CN102081692B - 等效拓扑优化中设计相关性载荷的方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种等效拓扑优化中设计相关性载荷的方法，用于解决现有的设计相关性载荷下，载荷随着设计迭代过程发生变化的技术问题。技术方案是适用于只有温度载荷的结构拓扑优化问题的载荷等效方法，通过将设计域上的载荷等效到非设计域上，同时保证等效前后拓扑优化模型上任意一点的应力不变。用这种方法将温度载荷转移到非设计域上，设计域上没有了载荷。随着设计迭代过程的进行，非设计域上的载荷不随拓扑优化迭代过程变化。

Description

等效拓扑优化中设计相关性载荷的方法

技术领域

本发明涉及一种设计相关性载荷的方法，特别是一种等效拓扑优化中设计相关性载荷的方法。 

背景技术

文献“热弹性结构的拓扑优化设计，孙士平张卫红，力学学报41(6)，P878-887，2009”公开了一种针对热弹性连续体拓扑优化存在的中间密度问题，以骨架式结构为研究出发点，分析了热、力耦合场作用下的结构拓扑构型设计方法。 

文献公开的热弹性结构拓扑优化方法中，在设计域上有温度载荷的存在，这样载荷随着设计迭代过程的变化而发生变化，材料用量的增加将导致载荷的增加，增加了拓扑优化过程迭代收敛的难度，并导致拓扑优化结果存在中间密度的问题。 

发明内容

为了解决设计相关性载荷下，载荷随着设计迭代过程而发生变化这一难题，本发明提供一种等效拓扑优化中设计相关性载荷的方法，适用于只有温度载荷的结构拓扑优化问题的载荷等效方法，通过将设计域上的载荷等效到非设计域上，同时保证等效前后拓扑优化模型上任意一点的应力不变。用这种方法将温度载荷转移到非设计域上，设计域上没有了载荷。随着设计迭代过程的进行，非设计域上的载荷不随拓扑优化迭代过程变化。 

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：一种等效拓扑优化中设计相关性载荷的方法，其特点是包括以下步骤： 

(1)根据拉梅方程，得到单圆环O在只受内压下在半径为r处的应力分量和位移分量： 

${\mathrm{\σ}}_{\mathrm{or}}=\frac{P_i}{K_o^2-1}(1-\frac{r_{\mathrm{oo}}^2}{r^2})---\left(1.1\right)$

${\mathrm{\σ}}_{\mathrm{ot}}=\frac{P_i}{K_o^2-1}(1+\frac{r_{\mathrm{oo}}^2}{r^2})---\left(1.2\right)$

$u_o=-\frac{P_i}{E_o(K_o^2-1)}[(1+{\mathrm{\μ}}_o)\frac{r_{\mathrm{oo}}^2}{r}+(1-{\mathrm{\μ}}_o)r]---\left(1.3\right)$

式中，σ_or为径向应力分量，σ_ot为周向应力分量，u_o为径向位移分量，P_i为圆环O所受的内压，r_oo为圆环O的外径，r_oi为圆环O的内径，r为在距离圆环O圆心为r出的位置，E_o为圆环O的杨氏模量，μ_o为圆环O的泊松比，K_o为圆环O的外径与内径之比 

单圆环I只收外压下在半径为r处的应力分量和位移分量： 

${\mathrm{\σ}}_{\mathrm{ir}}=-\frac{P_o{K}_i^2}{K_i^2-1}(1-\frac{r_{\mathrm{ii}}^2}{r^2})---\left(1.4\right)$

${\mathrm{\σ}}_{\mathrm{it}}=-\frac{P_o{K}_i^2}{K_i^2-1}(1+\frac{r_{\mathrm{ii}}^2}{r^2})---\left(1.5\right)$

$u_i=-\frac{P_o{K}_i^2}{E_i(K_i^2-1)}[(1+{\mathrm{\μ}}_i)\frac{r_{\mathrm{ii}}^2}{r}+(1-{\mathrm{\μ}}_i)r]---\left(1.6\right)$

式中，σ_ir为径向应力分量，σ_it为周向应力分量，u_i为径向位移分量，P_o为圆环I所受的外压，r_io为圆环I的外径，r_ii为圆环I的内径，r为在距离圆环I圆心为r出的位置，E_i为圆环I的杨氏模量，μ_i为圆环I的泊松比，K_i为圆环I的外径与内径之比 

(2)当r_io＝r_oi时，将圆环O、圆环I套在一起，将温度载荷ΔT加载到两个圆环上，设内外环接触面上的径向位移分量Δu，则： 

α_oΔu＝u_o+u_i＝ΔTα_or_oi-ΔTα_ir_io＝-ΔTΔαr_io    (2.1) 

式中，α_o为圆环O的热膨胀系数，α_i为圆环I的热膨胀系数，而且α_o＜α_i，ΔT为温度载荷，Δα为内外环热膨胀系数之差； 

(3)根据接触面上的径向压力相同和式(2.1)，建立方程组： 

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\Δu}=-\mathrm{\ΔT\Δ}{\mathrm{\αr}}_{\mathrm{io}}\\ P_i=P_o=P\end{array}\right.---\left(3.1\right)$

求解方程组(3.1)得到内外环接触面上的压力为 

$P=\frac{{\mathrm{\ΔT\Δ\αr}}_{\mathrm{io}}{E}_o{E}_i(K_o^2-1)(K_i^2-1)}{E_i{\mathrm{\β}}_o(K_i^2-1)+E_o{\mathrm{\β}}_i{K}_i^2(K_o^2-1)}---\left(3.2\right)$

式中， ${\mathrm{\β}}_o=(1+{\mathrm{\μ}}_o)\frac{r_{\mathrm{oo}}^2}{r_{\mathrm{oi}}}+(1-{\mathrm{\μ}}_o)r_{\mathrm{oi}},$ ${\mathrm{\β}}_i=(1+{\mathrm{\μ}}_i)\frac{r_{\mathrm{ii}}^2}{r_{\mathrm{io}}}+(1-{\mathrm{\μ}}_i)r_{\mathrm{io}};$

(4)由式(1.1)、式(1.2)、式(2.1)、式(3.2)得知，应力表达式中与温度T和热膨胀系数α相关的项只有接触面上的压力P中的ΔTΔα；也就是说，任何两种工况中，只要ΔTΔα相等，则两个工况中任何一点的应力也是相等的； 

设Q＝ΔTΔα； 

工况一：内外环同时加载温度ΔT₁，则 

Q₁＝ΔT₁(α_i-α_o)    (4.1) 

工况二：只在外环上加载温度ΔT₂，等效为同时在内外环上加载温度ΔT₂，而内环热膨胀系数α′_i＝0.所以 

Q₂＝ΔT₂(α′_i-α_o)＝ΔT₂(0-α_o)    (4.2) 

要使两个工况的ΔTΔα相等，则Q₁＝Q₂，于是 

ΔT₁(α_i-α_o)＝ΔT₂(0-α_o)    (4.3) 

求得 

${\mathrm{\ΔT}}_2=-\frac{{\mathrm{\α}}_i-{\mathrm{\α}}_o}{{\mathrm{\α}}_o}{\mathrm{\ΔT}}_1---\left(4.4\right)$

ΔT₂即将温度转移到外环上的大小； 

若内环为设计域，外环为非设计域，将同时加载在设计域和非设计域上的载荷转化为只加载在非设计域上的载荷。 

本发明的有益效果是：由于通过将设计域上的载荷等效到非设计域上，同时保证等效前后拓扑优化模型上任意一点的应力不变。用这种方法将温度载荷转移到非设计域上，设计域上没有了载荷。随着设计迭代过程的进行，非设计域上的载荷不随拓扑优化迭代过程变化，克服了由于载荷设计相关所导致的迭代不收敛和结果存在中间密度的问题。 

下面结合附图和实施例对本发明作详细说明。 

附图说明

图1是本发明等效拓扑优化中设计相关性载荷的方法的拓扑优化模型。 

图2是图1中两个圆环接触面位移示意图。 

图中，圆环O的杨氏模量、泊松比和热膨胀系数分别为E_o、μ_o和α_o，圆环I的杨氏模量、泊松比和热膨胀系数分别为E_i、μ_i和α_i。其中α_o＜α_i。载荷只有温度T，加载在整个模型上。 

实线位置内外环接触面初始位置；点环线为外环内边界在温度载荷下自由膨胀位置；双点环线为内环外边界在温度载荷下自由膨胀位置；虚线为内外环装配在一起时，在温度载荷下接触面的膨胀位置。 

具体实施方式

(1)根据拉梅方程(Lame’s equation)，得到单圆环O在只受内压下在半径为r处的应力分量和位移分量： 

${\mathrm{\σ}}_{\mathrm{or}}=\frac{P_i}{K_o^2-1}(1-\frac{r_{\mathrm{oo}}^2}{r^2})---\left(1.1\right)$

${\mathrm{\σ}}_{\mathrm{ot}}=\frac{P_i}{K_o^2-1}(1+\frac{r_{\mathrm{oo}}^2}{r^2})---\left(1.2\right)$

$u_o=-\frac{P_i}{E_o(K_o^2-1)}[(1+{\mathrm{\μ}}_o)\frac{r_{\mathrm{oo}}^2}{r}+(1-{\mathrm{\μ}}_o)r]---\left(1.3\right)$

式中，σ_or为径向应力分量，σ_ot为周向应力分量，u_o为径向位移分量，P_i为圆环O所受内压的大小，r_oo为圆环O的外径大小，r_oi为圆环O的内径大小，r为在距离圆环O圆心为r出的位置，E_o为圆环O的杨氏模量，μ_o为圆环O的泊松比，K_o为圆环O的外径与内径之比 

单圆环I只收外压下在半径为r处的应力分量和位移分量： 

${\mathrm{\σ}}_{\mathrm{ir}}=-\frac{P_o{K}_i^2}{K_i^2-1}(1-\frac{r_{\mathrm{ii}}^2}{r^2})---\left(1.4\right)$

${\mathrm{\σ}}_{\mathrm{it}}=-\frac{P_o{K}_i^2}{K_i^2-1}(1+\frac{r_{\mathrm{ii}}^2}{r^2})---\left(1.5\right)$

$u_i=-\frac{P_o{K}_i^2}{E_i(K_i^2-1)}[(1+{\mathrm{\μ}}_i)\frac{r_{\mathrm{ii}}^2}{r}+(1-{\mathrm{\μ}}_i)r]---\left(1.6\right)$

式中，σ_ir为径向应力分量，σ_it为周向应力分量，u_i为径向位移分量，P_o为圆环I所受外压的大小，r_io为圆环I的外径大小，r_io为圆环I的内径大小，r为在距离圆环I圆心为r出的位置，E_i为圆环I的杨氏模量，μ_i为圆环I的泊松比，K_i为圆环I的外径与内径之比 

(2)当r_io＝r_oi时，可将圆环O、I套在一起：圆环O为外环，圆环I为内环。将温度载荷ΔT加载到两个圆环上，设内外环接触面上的径向位移分量Δu，则： 

α_oΔu＝u_o+u_i＝ΔTα_or_oi-ΔTα_ir_io＝-ΔTΔαr_io    (2.1) 

式中，α_o为圆环O的热膨胀系数，α_i为圆环I的热膨胀系数，而且α_o＜α_i，ΔT为温 度载荷大小，Δα为内外环热膨胀系数之差。 

(3)根据接触面上的径向压力相同和式(2.1)，建立方程组： 

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\Δu}=-\mathrm{\ΔT\Δ\α}{r}_{\mathrm{io}}\\ P_i=P_o=P\end{array}\right.---\left(3.1\right)$

求解方程组(3.1)得到内外环接触面上的压力为 

$P=\frac{\mathrm{\ΔT\Δ\α}{r}_{\mathrm{io}}{E}_o{E}_i(K_o^2-1)(K_i^2-1)}{E_i{\mathrm{\β}}_o(K_i^2-1)+E_o{\mathrm{\β}}_i{K}_i^2(K_o^2-1)}---\left(3.2\right)$

式中， ${\mathrm{\β}}_o=(1+{\mathrm{\μ}}_o)\frac{r_{\mathrm{oo}}^2}{r_{\mathrm{oi}}}+(1-{\mathrm{\μ}}_o)r_{\mathrm{oi}},$ ${\mathrm{\β}}_i=(1+{\mathrm{\μ}}_i)\frac{r_{\mathrm{ii}}^2}{r_{\mathrm{io}}}+(1-{\mathrm{\μ}}_i)r_{\mathrm{io}}.$

(4)由式(1.1)、(1.2)、(2.1)、(2.2)可知，应力表达式中与温度T和热膨胀系数α相关的项只有接触面上的压力P中的ΔTΔα。也就是说，任何两种工况中，只要ΔTΔα相等，则两个工况中任何一点的应力也是相等的。 

设Q＝ΔTΔα。 

工况一：内外环同时加载温度ΔT₁，则 

Q₁＝ΔT₁(α_i-α_o)    (4.1) 

工况二：只在外环上加载温度ΔT₂，则可以等效为同时在内外环上加载温度ΔT₂，而内环热膨胀系数α′_i＝0.所以 

Q₂＝ΔT₂(α′_i-α_o)＝ΔT₂(0-α_o)    (4.2) 

要使两个工况的ΔTΔα相等，则Q₁＝Q₂，于是 

ΔT₁(α_i-α_o)＝ΔT₂(0-α_o)    (4.3) 

求得 

$\mathrm{\Δ}{T}_2=-\frac{{\mathrm{\α}}_i-{\mathrm{\α}}_o}{{\mathrm{\α}}_o}{\mathrm{\ΔT}}_1---\left(4.4\right)$

ΔT₂即将温度转移到外环上的大小。 

若内环为设计域，外环为非设计域，则本发明方法将同时加载在设计域和非设计域上的载荷转化为只加载在非设计域上的载荷。 

拓扑优化模型的参数取表1中的数值，来说明本发明等效拓扑优化中设计相关性载荷的方法的实施效果。 

表1 

此模型的载荷是在内外环上同时加载温度ΔT₁＝50℃。模型外环为非设计域，内环为设计域，所以这是一个设计相关性载荷下的拓扑优化问题。 

根据本发明的方法，可以将此模型的温度载荷转换到非设计域上，设加载到外环上的温度为ΔT₂，则根据式(4.4)得 

式中，ΔT₂的数值没有任何实际意义，它只是一个在进行拓扑优化分析过程中加载的一个温度载荷数值量。 

给整个模型加载温度载荷50℃和只给非设计域(外环)加载温度载荷-450℃，这两种情况下模型上没一点的应力分量是完全相等的，所以两种载荷下的拓扑优化问题是等效的。 

Claims (1)

1.一种等效拓扑优化中设计相关性载荷的方法，其特征在于包括下述步骤：

(1)根据拉梅方程，得到单圆环O在只受内压下在半径为r处的应力分量和位移分量：

${\mathrm{\σ}}_{\mathrm{or}}=\frac{P_i}{K_o^2-1}(1-\frac{r_{\mathrm{oo}}^2}{r^2})---\left(1.1\right)$

${\mathrm{\σ}}_{\mathrm{ot}}=\frac{P_i}{K_o^2-1}(1+\frac{r_{\mathrm{oo}}^2}{r^2})---\left(1.2\right)$

$u_o=-\frac{P_i}{E_o(K_o^2-1)}[(1+{\mathrm{\μ}}_o)\frac{r_{\mathrm{oo}}^2}{r}+(1-{\mathrm{\μ}}_o)r]---\left(1.3\right)$

式中，σ_or为径向应力分量，σ_ot为周向应力分量，u_o为径向位移分量，P_i为圆环O所受的内压，r_oo为圆环O的外径，r_oi为圆环O的内径，r为在距离圆环O圆心为r出的位置，E_o为圆环O的杨氏模量，μ_o为圆环O的泊松比，K_o为圆环O的外径与内径之比

单圆环I只收外压下在半径为r处的应力分量和位移分量：

${\mathrm{\σ}}_{\mathrm{ir}}=-\frac{P_o{K}_i^2}{K_i^2-1}(1-\frac{r_{\mathrm{ii}}^2}{r^2})---\left(1.4\right)$

${\mathrm{\σ}}_{\mathrm{it}}=-\frac{P_o{K}_i^2}{K_i^2-1}(1+\frac{r_{\mathrm{ii}}^2}{r^2})---\left(1.5\right)$

$u_i=-\frac{P_o{K}_i^2}{E_i(K_i^2-1)}[(1+{\mathrm{\μ}}_i)\frac{r_{\mathrm{ii}}^2}{r}+(1-{\mathrm{\μ}}_i)r]---\left(1.6\right)$

式中，σ_ir为径向应力分量，σ_it为周向应力分量，u_i为径向位移分量，P_o为圆环I所受的外压，r_io为圆环I的外径，r_ii为圆环I的内径，r为在距离圆环I圆心为r出的位置，E_i为圆环I的杨氏模量，μ_i为圆环I的泊松比，K_i为圆环I的外径与内径之比

(2)当r_io＝r_oi时，将圆环O、圆环I套在一起，将温度载荷ΔT加载到两个圆环上，设内外环接触面上的径向位移分量Δu，则：

α_oΔu＝u_o+u_i＝ΔTα_or_oi-ΔTα_ir_io＝-ΔTΔαr_io    (2.1)

式中，α_o为圆环O的热膨胀系数，α_i为圆环I的热膨胀系数，而且α_o＜α_i，ΔT为温度载荷，Δα为内外环热膨胀系数之差；

(3)根据接触面上的径向压力相同和式(2.1)，建立方程组：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\Δu}=-\mathrm{\ΔT\Δ}{\mathrm{\αr}}_{\mathrm{io}}\\ P_i=P_o=P\end{array}\right.---\left(3.1\right)$

求解方程组(3.1)得到内外环接触面上的压力为

$P=\frac{{\mathrm{\ΔT\Δ\αr}}_{\mathrm{io}}{E}_o{E}_i(K_o^2-1)(K_i^2-1)}{E_i{\mathrm{\β}}_o(K_i^2-1)+E_o{\mathrm{\β}}_i{K}_i^2(K_o^2-1)}---\left(3.2\right)$

式中， ${\mathrm{\β}}_o=(1+{\mathrm{\μ}}_o)\frac{r_{\mathrm{oo}}^2}{r_{\mathrm{oi}}}+(1-{\mathrm{\μ}}_o)r_{\mathrm{oi}},$ ${\mathrm{\β}}_i=(1+{\mathrm{\μ}}_i)\frac{r_{\mathrm{ii}}^2}{r_{\mathrm{io}}}+(1-{\mathrm{\μ}}_i)r_{\mathrm{io}};$

(4)由式(1.1)、式(1.2)、式(2.1)、式(3.2)得知，应力表达式中与温度T和热膨胀系数α相关的项只有接触面上的压力P中的ΔTΔα；也就是说，任何两种工况中，只要ΔTΔα相等，则两个工况中任何一点的应力也是相等的；

设Q＝ΔTΔα；

工况一：内外环同时加载温度ΔT₁，则

Q₁＝ΔT₁(α_i-α_o)    (4.1)

工况二：只在外环上加载温度ΔT₂，等效为同时在内外环上加载温度ΔT₂，而内环热膨胀系数α′_i＝0.所以

Q₂＝ΔT₂(α′_i-α_o)＝ΔT₂(0-α_o)    (4.2)

要使两个工况的ΔTΔα相等，则Q₁＝Q₂，于是

ΔT₁(α_i-α_o)＝ΔT₂(0-α_o)    (4.3)

求得

${\mathrm{\ΔT}}_2=-\frac{{\mathrm{\α}}_i-{\mathrm{\α}}_o}{{\mathrm{\α}}_o}{\mathrm{\ΔT}}_1---\left(4.4\right)$

ΔT₂即将温度转移到外环上的大小；

若内环为设计域，外环为非设计域，将同时加载在设计域和非设计域上的载荷转化为只加载在非设计域上的载荷。

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