CN102087317B - 电导率阻容网络参数的线性化实时估计方法 - Google Patents

Abstract

一种电导率阻容网络参数的线性化实时估计方法，属于溶液电导率软测量技术领域。其特征是将溶液电导率的测量转化为等效阻容耦合网络的参数估计，具体是基于方波激励信号、响应直流电压信号与等效阻容网络电阻、电容两参数间的数学模型，离线对此非线性模型进行多元多项式拟合；在线测量时考虑多种不确定性的存在，采用多个频率的交流方波激励阻容网络，同时利用离线拟合的多元多项式模型建立超定方程组，基于线性最小二乘原理，通过Gauss消元有限步算术运算和四次方程求解的根式运算，可获得阻容参数的实时估计。本发明的效果和益处是具有较快的估计速度和较强的抗干扰能力，适用于电导率工业在线实时精确测量。

Description

电导率阻容网络参数的线性化实时估计方法

技术领域

本发明属于溶液电导率软测量技术领域，涉及到一种电导池等效阻容网络参数解耦估计方法，特别涉及到通过多元多项式拟合将方波激励阻容网络系统的非线性参数估计问题转化为线性最小二乘参数估计的方法。

背景技术

作为阻容耦合情况下进行电阻测量的典型应用，电导率测量具有重要研究价值。电导率作为电解质溶液的一种重要电化学分析参数，已经被广泛应用于环境监测、化工、医学、生物、农业和制造业等生产与科研部门。在对溶液的电导率进行测量时，由于极化效应和寄生电容效应的影响，使得电导池可等效为阻容网络模型。电导率测量的实质就是在采用交流激励减弱极化效应的基础上，如何减弱电容效应的影响从而测出阻容网络中电阻值，即溶液电导率的值。文献“RAJENDRAN A，NEELAMEGAM P.Measurement of conductivity of liquidsusing AT89C55WD microcontroller[J].Measurement，2004，35(1)：59-63”中给出了一种改进的桥路，将溶液电导率即溶液电阻转化为已知桥臂电阻和激励源幅值的函数，但该方法忽略了寄生电容效应。文献“ZHONG C Q，HAN H L，ZHANGL Y，et al.Summary of conductivity measurement[C].IEEE Proceedings of the 6thWorld Congress on Intelligent Control and Automation，June，2006，6：5106-5110”中提到目前常用的方法有相敏检波法、双脉冲法和动态脉冲法等：相敏检波法采用正弦激励消除极化效应，并可有效消除引线分布电容的影响，但忽略了双电层电容的存在；双脉冲法采用两个极性相反的脉冲激励，考虑了双电层电容和引线分布电容的影响，原理上具有很大的优势，但实施起来对时间同步的要求极高；动态脉冲法采用直流脉冲作为激励，可有效消除电容效应，同时通过降低脉冲幅度来减小极化效应的影响，但却很难完全消除；上述方法都是基于电导池电特性阻容模型提出来的，在原理和操作上存在一些不足，但构成了电导率测量的理论基础。文献“崔鹏飞，张立勇，仲崇权，李丹.多频率方波激励阻容解耦软测量的数值模拟.仪器仪表学报，2010，31(1)：154-160”在电导池阻容模型的基础上，采用交流方波激励阻容网络，建立了激励信号、响应信号与电阻、电容两参数之间的数学模型；考虑到测量中多种不确定性的存在，采用多个频率的交流方波进行激励，通过非线性最小二乘对阻容参数进行估计，可同时消弱极化效应、电容效应和测量中多种不确定性的影响；但其优化求解采用最速下降法，需要进行迭代计算，存在迭代次数不确定的问题，这是实时测量中应尽量回避的。

发明内容

本发明要解决的技术问题是：在对电导池电特性等效阻容模型的参数测量中，采用多个频率的交流方波进行激励，通过最小二乘原理对阻容参数进行估计时，如何避免迭代计算，能快速、准确地获取电导率(电阻)的值便成为了一个技术问题。

本发明的技术方案是：在电导池等效阻容模型的基础上，将软测量方法应用于电导率测量中阻容耦合网络的参数解耦。采用交流方波激励阻容网络系统，建立激励信号、响应信号与电阻、电容两参数之间的数学模型，如式(1)所示：

$v=\frac{{\mathrm{ER}}_x}{R_1+R_x}(\frac{1}{2}+\frac{\mathrm{\τ}}{T}\ln \frac{1+e^{-T/\mathrm{\τ}}}{2})---\left(1\right)$

其中：v是方波激励下，阻容系统响应信号半波整流输出的直流量，E是方波激励源幅值，T是方波半周期，R₁是分压电阻，C_p是引线分布电容，R_x是溶液介质电阻，τ如式τ＝(R₁//R_x)·C_p是R₁与阻容网络构成的电路系统的时间常数。通过测取不同频率激励下的响应v来估计阻容参数的值。

在测量之前，先对非线性数学模型式(1)离线进行多元多项式拟合。为获得较高的拟合精度，采用分段拟合的方法，即将溶液电阻R_x、电容C_p和激励频率f的范围进行分段处理，在每个分段内对式(1)进行多元多项式拟合。由于方波激励频率f由0变化到1/2τ时，响应直流信号v变化较大的范围，因此选择激励频率f的范围小于1/2τ为必要条件。式(1)中，交流方波激励源幅值E与分压电阻R₁为已知量，T＝1/2f，τ＝(R₁//R_x)·C_p，即响应v由R_x、T和τ确定，设R_x＝x，C_p＝y，记式(1)为

v＝F(x，y，f)                  (2)

在选定的分段范围内分散选取多组离散点(x_i，y_i，f_i)，并代入式(2)中计算出v_i＝F(x_i，y_i，f_i)，即得到多组离散数据(x_i，y_i，f_i；v_i)，i＝1，2，...，m。依据多元多项式拟合的最小二乘法，将这些计算结果代入式(3)中可获得多项式拟合模型的系数a₀，a₁，...，a₉。

式(3)中，a_j为多项式拟合模型系数，和为关于x，y，f的单项式，如下所示

在得到所有分段的多项式拟合模型后，进行实际在线测量。考虑到工业测量过程中存在多种不确定性，选择多个激励频率点f₀，f₁，...，f_n，利用最小二乘法进行在线参数估计。根据被测电导率的实际工况所处的分段范围，查取多项式模型系数a₀，a₁，...，a₉。若选择分段不正确，参数估计值就会超出分段量程而得不到结果，此时重新选择分段再次测量即可。在测量不同激励频率下的直流输出v_i(i＝1，2，...，n)的基础上，求解关于x，y(R_x＝x，C_p＝y)的中间变量M和N的超定方程组式(4)

$\left\{\begin{array}{c}{v}_1=M+{\mathrm{Nf}}_1\\ v_2=M+{\mathrm{Nf}}_2\\ ...\\ v_n=M+{\mathrm{Nf}}_n\end{array}\right.---\left(4\right)$

式(4)中

$\left\{\begin{array}{c}M=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_{3}y+a_4\mathrm{xy}+a_5{x}^{2}y\\ N=a_6+a_{7}x+a_8{x}^2+a_{9}y\end{array}\right.----\left(5\right)$

根据最小二乘原理，使残差平方和

为最小，由求极值的必要条件，应有

通过Gauss消元法，求解线性方程组(6)即获得M、N的估计值M^*、N^*，这一步的数值计算复杂度确定，计算实时。式(6)中，v_i为测量直流量，f_i为相应激励频率。

将估计值M^*、N^*和相应分段的多项式拟合模型系数a₀，a₁，...，a₉代入式(7)

$\left\{\begin{array}{c}{q}_4=a_5{a}_8\\ q_3=a_4{a}_8+a_5{a}_7\\ q_2=a_3{a}_8+a_4{a}_7-a_2{a}_9-a_5(N^{*}-a_6)\\ q_1=a_3{a}_7-a_1{a}_9-a_4(N^{*}-a_6)\\ q_0=M^{*}-a_0{a}_9-a_3(N^{*}-a_6)\end{array}\right.---\left(7\right)$

得到关于待求参数x的多项式方程的系数q₀，q₁，q₂，q₃，q₄。

将q₀，q₁，q₂，q₃，q₄代入式(8)

q₄x⁴+q₃x³+q₂x²+q₁x+q₀＝0         (8)

解四次方程式(8)，对电阻参数(R_x＝x)进行根式求解，这一步是解析计算，完全实时。这里，式(7)与式(8)由式(5)导出。在得到的四个解中选择出一个合理的解x^*即得到待求参数x的值。以下给出解的取舍准则：

①舍去复数解

②舍去负实解

③若存在多个正实解，依据拟合模型所选的范围进行取舍，再针对过程参数变化规律进行验证。

将求得的x^*代入式(9)

$y=\frac{N^{*}-a_6-a_7{x}^{*}-a_8{x}^{*2}}{a_9}---\left(9\right)$

即获得待求参数y的解y^*，即该方法还获得分布电容参数的估值。

本发明的效果和益处是：将软测量方法应用电导测量问题，将作为干扰的电容效应建入数学模型，通过估计干扰消除干扰，避免了直接测量电阻时分布电容的影响，提高了测量精度。另外，基于最小二乘原理，利用多组测量信息也能消除信号测量中不确定性的影响，进一步提高阻容解耦测量的精度。通过对阻容系统模型进行多元多项式拟合，依据线性最小二乘法，经Gauss消元的有限步算术运算和四次方程求解的根式运算，可实现对阻容参数的求解，避免了迭代计算，有效地提高了参数估计的计算效率。以上益处表明本方法适用于电导率工业在线实时测量。

附图说明

附图是电导率阻容网络参数的线性化实时估计方法电路原理框图。

图中：R₁是分压电阻，C_p是引线分布电容，R_x是溶液介质电阻，V_o是电极输出，V_o1是V_o半波整流后输出的电压，v是V_o1经缓冲滤波后直流量，激励源采用幅值一定、频率可调、占空比为50％的交流方波。

具体实施方式

以下结合技术方案和附图详细叙述本发明的具体实施方式。

在实际测量之前先离线对数学模型式(1)进行多元多项式拟合。将溶液电阻R_x、电容C_p的量程进行分段处理，分段范围不宜过大，激励频率f的选取范围为0～1/2τ(τ＝(R₁//R_x)·C_p为时间常数)。在选定的(R_x，C_p，f)分段范围中，分散选取1000组R_x＝x，C_p＝y，f的值，代入式(2)得1000组响应直流电压值v。将这1000组值(x，y，f；v)代入式(3)的方程组，解得多项式拟合模型的系数a₀，a₁，...，a₉。重复上述步骤，直到所有分段都得到对应的多项式拟合模型系数。如果拟合精度不满足要求，可重新量程分段，重复上述步骤，直到满足为止。注意：由于多元多项式拟合是离线进行的，所以可以反复进行实验，直到取得满意的拟合精度。

上述离线拟合工作完成之后，进行在线实际测量。如附图中所示，设置激励源发出幅值为1V、频率为f、占空比为50％的交流方波。根据被测电导率的实际工况，选择量程分段，进行阻容参数的估计计算；若未正确选择，重新选择分段再次计算即可。在选取的分段范围内选择10个不同的f_i(i＝1，2，...，10)依次进行激励，可采样得10个响应直流信号v_i(i＝1，2，...，10)。将这十组测量值(f_i，v_i)代入式(6)，通过Gauss消元的程序求解出中间变量M、N的解M^*、N^*。

将M^*、N^*和相应分段多项式的系数a₀，a₁，...，a₉代入式(7)求解得关于参数R_x的方程系数q₀，q₁，q₂，q₃，q₄。然后将这5个系数代入式(8)中，根据四次方程根式解的公式求解程序，即得待求参数x的根式解x^*，按解的取舍准则①、②和③，即得溶液电阻的值。将求得的x^*代入式(9)即获得待求参数y的解y^*，即分布电容的值。

Claims (2)

1.一种电导率阻容网络参数的线性化实时估计方法，其特征是：将溶液电导率测量问题转化为等效阻容网络的参数解耦估计问题，在方波激励信号、响应直流电压信号与等效阻容网络电阻、电容两参数间的非线性数学模型的基础上，首先离线对此非线性数学模型进行多元多项式拟合，获得量程范围内分段对应的多项式拟合模型；离线拟合完毕后进行在线测量，选择多个频率f_i的方波激励信号激励阻容网络，测得相应的响应直流电压信号v_i，i＝1,2,…n，依据线性最小二乘法，使残差平方和

为最小即获得中间变量M、N的估计值M^*、N^*；将此中间变量估计值M^*、N^*和相应分段多项式拟合模型的系数a₀,a₁,…a₉代入式

$\left\{\begin{array}{c}{q}_4=a_5{a}_8\\ q_3=a_4{a}_8+a_5{a}_7\\ q_2=a_3{a}_8+a_4{a}_7-a_2{a}_9-a_5(N^{*}-a_6)\\ q_1=a_3{a}_7-a_1{a}_9-a_4(N^{*}-a_6)\\ q_0=M^{*}-a_0{a}_9-a_3(N^{*}-a_6)\end{array}\right.---\left(1\right),$

得关于电阻参数R_x=x的多项式方程的系数q₀,q₁,q₂,q₃,q₄，将这5个系数代入式

q₄x⁴+q₃x³+q₂x²+q₁x+q₀＝0         (2)，

进行代数方程式（2）的根式求解，得溶液电阻的估计值R_x ^*＝x^*；将求得的x^*代入式

$y=\frac{N^{*}-a_6-a_7{x}^{*}-a_8{x}^{*2}}{a_9}---\left(3\right),$

解得分布电容的估计值C_p ^*＝y^*。

2.根据权利要求1所述的一种电导率阻容网络参数的线性化实时估计方法，其特征是：离线对方波激励信号、响应直流电压信号与等效阻容网络电阻、电容两参数间的非线性数学模型进行多元多项式拟合时，选择如下多项式形式

其中

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