CN103149276A - 确定模型水轮机转轮叶片空蚀起始点的方法 - Google Patents

Abstract

一种根据空化噪声能量分布梯度比例确定模型水轮机转轮叶片初生空化的自动化方法，涉及模型水轮机转轮叶片初生空化自动化甄别与自动化测试领域。其特征在于，通过分析空化噪声高低频能量分布梯度比随空化系数的变化趋势从而客观、准确地判断模型水轮机转轮叶片初生空化合何时发生。在采集到水轮机转轮的空化噪声信号后，通过分段函数曲线拟合定量划分空化噪声低频能量与高频能量，根据能量分布趋势，令拟合曲线斜率近似代替高、低频能量变化的梯度，当该比值出现局部最小值时，此最小值对应的水轮机空化系数即为初生空化系数。该发明首次提出了一种全新的模型水轮机空化试验方法，完成了水轮机初生空化从人工甄别到自动化测试的质的飞越。

Description

确定模型水轮机转轮叶片空蚀起始点的方法

技术领域：一种根据空化噪声能量分布梯度比例确定模型水轮机转轮叶片空蚀起始点的自动化方法。 

背景技术：随着对水轮机特性研究的深入，人们将注意力逐渐由对水轮机的外特性的研究转移到对水轮机内特性的研究；由于人们认知程度的进步以及水电站对于水轮机安全稳定运行要求的提高，致使水轮机设计人员在关注水轮机效率的同时也增加了对水轮机空化等指标更为关注。机组在空化状态下运行会导致机组的振动增强，效率的降低，对机组重要部件造成侵蚀，导致机组检修周期缩短，运行成本的提高，同时也是机组运行的极大安全隐患。 

鉴于在目前的技术水平下，根本确定原型水轮机的空蚀现象何时发生，业界目前普遍采用的方法是在与原型水轮机相似的模型水轮机上观察空化现象来推测原型机的空化特性。在模型水轮机上确定转轮叶片空蚀起始点的方法往往采用人眼观测的方法。该方法确定模型水轮机空蚀何时发生时，观测结果往往因观测者的不同而不同，即使是同一观测者在不同的外界环境和自身身体状况下得到的结果也不尽相同，这使得模型水轮机转轮叶片空蚀起始点的判定结果带有极大的主观性，从而严重影响了原型水轮机安全运行范围的确定，因此行业 内迫切需要一种摒除主观因素干扰的可以精确确定模型水轮机转轮叶片空蚀起始点的客观的可以量化的方法。 

发明内容：本发明要解决的技术问题是在进行模型水轮机空化试验过程中，提供一种根据空化噪声能量分布梯度比例确定模型水轮机转轮叶片空蚀起始点的自动化方法。本发明的技术方案是：一种根据空化噪声能量分布梯度比例确定模型水轮机转轮叶片空蚀起始点的自动化方法： 

1）启动计算机系统； 

2）使模型水轮机处于尚未发生空蚀的状态； 

3）保持模型水轮机运行工况稳定，对水声信号进行采集； 

4）计算水轮机水声信号的功率谱，具体方法如下： 

首先，对水声信号进行采样量化与编码，形成采样后的时间序列，采用汉宁（Hanning）窗函数W(n)对采样序列s(n)进行截取，那么加窗后的时间序列x(n)为： 

x(n)=s(n)W(n) 

其中x(n)进行截取后的主值序列 

s(n)进行采样后的时间序列 

W(n)汉宁（Hanning）窗函数 

经截取处理的时间序列再经过傅立叶变换得到频谱： 

$X\left(k\right)=\underset{n=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}x\left(n\right)W_N^{\mathrm{kn}}$

式中 $W_N^{\mathrm{kn}}=e^{-j2\mathrm{\πkn}/N}$

X(k)对x(n)进行傅立叶变换后的频谱函数 

其共轭为 

$X^{*}\left(k\right)=\underset{n=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}x\left(n\right)e^{j2\mathrm{\πkn}/N}$

X^*(k)X(k)的共轭频谱函数 

则时间序列s(n)的功率谱离散值为 

$S_{\mathrm{xx}}=\frac{2\mathrm{\Δt}}{N}\left|X^{*}\left(k\right)X\left(k\right)\right|$

S_xx功率谱的离散值 

Δt等时采样时间间隔 

由于功率谱计算具有对称性的特点，输出功率谱线正负谐波关于奈奎斯特（Nyquist）采样频率对称。因此，在计算完功率谱之后，采用单边输出的方式，去掉负谐波； 

5）确定水声功率谱中高低频能量交界处的频率值，具体方法如下： 

在水轮机水声信号的功率谱中，幅值的变化趋势是连续的，且低频区域呈现出随着水声频率的升高幅值陡降的趋势，而在高频区域幅值随着水声频率的升高而降低的幅度则要小得多，低频区域与高频区 域之间存在着一个明显的交界点，将水轮机水声信号的功率谱中高低频区域幅值随水声频率的变化趋势用采用最小二乘法拟合的一次分段函数

来拟合，则偏差平方和最小的一次分段函数的交点x_m即为水声功率谱中一次分段函数的交界点； 

一次分段函数

可表示为： 

$\stackrel{\‾}{y}=\left\{\begin{array}{c}{k}_{0}x+b_0,x\≤x_m\\ k_{1}x+b_1,x>x_m\end{array}\right.$

式中： 

一次分段函数 

x_m一次分段函数的交点 

k₀、k₁一次分段函数中一次项的系数； 

b₀、b₁一次分段函数

中常数项； 

令每一测量数据(x_i，y_i)对拟合曲线的偏差为V_i，则有

即： 

$V_i=\left\{\begin{array}{c}{y}_1-k_0{x}_i-b_0,x_i\≤x_m\\ y_i{-k}_1{x}_i-b_1{x}_i>x_m\end{array}\right.$

假设x_i≤x_m时有n₁个测量数据，x_i>x_m时有n₂个测量数据，即n₁+n₂=N，则偏差的平方和Q_i为： 

$Q_i=\mathrm{\Σ}{V_i}^2=\stackrel{n_1}{\mathrm{\Σ}}{V_i}^2+\stackrel{n_2}{\mathrm{\Σ}}{V_i}^2=\underset{i=0}{\overset{n_1-1}{\mathrm{\Σ}}}{[y_i-(k_0{x}_i+b_0)]}^2+\underset{i{=n}_1}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{[y_i-(k_1{x}_i+b_1)]}^2$

令 $\frac{{\∂Q}_i}{{\∂k}_0}=0,$ $\frac{{\∂Q}_i}{{\∂k}_1}=0,$ $\frac{{\∂Q}_i}{{\∂k}_0}=0,$ $\frac{{\∂Q}_i}{{\∂k}_1}=0,$ 即可确定一次分段函数和偏差的平方和Q_i； 

在区间(x₀,x_n-1)内，以x_m=x₀+ih递增方式计算不同x_m时的Q_i值（i＝1，2，…，N-1。h为频率分辨率），其中最小Q_i值所对应的x_m值即为水声功率谱中一次分段函数的交界点频率。 

6）确定水声功率谱中低频区域和高频区域能量梯度及及其比例关系，具体方法如下： 

$\left\{\begin{array}{c}{a}_1{k}_0+a_2{b}_0=c1\\ a_2{k}_0+a_3{b}_0=c2\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{c}{a_1}^{/}{k}_1+{a_2}^{/}{b}_1={c_1}^{/}\\ {a_2}^{/}{k}_2+{a_3}^{/}{b}_1={c_2}^{/}\end{array}\right.$

水声功率谱中低频能量梯度值 $k_0=\frac{\stackrel{\mathrm{nl}}{\mathrm{\Σ}}{y}_i\×\stackrel{\mathrm{nl}}{\mathrm{\Σ}}{x}_i\stackrel{n1}{\mathrm{\Σ}}{y}_i{x}_i\×\stackrel{n1}{\mathrm{\Σ}}}{{\left(\stackrel{n1}{\mathrm{\Σ}}{x}_i\right)}^2-\stackrel{n1}{\mathrm{\Σ}}{x}_i^2\×\stackrel{n1}{\mathrm{\Σ}}};$

水声功率谱中高频能量梯度值 $k_1=\frac{\stackrel{n2}{\mathrm{\Σ}}{y}_i\×\stackrel{n2}{\mathrm{\Σ}}{x}_i\stackrel{n2}{\mathrm{\Σ}}{y}_i{x}_i\×\stackrel{n2}{\mathrm{\Σ}}}{{\left(\stackrel{n2}{\mathrm{\Σ}}{x}_i\right)}^2-\stackrel{n2}{\mathrm{\Σ}}{x}_i^2\×\stackrel{n2}{\mathrm{\Σ}}};$

则水声功率谱中低频能量与高频能量梯度比例: 

$k_0/k_1=\left(\frac{\stackrel{n1}{\mathrm{\Σ}}{y}_i\×\stackrel{n1}{\mathrm{\Σ}}{x}_i-\stackrel{n1}{\mathrm{\Σ}}{y}_i{x}_i\×\stackrel{n1}{\mathrm{\Σ}}}{{\left(\stackrel{n1}{\mathrm{\Σ}}{x}_i\right)}^2-\stackrel{n1}{\mathrm{\Σ}}{x}_i^2\×\stackrel{n1}{\mathrm{\Σ}}}\right)/\left(\frac{\stackrel{n2}{\mathrm{\Σ}}{y}_i\×\stackrel{n2}{\mathrm{\Σ}}{x}_i-\stackrel{n2}{\mathrm{\Σ}}{y}_i{x}_i\×\stackrel{n2}{\mathrm{\Σ}}}{{\left(\stackrel{n2}{\mathrm{\Σ}}{x}_i\right)}^2-\stackrel{n2}{\mathrm{\Σ}}{x}_i^2\×\stackrel{n2}{\mathrm{\Σ}}}\right)$

7）确定模型水轮机转轮叶片发生空蚀起始点的空化系数，在发生空蚀前，随着空化系数的减小，水声功率谱高低频能量梯度比呈现出单调下降的趋势；空蚀发生后，随着空化系数的减小，水声功率谱高低频能量梯度比呈现出单调上升的规律性；仅仅在空蚀起始点附 近,水声功率谱高低频能量梯度比随空化系数的变化曲线出现了局部最小值，且该邻域U(σ_i)内梯度比值最小值所对应的位置即为空蚀起始点的位置，具体判定方法如下: 

假定改变空化系数m次，空化系数及其对应低频能量与高频能量梯度比例k₀/k₁按空化系数由小到大的顺序分别记为(σ₁,(k₀/k₁)₁)，(σ₂,(k₀/k₁)₂)，…，(σ_m,(k₀/k₁)_m)。对相邻空化系数所对应的k₀/k₁值进行求差运算： 

d_i=(k₀/k₁)_i+1-(k₀/k₁)_i，i=1,2,…，m-1 

式中： 

当模型水轮机运行在未发生空蚀区域时，d_i<0； 

当模型水轮机运行在严重空蚀的区域时，d_i>0。此时，减小σ_i至σ_i+1的间隔，并判断d_i-1是否小于零； 

当d_i>0且d_i-1<0时，点(σ_i,(k₀/k₁)_i)即为模型水轮机转轮叶片空蚀起始点发生的位置。 

本发明不论水轮机在有无空蚀状态下运行，其水声功率谱均为连续的带频。随着空化系数的不断减小，水轮机水声功率谱中低频区域能量变化梯度不断降低、高频区域能量变化梯度不断升高。且当水轮机转轮叶片空蚀起始点出现时，即叶片吸力面出现附着在叶片表面的单个气泡时，水轮机水声功率谱中能量会呈现低频区域能量变化梯度 所占比例降低、高频区域能量变化梯度所占比例升高的趋势，此时水声信号高低频能量梯度的比例关系随空化系数的变化曲线在此区域出现局部最小值。该局部最小值的位置即为模型水轮机转轮叶片空蚀起始点发生的位置。 

图2为实现本发明的计算机确定模型水轮机转轮叶片空蚀起始点的流程图，它通过安装在模型水轮机上的声学传感器，对水中的空化噪声信号进行采集并传送给计算机，并实时对采集信号进行分析。 

本发明在全世界首次提出了利用水声信号的频域分析方法进行模型水轮机转轮叶片空蚀起始点判定的自动化方法。本发明在判定模型水轮机转轮叶片空蚀起始点的研究领域在全世界首次提出了水声信号频域中高、低频能量变化梯度的比例关系，可以用来表征模型水轮机转轮叶片空蚀发生发展状态的方法，并提出了实时计算水声功率谱中高低频能量变化梯度的算法。通过在不同类型模型水轮机上的反复试验研究，在全世界首先发现了适用于所有类型水轮机的用以判定模型水轮机转轮叶片空蚀起始点的自动化方法。水声信号高低频能量变化梯度比例关系随空化系数呈现如图1所示的变化趋势。利用图1中反映出的模型水轮机转轮叶片空蚀起始点处（点2处）的水声信号高低频能量变化梯度比例关系在其周围区域呈现出局部最小值的特性，可以非常准确地确定模型水轮机转轮叶片空蚀的发生起始位置。 同时，如图1所示，根据本发明发现的水声信号高低频能量梯度比例关系随空化系数的变化趋势，由于远离空蚀起始点位置的未发生空蚀处（点1处）的水声信号高低能量梯度比随空化系数的单调下降趋势，靠近空蚀发生位置的未发生空蚀处（点2处）的单调下降趋势不明显，本发明采用了利用判定水声信号高低频能量梯度比的变化趋势自动地调整空化系数变化间隔的搜索策略，即当远离空蚀起始点位置时，采用正常的变化间隔来调整空化系数；而当靠近空蚀起始点位置时，则采用比正常变化间隔小得多的间隔来调整空化系数。该搜索策略既保证了判定的空蚀起始点位置的准确性，又合理地节约了试验时间 

本发明在未发生空蚀至严重空蚀区间内的不同空化系数下连续进行水声信号的采集。采集后首先计算水轮机水声信号的功率谱，并将水轮机水声功率按总体趋势分为低频区域和高频区域两部分。总体上，水轮机水声功率谱中高低频能量梯度比例随空化系数呈单调变化的趋势，仅仅当模型水轮机刚刚发生空蚀时，其水声功率谱中高低频能量梯度比例才呈现明显的与总体变化趋势相悖的情况。据此，只要能发现水声信号高低频能量梯度比例与空化系数的关系曲线在此区域出现的局部最小值，就可以确定模型水轮机转轮叶片空蚀起始点的位置。 

附图说明

图1为水声信号高低频能量变化趋势比例关系随空化系数的变化趋势 

图2为实现本发明的基于高低频能量变化趋势比例关系确定空蚀起始点的方法所采用的流程图 

图3为实现本发明的确定空蚀起始点的方法中计算高低频能量交界点频率所采用的软件流程图 

具体实施方式如下： 

一种采用计算机程序确定模型水轮机转轮叶片空蚀起始点的声学方法，按图2所表示的操作流程： 

1）启动计算机系统； 

2）使模型水轮机处于尚未发生空蚀的状态； 

3）保持模型水轮机运行工况稳定，对水声信号进行采集； 

4）计算水轮机水声信号的功率谱，具体方法如下： 

首先，对水声信号进行采样量化与编码，形成采样后的时间序列，采用汉宁（Hanning）窗函数W(n)对采样序列s(n)进行截取，那么加窗后的时间序列x(n)为： 

x(n)=s(n)W(n) 

其中x(n)进行截取后的主值序列 

s(n)进行采样后的时间序列 

W(n)汉宁（Hanning）窗函数 

经截取处理的时间序列再经过傅立叶变换得到频谱： 

$X\left(k\right)=\underset{n=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}x\left(n\right)W_N^{\mathrm{kn}}$

式中 $W_N^{\mathrm{kn}}=e^{-j2\mathrm{\&pi;kn}/N}$

X(k)对x(n)进行傅立叶变换后的频谱函数 

其共轭为 

$X^{*}\left(k\right)=\underset{n=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}x\left(n\right)e^{j2\mathrm{\&pi;kn}/N}$

X^*(k)X(k)的共轭频谱函数 

则时间序列s(n)的功率谱离散值为 

$S_{\mathrm{xx}}=\frac{2\mathrm{\&Delta;t}}{N}\left|X^{*}\left(k\right)X\left(k\right)\right|$

S_xx功率谱的离散值 

Δt等时采样时间间隔 

由于功率谱计算具有对称性的特点，输出功率谱线正负谐波关于奈奎斯特（Nyquist）采样频率对称。因此，在计算完功率谱之后，采用单边输出的方式，去掉负谐波； 

5）确定水声功率谱中高低频能量交界处的频率值，具体方法如下： 

在水轮机水声信号的功率谱中，幅值的变化趋势是连续的，且低频区域呈现出随着水声频率的升高幅值陡降的趋势，而在高频区域幅值随着水声频率的升高而降低的幅度则要小得多，低频区域与高频区域之间存在着一个明显的交界点，将水轮机水声信号的功率谱中高低频区域幅值随水声频率的变化趋势用采用最小二乘法拟合的一次分段函数

来拟合，则偏差平方和最小的一次分段函数的交点x_m即为水声功率谱中一次分段函数的交界点； 

一次分段函数

可表示为： 

$\stackrel{\&OverBar;}{y}=\left\{\begin{array}{c}{k}_{0}x+b_0,x\&le;x_m\\ k_{1}x+b_1,x>x_m\end{array}\right.$

式中： 

一次分段函数 

x_m一次分段函数

的交点 

k₀、k₁一次分段函数中一次项的系数； 

b₀、b₁一次分段函数中常数项； 

令每一测量数据(x_i，y_i)对拟合曲线的偏差为V_i，则有

即： 

$V_i=\left\{\begin{array}{c}{y}_i-k_0{x}_i-b_0,x_i\&le;x_m\\ y_i-k_1{x}_i-b_1,x_i>x_m\end{array}\right.$

假设x_i≤x_m时有n₁个测量数据，x_i>x_m时有n₂个测量数据，即n₁+n₂=N，则偏差的平方和Q_i为： 

$Q_i=\mathrm{\&Sigma;}{V_i}^2=\stackrel{n_1}{\mathrm{\&Sigma;}}{V_i}^2+\stackrel{n_2}{\mathrm{\&Sigma;}}{V_i}^2=\underset{i=0}{\overset{n_1-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{[y_i-(k_0{x}_i+b_0)]}^2+\underset{{i=n}_1}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{[y_i-(k_1{x}_i+b_1)]}^2$

令 $\frac{{\&PartialD;Q}_i}{{\&PartialD;k}_0}=0,$ $\frac{{\&PartialD;Q}_i}{{\&PartialD;k}_1}=0,$ $\frac{{\&PartialD;Q}_i}{{\&PartialD;b}_0}=0,$ $\frac{{\&PartialD;Q}_i}{{\&PartialD;b}_1}=0,$ 即可确定一次分段函数和偏差的平方和Q_i； 

在区间(x₀,x_n-1)内，以x_m=x₀+ih递增方式计算不同x_m时的Q_i值（i＝1，2，…，N-1。h为频率分辨率），其中最小Q_i值所对应的x_m值即为水声功率谱中一次分段函数的交界点频率； 

6）确定水声功率谱中低频区域和高频区域能量梯度及及其比例关系，具体方法如下： 

$\left\{\begin{array}{c}{a}_1{k}_0+a_2{b}_0=c1\\ a_2{k}_0+a_3{b}_0=c2\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{c}{a_1}^{/}{k}_1+{a_2}^{/}{b}_1={c_1}^{/}\\ {a_2}^{/}{k}_1+{a_3}^{/}{b}_1={c_2}^{/}\end{array}\right.$

水声功率谱中低频能量梯度值 $k_0=\frac{\stackrel{\mathrm{nl}}{\mathrm{\&Sigma;}}{y}_i\&times;\stackrel{\mathrm{nl}}{\mathrm{\&Sigma;}}{x}_i\stackrel{n1}{\mathrm{\&Sigma;}}{y}_i{x}_i\&times;\stackrel{n1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{{\left(\stackrel{n1}{\mathrm{\&Sigma;}}{x}_i\right)}^2-\stackrel{n1}{\mathrm{\&Sigma;}}{x}_i^2\&times;\stackrel{n1}{\mathrm{\&Sigma;}}};$

水声功率谱中高频能量梯度值 $k_1=\frac{\stackrel{n2}{\mathrm{\&Sigma;}}{y}_i\&times;\stackrel{n2}{\mathrm{\&Sigma;}}{x}_i\stackrel{n2}{\mathrm{\&Sigma;}}{y}_i{x}_i\&times;\stackrel{n2}{\mathrm{\&Sigma;}}}{{\left(\stackrel{n2}{\mathrm{\&Sigma;}}{x}_i\right)}^2-\stackrel{n2}{\mathrm{\&Sigma;}}{x}_i^2\&times;\stackrel{n2}{\mathrm{\&Sigma;}}};$

则水声功率谱中低频能量与高频能量梯度比例: 

$k_0/k_1=\left(\frac{\stackrel{n1}{\mathrm{\&Sigma;}}{y}_i\&times;\stackrel{n1}{\mathrm{\&Sigma;}}{x}_i-\stackrel{n1}{\mathrm{\&Sigma;}}{y}_i{x}_i\&times;\stackrel{n1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{{\left(\stackrel{n1}{\mathrm{\&Sigma;}}{x}_i\right)}^2-\stackrel{n1}{\mathrm{\&Sigma;}}{x}_i^2\&times;\stackrel{n1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\right)/\left(\frac{\stackrel{n2}{\mathrm{\&Sigma;}}{y}_i\&times;\stackrel{n2}{\mathrm{\&Sigma;}}{x}_i-\stackrel{n2}{\mathrm{\&Sigma;}}{y}_i{x}_i\&times;\stackrel{n2}{\mathrm{\&Sigma;}}}{{\left(\stackrel{n2}{\mathrm{\&Sigma;}}{x}_i\right)}^2-\stackrel{n2}{\mathrm{\&Sigma;}}{x}_i^2\&times;\stackrel{n2}{\mathrm{\&Sigma;}}}\right)$

7）确定模型水轮机转轮叶片空蚀起始点的空化系数，在发生空蚀之前，随着空化系数的减小，水声功率谱高低频能量梯度比呈现出单调下降的趋势；空化发生后，随着空化系数的减小，水声功率谱高低频能量梯度比呈现出单调上升的规律性；仅仅在空蚀起始点附近,水声功率谱高低频能量梯度比随空化系数的变化曲线出现了局部最小值，且该邻域U(σ_i)内梯度比值最小值所对应的位置即为空蚀起始点的位置，具体判定方法如下: 

假定改变空化系数m次，空化系数及其对应的低频能量与高频能量梯度比例k₀/k₁按空化系数由小到大的顺序分别记为(σ₁,(k₀/k₁)₁)，(σ₂,(k₀/k₁)₂)，…，(σ_m,(k₀/k₁)_m)，对相邻空化系数所对应的k₀/k₁值进行求差运算： 

d_i＝(k₀/k₁)_i+1-(k₀/k₁)_i，i=1,2,…，m-1 

式中： 

d_i相邻空化系数所对应的k₀/k₁值之差； 

当模型水轮机运行在未发生空蚀区域时，d_i<0； 

当模型水轮机运行在严重空蚀的区域时，d_i>0。此时，减小σ_i至σ_i+1的间隔，并判断d_i-1是否小于零； 

当d_i>0且d_i-1<0时，点(σ_i,(k₀/k_i)_i)即为模型水轮机转轮叶片空蚀起始点发生的位置。 

Claims (1)

1.一种确定模型水轮机转轮叶片空蚀起始点的方法，其特征是：

1）启动计算机系统；

2）使模型水轮机处于尚未发生空蚀的状态；

3）保持模型水轮机运行工况稳定，对水声信号进行采集；

4）计算水轮机水声信号的功率谱，具体方法如下：

首先，对水声信号进行采样量化与编码，形成采样后的时间序列，采用汉宁（Hanning）窗函数W(n)对采样序列s(n)进行截取，那么加窗后的时间序列x(n)为：

x(n)=s(n)W(n)

其中x(n)进行截取后的主值序列

s(n)进行采样后的时间序列

W(n)汉宁（Hanning）窗函数

经截取处理的时间序列再经过傅立叶变换得到频谱：

$X\left(k\right)=\underset{n=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}x\left(n\right)W_N^{\mathrm{kn}}$

式中 $W_N^{\mathrm{kn}}=e^{-\mathrm{j\&pi;kn}/N}$

X(k)对x(n)进行傅立叶变换后的频谱函数

其共轭为

$X^{*}\left(k\right)=\underset{n=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}x\left(n\right)e^{j2\mathrm{\&pi;kn}/N}$

X^*(k)X(k)的共轭频谱函数

则时间序列s(n)的功率谱离散值为

$S_{\mathrm{xx}}=\frac{2\mathrm{\&Delta;t}}{N}\left|X^{*}\left(k\right)X\left(k\right)\right|$

S_xx功率谱的离散值

Δt等时采样时间间隔

由于功率谱计算具有对称性的特点，输出功率谱线正负谐波关于奈奎斯特（Nyquist）采样频率对称。因此，在计算完功率谱之后，采用单边输出的方式，去掉负谐波；

5）确定水声功率谱中高低频能量交界处的频率值，具体方法如下：

在水轮机水声信号的功率谱中，幅值的变化趋势是连续的，且低频区域呈现出随着水声频率的升高幅值陡降的趋势，而在高频区域幅值随着水声频率的升高而降低的幅度则要小得多，低频区域与高频区域之间存在着一个明显的交界点，将水轮机水声信号的功率谱中高低频区域幅值随水声频率的变化趋势用采用最小二乘法拟合的一次分段函数

来拟合，则偏差平方和最小的一次分段函数的交点x_m即为水声功率谱中一次分段函数的交界点；

一次分段函数

可表示为：

$\stackrel{\&OverBar;}{y}=\left\{\begin{array}{c}{k}_{0}x+b_0,\&le;x_m\\ k_{1}x+b_1,>x_m\end{array}\right.$

式中：

一次分段函数

x_m一次分段函数

的交点

k₀、k₁一次分段函数中一次项的系数；

b₀、b₁一次分段函数

中常数项；

令每一测量数据(x_i，y_i)对拟合曲线的偏差为V_i，则有

即：

$V_i=\left\{\begin{array}{c}{y}_i-k_0{x}_i-b_0,x_i\&le;x_m\\ y_i-k_1{x}_i-b_1,x_i>x_m\end{array}\right.$

假设x_i≤x_m时有n₁个测量数据，x_i>x_m时有n₂个测量数据，即n₁+n₂=N，则偏差的平方和Q_i为：

$Q_i=\mathrm{\&Sigma;}{V_i}^2=\stackrel{n_1}{\mathrm{\&Sigma;}}{V_i}^2+\stackrel{n_2}{\mathrm{\&Sigma;}}{V_i}^2=\underset{i=0}{\overset{n_1-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{[y_i-(k_0{x}_i+b_0)]}^2+\underset{i{=n}_1}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{[y_i-(k_1{x}_i+b_1)]}^2$

令 $\frac{{\&PartialD;Q}_i}{{\&PartialD;k}_0}=0,$ $\frac{{\&PartialD;Q}_i}{{\&PartialD;k}_1}=0,$ $\frac{{\&PartialD;Q}_i}{{\&PartialD;k}_0}=0,$ $\frac{{\&PartialD;Q}_i}{{\&PartialD;k}_1}=0,$ 即可确定一次分段函数和偏差的平方和Q_i；

在区间(x₀,x_n-1)内，以x_m=x₀+ih递增方式计算不同x_m时的Q_i值（i＝1，2，…，N-1。h为频率分辨率），其中最小Q_i值所对应的x_m值即为水声功率谱中一次分段函数的交界点频率；

6）确定水声功率谱中低频区域和高频区域能量梯度及及其比例关系，具体方法如下：

$\left\{\begin{array}{c}{a}_1{k}_0+a_2{b}_0=c1\\ a_2{k}_0+a_3{b}_0=c2\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{c}{a_1}^{/}{k}_1+{a_2}^{/}{b}_1={c_1}^{/}\\ {a_2}^{/}{k}_1+{a_3}^{/}{b}_1={c_2}^{/}\end{array}\right.$

水声功率谱中低频能量梯度值 $k_0=\frac{\stackrel{\mathrm{nl}}{\mathrm{\&Sigma;}}{y}_i\&times;\stackrel{\mathrm{nl}}{\mathrm{\&Sigma;}}{x}_i\stackrel{n1}{\mathrm{\&Sigma;}}{y}_i{x}_i\&times;\stackrel{n1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{{\left(\stackrel{n1}{\mathrm{\&Sigma;}}{x}_i\right)}^2-\stackrel{n1}{\mathrm{\&Sigma;}}{x}_i^2\&times;\stackrel{n1}{\mathrm{\&Sigma;}}};$

水声功率谱中高频能量梯度值 $k_1=\frac{\stackrel{n2}{\mathrm{\&Sigma;}}{y}_i\&times;\stackrel{n2}{\mathrm{\&Sigma;}}{x}_i\stackrel{n2}{\mathrm{\&Sigma;}}{y}_i{x}_i\&times;\stackrel{n2}{\mathrm{\&Sigma;}}}{{\left(\stackrel{n2}{\mathrm{\&Sigma;}}{x}_i\right)}^2-\stackrel{n2}{\mathrm{\&Sigma;}}{x}_i^2\&times;\stackrel{n2}{\mathrm{\&Sigma;}}};$

则水声功率谱中低频能量与高频能量梯度比例:

$k_0/k_1=\left(\frac{\stackrel{n1}{\mathrm{\&Sigma;}}{y}_i\&times;\stackrel{n1}{\mathrm{\&Sigma;}}{x}_i-\stackrel{n1}{\mathrm{\&Sigma;}}{y}_i{x}_i\&times;\stackrel{n1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{{\left(\stackrel{n1}{\mathrm{\&Sigma;}}{x}_i\right)}^2-\stackrel{n1}{\mathrm{\&Sigma;}}{x}_i^2\&times;\stackrel{n1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\right)/\left(\frac{\stackrel{n2}{\mathrm{\&Sigma;}}{y}_i\&times;\stackrel{n2}{\mathrm{\&Sigma;}}{x}_i-\stackrel{n2}{\mathrm{\&Sigma;}}{y}_i{x}_i\&times;\stackrel{n2}{\mathrm{\&Sigma;}}}{{\left(\stackrel{n2}{\mathrm{\&Sigma;}}{x}_i\right)}^2-\stackrel{n2}{\mathrm{\&Sigma;}}{x}_i^2\&times;\stackrel{n2}{\mathrm{\&Sigma;}}}\right)$

7）确定模型水轮机转轮叶片空蚀起始点的空化系数，在发生空蚀之前，随着空化系数的减小，水声功率谱高低频能量梯度比呈现出单调下降的趋势；空化发生后，随着空化系数的减小，水声功率谱高低频能量梯度比呈现出单调上升的规律性；仅仅在空蚀起始点附近,水声功率谱高低频能量梯度比随空化系数的变化曲线出现了局部最小值，且该邻域U(σ_i)内梯度比值最小值所对应的位置即为空蚀起始点的位置，具体判定方法如下:

假定改变空化系数m次，空化系数及其对应的低频能量与高频能量梯度比例k₀/k₁按空化系数由小到大的顺序分别记为(σ₁,(k₀/k₁)₁)，(σ₂,(k₀/k₁)₂)，…，(σ_m,(k₀/k₁)_m)，对相邻空化系数所对应的k₀/k₁值进行求差运算：

d_i=(k₀/k₁)_i+1-(k₀/k₁)_i，i=1,2,…，m-1

式中：

di相邻空化系数所对应的k₀/k₁值之差；

当模型水轮机运行在未发生空蚀区域时，d_i<0；

当模型水轮机运行在严重空蚀的区域时，d_i>0。此时，减小σ_i至σ_i+1的间隔，并判断d_i-1是否小于零；

当d_i>0且d_i-1<0时，点(σ_i,(k₀/k₁)_i)即为模型水轮机转轮叶片空蚀起始点发生的位置。

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