CN101063880A - 鼓型刀具多坐标宽行加工的刀位优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种鼓型刀具多坐标宽行加工的刀位优化方法，先将鼓型刀具根据其加工方式离散成一组足够密集的纬线，通过计算每条纬线到加工设计曲面上的最短距离得到误差分布函数，基于该误差分布函数建立行宽的计算方法和刀位无干涉需要满足的约束条件，从而构造出刀位优化模型。为了避免利用切触点定位刀具所需要的后续调整，在工件上选定一个刀位控制点，在该点外法线上确定一个位于编程公差带内的点与刀具上的一个选定点相连接以确定刀具和工件的相对初始位置。本发明的刀位优化方法还可以与切削过程的其它约束条件结合起来，如最大切削力、最大切削功率、表面粗糙度、加工变形量、加速度变化范围、机床的运动参数范围等约束条件。本发明的特征还在于建立了一种光顺方法对刀位进行光顺处理。

Description

鼓型刀具多坐标宽行加工的刀位优化方法

技术领域

本发明涉及一种适用于多坐标数控机床加工过程的刀具位置和运动轨迹优化的方法，采用纬线分划进行鼓型刀具位置和姿态优化的方法可以用于精确控制加工误差、大幅度提高加工效率和显著降低编程难度和工件制造成本。

背景技术

在用球头刀加工柱状工件曲面时，如果刀具的曲率半径与工件曲面上任意一点的某方向曲率半径大小相等、凹凸相反，则可以一次性在工件曲面上加工出很宽的加工区域，该区域的有效宽度称为行宽。理论上，曲面加工的行宽应该利用曲线长度度量，但是在通常情况下，加工区域的法矢量都不会超过180度，因此利用该区域的横截线的弦长表示更加简单。如果增加工件的曲率半径和球头刀的曲率半径的差，那么在公差带范围内能够加工出的行宽会逐渐减小，因此，在曲面加工时要提高加工效率应该使刀具的曲率半径尽可能接近工件的曲率半径，这种曲率很接近的状态称为曲率吻合。

但是，一般曲面工件上的不同点、同一点的不同方向的曲率半径是不同的，采用具有单一曲率的球头刀不能实现与所有点的曲率吻合。鼓型和环面刀具或磨具等复杂刀具工作面上不同点和同一点不同方向的两个主曲率是变化的，一把复杂刀具可以看成无数把球头刀具的组合。如果妥善设计复杂刀具并使其曲率半径的变化范围基本覆盖被加工曲面上各点的曲率变化范围，那么就可以通过调整刀具和工件的相对位置和姿态使得二者在公差带内尽可能大的范围实现良好的曲率吻合，从而获得尽可能大的行宽。

在国外，斯图加特大学最早(1976年)定性研究了不同刀具加工复杂曲面的误差分布规律，waterloo大学先后提出主曲率匹配法、多点法、滚球法和AIM算法等多种提高行宽的计算方法，其中多点法假设刀具和工件具有两个以上接触点，在多数时候具有正确性，并可以在较大范围研究曲面和工具的吻合情况，因此可以获得很大的加工行宽；瑞士Starrag公司在此基础上申请了2项专利(US6,485,236)、(EP1040396)，这两份专利介绍了一种利用Hermite多项式来近似表达w型误差曲线的刀位优化方法，这样可以只要计算中间点的误差就可以对全部误差分布函数进行估计，因此可以显著提高误差分布函数的计算效率。这些方法的共同不足是：1)利用刀具和工件在一点切触来优化刀位，不利于后期的刀轨等波高排列；2)没有将刀位优化和干涉检查统一到一个模型，需要后续的迭代调整计算；3)利用切触点计算的方法容易导致误差放大和刀轨波动，甚至出现不收敛；4)不能用于解决鼓形刀的刀位优化问题。在国内，张洪等(1982年)观察到了基于局域曲率吻合原则进行刀位计算的不足，提出应在刀具和工件接触的全范围内讨论曲率分布问题，即宏域曲率吻合原则问题，赵宗平等(1990年)曾提出利用鼓形刀横截面同时截取刀具和工件以得到两条截形线族的误差分析方法，并试图解决鼓形磨具磨削叶轮的刀位可视化问题。这种方法希望利用化整为零的方法直接度量加工误差的大小，但是所采用的具体方法具有理论误差。倪炎榕等(2001年)提出通过计算刀具和工件之间的误差分布实现“宽行加工刀位优化”的基本思想，吕雪丽等(2003年)进一步提出了刀具-工件“最短距离线对”(Minimum Distance Line-pair)概念，金曼等(2006年)提出双端点误差控制算法，利用有效特征线段的两个端点定位刀具，解决了刀轨的排列问题，但是该算法采用的是反函数，不能和常规优化方法结合，不利于融合切削过程所需要的其它约束条件，也不利于向非环面刀扩展。

为了解决上述方法中存在的问题，本发明根据鼓形刀具加工曲面时特征线与纬线的相交性提出了将刀具表面用纬线分划求解特征线和获得刀具的位姿的方法。

发明内容

本发明是一种鼓型刀具多坐标宽行加工的刀位优化方法，有下列优化步骤：

(一)在工件设计曲面上选择工件第一参考点RPS₁，在工件第一参考点RPS₁上建立工件第一坐标系S_s1(x_s1-y_s1-z_s1)；再在该点外法线方向上拾取工件第二参考点RPS₂，并在工件第二参考点RPS₂上建立工件第二坐标系S_s2(x_s2-y_s2-z_s2)，且工件第一坐标系S_s1与工件第二坐标系S_s2平行；将工件第二坐标系S_S2绕z_S2轴逆时针转动γ角得到工件第三坐标系S_s3(x_s3-y_s3-z_s3)坐标系，将工件第三坐标系绕y_s3轴逆时针转动β角得到工件第四坐标系S_s4(x_s4-y_s4-z_s4)坐标系，将工件第四坐标系绕x_s4轴逆时针转动α角得到工件第五坐标系S_s5(x_s5-y_s5-z_s5)坐标系；

(二)在刀具的参考母线上拾取一点作为刀具上的第二参考点RPT₂，且以刀具第二参考点RPT₂为原点建立刀具第二坐标系S_t2(X_t2-y_t2-z_t2)；

(三)将依据步骤(一)得到的工件第五坐标系和依据步骤(二)得到的刀具第二坐标系重合实现刀具在工件上的定位，此时刀具在工件上的刀位为H(s₂，α，β，γ)，式中，s₂表示工件第二参考点RPS₂在刀具母线上的曲线坐标；

(四)用一组垂直刀具轴线的平面将刀具截成一组纬线圆，求取各条纬线到工件设计曲面上距离最短的点作为特征点CP_k以及各特征点CP_k在工件设计曲面上的垂足点FP_k，连接各特征点CP_k形成特征线CL，连接各垂足点FP_k形成垂足线FL；特征点CP_k与垂足点FP_k之的垂直距离为加工误差δ，从工件第一参考点到垂足线上其它垂足点的有向距离为w，则得到特征线CL上的特征点CP_k的加工误差分布函数为δ＝δ(w，H)；

(五)从工件第二参考点RPS₂出发分别拾取在加工误差分布函数δ＝δ(w，H)曲线上左面的第一个满足加工误差δ＝Δ的点作为左端点A，其中Δ表示控制公差，同理得到该曲线右边的第一个满足加工误差δ＝Δ的点作为右端点B；根据左端点A、右端点B所对应的刀具上的特征点的垂足之间的距离获取理论行宽w_m和实际行宽w_r，因此得到实际行宽函数w_r＝w_r(H)；

(六)依据步骤(五)中得到的实际行宽函数w_r＝w_r(H)按照宽行加工刀位优化模型 $W_r^{*}=\underset{H\∈D}{\max }{W}_r\left(H\right)$ 求得一个使实际行宽w_r达到最大值时的刀位H^*作为最优刀位，式中，D为δ[s，H(s₂，α，β，γ)]＞0的H的可行域。

(七)在工件设计曲面上选择一条曲线作为导动线，将该导动线离散成具有一定间隔d的点，并依次将它们作为工件上的第一参考点计算出各点处的最优刀位；将各刀位处的FP_A，FP_B，FP_G分别连接形成LFP_A，LFP_B，LFP_G线；当自左向右逐行加工曲面时可根据本行刀轨上的LFP_B线的最窄处确定本行刀轨的实效右边界LFP_F，否则根据LFP_A的最窄处确定本行刀轨的实效左边界LFP_E。

本发明鼓型刀具多坐标周铣加工刀位优化方法的优点在于：

(1)利用周铣加工时瞬时接触线或特征线与纬线的相交性提出了将刀具表面用纬线分划求解特征线的方法，这种方法避免了其它近似方法带来的误差、局部曲率吻合方法对行宽最大化的制约和通过求刀具运动包络所需要的大量求交计算；

(2)可通过将特征线分解成切削区特征线和非切削区特征线将刀具的全局干涉检查、局部干涉检查和刀位优化统一在一个模型中，避免了其它方法所需要的人为调整工作，增加了编程自动化程度；

(3)利用有效特征线段的端点定位刀具可以直接实现行与行之间相邻刀位的等波高排列，可以最大限度提高加工效率、避免了其它采用切触点定位刀具时由于不知道行宽所导致的需要人为估计切触点的问题、将刀位优化问题和刀轨优化问题统一起来了。

(4)提出光顺模型对刀具运动过程的多个坐标同时进行光顺可以有效控制刀具第一参考点和刀具的两个姿态角在运动过程的急剧变化，有效降低加速度要求，起到延长机床寿命和提高加工质量的作用。

附图说明

图1是在鼓型刀具上设置参考点的示意图。

图2是在工件设计曲面上设置参考点的示意图。

图3A、图3B、图3C是刀具相对工件的三个转动运动的坐标变换坐标。

图4是刀具相对工件的利用纬线求解特征线和垂足线的示意图。

图5A、图5B是两种误差分布函数曲线及其上的标志点。

图6是特征线及垂足线上的标志点示意图。

图7A、图7B是行宽的定义示意图。

图8A、图8B、图8C是不同有效加工区域条件下刀轨排列与光顺示意图。

具体实施方式

本发明是一种鼓型刀具多坐标宽行加工的刀位优化方法，其有下列优化步骤：

(一)在工件设计曲面上选择工件第一参考点RPS₁，在工件第一参考点RPS₁上建立工件第一坐标系S_s1(x_s1-y_s1-z_s1)；再在该点外法线方向上拾取工件第二参考点RPS₂，并在工件第二参考点RPS₂上建立工件第二坐标系S_s2(x_s2-y_s2-z_s2)，且工件第一坐标系S_s1与工件第二坐标系S_s2平行；将工件第二坐标系S_s2绕z_s2轴逆时针转动γ角得到工件第三坐标系S_s3(X_s3-y_s3-z_s3)坐标系，将工件第三坐标系绕y_s3轴逆时针转动β角得到工件第四坐标系S_s4(x_s4-y_s4-z_s4)坐标系，将工件第四坐标系绕x_s4轴逆时针转动α角得到工件第五坐标系S_s5(x_s5-y_s5-z_s5)坐标系；

(二)在刀具的参考母线上拾取一点作为刀具上的第二参考点RPT₂，且以刀具第二参考点RPT₂为原点建立刀具第二坐标系S_t2(x_t2-y_t2-z_t2)；

(三)将依据步骤(一)得到的工件第五坐标系和依据步骤(二)得到的刀具第二坐标系重合实现刀具在工件上的定位，此定位点的刀具在工件上的刀位为H(s₂，α，β，γ)，式中，s₂表示工件第二参考点RPS₂在刀具母线上的曲线坐标，α表示工件第二参考点RPS₂在工件第四坐标系S_s4(x_s4-y_s4-z_s4)中绕x_s4轴转到工件第五坐标系S_s5(x_s5-y_s5-z_s5)的转角，β表示工件第二参考点RPS₂在工件第三坐标系S_s3(x_s3-y_s3-z_s3)中绕y_s3轴转到工件第四坐标系S_s4(x_s4-y_s4-z_s4)的转角，γ表示工件第二参考点RPS₂在工件第二坐标系S_s2(x_s2-y_s2-z_s2)中绕z_s2轴转到工件第三坐标系S_s3(x_s3-y_s3-z_s3)的转角；

(四)用一组垂直刀具轴线的平面将刀具截成一组纬线圆，求取各条纬线到工件设计曲面上距离最短的点作为特征点CP_k以及各特征点CP_k在工件设计曲面上的垂足点FP_k，连接各特征点CP_k形成特征线CL，连接各垂足点FP_k形成垂足线FL；特征点CP_k与垂足点FP_k之的垂直距离为加工误差δ，从工件第一参考点到垂足线上其它垂足点的有向距离为w，则得到特征线CL上的特征点CP_k的加工误差分布函数为δ＝δ(w，H)；

(五)从工件第二参考点RPS₂出发分别拾取在加工误差分布函数δ＝δ(w，H)曲线上左面的第一个满足加工误差δ＝Δ的点作为左端点A，其中Δ表示控制公差，同理得到该曲线右边的第一个满足加工误差δ＝Δ的点作为右端点B；根据左端点A、右端点B所对应的刀具上的特征点的垂足之间的距离获取理论行宽w_m和实际行宽w_r，因此得到实际行宽函数w_r＝w_r(H)；

(六)依据步骤(五)中得到的实际行宽函数w_r＝w_r(H)按照宽行加工刀位优化模型 $W_r^{*}=\underset{H\∈D}{\max }{W}_r\left(H\right)$ 求得一个使实际行宽w_r达到最大值时的刀位H^*作为最优刀位，式中，D为δ[s，H(s₂，α，β，γ)]＞0的H的可行域，s表示刀具母线上任意点的曲线坐标，刀位H与步骤(三)中相同。

(七)在工件设计曲面上选择一条曲线作为导动线，将该导动线离散成具有一定间隔d(如图8B所示)的点，并依次将它们作为工件上的第一参考点计算出各点处的最优刀位；将各刀位处的FP_A，FP_B，FP_G分别连接形成LFP_A，LFP_B，LFP_G线；当自左向右逐行加工曲面时可根据本行刀轨上的LFP_B线的最窄处确定本行刀轨的实效右边界LFP_F，否则根据LFP_A的最窄处确定本行刀轨的实效左边界LFP_E。

本发明的刀位优化方法，在根据宽行加工刀位优化模型，当自左向右逐行加工曲面时在工件设计曲面上采用前一行刀轨的实效右边界作为本行刀轨的导动线，将该导动线离散成具有一定间隔d的点，并依次将它们作为工件上的第一参考点计算出各点处的最优刀位；根据本行刀轨上的LFP_B线的最窄处确定本行刀轨的实效右边界LFP_F线、中线LFP_G和理论右边界线LFP_B；否则，采用前一行刀轨的实效左边界作为本行刀轨的导动线，将该导动线离散成具有一定间隔d的点，并依次将它们作为工件上的第一参考点计算出各点处的最优刀位；根据本行刀轨上的LFP_A线的最窄处确定本行刀轨的实效左边界LFP_E线、中线LFP_G和理论左边界线LFP_A。

本发明的的刀位优化方法，在根据宽行加工刀位优化模型，当自左向右逐行加工曲面时在工件设计曲面上采用前一行刀轨的理论右边界作为本行刀轨的导动线，将该导动线离散成具有一定间隔d的点，并依次将它们作为工件上的第一参考点计算出各点处的最优刀位。根据本行刀轨上的LFP_B线的最窄处确定本行刀轨的实效右边界LFP_F线、中线LFP_G和理论右边界线LFP_A；否则采用前一行刀轨的理论左边界作为本行刀轨的导动线，将该导动线离散成具有一定间隔为d的点，并依次将它们作为工件上的第一参考点计算出各点处的最优刀位；根据本行刀轨上的LFP_A线的最窄处确定本行刀轨的实效右边界LFP_E线、中线LFP_G和理论左边界线LFP_A。

在本发明的刀位优化方法中，使工件第一参考点和第二参考点的距离为kΔ，其中k为误差控制系数，误差控制系数k在0到1之间连续可变；当自左向右逐行加工曲面时在工件设计曲面上采用前一行刀轨的实效右边界作为本行刀轨的导动线并使刀具上的第二参考点在选定的导动线LFP_E上移动以实现刀轨的光顺，反之则采用前一行刀轨的实效右边界作为本行刀轨的导动线并使刀具上的第二参考点在选定的导动线LFP_F上移动以实现刀轨的光顺，所述的刀轨光顺满足刀位差的平方和最小 $\underset{H\∈D}{\min }(c_s{(s_{2i\±1}-s_{2.i})}^2+c_{\mathrm{\α}}{({\mathrm{\α}}_{i\±1}-{\mathrm{\α}}_i)}^2+c_{\mathrm{\β}}{({\mathrm{\β}}_{i\±1}-{\mathrm{\β}}_i)}^2+c_{\mathrm{\γ}}{({\mathrm{\γ}}_{i\±1}-{\mathrm{\γ}}_i)}^2)$ 其中，D为δ[s，H(s₂，α，β，γ)]＞0和w_r·i±1＞w_r.0。w_r.0为最窄处的行宽，w_r·i±1为当前刀位行宽，(s_2i±1，α_i±1，β_i±1，γ_i±1)为决定当前刀位H_i±1的变量，(s_2i，α_i，β_i，γ_i)为决定上一刀位H_i的变量。

本发明的方法得到各刀位上的有效特征线段中点的垂足的连线LFP_G，当自左向右逐行加工曲面时选定该曲线左侧的一条光顺曲线作为导动线，否则选择曲线右边的一条光顺曲线作为导动线，且该曲线与LFP_G至少存在一个切点；以该切点处所对应的刀位为起始刀位，分别从前后两个方向的相邻刀位依次进行光顺；光顺时将kΔ作为FP_G点的控制误差，将k、H作为设计变量，按照光顺模型求满足模型 $\underset{H\∈D}{\min }(c_s{(s_{2i\±1}-s_{2.i})}^2+c_{\mathrm{\α}}{({\mathrm{\α}}_{i\±1}-{\mathrm{\α}}_i)}^2+c_{\mathrm{\β}}{({\mathrm{\β}}_{i\±1}-{\mathrm{\β}}_i)}^2+c_{\mathrm{\γ}}{({\mathrm{\γ}}_{i\±1}-{\mathrm{\γ}}_i)}^2)$ 的刀位和K就可以得到光顺的刀轨；式中D为δ[s，H(s₂，α，β，γ)]＞0，FP_A在LFP_E的左侧、FP_B在LFP_F的右侧，(s_2i±1，α_i±1，β_i±1，γ_i±1)为决定当前刀位H_i±1的变量，(s_2i，α_i，β_i，γ_i)为决定上一刀位H_i的变量。

本发明是提出一种采用有效特征线段端点确定刀具初始位置和采用纬线分划鼓型刀具的多坐标周铣加工刀位优化方法。参见图1所示，在利用刀具加工工件时，刀具工作面1和工件设计曲面2在每个刀位上都存在一条瞬时接触线即特征线CL。但一般情况下这条特征线CL不一定在工件设计曲面2上而在工件的实际被加工出来的表面上，只有当工件设计曲面2正好是刀具曲面按照给定包络运动形成的包络面时这条线才能够在工件设计曲面2上。从特征线CL上的任意特征点CP_K(k＝1，2，3……)向工件设计曲面2作垂线所得到的垂足点FP_K(k＝1，2，3……)，连接CP_K、FP_K所得到的多条距离线段称为最短距离线段MDS_K(k＝1，2，3……)，其特征点CP_K到垂足点FP_K长度称为理论加工误差δ[s，H(s₂，α，β，γ)]，式中，s表示刀具母线上任意点的曲线坐标，H表示刀位，s₂表示工件第二参考点RPS₂的曲线坐标，α表示工件第二参考点RPS₂在工件第四坐标系S_s4(x_s4-y_s4-z_s4)中绕x_s4轴转到工件第五坐标系S_s5(x_s5-y_s5-z_s5)的转角，β表示工件第二参考点RPS₂在工件第三坐标系S_s3(x_s3-y_s3-z_s3)中绕y_s3轴转到工件第四坐标系S_s4(x_s4-y_s4-z_s4)的转角，γ表示工件第二参考点RPS₂在工件第二坐标系S_s2(x_s2-y_s2-z_s2)中绕z_s2轴转到工件第三坐标系S_s3(x_s3-y_s3-z_s3)的转角。连接工件设计曲面2上的垂足点FP_K构成垂足线FL，垂足线FL与特征线CL的线形较为接近。特征线CL位于公差带内的部分可以称为有效特征线段ECS，该线段的两个端点分别称为左端点CP_A、右端点CP_B(如图5A、图5B所示)。因此，一个刀位必然对应一条有效特征线段，而且该线段既在工件设计曲面2上也在刀具加工面1上。工件设计曲面2就是由无数条这样的有效特征线段按照给定的规律排列而成的。在实际加工过程中，我们只需要给定有限个刀位来确定刀具的运动过程，每两个刀位之间的运动过程利用机床的插补模块自动生成。虽然插补计算本身存在非线性误差，但是只要将步长取得足够小，这种误差就可以忽略不计。因此在本发明中只要将上述有限个刀位H(s₂，α，β，γ)设计好就可以了，实际上刀位H是刀具相对工件的位置和姿态的简称。一把回转刀具一般具有五个自由度，以刀轴上一点的三个直角坐标和决定刀轴矢量的两个角度组成的数组表示，也可以母线上一点在轴截面的两个平面直角坐标以及刀具相对该点的三个转动坐标组成的数组表示。刀具在工件上运动时每处于一个刀位就在曲面上留下一条接触线(特征线)，这些顺序排列的特征线组成一“行”有效加工区域，而顺序排列所有的“行”就可以获得一张实际加工曲面。

为了便于对本发明的刀具刀位优化方法的说明，发明人依据图示进行详细说明。

图1表示了沿刀具母线102上的用于定位刀具的参考点的情况。RPT₁是刀具轴线上任意一点，一般取为刀具端面上的点，该RPT₁点作为刀具的第一参考点。以该点为坐标原点，以刀具轴线101作为Z_t1轴(三维坐标系下的Z轴)，以刀具母线102所在的平面作为X_t1-Z_t1平面构造出刀具第一坐标系S_t1(X_r1-y_t1-z_t1)。在该坐标系下参考母线上任一点q_k的坐标为ρ_qk.t1＝(x_qk.t1，0，z_qk.t1)^t，该坐标中的两个变量由母线方程F(x_qk.t1，z_qk.t1)＝0唯一确定。母线方程可以是任何类型的平面曲线，包括由超越方程给定的平面曲线，常见的母线有抛物线、圆弧曲线、双曲线以及它们与直线段的组合等。将该母线曲线绕刀具轴线101旋转一周就得到了完整的刀具工作面1。将刀具母线102上的q_k点绕刀具轴线101逆时针旋转θ角得到工具工作面上任意点的方程ρ_qk.t1(右上角的t表示矩阵转置)。

ρ_t.t1＝(x_m.t1cosθ，x_m.t1sinθ，z_m.t1，1)^t               (1)

实际应用中，要在工件上定位刀具需要用到刀具母线102上的点作为参考点。图中的RPT₂是刀具的第二参考点。该点的内法线单位矢量为n_k.t1，该点的单位切线向量为τ_k.t1。以RPT₂点作为坐标原点，以n_k.t1作为z_t2轴，以τ_k.t1作为X_t2轴，可建立刀具第二坐标系S_t2(x_t2-y_t2-z_t2)，它可作为刀具加工面1的第二参考坐标系。图中，第二参考点RPT₂在刀具第一坐标系S_t1中的坐标为ρ_RPT2.t1，其齐次直角坐标为(x_RPT2.t1，0，z_RPT2.t1，1)^t，t表示矩阵转置。根据母线方程ρ_t.t1可以求得该点的切线τ_k.t1与轴x_t1的夹角ψ，据此可以建立刀具上任意点在刀具第二坐标系S_t2上的方程为。

ρ_t.t2＝T_t2-t1(ρ_RPT2.t1，ψ)ρ_t.t1                    (2)

T_t2-t1(ρ_RPT2.t1，ψ)为坐标变换矩阵，其内容由ρ_RPT2.t1和ψ唯一确定。

在利用计算机进行刀位计算时需要将刀具母线102顺序地离散成一组点q₁，q₂，q₃…q_k，…。第二参考点RPT₂可以在上述这些点中选择，每个点在刀具母线上的位置可以采用曲线坐标表示，例如从第q₁点开始的弦长S(即刀具母线上任意点的曲线坐标)，则有第二参考点RPT₂在母线上的位置为S₂。选择不同的S₂点作为第二参考点所能得到的加工效率通常是不同的，因此第二参考点RPT₂在刀具母线102上的位置S₂是一个设计变量，需要通过优化找到其最优的数值。

在数控加工编程时，通常是在工件设计曲面上给出一条导动线u，并按照足够小的步长将该导动线离散成若干个参考点，使每参考点分别与刀具工作面上的一点切触或接触以确定刀具的位置和姿态(刀位)。由于刀具位于每个刀位时都在已加工曲面上留下一条瞬时接触线，每条接触线构成了一行刀轨的一列。因此所有按照行和列排列的瞬时接触线或特征线张成了一张实际加工出的表面。在计算每个刀位时需要给定设计曲面上的一个点作为参考点，并需要在刀具上选定一点与该点建立一种约束关系。图2中，S_w(x_w-y_w-z_w)是工件坐标系，设RPS₁是处于第j行第i个刀位处工件设计曲面2上的一个点，称为第一参考点。该点在坐标系S_w上的向量为ρ_RPS1.w。设该点的uv坐标为(u_RPS1.ij，v_RPS1.ij)，以该点为原点，以曲面沿u方向的切线作为x_s1轴、以该点的曲面外法线作为z_s1轴构造出第一工作右手坐标系S_s1(x_s1-y_s1-z_s1)。设Δ为曲面编程时的最大容许编程误差、k为编程误差控制系数，则kΔ为参考点的控制误差。在第一工作参考点RPS₁外法线上离该点kΔ处取一点，该点为工件第二工件参考点RPS₂。将坐标系S_s1(X_s1-y_s1-z_s1)平移到RPS₂处得到曲面第二工件右手坐标系S_s2(x_s2-y_s2-z_s2)。

图3A是绕系S_s2(x_s2-y_s2-z_s2)的z_s2轴将该系逆时针旋转角γ得到系S_s3(x_s3-y_s3-z_s3)的示意图，图33B是绕系S_s3(x_s3-y_s3-z_s3)的y_s3轴将该系逆时针旋转β角得到系S_s4(x_s4-y_s4-z_s4)的示意图，图3C是绕系S_s4(x_s4-y_s4-z_s4)的xs4轴将该系逆时针旋转α角得到系S_s5(x_s5-y_s5-z_s5)的示意图。令坐标系S_s5和坐标系S_t2重合就实现了刀具在工件上的定位。此时刀具上一点在各坐标系上的坐标坐标变换过程为：

ρ_t.a4＝T_a4-t2(α)ρ_t.t2                            (3)

ρ_t.a3＝T_a3-a4(β)ρ_t.a4                            (4)

ρ_t.a2＝T_a2-a3(γ)ρ_t.a3                            (5)

ρ_t.a1＝T_a1-a2(kΔ)ρ_t.a2                         (6)

ρ_t.w＝T_w-a1(ρ_RPS1.w)ρ_t.a1                      (7)

因此刀具上一点在工件坐标系上的表达为

ρ_t.w＝T_w-a1(ρ_RPS1.w)T_a1-a2(kΔ)T_a2-a3(γ)

T_a3-a4(β)T_a4-t2(α)T_t2-t1(ρ_RPT2.t1，ψ)ρ_t.t1

(8)

上面各式中，ρ_t.w、ρ_t.a1、ρ_t.a2、ρ_t.a3、ρ_t.a4为刀具上一点在对应坐标系上的坐标向量，T_w-a1(ρ_RPS1.w)、T_a1-a2(kΔ)、T_a2-a3(γ)、T_a3-a4(β)、T_a4-t2(α)为对应的变换矩阵，这些矩阵为常用公式，此处从略。

图4中，以工件上第二参考点RPS₂按照图2、图3A、图3B、图3C所示的方式建立各坐标系，并将刀具上的第二参考点RPT₂与工件上的第二参考点RPS₂连接，并使刀具的第二参考系和刀具的第5参考系重合可实现刀具在工件上的定位。对于刀具相对工件的每种位置和姿态，可以构造刀具表面的纬线集。具体做法是：以图1中刀具母线102上的第k点q_k到刀具轴线101的垂直距离为半径、以该垂足O_k为圆心所作的与刀具轴线相垂直的圆，该圆就是纬线103，采用相同主法作出刀具加工面上的所有纬线。求取任意纬线G_k上到工件设计曲面2上距离最短的特征点CP_k。该点在工件设计曲面2上的垂足点FP_k。从CP_k到FP_k的线段3称为最短距离线段MDS_k。不失一般性，可以求出每条纬线所对应的特征点、垂足点和最短距离线段。连接刀具加工面1上的所有特征点CP_k得到特征线CL，连接工件设计曲面2上的所有垂足点FP_k得到垂足线FL。从工件上的第五参考点RPS₁求到垂足线FL上其它点的有向距离3，它可以作为描述特征点位置的坐标w。

以图4中的有向距离3为横轴，以任意特征点处的最短距离线段的长度为纵轴描出所有特征点处误差的分布函数曲线501、502如图5所示。通常情况下，误差分布函数曲线呈现两种情况，一种是“w”型，如图5A所示。一种是“u”或“v”型，如图5B所示。图中A、B之间的误差分布线为有效误差分布线段。A为有效误差分布函数线段的左端点，B为该线段的右端点，W_m为该刀位的最大理论行宽。G为误差分布函数A、B两点的中间点所在纵线与该曲线的交点。当曲线为“w”型时其有两个极小值点，分别为C、D。这两个点通常都有一个或两个与工件设计曲面相切。E、F是当前刀位在当前行上实际起作用的两个点，它们将确定当前行实际有效加工边界。

根据图5A、图5B上各A、B、C、D、E、F、G点可以反求出各点在特征线CL上的对应点CP_A、CP_B、CP_C、CP_D、CP_E、CP_F、CP_G，各点在垂足线FL上的对应点为FP_A、FP_B、FP_C、FP_D、FP_E、FP_F、FP_G，如图6所示。CL上从CP_A到CP_B的曲线段为有效特征线段，其中CP_A和CP_B为有效特征线段的左右端点。CP_G为有效特征线段的中点。7、8、9、10、11分别是一行所有刀位上FP_A、FP_B、FP_E、FP_F、FP_G的各自的连线LFP_A、LFP_B、LFP_E、LFP_F、LFP_G.。LFP_A、LFP_B内的区域为本行的理论有效区域，LFP_A、LFP_B分别为该区域的理论左、右边界；LFP_E、LFP_F内的区域为本行的实际有效区域，LFP_E、LFP_F分别为该区域的实效左、右边界。在设计一行中每一个刀位时必须确定一个导动线，还必须选定有效特征线段上的一个点作为刀具第二参考点。为了保证刀轨之间重叠量尽可能少，需要选择LFP_A、LFP_B、LFP_E、LFP_F、LFP_G.之一或处于作为本行或下一行刀轨的导动线。例如，选择上一行刀轨的实效右边界作为下一行刀轨的导动线，令0＜k＜1使本行的LFP_E与上一行的LFP_F重合，这样就实现了刀轨的顺序排列。也可以使上一行的理想右边界作为本行的理想左边界，此时k＝1。最好的方式之一是，先以上一行的实效右边界作为本行的理想左边界，这样计算出本行的最窄行宽以确定本行的实效右边界，再以所调整的刀位和相邻参考刀位的刀位坐标的差的平方和的加权函数取得最小值为目标，从最窄处相邻刀位开始调整每个刀位的k值，依次实现刀位的光顺调整。

图7表示了行宽的定义过程。图中，FP_A、FP_B之间的距离称为最大行宽，但实际上，由于不同刀位处的行宽各不相同，因此本行对曲面的真正贡献只有FP_E、FP_F之间的区域，该区域外的其它部分将被其它行所覆盖。因此实际的最大实际行宽为W_rm，考虑到进给方向v_f0的影响，实际行宽W_r如图所示，设v_f0和FP_EFP_F，之间的夹角为(v_f0，FP_EFP_F，)，则有实际行宽的计算公式

W_r＝W_rmsin[(v_f0，FP_EFP_F，)]                                (9)

图7B表示本行最窄处的情况，此时，FP_A和FP_E重合，FP_B和FP_F重合。考虑到行宽的均匀性和刀轨的光顺性要求，从该刀位的FP_F出发确定本行刀轨的实际右边界FP_F的运动轨迹，也即下一行刀轨的FP_E的运动轨迹或参考线11。

图8A表示刀轨排列的示意图。不失一般性，设图示曲面是自左至右逐行加工出来的。对于第j行刀轨6，10是上一行刀轨的实效右边界，也作为本行工件第一参考点RPS₁(即FP_E)的运动轨迹。11是本行刀轨的实效右边界，也作为下一行刀轨之工件第一参考点RPS₁(即FP_E)的运动轨迹。12是本行最窄刀位处的FP_B所在位置，它决定了11所在的位置。7、8、9、10、11分别是一行所有刀位上FP_A、FP_B、FP_E、FP_F、FP_G的各自的连线LFP_A、LFP_B、LFP_E、LFP_F、LFP_G.。图8B是以1001为参考线(即采用CP_A点作为刀具第二参考点的垂足线分布的LFP_E线)，使FP_A在该线上运动所得到的刀位分布情况。图中，601是当前一个刀位处的FL线，901(LFP_G线)是FP_G点的运动轨迹，可以看出该曲线严重弯曲，这将导致机床的剧烈运动。701线、801线、1101线分别表示当前行的连线LFP_A、LFP_B、LFP_F.。图8C是以1001为参考线(即采用CP_G点作为刀具第二参考点的垂足线分布的LFP_E线)，图中，601是当前一个刀位处的FL线，901(LFP_G线)是FP_G点的运动轨迹，可以看出该曲线严重弯曲，这将导致机床的剧烈运动。701线、801线、1101线分别表示当前行的连线LFP_A、LFP_B、LFP_F.。使FP_E在该线上运动所得到的刀位分布情况。此时以12处的刀位确定本行的实效右边界1101。以该刀位为基准，将kΔ(k取值0到1之间连续可变，也可以称作使工件第一参考点和第二参考点的距离为kΔ)作为变量，逐个将相邻刀位与该刀位进行比较，使刀位变动最小的情况下使FP_A、FP_A分别落在1001和1101的外部即可，这样就实现了刀轨的光顺。

本发明是一种适用于多坐标数控机床加工过程的刀具位置和刀具轨迹的优化方法，所述刀具位置和刀具轨迹的优化步骤有：

1)选择工件设计曲面上的第一参考点并建立工件第一局部坐标系：在工件设计曲面上选择一条曲线作为导动线，它可以是上一行刀轨的LFP_B、FLP_E，也可以是本行刀轨的FLP_E。将选定的导动线曲线离散成一系列的点1，2，…i…m，它们中任意一个点都可以作为第一参考点。选定该曲线上的点(u_s，ij.1，v_s，ij.1)作为RPS₁。以该点作为原点，以曲面上该点的u正方向作为x_s1轴方向，以曲面的外法线方向作为x_s1轴方向，建立工件曲面在第一参考点处的局部坐标系S_s1(x_s1-y_s1-z_s1)；

2)选择工件的第二参考点并建立工件第二局部坐标系：设编程误差为Δ，在第一参考点外法线上确定一个到该参考点的距离为Δ的点作为第二参考点RPS₂(u_s，ij.2，v_s，ij.2)，将S_s1(x_s1-y_s1-z_s1)沿z_s1方向平移Δ得到工件第二局部坐标系S_s2(x_s2-y_s2-z_s2)。

3)确定刀具上的第一参考点RPT₁并建立刀具第一坐标系：刀具工作面由一条母线绕刀具轴线回转而成。将这条母线的坐标圆点定在刀具轴线上，该点就是刀具上的第一参考点RPT₁，以该点为原点，以刀具轴线作为z_t1轴，以选定的参考母线和轴线构成的平面作为x_t1-z_t1平面构造出右手坐标系S_t1(x_t1-y_t1-z_t1)，设参考母线的方程为F(x_qk.t1，z_qk.t1)＝0，旋转后可以得到刀具工作曲面的方程ρ_t.t1＝(x_m.t1cosθ，x_m.t1 sinθ，z_m.t1，1)^t，其中θ为xz平面到刀具上任意点所在轴截面的逆时针转角；

4)选择刀具上的第二参考点RPT₂并建立刀具第二坐标系。刀具每条母线形状都一样，因此在定位刀具时可以始终选择F(x_qk.t1，z_qk.t1)＝0上的点作为刀具在工件上的参考点。将该母线顺序地离散成一组离散点1，…q_k，…，m，可选择其中任一点q_k作为刀具上的刀具第二参考点RPT₂。设该点的内法线单位矢量为n_k，则以该矢量作为z_t2轴，以该点在母线平面内的朝向刀具尾部的切线方向作为z_t2轴，建立右手系S_t2(x_t2-y_t2-z_t2)作为刀具的第二坐标系。

5)刀具在工件上的三个转动调整运动：将工件第二坐标系S_S2绕z_S2轴逆时针转动γ角得到工件第三坐标系S_s3(x_s3-y_s3-z_s3)坐标系，将工件第三坐标系绕y_s3轴逆时针转动β角得到工件第四坐标系S_s4(x_s4-y_s4-z_s4)坐标系，将工件第四坐标系绕x_s4轴逆时针转动α角得到工件第五坐标系S_s5(x_s5-y_s5-z_s5)坐标系；

6)刀具在任意状态的定位：将刀具第二坐标系与工件第五坐标系重合可以建立刀具上任意点在工件第一局部坐标系上的坐标，通过建立工件局部坐标系和工件坐标系之间的变换关系建立刀具上任意点在工件坐标系上的坐标。

7)实现刀具表面的纬线分划：将参考母线离散成具有一定间隔的点，对其中任意点作刀具轴线的垂线并得到垂足，以垂足为圆心、过上述选定的母线上的点作圆，这样就可以将鼓形刀具的工作面离散成彼此平行的同心圆，即纬线。

8)求特征线：求每条纬线上的所有离散点到工件的垂线和垂足，所得到的距离最小的线段就是最短距离线段MDS，其长度就是该刀位下和该纬线处的加工误差。MDS上位于刀具上的点为刀具实际特征点CP，而MDS的另一端点即位于工件设计曲面上的点就是垂足FP。采用同样的方法我们可以得到每条纬线所对应的CP_k、FP_k。将所有CP_k、FP_k分别连接起来就构成了刀具特征线CL和垂足线FL；

9)建立误差分布函数：设母线上所有点有唯一的变量取值s与其对应，设刀具第二参考点的位置为s₂，则s₂和刀具相对RPT₂点的三个转角唯一确定刀具和工件的相对位置，此时刀位的坐标设为H，它是刀具第一参考点的位置和刀轴矢量的组合合，因此有H＝H(s₂，α，β，γ)。不同纬线s所对应的加工误差为δ，因此实际加工误差分布函数曲线可以表示为δ[s，H(s₂，α，β，γ)]；

10)有效特征线段端点计算：从s＝s₂向δ[s，H(s₂，α，β，γ)]曲线的左右两边搜索与δ＝Δ直线的交点可以得到两个交点，如果此时能保证δ[s，H(s₂，α，β，γ)]＞0，那么这两个交点就是有效特征线段的端点。

11)行宽计算：以上一行的实效右边界LFP_F作为导动线。计算出有向距离FP_EFP_F并与V_f0求差积并得到其模即为实际行宽Wr。

12)加工刀位优化：令k＝1，改变H中的部分或全部变量可以使Wr发生变化，因此建立下列模型可以得到令行宽最大的刀位H^*。

$W_r^{*}=\underset{H\∈D}{\max W_r\left(H\right)}$

其中D为δ[s，H(s₂，α，β，γ)]＞0。需要注意的是，刀具上的母线概念可以扩展到刀柄等非切削部分，此时最好将母线分解为切削母线和非切削母线，对应的工件曲面可以分解为加工曲面和需要避免干涉的曲面，这样在计算误差分布函数时可以减少计算工作量，而且行宽一定是在切削刃范围内计算，其优点可以把干涉问题和优化问题统一起来。

13)刀位光顺：按照上面方法可以得到一行加工区域上的所有刀位，但是当曲面曲率变化急剧时，各刀位处的行宽可能差别很大，此时需要对刀轨进行光顺，可以选择一行刀轨上最窄处的刀位的有效特征线段的FP_B点来确定本行刀轨的最右实效边界LFP_F，并使本行的其它刀位对应的FP_A、FP_B点都分别落在LFP_E和LFP_F的外部就可以了。显然在导动线上的特征点的加工误差不再Δ而应该是kΔ，k是引入的一个自由度，调整该参数可以使刀具中心发生变化，令相邻刀位的五个坐标的差的平方的加权和达到最小就可以实现刀轨的优化，此时刀位光顺的数学模型可以写成

$\underset{H\∈D}{\min }(w_s{(s_{2.i\±1}-s_{2.i})}^2+w_{\mathrm{\α}}{({\mathrm{\α}}_{i\±1}-{\mathrm{\α}}_i)}^2+w_{\mathrm{\β}}{({\mathrm{\β}}_{i\±1}-{\mathrm{\β}}_i)}^2+w_{\mathrm{\γ}}{({\mathrm{\γ}}_{i\±1}-{\mathrm{\γ}}_i)}^2)$

其中D为δ[s，H(s₂，α，β，γ)]＞0和w_r·i±1＞w_r.0。w_r.0为最窄处的行宽，w_r·i±1为当前刀位行宽，(s_2i±1，α_i±1，β_i±1，γ_i±1)为决定当前刀位H_i±1的变量，(s_2i，α_i，β_i，γ_i)为决定上一刀位H_i的变量。利用常规的优化方法求解该模型就可以得到光滑的刀轨。

逐行逐刀位进行优化计算得到全部刀位后将刀位文件转换成机床坐标系上的坐标就可以实现复杂曲面的高效率周铣和周磨加工。

Claims (5)

1、一种鼓型刀具多坐标宽行加工的刀位优化方法，其特征在于有下列优化步骤：

(一)在工件设计曲面上选择工件第一参考点RPS₁，在工件第一参考点RPS₁上建立工件第一坐标系S_s1(x_s1-y_s1-z_s1)；再在该点外法线方向上拾取工件第二参考点RPS₂，并在工件第二参考点RPS₂上建立工件第二坐标系S_s2(x_s2-y_s2-z_s2)，且工件第一坐标系S_s1与工件第二坐标系S_s2平行；将工件第二坐标系S_s2绕z_s2轴逆时针转动γ角得到工件第三坐标系S_s3(x_s3-y_s3-z_s3)坐标系，将工件第三坐标系绕y_s3轴逆时针转动β角得到工件第四坐标系S_s4(x_s4-y_s4-z_s4)坐标系，将工件第四坐标系绕x_s4轴逆时针转动α角得到工件第五坐标系S_s5(x_s5-y_s5-z_s5)坐标系；

(二)在刀具的参考母线上拾取一点作为刀具上的第二参考点RPT₂，且以刀具第二参考点RPT₂为原点建立刀具第二坐标系S_t2(x_t2-y_t2-z_t2)；

(三)将依据步骤(一)得到的工件第五坐标系和依据步骤(二)得到的刀具第二坐标系重合实现刀具在工件上的定位，此时刀具在工件上的刀位为H(s₂，α，β，γ)，式中，s₂表示工件第二参考点RPS₂在刀具母线上的曲线坐标；

(四)用一组垂直刀具轴线的平面将刀具截成一组纬线圆，求取各条纬线到工件设计曲面上距离最短的点作为特征点CP_k以及各特征点CP_k在工件设计曲面上的垂足点FP_k，连接各特征点CP_k形成特征线CL，连接各垂足点FP_k形成垂足线FL；特征点CP_k与垂足点FP_k之的垂直距离为加工误差δ，从工件第一参考点到垂足线上其它垂足点的有向距离为w，则得到特征线CL上的特征点CP_k的加工误差分布函数为δ＝δ(w，H)；

(五)从工件第二参考点RPS₂出发分别拾取在加工误差分布函数δ＝δ(w，H)曲线上左面的第一个满足加工误差δ＝Δ的点作为左端点A，其中Δ表示控制公差，同理得到该曲线右边的第一个满足加工误差δ＝Δ的点作为右端点B；根据左端点A、右端点B所对应的刀具上的特征点的垂足之间的距离获取理论行宽w_m和实际行宽w_r，因此得到实际行宽函数w_r＝w_r(H)；

(六)依据步骤(五)中得到的实际行宽函数w_r＝w_r(H)按照宽行加工刀位优化模型 ${W_r}^{*}=\underset{H\∈D}{\max }{W}_r\left(H\right)$ 求得一个使实际行宽w_r达到最大值时的刀位H^*作为最优刀位，式中，D为δ[s，H(s₂，α，β，γ)]＞0的H的可行域。

(七)在工件设计曲面上选择一条曲线作为导动线，将该导动线离散成具有一定间隔d的点，并依次将它们作为工件上的第一参考点计算出各点处的最优刀位；将各刀位处的FP_A，FP_B，FP_G分别连接形成LFP_A，LFP_B，LFP_G线；当自左向右逐行加工曲面时可根据本行刀轨上的LFP_B线的最窄处确定本行刀轨的实效右边界LFP_F，否则根据LFP_A的最窄处确定本行刀轨的实效左边界LFP_E。

2、根据权利要求1所述的刀位优化方法，其特征在于：根据宽行加工刀位优化模型，当自左向右逐行加工曲面时在工件设计曲面上采用前一行刀轨的实效右边界作为本行刀轨的导动线，将该导动线离散成具有一定间隔d的点，并依次将它们作为工件上的第一参考点计算出各点处的最优刀位；根据本行刀轨上的LFP_B线的最窄处确定本行刀轨的实效右边界LFP_F线、中线LFP_G和理论右边界线LFP_B；否则，采用前一行刀轨的实效左边界作为本行刀轨的导动线，将该导动线离散成具有一定间隔d的点，并依次将它们作为工件上的第一参考点计算出各点处的最优刀位；根据本行刀轨上的LFP_A线的最窄处确定本行刀轨的实效左边界LFP_E线、中线LFP_G和理论左边界线LFP_A。

3、根据权利要求1所述的刀位优化方法，其特征在于：根据宽行加工刀位优化模型，当自左向右逐行加工曲面时在工件设计曲面上采用前一行刀轨的理论右边界作为本行刀轨的导动线，将该导动线离散成具有一定间隔d的点，并依次将它们作为工件上的第一参考点计算出各点处的最优刀位。根据本行刀轨上的LFP_B线的最窄处确定本行刀轨的实效右边界LFP_F线、中线LFP_G和理论右边界线LFP_A；否则采用前一行刀轨的理论左边界作为本行刀轨的导动线，将该导动线离散成具有一定间隔为d的点，并依次将它们作为工件上的第一参考点计算出各点处的最优刀位；根据本行刀轨上的LFP_A线的最窄处确定本行刀轨的实效右边界LFP_E线、中线LFP_G和理论左边界线LFP_A。

4、根据权利要求1所述的刀位优化方法，其特征在于：使工件第一参考点和第二参考点的距离为kΔ，其中k为误差控制系数，误差控制系数k在0到1之间连续可变；当自左向右逐行加工曲面时在工件设计曲面上采用前一行刀轨的实效右边界作为本行刀轨的导动线并使刀具上的第二参考点在选定的导动线LFP_E上移动以实现刀轨的光顺，反之则采用前一行刀轨的实效右边界作为本行刀轨的导动线并使刀具上的第二参考点在选定的导动线LFP_F上移动以实现刀轨的光顺，所述的刀轨光顺满足刀位差的平方和最小 $\underset{H\∈D}{\min }(c_s{(s_{2.i\±1}-s_{2.i})}^2+c_{\mathrm{\α}}{({\mathrm{\α}}_{i\±1}-{\mathrm{\α}}_i)}^2+c_{\mathrm{\β}}{({\mathrm{\β}}_{i\±1}-{\mathrm{\β}}_i)}^2+c_{\mathrm{\γ}}{({\mathrm{\γ}}_{i\±1}-{\mathrm{\γ}}_i)}^2),$ 其中，D为δ[s，H(s₂，α，β，γ)]＞0和w_r·i±1＞w_r.0。w_r.0为最窄处的行宽，w_r·i±1为当前刀位行宽，(s_2i±1，α_i±1，β_i±1，γ_i±1)为决定当前刀位H_i±1的变量，(s_2i，α_i，β_i，γ_i)为决定上一刀位H_i的变量。

5、根据权利要求1所述的刀位优化方法，其特征在于：根据得到各刀位上的有效特征线段中点的垂足的连线LFP_G，当自左向右逐行加工曲面时选定该曲线左侧的一条光顺曲线作为导动线，否则选择曲线右边的一条光顺曲线作为导动线，且该曲线与LFP_G至少存在一个切点；以该切点处所对应的刀位为起始刀位，分别从前后两个方向的相邻刀位依次进行光顺；光顺时将kΔ作为FP_G点的控制误差，将k、H作为设计变量，按照光顺模型求满足模型 $\underset{H\∈D}{\min }(c_s{(s_{2.i\±1}-s_{2.i})}^2+c_{\mathrm{\α}}{({\mathrm{\α}}_{i\±1}-{\mathrm{\α}}_i)}^2+c_{\mathrm{\β}}{({\mathrm{\β}}_{i\±1}-{\mathrm{\β}}_i)}^2+c_{\mathrm{\γ}}{({\mathrm{\γ}}_{i\±1}-{\mathrm{\γ}}_i)}^2)$ 的刀位和K就可以得到光顺的刀轨；式中D为δ[s，H(s₂，α，β，γ)]＞0，FP_A在LFP_E的左侧、FP_B在LFP_F的右侧，(s_2i±1，α_i±1，β_i±1，γ_i±1)为决定当前刀位H_i±1的变量，(s_2i，α_i，β_i，γ_i)为决定上一刀位H_i的变量。

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