CN102355434B - 混沌与最速下降法联合优化的正交小波常数模盲均衡方法 - Google Patents

Abstract

本发明公布了一种混沌与最速下降法联合优化的正交小波常数模盲均衡方法，包括如下步骤：将发射信号a(n)经过脉冲响应信道c(n)得到信道输出向量x(n)；采用信道噪声w(n)和信道输出向量x(n)得到正交小波变换器(WT)的输入信号y(n)；将y(n)经过正交小波变换器(WT)后，得均衡器输入为R(n)，均衡器输出为z(n)；采用一小段初始收据，将混沌优化算法与最速下降法结合，对权向量进行优化，可使优化后的权向量跳出局部最优点，接近全局最优点；利用正交小波变换良好的去相关性，对均衡器的输入信号进行预处理，降低了输入信号的自相关性，加快了收敛速度。水声信道的仿真结果表明，基于混沌优化的正交小波盲均衡方法有较快的收敛速度和收敛精度、较小的剩余误差。

Description

混沌与最速下降法联合优化的正交小波常数模盲均衡方法

技术领域

本发明涉及一种混沌与最速下降法联合优化的正交小波常数模盲均衡方法。

背景技术

在现代水声通信中，带宽受限和多径传播导致的码间干扰(ISI)使传输信号发生畸变，并在接收端产生误码，影响到通信系统的质量。为了抑制码间干扰，通常采用不需要训练序列的盲均衡算法。在各种盲均衡算法中，常数模算法(Constant Modulus Algorithm，CMA)，由于结构简单、计算量小、稳定性好，能够适应一般的数字通信系统，广泛的应用于多种数字传输系统(见文献[1]AbrarS；Nandi AK.An adaptive constant modulus blind equalization algorithm and itsstochastic stability analysis[J].IEEE Transaction on Digital Object Identifier，2010，17(1)：55-58)。但CMA收敛速度慢、均方误差较大，且均衡器的权向量容易随着初始化的不同，会收敛到不同的极小值点(见文献[2]李金明，赵俊渭，陆晶.支持向量机初始化的常数模盲均衡算法仿真[J]，计算机仿真，2008，25(1)：84-87)。

利用正交小波的去相关性，对均衡器输入信号进行预处理，降低了输入信号的自相关性，加快了权向量的收敛速度(见文献[3]Linfoot S L.Wavelet familiesfor orthogonal wavelet division multiplex[J].IEEE Transaction on Digital ObjectIdentifier，2008，44(18)：1101-1102)。文献[4]～[8](见：文献[4]Deng Jiu-ying，MaiZong-yuan，Jiang Yong-sheng.An algorithm of function optimization based onchaostic attractor[C].IEEE international conference on Digital ObjectIdentifier，2007，547-560；文献[5]Zhu Zhi-yu，Zhang Bing.Data Associate based onchaotic optimization adaptive genetic algorithm[C]，IEEE conference on DigitalObject Identifier，2006，volume2，1804-1808；文献[6]陈双，郭建勤.混沌优化算法在组合优化问题中的应用[J].现代电子技术，2008，31(18)：68-70；文献[7]GuoLli-hua，Tang Wen-cheng，Zhan Chun-hua.A new hybrid global optimizationalgorithm based on chaos search and complex method[C].IEEE InternationalConference on Computer Modeling and Simulation.2010，3：233-237；[8]FeiXiang，Shui-sheng Qiu.Analysis on stability of binary chaotic pseudorandomsequence[J]，IEEE Transaction on Digital Object Identifier，2008，12(5)：337-339)表明混沌优化算法的搜索过程按混沌运动自身的规律和特性进行、内在的随机性和遍历性进行高效全局寻优的特点，将其与最速下降法结合对均衡器的权向量进行优化，使优化后权向量的值位于最优点的邻域范围内。

发明内容

本发明目的是为了克服CMA的收敛速度慢、均方误差较大及对权向量的初始化的敏感性的缺陷，提出了一种混沌与最速下降法联合优化的正交小波常数模盲均衡方法。该方法通过对均衡器的接收信号进行归一化的正交小波变换，以降低输入信号的相关性，加快收敛速度；针对CMA的局部收敛问题，利用混沌优化的搜索过程按混沌运动自身的规律和特性进行、内在的随机性和遍历性进行高效全局寻优的特点，将其与最速下降法结合对均衡器的权向量进行优化，使优化后权向量的值位于最优点的邻域范围内，再切换至正交小波常数模盲均衡方法，利用该方法对权向量进行更新，最终使权向量收敛至全局最优解。

本发明为实现上述目的，采用如下技术方案：

本发明混沌与最速下降法联合优化的正交小波常数模盲均衡方法，包括如下步骤：

a.)将发射信号a(n)经过脉冲响应信道c(n)得到信道输出向量x(n)，其中n为时间序列，下同；

b.)采用信道噪声w(n)和步骤a所述的信道输出向量x(n)得到正交小波变换器(WT)的输入信号y(n)：y(n)＝w(n)+x(n)；

c.)将步骤b所述的正交小波变换器(WT)的输入信号y(n)经过正交小波变换后，则均衡器输入信号R(n)：

R(n)＝Qy(n)                    (1)

式中，Q为正交变换矩阵，均衡器输出为：

z(n)＝f^H(n)R(n)                (2)

误差函数e(n)为

e(n)＝|z(n)|²-R_cma             (3)

式中，R_cma为小波CMA的模，且

R_cma＝E{|a(n)|⁴}/E{|a(n)|²}    (4)

代价函数J为

J_f(n)＝E[e²(n)]            (5)

由最速下降法，得到均衡器权向量的迭代公式为

$f(n+1)=f\left(n\right)-\mathrm{\μ}{\hat{R}}^{-1}\left(n\right)z\left(n\right)[{\left|z\left(n\right)\right|}^2-R_{\mathrm{cma}}]R^{*}\left(n\right)---\left(6\right)$

式中，μ为步长因子， ${\hat{R}}^{-1}\left(n\right)=\mathrm{diag}[{\mathrm{\σ}}_{l,0}^2\left(n\right),{\mathrm{\σ}}_{l,1}^2\left(n\right),\mathrm{\Λ}{\mathrm{\σ}}_{{l,k}_L}^2\left(n\right),{\mathrm{\σ}}_{L+\mathrm{1,0}}^2\left(n\right),\mathrm{\Λ}{\mathrm{\σ}}_{{L+1,k}_L}^2\left(n\right)],$ 为正交小波功率归一化矩阵。其中，diag[ ]表示对角矩阵，“*”表示共轭，

和分别表示对小波系数r_l，k和尺度系数s_L，k的平均功率估计，r_l，k(n)表示小波空间l层分解的第k个信号，s_L，k(n)表示尺度空间中最大分解层数L时的第k个信号，可由下式递推得到

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\σ}}_{l,k}^2(n+1)={\mathrm{\β\σ}}_{l,k}^2\left(n\right)+(1-\mathrm{\β}){\left|r_{l,k}\left(n\right)\right|}^2\\ {\mathrm{\σ}}_{L+1,k}^2(n+1)={\mathrm{\β\σ}}_{L,k}^2\left(n\right)+(1-\mathrm{\β}){\left|x_{L,k}\left(n\right)\right|}^2\end{array}\right.---\left(7\right)$

式中，β为平滑因子，且0＜β＜1。；

其特征在于：

将混沌优化算法与最速下降法结合，利用均衡器接收的一小段数据进行权向量初始化：

令α＝[1，2，Λ m]，采用16QAM时，m＝16，则η＝16QAM(α)，即η表示对α正交幅度调制后的输出信号。根据式(6)，令经过M₁次最速下降法迭代优化后的权向量为f^*1，均衡器的权长为L，n的取值范围为1ΛN，则

R(n)＝Qy(n+L-1：-1：n)          (8)

z(n)＝f^H(n)R(n)                 (9)

调制误差e(n)为

e(n)＝min[|z(n)-η|²]           (10)

式中，min( )表示函数最小化。

定义平均调制误差

$\mathrm{AME}\left(k\right)=\frac{1}{N}\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\left\{\min \right[{|z_k\left(n\right)-\mathrm{\η}|}^2\left]\right\}---\left(11\right)$

式中，z_k(n)表示第k次混沌优化时均衡器的输出信号z(n)，AME(k)表示第k次混沌优化的平均调制误差。

为提高权向量的收敛精度，将权向量的实部和虚部分别作为优化变量进行优化，权向量的复数形式可表示为f_i(n)＝f_i1(n)+jf_i2(n)，“j”为虚数虚单位，其中

f_i1＝c_i+d_ix_i1(n)          (12)

f_i2＝c_i+d_ix_i2(n)          (13)

式中，f_i(n)表示权向量f中的第i个元素，c_i，d_i为常数，x_i1(n)和x_i2(n)分别为第i个权向量的实部和虚部所对应的混沌变量。

利用式(12)、式(13)对式(9)中的权向量f的实部和虚部分别进行M₂次迭代，每次迭代的过程中调制误差都随着权向量的不同而发生改变，除去e(n)中的最大值和最小值，式(11)修正为

$\mathrm{AME}\left(k\right)=\frac{1}{N-2}\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\left\{\min \right[{|z_k\left(n\right)-\mathrm{\η}|}^2\left]\right\}---\left(14\right)$

将混沌优化过程中AME(k)的最小值赋给J^*2，所对应的权向量为f^*2，J^*2为混沌优化过程中的代价函数值。优化后切换至正交小波常数模盲均衡方法的切换条件是：

J^*2(i-1)-J^*2(i)＜ζ       (15)

式中，ζ为一正数，J^*2(i)表示在第i次的混合优化过程中，经过M₂次混沌优化后得到的J^*2，i的取值范围为1ΛM₃。在优化过程中若满足式(15)，切换到正交小波常数模盲均衡方法，若不满足此条件，则在进行M₃次混合优化后，切换到正交小波常数模盲均衡方法。

传统的常数模方法(CMA)存在收敛速度慢、均方误差较大、不同位置的权向量初始化会收敛到不同的极小值点的缺点。针对其存在的缺点，发明了混沌与最速下降法联合优化的正交小波常数模盲均衡方法(Chaos optimization basedorthogonal Wavelet Transform Constant Modulus blind equalization Algorithm，CWTCMA)。该方法利用混沌优化算法全局寻优，使权向量收敛到全局最优解的邻域，然后切换到正交小波常数模盲均衡方法，进行局部寻优；对均衡器的输入信号进行正交小波变换，加快了权向量收敛速度、减小了均方误差。水声信道的仿真结果表明：与CMA，WT-CMA相比，本发明CWTCMA具有更好的均衡性能。

附图说明

图1：混沌优化算法与最速下降法的结合图；

图2：本发明：CWTCMA框图；

图3：16QAM仿真结果：(a)均方误差，(b)均衡器输入，(c)CMA输出，(d)WT-CMA输出，(e)本发明CWTCMA输出；

图4：16PSK仿真结果，(a)均方误差，(b)均衡器输入，(c)CMA输出，(d)WT-CMA输出，(e)本发明CWTCMA输出。

具体实施方式

由于混沌运动具有随机性、遍历性、规律性的特点，混沌搜索能在一定的范围内按其自身的规律不重复的遍历每一个状态。混沌优化算法就是根据其遍历性和规律性的特点，采用混沌变量在一定的范围内遍历每一个状态，能够使混沌变量的搜索跳出局部极值点。为避免CMA的权向量收敛到局部极小值点，本发明将权向量作为优化变量。

常见的混沌映射函数有Lorenz映射、Logistic映射、改进型的logistic映射、Henon映射等，其中改进的Logistic映射与其它映射相比，具有结构简单、计算量小、使用方便的特点，所以采用改进的logistic映射作为权向量混沌优化的迭代公式。

该映射的表达式为

x(n+1)＝1-2x²(n)            (1)

式中，x(n)表示混沌变量x在第n次迭代过程中的值，映射的相空间范围为(-1，1)。

由于CMA中权向量的取值范围与改进的logistic映射的遍历空间不同，式(2)将第i个混沌变量x_i(n)映射到相应的第i个优化变量中，也就是优化变量f_i(n)，这样使混沌变量的取值范围“放大”到权向量的取值范围。

f_i(n)＝c_i+d_ix_i(n)           (2)

式中，c_i，d_i为常数。

为提高权向量的收敛精度，将权向量的实部和虚部分别作为优化变量进行优化，权向量的复数形式可表示为f_i(n)＝f_i1(n)+jf_i2(n)，“j”为虚数虚单位，于是将式(2)改写成式(3)和式(4)，

f_i1(n)＝c_i+d_ix_i1(n)         (3)

f_i2(n)＝c_i+d_ix_i2(n)         (4)

式中，x_i1(n)和x_i2(n)分别为第i个权向量的实部和虚部所对应的混沌变量。

混沌优化常数模盲均衡权向量

对CMA权向量进行混沌优化的基本步骤如下：

1：设置最大的迭代次数M₂，并对权向量实部和虚部所对应的混沌变量x_i1(n)、x_i2(n)赋初值，令其为x_i1(0)和x_i2(0)，其中i＝1，ΛL，L为权向量的长度；

2：通过式(3)、式(4)，将x_i1(0)和x_i2(0)映射到权向量的优化区间，得到权向量的实部f_i1(0)和虚部f_i2(0)，令

所对应的CMA的代价函数J(0)；

3：进行混沌搜索，得到f_i(n)和J(n)，如果J(n)＜J(0)，则

J^*＝J(n)；

4：当n＞M₂时，

保持不变，结束；否则令n＝n+1，转到步骤3。

混沌与最速下降法联合优化常数模盲均衡权向量

利用混沌优化算法优化权向量理论上可以遍历所有的状态，但优化时间较长，由于CMA中权向量的迭代利用了最速下降法，而将混沌优化算法与最速下降法有机结合的混合算法具有全局收敛和快速收敛的特点。因此，可以将混沌优化算法与最速下降法结合，来优化均衡器权向量。首先通过混沌优化全局寻优，使均衡器权向量的值接近全局最优点，然后采用最速下降法在最优点的邻域范围内局部寻优。利用混合算法搜索，有利于权向量跳出局部最优点，接近全局最优点，并提高收敛的精度。

利用混合算法对盲均衡器的权向量f(n)进行优化，求解代价函数的最小值J_min，步骤如下：

1：设最速下降法和混沌优化的最大迭代次数分别为M₁、M₂，混合搜索次数M₃，令计数器k＝0，初始权向量f(0)；

2：以f(0)为初始点，进行M₁次最速下降法搜索，得到优化后的均衡器权向量f^*1(n)和代价函数值J^*1；

3：以f^*1(n)为初始点，进行M₂次混沌优化搜索得到f^*2(n)及J^*2；

4：令k＝k+1，如果k＞M₃，优化结束，否则转步骤5；

5：如果J^*2＜J^*1，令f(n)＝f^*2(n)，如果J^*2≥J^*1，令f(n)＝f^*1(n)，转步骤1；

基于混沌优化算法和最速下降法的计算步骤，如图1所示。

混沌与最速下降法联合优化正交小波盲均衡权向量

为了克服CMA局部收敛的缺点，本发明采用混沌优化算法与最速下降法结合来对权向量进行初始化；采用正交小波函数对均衡器的输入信号进行变换，通过降低输入信号的相关性，来加快收敛速度。这样引入混沌与最速下降法联合优化算法的正交小波变换常数模盲均衡方法，称为混沌与最速下降法联合优化的正交小波常数模盲均衡方法(Chaos optimization based orthogonal Wavelet TransformConstant Modulus blind equalization Algorithm，CWTCMA)。其原理框图，如图2所示。

图2中，a(n)是输入发射序列，c(n)是长度为N_h的基带信道响应向量，w(n)为噪声向量，Q为正交小波变换矩阵，y(n)为信道的输出向量，R(n)为均衡器的输入信号，f(n)为均衡器的权向量，其初始值通过混沌与最速下降法的混合优化得到，z(n)为均衡器的输出，

为判决器的输出。过程如下：

1)正交小波变换盲均衡方法

图2中，正交小波变换后的输出为

R(n)＝Qy(n)                        (5)

z(n)＝f^H(n)R(n)                    (6)

误差函数e(n)为

e(n)＝|z(n)|²-R_cma                 (7)

式中，R_cma为小波CMA算法的模，且

R_cma＝E{|a(n)|⁴}/E{|a(n)|²}        (8)

代价函数J为

J_f(n)＝E[e²(n)]                    (9)

由最速下降法，得到均衡器权向量的迭代公式为

$f(n+1)=f\left(n\right)-\mathrm{\μ}{\hat{R}}^{-1}\left(n\right)z\left(n\right)[{\left|z\left(n\right)\right|}^2-R_{\mathrm{cma}}]R^{*}\left(n\right)---\left(10\right)$

式中，μ为步长因子， ${\hat{R}}^{-1}\left(n\right)=\mathrm{diag}[{\mathrm{\σ}}_{l,0}^2\left(n\right),{\mathrm{\σ}}_{l,1}^2\left(n\right),\mathrm{\Λ}{\mathrm{\σ}}_{{l,k}_L}^2\left(n\right),{\mathrm{\σ}}_{L+\mathrm{1,0}}^2\left(n\right),\mathrm{\Λ}{\mathrm{\σ}}_{{L+1,k}_L}^2\left(n\right)],$ 为正交小波功率归一化矩阵。其中，diag[ ]表示对角矩阵，“*”表示共轭，

和

分别表示对小波系数r_l，k和尺度系数s_L，k的平均功率估计，r_l，k(n)表示小波空间l层分解的第k个信号，s_L，k(n)表示尺度空间中最大分解层数L时的第k个信号，可由下式递推得到

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\σ}}_{l,k}^2(n+1)={\mathrm{\β\σ}}_{l,k}^2\left(n\right)+(1-\mathrm{\β}){\left|r_{l,k}\left(n\right)\right|}^2\\ {\mathrm{\σ}}_{L+1,k}^2(n+1)={\mathrm{\β\σ}}_{L,k}^2\left(n\right)+(1-\mathrm{\β}){\left|x_{L,k}\left(n\right)\right|}^2\end{array}\right.---\left(11\right)$

式中，β为平滑因子，且0＜β＜1，一般取略小于1的数。称式(5)～(11)为基于正交小波的常数模盲均衡方法(Wavelet Transform based CMA，WT-CMA)。

2)权向量的混沌与最速下降法联合优化

将混沌优化算法与最速下降法结合，利用均衡器接收的一小段数据进行权向量初始化。

令α＝[1，2，Λm]，采用16QAM时，m＝16，则η＝16QAM(α)，即η表示对α正交幅度调制后的输出信号。根据式(10)，令经过M₁次最速下降法迭代优化后的权向量为f^*1，均衡器的权长为L，n的取值范围为1ΛN，则

R(n)＝Qy(n+L-1：-1：n)         (12)

z(n)＝f^H(n)R(n)                (13)

式中，min( )表示函数最小化。

调制误差e(n)为

e(n)＝min[|z(n)-η|²]          (14)

定义平均调制误差

$\mathrm{AME}\left(k\right)=\frac{1}{N}\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\left\{\min \right[{|z_k\left(n\right)-\mathrm{\η}|}^2\left]\right\}---\left(15\right)$

式中，z_k(n)表示第k次混沌优化时均衡器的输出信号z(n)，AME(k)表示第k次混沌优化的平均调制误差。利用式(3)、式(4)对式(13)中的权向量f的实部和虚部分别进行M₂次迭代，每次迭代的过程中调制误差都随着权向量的不同而发生改变，除去e(n)中的最大值和最小值，式(15)修正为

$\mathrm{AME}\left(k\right)=\frac{1}{N-2}\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\left\{\min \right[{|z_k\left(n\right)-\mathrm{\η}|}^2\left]\right\}---\left(16\right)$

将混沌优化过程中AME(k)的最小值赋给J^*2，所对应的权向量为f^*2。优化后切换至正交小波盲均衡方法的切换条件是：

J^*2(i-1)-J^*2(i)＜ζ           (17)

式中，ζ为一正数，J^*2(i)表示在第i次的混合优化过程中，经过M₂次混沌优化后得到的J^*2，i的取值范围为1，ΛM₃。在优化过程中若满足式(17)，切换到正交小波常数模盲均衡方法，若不满足此条件，则在进行M₃次混合优化后，切换到正交小波常数模盲均衡方法。

实施实例

为了验证本发明CWTCMA的有效性，用水声信道进行仿真研究，并与CMA、WT-CMA进行比较。

仿真实验中，采用水声信道[0.3132，-0.104，0.8908，0.3134]，信噪比为25dB，均衡器的权长为16。

【实施例1】发射信号为16QAM，CMA、WT-CMA、CWTCMA中步长因子μ分别为0.00001、0.0002、0.0001，M₁、M₂、M₃的值分别为500、800、20，N为20；都采用第4个抽头系数为1，其余的全为0；c_i的值都为0、d_i的值都为1；混沌初始化时采用均衡器输入数据的前500点对权向量进行初始化，初始化切换条件ζ为10^-5；蒙特卡罗仿真次数为5000次的仿真结果，如图3所示。

由图3(a)可知，本发明CWTCMA收敛后的均方误差比CMA约小2dB，比WT-CMA约小0.5dB；本发明CWTCMA的收敛速度比CMA快约5000步，比WT-CMA快约1000步；由图3(c)～(e)可知，本发明CWTCMA均衡后的星座图明显比CMA、WT-CMA清晰。

【实施例2】发射信号为16PSK，CMA、WT-CMA、CWTCMA中步长因子μ分别为0.001、0.002、0.001，M₁、M₂、M₃的值分别为300、800、20，N为20；都采用第4个抽头系数为1，其余的全为0；c_i的值都为0、d_i的值都为1；混沌初始化时采用均衡器输入数据的前300点对权向量进行初始化，初始化切换条件ζ为10^-5；蒙特卡罗仿真次数为5000次的仿真结果，如图4所示。图4(a)表明，在稳态误差上，本发明CWTCMA比CMA减小约5dB，与WT-CMA基本相同；在收敛速度上，本发明CWTCMA，比CMA快了近4200步比WT-CMA快了约1500步；由图4(c)～(e)可知，本发明CWTCMA均衡后的星座图明显比CMA、WT-CMA清晰。

Claims (1)

1.一种混沌与最速下降法联合优化的正交小波常数模盲均衡方法，包括如下步骤：

a.）将发射信号a(n)经过脉冲响应信道c(n)得到信道输出向量x(n)，其中n为时间序列，下同；

b.）采用信道噪声w(n)和步骤a.）所述的信道输出向量x(n)得到正交小波变换器(WT)的输入信号y(n)：y(n)=w(n)+x(n)；

c.）将步骤b.）所述的正交小波变换器（WT）的输入信号y(n)经过正交小波变换器后，得到均衡器输入信号R(n)：

R(n)=Qy(n)                    （1）

式中，Q为正交变换矩阵，均衡器输出z(n)为：

z(n)=f^H(n)R(n)                 （2）

误差函数e(n)为

e(n)=|z(n)|²-R_cma               （3）

式中，R_cma为小波CMA的模，且

R_cma=E[|a(n)|⁴]/E[|a(n)|²]       （4）

代价函数J为

J_f(n)=E[e²(n)]                  （5）

由最速下降法，得到均衡器权向量的迭代公式为

$f(n+1)=f\left(n\right)-\mathrm{\μ}{\hat{R}}^{-1}\left(n\right)z\left(n\right)[{\left|z\left(n\right)\right|}^2-R_{\mathrm{cma}}]R^{*}\left(n\right)---\left(6\right)$

式中，μ为步长因子， ${\hat{R}}^{-1}\left(n\right)=\mathrm{diag}[{\mathrm{\σ}}_{l,0}^2\left(n\right),{\mathrm{\σ}}_{l,1}^2\left(n\right),...{\mathrm{\σ}}_{{l,k}_L}^2\left(n\right),{\mathrm{\σ}}_{L+\mathrm{1,0}}^3\left(n\right),{...\mathrm{\σ}}_{{L+1,k}_L}^2\left(n\right)],$ 为正交小波功率归一化矩阵；其中，diag[]表示对角矩阵，“*”表示共轭，

(n)和

分别表示对小波系数r_l,k和尺度系数s_L,k的平均功率估计，r_l,k(n)表示小波空间l层分解的第k个信号，s_L,k(n)表示尺度空间中最大分解层数L时的第k个信号，由下式递推得到

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\σ}}_{l,k}^2(n+1)={\mathrm{\β\σ}}_{l,k}^2\left(n\right)+(1-\mathrm{\β}){\left|r_{l,k}\left(n\right)\right|}^2\\ {\mathrm{\σ}}_{L+1,k}^2(n+1)={\mathrm{\β\σ}}_{L,k}^2\left(n\right)+(1-\mathrm{\β}){\left|x_{L,k}\left(n\right)\right|}^2\end{array}\right.---\left(7\right)$

式中，β为平滑因子，且0<β<1；

d.）将混沌优化算法与最速下降法结合，利用均衡器接收的一小段数据进行权向量初始化：

令α=[1,2,...m],采用16QAM时，m=16，则η=16QAM(α)，即η表示对α正交幅度调制后的输出信号；根据式(6)，令经过M₁次最速下降法迭代优化后的权向量为f^*1，均衡器的权长为L，n的取值范围为1,...N，N为初始化权向量所采用的信号长度，则

R(n)=Qy(n+L-1:-1:n)      （8）

z(n)=f^H(n)R(n)            （9）

调制误差e(n)为

e(n)=min(|z(n)-η|²)      （10）

式中，min()表示函数最小化；

定义平均调制误差

$\mathrm{AME}\left(k\right)=\frac{1}{N}\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}\left\{\min \right[{|z_k\left(n\right)-\mathrm{\&eta;}|}^2\left)\right]\}---\left(11\right)$

式中，z_k(n)表示第k次混沌优化时均衡器的输出信号z(n)，AME(k)表示第k次混沌优化的平均调制误差；

e.）为提高权向量的收敛精度，将权向量的实部和虚部分别作为优化变量进行优化，权向量的复数形式表示为f_i(n)=f_i1(n)+jf_i2(n)，j为虚数虚单位，其中

f_i1=c_i+d_ix_i1(n)      （12）

f_i2=c_i+d_ix_i2(n)      （13）

式中，f_i(n)表示权向量f中的第i个元素，f_i1、f_i2分别表示第i个权向量的实部和虚部，c_i，d_i为常数，x_i1(n)和x_i2(n)分别为第i个权向量的实部和虚部所对应的混沌变量在第n时刻的值；

利用式(12)、式(13)对式(9)中的权向量f的实部和虚部分别进行M₂次迭代，每次迭代的过程中调制误差都随着权向量的不同而发生改变，除去e(n)中的最大值和最小值，式(11)修正为

$\mathrm{AME}\left(k\right)=\frac{1}{N-2}\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}\left\{\min \right[{|z_k\left(n\right)-\mathrm{\&eta;}|}^2\left]\right\}---\left(14\right)$

将混沌优化过程中AME(k)的最小值赋给J^*2，所对应的权向量为f^*2，J^*2为混沌优化过程中的代价函数值；优化后切换至正交小波常数模盲均衡算法的切换条件是：

J^*2(i-1)-J^*2(i)<ζ      （15）

式中，ζ为一正数，J^*2(i)表示在第i次的混合优化过程中，经过M₂次混沌优化后得到的代价函数值J^*2，i的取值范围为1,...,M₃；在优化过程中若满足式(15)，切换到正交小波常数模盲均衡方法，若不满足此条件，则在进行M₃次混合优化后，切换到正交小波常数模盲均衡方法。

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