CN102162845B - 双基地合成孔径雷达点目标响应二维频谱的计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种双基地合成孔径雷达点目标响应二维频谱的计算方法。本发明针对现有技术存在的缺陷，设计了一种双基地合成孔径雷达点目标响应二维频谱的计算方法，克服了现有LBF方法和扩展LBF方法对大斜视和前视等模式双基地SAR点目标响应二维频谱计算精度低的问题。本发明采用关于多普勒频率的幂级数，精确考虑收发平台的多普勒贡献，通过多普勒质心和调频斜率等高阶多普勒参数对收发平台的多普勒频率进行建模，分别计算收发平台的驻定相位点，得到点目标响应二维频谱。该方法可以对任意模式的双基地SAR点目标响应二维频谱进行计算，而不受收发平台几何结构和斜视角的影响。

Description

双基地合成孔径雷达点目标响应二维频谱的计算方法

技术领域

本发明属于雷达信号处理技术领域，尤其涉及双基地合成孔径雷达（SAR，Synthetic Aperture Radar）点目标响应二维频谱的计算方法。

背景技术

与光学传感器相比，合成孔径雷达具有穿透性强，能全天时、全天候工作的独特优点，目前已得到广泛的应用。双基地SAR是一种新的雷达体制，系统发射站和接收站分置于不同平台上，收发分置的特点使其具备了许多突出的优点和特点，如获取目标信息丰富、作用距离远、安全性好、抗干扰能力强等。

在SAR成像处理中，为了高效地对回波进行聚焦处理，通常需要在频域内进行处理。因此，点目标响应的二维频谱就成为频域成像算法不可或缺的基础。针对传统单基地SAR，计算点目标响应二维频谱通常采用驻定相位原理。但是对于双基地SAR来讲，由于收发分置，回波方位向调制更加复杂，如果直接采用驻定相位原理的话，则需要求解一个一元八次方程，将很难得到驻定相位点的解析表达式，也就很难得到双基地SAR的点目标响应二维频谱。

针对上述问题，目前应用比较广泛的点目标响应二维频谱计算方法是LBF方法，可参见文献“Loffeld O.，Nies H.，Peters V.，Knedlik S.Models and usefulrelations for bistatic SAR processing，IEEE Transactions on Geoscience andRemote Sensing，Vol 42,No 10，2031-2038，2004”。该方法分别计算两个平台的驻定相位点，然后将它们结合在一起，得到双基地的驻定相位点，进而得到点目标响应二维频谱。但是由于假设了收发平台对双基地SAR的相位历史具有相同的多普勒贡献，该方法不能直接应用在比如星机双基地SAR等几何结构差异较大的双基地SAR系统中。在文献“Wang R.，Loffeld O.，Ul-Ann Q.，Nies H.，Medrano Ortiz A.，Samarah A.，A bistatic point target referencespectrum for general bistatic SAR processing，IEEE Geoscience and RemoteSensing Letters，Vol 5，No 3,517-521，2008”中，提出采用扩展LBF方法来计算星机双基地SAR点目标响应的二维频谱。该方法采用收发平台的多普勒调频斜率的比值来构造因子，对收发平台的多普勒贡献进行加权。但是由于只考虑了多普勒调频斜率对多普勒贡献的影响，该方法只可以实现正侧视和小斜视的双基地SAR点目标响应的二维频谱计算，对收发站天线斜视角较大或前视双基地SAR的点目标响应二维频谱计算精度较低。

发明内容

本发明的目的是为了解决现有的LBF方法和扩展LBF方法对大斜视和前视等模式双基地SAR点目标响应二维频谱计算精度低的问题，提出了一种双基地合成孔径雷达点目标响应二维频谱的计算方法。

为了方便描述本发明的内容，首先对以下术语进行解释：

术语1：双基地SAR（bistatic SAR）

双基地SAR是指系统发射站和接收站分置于不同平台上的SAR系统，其中至少有一个平台为运动平台，在概念上属于双基地雷达。

术语2：星机双基地SAR（Space/airborne bistatic SAR）

星机双基地SAR是指收发平台之一为卫星，另一平台为飞机的双基地合成孔径雷达系统。该模式既充分发挥了卫星站得高、看得远、覆盖面广等优点，还可以发挥飞机机动灵活的特点，同时还可保持很高的图像信噪比，降低对卫星功率、数据传输容量、处理能力及成本等方面的需求。

术语3：斜视双基地SAR（Squint Mode bistatic SAR）

斜视双基地合成孔径雷达是指收发平台至少有一个为斜视的双基地SAR系统。该模式可以增大系统工作的灵活性，提供更多的地面目标信息，还可实现目标区域重访。

术语4：前视双基地SAR（Forward-looking bistatic SAR）

前视双基地SAR是指收发波束共同指向运动接收站前方地面的双基地SAR系统。由于收发分置，双基地SAR可以克服传统SAR技术不能实现飞行器正前方高分辨雷达成像的缺陷，使编队飞行的飞机具备前视成像的能力，从而可以应用于飞行器前视对地观测、自主导航、自主着陆、物资空投等领域。

术语5：点目标响应二维频谱

点目标响应二维频谱是指SAR点目标回波的频域表示。为了采用频域成像算法对SAR回波进行成像处理，需要借助精确且解析的点目标响应二维频谱进行算法推导。

术语6：驻定相位原理

驻定相位原理主要用来求大时带积信号的频谱。具体原理为：

如果函数r(t)连续并，且在单点t=t₀处函数μ(t)的一阶导数为零，即μ'(t₀)=0且二阶导数μ″(t₀)≠0，对于足够大的k，则有：

${\∫}_{-\∞}^{\∞}r\left(t\right)e^{\mathrm{jk\μ}\left(t\right)}\mathrm{dt}\≈e^{\mathrm{jk\μ}\left(t_0\right)}r\left(t_0\right)\sqrt{\frac{2\mathrm{\πj}}{k{\mathrm{\μ}}^{\′\′}\left(t_0\right)}}$

如果μ″(t₀)=0，则需要计算μ(t)泰勒展开式的下一项系数；如果有若干个点t=t_k(k=1,2,…)都满足μ'(t_k)=0且μ″(t_k)≠0，则需要对每一个点应用驻定相位原理，然后将计算结果相加。

由于SAR回波距离向和方位向均可被认为是大时宽带宽积的调频信号，所以计算SAR点目标响应二维频谱通常采用驻定相位原理。

为了实现上述目的，本发明提供了一种双基地合成孔径雷达点目标响应二维频谱的计算方法，具体包括如下步骤：

步骤一：对点目标回波沿距离向做傅里叶变换，即对点目标回波，沿距离时间应用驻定相位原理，得到双基地SAR点目标回波在距离频域-方位时域的表达式：

$S(f,\mathrm{\η})=A\·\exp \{-j2\mathrm{\π}(f+f_0)\frac{R_T\left(\mathrm{\η}\right)+R_R\left(\mathrm{\η}\right)}{c}\}\exp \{-j\frac{\mathrm{\π}{f}^2}{K_r}\}$

其中A为常数因子，f为距离频率，f₀为中心频率，K_r为发射信号调频斜率；η为慢时间变量；c为光速；

和

为发射站和接收站的距离历史，r_0T、r_0R为发射站和接收站的中心斜距，v_T、v_R为发射站和接收站的速度，θ_sT、θ_sR为发射站和接收站的波束斜视角；

步骤二：构造方位向傅里叶积分，对步骤一中的得到的双基地SAR点目标回波在距离频域-方位时域的表达式S(f,η)沿慢时间变量η构造傅里叶积分，其中被积函数的相位因子为φ_b(η,f_η)=2π(f+f₀)[R_T(η)+R_R(η)]/c+2πf_ηη，其中f_η为方位向频率变量；

步骤三：采用幂级数展开，利用总多普勒频率计算发射站和接收站分别对应的多普勒频率贡献，将总多普勒频率分解为两部分，分别对应发射站和接收站的多普勒贡献，并用总多普勒频率对其进行表示，f_ηT和f_ηR分别为发射站和接收站对应的多普勒频率:

$f_{\mathrm{\ηT}}\≈f_{\mathrm{\ηcT}}+\frac{f_{\mathrm{\ηrT}}}{f_{\mathrm{\ηr}}}(f_{\mathrm{\η}}-f_{\mathrm{\ηc}})-\frac{f_{\mathrm{\ηrT}}{f}_{\mathrm{\η}3}-f_{\mathrm{\η}3T}{f}_{\mathrm{\ηr}}}{f_{\mathrm{\ηr}}^3}{(f_{\mathrm{\η}}-f_{\mathrm{\ηc}})}^2$

$f_{\mathrm{\ηR}}\≈f_{\mathrm{\ηcR}}+\frac{f_{\mathrm{\ηrR}}}{f_{\mathrm{\ηr}}}(f_{\mathrm{\η}}-f_{\mathrm{\ηc}})-\frac{f_{\mathrm{\ηrR}}{f}_{\mathrm{\η}3}-f_{\mathrm{\η}3R}{f}_{\mathrm{\ηr}}}{f_{\mathrm{\ηr}}^3}{(f_{\mathrm{\η}}-f_{\mathrm{\ηc}})}^2$

其中f_ηcT，f_ηcR为发射站和接收站对应的多普勒质心；f_ηrT，f_ηrR为发射站和接收站对应的多普勒调频斜率；f_η3T，f_η3R为发射站和接收站对应的三阶多普勒参数；f_ηc，f_ηr和f_η3为系统总的多普勒质心、多普勒调频斜率和三阶多普勒参数；

步骤四：采用步骤三中的发射站和接收站多普勒频率贡献，分别计算发射站和接收站的驻定相位点，将步骤二中的被积函数的相位因子φ_b(η,f_η)分解为两部分φ_b(η,f_η)=φ_T(η,f_η)+φ_R(η,f_η)，其中φ_T(η,f_η)=2π{(f+f₀)R_T(η)/c+f_ηTη},φ_R(η,f_η)=2π{(f+f₀)R_R(η)/c+f_ηRη}，将φ_T(η,f_η)和φ_R(η,f_η)分别对η进行求导，取一阶导数为零的η为驻定相位点，结果为 ${\mathrm{\η}}_{\mathrm{PT}}=r_{0T}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{sT}}/v_T-{\mathrm{cr}}_{0T}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{sT}}{f}_{\mathrm{\ηT}}/\left(v_T^2{F}_T\right)$ 和 ${\mathrm{\η}}_{\mathrm{PR}}=r_{0R}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{sR}}/v_R-{\mathrm{cr}}_{0R}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{sR}}{f}_{\mathrm{\ηR}}/\left(v_R^2{F}_R\right),$ 其中 $F_T=\sqrt{{(f+f_0)}^2-{\left(\frac{{\mathrm{cf}}_{\mathrm{\ηT}}}{v_T}\right)}^2},$ $F_R=\sqrt{{(f+f_0)}^2-{\left(\frac{{\mathrm{cf}}_{\mathrm{\ηR}}}{v_R}\right)}^2};$

步骤五：计算点目标响应的二维频谱，将步骤四中得到的驻定相位点η_PT、η_PR分别带入φ_T(η,f_η)和φ_R(η,f_η)，即把式子φ_T(η,f_η)和φ_R(η,f_η)中的η分别用η_PT、η_PR替换，进而可以得到双基地SAR点目标响应的二维频谱，如下式所示：

$S_{2\mathrm{df}}(f,f_{\mathrm{\η}})=B\·\exp \{-j\frac{\mathrm{\π}{f}^2}{K_r}\}\exp \{-j{\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{QM}}(f,f_{\mathrm{\η}})\}\exp \{-\frac{j}{2}{\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{BD}}(f,f_{\mathrm{\η}})\}$

其中，B为常数，Φ_QM(f,f_η)=φ_T(η_PT,f_η)+φ_R(η_PR,f_η)， ${\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{BD}}\left({f,f}_{\mathrm{\η}}\right)=\frac{{\mathrm{\φ}}_T^{\′\′}({\mathrm{\η}}_{\mathrm{PT}},f_{\mathrm{\η}}){\mathrm{\φ}}_R^{\′\′}({\mathrm{\η}}_{\mathrm{PR}},f_{\mathrm{\η}})}{{\mathrm{\φ}}_T^{\′\′}({\mathrm{\η}}_{\mathrm{PT}},f_{\mathrm{\η}})+{\mathrm{\φ}}_R^{\′\′}({\mathrm{\η}}_{\mathrm{PR}},f_{\mathrm{\η}})}{({\mathrm{\η}}_{\mathrm{PT}}-{\mathrm{\η}}_{\mathrm{PR}})}^2$ ${\mathrm{\φ}}_T^{\′\′}({\mathrm{\η}}_{\mathrm{PT}},f_{\mathrm{\η}})=\frac{2\mathrm{\π}}{c}\frac{v_T^2}{r_{0T}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{st}}}\frac{F_T^3}{{(f+f_0)}^2},$ ${\mathrm{\φ}}_R^{\′\′}({\mathrm{\η}}_{\mathrm{PR}},f_{\mathrm{\η}})=\frac{2\mathrm{\π}}{c}\frac{v_R^2}{r_{0R}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{sR}}}\frac{F_R^3}{{(f+f_0)}^2}.$

本发明的有益效果：本发明针对现有的LBF方法和扩展LBF方法对大斜视和前视等模式双基地SAR点目标响应二维频谱计算精度低的问题，设计了一种双基地合成孔径雷达点目标响应二维频谱的计算方法，克服了现有LBF方法和扩展LBF方法对大斜视和前视等模式双基地SAR点目标响应二维频谱计算精度低的问题，本发明采用关于多普勒频率的幂级数，精确考虑收发平台的多普勒贡献，通过多普勒质心和调频斜率等高阶多普勒参数对收发平台的多普勒频率进行建模，分别计算收发平台的驻定相位点，得到点目标响应二维频谱。该方法可以对任意模式的双基地SAR点目标响应二维频谱进行计算，而不受收发平台几何结构和斜视角的影响。

附图说明

图1是本发明双基地合成孔径雷达点目标响应二维频谱的计算方法的流程示意图。

图2是本发明具体实施例采用的双基地SAR系统结构图。

图3是本发明具体实施例采用的双基地SAR系统参数表。

图4是本发明具体实施例对图3中列出的模式3的点目标进行成像的结果示意图。

图5是四种模式中，本发明具体实施例与理想结果和背景技术中的两种方法的成像结果的指标分析示意图。

图6是模式3下本发明具体实施例的相位误差示意图。

具体实施方式

本发明的所有步骤、结论都在Matlab2010上验证正确。下面结合附图和具体实施例对本发明作进一步的详细描述。

本发明具体实施例中设定了四种几何结构模式，具体为：模式1是星机双基地SAR、模式2是机载移变双基地SAR、模式3是机载斜视双基地SAR、模式4是机载前视双基地SAR。本实施例中采用的系统结构如图2所示，系统坐标系以成像中心目标点O为坐标原点，平台沿y轴运动，x轴为切航迹方向，z轴为垂直地面方向。系统初始参数如图3中所示。

本发明的双基地合成孔径雷达点目标响应二维频谱的计算方法的流程示意图如图1所示，具体过程如下：

步骤一：对点目标回波沿距离向做傅里叶变换，即对点目标回波沿距离时间应用驻定相位原理，得到双基地SAR点目标回波在距离频域-方位时域的表达式：

$S(f,\mathrm{\η})=A\·\exp \{-j2\mathrm{\π}(f+f_0)\frac{R_T\left(\mathrm{\η}\right)+R_R\left(\mathrm{\η}\right)}{c}\}\exp \{-j\frac{\mathrm{\π}{f}^2}{K_r}\}$

其中A为常数因子，f为距离频率，f₀为中心频率，K_r为发射信号调频斜率；η为慢时间变量；c为光速；

和为发射站和接收站的距离历史，r_0T、r_0R为发射站和接收站的中心斜距，v_T、v_R为发射站和接收站的速度，θ_sT、θ_sR为发射站和接收站的波束斜视角。

步骤二：构造方位向傅里叶积分，对步骤一中的得到双基地SAR点目标回波在距离频域-方位时域的表达式S(f,η)沿方位时间变量η构造傅里叶积分，其中被积函数的相位因子为φ_b(η,f_η)=2π(f+f₀)[R_T(η)+R_R(η)]/c+2πf_ηη，其中f_η为方位向频率变量；

步骤三：采用幂级数展开，利用总多普勒频率计算发射站和接收站分别对应的多普勒频率贡献，将总多普勒频率分解为两部分，分别对应发射站和接收站的多普勒贡献，并用总多普勒频率对其进行表示，f_ηT和f_ηR分别为发射站和接收站对应的多普勒频率:

$f_{\mathrm{\ηT}}\≈f_{\mathrm{\ηcT}}+\frac{f_{\mathrm{\ηrT}}}{f_{\mathrm{\ηr}}}(f_{\mathrm{\η}}-f_{\mathrm{\ηc}})-\frac{f_{\mathrm{\ηrT}}{f}_{\mathrm{\η}3}-f_{\mathrm{\η}3T}{f}_{\mathrm{\ηr}}}{f_{\mathrm{\ηr}}^3}{(f_{\mathrm{\η}}-f_{\mathrm{\ηc}})}^2$

$f_{\mathrm{\ηR}}\≈f_{\mathrm{\ηcR}}+\frac{f_{\mathrm{\ηrR}}}{f_{\mathrm{\ηr}}}(f_{\mathrm{\η}}-f_{\mathrm{\ηc}})-\frac{f_{\mathrm{\ηrR}}{f}_{\mathrm{\η}3}-f_{\mathrm{\η}3R}{f}_{\mathrm{\ηr}}}{f_{\mathrm{\ηr}}^3}{(f_{\mathrm{\η}}-f_{\mathrm{\ηc}})}^2$

其中f_ηcT，f_ηcR为发射站和接收站对应的多普勒质心；f_ηrT，f_ηrR为发射站和接收站对应的多普勒调频斜率；f_η3T，f_η3R为发射站和接收站对应的三阶多普勒参数；f_ηc，f_ηr和f_η3为系统总的多普勒质心、多普勒调频斜率和三阶多普勒参数。

步骤四：采用步骤三中的发射站和接收站多普勒频率贡献，分别计算发射站和接收站的驻定相位点。

将步骤二中的被积函数的相位因子φ_b(η,f_η)分解为两部分φ_b(η,f_η)=φ_T(η,f_η)+φ_R(η,f_η)，其中φ_T(η,f_η)=2π{(f+f₀)R_T(η)/c+f_ηTη},φ_R(η,f_η)=2π{(f+f₀)R_R(η)/c+f_ηRη}，将φ_T(η,f_η)和φ_R(η,f_η)分别对η进行求导，取一阶导数为零的η为驻定相位点，结果为 ${\mathrm{\η}}_{\mathrm{PT}}=r_{0T}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{sT}}/v_T-{\mathrm{cr}}_{0T}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{sT}}{f}_{\mathrm{\ηT}}/\left(v_T^2{F}_T\right)$ 和 ${\mathrm{\η}}_{\mathrm{PR}}=r_{0R}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{sR}}/v_R-{\mathrm{cr}}_{0R}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{sR}}{f}_{\mathrm{\ηR}}/\left(v_R^2{F}_R\right),$ 其中 $F_T=\sqrt{{(f+f_0)}^2-{\left(\frac{{\mathrm{cf}}_{\mathrm{\ηT}}}{v_T}\right)}^2},$ $F_R=\sqrt{{(f+f_0)}^2-{\left(\frac{{\mathrm{cf}}_{\mathrm{\ηR}}}{v_R}\right)}^2};$

步骤五：计算点目标回波响应的二维频谱，将步骤四中得到的驻定相位点η_PT、η_PR分别带入φ_T(η,f_η)和φ_R(η,f_η)，即把式子φ_T(η,f_η)和φ_R(η,f_η)中的η分别用η_PT、η_PR替换，进而可以得到双基地SAR点目标回波响应的二维频谱，如下式所示：

$S_{2\mathrm{df}}(f,f_{\mathrm{\η}})=B\·\exp \{-j\frac{\mathrm{\π}{f}^2}{K_r}\}\exp \{-j{\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{QM}}(f,f_{\mathrm{\η}})\}\exp \{-\frac{j}{2}{\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{BD}}(f,f_{\mathrm{\η}})\}$

其中，B为常数，Φ_QM(f，f_η)=φ_T(η_PT,f_η)+φ_R(η_PR,f_η)， ${\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{BD}}\left({f,f}_{\mathrm{\η}}\right)=\frac{{\mathrm{\φ}}_T^{\′\′}({\mathrm{\η}}_{\mathrm{PT}},f_{\mathrm{\η}}){\mathrm{\φ}}_R^{\′\′}({\mathrm{\η}}_{\mathrm{PR}},f_{\mathrm{\η}})}{{\mathrm{\φ}}_T^{\′\′}({\mathrm{\η}}_{\mathrm{PT}},f_{\mathrm{\η}})+{\mathrm{\φ}}_R^{\′\′}({\mathrm{\η}}_{\mathrm{PR}},f_{\mathrm{\η}})}{({\mathrm{\η}}_{\mathrm{PT}}-{\mathrm{\η}}_{\mathrm{PR}})}^2$ ${\mathrm{\φ}}_T^{\′\′}({\mathrm{\η}}_{\mathrm{PT}},f_{\mathrm{\η}})=\frac{2\mathrm{\π}}{c}\frac{v_T^2}{r_{0T}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{st}}}\frac{F_T^3}{{(f+f_0)}^2},$ ${\mathrm{\φ}}_R^{\′\′}({\mathrm{\η}}_{\mathrm{PR}},f_{\mathrm{\η}})=\frac{2\mathrm{\π}}{c}\frac{v_R^2}{r_{0R}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{sR}}}\frac{F_R^3}{{(f+f_0)}^2}.$

为了验证上述方法，首先需要产生点目标回波，根据上述结构和参数，产生点目标回波复数据矩阵M，矩阵大小为1024（方位）*1600（距离）；对目标回波矩阵沿距离向和方位向进行离散傅里叶变换，得到矩阵N；把系统初始化参数代入到式子S_2df(f,f_η)中，即可得到采用本发明的方法计算得到的双基地SAR点目标响应二维频谱相位矩阵C_G。分别采用本发明的方法、LBF方法、扩展LBF方法以及理论值得到的二维频谱相位矩阵对点目标回波进行聚焦，聚焦结果如下：

本发明方法：D_G=IFFT{N.*exp(jC_G)}

LBF方法：D_L=IFFT{N.*exp(jC_L)}

扩展LBF方法：D_E=IFFT{N.*exp(jC_E)}

理论值：D_A=IFFT{N.*exp(jC_A)}

其中C_L、C_E和C_A分别为LBF方法、扩展LBF方法和理论值得到的点目标二维频谱。

对上述聚焦的结果进行9倍插值，取成像点周围的500点，如图4所示，其中图（a）是在模式3下，利用LBF方法获得的成像结果，图（b）是在模式3下，利用扩展LBF方法获得的成像结果，图（c）是在模式3下，利用本发明的方法获得的成像结果。从图中可以看出，本方法相对于上述两种方法在模式3下成像效果较好。

图5为上述四种方法在四种模式下的成像结果定量分析，图6是本方法相对于理论值的误差分析。从图5和图6可以看出，本发明克服了现有LBF和扩展LBF方法在计算双基地SAR点目标响应二维频谱时的缺点，性能与理想结果基本一致，可以应用于星机双基地SAR和大斜视及前视双基地SAR中。

本领域的普通技术人员将会意识到，这里所述的实施例是为了帮助读者理解本发明的原理，应被理解为发明的保护范围并不局限于这样的特别陈述和实施例。凡是根据上述描述做出各种可能的等同替换或改变，均被认为属于本发明的权利要求的保护范围。

Claims (1)

1.一种双基地合成孔径雷达点目标响应二维频谱的计算方法，具体包括如下步骤：

步骤一：对点目标回波沿距离向做傅里叶变换，即对点目标回波，沿距离时间应用驻定相位原理，得到双基地SAR点目标回波在距离频域-方位时域的表达式：

$S(f,\mathrm{\η})=A\·\exp \{-j2\mathrm{\π}(f+f_0)\frac{R_T\left(\mathrm{\η}\right)+R_R\left(\mathrm{\η}\right)}{c}\}\exp \{-j\frac{\mathrm{\π}{f}^2}{K_r}\}$

其中A为常数因子，f为距离频率，f₀为中心频率，K_r为发射信号调频斜率；η为慢时间变量；c为光速；

和

为发射站和接收站的距离历史，r_0T、r_0R为发射站和接收站的中心斜距，v_T、v_R为发射站和接收站的速度，θ_sT、θ_sR为发射站和接收站的波束斜视角；

步骤二：构造方位向傅里叶积分，对步骤一中的得到的双基地SAR点目标回波在距离频域-方位时域的表达式S(f,η)沿慢时间变量η构造傅里叶积分，其中被积函数的相位因子为φ_b(η,f_η)=2π(f+f₀)[R_T(η)+R_R(η)]/c+2πf_ηη，其中f_η为方位向频率变量；

步骤三：采用幂级数展开，利用总多普勒频率计算发射站和接收站分别对应的多普勒频率贡献，将总多普勒频率分解为两部分，分别对应发射站和接收站的多普勒贡献，并用总多普勒频率对其进行表示，f_ηT和f_ηR分别为发射站和接收站对应的多普勒频率:

$f_{\mathrm{\ηT}}\≈f_{\mathrm{\ηcT}}+\frac{f_{\mathrm{\ηrT}}}{f_{\mathrm{\ηr}}}(f_{\mathrm{\η}}-f_{\mathrm{\ηc}})-\frac{f_{\mathrm{\ηrT}}{f}_{\mathrm{\η}3}-f_{\mathrm{\η}3T}{f}_{\mathrm{\ηr}}}{f_{\mathrm{\ηr}}^3}{(f_{\mathrm{\η}}-f_{\mathrm{\ηc}})}^2$

$f_{\mathrm{\ηR}}\≈f_{\mathrm{\ηcR}}+\frac{f_{\mathrm{\ηrR}}}{f_{\mathrm{\ηr}}}(f_{\mathrm{\η}}-f_{\mathrm{\ηc}})-\frac{f_{\mathrm{\ηrR}}{f}_{\mathrm{\η}3}-f_{\mathrm{\η}3R}{f}_{\mathrm{\ηr}}}{f_{\mathrm{\ηr}}^3}{(f_{\mathrm{\η}}-f_{\mathrm{\ηc}})}^2$

其中f_ηcT，f_ηcR为发射站和接收站对应的多普勒质心；f_ηrT，f_ηrR为发射站和接收站对应的多普勒调频斜率；f_η3T，f_η3R为发射站和接收站对应的三阶多普勒参数；f_ηc，f_ηr和f_η3为系统总的多普勒质心、多普勒调频斜率和三阶多普勒参数；

步骤四：采用步骤三中的发射站和接收站多普勒频率贡献，分别计算发射站和接收站的驻定相位点，将步骤二中的被积函数的相位因子φ_b(η,f_η)分解为两部分φ_b(η,f_η)＝φ_T(η,f_η)+φ_R(η,f_η)，其中φ_T(η,f_η)=2π{(f+f₀)R_T(η)/c+f_ηTη},φ_R(η,f_η)=2π{(f+f₀)R_R(η)/c+f_ηRη}，将φ_T(η,f_η)和φ_R(η,f_η)分别对η进行求导，取一阶导数为零的η为驻定相位点，结果为 ${\mathrm{\η}}_{\mathrm{PT}}=r_{0T}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{sT}}/v_T-{\mathrm{cr}}_{0T}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{sT}}{f}_{\mathrm{\ηT}}/\left(v_T^2{F}_T\right)$ 和 ${\mathrm{\η}}_{\mathrm{PR}}=r_{0R}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{sR}}/v_R-{\mathrm{cr}}_{0R}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{sR}}{f}_{\mathrm{\ηR}}/\left(v_R^2{F}_R\right),$ 其中 $F_T=\sqrt{{(f+f_0)}^2-{\left(\frac{{\mathrm{cf}}_{\mathrm{\ηT}}}{v_T}\right)}^2},$ $F_R=\sqrt{{(f+f_0)}^2-{\left(\frac{{\mathrm{cf}}_{\mathrm{\ηR}}}{v_R}\right)}^2};$

步骤五：计算点目标响应的二维频谱，将步骤四中得到的驻定相位点η_PT、η_PR分别带入φ_T(η,f_η)和φ_R(η,f_η)，即把式子φT₍η,f_η)和φ_R(η,f_η)中的η分别用η_PT、η_PR替换，进而可以得到双基地SAR点目标响应的二维频谱，如下式所示：

$S_{2\mathrm{df}}(f,f_{\mathrm{\η}})=B\·\exp \{-j\frac{\mathrm{\π}{f}^2}{K_r}\}\exp \{-j{\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{QM}}(f,f_{\mathrm{\η}})\}\exp \{-\frac{j}{2}{\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{BD}}(f,f_{\mathrm{\η}})\}$

其中，B为常数，Φ_QM(f,f_η)=φ_T(η_PT,f_η)+φ_R(η_PR,f_η)， ${\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{BD}}\left({f,f}_{\mathrm{\η}}\right)=\frac{{\mathrm{\φ}}_T^{\′\′}({\mathrm{\η}}_{\mathrm{PT}},f_{\mathrm{\η}}){\mathrm{\φ}}_R^{\′\′}({\mathrm{\η}}_{\mathrm{PR}},f_{\mathrm{\η}})}{{\mathrm{\φ}}_T^{\′\′}({\mathrm{\η}}_{\mathrm{PT}},f_{\mathrm{\η}})+{\mathrm{\φ}}_R^{\′\′}({\mathrm{\η}}_{\mathrm{PR}},f_{\mathrm{\η}})}{({\mathrm{\η}}_{\mathrm{PT}}-{\mathrm{\η}}_{\mathrm{PR}})}^2$ ${\mathrm{\φ}}_T^{\′\′}({\mathrm{\η}}_{\mathrm{PT}},f_{\mathrm{\η}})=\frac{2\mathrm{\π}}{c}\frac{v_T^2}{r_{0T}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{st}}}\frac{F_T^3}{{(f+f_0)}^2},$ ${\mathrm{\φ}}_R^{\′\′}({\mathrm{\η}}_{\mathrm{PR}},f_{\mathrm{\η}})=\frac{2\mathrm{\π}}{c}\frac{v_R^2}{r_{0R}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{sR}}}\frac{F_R^3}{{(f+f_0)}^2}.$

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