CN102508198B - 一种基于最大似然估计的目标被动定位方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于最大似然的被动定位方法，以提高被动定位传感器的定位精度。本发明目的在于克服已有目标被动定位方法的不足，即无需设定目标初值和目标定位精度不高两者不能兼得的缺点。该方法实施步骤是：首先考虑二维空间中的被动定位情况，计算目标初始位置估计；计算辅助变量G1；构造二维空间中新的目标位置估计公式；估计目标在三维空间中z坐标值；构造基于最大似然准则的被动定位目标函数；迭代优化，获得估计结果。本发明定位方法，不需要目标初始位置，且定位结果的精度和传统的最大似然被动方法相同。

Description

一种基于最大似然估计的目标被动定位方法

技术领域

本发明属于目标跟踪与目标定位技术领域，涉及一种目标被动定位方法，具体涉及一种基于最大似然估计的目标被动定位方法，该方法可以用于被动雷达和红外等传感器对目标的定位。

背景技术

被动传感器定位技术使用较为广泛，与主动定位技术相比，它具有隐蔽性强、不易被发现等特点，其典型的测量量包括偏转角和俯仰角等。

多个被动传感器获得不同的方位角，这些方位角所指示直线相互交汇于一点，该点就是目标的位置。由于在角度测量过程中存在误差，计算出的交汇点往往不止一个，为了获得更加精确的目标位置，在过去的研究过程中，人们提出了多种算法，并对这些算法进行分析对比。Gavish等人在“GavishM.，Weiss A.J.Performance of analysis of bearing-only target locationalgorithms.IEEE Trans.on Aerospace and Electronic Systems，1992，28(3)：817-827.”一文中对最大似然估计算法(Maximum Likelihood Estimate，MLE)和Stansfield算法性能进行了分析对比，指出Stansfield算法是有偏估计，最大似然估计算法优于Stansfield算法。Nardone等人在文献“Nardone S.C.，Lindgren A.G.，Gong K.F.Fundamental properties and performance ofconventional bearings-only target motion analysis.IEEE Trans.on AutomaticControl，1984，29(9)：775-787.”中针对伪线性估计(Pseudolinear Estimate，PLE)、修正辅助变量估计(Modified-Instrumental Variable estimate，MIV)和最大似然估计算法进行了分析对比。作者Dogangay等人在文献“DogangayK.，Ibal G.Instrumental variable estimator for 3D bearings-only emitterlocalization.In Proceedings of the 2nd International Conference on IntelligentSensors，Sensor Networks and Information Processing(ISSNIP)，Melbourne，Australia，2005，63-68.”中提出了一种基于辅助变量估计算法(InstrumentalVariable Estimate，IVE)的加权辅助变量估计算法(Weighted InstrumentalVariable estimate，WIV)，该算法和最大似然估计算法性能相近，比正交向量估计算法(Orthogonal Vector Estimate，OVE)和伪线性估计算法性能好。在这些算法中，最大似然估计算法性能最好，然而该算法需要给出目标位置初值，如果给定的初值误差较大或计算过程中出现奇异矩阵，使得某些矩阵的逆矩阵不存在，算法就会发散。此时，不能获得有效的目标定位结果。为了能够获得不需要设定目标位置初值的目标定位算法，Bishop等人在文献“Bishop A.N.，Anderson B.D.O.，Fidan B.，Pathirana P.N.，Mao G.Q.Bearing-only localization using geometrically constrained optimization，IEEETrans.on Aerospace and Electronic Systems，2009，45(1)：308-320.”中提出了一种基于多被动传感器几何约束的估计算法，算法误差性能介于加权辅助变量估计和最大似然估计算法之间。然而，该算法时间复杂度很高，而且算法精度在现有算法中也不是最好的。陈金广等人在“陈金广，李洁，高新波.改进的基于几何约束的加权被动定位算法.光电工程，2010，37(2)：16-21.”一文中利用各传感器测量误差对上述算法进行了改进，在一定程度上提高了定位精度，然而定位结果仍然比最大似然定位算法结果要差。此外，陈金广等人在随后的文章“陈金广，李洁，高新波.基于最小化量测误差的被动定位算法.西安电子科技大学学报，2010，37(3)447-453.”中基于最小化量测误差准则提出了一种和Bishop结果性能类似的目标定位算法，存在的问题与Bishop的算法类似。因此，对不需要设定目标初始值的精确定位算法的研究很有必要。从上文分析已知，现有的目标定位算法中存在的问题是，无需设定目标初值和目标定位精度不高两者不能兼得。

本发明方法在最大似然定位算法(MLE)的基础上，提出了一种无需设定目标初值即可进行定位的方法，该算法能够取得和最大似然定位算法相同的定位精度。从而具有较高的目标定位精度和无需设定目标初值两个优点。

发明内容

本发明的目的是提供一种基于最大似然估计的目标被动定位方法，解决了现有目标被动定位方法无需设定目标初值和目标定位精度不高两者不能兼得的缺点。

本发明所采用的技术方案是，一种基于最大似然估计的目标被动目标定位方法，具体按照以下步骤实施：

步骤1：假设在三维空间中，p表示目标的位置，有3个被动传感器对目标位置进行测量，传感器的位置是s_k，k＝1，2，3，下标k表示传感器的编号，被动传感器获得目标的角度测量信息，即：偏转角θ_k和俯仰角φ_k，根据几何和三角关系，有如下关系：

${\mathrm{\θ}}_k={\tan }^{-1}\frac{s_y\left(k\right)}{s_x\left(k\right)},$

${\mathrm{\φ}}_k={\sin }^{-1}\frac{s_z\left(k\right)}{\left|\right|s_k\left|\right|},$

$s_k=\left|\right|s_k\left|\right|\left[\begin{array}{c}\cos {\mathrm{\φ}}_k\cos {\mathrm{\θ}}_k\\ \cos {\mathrm{\φ}}_k\sin {\mathrm{\θ}}_k\\ \sin {\mathrm{\φ}}_k\end{array}\right],$

采用高斯分布类描述测量误差，真值(θ_k，φ_k)和测量值

之间的关系描述为：

${\widetilde{\mathrm{\θ}}}_k={\mathrm{\θ}}_k+w_k,$

${\widetilde{\mathrm{\φ}}}_k={\mathrm{\φ}}_k+n_k,$

其中w_k和n_k表示量测噪声，其方差分别为

和

步骤2：根据步骤1得到的测量值对目标位置进行初始估计；

步骤3：根据步骤2得到的初始估计结果，采用最大似然算法对目标位置进行精确估计，得到目标在三维空间中的定位结果

本发明的特点还在于，

其中的步骤2对目标位置进行初始估计，具体按照以下步骤实施：

a：首先考虑二维空间中的被动定位情况，计算目标初始位置估计，利用最小二乘法有：

${\hat{p}}_{\mathrm{xy}}={\left(A_1^T{A}_1\right)}^{-1}{A}_1^T{b}_1,$

其中： $A_1=\left[\begin{array}{cc}\sin {\widetilde{\mathrm{\θ}}}_1& -\cos {\widetilde{\mathrm{\θ}}}_1\\ .& .\\ .& .\\ .& .\\ \sin {\widetilde{\mathrm{\θ}}}_N& -\cos {\widetilde{\mathrm{\θ}}}_N\end{array}\right],$ $b_1=\left[\begin{array}{c}[\sin {\widetilde{\mathrm{\θ}}}_1,-\cos {\widetilde{\mathrm{\θ}}}_1]s_{\mathrm{xy}}\left(1\right)\\ .\\ .\\ .\\ [\sin {\widetilde{\mathrm{\θ}}}_N,-\cos {\widetilde{\mathrm{\θ}}}_N]s_{\mathrm{xy}}\left(N\right)\end{array}\right],$ s_xy(k)表示第k个传感器在二维空间中的x轴和y轴坐标位置所组成的列向量；

b：计算辅助变量G₁，借助式

中的目标位置计算角度估计量，即：

${\widehat{\mathrm{\θ}}}_k={\tan }^{-1}\frac{{\hat{p}}_y-s_y\left(k\right)}{{\hat{p}}_x-s_x\left(k\right)},k=1,...,N,$

其中：

表示目标初始估计值的x坐标值，

表示目标初始估计值的y坐标值，s_x(k)表示第k个传感器在二维空间中的x轴坐标位置，s_y(k)表示第k个传感器在二维空间中的y轴坐标位置，则构造的辅助变量矩阵为：

$G_1=\left[\begin{array}{c}{g}_1^T\\ .\\ .\\ .\\ g_N^T\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\sin {\widehat{\mathrm{\θ}}}_1& -\cos {\widehat{\mathrm{\θ}}}_1\\ .& .\\ .& .\\ .& .\\ {\sin \widehat{\mathrm{\θ}}}_N& -\cos {\widehat{\mathrm{\θ}}}_N\end{array}\right];$

c：构造二维空间中新的目标位置估计公式，将

写为：

$A_1^T{A}_1{\hat{p}}_{\mathrm{xy}}=A_1^T{b}_1,$

根据辅助变量方法，上式改写为：

$G_1^T{A}_1{\hat{p}}_{\mathrm{xy}}=G_1^T{b}_1,$

其中G₁是辅助变量矩阵，把一个权值矩阵引入上式中，修改后的公式为：

${\hat{p}}_{\mathrm{xy}}={\left(G_1^T{W}^{-1}{A}_1\right)}^{-1}{G}_1^T{W}^{-1}{b}_1,$

其中：

且

表示传感器到目标之间的距离；

d：估计目标在三维空间中z坐标值，在三维空间中，目标在z坐标中的值通过下式计算：

${\hat{p}}_z=\frac{1}{N}\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(s_z\left(k\right)+||{\hat{p}}_{\mathrm{xy}}-s_{\mathrm{xy}}\left(k\right)|\left|\tan {\widetilde{\mathrm{\φ}}}_k\right).$

其中的步骤3对目标位置进行精确估计，具体按照以下步骤实施：

a：构造基于最大似然准则的被动定位目标函数，根据被动定位算法中最优的最大似然估计方法，目标位置通过最大化角度测量值

的联合概率密度函数来获得，如果给定：

$e\left(p\right)={[{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_1-{\mathrm{\θ}}_1\left(p\right),...,{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_N-{\mathrm{\θ}}_N\left(p\right),{\widetilde{\mathrm{\φ}}}_1-{\mathrm{\φ}}_1\left(p\right),...,{\widetilde{\mathrm{\φ}}}_N-{\mathrm{\φ}}_N\left(p\right)]}^T,$

$K=\mathrm{diag}\left(\right[{\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\θ}}_1}^2,...,{\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\θ}}_N}^2,{\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\φ}}_1}^2,...,{\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\φ}}_N}^2\left]\right),$

其中：

表示第k个传感器的偏转角测量值；θ_k(p)表示第k个传感器与目标之间的偏转角真值；

表示第k个传感器的俯仰角测量值；φ_k(p)表示第k个传感器与目标之间的俯仰角真值；

表示第k个传感器的偏转角测量方差；

表示第k个传感器的俯仰角测量方差，则构造目标函数为：

$\underset{p}{\arg \min }{e}^T\left(p\right)K^{-1}e\left(p\right),$

b：迭代优化，获得估计结果，通过高斯-牛顿法求解，迭代公式为：

${\hat{p}}_{i+1}={\hat{p}}_i-{\left(J_i^T{K}^{-1}{J}_i\right)}^{-1}{J}_i^T{K}^{-1}e\left({\hat{p}}_i\right),i=\mathrm{0,1},...,$

其中J_i是e(p)关于变量p在点

处的一个2N×3的Jacobian矩阵，其计算过程如下：

$J_i=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\sin {\mathrm{\θ}}_1\left({\hat{p}}_i\right)}{{\hat{d}}_{i1}}& \frac{-\cos {\mathrm{\θ}}_1\left({\hat{p}}_i\right)}{{\hat{d}}_{i1}}& 0\\ .& .& .\\ .& .& .\\ .& .& .\\ \frac{\sin {\mathrm{\θ}}_N\left({\hat{p}}_i\right)}{{\hat{d}}_{\mathrm{iN}}}& \frac{-\cos {\mathrm{\θ}}_N\left({\hat{p}}_i\right)}{{\hat{d}}_{\mathrm{iN}}}& 0\\ \frac{{\mathrm{sc}}_1\left({\hat{p}}_i\right)}{\left|\right|{\hat{p}}_i-s_1\left|\right|}& \frac{{\mathrm{ss}}_1\left({\hat{p}}_i\right)}{\left|\right|{\hat{p}}_i-s_1\left|\right|}& \frac{-{\cos }^2{\mathrm{\φ}}_1\left({\hat{p}}_i\right)}{{\hat{d}}_{i1}}\\ .& .& .\\ .& .& .\\ .& .& .\\ \frac{{\mathrm{sc}}_N\left({\hat{p}}_i\right)}{\left|\right|{\hat{p}}_i-s_N\left|\right|}& \frac{{\mathrm{ss}}_N\left({\hat{p}}_i\right)}{\left|\right|{\hat{p}}_i-s_N\left|\right|}& \frac{-{\cos }^2{\mathrm{\φ}}_N\left({\hat{p}}_i\right)}{{\hat{d}}_{\mathrm{iN}}}\end{array}\right],$

其中： ${\hat{d}}_{\mathrm{ik}}=\left|\right|{\hat{p}}_i(1:2)-s_{\mathrm{xy}}\left(k\right)\left|\right|,$ ${\mathrm{sc}}_k\left({\hat{p}}_i\right)=\sin \left({\mathrm{\φ}}_k\left({\hat{p}}_i\right)\right)\cos \left({\mathrm{\θ}}_k\left({\hat{p}}_i\right)\right),$

该优化是一个迭代过程，当相邻迭代结果的差值小于某个预先设定好的阈值时，即停止，此时得到了三维空间中的目标定位结果p_i+1，即：目标在三维空间中的定位结果

本发明的有益效果是：不需要目标初始位置，且定位结果的精度和传统的最大似然被动方法相同。

具体实施方式

下面结合具体实施方式对本发明进行详细说明。

假设在三维空间中，p表示目标的位置，有3个被动传感器对目标位置进行测量，传感器的位置是s_k，k＝1，2，3，下标k表示传感器的编号。被动传感器获得了目标的角度测量信息，即：偏转角θ_k和俯仰角φ_k。(注：在被动定位算法中，通常研究3个传感器的情形，因为其他情况可以由此结果方便的导出。)根据几何和三角关系，有如下关系：

${\mathrm{\θ}}_k={\tan }^{-1}\frac{s_y\left(k\right)}{s_x\left(k\right)}---\left(1\right)$

${\mathrm{\φ}}_k={\sin }^{-1}\frac{s_z\left(k\right)}{\left|\right|s_k\left|\right|}---\left(2\right)$

$s_k=\left|\right|s_k\left|\right|\left[\begin{array}{c}\cos {\mathrm{\φ}}_k\cos {\mathrm{\θ}}_k\\ \cos {\mathrm{\φ}}_k\sin {\mathrm{\θ}}_k\\ \sin {\mathrm{\φ}}_k\end{array}\right]---\left(3\right)$

由于存在测量误差和环境干扰，测量值总是不精确的。在研究过程中，一般采用高斯分布类描述测量误差。真值(θ_k，φ_k)和测量值

之间的关系可描述为

${\widetilde{\mathrm{\θ}}}_k={\mathrm{\θ}}_k+w_k---\left(4\right)$

${\widetilde{\mathrm{\φ}}}_k={\mathrm{\φ}}_k+n_k---\left(5\right)$

其中w_k和n_k表示量测噪声，他们服从高斯分布，其方差分别为

和

本发明基于最大似然估计的目标被动定位方法，首先根据测量值对目标位置进行初始估计，然后再利用最大似然算法进行精确估计。这样做一方面可以获得和最大似然被动定位算法相同的定位精度，另一方面可以避免定位初值的盲目选取。具体按照以下步骤实施：

a：首先考虑二维空间中的被动定位情况，计算目标初始位置估计。利用最小二乘法有

${\hat{p}}_{\mathrm{xy}}={\left(A_1^T{A}_1\right)}^{-1}{A}_1^T{b}_1---\left(6\right)$

其中： $A_1=\left[\begin{array}{cc}\sin {\widetilde{\mathrm{\θ}}}_1& -\cos {\widetilde{\mathrm{\θ}}}_1\\ .& .\\ .& .\\ .& .\\ \sin {\widetilde{\mathrm{\θ}}}_N& -\cos {\widetilde{\mathrm{\θ}}}_N\end{array}\right],$ $b_1=\left[\begin{array}{c}[\sin {\widetilde{\mathrm{\θ}}}_1,-\cos {\widetilde{\mathrm{\θ}}}_1]s_{\mathrm{xy}}\left(1\right)\\ .\\ .\\ .\\ [\sin {\widetilde{\mathrm{\θ}}}_N,-\cos {\widetilde{\mathrm{\θ}}}_N]s_{\mathrm{xy}}\left(N\right)\end{array}\right].$ 式中定义如(4)所示，s_xy(k)表示第k个传感器在二维空间中的x轴和y轴坐标位置所组成的列向量。

b：计算辅助变量G₁。借助式(6)中的目标位置计算角度估计量，即

${\widehat{\mathrm{\θ}}}_k={\tan }^{-1}\frac{{\hat{p}}_y-s_y\left(k\right)}{{\hat{p}}_x-s_x\left(k\right)},k=1,...,N---\left(7\right)$

其中：表示目标初始估计值的x坐标值，

表示目标初始估计值的y坐标值，s_x(k)表示第k个传感器在二维空间中的x轴坐标位置，s_y(k)表示第k个传感器在二维空间中的y轴坐标位置。则构造的辅助变量矩阵为

$G_1=\left[\begin{array}{c}{g}_1^T\\ .\\ .\\ .\\ g_N^T\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\sin {\widehat{\mathrm{\θ}}}_1& -\cos {\widehat{\mathrm{\θ}}}_1\\ .& .\\ .& .\\ .& .\\ {\sin \widehat{\mathrm{\θ}}}_N& -\cos {\widehat{\mathrm{\θ}}}_N\end{array}\right]---\left(8\right)$

c：构造二维空间中新的目标位置估计公式。由于公式(6)能被写为

$A_1^T{A}_1{\hat{p}}_{\mathrm{xy}}=A_1^T{b}_1---\left(9\right)$

根据辅助变量方法，上式可改写为

$G_1^T{A}_1{\hat{p}}_{\mathrm{xy}}=G_1^T{b}_1---\left(10\right)$

其中G₁是辅助变量矩阵。此时把一个权值矩阵引入式(10)中，修改后的公式为

${\hat{p}}_{\mathrm{xy}}={\left(G_1^T{W}^{-1}{A}_1\right)}^{-1}{G}_1^T{W}^{-1}{b}_1---\left(11\right)$

其中：

且

表示传感器到目标之间的距离。

d：估计目标在三维空间中z坐标值。在三维空间中，目标在z坐标中的值可通过下式计算

${\hat{p}}_z=\frac{1}{N}\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(s_z\left(k\right)+||{\hat{p}}_{\mathrm{xy}}-s_{\mathrm{xy}}\left(k\right)|\left|\tan {\widetilde{\mathrm{\φ}}}_k\right)---\left(12\right)$

e：构造基于最大似然准则的被动定位目标函数。根据被动定位算法中最优的最大似然估计方法，目标位置可以通过最大化角度测量值的联合概率密度函数来获得。如果给定

$e\left(p\right)={[{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_1-{\mathrm{\θ}}_1\left(p\right),...,{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_N-{\mathrm{\θ}}_N\left(p\right),{\widetilde{\mathrm{\φ}}}_1-{\mathrm{\φ}}_1\left(p\right),...,{\widetilde{\mathrm{\φ}}}_N-{\mathrm{\φ}}_N\left(p\right)]}^T---\left(13\right)$

$K=\mathrm{diag}\left(\right[{\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\θ}}_1}^2,...,{\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\θ}}_N}^2,{\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\φ}}_1}^2,...,{\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\φ}}_N}^2\left]\right)---\left(14\right)$

其中：

表示第k个传感器的偏转角测量值；θ_k(p)表示第k个传感器与目标之间的偏转角真值；

表示第k个传感器的俯仰角测量值；φ_k(p)表示第k个传感器与目标之间的俯仰角真值；表示第k个传感器的偏转角测量方差；表示第k个传感器的俯仰角测量方差。则可构造目标函数为

$\underset{p}{\arg \min }{e}^T\left(p\right)K^{-1}e\left(p\right)---\left(15\right)$

f：迭代优化，获得估计结果。通过高斯-牛顿法解决式(15)，迭代公式为

${\hat{p}}_{i+1}={\hat{p}}_i-{\left(J_i^T{K}^{-1}{J}_i\right)}^{-1}{J}_i^T{K}^{-1}e\left({\hat{p}}_i\right),i=\mathrm{0,1},...---\left(16\right)$

其中J_i是e(p)关于变量p在点

处的一个2N×3的Jacobian矩阵，其计算过程如下：

$J_i=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\sin {\mathrm{\θ}}_1\left({\hat{p}}_i\right)}{{\hat{d}}_{i1}}& \frac{-\cos {\mathrm{\θ}}_1\left({\hat{p}}_i\right)}{{\hat{d}}_{i1}}& 0\\ .& .& .\\ .& .& .\\ .& .& .\\ \frac{\sin {\mathrm{\θ}}_N\left({\hat{p}}_i\right)}{{\hat{d}}_{\mathrm{iN}}}& \frac{-\cos {\mathrm{\θ}}_N\left({\hat{p}}_i\right)}{{\hat{d}}_{\mathrm{iN}}}& 0\\ \frac{{\mathrm{sc}}_1\left({\hat{p}}_i\right)}{\left|\right|{\hat{p}}_i-s_1\left|\right|}& \frac{{\mathrm{ss}}_1\left({\hat{p}}_i\right)}{\left|\right|{\hat{p}}_i-s_1\left|\right|}& \frac{-{\cos }^2{\mathrm{\φ}}_1\left({\hat{p}}_i\right)}{{\hat{d}}_{i1}}\\ .& .& .\\ .& .& .\\ .& .& .\\ \frac{{\mathrm{sc}}_N\left({\hat{p}}_i\right)}{\left|\right|{\hat{p}}_i-s_N\left|\right|}& \frac{{\mathrm{ss}}_N\left({\hat{p}}_i\right)}{\left|\right|{\hat{p}}_i-s_N\left|\right|}& \frac{-{\cos }^2{\mathrm{\φ}}_N\left({\hat{p}}_i\right)}{{\hat{d}}_{\mathrm{iN}}}\end{array}\right]---\left(17\right)$

其中： ${\hat{d}}_{\mathrm{ik}}=\left|\right|{\hat{p}}_i(1:2)-s_{\mathrm{xy}}\left(k\right)\left|\right|,$ ${\mathrm{sc}}_k\left({\hat{p}}_i\right)=\sin \left({\mathrm{\φ}}_k\left({\hat{p}}_i\right)\right)\cos \left({\mathrm{\θ}}_k\left({\hat{p}}_i\right)\right),$

该优化是一个迭代过程，当相邻迭代结果的差值小于某个预先设定好的阈值时，即可停止。此时得到了三维空间中的目标定位结果p_i+1，即：目标在三维空间中的定位结果

以下通过仿真实验验证本发明方法的有效性和实用性。

采用对比实验的形式，在二维空间中和三维空间中分别选择具有代表性目标定位场景，使用蒙特卡罗方法对上述代表性算法进行仿真，以验证本发明的有效性。具体的仿真条件详见每个实验的描述。

实验一二维空间中的目标定位算法性能对比

假定二维空间中有三个被动传感器对一个目标进行定位。传感器的位置分别是(0，0)，(100，30)和(250，0)目标的位置为(100，100)。传感器对目标分别进行100次随机测量。下面分别采用PLE、WIV和GCLS以及本发明方法分别对目标位置进行估计，并计算相应的均方根误差(RMS)。RMS的计算公式为：

$\sqrt{\frac{1}{M}\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}({({\hat{p}}_x^i-p_x)}^2+{({\hat{p}}_y^i-p_y)}^2)}---\left(18\right)$

其中

表示使用第i次测量值时目标的估计位置，M表示整个观测次数。

考虑到传感器量测误差的不同会导致定位结果的不同。为了较全面的考察本发明方法的目标定位效果，给出了各个传感器测量误差不同情况下的组合，如表1所示。在表1中，给出了三个传感器偏转角的标准差组合后的6组情况。第1组表示三个标准差都较小且相等；第2组表示三个标准差都较大且不一定全部相等；第3组表示两个较大的标准差和一个较小的标准差组合；第4组表示两个较大的标准差和一个很小的标准差组合；第5组表示两个较小的标准差和一个较大的标准差组合；第6组表示三个标准差都较小。采用这些不同的组合进行仿真，计算出的均方根(RMS)结果如表2所示。

结果表明GCLS方法能够获得比PLE和WIV更低的误差，但是其误差却没有本发明方法低。本发明方法取得了最低的均方根误差，即定位精度较好。

由于使用传统MLE方法时，必须首先给定目标的初始位置。在仿真过程中，假定目标的初始位置(x₀，y₀)服从多元高斯分布，即

${(p_{x_0},p_{y_0})}^T~N({(p_x,p_y)}^T,\mathrm{diag}\left(\right[{\mathrm{\σ}}_x^2,{\mathrm{\σ}}_y^2\left]\right)),---\left(19\right)$

其中σ_x和σ_y是设定的目标位置初值和真实值之间的标准差，(p_x，p_y)表示目标真实位置。方便起见，令σ_x＝σ_y＝σ_z。使用不同的目标位置初始值的实验仿真结果如表3所示。本发明方法的优越性显而易见。当测量标准差不断增大时，传统最大似然估计方法目标定位结果出现发散，而使用本发明方法因为不必使用目标初值，因而也不会出现结果发散的现象。

为了评估各种方法的计算复杂度，对各种方法的运行时间进行统计求平均，并将结果汇总如表4所示。从表4中，可以看出，GCLS方法的运行时间最长，本发明方法的时间比其他几种稍长一些，但是却比GCLS方法低许多。

表1二维空间中传感器的角度测量标准差设置(单位：度)

表2三维空间中不同角度标准差组合下的被动定位均方根误差

表3二维空间中各种算法使用不同目标初始位置引起的结果发散比例(％)

表4各类方法运行时间(单位：秒)

实验二三维空间中各种算法的性能分析

在三维空间中，假定传感器的位置为(0，0，0)、(100，0，0)、(200，200，0)，目标的位置为(250，250，100)。对目标重复观测100次，使用不同算法对目标位置进行估计。估计的均方根误差(RMS)定义如下：

$\sqrt{\frac{1}{M}\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}({({\hat{p}}_x^i-p_x)}^2+{({\hat{p}}_y^i-p_y)}^2+{({\hat{p}}_z^i-p_z)}^2)},---\left(20\right)$

其中表示第i次测量中估计得到的位置结果，M表示整个观测次数。

同样设定了6组标准差的组合情况，如表5所示。与表1类似，不同的组代表不同的测量标准差的组合。各种方法均采用上述各种组合进行评估。相应的RMS结果给出如表6所示。结果表明，最近的方法GCLS估计性能比PLE和WIV略好，但是比本发明的方法要差。实际上，本发明的方法能够取得和最优的最大似然估计方法相类似的误差性能。

与在二维空间中的仿真情况类似，为了使用传统的最大似然方法，需要设定目标位置初值，该初值通过如下的多元高斯分布产生

${(p_{x_0},p_{y_0},p_{z_0})}^T~N({(p_x,p_y,p_z)}^T,\mathrm{diag}\left(\right[{\mathrm{\σ}}_x^2,{\mathrm{\σ}}_y^2,{\mathrm{\σ}}_z^2\left]\right))---\left(21\right)$

其中σ_x、σ_y和σ_z是设定的初始位置与真实位置之间的标准差，表示两者的偏离程度，(p_x，p_y，p_z)表示目标的真实位置。方便起见，令σ_x＝σ_y＝σ_z。使用不同的目标位置初始值运行传统的最大似然估计定位方法和本发明方法，结果如表7所示。结果数据表明本发明方法在仿真中结果不会发散，但是传统的最大似然估计定位方法在目标位置初值偏差过大时会出现发散的情况。

为了验证本算法的时间复杂度，计算平均运行时间，结果如表8所示。易知，尽管GCLS不需要设定目标位置初值，但是需要巨大的时间复杂度，而且其定位精度也并不是最好的。而本发明方法所需时间尽管比PLE和WIV稍大一些，但是比GCLS低得多。这一结论与二维空间下的仿真结果的结论一致。

表5三维空间中传感器的角度测量标准差设置(单位：度)

表6三维空间中不同角度标准差组合下的被动定位均方根误差

表7三维空间中各种算法使用不同目标初始位置引起的结果发散比例(％)

表8各类方法运行时间(单位：秒)

Claims (1)

1.一种基于最大似然估计的目标被动定位方法，其特征在于，具体按照以下步骤实施： 

步骤1：假设在三维空间中，p表示目标的位置，有3个被动传感器对目标位置进行测量，传感器的位置是s_k,k＝1,2,3，下标k表示传感器的编号，被动传感器获得目标的角度测量信息，即：偏转角θ_k和俯仰角φ_k，根据几何和三角关系，有如下关系： 

采用高斯分布类描述测量误差，真值(θ_k,φ_k)和测量值

之间的关系描述为： 

其中w_k和n_k表示量测噪声，其方差分别为

和

步骤2：根据步骤1得到的测量值对目标位置进行初始估计： 

a：首先考虑二维空间中的被动定位情况，计算目标初始位置估计,利用最小二乘法有： 

其中：

s_xy(k)表示第k个传感器在二维空间中的x轴和y轴坐标位置所组成的列向量； 

b：计算辅助变量G₁，借助式

中的目标位置计算角度估计量，即： 

其中：

表示目标初始估计值的x坐标值，

表示目标初始估计值的y坐标值，s_x(k)表示第k个传感器在二维空间中的x轴坐标位置，s_y(k)表示第k个传感器在二维空间中的y轴坐标位置，则构造的辅助变量矩阵为： 

c：构造二维空间中新的目标位置估计公式，将

写为： 

根据辅助变量方法，上式改写为： 

其中G₁是辅助变量矩阵，把一个权值矩阵引入上式中，修改后的公式为： 

其中：

且

表示传感器到目标之间的距离； 

d：估计目标在三维空间中z坐标值，在三维空间中，目标在z坐标中的值通过下式计算： 

步骤3：根据步骤2得到的初始估计结果，采用最大似然算法对目标位置进行精确估计，得到目标在三维空间中的定位结果 

a：构造基于最大似然准则的被动定位目标函数，根据被动定位算法中最优的最大似然估计方法，目标位置通过最大化角度测量值 

的联合概率密度函数来获得，如果给定： 

其中：

表示第k个传感器的偏转角测量值；θ_k(p)表示第k个传感器与目标之间的偏转角真值；表示第k个传感器的俯仰角测量值；φ_k(p)表示第k个传感器与目标之间的俯仰角真值；

表示第k个传感器的偏转角测量方差；

表示第k个传感器的俯仰角测量方差，则构造目标函数为： 

b：迭代优化，获得估计结果，通过高斯－牛顿法求解，迭代公式为： 

i=0,1,..., 

其中J_i是e(p)关于变量p在点

处的一个2N×3的Jacobian矩阵，其计算过程如下： 

其中：

该优化是一个迭代过程，当相邻迭代结果的差值小于某个预先设定好的阈值时，即停止，此时得到了三维空间中的目标定位结果p_i+1，即：目标在三维空间中的定位结果