KR20110113541A - 다양한 치형곡선을 이용한 지로터 오일펌프의 로터 설계 방법 - Google Patents

Abstract

본 발명은 로터의 크기를 줄이더라도 요구 유량을 만족시키기 위하여 고유량의 특성을 가지는 로터를 창출하고 설계할 수 있는 자동화 시스템을 제시하고, 또한 상기 로터의 구동시 발생하는 소음 저감을 위하여 유량맥동이 작은 로터를 설계할 수 있는 다양한 치형곡선을 이용한 지로터 오일펌프의 로터 설계 자동화 시스템을 구현하고자 한다.

Description

다양한 치형곡선을 이용한 지로터 오일펌프의 로터 설계 방법{METHOD FOR DESIGNING THE GEROTOR PUMP}

본 발명은 오일펌프 등에 사용되는 내접형 기어펌프에 관한 것으로서, 더욱 상세하게는 하이포 사이클로이드, 원호 및 에피 사이클로이드 등의 다양한 치형곡선을 이용하여 지로터 오일펌프의 로터를 설계하는 방법에 관한 것이다.

잘 알려진 바와 같이, 자동차 엔진의 윤활장치는 엔진작동을 원활히 하고 수명을 오래 유지하기 위한 필수장치이며 이러한 윤활장치의 구성품 중 하나인 오일펌프는 유량, 내구성, 소음 및 소형화 측면에서 유리한 내접형 기어펌프가 주로 사용된다.

이러한 오일펌프(oil pump)는 자동차의 엔진 등에 장착되어 구동되는 엔진의 필수 기능 부품으로 엔진으로부터 공급받는 기계적인 에너지를 엔진 오일의 압력 에너지 및 속도 에너지로 변환시켜 엔진 내부의 각 습동부에 윤활 오일을 공급하여 부품의 이상 마모, 소착 등이 발생하지 않도록 하는 부품이다. 상기 오일펌프를 구성하는 부품은 전기적인 모터(electric motor), 키이(key), 내부 로터(inner rotor), 로터 케이스(rotor case), 오링(O-ring), 스크류(screw) 등으로 구성된다. 상기 오일펌프에서 기타 표준 제품 이외에 로터 케이스는 오일펌프의 사양에 따라 다이캐스팅으로 생산되고 있으며, 상기 외부 로터 및 내부 로터는 분말 단조로 생산되고 있다.

한편, 임의적으로 생성한 로터를 가지는 지로터(gerotor) 펌프 및 모터는 내부 로터와 외부 로터로 구성되어 있어 구조가 간단하고 소결 제품의 제작 기술 발달로 가공의 정밀도가 높아짐에 따라 형상이 복잡하더라도 가공이 용이하며, 조립이 쉽고 두 치형 사이에 상대 운동이 적으므로 장기간 사용하여도 효율의 변화가 적으며, 흡입 성능이 우수하다. 또한 피스톤 펌프와 결합된 2연 펌프(tandeum pump)의 흡입 및 저항을 주는 펌프로 널리 사용되고 있으며, 특히 다른 펌프에 비하여 소음이 적어 엔진 윤활을 위한 윤활유의 공급원이나 자동 변속기의 유압원으로 널리 사용되고 있다. 그리고 전체 체적에 비하여 베인이나 기어펌프보다 1회전 당의 토출량이 많은 것을 장점으로 가지고 있다. 이러한 이유로 유압 시스템에 널리 사용되고 있으며 최근 가공 기술의 발달과 함께 급격하게 응용성이 점차 확대되어 가고 있는 실정이다.

따라서, 지로터형 펌프/모터의 로터 치형 설계와 관련하여 많은 연구가 수행되어 왔다. Colbourne("Gear Shape and Theoretical Flow Rate in Internal Gear Pumps," Trans. of the CSME, Vol. 3, No. 4 pp. 215-223, 1975)은 내부 로터와 외부 로터의 접촉을 시뮬레이션하여 내부 로터 치형의 좌표를 구하고 내부 로터와 외부 로터의 치형 곡선으로 폐쇄되는 챔버에서의 면적을 계산하였다. Sae-gusa("Development of Oil-Pump Rotor with a Trochoidal Tooth Shape," Tran. SAE, 840454. pp. 359-364, 1984) 등은 내부 로터를 고정시키고 외부 로터를 회전시켜 외부 로터의 치형인 원호의 중심에 대한 궤적을 구하고, 내부 로터와 외부 로터의 물림 특성으로부터 내부 로터의 치형을 구하는 식을 유도하여 내부 로터의 치형을 구하는 식을 유도하였다. 또한, Beard("Hypotrochoidal versus Epitrochoidal Gerotor Type Pumps with Special Attention to Volume Change Ratio and Size," ASME Proceedings, Design Automation conferance, Boston, Mass,. Sep. 1987) 등은 하이포트로코이드(Hypotrochoidal)와 에피트로코이드(Epitrochoidal) 사이의 유량 변화를 비교하고 수학적인 관계를 나타냈다. Tsay("Gerotor Pumps-Design Simulation And Contact Analysis," pp. 349-356. 1992)는 절삭과정을 시뮬레이션하여 내부 로터의 치형을 구하는 방법을 발표하였다. 한편, 이성철("Journal of KSTLE, Vol. 11, No 2, pp 63-70. 1995) 등은 곡선족(family of curves)을 이용하여 내부 로터의 치형에 대한 식을 유도하고 유압 모터를 대상으로 유량 및 토크 계산 등의 특성 해석을 실시하였다.

그러나, 현재까지 발표된 내용들은 이론적 해석에 치중하였고, 더구나 이것을 전산화하여 쉽게 활용한 예는 없어서 실제 설계시 많은 문제점이 있었다. 또한 오일펌프 설계 기술에서 가장 중요한 로터 형상의 설계에 대한 연구가 필요하며, 고성능, 고효율, 저소음, 저진동의 새로운 치형에 대한 연구가 절실한 실정이다. 특히, 오일펌프의 성능, 진동, 효율에 관련된 인자를 분석하여 치형의 기하학적(geometry), 유체역학적(CFD: computational fluid dynamics), 시스템적(system sumulation) 접근이 요구된다.

한편, 이와 같은 문제점을 해결하기 위한 종래의 기술로서는 국내 등록특허 제10-0940980호(발명의 명칭: 지로터 오일 펌프용 로터 설계 자동화 시스템, 등록일자 : 2010년 01월 29일)가 있다.

상기 선출원 등록발명은 원 또는 타원형의 로버 형상을 가진 외부로터의 설계변수를 고려하여 운동학적인 분석을 수행하여 로터 설계의 자동화를 구축할 수 있도록 구성한 것이다. 구체적으로는, 치형 설계, 유량 및 유량맥동 계산의 자동화를 위하여 설계 변수 값들을 입력하는 입력모듈과, 상기 입력된 설계 변수 값으로부터 치형 방정식에 의하여 내부로터의 궤적과 외부로터의 궤적을 창출하고 상기 내부로터 및 외부로터 사이의 오프셋 량을 보정한 후 상기 창출된 치형의 유량과 맥동을 계산하는 설계모듈과, 치형 모델링, 회전시뮬레이션, 순간유량 곡선 및 데이터 파일의 저장을 수행하는 출력모듈로 구성된 지로터 오일펌프용 로터 설계 자동화 시스템을 기술적 특징으로 한다.

이러한 선출원 등록발명은 로터 설계의 자동화를 구축하고 외부로터의 로브형상이 다양한 곡선으로 조합되어 유량 및 유량맥동 측면에서 좋은 성능을 가지는 것이 가능하도록 구현한 점에 대해서는 나름대로 유용한 발명임에는 분명하다.

하지만 상기의 등록발명은 외부로터의 로브(lobe) 형상 설계 후 내부로터를 창출하기 때문에 유량을 증가시키기 위하여 편심량을 계속 키우게 되면 내부로터의 이끝 폭이 설계 한계조건보다 작아지게 되고, 이로 인해 더 이상 유량을 증가시킬 수 없는 한계 편심량이 존재하는 단점이 있었다.

본 발명은 위와 같은 문제점을 해결하기 위한 것으로, 하이포 사이클로이드, 원호 및 에피 사이클로이드 등의 다양한 치형곡선을 이용하여 설계 한계조건에서 편심량이 구속받지 않도록 하는 지로터 오일펌프의 치형 및 로터를 설계하는 방법을 제공하는데 그 목적이 있다.

또한, 본 발명은 내부로터 구성방정식을 바탕으로 외부로터의 궤적을 창출하여 설계 및 해석함으로써 구성방정식 도출 및 치형의 기구학, 운동학적 분석을 수행할 수 있도록 다양한 치형곡선을 이용한 지로터 오일펌프의 로터를 설계하는 방법을 제공하는데 그 목적이 있다.

또한, 본 발명은 로터 구성방정식을 바탕으로 한 면적계산법을 이용하여 내부로터 및 외부로터가 맞물려 회전할 때 토출되는 유량 및 이에 따른 유량맥동값을 도출함으로써 지로터 오일펌프의 특성을 파악하는 방법을 제공하는데 그 목적이 있다.

본 발명은 다양한 치형곡선을 이용하여 지로터 오일펌프의 로터를 설계하는 방법에 있어서, 하이포 사이클로이드 곡선과 에피 사이클로이드 곡선의 사이에 원호 곡선을 삽입하여 내부로터를 구성하는 과정과, 상기 내부로터 구성방정식을 바탕으로 외부로터의 궤적을 창출하는 과정으로 이루어짐을 특징으로 한다.

이때, 보다 바람직하기로는 편심량이 e인 지로터의 내부로터 중심점 O ₁(e, 0)을 기준으로, 한 피치각도의 구간에서 β ₁ 및 β ₅만큼 하이포 사이클로이드 곡선으로, β ₃만큼 에피 사이클로이드 곡선으로, β ₂ 및 β ₄만큼 원호 곡선으로 조합된 내부로터의 구성방정식을 유도하는 과정으로 이루어짐을 특징으로 한다.

또한, 내부로터 및 외부로터가 맞물려 회전할 때 외부로터의 한 피치각도만큼의 회전각도별로 주기곡선을 형성하는 토출유량 및 이에 따른 유량맥동값을 도출하기위해 내부로터 및 외부로터 사이에서 면적이 줄어드는 챔버의 회전각도 대비면적변화량을 자동적으로 계산하는 과정으로 이루어짐을 특징으로 한다.

본 발명은 내부로터의 하이포 사이클로이드 곡선과 에피 사이클로이드 곡선 사이에 원호 곡선을 삽입함에 있어서 하이포 사이클로이드 곡선과 원호 곡선이 연결되는 지점에서의 기울기를 임의로 조절할 수 있음에 따라 하이포 사이클로이드 곡선 및 에피 사이클로이드 곡선만을 연결한 로터에 비해 유량증가 및 내외부로터 이끝폭 설계를 위한 편심량의 설정에 제한이 없는 장점이 있다.

또한, 본 발명은 종래의 기술에 비해 로터 설계 시 첨점 및 루프가 발생하지 않고 내부로터 및 외부로터의 이끝폭을 자동적으로 계산할 수 있는 장점이 있으며, 종래의 기술과는 다르게 내부로터 및 외부로터 사이의 접촉점이 외부로터 잇수보다 적게 형성되므로 마모 및 소음 측면에서 보다 장점을 가지며 이론적인 토출유량 및 유량맥동값을 독자적인 방법으로 도출함으로써 본 발명과 동일한 유형 또는 비슷한 유형의 로터가 사용되는 펌프의 성능인자를 보다 효과적으로 도출할 수 있는 장점이 있다.

도 1은 본 발명의 바람직한 일 실시 예에 따른 내부로터의 한 피치 구간을 보여주고 있는 도면.
도 2는 본 발명의 바람직한 일 실시 예에 따른 내부로터의 이끝 폭을 보여주고 있는 도면.
도 3은 본 발명에 따른 내부로터의 구성방정식 유도를 위한 내부로터의 한 피치 구간을 보여주고 있는 도면.
도 4와 도 8은 본 발명에 따른 하이포 사이클로이드 곡선의 구성방정식 유도를 위한 하이포 사이클로이드 곡선 구간을 보여주고 있는 도면.
도 5와 도 7는 본 발명에 따른 원호 곡선의 구성방정식 유도를 위한 원호 곡선 구간을 보여주고 있는 도면.
도 6는 본 발명에 따른 에피 사이클로이드 곡선의 구성방정식 유도를 위한 에피 사이클로이드 곡선 구간을 보여주고 있는 도면.
도 9은 본 발명에 따른 내부로터의 치형을 보여주고 있는 도면.
도 10은 종래의 기술에 따른 로터의 회전 시뮬레이션 상태를 보여주고 있는 도면.
도 11은 본 발명에 따른 내외부로터의 간섭 현상을 보여주고 있는 도면.
도 12는 본 발명에 따른 내외부로터의 치형을 보여주고 있는 도면.
도 13은 본 발명에 따른 내외부로터 사이의 챔버를 보여주고 있는 도면.
도 14는 본 발명에 따른 컴퓨터 모니터상에서 입력창을 보여주고 있는 도면.
도 15는 본 발명에 따른 토출량을 그래프로 보여주고 있는 도면.

이하 본 발명의 실시 예를 첨부된 도면을 참조하여 설명하면 다음과 같다. 후술 될 상세한 설명에서는 상술한 기술적 과제를 이루기 위해 본 발명에 있어 대표적인 실시 예를 제시할 것이다. 그리고 본 발명으로 제시될 수 있는 다른 실시 예들은 본 발명의 구성에서 설명으로 대체한다.

본 발명에서는 오일펌프 에너지 손실률 저감을 위한 방법 중의 하나로써 지로터 오일펌프에 사용되는 로터의 크기를 줄일 때 유랑(토출량)이 함께 작아지지 않도록 하는, 구체적으로는 로터의 크기를 줄이더라도 요구 유량을 만족시키기 위하여 고유량의 특성을 가지는 로터를 창출하고 설계할 수 있는 자동화 방법을 제시한다. 또한 상기 로터의 구동시 발생하는 소음 저감을 위하여 유량맥동이 작은 로터를 설계할 수 있는 다양한 치형곡선을 이용한 지로터 오일펌프의 로터 설계 방법을 구현하고자 한다.

이를 위해서는 내부로터에서 외부로터의 궤적을 창출하여 설계 및 해석하는 자동화 방법이 구체적으로 개시되어야 하며, 바람직하게는 하이포 사이클로이드 곡선과 에피 사이클로이드 곡선 사이에 원호 곡선을 삽입한 방식의 내부로터를 먼저 구성하고 이로부터 외부로터를 창출할 수 있는 구체적인 방안이 개시되어야 한다.

이하, 도면을 참조하여 본 발명의 바람직한 실시 예를 상세히 설명한다.

도 1 내지 도 15는 본 발명의 일 실시 예에 따른 하이포 사이클로이드, 원호 및 에피 사이클로이드 곡선 등의 다양한 치형곡선을 이용하여 지로터 오일펌프의 로터를 설계하는 방법을 보여주고 있는 도면이다. 본 발명의 지로터 오일펌프의 설계방법은 위에서 언급한 바와 같이 하이포 사이클로이드 곡선과 에피 사이클로이드 곡선의 사이에 원호 곡선을 삽입하여 먼저 내부로터를 구성한 다음 상기 내부로터에서 외부로터의 궤적을 창출하는 방법이다.

먼저, 본 발명에 따른 지로터 오일펌프를 설계함에 있어서, 내부로터의 기하학적 분석을 도 1 내지 도 9를 참조하여 구체적으로 언급하고자 한다.

상기 도 1 내지 도 9를 참조하면, 구름원이 피치원 둘레를 미끄럼 없이 굴러갈 때 구름원 위의 한 점이 그리는 곡선을 사이클로이드 곡선이라 하는데, 구름원이 피치원 둘레 안에서 접촉하여 구를 때 생기는 곡선을 하이포 사이클로이드(Hypocycloid)라 하고, 피치원 둘레 밖에서 접촉하여 구를 때 생기는 곡선을 에피사이클로이드(Epicycloid)라 한다. 이와 같은 방식으로 내부로터의 한 피치구간을 도 1과 같이 조합할 수 있다.

즉, 내부로터의 피치원 반경은 γ ₁이고 잇수는 Z ₁이므로 각 구름원이 피치원 상에서 굴러간 거리의 합을 고려하면 다음과 같은 ＜수학식 1＞이 성립한다.

여기에서 외부로터 치저경을 ρ _2max, 내부로터 치선경을 ρ _1max, 내외부로터의 팁간극을 t _p 라 하고 상기 ＜수학식 1＞을 참조하면 아래와 같은 ＜수학식 2＞가 성립한다.

또한, 각 구름원이 피치원 상에서 굴러간 거리를 각각 고려하면 하기의 ＜수학식 3＞과 같다.

상기 도 1에서 내부로터의 이끝 폭 t _i 는 변곡점인 점 P ₁과 P ₂사이의 거리로 계산할 수 있으며 그 결과는 ＜수학식 4＞와 같다.

여기에서 로터의 최외경은 29, ρ _2max =12(단위: mm), Z ₁ =9인 경우를 적용하면 상기 ＜수학식 4＞는 하기의 ＜수학식 5＞와 같이 유도되고 이를 그래프로 나타내면 도 2와 같다.

여기에서 e _lim =1.134인 경우에 t _i =2임을 알 수 있으며 이는 로터 제작상의 한계 조건에 해당한다. 일반적으로 편심량을 크게 하면 유량이 증가하는데 e _lim 보다 편심량을 크게 할 수 없으므로 상기의 도 1과 같은 방식에서는 더 이상 유량을 증가시킬 수 없는 한계 편심량이 존재하게 된다.

하지만 도 3과 같이 하이포 사이클로이드 곡선과 에피 사이클로이드 곡선 사이에 원호(Arc)를 삽입함으로써 편심량 이외의 인자를 추가하여 내부로터의 이끝 폭을 조절하게 되고 유량을 증가시키기 위한 편심량의 조절에 제한을 받지 않게 할 수 있다.

한편, 편심량이 e인 지로터의 내부로터 중심점 O ₁ =(e, 0)을 기준으로 한 피치각도의 β ₁ 및 β ₅만큼 하이포 사이클로이드 곡선으로, β ₂ 및 β ₄만큼 원호 곡선으로, β ₃만큼 에피 사이클로이드 곡선으로 조합된 내부로터의 구성방정식을 유도한다.

상기 도 3에서와 같이 하이포 사이클로이드 곡선 및 에피 사이클로이드 곡선의 구름원 반경을 각각 γ _h , γ _e 이라하고 각 구름원의 회전각을 θ _{h 1}, θ _{h 2} 및 θ _e 이라고 한다. 또한 x축으로부터 첫 번째 하이포 사이클로이드 곡선을 C _{h 1}, 두 번째 원호 곡선을 C _{a 1}, 세 번째 에피 사이클로이드 곡선을 C _e , 네 번째 원호 곡선을 C _{a 2}, 마지막 하이포 사이클로이드 곡선을 C _{h 2}라 한다. 상기 도 3에서 하이포 사이클로이드 곡선과 에피 사이클로이드 곡선의 기초원의 중심은 모두 O ₁과 일치하며 각각의 기초원 반경은 γ _bh , γ _be 이다. 또한 상기 도 3에서 각도

는 점 P ₁에서 반경 γ _{p 1}인 원에의 접선과 C _{h 1} 곡선에의 접선이 이루는 각도이다.

내부로터의 치높이는 H=2e와 같으며, 각 곡선이 만나는 점을 P ₁, P ₂, P ₃, P ₄라 할 때 점 O ₁을 중심으로 하고, 점 P ₁와 P ₄를 지나는 원의 반경을 γ _{p 1}, 점 P ₂와 P ₃를 지나는 원의 반경을 γ _{p 2}이라 하면 이의 관계식은 ＜수학식 6＞과 다음과 같다.

하기에서는, 본 발명에 따른 내부로터의 구성방정식에 대해서 구체적으로 설명하고자 한다.

(1) C _{h 1} 곡선

상기 도 4에서 C _{h 1} 곡선위의 점을 (x _{h 1}, y _{h 1})라 하면 다음과 같은 ＜수학식 7＞이 성립한다.

상기 도 4에서와 같이 구름원이 이동할 때 하이포 사이클로이드 곡선의 기초원 반경과 구름원 이동각과의 관계는 ＜수학식 8＞과 같다.

하기의 ＜수학식 17＞을 이용하여 ＜수학식 16＞을 정리하면 다음과 같은 ＜수학식 9＞를 얻을 수 있다.

상기 도 4의 점 P ₁에서 하이포 사이클로이드 곡선의 구름원의 반경 및 기초원 반경 사이의 관계식은 ＜수학식 10＞과 다음과 같다.

또한, ΔO _h P ₁ O ₁에 대해 제2 코사인 법칙을 적용하면 다음과 같은 ＜수학식 11＞을 얻을 수 있다.

상기의 ＜수학식 10＞과 ＜수학식 11＞을 이용하여 상기 ＜수학식 9＞를 정리하면 다음과 같은 ＜수학식 12＞를 얻을 수 있다.

한편, ΔO ₁ O _h P ₁에 대해 제2 코사인 법칙을 적용하면 ＜수학식 13＞과 같다.

(2) C _{a 1} 곡선

도 5에서 도시한 바와 같이, C _{a 1} 곡선위의 점을 (x _{a 1}, y _{a 1})라 하면 다음과 같은 ＜수학식 14＞가 성립한다.

여기에서 점 O _{a 1}(O _{1 x} , O _{1 y} )는 반지름이 γ _a 인 원의 중심점 좌표이며, 점 P ₁ 및 P ₂의 좌표를 구하면 ＜수학식 15＞와 같다.

한편, 전술한 도 5를 참조하면 점 P ₁ 및 P ₂의 좌표는 하기의 ＜수학식 16＞을 통해 구할 수 있다.

상기 ＜수학식 15＞와 ＜수학식 16＞에서 점 P ₁ 및 P ₂의 x, y좌표값은 동치이므로 하기의 ＜수학식 17＞ 및 ＜수학식 18＞과 같은 관계식을 얻을 수 있다.

상기 도 5에서와 같이 원의 접선에서의 성질에 따라 점 P ₁에서의 C _{a 1} 곡선의 접선은 반지름의 선분과 수직으로 만나므로 δ ₁은 ＜수학식 19＞와 같이 표현된다.

여기에서 β ₁은 상기의 ＜수학식 12＞ 및 ＜수학식 13＞에서 하기의 ＜수학식 20＞과 같이 구할 수 있다.

또한 β ₁, β ₂ 및 β ₃사이에서는 ＜수학식 21＞과 같은 관계가 성립한다.

여기에서 β ₃은 하기의 ＜수학식 30＞과 같이 표현된다.

(3) C _e 곡선

전술한 도 6에서 C _e 곡선위의 점을 (x _e , y _e )라 하면 다음과 같은 ＜수학식 22＞가 성립한다.

전술한 도 6에서와 같이 구름원이 이동할 때 에피 사이클로이드 곡선의 기초원 반경과 구름원 이동각 사이에는 ＜수학식 23＞과 같은 관계가 성립한다.

상기의 ＜수학식 21＞을 참조하여 ＜수학식 23＞을 정리하면 하기의 ＜수학식 24＞와 같다.

또한 점 P ₂ 부근의 C _e 곡선에서 구름원의 이동각 및 회전각 사이에 ＜수학식 25＞와 같은 관계식이 성립한다.

상기의 ＜수학식 25＞에 ＜수학식 24＞를 대입하여 정리하면 다음과 같은 ＜수학식 26＞을 얻을 수 있다.

한편, ΔO ₁ P ₂ O _e 에서 제2 코사인 법칙을 적용하면 다음과 같은 ＜수학식 27＞을 얻을 수 있다.

또한 C _e 곡선의 구름원과 기초원 반경 사이에서는 ＜수학식 28＞과 같은 관계식이 성립한다.

마찬가지로 ΔO _e O ₁ P ₂에서 제2 코사인 법칙을 적용하면 다음과 같은 ＜수학식 29＞를 얻을 수 있다.

이때 cos(π-θ _e )=-cosθ _e 이므로 상기의 ＜수학식 19＞ 및 ＜수학식 20＞을 연립하면 β ₃를 ＜수학식 30)과 같이 구할 수 있다.

따라서, C _e 곡선의 구성방정식은 ＜수학식 31＞과 같이 표현된다.

(4) C _{a 2} 곡선

도 7에서 도시한 바와 같이, C _{a 2} 곡선위의 점을 (x _{a 2}, y _{a 2})라 하면 다음과 같은 ＜수학식 32＞가 성립한다.

여기에서 (O _{2 x} , O _{2 y} )는 반지름이 γ _i 인 원 C ₂의 중심점 좌표이며, 점 P ₃ 및 P ₄의 좌표를 구하면 ＜수학식 33＞과 같다.

한편, 상기 도 6을 참조하면, 점 P ₃ 및 P ₄의 좌표는 하기의 ＜수학식 34＞와 같이 구할 수 있다.

상기의 ＜수학식 33＞과 ＜수학식 34＞에서 점 P ₃ 및 P ₄의 x, y좌표값은 동치이므로 하기의 ＜수학식 35＞, ＜수학식 36＞, ＜수학식 37＞과 같은 관계식을 각각 얻을 수 있다.

또한, 전술한 도 3에서와 같이 원 C ₁과 C ₂의 중심점은 점 O ₁를 지나고 기울기가 반 피치 각도인 직선에 의해 대칭이므로 중심점 O _{a 2}(O _{2 x} , O _{2 y} )은 하기의 ＜수학식 38＞과 같이 표현되며, 여기에서 O _{1 x} , O _{1 y} 의 값은 전술한 ＜수학식 17＞과 같다.

(5) C _{h 2} 곡선

전술한 도 8에서 C _{h 2} 곡선위의 점을 (x _{h 2}, y _{h 2})라 하면 다음과 같은 ＜수학식 39＞가 성립한다.

전술한 도 3에서와 같이, 구름원이 이동할 때 하이포 사이클로이드 곡선의 기초원 반경과 구름원 이동각과의 관계는 하기의 ＜수학식 40＞과 같다.

상기의 ＜수학식 40＞을 이용하여 ＜수학식 39＞를 정리하면 하기의 ＜수학식 41＞과 같다.

다음으로, 본 발명에 따른 변수 설정 및 경계 조건식을 유도하는 방법을 구체적으로 설명한다.

먼저, 입력받게 되는 Z ₁, e,

, ρ _2max값에 대해 상기 5개 곡선의 구성방정식을, 바람직하게는 위에서 언급한 C _{h 1} 곡선, C _{a 1} 곡선, C _e 곡선, C _{a 2} 곡선, C _{h 2} 곡선의 구성방정식을 도출하기 위해 γ _a , γ _h , γ _e , γ _{p 1}, γ _{p 2}를 변수로 설정하고 아래와 같은 5개의 경계 조건식을 유도하였다.

(1) 제1 경계 조건식

점 P ₁에서 C _{h 1} 곡선곡선의 접선 기울기는 C _{a 1} 곡선의 접선 기울기와 같으므로 ＜수학식 42＞와 같은 관계식이 성립한다.

또한 점 P ₁에서 C _{h 1} 곡선의 x좌표값은 하기의 ＜수학식 43＞과 같으며, 같으며 y좌표값에 대한 수학식은 이와 동치이다.

상기의 ＜수학식 42＞ 및 ＜수학식 43＞을 연립하여 정리하면 다음과 같은 ＜수학식 44＞를 얻을 수 있다.

(2) 제2 경계 조건식

점 P ₂에서 C _e 곡선의 접선 기울기는 C _{a 1} 곡선의 접선 기울기와 같으므로 하기의 ＜수학식 45＞와 같은 관계식이 성립한다.

점 P ₂에서 C _e 곡선의 x좌표값은 하기의 ＜수학식 46＞과 같으며, y좌표값에 대한 수학식은 이와 동치이다.

상기의 ＜수학식 45＞ 및 ＜수학식 46＞을 연립하여 정리하면 다음과 같은 ＜수학식 47＞을 얻을 수 있다.

(3) 제3 경계 조건식

전술한 ＜수학식 17＞과 ＜수학식 18＞에서 점 P ₁ 및 P ₂의 x좌표값은 하기의 ＜수학식 48＞과 같다.

상기의 ＜수학 48＞을 연립하여 정리하면 다음과 같은 ＜수학식 49＞를 얻을 수 있다.

(4) 제4 경계 조건식

전술한 ＜수학식 35＞와 ＜수학식 36＞에서 점 P ₁ 및 P ₂의 x좌표값은 하기의 ＜수학식 50＞과 같다.

상기의 ＜수학식 50＞을 연립하여 정리하면 다음과 같은 ＜수학식 51＞을 얻을 수 있다.

(5) 제5 경계 조건식

전술한 도 5에서

의 기울기는 δ ₁와 δ ₂의 산술평균과 같으며, 이는 도 7에서도 대칭적으로 성립한다. 이와 관련된 ＜수학식 52＞는 다음과 같다.

다음으로, 본 발명에 따른 변수에 대한 범위를 설정하는 방법에 대해서 상세하게 설명한다.

먼저, 전술한 도 3에서 보는 바와 같이 γ _{p 1}＜γ _bh ＜γ _be ＜γ _{p 2}의 관계가 성립하며, 이는 다음의 경우로 나누어 생각해 볼 수 있다.

그리고, 나머지 γ _{p 1}＜γ _{p 2} 및 γ _bh ＜γ _be 는 원호(Arc) 곡선이 삽입된다면 저절로 성립된다. 또한, C _{h 1} 곡선 위에 점 P ₁가 존재하고, C _e 곡선 위에 점 P ₂가 존재한다면 하기의 ＜수학식 56＞과 같은 관계식이 성립한다.

추가로 모든 arccos(k) 형태의 값에서 |k|＜1이 만족되어야 한다.

다음으로, 본 발명에서는 Auto LISP 및 Auto CAD를 이용하여 내부로터를 설계하였다.

즉, 입력받은 Z ₁, e,

, ρ _2max값에 대하여 위에서 언급한 '변수 설정 및 경계 조건식 유도' 및 '변수에 대한 범위 설정'의 조건을 만족하면서 5개의 경계 조건식의 해인 5개의 변수 γ _a , γ _h , γ _e , γ _{p 1}, γ _{p 2}의 값을 도출해낸 다음, 하기의 ＜수학식 57＞을 이용하여 원호 곡선을 구성하는 점간거리(도 14에서의 DBP)로부터 원호 곡선에서의 증분각 Δδ을 계산하고, 사이클로이드 곡선을 구성하는 점간거리를 DBP와 동일하게 하기 위해 C _{h 1} 곡선을 원호로 가정한 후 사이클로이드 곡선에서의 증분각 Δβ을 계산할 수 있다.

이에 도 9와 같이 내부로터를 생성하였다. 이 때 Z ₁ =9, e=1.35,

=69˚, ρ _2max =12이며 2개의 동심원은 하이포 사이클로이드 곡선과 에피 사이클로이드 곡선 사이에 원호(Arc) 곡선이 삽입된 범위를 나타내며, 내부로터 이끝폭 w _i 는 도 3에서 변곡점 P ₂ 및 P ₃ 사이의 거리,

와 같다.

한편, 본 발명에서는 위와 같이 내부로터의 기하학적 분석을 통해서 얻어진 데이터를 이용하여 외부로터를 창출하는 방법을 도 10 내지 도 12를 참조하여 구체적으로 설명하면 다음과 같다.

먼저, 로터 회전시뮬레이션은 내부로터를 외부로터 중심점 O ₂(0, 0)을 중심으로하여 CCW 방향으로 각도 α만큼 공전시키고 공전된 내부로터의 중심점을 중심으로 내부로터를 다시 CW 방향으로

만큼 회전시킴으로써 수행할 수 있다.

즉, 도 10의 회전 시뮬레이션 분석 결과, 내부로터와 같이 공전하는 기준축(x축)이 회전 후의 내부로터와 교점을 생성하며, 그 교점에서 축방향으로 t _p 만큼 떨어진 점이 외부로터를 구성함을 알 수 있다. 이를 수학식으로 표현하면 ＜수학식 58＞과 같다. 여기에서 외부로터를 구성하는 점의 좌표를 (X, Y), 내부로터를 구성하는 점의 좌표를 (x, y)라 한다.

공전하는 기준축과의 교점이 외부로터를 구성하므로 하기의 ＜수학식 58＞과 같은 관계식이 성립한다.

상기의 ＜수학식 58＞ 및 ＜수학식 59＞를 연립하여 풀면 다음과 같은 ＜수학식 60＞을 얻을 수 있다.

위와 같이 내부로터의 구성방정식을 바탕으로 내부로터를 생성하고, 상기의 ＜수학식 58＞과 ＜수학식 60＞을 이용하여 외부로터를 창출한 결과 도 11에서와 같이 일정구간 간섭이 발생하였다.

로터 회전시뮬레이션 수행결과, 도 11의 상부도면과 같이 내부로터의 하이포 사이클로이드 곡선 및 원호 곡선부분에서는 전체간섭이 발생하였고, 에피 사이클로이드 곡선부분에서는 부분간섭이 발생하였다. 또한 도 11의 하부도면과 같이 내외부로터를 각각의 중점을 중심으로 반 피치각도만큼 CCW으로 회전한 뒤, 도 3의 점 P ₁을 x축에 대칭시킨 내부로터 상의 점이 변환된 외부로터 상의 점(P ₁')에서 최대 간섭량이 발생하였다. 이에 수정폭 계수를 n, 수정범위 계수를 k로 정의한 후, 점 P ₁'와 가장 가까운 점간거리를 갖는 내부로터위의 점 사이의 거리를 도 14에서의 팁 간극(t _p : tip clearance)으로 설정하였다.

또한 내부로터의 하이포 사이클로이드 및 원호 곡선 부분에서는 전체간섭이 발생하였으므로 수정폭 계수 n을 적용하고, 에피 사이클로이드 곡선 부분에서는 부분간섭이 발생하였으므로 수정범위 계수 k가 적용된 범위까지는 수정폭 계수 n을 적용, 그 이후 범위각부터 외부로터의 반 피치각도까지는 가변등차간격을 갖는 수정폭 계수를 적용하였다.

이때, 내부로터의 에피 사이클로이드 곡선 위의 점들이 변환된 점들로써 구성된 외부로터 곡선은 내외부로터 사이의 원활한 슬라이딩을 위해 점 O ₁(0,0)을 기준으로 바깥쪽으로 볼록한 함수의 형상이어야한다. 전 구간에서 볼록한 함수 중에서 대표적인 2차 다항식은 2차항 계수 즉, 2계미분값의 부호가 양수이면 아래로 볼록한 특성을 갖는다.

이와 같은 특성을 이용하기 위해 상기 외부로터 곡선 위에서 연속한 4개의 점을 추출하여 수정폭 계수 n 및 가변등차간격을 갖는 수정폭 계수를 적용하였다. 이는 볼록함수일 경우, 4개의 점 각각을 연결한 세 개의 선분의 기울기(1계미분)가 증가(2계미분) 또는 기울기가 음수일 경우 양의 x축으로부터의 기울기 각도가 증가함을 이용한 것이다. 이에 ＜수학식 58＞ 및 ＜수학식 60＞을 이용한 외부로터 반 피치 각도 구간까지의 각 구간별 외부로터 구성방정식은 다음과 같은 ＜수학식 61＞ 내지 ＜수학식 65＞으로 유도된다.

상기한 바와 같이, 내부로터의 반 피치 구간에 해당하는 점까지 외부로터로 변환한 뒤 외부로터의 반 피치 지점에서 대칭시켜 한 피치 구간의 외부로터를 구성한 후 외부로터의 잇수만큼 배열하여 외부로터를 도 12와 같이 생성하였다. 이때, 외부로터 이끝폭 w _o 는 도 3의 점 P ₁이 변환된, ＜수학식 62＞에서 δ=δ ₁일 때의 Y _{a 1}값의 2배와 같다.

위에서 본 바와 같이, 본 발명에서는 내부로터에서 외부로터의 궤적을 창출하여 지로터 오일펌프의 로터를 설계하는 시스템을, 바람직하게는 하이포 사이클로이드 곡선과 에피 사이클로이드 사이에 원호 곡선을 삽입한 방식의 내부로터를 먼저 구성하고 이로부터 외부로터를 창출하여 지로터 오일펌프의 로터를 설계할 수 있는 시스템을 구체적으로 설명하였다.

하기에는 이를 바탕으로 하여 내외부로터의 성능인자를 계산하는 방법을 상세하게 설명하고자 하며. 구체적으로는 '(1)유량 및 유량맥동 계산' 및 '(2)한계조건을 고려한 지로터 펌프 설계'를 나누어 설명할 것이다.

(1) 유량 및 유량맥동 계산

순간유량(Q㎣/deg)이란 내부로터 및 외부로터가 회전하면서 내외부로터 간 챔버의 면적이 줄어드는 것에서의 회전각도 대비 면적변화량을 뜻하며, 그 단위로는 (cc/rev) 또는 rpm조건이 주어질 경우 (㎤/sec) 등으로 표현 가능하다. 이때 로터의 두께는 7.2로 설정하였다.

도 13-1에서 보는 바와 같이, 도 12의 내외부로터가 각각의 중심점을 중심으로 반 피치각도만큼 CCW방향으로 회전한 후 내외부로터 사이에서 발생하는 챔버 중 CCW방향으로 회전함에 따라 그 면적이 줄어드는 챔버를 음영으로 표시하였다. 이때, 챔버의 경계영역은 일정구간 내에서 가장 가까운 점간거리를 갖는 내외부로터 위의 점을 연결한 후 그 사이를 연결하는 내외부로터 형상으로 지정하였다.

외부로터가 O ₂(0,0)을 중심으로 Δα만큼 CCW방향으로 회전할 때 내부로터는 O ₁(e,0)을 중심으로 (Z ₂/Z ₁)Δα만큼 같은 방향으로 회전하며, 이에 따라 도 13-2에서와 같이 음영으로 표시된 챔버의 면적이 감소한다. 따라서 도 13-1의 형상에서 외부로터가 반 피치 각도만큼 회전하면 도 13-3의 챔버 형상으로 변화하며 이에 Δα만큼 외부로터가 회전함에 따라 음영으로 표시된 챔버의 면적이 S _k 에서 S _{k +1}로 변화했다면, 순간유량은 하기의 ＜수학식 66＞에 의해 계산된다.

또한 평균유량 q _av는 외부로터 반 피치 구간에서 순간유량의 평균값으로 구할 수 있으며 그 관계식은 하기의 ＜수학식 67＞과 같다.

도 13의 외부로터 반 피치 구간내의 순간유량값 중에서 최대값을 q _max, 최소값을 q _min이라고 하면, 유량맥동값 I(％)는 하기의 ＜수학식 68＞에 의해 계산된다.

도 13-3의 로터 형상에서 내외부로터 회전이 계속 진행되면 도 13-1의 형상으로 변화하며, 이는 13-1 내지 도 13-3 구간에서 음영으로 표시된 챔버의 면적이 역으로 변화하므로 외부로터 회전각의 변화에 따른 순간유량 변화양상은 도 13-1일 때를 기준으로 좌우대칭을 이룬다. 이를 바탕으로 외부로터 회전각에 대한 유량의 변화양상을 도식화한 결과는 도 15와 같다. 여기에서 순간유량이 일정폭을 기준으로 진동하므로 ＜수학식 66＞에서의 S _k 를 3차 다항식으로 회귀분석한 결과 결정계수값은 1을 가지며, 회귀분석된 챔버 면적을 이용하여 유량의 변화양상을 도식화하였으며 동시에 내외부로터의 편심량,

, 내외부로터 이끝폭, 외부로터 수정폭 계수 및 평균유량, 유량맥동, 챔버면적 회귀분석 결정계수 γ ²값을 출력한 결과 도 15와 같다. 이때 결정계수가 1에 가까울수록 회귀분석의 신뢰도는 증가한다.

(2) 한계조건을 고려한 지로터 펌프 설계

제작상의 한계조건 때문에 내외부로터의 이끝 폭(w _i , w _o )이 2mm보다 작게되지 않아야 함을 명시하고 있다. 도 14를 참조하여, Z ₁ =9, DBP=0.005, ρ _2max =12, w=7.2, t _p =0.025이고 e가 1.32일 때,

를 79˚부터 69˚까지 변화시키면서 유량 및 유량맥동 값을 계산하였다. 이때 γ ²은 모두 1으로 계산되었다.

하기의 표 1에서는 상기 경우의 출력값들을 보여주고 있다.

상기 표 1에서 e를 고정하고

를 1˚씩 감소시킬 때마다 내부로터 이끝폭은 증가하고 외부로터 이끝폭은 감소하는 경향을 가지며, 유량은 평균 0.036％ 증가하고 유량맥동은 평균 1.37％ 감소함을 알 수 있다. 여기에서 임의의 편심량 값에서 외부로터의 이끝 폭에 대해 제작상의 한계조건을 고려하였을 때 한계

값이 존재함을 알 수 있다. 또한 이러한 한계

값에서 유량 및 유량맥동 측면에서 볼 때 해당 편심량에서 가장 좋은 성능의 로터라고 할 수 있다.

이러한 경향을 토대로 편심량을 1.26에서 1.41까지 0.01 단위로 변화시키며 0.1˚단위에서의 한계

에 대한 유량 및 유량맥동을 계산해보았으며, 그 결과는 표 2에 나타내었다.

표 2에서 편심량이 증가할수록 평균유량 및 유량맥동값이 증가하여 유량 특성은 좋아지나 유량맥동은 나빠짐을 알 수 있다. 표 3은 상기 표 2에서 제시하고 있는 로터 중 편심량이 1.26, 1.29, 1.32, 1.35, 1.38, 1.41일 때의 6개에 대한 형상을 나타내고 있다.

Claims (4)

1. 다양한 치형곡선을 이용하여 지로터 오일펌프의 로터를 설계하는 방법에 있어서,
   하이포 사이클로이드 곡선과 에피 사이클로이드 곡선의 사이에 원호 곡선을 삽입하여 내부로터를 구성하는 과정과,
   상기 내부로터에서 외부로터의 궤적을 창출하는 과정으로 이루어짐을 특징으로 하는 다양한 치형곡선을 이용한 지로터 오일펌프의 로터 설계 방법.
2. 제1항에 있어서,
   편심량이 e인 지로터의 내부로터 중심점 O ₁ =(e, 0)을 기준으로 한 피치각도의 β ₁ 및 β ₅만큼 하이포 사이클로이드 곡선으로, β ₂ 및 β ₄만큼 원호 곡선으로, β ₃만큼 에피 사이클로이드 곡선으로 조합된 내부로터의 구성방정식을 유도하는 과정으로 이루어짐을 특징으로 하는 다양한 치형곡선을 이용한 지로터 오일펌프의 로터 설계 방법.
3. 제2항에 있어서,
   상기 하이포 사이클로이드 곡선 및 에피 사이클로이드 곡선의 구름원 반경을 각각 γ _h , γ _e 이라하고 각 구름원의 회전각을 θ _{h 1}, θ _{h 2} 및 θ _e 이라고 한다. 또한 x축으로부터 첫 번째 하이포 사이클로이드 곡선을 C _{h 1}, 두 번째 원호 곡선을 C _{a 1}, 세 번째 에피 사이클로이드 곡선을 C _e , 네 번째 원호 곡선을 C _{a 2}, 마지막 하이포 사이클로이드 곡선을 C _{h 2}라 할 때;
   상기 하이포 사이클로이드 곡선(C _{h 1})은 ＜수학식 7＞ 내지 ＜수학식 13＞에 의해 결정되며,
   상기 원호 곡선(C _{a 1})은 ＜수학식 14＞ 내지 ＜수학식 21＞에 의해 결정되며,
   상기 에피 사이클로이드 곡선(C _e )은 ＜수학식 22＞ 내지 ＜수학식 31＞에 의해 결정되며,
   상기 원호 곡선(C _{a 2})은 ＜수학식 32＞ 내지 ＜수학식 38＞에 의해 결정되며,
   상기 하이포 사이클로이드 곡선(C _{h 2})은 ＜수학식 39＞ 내지 ＜수학식 41＞에 의해 결정됨을 특징으로 하는 다양한 치형곡선을 이용한 지로터 오일펌프의 로터 설계 방법.
4. 제1항 내지 제3항 중 어느 하나의 항에 있어서,
   상기 내부로터에 따른 외부로터는 ＜수학식 61＞ 내지 ＜수학식 65＞에 의해 결정됨을 특징으로 하는 다양한 치형곡선을 이용한 지로터 오일펌프의 로터 설계 방법.

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