的结果。t⁺/t^-的始末点或是端触点或是内触点，并依次称为t⁺/t^-的始触点和终触点。触线的定义始点、终点，分别称为绝对始点和绝对终点，简称始点和终点。触线相对动向的始点和终点，分别称为相对始点和相对终点。由依次连接的触线段和跨弧(统称触线边)组成的一条组合曲线，称为这条组合曲线为触线链。表示为C_t(t₁，t₂，…，t_n)，其中t_i也可称为C_t的第i条边。C_t正向：沿边的连接次序所定义的方向；C_t负向：与C_t正向相反的方向。正边：t_i和C_t的正向一致，则称t_i为C_t的正边；反之，则称t_i为C_t的负边。触线边类型包括触线段和跨元等两类。

在滚圆沿e⁺/e^-滚动或绕一个顶点转动过程中，阻碍滚圆继续沿当前滚向滚动或转动、且离此时的触点最远的点，称为此刻滚圆的左/右碍点，表示为

(左碍点)和(右碍点)。

和

统称为碍点。在滚圆沿基线滚动或绕一个顶点转动过程中，滚圆受到阻碍无法继续沿当前滚向滚动，此时滚圆的触点和碍点称为触碍点对，简称点对。

从点对中的触点沿滚向方向过渡到碍点的圆弧，称为此点对的跨弧，跨弧的结构表示为：跨弧(触点，碍点，弧心，半径)，其中半径含正负号，并规定：若r为正号，则跨弧从触点逆时针过渡到碍点；反之，则跨弧从触点顺时针过渡到碍点。

依据上述概念，本发明飞机复杂结构件数控加工刀轨触线计算的流程如图1所示，其主要步骤包括：1)基线链建模；2)点对计算；3)跨弧有效性判断；4)触边计算；5)触线链构造。

具体实施步骤如下：

步骤1)：基线链建模

(1)计算基线链中各边相对所属基线链正向方向基线链正向即边号递增方向，亦即始点指向终点方向。

(2)生成基点表

(3)生成基边表

(4)计算基点凸凹性

设e_f和e_b分别为顶点v的前继边和后续边，

和

分别为e_f和e_b在v处沿动向的切矢方向，其叉积令

为：

$\stackrel{\&RightArrow;}{n}=\stackrel{\&RightArrow;}{n_f}\&times;\stackrel{\&RightArrow;}{n_b}$

则v的凸凹性定义为

$k=\left\{\begin{array}{cc}-1,& n_z*s>0\\ 0,& n_z*s\&ap;0\\ 1,& n_z*s<0\end{array}\right.$

其中n_z为

的z向分量，s为动元相对线链的侧位码：

步骤2)点对计算

(1)基点间点对计算

<1>确定当前基点的最近基点；

<2>计算这两基点间的跨弧。

(2)基边间点对计算

<1>计算不同类型边间过渡圆角，包括有限直线段间圆角；

直线段与圆弧间圆角；圆弧与直线段间圆角；圆弧间圆角。

<2>确定圆角端点类别，如触点、碍点。

(3)基边、基点间点对计算

<1>对于每条基边，选择不是此边端点的凸基点；

<2>计算基边和凸基点间的跨弧；

<3>确定圆角断点类别。

点对存在的充分条件具体为：

(1)点点类点对存在的充分条件

<1>凸性原则——“触点”和“碍点”一定是凸顶点。

<2>最近原则——若同一“触点”对应于多个“碍点”，则其中与触点最远的“碍点”为可能的碍点。

<3>间距原则——两点间距离不大于动元大小。

<4>端点原则——两点为非直线段的两端点；若“触点”和“碍点”为圆弧的两端点，且动元位于圆弧内侧，则此圆弧半径小于滚圆半径。

(2)点线类、线点类、线线类点对存在的充分条件：

<1>粗盘条件1——“点”(顶点)不是“线”(包括直线段和圆弧)的一个端点；

<2>粗盘条件2——若“线”为直线段，则“点”在“线”的投影为“线”内点，且距离不大于滚圆直径；

<3>粗盘条件3——若“线”为圆弧段，

i.若滚圆在圆弧段外侧，则“点”与圆弧圆心连线长度不大于滚圆直径+圆弧半径；

ii.若滚圆在圆弧段内侧，则“点”与圆弧圆心连线长度不大于圆弧半径-滚圆直径；

且二者间过渡圆弧的端点为圆弧段的内点。

步骤3)：跨弧有效性判断

跨弧有效性判断具体为：根据跨弧的特点分为基点处、基边内、基点间、基边间、基边基点间五类，给出相应的判断原则，判断并保留有效跨弧。

(1)基点处跨弧有效性

最左与最右原则：如图2(a)，基点为触点，以此基点的前继边沿动向方向为参考方向，计算此基点的后续边和跨弧的相对始端点沿动向的切向，其中相对参考方向的最左(若动元在左侧)或最右(若动元在右侧)方向、且与基准方向和保留边同向的跨弧是有效的，其它跨弧(不含基边)均无效并将其标志(flag)设置为-1。

如图2(b)所示，基点为碍点，以此基点的后续边沿动向方向为参考方向，计算此基点的前继边和跨弧的相对末端点沿动向的切向，其中相对参考方向的最左(若动元在右侧)或最右(若动元在左侧)方向、且与基准方向和保留边同向的跨弧是有效的，其它跨弧(不含基边)均无效并将其标志(flag)设置为-1。

(2)基点间跨弧有效性

距离原则：两基点均为凸且两基点间距离不大于动元直径。

保凸原则：跨弧与其始点所在基点的前继边在其始点处非凸；跨弧与其碍点所在基点的后续边在其终点处非凹。

侧位原则：跨弧圆心相对第一到第二个顶点的侧位必须与动元侧位相同。

(3)基边内跨弧有效性

奇偶性原则：给定一条基边e_b，p_i和cb_i(i＝1，2，...，n)为位于e_b上且沿e_b和动向依次排列的所有跨弧a_i的端点及其类别，则跨弧有效性判断条件为cb_j≠cc_i(j＞i，i，j＝1，2，...，n)，其中i为离j最近的有效跨弧端点号。

若有两个跨弧端点重合于e_b的始点或终点，则跨弧端点提取原则如下：

<1>如图3(a)，若跨弧端点与e_b始点重合，则当e_b为正向，取其中终点重合于e_b始点的跨弧，并令此基点为碍点；否则，取其中始点重合于e_b始点的跨弧，并令此基点为触点。

<2>如图3(b)，若跨弧端点与e_b终点重合，则当e_b为正向，取其中始点重合于e_b终点的跨弧，并令此基点为触点；否则，取其中终点重合于e_b终点的跨弧，并令此基点为碍点。

(4)基边间跨弧有效性

给定一条基边e_b，p_i和cb_i(i＝1，2，...，n)为位于e_b上(包括重合于e_b的始末点)且沿e_b和动向依次排列的所有跨弧a_i的端点及其类别，则跨弧有效性判断条件为：

设当前基边e_b上沿动向的最后一个跨弧a₁及其端点类别cb₁，a₂为沿动向且端点位于e_b后续连接基边e_f上的第一个跨弧，cb₂为a₂位于e_f上的端点类别，则若同时满足如下五条件，a₁和a₂均无效：

<1>cb₁＝cb₂＝1，亦即均为触点；

<2>a₁和a₂的始点方位相对动元侧位为“凹”；

<3>两圆心距离不大于动元直径；

<4>a₁和a₂的终点不重合；

<5>两跨弧间相交。

(5)基边、基点间跨弧有效性

准则<1>：跨弧端点不能重合于基边始末点。

准则<2>：基点为凹时，跨弧无效。基点的凸凹性计算如下：

i.若在基边上的端点为触点，则取基点的后续边，并根据跨弧和后续边在基点处沿动向的切方向，计算该基点的凸凹性；

ii.若在基边上的端点为碍点，则取基点的前继边，并根据前继边和跨弧在基点处沿动向的切方向，计算该基点的凸凹性。

步骤4)：触边计算

对于每条基边：

(1)提取位于此边上(不包括与边端点重合)的所有跨弧端点及其类别；

(2)在边上沿动向对这些点进行排序；

(3)根据奇偶性原则，定义和生成触线段(触边)，并保存在缓存边表中。

在处理完所有基边后，将所有有效跨弧也添加到缓存边表中。

触边有效性判断准则原则：

准则(1)(不重合准则)：触边端点不能重合。

准则(2)(始点准则)：若一条触边相对动向的相对始点是某有效跨弧的始点(亦即触点)，但非其它跨弧的终点(亦即碍点)，则此触边是无效的。

准则(3)(终点准则)：若一条触边相对动向的相对终点是某有效跨弧的终点，但非其它跨弧的始点，则此触边是无效的。

准则(4)(后续准则)：设e_b为一条触边e的后续触边，e_f为e_b的前继触边，若e无效且e_f或无或非跨弧，则e_b是无效的。

准则(5)(前继准则)：设e_f为一条触边e的前继触边，e_b为e_f的后续触边，若e无效且e_b或无或非跨弧，则e_f是无效的。

准则(6)：对于触边，满足下列条件之一，则此触边无效：

<1>触边为基边且原端点有连接边，但现在却任何无连接边；

<2>触边为基边且其只有一条前继边，而此前继边有两条及两条以上的后续边；

<3>触边为基边且其只有一条后续边，而此后续边有两条及两条以上的前继边；

<4>触边为跨弧，且其无任何前继边或后续边，则此触边无效；

<5>触边为原基边上一段(其中一个端点号大于或等于原基点数)，且其无任何前继边或后续边，则此触边无效。

步骤5)：触线链构造

构造方法为边选择原则，如下：

(1)后续边选择依据

准则<1>：若当前为基边，则跨弧为后续边的最先选择，只有无连接跨弧时才选择连接基边。

准则<2>：若当前为跨弧，则基边为后续边的最先选择，只有无连接基边时才选择连接跨弧。

(2)前继边选择

准则<1>：若当前为基边，则跨弧为后续边的最先选择，只有无连接跨弧时才选择连接基边。

准则<2>：若当前为跨弧，则基边为后续边的最先选择，只有无连接基边时才选择连接跨弧。

从缓存边表中提取边，来构造触线链。其步骤为：

(1)提取和删除当前缓存边表中的第一条边，以此边作为当前边和新构造触线链的首边；

(2)从缓存边表中搜索和删除当前边的后续边，插入到当前触线链的末尾位置中；

(3)以此后续边为当前边，重复(2)，直到缓存边表结束；

(4)以当前触线链的首边为当前边；

(5)从缓存边表中搜索和删除当前边的前继边，插入到当前触线链的头部位置；

(6)以此前继边为当前边，重复(5)，直到缓存边表结束；

(7)计算当前触线链中所有重合于基点的顶点的凸凹性，并保证均为凸和平的(否则，有错误，此触线链不正确)。

触线的有效性判断原则包括：

准则(1)：若当前边为触边，且其后续边的前继为跨弧，则此当前边及其所在触线链是无效的。

准则(2)：若触边的唯一链接边是无效的触边，则此触线链无效。

准则(3)：若触线链只含一条基边，且此基边的原一条连接边为无效的，则此触线链无效。

准则(4)：若触线链只含一条跨弧，则此触线链无效。

Claims (1)

1.飞机复杂结构件平面轮廓数控加工刀轨触线计算方法，其特征在于，包括如下步骤：

1）基线链建模；2）点对计算；3）跨弧有效性判断；4）触边计算；5）触线链构造；

所述的1）基线链建模流程包括：①计算基线链中各边相对所属基线链正向方向；②生成基点表；③生成基边表；④计算基点凸凹性；

设e_f和e_b分别为顶点v的前继边和后续边，和

分别为e_f和e_b在v处沿动向的切矢方向，其叉积令

为：

$\stackrel{\&RightArrow;}{n}=\stackrel{\&RightArrow;}{n_f}\&times;\stackrel{\&RightArrow;}{n_b}$

则v的凸凹性定义为

$k=\left\{\begin{array}{c}-1,n_z*s>0\\ 0,n_z*s\&ap;0\\ 1,n_z*s<0\end{array}\right.$

其中n_z为

的z向分量，s为动元相对线链的侧位码：

所述步骤2）点对计算的流程包括：给定基点表和基边表，依次计算基边间、基点间和基边点间的所有点对的跨弧；

所述的基点间点对计算，包括：确定当前基点的最近基点；计算这两基点间的跨弧；

所述的基边间点对计算，包括：计算不同类型边间过渡圆角；确定圆角端点类别；

所述的基边、基点间点对计算，包括：对于每条基边，选择不是此边端点的凸基点；计算基边和凸基点间的跨弧；确定圆角断点类别；

所述步骤3）跨弧有效性判断具体为：根据跨弧的特点分为基点处、基边内、基点间、基边间、基边基点间五类，根据相应的判断原则，判断并保留有效跨弧；

其中（1）基点处跨弧有效性是根据最左与最右原则来判断：若同一触点处存在多个跨弧及后续基线段，则对于动元相对基线链左向时，与基线段不相交的最左侧跨弧有效；而对于动元相对基线链右向时，与基线段不相交的最右侧跨弧有效；若同一碍点处存在多个跨弧及前继基线段，则对于动元相对基线链左向时，最右侧跨弧有效；而对于动元相对基线链右向时，最左侧跨弧有效；

（2）基点间跨弧有效性需要同时满足距离原则、保凸原则和侧位原则，则有效；

所述的距离原则：两基点均为凸且两基点间距离不大于动元直径；

保凸原则：跨弧与其始点所在基点的前继边在其始点处非凸；跨弧与其碍点所在基点的后续边在其终点处非凹；

侧位原则：跨弧圆心相对第一到第二个顶点的侧位必须与动元侧位相同；

（3）基边内跨弧有效性，根据奇偶性原则判断：给定一条基边e_b，p_i和cb_i,其中i=1，2，...,n,为位于e_b上且沿e_b和动向依次排列的所有跨弧a_i的端点及其类别，则跨弧有效性判断条件为cb_j≠cb_i,其中j＞i；i，j=1，2，...,n；其中i为离j最近的有效跨弧端点号；

若有两个跨弧端点重合于e_b的始点或终点，则跨弧端点提取原则如下：

<1>若跨弧端点与e_b始点重合，则当e_b为正向，取其中终点重合于e_b始点的跨弧，并令此基点为碍点；否则，取其中始点重合于e_b始点的跨弧，并令此基点为触点；

<2>若跨弧端点与e_b终点重合，则当e_b为正向，取其中始点重合于e_b终点的跨弧，并令此基点为触点；否则，取其中终点重合于e_b终点的跨弧，并令此基点为碍点；

（4）基边间跨弧有效性

给定一条基边e_b，p_i和cb_i,其中i=1，2，...,n,为位于e_b上，包括重合于e_b的始末点，且沿e_b和动向依次排列的所有跨弧a_i的端点及其类别，则跨弧有效性判断条件为：

设当前基边e_b上沿动向的最后一个跨弧a₁及其端点类别cb₁，a₂为沿动向且端点位于e_b后续连接基边e_f上的第一个跨弧，cb₂为a₂位于e_f上的端点类别，则若同时满足如下五条件，a₁和a₂均无效：

<1>cb₁＝cb₂＝1，亦即均为触点；

<2>a₁和a₂的始点方位相对动元侧位为“凹”；

<3>两圆心距离不大于动元直径；

<4>a₁和a₂的终点不重合；

<5>两跨弧间相交；

（5）基边、基点间跨弧有效性需要满足跨弧端点不能重合于基边始末点的条件，且当基点为凹时，跨弧无效；基点的凸凹性计算如下：

i.若在基边上的端点为触点，则取基点的后续边，并根据跨弧和后续边在基点处沿动向的切方向，计算该基点的凸凹性；

ii.若在基边上的端点为碍点，则取基点的前继边，并根据前继边和跨弧在基点处沿动向的切方向，计算该基点的凸凹性；

所述步骤4）触边计算的内容包括：对于存在有效跨弧端点的基边，利用这些点对基边基线分段，并根据这些点的奇偶性原则，确定其中的触线段；

其中触边有效性判断原则如下：

（1）触边端点不能重合；

（2）若一条触边相对动向的相对始点是某有效跨弧的始点，但非其它跨弧的终点，则此触边是无效的；

（3）若一条触边相对动向的相对终点是某有效跨弧的终点，但非其它跨弧的始点，则此触边是无效的；

（4）设e_b为一条触边e的后续触边，e_f为e_b的前继触边，若e无效且e_f或无或非跨弧，则e_b是无效的；

（5）设e_f为一条触边e的前继触边，e_b为e_f的后续触边，若e无效且e_b或无或非跨弧，则e_f是无效的；

（6）对于触边，满足下列条件之一，则此触边无效：

<1>触边为基边且原端点有连接边，但现在却任何无连接边；

<2>触边为基边且其只有一条前继边，而此前继边有两条及两条以上的后续边；

<3>触边为基边且其只有一条后续边，而此后续边有两条及两条以上的前继边；

<4>触边为跨弧，且其无任何前继边或后续边，则此触边无效；

<5>触边为原基边上一段；其中一个端点号大于或等于原基点数，且其无任何前继边或后续边，则此触边无效；

所述步骤5）触线链构造的主要内容有：根据首末相连关系，依次选择触边和跨弧，构造相应的触线链；

（1）判断触线的有效性：若当前边为触边，且其后续边的前继为跨弧，则此当前边及其所在触线链是无效的；

若触边的唯一链接边是无效的触边，则此触线链无效；

若触线链只含一条基边，且此基边的原一条连接边为无效的，则此触线链无效；

若触线链只含一条跨弧，则此触线链无效；

（2）边选择：

（a）后续边选择

若当前为基边，则跨弧为后续边的最先选择，只有无连接跨弧时才选择连接基边；

若当前为跨弧，则基边为后续边的最先选择，只有无连接基边时才选择连接跨弧；

（b）前继边选择

若当前为基边，则跨弧为后续边的最先选择，只有无连接跨弧时才选择连接基边；

若当前为跨弧，则基边为后续边的最先选择，只有无连接基边时才选择连接跨弧；

（3）从缓存边表中提取边，来构造触线链，其步骤为：

（a）提取和删除当前缓存边表中的第一条边，以此边作为当前边和新构造触线链的首边；

（b）从缓存边表中搜索和删除当前边的后续边，插入到当前触线链的末尾位置中；

（c）以此后续边为当前边，重复（b），直到缓存边表结束；

（d）以当前触线链的首边为当前边；

（e）从缓存边表中搜索和删除当前边的前继边，插入到当前触线链的头部位置；

（f）以此前继边为当前边，重复（e），直到缓存边表结束；

（g）计算当前触线链中所有重合于基点的顶点的凸凹性，并保证均为凸和平的，否则，有错误，此触线链不正确。

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