CN102521423A - 一种单头等螺距螺杆转子的动平衡设计方法 - Google Patents

Abstract

一种单头等螺距螺杆转子的动平衡设计方法，属于螺杆式无油真空泵与螺杆混输泵技术领域，对于任意一种指定结构的单头等螺距螺杆转子，首先计算出转子端面型线所包围图形的截面面积A₀以及该图形形心的极坐标位置(r₀，θ₀)；按转子总长度与其导程关系的三种不同情况选择，计算确定螺杆转子在铸造毛坯时预留去除质量体的空穴的参数，进而实现螺杆转子的动平衡，本发明方法简单、高效，便于于机械设计人员操作。

Description

一种单头等螺距螺杆转子的动平衡设计方法

技术领域

本发明涉及螺杆式无油真空泵与螺杆混输泵技术领域，特别涉及一种单头等螺距螺杆转子的动平衡设计方法。

背景技术

无油螺杆真空泵具有抽速范围宽、结构简单紧凑、抽气腔元件无摩擦、寿命长、能耗低、无油污染等特点，广泛应用于半导体、医药、食品、化工等工业领域。螺杆转子是螺杆真空泵中最关键的抽气部件，直接决定着泵的工作性能和使用寿命，其加工制造成本约占整个螺杆泵总成本近一半。其中单头等螺距的螺杆转子，因其内部无压缩的排气方式，特别适用于在医药、化工等行业中抽除或输送易燃、易爆及可凝性气体，并且具有易于加工制造和装配等特点，因此在无油螺杆真空泵中得到广泛应用。

尽管单头等螺距螺杆转子的型线结构多种多样，但其共同特征是其端面型线的形心并不处于其回转轴线之上。作为一个高速旋转的机械部件，运转时所产生的不平衡惯性力将在运动副中引起附加的动压力。因此，在螺杆转子的设计、制造过程中，必须认真解决其动平衡问题。螺杆转子的动平衡设计以消除支承动反力为目的，其设计指标是使转子的惯性力和惯性力矩尽可能小。

质量去除(或添加)法是实现转子动平衡的常用方法，通过在转子体的合适部位去除(或添加)一部分补偿质量，改变转子体的质量分布，从而使转子满足动平衡条件。鉴于无油螺杆真空泵中螺杆转子主要齿形面必须保持其完整性，以便保证抽气过程中的连续啮合与密封，因此通常选择在螺杆转子的两侧端面以及齿顶圆外表面作为去除质量的位置。

基于质量去除法的转子动平衡设计的主要任务就是确定去除质量体的形状大小和位置分布。目前广泛采用的动平衡设计方法，大多是根据每一种特定螺杆转子的加工实体或虚拟造型，通过反复进行实际或虚拟动平衡测试，来决定所应该去除质量体的大小和位置，即采用试凑法进行动平衡设计。由于转子型线构成的不同和结构尺寸的差异，每一种具体的螺杆转子的动平衡设计都各不相同，因此导致转子的动平衡设计工作困难、繁琐而又耗时。作为螺杆转子设计制造中最关键的技术诀窍之一，目前尚没有公开发表、简单易行的专门设计方法供机械设计人员直接采用。

发明内容

针对现有方法存在的不足，本发明提出一种单头等螺距螺杆转子的动平衡设计方法，达到使动平衡设计简单、高效，便于于机械设计人员操作的目的。

本发明一种单头等螺距螺杆转子的动平衡方法，技术方案的实现包括以下步骤：

步骤1：对于任意一种指定结构的单头等螺距螺杆转子，首先在转子端面上以轴心为原点建立极坐标系，计算出转子端面型线所包围图形的截面面积A₀以及该图形形心的极坐标位置(r₀，θ₀)；

步骤2：确定螺杆去除质量参数，按以下三种不同情况选择其一进行：

第一种情况：当螺杆转子的总长度L₀等于其导程p的整数倍时，即L₀＝np，其中节距数n＝1，2，3...时，确定转子两端去除质量体空穴的截面面积A₁、A₂形心位置坐标(r₁，θ₁)、(r₂，θ₂)和挖空深度L₁、L₂；

所述转子两端去除质量体空穴的截面面积A₁、A₂，公式如下：

A₁＝A₂

A₁r₁＝A₂r₂＝nA₀r₀/(2n-1)

所述形心位置坐标(r₁，θ₁)、(r₂，θ₂)，公式如下：

r₁＝r₂

θ₁＝θ₂＝θ₀

所述挖空深度L₁，L₂公式如下：

L₁＝L₂＝p/2

第二种情况：当螺杆转子的总长度L₀等于其导程p的n.5倍时，即L₀＝(2n+1)p/2，n＝1，2，3...时，确定转子两端去除质量体空穴的截面面积A₁、A₂，形心位置坐标(r₁，θ₁)、(r₂，θ₂)和挖空深度L₁、L₂；

所述的转子两端去除质量体空穴的截面面积A₁、A₂，公式如下：

A₁＝A₂

A₁r₁＝A₂r₂＝A₀r₀/2

所述的形心位置坐标(r₁，θ₁)，(r₂，θ₂)，公式如下：

r₁＝r₂

θ₀＝θ₁

θ₂＝θ₀±π

所述的挖空深度L₁、L₂，公式如下：

L₁＝L₂＝p/2

第三种情况：当螺杆转子的总长度L₀与其导程p的关系不满足上述两种情况的条件时，则转子两端去除质量体空穴的截面面积A₁、A₂，形心位置坐标(r₁，θ₁)，(r₂，θ₂)和挖空深度L₁、L₂按下面公式，采用最优化方法计算：

min{|mr_X0|+|mr_XL|+|mr_Y0|+|mr_YL|}

s.t.x_m0A₀L₀-x_m1A₁L₁-x_m2A₂L₂＝0

y_m0A₀L₀-y_m1A₁L₁-y_m2A₂L₂＝0

式中： $x_{m0}=\±\frac{r_{0}p}{2\mathrm{\π}{L}_0}[\sin ({\mathrm{\θ}}_0\±2\mathrm{\π}{L}_0/p)-{\sin \mathrm{\θ}}_0]---\left(1a\right)$

$x_{m1}=\±\frac{r_{1}p}{2\mathrm{\π}{L}_1}[\sin ({\mathrm{\θ}}_1\±2\mathrm{\π}{L}_1/p)-{\sin \mathrm{\θ}}_1]---\left(1b\right)$

$x_{m2}=\±\frac{r_{2}p}{2\mathrm{\π}{L}_2}[\sin {\mathrm{\θ}}_2-\sin \left({\mathrm{\θ}}_{2}m\frac{2\mathrm{\π}{L}_2}{p}\right)]---\left(1c\right)$

$y_{m0}=m\frac{r_{0}p}{2\mathrm{\π}{L}_0}[\cos ({\mathrm{\θ}}_0\±2\mathrm{\π}{L}_0/p)-\cos {\mathrm{\θ}}_0]---\left(2a\right)$

$y_{m1}=m\frac{r_{1}p}{2\mathrm{\π}{L}_1}[\cos ({\mathrm{\θ}}_1\±2\mathrm{\π}{L}_1/p)-\cos {\mathrm{\θ}}_1]---\left(2b\right)$

$y_{m2}=m\frac{r_{2}p}{2\mathrm{\π}{L}_2}[\cos {\mathrm{\θ}}_2-\cos ({\mathrm{\θ}}_{2}m2\mathrm{\π}{L}_2/p)]---\left(2c\right)$

mr_X0＝mr_0X0-mr_1X0-mr_2X0                                  (3)

${\mathrm{mr}}_{0X0}=\frac{A_0\mathrm{\ρ}{r}_{0}p}{2\mathrm{\π}{L}_0}[m{L}_0\sin {\mathrm{\θ}}_0-\frac{p}{2\mathrm{\π}}\cos ({\mathrm{\θ}}_0\±2\mathrm{\π}{L}_0/p)+\frac{p}{2\mathrm{\π}}\cos {\mathrm{\θ}}_0]---\left(3a\right)$

${\mathrm{mr}}_{1X0}=\frac{A_1\mathrm{\ρ}{r}_{1}p}{2\mathrm{\π}{L}_0}[m{L}_0\sin {\mathrm{\θ}}_1-\frac{p}{2\mathrm{\π}}\cos ({\mathrm{\θ}}_1\±\frac{2\mathrm{\π}{L}_1}{p})+\frac{p}{2\mathrm{\π}}\cos {\mathrm{\θ}}_1\±L\sin ({\mathrm{\θ}}_1\±\frac{2\mathrm{\π}{L}_1}{p})$ (3b)

$m{L}_1\sin ({\mathrm{\θ}}_1\±\frac{2\mathrm{\π}{L}_1}{p})]$

${\mathrm{mr}}_{2X0}=\frac{A_2\mathrm{\ρ}{r}_{2}p}{2\mathrm{\π}{L}_0}[m{L}_2\sin \left({\mathrm{\θ}}_{2}m\frac{2\mathrm{\π}{L}_2}{p}\right)+\frac{p}{2\mathrm{\π}}\cos \left({\mathrm{\θ}}_{2}m\frac{2\mathrm{\π}{L}_2}{p}\right)-\frac{p}{2\mathrm{\π}}\cos {\mathrm{\θ}}_2]---\left(3c\right)$

mr_XL＝mr_0XL-mr_1XL-mr_2XL                                  (4)

${\mathrm{mr}}_{0\mathrm{XL}}=\frac{A_0\mathrm{\ρ}{r}_{0}p}{2\mathrm{\π}{L}_0}[\±L_0\sin ({\mathrm{\θ}}_0\±2\mathrm{\π}{L}_0/p)+\frac{p}{2\mathrm{\π}}\cos ({\mathrm{\θ}}_0\±2\mathrm{\π}{L}_0/p)-\frac{p}{2\mathrm{\π}}\cos {\mathrm{\θ}}_0]---\left(4a\right)$

${\mathrm{mr}}_{1\mathrm{XL}}=\frac{A_1\mathrm{\ρ}{r}_{1}p}{2\mathrm{\π}{L}_0}[\±L_1\sin ({\mathrm{\θ}}_1\±\frac{2\mathrm{\π}{L}_1}{p})+\frac{p}{2\mathrm{\π}}\cos ({\mathrm{\θ}}_1\±\frac{2\mathrm{\π}{L}_1}{p})-\frac{p}{2\mathrm{\π}}\cos {\mathrm{\θ}}_1]---\left(4b\right)$

${\mathrm{mr}}_{2\mathrm{XL}}=\frac{A_{2}p{r}_{2}p}{2\mathrm{\π}{L}_0}[\±L_0\sin {\mathrm{\θ}}_{2}m(L_0-L_2)\sin \left({\mathrm{\θ}}_{2}m\frac{2\mathrm{\π}{L}_2}{p}\right)-\frac{p}{2\mathrm{\π}}\cos \left({\mathrm{\θ}}_{2}m\frac{2\mathrm{\π}{L}_2}{p}\right)$ (4c)

$+\frac{p}{2\mathrm{\π}}\cos {\mathrm{\θ}}_2]$

mr_Y0＝mr_0Y0-mr_1Y0-mr_2Y0                     (5)

${\mathrm{mr}}_{0Y0}=\frac{A_0\mathrm{\ρ}{r}_{0}p}{2\mathrm{\π}{L}_0}[\±L_0\cos {\mathrm{\θ}}_0-\frac{p}{2\mathrm{\π}}\sin ({\mathrm{\θ}}_0\±2\mathrm{\π}{L}_0/p)+\frac{p}{2\mathrm{\π}}\sin {\mathrm{\θ}}_0]---\left(5a\right)$

${\mathrm{mr}}_{1Y0}=\frac{A_1\mathrm{\ρ}{r}_{1}p}{2\mathrm{\π}{L}_0}[\±L_0\cos {\mathrm{\θ}}_1-\frac{p}{2\mathrm{\π}}\sin ({\mathrm{\θ}}_1\±\frac{2\mathrm{\π}{L}_1}{p})+\frac{p}{2\mathrm{\π}}\sin {\mathrm{\θ}}_1$ (5b)

$m{L}_0\cos ({\mathrm{\θ}}_1\±\frac{2\mathrm{\π}{L}_1}{p})\±L_1\cos ({\mathrm{\θ}}_1\±\frac{2\mathrm{\π}{L}_1}{p})]$

${\mathrm{mr}}_{2Y0}=\frac{A_2\mathrm{\ρ}{r}_{2}p}{2\mathrm{\π}{L}_0}[\±L_2\cos \left({\mathrm{\θ}}_{2}m\frac{2\mathrm{\π}{L}_2}{p}\right)+\frac{p}{2\mathrm{\π}}\sin \left({\mathrm{\θ}}_{2}m\frac{2\mathrm{\π}{L}_2}{p}\right)-\frac{p}{2\mathrm{\π}}\sin {\mathrm{\θ}}_2]---\left(5c\right)$

mr_YL＝mr_0YL-mr_1YL-mr_2YL                     (6)

${\mathrm{mr}}_{0\mathrm{YL}}=\frac{A_0\mathrm{\ρ}{r}_{0}p}{2\mathrm{\π}{L}_0}[m{L}_0\cos ({\mathrm{\θ}}_0\±2\mathrm{\π}{L}_0/p)+\frac{p}{2\mathrm{\π}}\sin ({\mathrm{\θ}}_0\±2\mathrm{\π}{L}_0/p)-\frac{p}{2\mathrm{\π}}\sin {\mathrm{\θ}}_0]---\left(6a\right)$

${\mathrm{mr}}_{1\mathrm{YL}}=\frac{A_1\mathrm{\ρ}{r}_{1}p}{2\mathrm{\π}{L}_0}[m{L}_1\cos ({\mathrm{\θ}}_1\±\frac{2\mathrm{\π}{L}_1}{p})+\frac{p}{2\mathrm{\π}}\sin ({\mathrm{\θ}}_1\±\frac{2\mathrm{\π}{L}_1}{p})-\frac{p}{2\mathrm{\π}}\sin {\mathrm{\θ}}_1]---\left(6b\right)$

${\mathrm{mr}}_{2\mathrm{YL}}=\frac{A_2\mathrm{\ρ}{r}_{2}p}{2\mathrm{\π}{L}_0}[m{L}_0\cos {\mathrm{\θ}}_2\±(L_0-L_2)\cos \left({\mathrm{\θ}}_{2}m\frac{2\mathrm{\π}{L}_2}{p}\right)-\frac{p}{2\mathrm{\π}}\sin \left({\mathrm{\θ}}_{2}m\frac{2\mathrm{\π}{L}_2}{p}\right)$ (6c)

$+\frac{p}{2\mathrm{\π}}\sin {\mathrm{\θ}}_2]$

步骤3：按步骤2的参数，在铸造转子毛坯时预留去除质量体的空穴，实现螺杆转子的动平衡，具体方法为：选择转子的两侧端面作为去除质量体空穴的开口位置，所述空穴的形状为等截面螺旋体；所述等截面螺旋体的确定方法为：在转子一侧端面型线所包围的区域内，划取一块面积大小和形心位置满足步骤2中任一条件，且与转子端面型线不发生干涉的图形；以此图形为基础，绕螺杆转子的回转轴做等螺距螺旋扫描，形成其导程与转子导程相同并具有指定挖空深度的等截面螺旋体。

本发明优点：本发明提供一种单头等螺距螺杆转子动平衡设计的通用方法，适合于任意结构型线的转子，本发明方法简单、省事、利于机械人员操作。

附图说明

图1为一种单头等螺距螺杆转子的动平衡设计方法流程图；

图2为一种单头等螺距螺杆转子的动平衡设计方法应用于对称结构型线的转子端面型线示意图；

图3为一种单头等螺距螺杆转子的动平衡设计方法应用于对称结构转子端面型线所生成的螺杆转子在去除质量后形成的立体结构图；

图4为一种单头等螺距螺杆转子的动平衡设计方法应用于非对称结构型线的转子端面型线示意图；

图5为一种单头等螺距螺杆转子的动平衡设计方法应用于非对称结构型线具有4.5个导程长度的螺杆转子在去除质量后形成的立体结构图；

图6为一种单头等螺距螺杆转子的动平衡设计方法应用于非对称结构型线具有4.2个导程长度的螺杆转子在去除质量后形成的立体结构图；

图中，1.齿顶圆；2.摆线；3.齿根圆；4.渐开线；5.端面图形的形心；6.去除质量体的横截面图形轮廓线；7.去除质量体的横截面图形形心；8.外摆线；9内摆线。

具体实施方式

下面结合附图及实施例对本发明作进一步详细说明。

实施例1

一种单头等螺距螺杆转子的端面型线如图2所示，由齿顶圆1、齿根圆3、外摆线8和内摆线9组成，属于对称性型线。某型号这种螺杆转子的结构参数如下：齿顶圆直径D＝0.188m；齿根圆直径d＝0.06m；转子导程p＝0.1m；转子工作部分长度L₀＝0.4m，即转子导程数为L₀/p＝4。采用本发明所述的单头等螺距螺杆转子的动平衡设计方法，如图1所示，步骤如下：

步骤1：在图2所示坐标中，转子端面型线的截面面积A₀＝0.014504157m²，截面形心5的极坐标位置为r₀＝0.036466257m，θ₀＝πrad；

步骤2：由于L₀＝4p，为保证螺杆转子实现动平衡，设计在转子两侧端面分别向内去除等截面螺旋体，去除质量体的横截面形状为：图2中由去除质量体的横截面图形轮廓线6所围成的对称图形，去除质量体的横截面图形形心7的位置为(r₁，θ₁)、(r₂，θ₂)，其截面形状应满足前述的条件，即去除深度L₁＝L₂＝p/2＝0.05m；去除截面形状的面积与形心半径的乘积A₁r₁＝A₂r₂＝4A₀r₀/7＝0.00015111117m³；具体化为面积A₁＝A₂＝0.0050951m²，形心半径r₁＝r₂＝0.051904041m，形心角度位置θ₁＝θ₂＝θ₀＝πrad；

步骤3：按步骤2的参数在铸造转子毛坯时预留去除质量体的空穴，实现螺杆转子的动平衡，去除质量体后的螺杆转子的立体结构如图3所示。

实施例2

一种单头等螺距的螺杆转子的端面型线如图4所示，由齿顶圆1、摆线2、齿根圆3和渐开线4组成，属于非对称性型线。某型号这种螺杆转子的结构参数如下：齿顶圆直径D＝0.1858m；齿根圆直径d＝0.062m；转子导程p＝0.12m；转子工作部分长度L₀＝0.54m，即转子导程数为L₀/p＝4.5，采用本发明所述的单头等螺距螺杆转子的动平衡设计方法，实现螺杆转子平衡，步骤如下：

步骤1：在图4所示坐标中，该转子端面型线的截面面积A₀＝0.013149003m²，截面形心5的极坐标位置为r₀＝0.0310135703m，θ₀＝4.831051097rad；

步骤2：由于L₀＝4.5p，为保证螺杆转子实现动平衡，设计在转子两侧端面分别向内去除等截面螺旋体，其截面形状应满足前述条件，即去除深度L₁＝L₂＝p/2＝0.06m；去除截面形状的面积与形心半径的乘积A₁r₁＝A₂r₂＝A₀r₀/2＝0.0002038988m³；具体化为面积A₁＝A₂＝0.00418598m²，形心半径r₁＝r₂＝0.0487099279m，形心角度位置为θ₁＝θ₀＝4.831051097rad，θ₂＝θ₁-πrad；

步骤3：按步骤2的参数在铸造转子毛坯时预留去除质量体的空穴，实现螺杆转子的动平衡，去除质量体后的螺杆转子的立体结构如图5所示。

实施例3

一种单头等螺距的螺杆转子的端面型线同样采用图4所示的型线，不同之处是螺杆转子长度取为4.2个导程，即L₀＝0.504m，包括以下步骤：

步骤1：该转子端面型线的截面面积A₀＝0.013149003m²，截面形心5的极坐标位置为r₀＝0.0310135703m，θ₀＝4.831051097rad；

步骤2：为保证螺杆转子实现动平衡，设计在转子两侧端面分别向内等截面螺旋体，去除质量体的横截面形状如图6中由去除质量体的横截面图形轮廓线6所围成的图形，去除质量体的横截面图形形心的位置为(r₁，θ₁)、(r₂，θ₂)，采用最优化方法计算得出：去除深度L₁＝0.06123m，L₂＝0.0628071m；面积A₁＝0.0048471835m²，A₂＝0.0047071953m²；形心半径r₁＝0.046223845m r₂＝0.047622509m；形心角度位置θ₁＝4.80093105radθ₂＝3.56518528rad；

步骤3：按步骤2算出的参数在铸造转子毛坯时预留去除质量体的空穴，实现螺杆转子的动平衡，去除质量体后的螺杆转子的立体结构如图6所示。

Claims (1)

1.一种单头等螺距螺杆转子的动平衡设计方法，其特征在于：包括以下步骤：

步骤1：对于任意一种指定结构的单头等螺距螺杆转子，首先在转子端面上以轴心为原点建立极坐标系，计算出转子端面型线所包围图形的截面面积A₀以及该图形形心的极坐标位置(r₀，θ₀)；

步骤2：确定螺杆转子去除质量参数，按以下三种不同情况选择其一进行：

第一种情况：当螺杆转子的总长度L₀等于其导程p的整数倍时，即L₀＝np，其中节距数n＝1，2，3...时，确定转子两端去除质量体空穴的截面面积A₁、A₂形心位置坐标(r₁，θ₁)、(r₂，θ₂)和挖空深度L₁、L₂；

所述转子两端去除质量体空穴的截面面积A₁、A₂，公式如下：

A₁＝A₂

A₁r₁＝A₂r₂＝nA₀r₀/(2n-1)

所述形心位置坐标(r₁，θ₁)、(r₂，θ₂)，公式如下：

r₁＝r₂

θ₁＝θ₂＝θ₀

所述挖空深度L₁，L₂公式如下：

L₁＝L₂＝p/2

第二种情况：当螺杆转子的总长度L₀等于其导程p的n.5倍时，即L₀＝(2n+1)p/2，n＝1，2，3...时，确定转子两端去除质量体空穴的截面面积A₁、A₂，形心位置坐标(r₁，θ₁)、(r₂，θ₂)和挖空深度L₁、L₂；

所述的转子两端去除质量体空穴的截面面积A₁、A₂，公式如下：

A₁＝A₂

A₁r₁＝A₂r₂＝A₀r₀/2

所述的形心位置坐标(r₁，θ₁)，(r₂，θ₂)，公式如下：

r₁＝r₂

θ₀＝θ₁

θ₂＝θ₀±π

所述的挖空深度L₁、L₂，公式如下：

L₁＝L₂＝p/2

第三种情况：当螺杆转子的总长度L₀与其导程p的关系不满足上述两种情况的条件时，则转子两端去除质量体空穴的截面面积A₁、A₂，形心位置坐标(r₁，θ₁)，(r₂，θ₂)和挖空深度L₁、L₂按下面公式，采用最优化方法计算：

min{|mr_X0|+|mr_XL|+|mr_Y0|+|mr_YL|}

s.t.x_m0A₀L₀-x_m1A₁L₁-x_m2A₂L₂＝0

y_m0A₀L₀-y_m1A₁L₁-y_m2A₂L₂＝0

式中： $x_{m0}=\±\frac{r_{0}p}{2\mathrm{\π}{L}_0}[\sin ({\mathrm{\θ}}_0\±2\mathrm{\π}{L}_0/p)-{\sin \mathrm{\θ}}_0]---\left(1a\right)$

$x_{m1}=\±\frac{r_{1}p}{2\mathrm{\π}{L}_1}[\sin ({\mathrm{\θ}}_1\±2\mathrm{\π}{L}_1/p)-{\sin \mathrm{\θ}}_1]---\left(1b\right)$

$x_{m2}=\±\frac{r_{2}p}{2\mathrm{\π}{L}_2}[\sin {\mathrm{\θ}}_2-\sin \left({\mathrm{\θ}}_{2}m\frac{2\mathrm{\π}{L}_2}{p}\right)]---\left(1c\right)$

$y_{m0}=m\frac{r_{0}p}{2\mathrm{\π}{L}_0}[\cos ({\mathrm{\θ}}_0\±2\mathrm{\π}{L}_0/p)-\cos {\mathrm{\θ}}_0]---\left(2a\right)$

$y_{m1}=m\frac{r_{1}p}{2\mathrm{\π}{L}_1}[\cos ({\mathrm{\θ}}_1\±2\mathrm{\π}{L}_1/p)-\cos {\mathrm{\θ}}_1]---\left(2b\right)$

$y_{m2}=m\frac{r_{2}p}{2\mathrm{\π}{L}_2}[\cos {\mathrm{\θ}}_2-\cos ({\mathrm{\θ}}_{2}m2\mathrm{\π}{L}_2/p)]---\left(2c\right)$

mr_X0＝mr_0X0-mr_1X0-mr_2X0                                         (3)

${\mathrm{mr}}_{0X0}=\frac{A_0\mathrm{\ρ}{r}_{0}p}{2\mathrm{\π}{L}_0}[m{L}_0\sin {\mathrm{\θ}}_0-\frac{p}{2\mathrm{\π}}\cos ({\mathrm{\θ}}_0\±2\mathrm{\π}{L}_0/p)+\frac{p}{2\mathrm{\π}}\cos {\mathrm{\θ}}_0]---\left(3a\right)$

${\mathrm{mr}}_{1X0}=\frac{A_1\mathrm{\ρ}{r}_{1}p}{2\mathrm{\π}{L}_0}[m{L}_0\sin {\mathrm{\θ}}_1-\frac{p}{2\mathrm{\π}}\cos ({\mathrm{\θ}}_1\±\frac{2\mathrm{\π}{L}_1}{p})+\frac{p}{2\mathrm{\π}}\cos {\mathrm{\θ}}_1\±L\sin ({\mathrm{\θ}}_1\±\frac{2\mathrm{\π}{L}_1}{p})$ (3b)

$m{L}_1\sin ({\mathrm{\θ}}_1\±\frac{2\mathrm{\π}{L}_1}{p})]$

${\mathrm{mr}}_{2X0}=\frac{A_2\mathrm{\ρ}{r}_{2}p}{2\mathrm{\π}{L}_0}[m{L}_2\sin \left({\mathrm{\θ}}_{2}m\frac{2\mathrm{\π}{L}_2}{p}\right)+\frac{p}{2\mathrm{\π}}\cos \left({\mathrm{\θ}}_{2}m\frac{2\mathrm{\π}{L}_2}{p}\right)-\frac{p}{2\mathrm{\π}}\cos {\mathrm{\θ}}_2]---\left(3c\right)$

mr_XL＝mr_0XL-mr_1XL-mr_2XL                              (4)

${\mathrm{mr}}_{0\mathrm{XL}}=\frac{A_0\mathrm{\ρ}{r}_{0}p}{2\mathrm{\π}{L}_0}[\±L_0\sin ({\mathrm{\θ}}_0\±2\mathrm{\π}{L}_0/p)+\frac{p}{2\mathrm{\π}}\cos ({\mathrm{\θ}}_0\±2\mathrm{\π}{L}_0/p)-\frac{p}{2\mathrm{\π}}\cos {\mathrm{\θ}}_0]---\left(4a\right)$

${\mathrm{mr}}_{1\mathrm{XL}}=\frac{A_1\mathrm{\ρ}{r}_{1}p}{2\mathrm{\π}{L}_0}[\±L_1\sin ({\mathrm{\θ}}_1\±\frac{2\mathrm{\π}{L}_1}{p})+\frac{p}{2\mathrm{\π}}\cos ({\mathrm{\θ}}_1\±\frac{2\mathrm{\π}{L}_1}{p})-\frac{p}{2\mathrm{\π}}\cos {\mathrm{\θ}}_1]---\left(4b\right)$

${\mathrm{mr}}_{2\mathrm{XL}}=\frac{A_{2}p{r}_{2}p}{2\mathrm{\π}{L}_0}[\±L_0\sin {\mathrm{\θ}}_{2}m(L_0-L_2)\sin \left({\mathrm{\θ}}_{2}m\frac{2\mathrm{\π}{L}_2}{p}\right)-\frac{p}{2\mathrm{\π}}\cos \left({\mathrm{\θ}}_{2}m\frac{2\mathrm{\π}{L}_2}{p}\right)$ (4c)

$+\frac{p}{2\mathrm{\π}}\cos {\mathrm{\θ}}_2]$

mr_Y0＝mr_0Y0-mr_1Y0-mr_2Y0                              (5)

${\mathrm{mr}}_{0Y0}=\frac{A_0\mathrm{\ρ}{r}_{0}p}{2\mathrm{\π}{L}_0}[\±L_0\cos {\mathrm{\θ}}_0-\frac{p}{2\mathrm{\π}}\sin ({\mathrm{\θ}}_0\±2\mathrm{\π}{L}_0/p)+\frac{p}{2\mathrm{\π}}\sin {\mathrm{\θ}}_0]---\left(5a\right)$

${\mathrm{mr}}_{1Y0}=\frac{A_1\mathrm{\ρ}{r}_{1}p}{2\mathrm{\π}{L}_0}[\±L_0\cos {\mathrm{\θ}}_1-\frac{p}{2\mathrm{\π}}\sin ({\mathrm{\θ}}_1\±\frac{2\mathrm{\π}{L}_1}{p})+\frac{p}{2\mathrm{\π}}\sin {\mathrm{\θ}}_1$ (5b)

$m{L}_0\cos ({\mathrm{\θ}}_1\±\frac{2\mathrm{\π}{L}_1}{p})\±L_1\cos ({\mathrm{\θ}}_1\±\frac{2\mathrm{\π}{L}_1}{p})]$

${\mathrm{mr}}_{2Y0}=\frac{A_2\mathrm{\ρ}{r}_{2}p}{2\mathrm{\π}{L}_0}[\±L_2\cos \left({\mathrm{\θ}}_{2}m\frac{2\mathrm{\π}{L}_2}{p}\right)+\frac{p}{2\mathrm{\π}}\sin \left({\mathrm{\θ}}_{2}m\frac{2\mathrm{\π}{L}_2}{p}\right)-\frac{p}{2\mathrm{\π}}\sin {\mathrm{\θ}}_2]---\left(5c\right)$

mr_YL＝mr_0YL-mr_1YL-mr_2YL                              (6)

${\mathrm{mr}}_{0\mathrm{YL}}=\frac{A_0\mathrm{\ρ}{r}_{0}p}{2\mathrm{\π}{L}_0}[m{L}_0\cos ({\mathrm{\θ}}_0\±2\mathrm{\π}{L}_0/p)+\frac{p}{2\mathrm{\π}}\sin ({\mathrm{\θ}}_0\±2\mathrm{\π}{L}_0/p)-\frac{p}{2\mathrm{\π}}\sin {\mathrm{\θ}}_0]---\left(6a\right)$

${\mathrm{mr}}_{1\mathrm{YL}}=\frac{A_1\mathrm{\ρ}{r}_{1}p}{2\mathrm{\π}{L}_0}[m{L}_1\cos ({\mathrm{\θ}}_1\±\frac{2\mathrm{\π}{L}_1}{p})+\frac{p}{2\mathrm{\π}}\sin ({\mathrm{\θ}}_1\±\frac{2\mathrm{\π}{L}_1}{p})-\frac{p}{2\mathrm{\π}}\sin {\mathrm{\θ}}_1]---\left(6b\right)$

${\mathrm{mr}}_{2\mathrm{YL}}=\frac{A_2\mathrm{\ρ}{r}_{2}p}{2\mathrm{\π}{L}_0}[m{L}_0\cos {\mathrm{\θ}}_2\±(L_0-L_2)\cos \left({\mathrm{\θ}}_{2}m\frac{2\mathrm{\π}{L}_2}{p}\right)-\frac{p}{2\mathrm{\π}}\sin \left({\mathrm{\θ}}_{2}m\frac{2\mathrm{\π}{L}_2}{p}\right)$ (6c)

$+\frac{p}{2\mathrm{\π}}\sin {\mathrm{\θ}}_2]$

步骤3：按步骤2的参数，在铸造转子毛坯时预留去除质量体的空穴，实现螺杆转子的动平衡，具体方法为：选择转子的两侧端面作为去除质量体空穴的开口位置，所述空穴的形状为等截面螺旋体；所述等截面螺旋体的确定方法为：在转子一侧端面型线所包围的区域内，划取一块面积大小和形心位置满足骤2中任一条件，且与转子端面型线不发生干涉的图形；以此图形为基础，绕螺杆转子的回转轴做等螺距螺旋扫描，形成其导程与转子导程相同并具有指定挖空深度的等截面螺旋体。

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