CN101813512A - 采用计算机程序确定模型水轮机转轮叶片初生空化的声学方法 - Google Patents

Abstract

采用计算机程序确定模型水轮机转轮叶片初生空化的声学方法涉及水轮机转轮叶片初生空化判别领域。本发明通过分析高低频能量比随空化系数的变化趋势，准确地确定水轮机转轮初生空化系数。在获取水轮机转轮的声波信号后，通过曲线拟合确定水声功率谱中低频能量与高频能量交界处的频率值，在此基础上确定高低频能量的比值随空化系数的变化趋势，当该比值出现局部最大值时，水轮机初生空化系数随之确定。该发明完成了水轮机初生空化从人工甄别到智能识别的跨越。

Description

采用计算机程序确定模型水轮机转轮叶片初生空化的声学方法

技术领域：本发明涉及一种采用计算机程序确定模型水轮机转轮叶片初生空化的声学方法。

背景技术：随着对水轮机内特性研究的进一步深入及用户对水轮机稳定性要求的逐步提高，保证水轮机特别是巨型水轮机在无空化状态下安全稳定运行已成为考核机组运行状态的一项重要指标。

鉴于在目前的技术水平下，根本无法在现场确定水轮机的空化现象何时发生，业界目前普遍采用的方法是在与原型水轮机相似的模型水轮机上观察空化现象来推测原型机的空化特性。在模型水轮机上确定空化的常规方法是利用水轮机效率的变化量来确定空化的发生，该种方法可以依靠测量数据来评定空化现象的发生程度。然而以该方法确定模型水轮机空化发生时，水轮机已经发生空化且空化程度已经剧烈到足以影响水轮机的效率。而模型水轮机转轮叶片上刚刚有空化现象发生，即转轮叶片上刚刚有气泡产生的状态，才是确定水轮机空化发生与否的基本判据。该状态被定义为水轮机转轮初生空化状态。目前，水轮机转轮叶片初生空化现象只能依靠目测来确定。由于没有一个统一的可以量化的标准，致使模型水轮机初生空化的确定随着观测者及观测位置的不同而产生很大的差异，从而影响到水轮机空化的确定。因此迫切需要一种可以完全利用测量数据来判定模型水轮机转轮叶片初生空化何时发生的方法。

发明内容：本发明要解决的技术问题是在进行模型水轮机空化试验过程中，提供一种能够采用计算机程序确定模型水轮机转轮叶片初生空化的声学方法。本发明的技术方案是：一种采用计算机程序确定模型水轮机转轮叶片初生空化的声学方法，

1、启动计算机系统；

2、使模型水轮机处于未空化状态；

3、保持模型水轮机运行工况稳定，对水声信号进行采集；

4、计算水轮机水声信号的功率谱，具体方法如下：

首先，对水声信号进行采样量化与编码，形成采样后的时间

序列，采用汉宁(Hanning)窗函数W(n)对采样序列s(n)进行截取，

那么加窗后的时间序列x(n)为：

x(n)＝s(n)W(n)

其中x(n)进行截取后的主值序列

s(n)进行采样后的时间序列

W(n)汉宁(Hanning)窗函数

经截取处理的时间序列再经过傅立叶变换得到频谱：

$X\left(k\right)=\underset{n=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}x\left(n\right)W_N^{\mathrm{kn}}$

式中 $W_N^{\mathrm{kn}}=e^{-j2\mathrm{\πkn}/N}$

X(k)对x(n)进行傅立叶变换后的频谱函数

其共轭为

$X^{*}\left(k\right)=\underset{n=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}x\left(n\right)e^{j2\mathrm{\πkn}/N}$

X^*(k)X(k)的共轭频谱函数

则时间序列s(n)的功率谱离散值为

$S_{\mathrm{xx}}=\frac{2\mathrm{\Δt}}{N}\left|X^{*}\left(k\right)X\left(k\right)\right|$

S_xx功率谱的离散值

由于功率谱计算具有对称性的特点，输出功率谱线正负谐波关于奈奎斯特(Nyquist)采样频率对称。因此，在计算完功率谱之后，采用单边输出的方式，去掉负谐波；

5、确定水声功率谱中低频能量与高频能量交界处的频率值，具体方法如下：

在水轮机水声信号的功率谱中，能量的变化趋势是连续的，且低频区域呈现出随着水声频率的升高能量值陡降的趋势，而在高频区域能量值随着水声频率的升高而降低的幅度则要小得多，低频区域与高频区域之间存在着一个明显的交界点，将水轮机水声信号的功率谱中高低频区域能量随水声频率的变化趋势采用最小二乘法拟合的一次分段函数y来拟合，则偏差平方和最小的一次分段函数的交点x_m即为水声功率谱中低频能量与高频能量的交界点；

一次分段函数y可表示为：

$\stackrel{\‾}{y}=\left\{\begin{array}{c}{k}_{0}x+b_0,x\≤x_m\\ k_{1}x+b_1,x>x_m\end{array}\right.$

式中：

y一次分段函数

x_m一次分段函数y的交点

k₀、k₁一次分段函数y中一次项的系数；

b₀、b₁一次分段函数y中常数项；

令每一测量数据(x_i，y_i)对拟合曲线的偏差为V_i，则有V_i＝y_i-y_i，即：

$V_i=\left\{\begin{array}{c}{y}_i-k_0{x}_i-b_0,x_i\≤x_m\\ y_i-k_1{x}_i-b_1,x_i>x_m\end{array}\right.$

假设x_i≤x_m时有n₁个测量数据，x_i＞x_m时有n₂个测量数据，即n₁+n₂＝N。则偏差的平方和Q_i为：

$Q_i=\mathrm{\Σ}{V}_i^2=\stackrel{n_1}{\mathrm{\Σ}}{V}_i^2+\stackrel{n_2}{\mathrm{\Σ}}{V}_i^2=\underset{i=0}{\overset{n_1-1}{\mathrm{\Σ}}}{[y_i-(k_0{x}_i+b_0)]}^2+\underset{i=n_1}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{[y_i-(k_1{x}_i+b_1)]}^2$

令 $\frac{\∂Q_i}{\∂k_0}=0,$ $\frac{\∂Q_i}{\∂k_1}=0,$ $\frac{\∂Q_i}{\∂b_0}=0,$ $\frac{\∂Q_i}{\∂b_1}=0,$ 即可确定上述一次分段函数y及偏差的平方和Q_i；

在区间(x₀，x_n-1)内，以x_m＝x_m+ih递增方式计算不同x_m时的Q_i值(i＝1，2，…，N-1。h为频率分辨率)，其中最小Q_i值所对应的x_m值即为水声功率谱中低频能量与高频能量的交界点频率；

6、确定水声功率谱中低频能量和高频能量及低频能量与高频能量之比值，具体方法如下：

水声功率谱中低频能量 $E_0=\underset{i=0}{\overset{n_1-1}{\mathrm{\Σ}}}{y}_i\·h$

水声功率谱中高频能量 $E_1=\underset{i=n_1}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{y}_i\·h$

则水声功率谱中低频能量与高频能量之比为：

$E_0/E_1=(\underset{i=0}{\overset{n_1-1}{\mathrm{\Σ}}}{y}_i\·h)/(\underset{i=n_1}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{y}_i\·h)$

7、确定模型水轮机转轮叶片发生初生空化时的空化系数，在发生空化前，随着空化系数的减小，水声功率谱中低频能量与高频能量之比E₀/E₁呈现出单调下降的趋势；空化发生后，也呈现出随着空化系数的减小，水声功率谱中低频能量与高频能量之比E₀/E₁呈现出单调下降的规律性。仅仅在初生空化点附近，水声功率谱中低频能量与高频能量之比E₀/E₁随空化系数的变化曲线出现了局部最大值，且该邻域U(σ_i)内E₀/E₁最大值所对应的位置即为发生初生空化的位置，具体判定方法如下：

假定改变空化系数m次，空化系数及其对应的低频能量与高频能量之比E₀/E₁按空化系数由小到大的顺序分别记为(σ₁，(E₀/E₁)₁)，(σ₂，(E₀/E₁)₂)，…，(σ_m，(E₀/E₁)_m)。对相邻空化系数所对应的E₀/E₁值进行求差运算：

d_i＝(E₀/E₁)_i+1-(E₀/E₁)_i，i＝1，2，…，m-1

式中：

d_i相邻空化系数所对应的E₀/E₁值之差

当远离模型水轮机转轮叶片发生空化区域时，d_i＞0；

当靠近模型水轮机转轮叶片发生空化区域时，d_i＜0。此时，减小σ_i至σ_i+1的间隔，并判断d_i-1是否大于零；

当d_i＜0且d_i-1＞0时，点(σ_i，(E₀/E₁)_i)即为模型水轮机转轮叶片初生空化发生的位置。

本发明不论水轮机在有无空化状态下运行，其水声功率谱均为连续的带频。随着空化系数的不断减小，水轮机水声功率谱中低频能量呈不断降低、高频能量呈不断升高的趋势。且当水轮机转轮叶片发生初生空化，即叶片吸力面出现附着在叶片表面的单个气泡时，水轮机水声功率谱中能量会呈现低频能量所占比例升高、高频能量所占比例降低的趋势，此时水声信号高低频能量比随空化系数的变化曲线在此区域出现局部最大值。该局部最大值的位置即为模型水轮机转轮叶片初生空化发生的位置。

图2为实现本发明的计算机确定模型水轮机转轮叶片初生空化的流程图，它通过安装在模型水轮机上的传感器，对水声信号进行采集并传送给计算机，并实时对采集信号进行分析。

本发明在首次提出了利用水声信号的频域分析方法进行模型水轮机转轮叶片初生空化判定的方法。本发明在判定模型水轮机转轮叶片初生空化的研究领域首次提出了水声信号频域中高低频能量比率，即高低频能量的比值，可以用来表征模型水轮机转轮叶片空化状态的方法，并提出了实时计算水声功率谱中低频能量与高频能量的交界点频率的算法。通过在不同类型模型水轮机上的反复试验研究，在全世界首先发现了适用于所有类型水轮机的用以判定模型水轮机转轮叶片初生空化的水声信号高低频能量比值随空化系数的如图1所示的变化趋势。利用图1中反映出的模型水轮机转轮叶片发生初生空化处(点1处)的水声信号高低频能量比值在其周围区域呈现出局部最大值的特性，可以非常准确地确定模型水轮机转轮叶片初生空化的发生位置。同时，如图1所示，根据本发明发现的水声信号高低频能量比值随空化系数的变化趋势，由于远离初生空化发生位置的未发生空化处(点3处)的水声信号高低频能量比随空化系数的变化趋势与靠近初生空化发生位置的未发生空化处(点2处)的变化趋势相反，本发明采用了利用判定水声信号高低频能量比值的变化趋势自动地调整空化系数变化间隔的搜索策略，即，当远离初生空化发生位置时，采用正常的变化间隔来调整空化系数；而当靠近初生空化发生位置时，则采用比正常变化间隔小得多的间隔来调整空化系数。该搜索策略既保证了判定的初生空化发生位置的准确性，又合理地节约了试验时间。

本发明在未发生空化至严重空化区间内的不同空化系数下连续进行水产信号的采集。采集后首先计算水轮机水声信号的功率谱，并将水轮机水声功率按总体趋势分为低频能量和高频能量两部分。总体上，水轮机水声功率谱中低频能量与高频能量之比值随空化系数呈单调变化的趋势，仅仅当模型水轮机发生初生空化时，其水声功率谱中低频能量与高频能量之比值才呈现明显的与总体变化趋势相悖的情况。据此，只要能发现水声信号高低频能量比与空化系数的关系曲线在此区域出现的局部最大值，就可以确定模型水轮机转轮叶片初生空化的位置。

附图说明

图1为水声信号高低频能量比随空化系数的变化趋势

图2为实现本发明的基于高低频能量比确定初生空化的方法所采用的软件流程图

图3为实现本发明的基于高低频能量比确定初生空化的方法中计算高低频能量交界点所采用的软件流程图

具体实施方式如下：

一种采用计算机程序确定模型水轮机转轮叶片初生空化的声学方法，按图2所表示的操作流程：

1、启动计算机系统；

2、使模型水轮机处于未空化状态；

3、保持模型水轮机运行工况稳定，对水声信号进行采集。

4、计算水轮机水声信号的功率谱，具体方法如下：

首先，对水声信号进行采样量化与编码，形成采样后的时间序列，采用汉宁(Hanning)窗函数W(n)对采样序列s(n)进行截取。那么加窗后的时间序列x(n)为：

x(n)＝s(n)W(n)

其中x(n)进行截取后的主值序列

s(n)进行采样后的时间序列

W(n)汉宁(Hanning)窗函数

经截取处理的时间序列再经过傅立叶变换得到频谱：

$X\left(k\right)=\underset{n=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}x\left(n\right)W_N^{\mathrm{kn}}$

式中 $W_N^{\mathrm{kn}}=e^{-j2\mathrm{\πkn}/N}$

X(k)对x(n)进行傅立叶变换后的频谱函数

其共轭为

$X^{*}\left(k\right)=\underset{n=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}x\left(n\right)e^{j2\mathrm{\πkn}/N}$

X^*(k)X(k)的共轭频谱函数

则时间序列s(n)的功率谱离散值为

$S_{\mathrm{xx}}=\frac{2\mathrm{\Δt}}{N}\left|X^{*}\left(k\right)X\left(k\right)\right|$

S_xx功率谱的离散值

由于功率谱计算具有对称性的特点，输出功率谱线正负谐波关于奈奎斯特(Nyquist)采样频率对称。因此，在计算完功率谱之后，采用单边输出的方式，去掉负谐波。

5、确定水声功率谱中低频能量与高频能量交界处的频率值，具体方法如下：

在水轮机水声信号的功率谱中，能量的变化趋势是连续的，且低频区域呈现出随着水声频率的升高能量值陡降的趋势，而在高频区域能量值随着水声频率的升高而降低的幅度则要小得多，低频区域与高频区域之间存在着一个明显的交界点，按图3所表示的方法，将水轮机水声信号的功率谱中高低频区域能量随水声频率的变化趋势用采用最小二乘法拟合的一次分段函数y来拟合，则偏差平方和最小的一次分段函数的交点x_m即为水声功率谱中低频能量与高频能量的交界点。

一次分段函数y可表示为：

$\stackrel{\‾}{y}=\left\{\begin{array}{c}{k}_{0}x+b_0,x\≤x_m\\ k_{1}x+b_1,x>x_m\end{array}\right.$

式中：

y一次分段函数

x_m一次分段函数y的交点

k₀、k₁一次分段函数y中一次项的系数；

b₀、b₁一次分段函数y中常数项。

令每一测量数据(x_i，y_i)对拟合曲线的偏差为V_i，则有V_i＝y_i-y_i，即：

$V_i=\left\{\begin{array}{c}{y}_i-k_0{x}_i-b_0,x_i\≤x_m\\ y_i-k_1{x}_i-b_1,x_i>x_m\end{array}\right.$

假设x_i≤x_m时有n₁个测量数据，x_i＞x_m时有n₂个测量数据，即n₁+n₂＝N。则偏差的平方和Q_i为：

$Q_i=\mathrm{\Σ}{V}_i^2=\stackrel{n_1}{\mathrm{\Σ}}{V}_i^2+\stackrel{n_2}{\mathrm{\Σ}}{V}_i^2=\underset{i=0}{\overset{n_1-1}{\mathrm{\Σ}}}{[y_i-(k_0{x}_i+b_0)]}^2+\underset{i=n_1}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{[y_i-(k_1{x}_i+b_1)]}^2$

令 $\frac{\∂Q_i}{\∂k_0}=0,$ $\frac{\∂Q_i}{\∂k_1}=0,$ $\frac{\∂Q_i}{\∂b_0}=0,$ $\frac{\∂Q_i}{\∂b_1}=0,$ 即可确定上述一次分段函数y及偏差的平方和Q_i。

在区间(x₀，x_n-1)内，以x_m＝x₀+ih递增方式计算不同x_m时的Q_i值(i＝1，2，…，N-1。h为频率分辨率)，其中最小Q_i值所对应的x_m值即为水声功率谱中低频能量与高频能量的交界点频率；

6、确定水声功率谱中低频能量和高频能量及低频能量与高频能量之比值，具体方法如下：

水声功率谱中低频能量 $E_0=\underset{i=0}{\overset{n_1-1}{\mathrm{\Σ}}}{y}_i\·h$

水声功率谱中高频能量 $E_1=\underset{i=n_1}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{y}_i\·h$

则水声功率谱中低频能量与高频能量之比为：

$E_0/E_1=(\underset{i=0}{\overset{n_1-1}{\mathrm{\Σ}}}{y}_i\·h)/(\underset{i=n_1}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{y}_i\·h)$

7、确定模型水轮机转轮叶片发生初生空化时的空化系数。如图1所示，在发生空化前，随着空化系数的减小，水声功率谱中低频能量与高频能量之比E₀/E₁呈现出单调下降的趋势；空化发生后，也呈现出随着空化系数的减小，水声功率谱中低频能量与高频能量之比E₀/E₁呈现出单调下降的规律性。仅仅在初生空化点附近，水声功率谱中低频能量与高频能量之比E₀/E₁随空化系数的变化曲线出现了局部最大值，且该邻域U(σ_i)内E₀/E₁最大值(图1中的点1所示位置)所对应的位置即为发生初生空化的位置。具体判定方法如下：

假定改变空化系数m次，空化系数及其对应的低频能量与高频能量之比E₀/E₁按空化系数由小到大的顺序分别记为(σ₁，(E₀/E₁)₁)，(σ₂，(E₀/E₁)₂)，…，(σ_m，(E₀/E₁)_m)。对相邻空化系数所对应的E₀/E₁值进行求差运算：

d_i＝(E₀/E₁)_i+1-(E₀/E₁)_i，i＝1，2，…，m-1

式中：

d_i相邻空化系数所对应的E₀/E₁值之差

当远离模型水轮机转轮叶片发生空化区域时，d_i＞0；

当靠近模型水轮机转轮叶片发生空化区域时，d_i＜0。此时，减小σ_i至σ_i+1的间隔，并判断d_i-1是否大于零；

当d_i＜0且d_i-1＞0时，点(σ_i，(E₀/E₁)_i)即为模型水轮机转轮叶片初生空化发生的位置。

Claims (1)

1.一种采用计算机程序确定模型水轮机转轮叶片初生空化的声学方法，其特征是：

1)启动计算机系统；

2)使模型水轮机处于未空化状态；

3)保持模型水轮机运行工况稳定，对水声信号进行采集；

4)计算水轮机水声信号的功率谱，具体方法如下：

首先，对水声信号进行采样量化与编码，形成采样后的时间序列，采用汉宁(Hanning)窗函数W(n)对采样序列s(n)进行截取，那么加窗后的时间序列x(n)为：

x(n)＝s(n)W(n)

其中x(n)进行截取后的主值序列

s(n)进行采样后的时间序列

W(n)汉宁(Hanning)窗函数

经截取处理的时间序列再经过傅立叶变换得到频谱：

$X\left(k\right)=\underset{n=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}x\left(n\right)W_N^{\mathrm{kn}}$

式中 $W_N^{\mathrm{kn}}=e^{-j2\mathrm{\πkn}/N}$

X(k)对x(n)进行傅立叶变换后的频谱函数

其共轭为

$X^{*}\left(k\right)=\underset{n=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}x\left(n\right)e^{j2\mathrm{\πkn}/N}$

X^*(k)X(k)的共轭频谱函数

则时间序列s(n)的功率谱离散值为

$S_{\mathrm{xx}}=\frac{2\mathrm{\Δt}}{N}\left|X^{*}\left(k\right)X\left(k\right)\right|$

S_xx功率谱的离散值

由于功率谱计算具有对称性的特点，输出功率谱线正负谐波关于奈奎斯特(Nyquist)采样频率对称。因此，在计算完功率谱之后，采用单边输出的方式，去掉负谐波；

5)确定水声功率谱中低频能量与高频能量交界处的频率值，具体方法如下：

在水轮机水声信号的功率谱中，能量的变化趋势是连续的，且低频区域呈现出随着水声频率的升高能量值陡降的趋势，而在高频区域能量值随着水声频率的升高而降低的幅度则要小得多，低频区域与高频区域之间存在着一个明显的交界点，将水轮机水声信号的功率谱中高低频区域能量随水声频率的变化趋势用采用最小二乘法拟合的一次分段函数y来拟合，则偏差平方和最小的一次分段函数的交点x_m即为水声功率谱中低频能量与高频能量的交界点；

一次分段函数y可表示为：

$\stackrel{\‾}{y}=\left\{\begin{array}{c}{k}_{0}x+b_0,x\≤x_m\\ k_{1}x+b_1,x>x_m\end{array}\right.$

式中：

y一次分段函数

x_m一次分段函数y的交点

k₀、k₁一次分段函数y中一次项的系数；

b₀、b₁一次分段函数y中常数项；

令每一测量数据(x_i，y_i)对拟合曲线的偏差为V_i，则有V_i＝y_i-y_i，即：

$V_i=\left\{\begin{array}{c}{y}_i-k_0{x}_i-b_0,x_i\≤x_m\\ y_i-k_1{x}_i-b_1,x_i>x_m\end{array}\right.$

假设x_i≤x_m时有n₁个测量数据，x_i＞x_m时有n₂个测量数据，即n₁+n₂＝N。则偏差的平方和Q_i为：

$Q_i=\mathrm{\Σ}{V}_i^2=\stackrel{n_1}{\mathrm{\Σ}}{V}_i^2+\stackrel{n_2}{\mathrm{\Σ}}{V}_i^2=\underset{i=0}{\overset{n_1-1}{\mathrm{\Σ}}}{[y_i-(k_0{x}_i+b_0)]}^2+\underset{i=n_1}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{[y_i-(k_1{x}_i+b_1)]}^2$

令 $\frac{{\∂Q}_i}{{\∂k}_0}=0,$ $\frac{{\∂Q}_i}{{\∂k}_i}=0,$ $\frac{{\∂Q}_i}{{\∂b}_0}=0,$ $\frac{{\∂Q}_i}{{\∂b}_1}=0,$ 即可确定上述一次分段函数y及偏差的平方和Q_i；

在区间(x₀，x_n-1)内，以x_m＝x₀+ih递增方式计算不同x_m时的Q_i值(i＝1，2，…，N-1。h为频率分辨率)，其中最小Q_i值所对应的x_m值即为水声功率谱中低频能量与高频能量的交界点频率；

6)确定水声功率谱中低频能量和高频能量及低频能量与高频能量之比值，具体方法如下：

水声功率谱中低频能量 $E_0=\underset{i=0}{\overset{n_1-1}{\mathrm{\Σ}}}{y}_i\·h$

水声功率谱中高频能量 $E_1=\underset{i=n_1}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{y}_i\·h$

则水声功率谱中低频能量与高频能量之比为：

$E_0/E_1=(\underset{i=0}{\overset{n_1-1}{\mathrm{\Σ}}}{y}_i\·h)/(\underset{i=n_1}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{y}_i\·h)$

7)确定模型水轮机转轮叶片发生初生空化时的空化系数，在发生空化前，随着空化系数的减小，水声功率谱中低频能量与高频能量之比E₀/E₁呈现出单调下降的趋势；空化发生后，也呈现出随着空化系数的减小，水声功率谱中低频能量与高频能量之比E₀/E₁呈现出单调下降的规律性。仅仅在初生空化点附近，水声功率谱中低频能量与高频能量之比E₀/E₁随空化系数的变化曲线出现了局部最大值，且该邻域U(σ_i)内E₀/E₁最大值所对应的位置即为发生初生空化的位置，具体判定方法如下：

假定改变空化系数m次，空化系数及其对应的低频能量与高频能量之比E₀/E₁按空化系数由小到大的顺序分别记为(σ₁，(E₀/E₁)₁)，(σ₂，(E₀/E₁)₂)，…，(σ_m，(E₀/E₁)_m)。对相邻空化系数所对应的E₀/E₁值进行求差运算：

d_i＝(E₀/E₁)_i+1-(E₀/E₁)_i，i＝1，2，…，m-1

式中：

d_i相邻空化系数所对应的E₀/E₁值之差

当远离模型水轮机转轮叶片发生空化区域时，d_i＞0；

当靠近模型水轮机转轮叶片发生空化区域时，d_i＜0。此时，减小σ_i至σ_i+1的间隔，并判断d_i-1是否大于零；

当d_i＜0且d_i-1＞0时，点(σ_i，(E₀/E₁)_i)即为模型水轮机转轮叶片初生空化发生的位置。

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