CN102354333B - 一种钢悬链式立管出平面运动的分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及海洋深水立管的研究方法，具体涉及一种钢悬链式立管出平面运动的分析方法。该方法对现有钢悬链式立管出平面运动的分析技术进行了改进，考虑了钢悬链式立管出平面运动的刚体运动，建立了钢悬链式立管出平面运动分析模型，增加了钢悬链式立管出平面运动的刚体转动，使钢悬链式立管的出平面运动分析更加符合实际的运动状态。

Description

一种钢悬链式立管出平面运动的分析方法

技术领域

本发明涉及海洋深水立管的研究方法，具体涉及一种钢悬链式立管出平面运动的分析方法。

背景技术

钢悬链式立管、脐带缆和柔性立管是深海油气开发的重要装备，它们的一端与浮式平台连接并自由悬垂至海底，形成一条悬链线。钢悬链式立管、脐带缆和柔性立管与海底接触的第一点称为触地点，从浮式平台到触地点的一段称为悬垂段。钢悬链式立管、脐带缆和柔性立管的另一端与井口(生产立管)或海底终端(输运立管)或海底管汇连接，从触地点至井口、海底终端或海底管汇的一段称为流线段。

钢悬链式立管、脐带缆和柔性立管在出平面(悬链线组成的平面)荷载(包括出平面浪流荷载和平面内流产生的涡激升力)作用下，将产生出平面运动。由于悬挂点和触地点之间的悬垂段呈弯曲形状，因此，悬垂段出平面运动时，在发生弯曲变形的同时也将绕悬挂点和触地点形成的轴线转动而产生刚体运动。这部分刚体运动不仅增大了(与仅仅弯曲变形相比)结构的加速度，而且在触地点处产生较大的平面外弯矩，从而增大了触地的弯曲应力，加剧了触地点的疲劳损伤。钢悬链式立管的触地点是该结构的一个薄弱点，即使在只考虑弯曲变形的条件下，其浪致疲劳损伤和涡激振动疲劳损伤均大于其它位置。因此，钢悬链式立管的出平面刚体运动对触地点的疲劳设计就显得尤为重要。目前，公知的钢悬链式立管分析技术没有考虑这部分刚体运动，而主要依赖增大安全系数的方法来保证钢悬链式立管的安全设计。

现有技术的钢悬链式立管出平面运动分析是采用梁的弯曲运动方程：

$(m+m_a)\stackrel{\·\·}{r}+(c+c_a)\stackrel{\·}{r}+\mathrm{kr}=q---\left(1\right)$

式中，r--弯曲位移；

--弯曲速度；

--弯曲加速度；

m--立管单位长度的质量；

m_a--立管单位长度的附加质量；

c--立管单位长度的结构阻尼系数；

c_a--立管单位长度的附加阻尼系数；

k--立管弯曲刚度，包括弹性弯曲刚度和几何刚度；

q--作用在立管上的荷载。

现有技术的主要缺点在于：

1、没有考虑刚体转动引起的加速度对钢悬链式立管惯性力和附加质量的影响。

结构的动力平衡方程中的惯性力一项(梁的弯曲运动方程中的第一项)应该是结构的绝对加速度，但现有技术采用的是弯曲变形引起的加速度，忽略了刚体转动引起的加速度，因此，计算值偏小。

2、没有考虑刚体转动引起的速度对钢悬链式立管附加阻尼和水动力荷载的影响。

结构的动力平衡方程中的阻尼力一项(梁的弯曲运动方程中的第二项)分为两部分，一部分是结构自身的阻尼(梁的弯曲运动方程中的第二项的第一部分)，另一部分是水动力的附加阻尼(梁的弯曲运动方程中的第二项的第二部分)，这部分阻尼的大小取决于结构与流体的相对速度，因此，应该是结构的绝对速度，但现有技术采用的是弯曲变形引起的速度，忽略了刚体转动引起的速度，因此，计算值偏小。

发明内容

本发明的目的在于针对现有技术的缺陷，考虑钢悬链式立管出平面运动的刚体转动引起的速度和加速度，建立钢悬链式立管(脐带缆和柔性立管)出平面运动的分析方法。

本发明的技术方案如下：一种钢悬链式立管出平面运动的分析方法，建立的钢悬链式立管出平面运动分析模型如下：

$(m+m_a)({\stackrel{\·\·}{r}}_b+{\stackrel{\·\·}{r}}_r)+c{\stackrel{\·}{r}}_b+c_a({\stackrel{\·}{r}}_b+{\stackrel{\·}{r}}_r)+k{r}_b=q+\mathrm{mg}$

$(m+m_a)s^2{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\α}}}_r+c_a{s}^2{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_r+\mathrm{mg}{c}_{2}s{\mathrm{\α}}_r=q_x\sqrt{s_2^2+s_3^2}+q_y\sqrt{s_1^2+s_3^2}$

式中，r_b--弯曲位移；

--弯曲速度；

--弯曲加速度；

--刚体转动速度，

--刚体转动加速度，

α_r--微元段转动的角位移；

--微元段转动的角速度；

--微元段转动的角加速度；

R--微元段距转动轴的矢径；

s--微元段距转动轴矢径的模；

s₁--微元段距转动轴矢径的模在x轴的投影；

s₂--微元段距转动轴矢径的模在y轴的投影；

s₃--微元段距转动轴矢径的模在z轴的投影；

m--立管单位长度的质量；

m_a--立管单位长度的附加质量；

c--立管单位长度的结构阻尼系数；

c_a--立管单位长度的附加阻尼系数；

k--立管弯曲刚度，包括弹性弯曲刚度和几何刚度；

q--作用在立管上的荷载；

基于上述钢悬链式立管出平面运动分析模型，按如下步骤计算钢悬链式立管的出平面运动响应：

1)设定笛卡儿坐标系，设钢悬链式立管的顶点为坐标原点，设坐标系的y-z平面为悬链线平面；

2)根据钢悬链式立管的悬挂点和触地点坐标计算转动轴的单位矢量，计算公式如下：

$\stackrel{\→}{\mathrm{\ω}}{=c}_1\stackrel{\→}{i}+c_2\stackrel{\→}{j}+c_3\stackrel{\→}{k}$

式中：--钢悬链式立管的悬挂点与触地点连线形成的转动轴单位矢量；

$c_1=\frac{(x_D-x_O)}{d},$ $c_2=\frac{(y_D-y_O)}{d},$ $c_3=\frac{(z_D-z_O)}{d}$

$d=\sqrt{{(x_O-x_D)}^2+{(y_O-y_D)}^2+{(z_O-y_D)}^2}$

其中，x_D，x_O，y_D，y_O，z_D，z_O分别为钢悬链式立管触地点和悬挂点的坐标值，在平衡位置时，C₁＝0；

表示坐标轴x，y，z的单位矢量；

3)计算矢量R，计算公式如下：

$R=s_1\stackrel{\→}{i}+s_2\stackrel{\→}{j}+s_3\stackrel{\→}{k}$

式中：s₁＝(x_B-x_A)，s₂＝(y_B-y_A)，s₃＝(z_B-z_A)，在平衡位置时，s₁＝0；

x_A，x_B，y_A，y_B，z_A，z_B分别为矢量R两个端点的坐标值；

4)将钢悬链式立管出平面运动分析模型的第一个公式改写成：

$(m+m_a){\stackrel{\·\·}{r}}_b+(c+c_a){\stackrel{\·}{r}}_b+{\mathrm{kr}}_b=q+\mathrm{mg}-(m+m_a){\stackrel{\·\·}{r}}_r-c_a{\stackrel{\·}{r}}_r$

5)将步骤4)中改写的公式表示为坐标分量的形式：

$(m+m_a){\stackrel{\·\·}{u}}_b+(c+c_a){\stackrel{\·}{u}}_b+{\mathrm{ku}}_b=q_x-(m+m_a){\stackrel{\·\·}{u}}_r-c_a{\stackrel{\·}{u}}_r$

$(m+m_a){\stackrel{\·\·}{v}}_b+(c+c_a){\stackrel{\·}{v}}_b+{\mathrm{kv}}_b=q_y-(m+m_a){\stackrel{\·\·}{v}}_r-c_a{\stackrel{\·}{v}}_r$

$(m+m_a){\stackrel{\·\·}{w}}_b+(c+c_a){\stackrel{\·}{w}}_b+{\mathrm{kw}}_b=q_z-\mathrm{mg}-(m+m_a){\stackrel{\·\·}{w}}_r-c_a{\stackrel{\·}{w}}_r$

其中， ${\stackrel{\·\·}{u}}_r={\stackrel{\·\·}{\mathrm{\α}}}_r(c_2{s}_3-c_3{s}_2),$ ${\stackrel{\·\·}{v}}_r={\stackrel{\·\·}{\mathrm{\α}}}_r(c_3{s}_1-c_1{s}_3),$ ${\stackrel{\·\·}{w}}_r={\stackrel{\·\·}{\mathrm{\α}}}_r(c_1{s}_2-c_2{s}_1)$

${\stackrel{\·}{u}}_r={\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_r(c_2{s}_3-c_3{s}_2),$ ${\stackrel{\·}{v}}_r={\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_r(c_3{s}_1-c_1{s}_3),$ ${\stackrel{\·}{w}}_r={\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_r(c_1{s}_2-c_2{s}_1)$

6)用有限元方法将表示为坐标分量形式的三个公式和钢悬链式立管出平面运动分析模型的第二个公式离散后即可得到钢悬链式立管出平面运动分析的有限元方程：

$\left[M\right]\left\{\stackrel{\·\·}{r}\right\}+\left[C\right]\left\{\stackrel{\·}{r}\right\}+\left[K\right]\left\{r\right\}=\left\{F\right\}$

$\left[I\right]\left\{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\α}}\right\}+\left[C_a\right]\left\{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\right\}+\left[K_{\mathrm{\α}}\right]\left\{\mathrm{\α}\right\}=\left\{M_{\mathrm{\α}}\right\}$

式中，[M]--系统的质量矩阵；

[C]--系统的阻尼矩阵；

[K]--系统的刚度矩阵；

--系统的加速度向量；

--系统的速度向量；

{r}--系统的位移向量；

{F}--系统的荷载向量；

[I]系统的转动惯量矩阵；

[C_a]--系统的水动力阻尼矩阵；

[K_α]--系统的刚体转动回复力系数矩阵；

--系统的刚体转动角加速度向量；

--系统的刚体转动角速度向量；

{α}--系统的刚体转动角位移向量；

{M_α}--系统的刚体转动外力矩向量；

7)采用时程积分法求解步骤6)得到的钢悬链式立管出平面运动分析的有限元方程，即可得到钢悬链式立管的出平面运动响应，包括位移、速度、加速度。

本发明的有益效果如下：本发明对现有钢悬链式立管出平面运动的分析方法进行了改进，考虑了钢悬链式立管出平面运动的刚体运动，建立了新型的钢悬链式立管的出平面运动分析方法，增加了钢悬链式立管出平面运动的刚体转动，使钢悬链式立管的出平面分析更加符合实际的运动状态。

附图说明

图1为钢悬链式立管微元段示意图；

图2为钢悬链式立管的坐标系统示意图；

图3为本发明的方法流程图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本发明进行详细描述。

钢悬链式立管是一个自由悬垂的钢管，其轴线为悬链线形状。它的顶端悬挂在浮式平台上，下端直接延伸至海床上，与海床接触的第一个位置为触地点。从悬挂点至触地点的一段称为悬垂段，而位于海床上的一段称为流线段。因此，触地点是悬垂段和流线段的分隔点。由于悬垂段为悬链线，因此，当钢悬链式立管做出平面(悬链线组成的平面)运动时，悬垂段在发生弯曲变形产生的运动同时也将绕悬挂点和触地点形成的转动轴作刚体转动运动。这就是说，钢悬链式立管的出平面运动由两部分组成--弯曲变形运动和刚体转动运动。目前的钢悬链式立管(包括脐带缆和柔性立管，脐带缆和柔性立管具有与钢悬链式立管相同的几何形状，脐带缆主要用于浮式平台与海底生产设施之间的电、液控制信号的传递，柔性立管与钢悬链式立管的用途相同，但材料不同)出平面运动分析仅仅计算由于弯曲变形产生的运动，而忽略了刚体转动产生的运动，这将低估结构的惯性力和水动力的影响，从而低估钢悬链式立管(脐带缆和柔性立管)对浮式平台的作用。本发明考虑钢悬链式立管(脐带缆和柔性立管)出平面运动的刚体转动，提出了钢悬链式立管(脐带缆和柔性立管)出平面运动分析模型，并基于该模型建立了钢悬链式立管(脐带缆和柔性立管)出平面运动的分析方法。

图1是本发明采用的钢悬链式立管微元段受力示意图，基于图1的运动分析可以得到考虑刚体转动的钢悬链式立管出平面运动分析模型的方程：

$(m+m_a)({\stackrel{\·\·}{r}}_b+{\stackrel{\·\·}{r}}_r)+c{\stackrel{\·}{r}}_b+c_a({\stackrel{\·}{r}}_b+{\stackrel{\·}{r}}_r)+k{r}_b=q+\mathrm{mg}---\left(2\right)$

$(m+m_a)s^2{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\α}}}_r+c_a{s}^2{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_r+\mathrm{mg}{c}_{2}s{\mathrm{\α}}_r=q_x\sqrt{s_2^2+s_3^2}+q_y\sqrt{s_1^2+s_3^2}---\left(3\right)$

式中，r_b--弯曲位移；

--弯曲速度；

--弯曲加速度；

--刚体转动速度，

--刚体转动加速度，

α_r--微元段转动的角位移；

--微元段转动的角速度；

--微元段转动的角加速度；

R--微元段距转动轴的矢径；

s--微元段距转动轴矢径的模；

s₁--微元段距转动轴矢径的模在x轴的投影；

s₂--微元段距转动轴矢径的模在y轴的投影；

s₃--微元段距转动轴矢径的模在z轴的投影；

m--立管单位长度的质量；

m_a--立管单位长度的附加质量；

c--立管单位长度的结构阻尼系数；

c_a--立管单位长度的附加阻尼系数；

k--立管弯曲刚度，包括弹性弯曲刚度和几何刚度；

q--作用在立管上的荷载；

基于上述钢悬链式立管出平面运动分析模型，按如下步骤计算钢悬链式立管的出平面运动响应，如图3所示：

1)设定笛卡儿坐标系，设钢悬链式立管的顶点为坐标原点，设坐标系的y-z平面为悬链线平面，如图2所示；

2)根据钢悬链式立管的悬挂点和触地点坐标计算转动轴的单位矢量，计算公式如下：

$\stackrel{\→}{\mathrm{\ω}}{=c}_1\stackrel{\→}{i}+c_2\stackrel{\→}{j}+c_3\stackrel{\→}{k}---\left(4\right)$

式中：--钢悬链式立管的悬挂点与触地点连线形成的转动轴单位矢量；

$c_1=\frac{(x_D-x_O)}{d},$ $c_1=\frac{(x_D-x_O)}{d},$ $c_3=\frac{(z_D-z_O)}{d}$

$d=\sqrt{{(x_O-x_D)}^2+{(y_O-y_D)}^2+{(z_O-y_D)}^2}$

其中，x_D，x_O，y_D，u_O，z_D，z_O分别为钢悬链式立管触地点和悬挂点的坐标值，在平衡位置时(见图1)，C₁＝0；

表示坐标轴x，y，z的单位矢量；

3)计算矢量R，计算公式如下：

$R=s_1\stackrel{\→}{i}+s_2\stackrel{\→}{j}+s_3\stackrel{\→}{k}---\left(5\right)$

式中：s₁＝(x_R-x_A)，s₂＝(y_R-y_A)，s₃＝(z_R-z_A)，在平衡位置时(见图1)，s₁＝0；x_A，x_B，y_A，y_B，z_A，z_B分别为矢量s两个端点的坐标值；

4)将钢悬链式立管出平面运动分析模型的第一个公式改写成：

$(m+m_a){\stackrel{\·\·}{r}}_b+(c+c_a){\stackrel{\·}{r}}_b+{\mathrm{kr}}_b=q+\mathrm{mg}-(m+m_a){\stackrel{\·\·}{r}}_r-c_a{\stackrel{\·}{r}}_r---\left(6\right)$

5)将步骤4)中改写的公式(6)表示为坐标分量的形式：

$(m+m_a){\stackrel{\·\·}{u}}_b+(c+c_a){\stackrel{\·}{u}}_b+{\mathrm{ku}}_b=q_x-(m+m_a){\stackrel{\·\·}{u}}_r-c_a{\stackrel{\·}{u}}_r---\left(7\right)$

$(m+m_a){\stackrel{\·\·}{v}}_b+(c+c_a){\stackrel{\·}{v}}_b+{\mathrm{kv}}_b=q_y-(m+m_a){\stackrel{\·\·}{v}}_r-c_a{\stackrel{\·}{v}}_r---\left(8\right)$

$(m+m_a){\stackrel{\·\·}{w}}_b+(c+c_a){\stackrel{\·}{w}}_b+{\mathrm{kw}}_b=q_z-\mathrm{mg}-(m+m_a){\stackrel{\·\·}{w}}_r-c_a{\stackrel{\·}{w}}_r---\left(9\right)$

其中， ${\stackrel{\·\·}{u}}_r={\stackrel{\·\·}{\mathrm{\α}}}_r(c_2{s}_3-c_3{s}_2),$ ${\stackrel{\·\·}{v}}_r={\stackrel{\·\·}{\mathrm{\α}}}_r(c_3{s}_1-c_1{s}_3),$ ${\stackrel{\·\·}{w}}_r={\stackrel{\·\·}{\mathrm{\α}}}_r(c_1{s}_2-c_2{s}_1)$

${\stackrel{\·}{u}}_r={\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_r(c_2{s}_3-c_3{s}_2),$ ${\stackrel{\·}{v}}_r={\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_r(c_3{s}_1-c_1{s}_3),$ ${\stackrel{\·}{w}}_r={\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_r(c_1{s}_2-c_2{s}_1)$

6)用有限元方法将公式(7)-(9)和公式(3)离散后即可得到钢悬链式立管出平面运动分析的有限元方程：

$\left[M\right]\left\{\stackrel{\·\·}{r}\right\}+\left[C\right]\left\{\stackrel{\·}{r}\right\}+\left[K\right]\left\{r\right\}=\left\{F\right\}---\left(10\right)$

$\left[I\right]\left\{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\α}}\right\}+\left[C_a\right]\left\{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\right\}+\left[K_{\mathrm{\α}}\right]\left\{\mathrm{\α}\right\}=\left\{M_{\mathrm{\α}}\right\}---\left(11\right)$

式中，[M]--系统的质量矩阵；

[C]--系统的阻尼矩阵；

[K]--系统的刚度矩阵；

--系统的加速度向量；

--系统的速度向量；

{r}--系统的位移向量；

{F}--系统的荷载向量；

[I]系统的转动惯量矩阵；

[C_a]--系统的水动力阻尼矩阵；

[K_α]--系统的刚体转动回复力系数矩阵；

--系统的刚体转动角加速度向量；

--系统的刚体转动角速度向量；

{α}--系统的刚体转动角位移向量；

{M_α}--系统的刚体转动外力矩向量；

7)采用时程积分法(公知技术)，如Newmark-β法或Wilson-θ法，求解方程(10)、(11)，即可得到钢悬链式立管的出平面运动响应，出平面运动响应包括位移、速度、加速度。

在上述求解计算中，系统的质量矩阵和刚度矩阵是采用有限元方法计算得到的，阻尼矩阵采用瑞雷阻尼矩阵，系统的荷载向量是根据流体动力学和波浪理论计算的，这些计算对于本领域的技术人员来说都属于公知技术。而且，根据公式(3)和公式(7)-(9)确定方程(10)、(11)的矩阵也属于本领域的公知技术。

显然，本领域的技术人员可以对本发明进行各种改动和变型而不脱离本发明的精神和范围。这样，倘若对本发明的这些修改和变型属于本发明权利要求及其同等技术的范围之内，则本发明也意图包含这些改动和变型在内。

Claims (1)

1.一种钢悬链式立管出平面运动的分析方法，其特征在于：建立的钢悬链式立管出平面运动分析模型如下：

$(m+m_a)({\stackrel{..}{r}}_b+{\stackrel{..}{r}}_r)+c{\stackrel{.}{r}}_b+c_a({\stackrel{.}{r}}_b+{\stackrel{.}{r}}_r)+k{r}_b=q+\mathrm{mg}$

$(m+m_a)s^2{\stackrel{..}{\mathrm{\α}}}_r+c_a{s}^2{\stackrel{.}{\mathrm{\α}}}_r+{\mathrm{mgc}}_{2}s{\mathrm{\α}}_r=q_x\sqrt{s_2^2+s_3^2}+q_y\sqrt{s_1^2+s_3^2}$

式中，r_b--弯曲位移；

--弯曲速度；

--弯曲加速度；

--刚体转动速度，；

--刚体转动加速度，；

α_r--微元段转动的角位移；

--微元段转动的角速度；

--微元段转动的角加速度；

R--微元段距转动轴的矢径；

s--微元段距转动轴矢径的模；

s₁--微元段距转动轴矢径的模在x轴的投影；

s₂--微元段距转动轴矢径的模在y轴的投影；

s₃--微元段距转动轴矢径的模在z轴的投影；

m--立管单位长度的质量；

m_a--立管单位长度的附加质量；

c--立管单位长度的结构阻尼系数；

c_a--立管单位长度的附加阻尼系数；

k--立管弯曲刚度，包括弹性弯曲刚度和几何刚度；

q--作用在立管上的荷载；

基于上述钢悬链式立管出平面运动分析模型，按如下步骤计算钢悬链式立管的出平面运动响应：

1)设定笛卡儿坐标系，设钢悬链式立管的顶点为坐标原点，设坐标系的y-z平面为悬链线平面；

2)根据钢悬链式立管的悬挂点和触地点坐标计算转动轴的单位矢量，计算公式如下：

$\stackrel{\→}{\mathrm{\ω}}=c_1\stackrel{\→}{i}+c_2\stackrel{\→}{j}+c_3\stackrel{\→}{k}$

式中：--钢悬链式立管的悬挂点与触地点连线形成的转动轴单位矢量；

$c_1=\frac{(x_D-x_O)}{d},c_2=\frac{(y_D-y_O)}{d},c_3=\frac{(z_D-z_O)}{d}$

$d=\sqrt{{(x_O-x_D)}^2+{(y_O-y_D)}^2+{(z_O-y_D)}^2}$

其中，x_D，x_O，y_D，y_O，z_D，z_O分别为钢悬链式立管触地点和悬挂点的坐标值，在平衡位置时，c₁＝0；

表示坐标轴x，y，z的单位矢量；

3)计算矢量R，计算公式如下：

$R=s_1\stackrel{\→}{i}+s_2\stackrel{\→}{j}+s_3\stackrel{\→}{k}$

式中：s₁＝(x_B-x_A)，s₂＝(y_B-y_A)，s₃＝(z_B-z_A)，在平衡位置时，s₁＝0；

x_A，x_B，y_A，y_B，z_A，z_B分别为矢量R两个端点的坐标值；

4)将钢悬链式立管出平面运动分析模型的第一个公式改写成：

$(m+m_a){\stackrel{..}{r}}_b+(c+c_a){\stackrel{.}{r}}_b+k{r}_b=q+\mathrm{mg}-(m+m_a){\stackrel{..}{r}}_r-c_a{\stackrel{.}{r}}_r$

5)将步骤4)中改写的公式表示为坐标分量的形式：

$(m+m_a){\stackrel{..}{u}}_b+(c+c_a){\stackrel{.}{u}}_b+k{u}_b=q_x-(m+m_a){\stackrel{..}{u}}_r-c_a{\stackrel{.}{u}}_r$

$(m+m_a){\stackrel{..}{v}}_b+(c+c_a){\stackrel{.}{v}}_b+k{v}_b=q_y-(m+m_a){\stackrel{..}{v}}_r-c_a{\stackrel{.}{v}}_r$

$(m+m_a){\stackrel{..}{w}}_b+(c+c_a){\stackrel{.}{w}}_b+k{w}_b=q_z+\mathrm{mg}-(m+m_a){\stackrel{..}{w}}_r-c_a{\stackrel{.}{w}}_r$

其中， ${\stackrel{..}{u}}_r={\stackrel{..}{\mathrm{\α}}}_r(c_2{s}_3-c_3{s}_2),{\stackrel{..}{v}}_r={\stackrel{..}{\mathrm{\α}}}_r(c_3{s}_1-c_1{s}_3),{\stackrel{..}{w}}_r={\stackrel{..}{\mathrm{\α}}}_r(c_1{s}_2-c_2{s}_1)$

${\stackrel{.}{u}}_r={\stackrel{.}{\mathrm{\α}}}_r(c_2{s}_3-c_3{s}_2),{\stackrel{.}{v}}_r={\stackrel{.}{\mathrm{\α}}}_r(c_3{s}_1-c_1{s}_3),{\stackrel{.}{w}}_r={\stackrel{.}{\mathrm{\α}}}_r(c_1{s}_2-c_2{s}_1);$

6)用有限元方法将表示为坐标分量形式的三个公式和钢悬链式立管出平面运动分析模型的第二个公式离散后即可得到钢悬链式立管出平面运动分析的有限元方程：

$\left[M\right]\left\{\stackrel{..}{r}\right\}+\left[C\right]\left\{\stackrel{.}{r}\right\}+\left[K\right]\left\{r\right\}=\left\{F\right\}$

$\left[I\right]\left\{\stackrel{..}{\mathrm{\α}}\right\}+\left[C_a\right]\left\{\stackrel{.}{\mathrm{\α}}\right\}+\left[K_{\mathrm{\α}}\right]\left\{\mathrm{\α}\right\}=\left\{M_{\mathrm{\α}}\right\}$

式中，[M]--系统的质量矩阵；

[C]--系统的阻尼矩阵；

[K]--系统的刚度矩阵；

--系统的加速度向量；

--系统的速度向量；

{r}--系统的位移向量；

{F}--系统的荷载向量；

[I]系统的转动惯量矩阵；

[C_a]--系统的水动力阻尼矩阵；

[K_α]--系统的刚体转动回复力系数矩阵；

--系统的刚体转动角加速度向量；

--系统的刚体转动角速度向量；

{α}--系统的刚体转动角位移向量；

{M_α}--系统的刚体转动外力矩向量；

7)采用时程积分法求解步骤6)得到的钢悬链式立管出平面运动分析的有限元方程，即可得到钢悬链式立管的出平面运动响应，包括位移、速度、加速度。