CN102890198B - 电导率二阶阻容耦合网络参数估计方法 - Google Patents

Abstract

一种电导率二阶阻容耦合网络参数估计方法，属于溶液电导率软测量技术领域。其特征是将溶液电导率的测量转化为二阶等效阻容耦合网络的参数估计，具体是针对考虑引线分布电容和双电层电容影响的电导池二阶阻容系统模型，依次采用两个不同频率的正弦激励信号激励阻容网络，在分别估计出正弦响应信号相对于其正弦激励信号的幅值比和相位差的基础上，依据所推导的幅值比、相位差与溶液电阻、引线分布电容、双电层电容之间的关系，构造关于待估阻容参数的超定方程组，基于非线性最小二乘原理，采用子空间置信域优化算法求得阻容参数的估计值。本发明的效果和益处是具有较快的收敛速度、较高的估计精度和较强的抗干扰能力，适用于工业在线实时应用。

Description

电导率二阶阻容耦合网络参数估计方法

技术领域

本发明属于溶液电导率软测量技术领域，涉及到一种电导率二阶等效阻容耦合网络的参数估计方法，特别涉及到考虑引线分布电容和双电层电容影响时，通过阻容系统幅相特性估计值获取阻容参数估计值的方法。

背景技术

溶液电导率测量广泛应用于人类生产生活中，随着科学技术的不断发展，国内外对电导率测量的研究也在不断深入，电导测试技术的各种新应用也在不断出现。目前最常用的电导率测量方法是电极式电导率测量法，主要考虑极化效应、电容效应和温度等三方面的影响。对于温度的影响，可采用诸如恒温法、手动补偿法和自动补偿法等方法予以消除。极化效应和寄生电容效应对溶液电阻测量的影响较大，成为电导率测量精度进一步提高的关键因素。极化效应可采用交流或脉冲激励来消除，电容效应就成了影响溶液电导率测量的关键因素。文献“RAJENDRANA,NEELAMEGAMP.Measurement of conductivity of liquidsusing AT89C55WD microcontroller[J].Measurement,2004,35(1):59-63”中给出了一种改进桥路的方法，但该方法忽略了寄生电容效应。文献“ZHONG C Q,HANH L,ZHANG L Y，et al.Summary of conductivity measurement[C].IEEEProceedings of the 6th World Congress on Intelligent Control and Automation,June,2006,6:5106-5110”提到目前常用的方法如相敏检波法、双脉冲法和动态脉冲法等，并综述了这些方法对极化效应、双电层电容、引线分布电容等的考虑。文献“崔鹏飞，张立勇，仲崇权，李丹.多频率方波激励阻容解耦软测量的数值模拟.仪器仪表学报，2010，31(1)：154-160”提出一种采用多个频率的交流方波激励阻容网络的阻容参数非线性最小二乘估计方法，但忽略了双电层电容的影响。专利文献“周楷棣，张立勇，凌经纬，仲崇权，李丹.基于幅相特性检测的阻容解耦软测量方法（ZL 201010173466.3）”采用正弦信号激励，利用对响应信号的多点采样拟合出其函数形式，进而获得阻容系统幅相特性参数，然后通过幅相特性与阻容参数的关系式求得阻容参数值，但该方法也仅针对忽略了双电层电容影响的一阶阻容网络模型。

专利文献“周楷棣，张立勇，凌经纬，仲崇权，李丹.基于幅相特性检测的阻容解耦软测量方法（ZL 201010173466.3）”同时还给出了阻容系统幅相特性的获取方法，具体如下：采用正弦激励信号激励阻容系统，不妨设正弦激励信号幅值为1V，相位为0rad，则阻容系统输出的正弦响应信号为

其中A(ω)和分别为响应信号相对于激励信号的幅值比和相位差。

采用频域分析方法，选择恰当的正弦激励信号频率ω，使A(ω)和处于接近的数量级；在一个周期内选择多个时间点t₁，t₂，…，t_n对响应信号v_o(t)进行采样，可得到相应的采样电压值v_o1，v_o2，…，v_on。将各组时间点t_k、相应采样电压值v_ok（k＝1，2，…，n）和激励角频率ω代入式（1）得到关于A(ω)和的非线性超定方程组

其残差平方和为

根据非线性最小二乘法，使残差平方和为最小。优化计算时选择最速下降法对式（3）进行求解，代价函数式（3）的梯度为

其中

最速下降算法的求解流程如下：

①设给定初始点精度ε>0，令k0；

②计算

③若则迭代计算结束，x^*=x_k，即否则转到④；

④采用0.618法进行精确一维搜索，求的极值点λ_k，使 $r_1[x_k-{\mathrm{\&lambda;}}_k\&dtri;r_1\left(x_k\right)]<r_1\left(x_k\right),$ λ_k为第k步迭代步长；

⑤令 $x_{k+1}=x_k-{\mathrm{\&lambda;}}_k\&dtri;r_1\left(x_k\right),$ k=k+1，返回②。

由以上步骤即求得阻容系统幅相特性参数A(ω)和由于归结为最二乘问题进行解决，能在很大程度上削弱测量不确定因素的影响。该方法适用于对各阶（包括一阶、二阶等）阻容系统的幅相特性进行估计。

发明内容

本发明要解决的技术问题是：针对考虑引线分布电容和双电层电容影响的电导池二阶阻容耦合网络模型，采用正弦信号激励阻容系统，在获取系统幅相特性参数的基础上，如何快速、准确地估计出阻容参数值。

本发明的技术方案是：

将电导率的测量问题归结为电导池二阶等效阻容耦合网络的参数估计问题。

建立电导池二阶阻容系统的传递函数模型为

$G\left(s\right)=\frac{V_o\left(s\right)}{V_i\left(s\right)}=\frac{R_x{C}_{x}s+1}{R_1{R}_x{C}_x{C}_p{s}^2+(R_1{C}_p+R_1{C}_x+R_x{C}_x)s+1},---\left(6\right)$

式（6）中V_i(s)为激励信号v_i(t)的拉普拉斯变换，V_o(s)为响应信号v_o(t)的拉普拉斯变换，此传递函数可分解为一阶微分环节和振荡环节串联，则系统传递函数变换为

$G\left(s\right)=G_1\left(s\right)\&CenterDot;G_2\left(s\right)=(R_x{C}_{x}s+1)\&CenterDot;\left(\frac{1}{R_1{R}_x{C}_x{C}_p{s}^2+(R_1{C}_p+R_1{C}_x+R_x{C}_x)s+1}\right),---\left(7\right)$

取s＝jω，j为虚数单位，则

$G_1\left(\mathrm{j\&omega;}\right)=\sqrt{{\left(R_x{C}_x\mathrm{\&omega;}\right)}^2+1}\&CenterDot;e^{j\arctan R_x{C}_x\mathrm{\&omega;}},---\left(8\right)$

$G_2\left(\mathrm{j\&omega;}\right)=\frac{1}{\sqrt{{(1-R_1{R}_x{C}_x{C}_p{\mathrm{\&omega;}}^2)}^2+{\left((R_1{C}_p+R_1{C}_x+R_x{C}_x)\mathrm{\&omega;}\right)}^2}}\&CenterDot;e^{-j\arctan \frac{(R_1{C}_p+R_1{C}_x+R_x{C}_x)\mathrm{\&omega;}}{1-R_1{R}_x{C}_x{C}_p{\mathrm{\&omega;}}^2}}.---\left(9\right)$

不妨设正弦激励信号幅值为1V，相位为0rad，则由阻容系统的幅频特性A(ω)、相频特性与系统数学模型的关系

得阻容系统输出的正弦响应信号为

其中，

$A\left(\mathrm{\&omega;}\right)=\frac{\sqrt{{\left(R_x{C}_x\mathrm{\&omega;}\right)}^2+1}}{\sqrt{{(1-R_1{R}_x{C}_x{C}_p{\mathrm{\&omega;}}^2)}^2+{\left((R_1{C}_p+R_1{C}_x+R_x{C}_x)\mathrm{\&omega;}\right)}^2}},---\left(12\right)$

式（12）与式（13）即为系统幅相特性与阻容网络参数之间的关系式。可以看出，若仅求得阻容系统在某一角频率ω下的幅值比A(ω)和相位差组成的欠定方程组无法解得待估参数R_x、C_p、C_x的值。故选择两不同激励频率ω₁和ω₂的正弦信号进行激励，获得两对幅值比A(ω₁)、A(ω₂)和相位差 将此两对幅相参数代入式（12）和式（13）中，获得关于阻容参数R_x、C_x和C_p的超定方程组式（14）

采用非线性最小二乘法对超定方程组式（14）进行求解，其残差平方和为

（15）

使残差平方和r₂(R_x,C_p,C_x)为最小即求得R_x、C_p和C_x的参数估计，由于归结为最二乘问题进行解决，可进一步削弱测量不确定因素的影响。鉴于待估参数的数值特征，优化方法采用搜索能力很强的子空间置信域方法，该方法在数学上被描述为

$\min \left\{\begin{array}{cccccc}\frac{1}{2}{s}^T& \mathrm{Hs}+s^T& g& \mathrm{such}& \mathrm{that}& \left|\right|\mathrm{Ds}\left|\right|\&le;\mathrm{\&Delta;}\end{array}\right\},---\left(16\right)$

其中s是试探步，g是待优化函数f(x)在当前点x的梯度，H是Hessian矩阵，D是一个对角矩阵，Δ是一个正的标量，||·||表示2-范数。针对本发明具体问题，函数f＝r₂(x)，在当前点x=(R_x,C_p,C_x)的梯度为

$\&dtri;r_2(R_x,C_p,C_x)={\left[\begin{array}{ccc}\frac{\&PartialD;r_2}{\&PartialD;R_x}& \frac{\&PartialD;r_2}{\&PartialD;C_p}& \frac{\&PartialD;r_2}{\&PartialD;C_x}\end{array}\right]}^T,---\left(17\right)$

Hessian矩阵H用BFGS法计算出，BFGS法的计算公式为

$H_{k+1}=H_k+\frac{q_k{q}_k^T}{q_k^T{s}_k}-\frac{H_k^T{s}_k^T{s}_k{H}_k}{s_k^T{H}_k{s}_k},---\left(18\right)$

其中

s_k=x_k+1-x_k，（19）

$q_k=\&dtri;f\left(x_{k+1}\right)-\&dtri;f\left(x_k\right).---\left(20\right)$

对式（16）求解的计算过程中涉及比较一个完整的特征系统和一个使用牛顿运算的特征方程，如式（21）

$\frac{1}{\mathrm{\&Delta;}}-\frac{1}{\left|\right|s\left|\right|}=0.---\left(21\right)$

子空间置信域方法求解无约束最小化问题算法流程如下：

①如式（16）进行公式化表达；

②求解式（16）以确定试探步s；

③如果函数f(x+s)＜f(x)，则x=x+s；

④调整Δ。

这四个步骤重复进行，直到函数f收敛，即获得阻容参数R_x、C_x和C_p的估计值。

本发明的效果和益处是具有较快的收敛速度、较高的估计精度和较强的抗干扰能力，适用于电导率测量的工业在线实时应用。

附图说明

附图是电导率二阶阻容耦合网络参数估计方法的测量框图。

图中：R₁为分压电阻，R_x为溶液电阻，C_x为双电层电容，C_p为引线分布电容，v_i(t)为正弦激励信号，v_o(t)为阻容系统输出的正弦响应信号，v_ok为高速A／D对响应信号的采样值。

具体实施方式

以下结合技术方案和附图详细叙述本发明的具体实施方式。

测量时设定正弦激励信号幅值为1V，相位为0rad。选择频率为ω₁的正弦信号激励电导池系统，在一个周期内等间隔选择10个时间点t₁，t₂，…，t₁₀对得到的稳态正弦响应信号v_o(t)进行采样，可得到相应的采样电压值v_o1，v_o2，…，v_o10。将各组时间点t_k、相应采样电压值v_ok（k=1，2，…，10）和激励角频率ω₁代入式（1）可得关于幅值比A(ω₁)和相位差的超定方程组，采用最速下降法的求解流程使式（3）为最小即求得A(ω₁)和的估计值；再选择频率为ω₂的正弦信号激励电导池系统，采用与上面同样的实施方式求得A(ω₂)和的估计值。

将求得的两对幅值比A(ω₁)、A(ω₂)和相位差 分别代入式（12）与式（13）组成超定方程组式（14），采用子空间置信域法的求解流程使式（15）为最小即求得电导率二阶阻容耦合网络中溶液电阻R_x、引线分布电容C_p和双电层电容C_x的估计值。

Claims (1)

1.一种电导率二阶阻容耦合网络参数估计方法，其特征在于以下步骤：

(1)将电导池等效为考虑引线分布电容和双电层电容影响的二阶阻容耦合网络模型；

(2)依次采用两个不同频率ω₁和ω₂的正弦激励信号激励阻容网络，分别估计出两个正弦响应信号相对于其正弦激励信号的幅值比A(ω₁)、A(ω₂)和相位差

(3)依据所推导的幅值比A(ω₁)、A(ω₂)和相位差与溶液电阻R_x、引线分布电容C_p、双电层电容C_x之间的关系模型式(12)和式(13)：

$A\left(\mathrm{\&omega;}\right)=\frac{\sqrt{{\left(R_x{C}_x\mathrm{\&omega;}\right)}^2+1}}{\sqrt{{(1-R_1{R}_x{C}_x{C}_p{\mathrm{\&omega;}}^2)}^2+{\left((R_1{C}_p+R_1{C}_x)\mathrm{\&omega;}\right)}^2}}---\left(12\right)$

建立关于R_x、C_x和C_p的超定方程组式(14)：

采用非线性最小二乘法求解超定方程组式(14)，使得残差平方和式(15)为最小，优化计算采用子空间置信域方法，即求得R_x、C_p、C_x的估计值；

其中，R₁为分压电阻，ω是指频率。