CN102207166A - 多模式系统中的残留振动消除方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种多模式系统中的残留振动消除方法，其通过在向具有多个振动模式的多模式系统输入的基准输入命令中，追加由具有相互不同的延迟时间、且个数比多个振动模式的个数多一个的脉冲组成的假想振动消除命令，能够有效地消除由多模式系统产生的残留振动，并且还能够提高多模式系统的性能。根据本发明的多模式系统中的残留振动消除方法，具有如下效果：通过在向具有多个振动模式的多模式系统输入的基准输入命令中，追加由具有相互不同的延迟时间、且个数比多个振动模式的个数多一个的脉冲组成的假想振动消除命令，能够有效地消除由多模式系统产生的残留振动，并且还能够提高多模式系统的性能。

Description

多模式系统中的残留振动消除方法

技术领域

本发明涉及一种多模式系统中的残留振动消除方法，更详细地说，涉及如下的多模式系统中的残留振动消除方法：通过在向具有多个振动模式的多模式系统输入的基准输入命令中，追加由具有相互不同的延迟时间、且个数比多个振动模式的个数多一个的脉冲所组成的假想振动消除命令，能够有效地消除由多模式系统产生的残留振动，并且还能够提高多模式系统的性能。

背景技术

一般来说，输入成形控制装置用于消除具有一个振动模式的系统的残留振动，为此产生针对一个振动模式的反相振动来消除残留振动。

另一方面，在工业现场中使用的移送装置以包含起重机、搬运机、以及利用了伺服系统的正交机器人和多关节机器人等的多种方式存在。

对这种系统的性能带来最大影响的因素，可以说是在系统的过渡状态下出现的振动。特别是，在移送装置的特性方面，在目标地点中出现的残留振动成为对系统性能直接带来影响的要因。

由在工业现场中广泛使用的搬运装置所产生的振动，至少具有两个以上的振动模式。另外，一般来说，第一个振动模式与第二个以上的振动模式相比，振动周期慢，振动幅值大，因此可以说带给系统性能的影响相对大。

在大部分的系统中，第二个以上的振动模式的振动频率远大于第一个的振动频率，因此大多数情况下忽略。但是，如图1所示，对于存在具有相互不同的重量的两个质量体m₁、m₂的起重机或者进行精密定位作业的搬运装置来说，大多数情况下第二个振动模式的振动对系统的性能带来影响。

存在很多必须根据系统的特性来考虑多个振动模式的情况。本发明的目的在于，通过有效地消除这样在工业现场中广泛使用的搬运装置的多模式振动，提高由于振动而下降的系统的性能，在如起重机那样的高危险装置中实现安全的控制系统。

图1至图3是表示一般的多模式系统的图，在多模式系统中对系统的性能带来影响的振动模式至少有两个以上。在这种系统中为了改善振动特性，必须考虑对系统的特性带来影响的两个以上的振动模式来消除振动。因而，要求消除由在多模式系统中存在的全部振动模式所产生的残留振动的方法。

发明内容

本发明是为了解决如上所述那样的问题点而作出的，其目的在于，提供一种多模式系统中的残留振动消除方法，其通过在向具有多个振动模式的多模式系统输入的基准输入命令中，追加由具有相互不同的延迟时间、且比多个振动模式的个数多一个的脉冲所组成的假想振动消除命令，能够有效地消除由多模式系统产生的残留振动，并且还能够提高多模式系统的性能。

为了达成上述目的，本发明的第1方式提供一种多模式系统中的残留振动消除方法，其将振动消除命令追加到基准输入命令中来消除由多模式系统产生的残留振动，其中，所述基准输入命令是向具有多个振动模式的多模式系统输入的命令，该方法的特征在于，所述振动消除命令利用既定的各振动模式的固有振动值(s_k)来产生具有相互不同的延迟时间、且个数比多个振动模式的个数(n)多‘1’个的脉冲，并且确定所述脉冲的延迟时间(t_k，k＝1，2，...，n+1)以及大小(A_k)的过程包括如下步骤：(a)根据由具有相互不同的延迟时间的(n+1)个脉冲的组合所组成的公式(a){i_n(t)＝A₁δ(t-t₁)+A₂δ(t-t₂)+...+A_n+1δ(t-t_n+1)}来定义所述振动消除命令{i_n(t)}；(b)以将所述定义的公式(a)的第一个脉冲的作用时间(t₁)设为‘0’的状态进行拉普拉斯变换，获得公式(b)(c)为了利用所述获得的公式(b)来抵消由各振动模式构成的固有振动值(s_k)，以使对象固有振动值(s_k)成为零点的方式，定义公式(c){I_n(s_k)＝0，k＝1，2，...，n}；(d)定义将脉冲大小之和限制为‘1’的公式(d){I_n(0)＝A₁+A₂+...+A_n＝1}，使得在利用所述获得的公式(b)通过所述振动消除命令来变更的所述基准输入命令的最终值的大小没有变化；(e)利用所述定义的公式(c)以及公式(d)来获得复数非线性矩阵方程式{公式(e)}；

$\left[\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& ...& 1\\ 1& e^{-t_2{s}_1}& e^{-t_3{s}_1}& ...& e^{-t_{n+1}{s}_1}\\ 1& e^{-t_2{s}_2}& e^{-t_3{s}_2}& ...& e^{-t_{n+1}{s}_2}\\ .& .& .& ...& .\\ 1& e^{-t_2{s}_n}& e^{-t_3{s}_n}& ...& e^{-t_{n+1}{s}_n}\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}{A}_1\\ A_2\\ A_3\\ .\\ A_{n+1}\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ .\\ 0\end{array}\right\}$ ...公式(e)

(f)利用基于重复计算的数值解析方法对所述获得的公式(e)进行计算，获得脉冲的延迟时间(t_k)以及大小(A_k)的解；以及(g)根据既定的多模式系统的加速时间或者敏感度来确定所述获得的脉冲的延迟时间(t_k)以及大小(A_k)的值中的至少一个。

这里，所述各振动模式的固有振动值(s_k)，是根据下述公式(c-1)来定义的，

$s_k={\mathrm{\σ}}_k+j{\mathrm{\ω}}_k=-{\mathrm{\ζ}}_k{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{nk}}+j{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{nk}}\sqrt{1-{\mathrm{\ζ}}_k^2},k=\mathrm{1,2},...,n$ ...公式(c-1)

这里，ζ_k、ω_nk是第k个振动模式的衰减比和固有振动数，ω_k是第k个振动模式的衰减固有振动数，定义为

优选是，在所述步骤(f)中，能够根据定义相对于误差的绝对值(Norm)并使该绝对值成为‘0’的下述公式(f)，获得脉冲的延迟时间(t_k)以及大小(A_k)的解。

$\mathrm{norm}\{\left[\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& ...& 1\\ 1& e^{-t_2{s}_1}& e^{-t_3{s}_1}& ...& e^{-t_{n+1}{s}_1}\\ 1& e^{-t_2{s}_2}& e^{-t_2{s}_2}& ...& e^{-t_{n+1}{s}_2}\\ .& .& .& ...& .\\ 1& e^{-t_2{s}_n}& e^{-t_3{s}_n}& ...& e^{-t_{n+1}{s}_n}\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}{A}_1\\ A_2\\ A_3\\ .\\ A_{n+1}\end{array}\right\}-\left\{\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ .\\ 0\end{array}\right\}\}$ 公式(f)

本发明的第2方式提供一种多模式系统中的残留振动消除方法，其将振动消除命令追加到基准输入命令中来消除由多模式系统产生的残留振动，其中，所述基准输入命令是向具有多个振动模式的多模式系统输入的命令，该方法的特征在于，所述振动消除命令利用既定的各振动模式的固有振动解来产生具有相互不同的延迟时间、且个数比多个振动模式的个数多‘1’个的脉冲。

根据如以上说明那样的本发明的多模式系统中的残留振动消除方法，具有如下优点：通过在向具有多个振动模式的多模式系统输入的基准输入命令中，追加由具有相互不同的延迟时间、且比多个振动模式的个数多一个的脉冲组成的假想振动消除命令，能够有效地消除由多模式系统产生的残留振动，并且还能够提高多模式系统的性能。

附图说明

图1至图3是表示一般的多模式系统的图。

图4是表示用于在本发明的一个实施例的多模式系统中消除残留振动的系统的结构框图。

图5是表示具有两个振动模式的多模式系统的第二个振动模式的频率变更引起的振动消除命令的脉冲延迟时间的变化的曲线图。

图6是表示具有两个振动模式的多模式系统的第二个振动模式的频率变更引起的振动消除命令的脉冲大小的变化的曲线图。

图7是表示应用于具有两个振动模式的多模式系统中的振动消除命令的图。

图8是用于将本发明的振动消除命令和现有的振动消除命令应用于具有两个振动模式的多模式系统来比较敏感度曲线的曲线图。

图9是用于将本发明的振动消除命令和现有的振动消除命令应用于具有两个振动模式的多模式系统来比较多模式系统的振动响应的曲线图。

图10是表示为了应用本发明的一个实施例的多模式系统中的残留振动消除方法而具有两个振动模式的多模式系统的整体结构的概念图。

图11是将应用于本发明的一个实施例的具有最小延迟时间的振动消除命令应用于具有两个振动模式的多模式系统来表示多模式系统的响应的曲线图。

图12是将应用于本发明的一个实施例的具有最长延迟时间的振动消除命令应用于具有两个振动模式的多模式系统来表示多模式系统的响应的曲线图。

图13是表示为了应用本发明的一个实施例的多模式系统中的残留振动消除方法而具有三个振动模式的多模式系统的整体结构的概念图。

图14是用于概要性地说明图13的多模式系统的概念图。

图15是表示输入到图13的X方向驱动部中的基准命令的图。

图16是表示用于图13的多模式系统的振动消除命令的图。

图17是用于将本发明的振动消除命令和现有的振动消除命令应用于具有三个振动模式的多模式系统来比较敏感度曲线的曲线图。

图18是将本发明的振动消除命令和现有的振动消除命令应用于具有三个振动模式的多模式系统来表示各振动模式的响应结果的曲线图。

图19是将本发明的振动消除命令和现有的振动消除命令应用于具有三个振动模式的多模式系统来表示对系统的整体响应结果的曲线图。

图20是表示用在具有四个振动模式的多模式系统中的振动消除命令的图，所述多模式系统应用了本发明的一个实施例的多模式系统中的残留振动消除方法。

图21是用于将本发明的振动消除命令和现有的振动消除命令应用于具有四个振动模式的多模式系统来比较系统响应的曲线图。

图22是用于将本发明的振动消除命令和现有的振动消除命令应用于具有四个振动模式的多模式系统来比较敏感度曲线的曲线图。

具体实施方式

下面，参照附图来详细地说明本发明的实施例。但是，下面示例的本发明的实施例能够变形为各种其它方式，本发明的范围不限于下面所说明的实施例。本发明的实施例是为了向具有该技术领域中的普通知识的技术人员更完整地说明本发明而提供的。

图4是表示用于在本发明的一个实施例的多模式系统中消除残留振动的系统的结构框图。

参照图4，用于在本发明的一个实施例的多模式系统中消除残留振动的系统大致由微计算机(MICOM)(例如CPU、PLC、PC等)、输入部、输出部、通信部、存储器(MEMORY)、以及多模式振动消除命令生成机等来构成。

这里，所述输入部具有：与多种传感器(例如激光变位传感器、CCD照相机、超声波传感器、译码器等)之间的接口功能、以及与上位控制机(例如PLC、PC等)和操作开关(例如垂悬式开关、操纵杆等)之间的接口功能。

所述通信部具有用于交换多种信息的功能。

所述输出部具有：能够与应用本发明技术的全部的机械装置进行连接的功能。

所述存储器具有：保存为了消除移送装备的振动而计算的信息和与控制相关联的全部信息的功能。

另外，作为中央处理装置的微计算机(MICOM)为了实现与多种外部装置之间的有效连接，能够以多种方式(例如微处理器、PLC、PC等)来构成使得起到本发明的振动消除装置的全部功能。

在本发明中作为最为重要的部分的多模式振动消除命令生成器是生成修正命令的部分，该修正命令是针对用于有效消除系统的多模式振动的最初命令进行修正的命令，该多模式振动消除命令生成器基于下面展开的算法生成所述修正命令。

另一方面，在具有驱动系的全部系统中，由于结构物的动态柔软性而导致在动作以及停止时产生不希望的残留振动。这种残留振动导致难以将系统移动到所期望的路径，并且在高速定位作业时，由于在目标地点中的动作完成时间被延迟，因此导致向下一动作的转换变晚。基于这种理由，残留振动成为降低系统性能的直接要因之一。

在实际系统中，大多数情况下具有多个振动模式。但是，一般具有最低的固有振动数的一个振动模式对系统的性能带来最大的影响，因此在大多数情况下，通过控制对性能带来最大影响的一个振动模式，能够得到满意的结果。但是，存在很多必须根据系统结构以及运动特性来考虑对系统性能带来影响的振动模式为两个以上的多模式的情况。

根据由本发明提出的多模式系统中的残留振动消除方法，能够根据规定的条件来设计用于多模式的很多振动消除命令。特别是，在本发明中，为了验证这种残留振动消除方法，设计出针对具有两个振动模式、三个振动模式、以及四个振动模式的系统的各种振动消除命令，并通过实验来调查了其特性。

下面，详细地说明根据本发明的一个实施例的多模式系统中的残留振动消除方法。

本发明是用于将振动消除命令追加到基准输入命令中来消除由多模式系统产生的残留振动的方法，其中，所述基准输入命令是向具有多个振动模式的多模式系统输入的命令，所述振动消除命令利用现有的各振动模式的固有振动值(s_k)产生具有相互不同的延迟时间、且个数比多个振动模式的个数(n)多“1”个的脉冲。

特别是，本发明的目的在于，提出能够既降低脉冲的个数和上升时间又有效地消除多模式系统的残留振动的新的多模式振动消除命令。由本发明提出的新的振动消除命令的脉冲个数是比多个振动模式的个数(n)多一个的(n+1)个。这里，n是成为考虑对象的振动模式的个数。

首先，由本发明提出的对于多模式系统的振动消除命令，如下面的数学式1那样能够以n+1个脉冲的组合来表示。

[数学式1]

i_n(t)＝A₁δ(t-t₁)+A₂δ(t-t₂)+...+A_n+1δ(t-t_n+1)

这里，A_k，k＝1，2，...，n+1是第k个脉冲的脉冲大小(Impulse Amplitude)，t_k，k＝1，2，...，n+1是第k个脉冲的脉冲时间(Time Location)。另外，t_k＜t_k+1，k＝1，2，...，n的关系必须成立，并且，为了方便，可以将第一个脉冲的作用时间(t1)设为0。

对上述数学式1进行拉普拉斯变换(Laplace Transform)并进一步整理，则如下面的数学式2。

[数学式2]

$I_n\left(s\right)=A_1+A_2{e}^{-t_{2}s}+A_3{e}^{-t_{3}s}+...+A_{n+1}{e}^{-t_{n+1}s}$

另一方面，将提供的多模式系统的传递函数设为G(s)、基准输入命令设为U(s)，则如上述数学式2那样，在具有所提供的输入成形机的情况下，能够以下面的数学式3来表示多模式系统的响应。

[数学式3]

Y(s)＝G(s)U(s)I_n(s)＝G(s)I_n(s)U(s)

假设I_n(s)的零点与传递函数G(s)的极点一致，则在多模式系统的响应中没有振荡(oscillation)。如果对象多模式系统是稳定的、低衰减的，则用于应用输入成形的各振动模式的极点(或者固有值)(下面称作固有振动值)能够定义为下面的数学式4。

[数学式4]

$s_k={\mathrm{\σ}}_k+j{\mathrm{\ω}}_k=-{\mathrm{\ζ}}_k{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{nk}}+j{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{nk}}\sqrt{1-{\mathrm{\ζ}}_k^2},k=\mathrm{1,2},...,n$

这里，ζ_k、ω_nk是第k个振动模式的衰减比和固有振动数，ω_k是第k个振动模式的衰减固有振动数，定义为

另外，各固有振动值的共轭复数，都成为系统的固有振动值。

为了消除多模式系统的残留振动而应用于本发明的振动消除命令是修正基准输入命令的命令，其不具有对其它振动模式的振动。为了使振动消除命令抵消由控制对象振动模式构成的极点，必须将对象固有振动解设为零点。即必须满足如下面的数学式5那样的公式。

[数学式5]

I_n(s_k)＝0，k＝1，2，...，n

上述数学式5全部是复数变量非线性方程式(Complex-value Nonlinear Equation)，与整体2n个实变量非线性方程式(Real-value Nonlinear Equation)相对应。

但是，应求出的未知数的个数是2n+1，因此还需要用于求解的公式。最后，引入将脉冲大小之和设为‘1’的如下面的数学式6那样的限制公式，使得由输入成形机变更的输入的最终值的大小没有变化。

[数学式6]

I_n(0)＝A₁+A₂+...+A_n＝1

即，能够从上述数学式5和数学式6得到如下面的数学式7那样的公式。

[数学式7]

$\left[\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& ...& 1\\ 1& e^{-t_2{s}_1}& e^{-t_3{s}_1}& ...& e^{-t_{n+1}{s}_1}\\ 1& e^{-t_2{s}_2}& e^{-t_3{s}_2}& ...& e^{-t_{n+1}{s}_2}\\ .& .& .& ...& .\\ 1& e^{-t_2{s}_n}& e^{-t_3{s}_n}& ...& e^{-t_{n+1}{s}_n}\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}{A}_1\\ A_2\\ A_3\\ .\\ A_{n+1}\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ .\\ 0\end{array}\right\}$

上述数学式7是由t_k，k＝1，2，...，n+1、A_k，k＝1，2，...，n+1的未知数组成的复数非线性矩阵方程式(Complex Nonlinear Matrix Equation)。因而，如果解出由上述数学式7提供的非线性矩阵方程式，则能够设计出针对多模式的新输入成形机。

在上述数学式7中，未知变量位于矩阵内部，因此无法通过直接的计算来求解，必须利用基于重复计算的数值解析解法。例如，作为求出上述数学式7的解的一个方法，优选如下面那样定义对于误差的绝对值(Norm)并找出使得该绝对值成为‘0’的解。即如下面的数学式8那样，复数非线性矩阵公式能够通过提供的初始值来求出满足数学式8的很多解。

[数学式8]

$\mathrm{norm}\{\left[\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& ...& 1\\ 1& e^{-t_2{s}_1}& e^{-t_3{s}_1}& ...& e^{-t_{n+1}{s}_1}\\ 1& e^{-t_2{s}_2}& e^{-t_2{s}_2}& ...& e^{-t_{n+1}{s}_2}\\ .& .& .& ...& .\\ 1& e^{-t_2{s}_n}& e^{-t_3{s}_n}& ...& e^{-t_{n+1}{s}_n}\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}{A}_1\\ A_2\\ A_3\\ .\\ A_{n+1}\end{array}\right\}-\left\{\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ .\\ 0\end{array}\right\}\}$

在本发明中，能够从定义为上述数学式8的绝对值成为‘0’的非线性方程式中求出解。

下面，详细地说明作为如上所述那样的多模式振动消除命令的最简单例子的考虑了两个振动模式的情况下提出的本发明的残留振动消除方法的特性。

首先，在振动模式为两个的情况下，上述数学式1变成下面的数学式9。

[数学式9]

i₂(t)＝A₁δ(t-t₁)+A₂δ(t-t₂)+A₃δ(t-t₃)

接着，对上述数学式9进行拉普拉斯变换，则如下面的数学式10。

[数学式10]

$I_2\left(s\right)=A_1{e}^{-t_{1}s}+A_2{e}^{-t_{2}s}+A_3{e}^{-t_{3}s}$

假定两个振动模式分别由s₁、s₂这样的固有振动值(或者固有值)来表现，并且，为了方便，如果将第一个脉冲的作用时间(t₁)设为‘0’、即t₁＝0，则为了设计振动消除命令，能够利用上述数学式10来得到如下面的数学式11那样的关系式。

[数学式11]

$I_2\left(s_1\right)=A_1+A_2{e}^{-t_2{s}_1}+A_3{e}^{-t_3{s}_1}=0$

$I_2\left(s_2\right)=A_1+A_2{e}^{-t_2{s}_2}+A_3{e}^{-t_3{s}_2}=0$

对于振动消除命令的脉冲大小的限制条件，如下面的数学式12那样进行设定。

[数学式12]

A₁+A₂+A₃＝1

因而，如果根据满足上述数学式11以及数学式12的下面的数学式13来求出未知数t₂、t₃以及A₁、A₂、A₃，则能够得到具有两个振动模式的多模式振动消除命令。

[数学式13]

$\mathrm{norm}\{\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& e^{-t_2{s}_1}& e^{-t_3{s}_1}\\ 1& e^{-t_2{s}_2}& e^{-t_3{s}_2}\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}{A}_1\\ A_2\\ A_3\end{array}\right\}-\left\{\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right\}\}=0$

图5是表示具有两个振动模式的多模式系统的第二个振动模式的频率变更引起的振动消除命令的脉冲延迟时间的变化的曲线图，图6是表示具有两个振动模式的多模式系统的第二个振动模式的频率变更引起的振动消除命令的脉冲大小的变化的曲线图。

参照图5以及图6，表示利用由上述数学式13提供的条件式来对具有两个振动模式的多模式系统进行计算的多模式振动消除命令。

这里，将第一个振动模式的频率固定为1Hz，而变更第二个振动模式的频率并观察了其变化。如图5所示可知：针对具有两个振动模式的多模式系统，由于第二个振动模式的振动频率的变化，存在多个振动消除命令。

另一方面，在图6中，根据图5中确认的输入脉冲的延迟时间(或者持续时间)计算结果，沿着该值最小的边界线计算脉冲大小的变化来进行表示。

图7是表示应用于具有两个振动模式的多模式系统中的振动消除命令的图，表示根据图5以及图6的结果来实际设计的振动消除命令的例子。

另外，为了比较计算出的相互不同的振动消除命令，如图5所示，研究了以固有频率1Hz、4Hz计算的三个振动消除命令，其延迟时间分别是0.4s、0.6s以及0.8s。

由本发明提出的新的多模式振动消除命令，如图7所示具有三个脉冲。在本发明中由限制方法来设计相同条件的多模式振动消除命令的情况下，能够设计出延迟时间比由古典方法设计的多模式振动消除命令短的多模式振动消除命令。

因为根据这种结果来消除对多模式系统的性能带来大影响的残留振动，所以能够降低使用古典方法时产生的系统的上升时间延迟。

另外，能够设计出可以结合多模式系统的特性来调节上升时间的多模式振动消除命令。在针对具有两个振动模式的多模式系统使用由本发明提出的新的多模式振动消除命令生成方法的情况下，能够生成三个具有相互不同的延迟时间的振动消除命令。

另一方面，如图5以及图6所示，延迟时间最小的振动消除命令的第二个脉冲具有负的解，但是剩余的振动消除命令的全部脉冲具有正的解。

另外，在具有最小延迟时间(Short Duration)的振动消除命令和具有最长延迟时间(Long Duration)的振动消除命令中，显示出脉冲间的时间间隔(Time Spacing)均一的特性，但是具有中间延迟时间(Medium Duration)的振动消除命令，显示出时间间隔具有差异的独特的结果。

另一方面，当设计多模式振动消除命令时最为重要的部分是对所设计的振动消除命令的鲁棒性(robustness)评价。

图8是用于将本发明的振动消除命令和现有的振动消除命令应用于具有两个振动模式的多模式系统来比较敏感度曲线的曲线图，表示的是：针对具有两个振动模式的多模式系统，分别基于由本发明提出的新的多模式振动消除命令、和由古典的多模式振动消除命令设计方法设计的多模式振动消除命令的敏感度曲线。即，对延迟时间最小的振动消除命令和最长的振动消除命令、以及现有的古典方法的敏感度曲线同时进行比较来表示。

这里，所述敏感度是将应用了所设计的振动消除命令时由模型误差产生的振动的大小与不使用古典方法的情况相对地进行比较的结果，可视为是其值越大越不好的特性。

图8的横轴表示振动频率(Frequency)，纵轴表示相对振动的大小(Amplitude)。为了消除残留振动而使用的相互不同的三个多模式振动消除命令，在两个振动模式的1Hz以及4Hz中振动大小都为‘0’，因此可知两个振动被完全消除。

另一方面，本发明的多模式振动消除命令中具有最小延迟时间的振动消除命令的敏感度表现得特别高。敏感度高，是意味着在有模型误差的情况下残留振动能够变大，因此是不希望的特性。

与此相对，在延迟时间长的振动消除命令的情况下，能够确认在敏感度方面显示出相对优良的特性。一般来说，如果降低振动消除命令的延迟时间，则显示出敏感度变大的倾向，因此需要根据要应用的问题来选择适当的振动消除命令。即能够根据既定的多模式系统的加速时间或者敏感度来确定所述获得的脉冲的延迟时间以及大小的解中的至少一个。

图9是用于将本发明的振动消除命令和现有的振动消除命令应用于具有两个振动模式的多模式系统来比较多模式系统的振动响应的曲线图，将对由本发明提出的新的多模式振动消除命令和现有研究的多模式振动消除命令的振动响应进行比较来表示。

参照图9，本发明的新的振动消除命令有脉冲时间间隔短的和长的。它们的残留振动消除效果都相同，但是发现上升时间根据应用的方法不同而具有大的差异。

图10是表示为了应用本发明的一个实施例的多模式系统中的残留振动消除方法而具有两个振动模式的多模式系统的整体结构的概念图，是表示应用于本发明中的实验装置的概要图。

参照图10，作为实验装置的基本结构，通过伺服电机驱动的高速精密XY载置台经过精密滚珠螺杆连结。

在所述XY载置台上，安装有具有相同形状和质量的质量体，并固定有能够调整固有振动数的两个柔性柱。通过调整安装在柱上的质量体的位置来能够变更固有振动数。

另外，为了测量通过所述XY载置台的运动产生的柔性柱的振动，使用激光扫描测微计和数字示波器。为了进行正确的速度以及位置控制，使用DSP动作控制器。

图11是将本发明的一个实施例中的具有最小延迟时间的振动消除命令应用于具有两个振动模式的多模式系统来表示多模式系统的响应的曲线图，图12是将本发明的一个实施例中的具有最长延迟时间的振动消除命令应用于具有两个振动模式的多模式系统来表示多模式系统的响应的曲线图，表示的是将两个柔性柱的固有振动数设定为各自具有1Hz以及4Hz而测量针对一边使XY载置台动作一边应用了振动消除命令的情况和不是这样的情况下的响应。

参照图11以及图12，用虚线来表示不使用振动消除命令时的响应，而用实线来表示使用了振动消除命令时的响应。如从附图中可清楚地得知：针对具有两个振动模式的多模式系统，由本发明新设计的多模式振动消除命令对消除残留振动是有效的。

另外，在图11的情况下，有效地消除多模式系统的振动，且相比于古典的多模式振动消除命令具有极快的上升时间。这意味着：由本发明提出的新的多模式振动消除命令设计方法能够有效地消除系统的残留振动，并且与现有的方法相比能够改善性能。

另一方面，如果将图11的结果与图12的结果相比来看，则高次模式的残留振动多少比低次模式显示出更多，这判断为在设计振动消除命令时假定为非衰减系的部分和设定的固有振动数之间具有少许的误差而出现的，由于最小延迟时间的振动消除命令的敏感度更高，因此与最长延迟时间的振动消除命令相比，其大小显示出稍微大。

下面，详细地说明在考虑了三个振动模式的情况下提出的本发明的残留振动消除方法。

首先，在振动模式是三个的情况下，上述数学式1变成下面的数学式14。

[数学式14]

i₃(t)＝A₁δ(t-t₁)+A₂δ(t-t₂)+A₃δ(t-t₃)+A₄δ(t-t₄)

接着，对上述数学式14进行拉普拉斯变换，则如下面的数学式15。

[数学式15]

$I_3\left(s\right)=A_1{e}^{-t_{1}s}+A_2{e}^{-t_{2}s}+A_3{e}^{-t_{3}s}+A_4{e}^{-t_{4}s}$

假定三个振动模式分别由s₁、s₂、s₃这样的固有振动值(或者固有值)来表现，并且，为了方便，如果将第一个脉冲的作用时间(t₁)设为‘0’、即t₁＝0，则为了设计振动消除命令，能够利用上述数学式15来得到如下面的数学式16那样的关系式。

[数学式16]

$I_3\left(s_1\right)=A_1+A_2{e}^{-t_2{s}_1}+A_3{e}^{-t_3{s}_1}+A_4{e}^{-t_4{s}_1}=0$

$I_3\left(s_2\right)=A_1+A_2{e}^{-t_2{s}_2}+A_3{e}^{-t_3{s}_2}+A_4{e}^{-t_4{s}_2}=0$

$I_3\left(s_3\right)=A_1+A_2{e}^{-t_2{s}_3}+A_3{e}^{-t_3{s}_3}+A_4{e}^{-t_4{s}_3}=0$

接着，对于振动消除命令的大小限制条件，如下面的数学式17那样进行设定。

[数学式17]

A₁+A₂+A₃+A₄＝1

因而，如果根据满足上述数学式16以及数学式17的下面的数学式18来求出未知数t₂、t₃、t₄以及A₁、A₂、A₃、A₄，则能够得到具有三个振动模式的多模式振动消除命令。

[数学式18]

$\mathrm{norm}\{\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& e^{-t_2{s}_1}& e^{-t_3{s}_1}& e^{-t_4{s}_1}\\ 1& e^{-t_2{s}_2}& e^{-t_3{s}_2}& e^{-t_4{s}_2}\\ 1& e^{-t_2{s}_3}& e^{-t_3{s}_3}& e^{-t_4{s}_3}\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}{A}_1\\ A_2\\ A_3\\ A_4\end{array}\right\}-\left\{\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right\}\}=0$

下面，详细地说明对于考虑了上述的三个振动模式的多模式振动消除命令的评价。

图13是表示为了应用本发明的一个实施例的多模式系统中的残留振动消除方法而具有三个振动模式的多模式系统的整体结构的概念图，图14是用于概要性地说明图13的多模式系统的概念图。

参照图13以及图14，利用如图13那样的一般的高速载置台来对数学式18进行评价，该数学式18是为了设计考虑了三个振动模式的多模式振动消除命令而得到的最终数学式。

图13的高速载置台，在载置台的基底上由XY方向的驱动部和作为移送对象的任意的质量体构成。载置台的基底通过空气弹簧(Air Spring)与框架连结。

所述空气弹簧，能够利用空气压来调节空气弹簧的刚性。在由这种结构构成的高速载置台中，如果XY方向的驱动部动作，则显示出具有最大6自由度的复合形态的振动特性。

但是，在本发明中，限制到三个振动模式。当在X方向上高速移动时，如移动方向(x)和垂直于移动方向的方向(z)以及旋转方向(θ)那样，整体能够定义为三个自由度，能够如图14那样表示。

这里，M是基底质量，kb₁和kb₂是基底和框架之间的z方向弹簧常数、ke₁和ke₂是x方向弹簧常数，在基底上向x方向运动的载置台的重量是m，基底和载置台之间的摩擦系数是μ。l₁、l₂分别是从基底的中心到kb₁和kb₂的距离。

利用这种条件，针对如图14那样的3自由度系统的运动方程式能够由下面的数学式19来表示。如果将运动方程式转换为矩阵式，则如下述数学式20那样。

[数学式19]

$\mathrm{\Σ}{F}_x=M\stackrel{\·\·}{x}+(k_{x_1}+k_{x_2})x-k_{x_2}\mathrm{\ϵ\θ}-k_{x_1}\mathrm{\ϵ\θ}-\mathrm{uF}=0$

$\mathrm{\Σ}{F}_Z=M\stackrel{\·\·}{z}+(k_{z_1}+k_{z_1})z+k_{z_1}{\mathrm{\θl}}_1-k_{z_2}{\mathrm{\θl}}_2+F=0$

$\mathrm{\ΣM}=J\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}+(k_{z_2}{l}_2+k_{x_2}{\mathrm{\ϵ}}^2+k_{z_1}{l}_1^2+k_{x_1}{\mathrm{\ϵ}}^2)\mathrm{\θ}$

$+(k_{z_2}{l}_2-k_{z_1}{l}_1)z-(k_{x_2}\mathrm{\ϵ}+k_{x_1}\mathrm{\ϵ})x-\mathrm{Fq}-\mathrm{uF\ϵ}=0$

[数学式20]

$\left[\begin{array}{ccc}M& 0& 0\\ 0& M& 0\\ 0& 0& J\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·\·}{x}\\ \stackrel{\·\·}{z}\\ \stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}\end{array}\right\}+$

$\left[\begin{array}{ccc}(k_{x_1}+k_{x_2})& 0& -(k_{x_1}\mathrm{\ϵ}+k_{x_2}\mathrm{\ϵ})\\ 0& (k_{z_1}+k_{z_2})& (k_{z_1}{l}_1-k_{z_2}{l}_2)\\ -(k_{x_1}\mathrm{\ϵ}+k_{x_3}\mathrm{\ϵ})& (k_{z_1}{l}_1-k_{z_2}{l}_2)& (k_{x_1}{\mathrm{\ϵ}}^2+k_{x_2}{\mathrm{\ϵ}}^2+k_{z_2}{l_2}^2+k_{z_1}{l}_1^2)\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}x\\ z\\ \mathrm{\θ}\end{array}\right\}=\left[\begin{array}{c}\mathrm{uF}\\ F\\ F(q-\mathrm{u\ϵ})\end{array}\right]$

接着，为了解出上述数学式20，如下面的数学式21那样利用状态空间进一步整理上述数学式20，则能够如下面的数学式22那样进行整理。

[数学式21]

Y＝CX+DU

[数学式22]

另外，下面的数学式23是对如图14那样的3自由度系统的运动方程式利用状态空间来最终整理而得的矩阵式。

[数学式23]

$\left[\begin{array}{c}{Y}_1\\ Y_2\\ Y_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{X}_1\\ X_2\\ X_3\\ X_4\\ X_5\\ X_6\end{array}\right]$

从上述数学式23能够计算针对3自由度的各自的固有振动数。在本发明中，为了利用上述数学式23来计算固有振动数而使用的载置台的变量值如下述的表1所示。

[表1]

利用上述的表1的解从上述数学式23得到的三个固有振动数，针对x方向、z方向以及θ方向分别是0.4786Hz、2.25Hz以及5.5485Hz。

这里，载置台的动作假定为在x方向上从基底的中心向末端移动。此时，载置台的移动速度是1m/s。下面，示出针对各振动模式的振动方式和应用了多模式振动消除命令之后的各振动模式的结果。

图15是表示输入到图13的X方向驱动部中的基准命令的图，表示的是输入到如图13那样的高速载置台的X方向驱动部中的基准命令。

如果参照图15，横轴表示时间，纵轴表示加速度。加速以及减速时间是0.1s，最大移动速度是1m/s。恒速区间维持10s，整体动作时间是10.2s。

图16是表示用于图13的多模式系统的振动消除命令的图，表示的是能够利用规定的条件从上述数学式18得到的多个多模式振动消除命令中的两个多模式振动消除命令。

图16(a)是具有短的延迟时间的情况，图16(b)是具有长的延迟时间的情况。在相同条件下使用传统的多模式振动消除命令设计方法等古典方法的情况下，多模式振动消除命令的持续时间是1.357s，脉冲的个数总共是8个。

另一方面，在利用由本发明提出的新的多模式振动消除命令设计方法的情况下，如图16所示，脉冲的个数是四个，并且，两个多模式振动消除命令的延迟时间都比传统的振动消除命令的延迟时间短。

图17是用于将本发明的振动消除命令和现有的振动消除命令应用于具有三个振动模式的多模式系统来比较敏感度曲线的曲线图，表示为了评价多模式振动消除命令的鲁棒性而使用的敏感度曲线。

参照图17，首先可知：对于在振动消除命令设计中使用的固有振动数来说，三个多模式振动消除命令都能够完全消除振动。多模式振动消除命令的鲁棒性最令人满意的是传统的方法，而如图16那样的新的多模式振动消除命令与古典方法相比，多少对固有振动数的误差是敏感的。这可以说是由于振动消除命令的脉冲延迟时间短而产生的结果。

图18是将本发明的振动消除命令和现有的振动消除命令应用于具有三个振动模式的多模式系统来表示各振动模式的响应结果的曲线图，图19是将本发明的振动消除命令和现有的振动消除命令应用于具有三个振动模式的多模式系统来表示对系统的整体响应结果的曲线图。

参照图18以及图19，表示对于在具有如图13那样的三个振动模式的多模式系统中应用了多模式振动消除命令的情况和不是这样的情况下的仿真结果。

图18是表示各振动模式的响应结果的图，实线是不应用振动消除命令时的响应，虚线是传统的振动消除命令的响应，点划线表示由本发明提出的新的多模式振动消除命令中如图16(a)那样设计的具有短的延迟时间的振动消除命令的响应。

从图18的结果可知：通过使用振动消除命令，有效地消除各振动模式的振动。图19是表示针对具有三个振动模式的多模式系统的整体仿真结果的图，从图示的结果可知：通过利用振动消除命令，具有多模式振动特性的系统的振动特性得以改善。

特别是，能够从图19得到的最重要的结果是：使用了以由本发明提出的方法设计的多模式振动消除命令的响应的加速时间比古典的方法短。导致这样的结果的原因是：通过利用新的多模式振动消除命令设计方法的最大长处即能够任意确定振动消除命令的脉冲延迟时间的特点，任意地调节多模式系统的加速时间。

另外，多模式系统的加速时间变得比使用了卷积ZV成形机的情况短，但是从如图17可知：针对固有振动数的误差的鲁棒性减少。

下面，详细地说明考虑了四个振动模式时提出的本发明的残留振动消除方法。

为了以与具有如上所述那样的两个以及三个振动模式的多模式系统相同的方法，设计具有四个振动模式的多模式振动消除命令而最终求出的复数非线性矩阵式，能够如下面的数学式24那样进行定义。

[数学式24]

$\mathrm{norm}\{\left[\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 1\\ 1& e^{-t_2{s}_1}& e^{-t_3{s}_1}& e^{-t_4{s}_1}& e^{-t_5{s}_1}\\ 1& e^{-t_2{s}_2}& e^{-t_3{s}_2}& e^{-t_4{s}_2}& e^{-t_5{s}_2}\\ 1& e^{-t_2{s}_3}& e^{-t_3{s}_3}& e^{-t_4{s}_3}& e^{-t_5{s}_3}\\ 1& e^{-t_2{s}_4}& e^{-t_3{s}_4}& e^{-t_4{s}_4}& e^{-t_5{s}_4}\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}{A}_1\\ A_2\\ A_3\\ A_4\\ A_5\end{array}\right\}-\left\{\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right\}\}=0$

下面，详细地说明对于考虑了如上所述那样的四个振动模式的多模式振动消除命令的评价。

为了设计考虑了四个振动模式的多模式振动消除命令，并为了使用由本发明提出的方法而选择任意的相互不同的四个振动模式，设计振动消除命令来进行评价。

对于四个振动模式的固有振动数分别是ω_n，1、ω_n，2、ω_n，3、ω_n，4，固有振动数的关系必须满足下面的数学式25。另外，此时使用的多模式系统是非衰减系统。

[数学式25]

ω_n，1＜ω_n，2＜ω_n，3＜ω_n，4

应该从上述数学式24确定的振动消除命令的脉冲输入时间t₂、t₃、t₄、t₅，必须满足下面的数学式26。

[数学式26]

t₂＜t₃＜t₄＜t₅

为了评价考虑了四个振动模式的振动消除命令，将与由本发明使用的各振动模式相当的固有振动数，分别假定为1Hz、2.5Hz、3Hz以及4Hz。

由本发明提出的多模式振动消除命令设计方法的最大长处在于，能够任意地调节振动消除命令的延迟时间。基本上，由本发明提出的多模式振动消除命令具有比古典的多模式振动消除命令短的延迟时间。

但是，延迟时间越短，振动消除命令的鲁棒性越差。因而，在使用由本发明提出的振动消除命令设计方法的情况下，可以考虑多模式系统的特性来设计振动消除命令。

图20是表示用在具有四个振动模式的多模式系统中的振动消除命令的图，所述多模式系统应用了本发明的一个实施例的多模式系统中的残留振动消除方法。

参照图20，利用规定的固有振动数和上述数学式24至数学式26，设计出考虑了四个振动模式的多模式振动消除命令，该多模式振动消除命令具有如图20所示的相互不同的振动消除命令的延迟时间。

根据由本发明提出的多模式振动消除命令设计理论，具有四个振动模式的振动消除命令脉冲的个数成为n+1个即5个。这里，n是要消除振动的振动模式的个数。

假设在利用提出的新方法来设计多模式振动消除命令的情况下，能够求出无数的解。在众多的解中确定适当的解的方法，可以说也是非常重要的设计要素。即能够根据既定的多模式系统的加速时间或者敏感度来确定所获得的脉冲的延迟时间以及大小的解中的至少一个。

在本发明中，如图20所示，根据振动消除命令延迟时间设计具有短的延迟时间(Short Duration)和长的延迟时间(Long Duration)的多模式振动消除命令，其结果表示在图20中。

这里，特殊的事项在于：具有短的延迟时间的多模式振动消除命令以中间脉冲为中心形成对称的形态，但是具有长的延长时间的多模式振动消除命令显示出非对称的形态。由此可知：在设计振动消除命令时，多模式振动消除命令根据规定的条件、特别是初始条件等而具有多种形态。

图21是用于将本发明的振动消除命令和现有的振动消除命令应用于具有四个振动模式的多模式系统来比较系统响应的曲线图，图22是用于将本发明的振动消除命令和现有的振动消除命令应用于具有四个振动模式的多模式系统来比较敏感度曲线的曲线图。

参照图21以及图22，设计针对具有四个振动模式的多模式系统的多模式振动消除命令，为了评价所设计的多模式振动消除命令的性能，计算了对于输入的响应(参照图21)和敏感度曲线(参照图22)。

图21是表示对于针对具有四个振动模式的多模式系统使用了多模式振动消除命令的情况和不是这样的情况的响应的图。为了比较由本发明提出的多模式振动消除命令的性能，利用了传统的多模式振动消除命令中最广泛知晓的卷积ZV成形机(Convolved ZV Shaper)和卷积UMZV成形机(Convolved Unity-Magnitude ZV Shaper)。

这里使用的四个多模式振动消除命令都对消除具有四个振动模式的多模式系统的残留振动是有效的。在多模式系统的特性对多模式系统的加速时间带来很大影响的情况下，作为重要因素起作用的是：当设计多模式振动消除命令时，不增加加速时间。

在以这种侧面进行分析的情况下，可知：以由本发明提出的方法设计的具有短的延迟时间的多模式振动消除命令与具有长的延迟时间的多模式振动消除命令相比，性能优良。另外，能够得到具有比传统的多模式振动消除命令中最广泛使用的卷积ZV成形机短的加速时间的结果。

但是，可知加速时间多少比卷积UMZV成形机长，但是考虑到实际应用多模式系统的卷积UMZV成形机存在技术上的界限，可以说以由本发明提出的方法设计的具有短的延迟时间的多模式振动消除命令具有最优选的性能。

图22是表示对于针对具有四个振动模式的多模式系统使用了振动消除命令的情况和不是这样的情况的敏感度曲线的曲线图。所述敏感度曲线是在评价所设计的振动消除命令时的重要的工具，是评价振动消除命令的鲁棒性的尺度。

所使用的四个多模式振动消除命令中最强健的多模式振动消除命令，是卷积ZV成形机。可知具有与具有短的延迟时间的多模式振动消除命令中的卷积UMZV成形机大致类似的鲁棒性特性。

但是，如图22所示的敏感度曲线的特性中最特殊的事项在于，通常来说，在振动消除命令的延迟时间长的情况下，与具有短的延迟时间的振动消除命令相比，显示出对固有振动数的误差不那么敏感的结果，但是在如图20所示设计的多模式振动消除命令的情况下，具有长的延迟时间的振动消除命令显示出更敏感的结果。

这可以说是在众多解中选择了特定解的结果，特别是基于多模式振动消除命令的不规则(非对称)脉冲形态的结果。

虽然说明了如上所述那样的本发明的多模式系统中的残留振动消除方法的优选实施例，但是本发明不限于此，能够在权利要求范围和发明的详细说明以及附图的范围内进行各种变形来实施，这些也属于本发明。

Claims (4)

1.一种多模式系统中的残留振动消除方法，其将振动消除命令追加到基准输入命令中来消除由多模式系统产生的残留振动，其中，所述基准输入命令是向具有多个振动模式的多模式系统输入的命令，该方法的特征在于，

所述振动消除命令利用既定的各振动模式的固有振动值(s_k)来产生具有相互不同的延迟时间、且个数比多个振动模式的个数(n)多‘1’个的脉冲，并且，

确定所述脉冲的延迟时间(t_k，k＝1，2，...，n+1)以及大小(A_k)的过程包括如下步骤：

(a)根据由具有相互不同的延迟时间的(n+1)个脉冲的组合所组成的公式(a){i_n(t)＝A₁δ(t-t₁)+A₂δ(t-t₂)+...+A_n+1δ(t-t_n+1)}来定义所述振动消除命令{i_n(t)}；

(b)以将所述定义的公式(a)的第一个脉冲的作用时间(t₁)设为‘0’的状态进行拉普拉斯变换，获得公式(b) $\{I_n\left(s\right)=A_1+A_2{e}^{-t_{2}s}+A_3{e}^{-t_{3}s}+...+A_{n+1}{e}^{-t_{n+1}s}\};$

(c)为了利用所述获得的公式(b)来抵消由各振动模式构成的固有振动值(s_k)，以使对象固有振动值(s_k)成为零点的方式，定义公式(c){I_n(s_k)＝0，k＝1，2，...，n}；

(d)定义将脉冲大小之和限制为‘1’的公式(d){I_n(0)＝A₁+A₂+...+A_n＝1}，使得在利用所述获得的公式(b)通过所述振动消除命令来变更的所述基准输入命令的最终值的大小没有变化；

(e)利用所述定义的公式(c)以及公式(d)来获得复数非线性矩阵方程式{公式(e)}

$\left[\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& ...& 1\\ 1& e^{-t_2{s}_1}& e^{-t_3{s}_1}& ...& e^{-t_{n+1}{s}_1}\\ 1& e^{-t_2{s}_2}& e^{-t_3{s}_2}& ...& e^{-t_{n+1}{s}_2}\\ .& .& .& ...& .\\ 1& e^{-t_2{s}_n}& e^{-t_3{s}_n}& ...& e^{-t_{n+1}{s}_n}\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}{A}_1\\ A_2\\ A_3\\ .\\ A_{n+1}\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ .\\ 0\end{array}\right\}$ 公式(e)；

(f)利用基于重复计算的数值解析方法对所述获得的公式(e)进行计算，获得脉冲的延迟时间(t_k)以及大小(A_k)的解；以及

(g)根据既定的多模式系统的加速时间或者敏感度来确定所述获得的脉冲的延迟时间(t_k)以及大小(A_k)的值中的至少一个。

2.根据权利要求1所述的多模式系统中的残留振动消除方法，其特征在于，

所述各振动模式的固有振动值(s_k)，是根据下述公式(c-1)来定义的，

$s_k={\mathrm{\σ}}_k+j{\mathrm{\ω}}_k=-{\mathrm{\ζ}}_k{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{nk}}+j{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{nk}}\sqrt{1-{\mathrm{\ζ}}_k^2},k=\mathrm{1,2},...,n$ ...公式(c-1)

这里，ζ_k、ω_nk是第k个振动模式的衰减比和固有振动数，ω_k是第k个振动模式的衰减固有振动数，定义为

3.根据权利要求1所述的多模式系统中的残留振动消除方法，其特征在于，

在所述步骤(f)中，能够根据定义对于误差的绝对值(Norm)并使该绝对值成为‘0’的下述公式(f)，获得脉冲的延迟时间(t_k)以及大小(A_k)的解：

$\mathrm{norm}\{\left[\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& ...& 1\\ 1& e^{-t_2{s}_1}& e^{-t_3{s}_1}& ...& e^{-t_{n+1}{s}_1}\\ 1& e^{-t_2{s}_2}& e^{-t_2{s}_2}& ...& e^{-t_{n+1}{s}_2}\\ .& .& .& ...& .\\ 1& e^{-t_2{s}_n}& e^{-t_3{s}_n}& ...& e^{-t_{n+1}{s}_n}\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}{A}_1\\ A_2\\ A_3\\ .\\ A_{n+1}\end{array}\right\}-\left\{\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ .\\ 0\end{array}\right\}\}$ 公式(f)。

4.一种多模式系统中的残留振动消除方法，其将振动消除命令追加到基准输入命令中来消除由多模式系统产生的残留振动，其中，所述基准输入命令是向具有多个振动模式的多模式系统输入的命令，该方法的特征在于，

所述振动消除命令利用既定的各振动模式的固有振动解来产生具有相互不同的延迟时间、且个数比多个振动模式的个数多‘1’个的脉冲。

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