CN101777749B - 获得满足边界条件的控制不稳定平衡点的方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及在线动态安全评估及能量裕度计算的基于群的BCU方法，具体地，公开了一种确定由BCU方法所计算的不稳定平衡点(UEP)的稳定性的方法，所述方法包括：选择通过BCU方法所计算的UEP，使用下面的公式，获得所选UEP的测试向量X^test，所选UEP记为X^UEP：其中，X_s ^post是SEP，通过仿真从X^test开始的故障后原始系统的系统轨迹来检查X^UEP的边界条件。

Description

获得满足边界条件的控制不稳定平衡点的方法

本申请是基于申请号为200610004584.5、申请日为2006年02月09日、发明名称为“在线动态安全评估及能量裕度计算的基于群的BCU方法”的专利申请的分案申请。 

技术领域

本发明涉及电力系统领域，并且更具体来说，涉及用于实际电力系统的在线暂态(transient)稳定性分析、在线动态安全评估以及能量裕度计算的方法。 

背景技术

本质上，电力系统不断地遭受可以引起电力系统不稳定的干扰。这些干扰可以分类为事件干扰或负载干扰。事件干扰可以是短路故障，或者发电机、负载或传输线设施的损耗，或者上述内容的组合。负载干扰可以是一组母线的负载变化，或者两组指定母线之间的功率转移(transfer)，或者这二者的组合。在包括比利时、加拿大、法国、日本、瑞典和美国的几个国家里，最近发生了几起由于干扰所造成的电力系统中断。现代的能量管理系统(EMS)通常并不执行在线动态安全评估(DSA)，确保电力系统承受某些可信的(credible)意外事件(contingency)(干扰)的能力。由于我们的社会日益依赖于可靠的电力供应且发生断电时其代价变得更大，因此对稳定性限制的任何违反都可能对社会产生巨大的影响(在财政上及物质上)。尤其在解除管制(de-regulation)的阶段，在线DSA是避免任何潜在断电的重要工具。 

在电力系统规划及操作中，电力系统必须能够承受某些可信干扰 的发生。目前，现代的EMS仅执行在线静态安全评估(SSA)的任务，而不执行在线DSA的任务。因此，现代的EMS仍然不能评估电力系统承受可信的意外事件(干扰)的能力。可信的意外事件的集合是可能发生潜在严重后果的干扰的集合。扩展EMS，包括在线DSA，是合乎需要的，并且正在成为现代电力系统的一种必要。然而，这种扩展是一项相当有挑战性的任务；由于经济的原因以及环境的考虑，执行DSA长期以来仍是一种离线行为。实际上，从计算的观点来看，在线SSA需要解大量的非线性代数方程。然而，在线DSA除了需要处理SSA中所涉及的非线性代数方程以外，还需要处理大量的非线性微分方程。在线DSA中所需的计算工作量约高于在线SSA的计算工作量三个数量级。 

目前，世界上的电力公司中所常规使用的暂态稳定分析程序，无一例外是基于逐步数值(step-by-step numerical)技术的。这种基于时域方法的电力系统暂态稳定分析具有较长的历史。尽管这种时域方法就其本质来说有若干优势，但其也具有若干缺点。例如，时域方法需要密集的、耗时的计算工作；因此，时域方法不适合于在线应用。而且，时域方法不提供关于稳定性/不稳定性的程度、或者系统离暂态不稳定有多远的信息。这条信息对于电力系统的规划和操作都是有价值的。此外，时域方法不提供关于如何获得用于维护系统稳定性的增强控制或预防控制动作的信息。 

在线DSA提供多种工程上和财政上的益处，下面举出一些例子：(i)其可以避免潜在断电；(ii)如果动态安全评估是基于实际系统配置以及实际操作条件，而不是如离线研究中基于假定的最坏情况，则电力系统可以减少10或者更多因数的操作裕度而仍能正常操作。在线DSA提供这样的能力，其特别之处在于：对于当前电力系统环境的需求使得电力系统不仅具有较低的操作裕度而且还接近于其稳定边界。(iii)在线DSA可以获得财政上的益处。例如，其可以提供由暂态稳定性限制所约束的精确的转移能力。转移能力的精确计算将允许以低的生产成本来经济地分派远端发电机，成本节约是显著的。例如， 对中型电力系统是$300K/每天。 

从功能性要求的观点来看，在线DSA必须提供以下内容： 

-对一系列可信意外事件进行快速稳定性评估， 

-对不具有故障后(post-fault)稳态的不稳定意外事件(意外事件导致系统崩溃)进行精确识别， 

-对具有负能量裕度的不稳定事件(意外事件导致系统暂态不稳定)进行精确识别， 

-对严重意外事件(具有小的但是正的能量裕度)进行精确识别， 

-按照能量裕度或临界清除时间(critical clearing time)，对暂态稳定性的意外事件进行筛选和分级， 

-对所选择的不稳定或严重意外事件进行详细时域仿真(在意外事件的初始事件之后，当系统响应控制和保护方案以及其他可能的操作事件如启动(arm)/解除(disarm)特定保护方案、使能/禁止控制功能、或监控切换动作时，应对转子角度、转子频率、电压、电流、功率通量等系统变量进行仿真)。 

为了显著降低在线DSA所需的计算负担，使用一有效方案来筛选大量稳定的意外事件而仅详细仿真潜在不稳定的意外事件的策略是非常有用的。这种策略已经成功地应用于在线DSA。假设有一组可信的意外事件，所述策略将在线DSA的任务划分为两个评估阶段： 

阶段1：在一组可信的意外事件中，执行快速动态意外事件筛选的任务，以筛选出必定稳定的意外事件。 

阶段2：在阶段1之后，执行剩余的每个意外事件的详细稳定性评估和能量裕度计算。 

在文献中已经报告了在线动态意外事件筛选的一些研究发展。目前，用于动态意外事件筛选的现有方法都首先使用离线网络数据对一组可信的意外事件进行大量数值仿真，以捕获系统动态行为的基本稳定性特征；然后构造分类器(classifier)，该分类器试图对在线模式中的新的、以及对应于未出现过的网络数据的意外事件，进行正确地分类。这些方法不能满足在线计算要求以及可靠性要求。 

最近，开发了一种发现控制不稳定平衡点的系统方法，称之为BCU方法，描述于Chiang的美国专利5,483,462[1]中。然而，在若干数值研究中发现，BCU方法在下面的情形下可能失效，即由BCU方法所计算的不稳定平衡点(UEP)可能不会总是位于原始故障后系统的稳定边界上。因此，不在原始故障后系统的稳定边界上所计算的UEP处的能量值，不能用作直接稳定性评估的临界能量。最近，研究出一组用于电力系统的在线动态意外事件筛选的BCU分类器，并且公布于Chiang和Wang的美国专利5,719,787[2]中。然而，数值仿真结果显示，BCU分类器可能将不稳定的意外事件错误地分类为稳定的。例如，173个母线的电力系统中10个不稳定的意外事件被错误地分类为稳定的；因此，违反了动态安全分类器的可靠性要求。 

[3]研发了一组用于实际电力系统在线动态安全筛选的改进BCU分类器。改进BCU分类器不仅满足[2]中所描述的用于在线动态安全评估的五个要求，而且，改进BCU分类器计算了所筛选稳定意外事件的能量裕度。 

目前，使BCU方法可靠性降低的唯一因素是，由BCU方法所计算的控制UEP可能不总是真实的(正确的)控制UEP(CUEP)。然而，由于BCU方法核心的单参数横截(transversality)条件是不容易验证的，因此，不能保证由BCU方法所计算的CUEP的正确性的百分之百的可靠性。因此，需要不仅能够绕过单参数横截条件的困难而且还可以改善BCU方法可靠性的新技术。在本发明中，我们将提供我们所发明方法的发展，该方法称为基于群的BCU方法，其目的是在计算临界能量值过程中加强BCU方法的可靠性和精确性。 

我们将通过介绍所谓的单参数横截条件来开始我们的论述，BCU方法的理论基础是建立在该单参数横截条件上的。随后，将分析地论述由BCU方法所计算的CUEP正确性的校验的重要问题。 

2.1单参数横截条件 

在BCU方法中，单参数横截条件是保证BCU方法所计算的UEP位于(故障后)电力系统的稳定边界的充分条件。我们指出，单参数 横截条件不是必要条件，且检查单参数横截条件的数值程序开发工作量很大而且可能是不必要的。我们提出采用一种方法来验证BCU所计算的UEP是否位于(故障后)电力系统的稳定边界。为了解释该方法，我们首先回顾BCU方法中的单参数横截条件。 

在开发一种用于给定电力系统稳定性模型的BCU方法过程中，必须定义相关的人工的(artificial)、状态降低(reduced-state)模型。为了解释该状态降低模型，我们考虑下面的一般网络保留暂态稳定模型： 

$o=\frac{\∂U}{\∂u}(u,w,x,y)+g_1(u,w,x,y)$

$o=-\frac{\∂U}{\∂w}(u,w,x,y)+g_2(u,w,x,y)$

$T\stackrel{\·}{x}=-\frac{\∂U}{\∂w}(u,w,x,y)+g_3(u,w,x,y)---\left(1\right)$

$\stackrel{\·}{y}=z$

$M\stackrel{\·}{z}=-\mathrm{Dz}-\frac{\∂U}{\∂y}(u,w,x,y)+g_4(u,w,x,y)$

其中，U(u，w，x，y)是标量函数。关于原始模型(1)，我们选择下面的微分代数系统作为人工的、状态降低模型。 

$o=-\frac{\∂U}{\∂u}(u,w,x,y)+g_1(u,w,x,y)$

$o=-\frac{\∂U}{\∂w}(u,w,x,y)+g_2(u,w,x,y)---\left(2\right)$

$T\stackrel{\·}{x}=-\frac{\∂U}{\∂x}(u,w,x,y)+g_3(u,w,x,y)$

$\stackrel{\·}{y}=-\frac{\∂U}{\∂y}(u,w,x,y)+g_4(u,w,x,y)$

BCU方法隐含的基本观念可解释如下。给定电力系统稳定模型(其允许能量函数)，BCU方法首先研究基础模型的特定特性，其目的是定义人工的、状态降低模型，使得满足下面的静态及动态特性。 

静态特性 

(S1)状态降低模型的平衡点位置对应于原始模型(1)的平衡 点位置。例如，当且仅当 是原始模型(1)的平衡点，其中0∈R^m且m是适当的正整数，则 是状态降低模型的平衡点。 

(S2)状态降低模型的平衡点类型与原始模型的平衡点类型是相同的。例如，当且仅当(u_s，w_s，x_s，y_s，0)是原始模型的稳定平衡点，则(u_s，w_s，x_s，y_s)是状态降低模型的稳定平衡点。当且仅当 是原始模型的k型平衡点，则 是状态降低模型的k型平衡点。 

动态特性 

(D1)模型(2)存在能量函数。 

(D2)当且仅当平衡点 是在原始模型(1)的稳定边界 (u_s，w_s，x_s，y_s，0)上，则平衡点(假设为 )位于状态降低模型的稳定边界 (u_s，w_s，x_s，y_s)上。 

(D3)在不采取迭代时域仿真计算故障后状态降低模型(2)的退出点(exit)的情况下，可以有效地检测出所投影(projected)的故障中(fault-on)轨迹(u(t)，w(t)，x(t)，y(t))与故障后的状态降低模型(2)的稳定边界 (u_s，w_s，x_s，y_s)相遇的点。 

在避免应用迭代时域程序来计算原始模型的退出点的BCU方法的研发中，动态特性(D3)起到了重要作用。该BCU方法通过研究状态降低模型(2)的稳定边界的特定结构和能量函数，而找到状态降低模型的CUEP。接着，将状态降低模型(2)的CUEP与原始模型(1)的CUEP相关联。 

给定电力系统稳定模型，存在相应的BCU方法。BCU方法不直接计算原始模型的CUEP，因为计算原始模型的退出点需要时域迭代程序。实际上，BCU方法通过计算人工的、状态降低模型(2)的CUEP来计算原始模型(1)的CUEP。 

我们接着给出一些分析结果，这些结果显示，在某些情况下，原始模型(1)和人工的、状态降低模型(2)满足静态特性(S1)和(S2)以及动态特性(D1)和(D2)。我们将研发一计算方案并将其并入计算方法以使其满足动态特性(D3)。 

定理1：(静态关系) 

令(u_s，w_s，x_s，y_s)为状态降低模型(2)的稳定平衡点。如果满足下面的条件： 

(1)对于稳定边界 (u_s，w_s，x_s，y_s)上的所有UEP(u_i，w_i，x_i，y_i)，i＝1，2，…，k，零为 $\frac{{\∂}^{4}U(u_i,w_i,x_i,y_i)}{\∂u\∂w\∂x\∂y}$ 的正则值(regular value)。 

(2)状态降低模型(2)的转移电导(transfer conductance)足够小，则当且仅当 是原始模型(1)的k型平衡点的情况下， 是状态降低模型(2)的k型平衡点。 

定理1表明，在所述的条件下，原始模型(1)和状态降低模型(2)之间的静态特性保持成立。 

可以展示，存在一个用于状态降低模型(2)的数值能量函数。更具体来说，可以展示，对于模型(2)的状态空间的任何紧致集S(compact set)，如果存在一个正数α，使得若该模型的转移电导满足|G|＜α，则存在一个定义于此紧致集上的能量函数。 

为了检验动态特性(D2)，我们引入下面单参数化系统系列d(λ)： 

${\mathrm{\ϵ}}_1\stackrel{\·}{u}=-\frac{\∂U}{\∂u}(u,w,x,y)$

${\mathrm{\ϵ}}_2\stackrel{\·}{w}=-\frac{\∂U}{\∂w}(u,w,x,y)$

$T\stackrel{\·}{x}=-\frac{\∂U}{\∂x}(u,w,x,y)---\left(3\right)$

$\stackrel{\·}{y}=-(1-\mathrm{\λ})z-\mathrm{\λ}\stackrel{\·}{y}=-\frac{\∂U}{\∂y}(u,w,x,y)$

$M\stackrel{\·}{z}=-\mathrm{Dz}-(1-\mathrm{\λ})z-\mathrm{\λ}\stackrel{\·}{y}=-\frac{\∂U}{\∂y}(u,w,x,y)$

定理1：(动态关系) 

令(u_s，w_s，x_s，y_s)为状态降低模型(2)的稳定平衡点。如果满足下面的条件： 

(1)零是稳定边界上所有UEP的正则值。 

(2)状态降低模型(2)的转移电导足够小。 

(3)对于λ∈[0，1]，所述单参数化模型d(λ)(3)的稳定边界 (u_s，w_s，x_s，y_s，0)上的平衡点的稳定和不稳定簇(manifold)的所有交点满足横截条件。 

则： 

[1]当且仅当平衡点(u_i，w_i，x_i，y_i，0)在模型(1)的稳定边界 (u_s，w_s，x_s，y_s，0)上时，平衡点(u_i，w_i，x_i，y_i)在模型(2)的稳定边界 (u_s，w_s，x_s，y_s)上。 

[2]模型(2)的稳定边界 (u_s，w_s，x_s，y_s)是稳定边界 (u_s，w_s，x_s，y_s)上所有平衡点(u_i，w_i，x_i，y_i)，i＝1，2，…，的稳定簇的并集，即 

$\∂A(u_s,w_s,x_s,y_s)=\∪W^s(u_i,w_i,x_i,y_i)$

[3]模型(1)的稳定边界 (u_s，w_s，x_s，y_s，0)是稳定边界 (u_s，w_s，x_s，y_s，0)上所有平衡点(u_i，w_i，x_i，y_i，0)，i＝1，2，…，的稳定簇的并集，即 

$\∂A(u_s,w_s,x_s,y_s,0)=\∪W^s(u_i,w_i,x_i,y_i,0)$

定理1表明，在所述条件(1)-(3)下，动态特性(D2)可以满足。而且，两种模型的稳定边界得以完全特征化。条件(1)是一般特性，条件(2)和(3)不是。我们将提供一种检查动态特性(D2)而不是条件(2)和(3)的方法。 

概念性网络保留BCU方法 

定理1(静态关系)和定理1(动态关系)为通过人工的、状态降低模型(2)的CUEP来确定原始网络保留模型(1)的CUEP提供了理论基础。下面给出网络保留模型的概念BCU方法。 

用于网络保留模型的概念性BCU方法 

步骤1：从网络保留模型(1)的(持续)故障轨迹(u(t)，w(t)，x(t)，y(t)，z(t))中，检测退出点(u^*，w^*，x^*，y^*)，在该点，网络保留模型的投影轨迹(u(t)，w(t)，x(t)，y(t))退出故障后状态降低模型(2)的稳定边界。 

步骤2：使用点(u^*，w^*，x^*，y^*)作为初始条件，积分故障后状态降低模型(2)，找到其稳定簇包括退出点(u^*，w^*，x^*，y^*)的UEP。 

步骤3：相关于网络保留模型(1)的故障中轨迹的CUEP是 (u_co ^*，w_co ^*，x_co ^*，y_co ^*，0)。 

BCU方法的实质是通过计算状态降低模型(2)(其CUEP可以有效地计算)的CUEP来计算原始模型的CUEP。概念BCU方法步骤1和步骤2的功能是计算状态降低模型的UEP(即投影故障中轨迹的CUEP)。步骤3将状态降低模型(2)与原始模型(1)的CUEP相关联。BCU方法不直接计算原始电力系统暂态稳态模型的CUEP，这是由于计算原始模型的退出点需要迭代时域程序而没有其他有效的计算方法，所述原始模型的退出点是计算CUEP的关键。实际上，BCU方法通过计算人工的、状态降低模型的CUEP来计算原始模型的CUEP。因此，BCU方法计算CUEP的正确性是变化的。由BCU方法所计算的UEP并不总是CUEP。 

单参数横截条件在概念BCU方法的理论基础中起重要作用。当计算CUEP时，违反单参数横截条件可能引起BCU方法中的错误。然而，由于实际电力系统模型的复杂性，可能不能总是满足单参数横截条件。几个相反的例子显示，BCU方法可能给出不正确的稳定性评估。 

基于上述分析，我们将采用不同的方法来替代检查单参数横截条件和小的转移电导条件。我们提出直接检查UEP(u_co ^*，w_co ^*，x_co ^*，y_co ^*，0)是否位于原始模型的稳定边界上；即直接检查动态特性(D2)。我们将动态特性(D2)称为边界特性。 

可以展示，对于高阻尼的电力系统，所述边界特性保持成立，而对于较低阻尼系统，则有可能不保持成立。使得边界特性保持成立的临界阻尼值，可能取决于各种因素，包括网络拓扑、负载条件及使用的系统模型。 

阻尼项和边界特性 

可以展示，在所述单参数横截条件下，BCU方法可以计算准确的(exact)CUEP。然而，单参数横截条件的验证并不容易。目前，随着改进BCU分类器的发展，使BCU方法的可靠性(即BCU方法给出错误的稳定性评估)降低的唯一因素在于，用BCU方法所计算 的UEP可能不对应正确的CUEP。而且，由BCU方法所计算的UEP可能甚至不满足所述边界条件。如果所计算的UEP位于原始意外事件后系统的稳定边界上，则(关于意外事件的)所计算的UEP满足所述边界条件。 

此因素可以清楚地解释BCU方法对于某些类型的意外事件给出错误的稳定性评估的原因。BCU方法由于不足的系统阻尼而失效。从技术上来说，不足的系统阻尼导致了参数化动态系统中的全局分岔(global bifurcation)的产生，而该系统是BCU方法的基础。另一方面，已经发现，如果满足边界条件，则BCU方法工作良好。 

BCU方法对于某些类型的意外事件给出错误的稳定评估。为了说明这一点，我们将给出数值结果，在这些结果中，由于多摆动(multi-swing)现象或者轻阻尼，BCU方法对于某些意外事件不能给出正确的稳定性评估。在所有情况下，BCU方法由于边界特性失效而失效。可以展示，如果边界特性满足，则BCU方法工作良好；如果系统阻尼足够大，则边界特性易满足。 

一些数值例子 

我们应用BCU方法来分析测试系统的意外事件列表，我们展示了其中BCU方法失效的一些情况并指出了所述失效发生的原因。 

表1显示了其中BCU方法不能给出正确的稳定性评估的一些情况。我们指出，这些情况都表现为多摆动现象，以及边界特性不被满足。表1中所列出的所有情况属于相同的群；群#4。在表2中，我们还展示出其中BCU方法工作良好的一些情况。应当指出，表2中的所有情况属于两群相关(coherent)的意外事件，群#13和群#43，且其都满足边界条件。 

阻尼因素 

我们已经注意到，BCU方法的可靠性随着系统阻尼因素变大而增加。例如，尽管BCU方法由于小的阻尼而对表3中所列的意外事件失效，但是，如表4中所示的那样，如果系统阻尼因素增加，则所述方法对于这些意外事件中的一些起作用，特别是对群#52起作用。从表中可以看出，边界距离变得较接近1.0；换句话说，所计算的CUEP变得较接近于原始系统的稳定边界。 

随着我们继续增加阻尼效果，BCU方法的可靠性被进一步提高。除了系统阻尼因素被加倍的情况以外，表5列出了BCU方法对表4中情况的计算结果。针对相关意外事件群#27、#39及#52中的这些意外事件，BCU方法计算了其满足边界条件的CUEP。此外，群#35中每个意外事件的计算UEP的边界距离更接近于1.0。这些结果清楚地显示，随着系统阻尼的增加，由BCU方法所计算的CUEP的边界距离增加，以及意外事件的BCU方法的边界条件的满足程度也增加。而且，遭受意外事件的研究电力系统的暂态稳定性也随之增强。 

从状态空间的观点来看，由于系统阻尼的增加而引起的计算的UEP的边界距离的增加清楚地证明了阻尼对暂态稳定性的影响；其可以通过扩大故障后SEP的稳定范围来增强暂态稳定性，由此，其增加了临界清除时间以及能量裕度。 

这些观察导致了基于群的BCU方法的开发，在该方法中，进行了边界特性检查。为了开发有效检查边界特性的方案，提出并研究了相关意外事件的群的概念，研究了若干群的特性。这些群的特性应用在了基于群的BCU方法的开发中。基于群的BCU方法还包括一种计算不满足边界特性意外事件的临界能量的方案。 

引入边界特性，我们可以通过检查边界特性来检查由BCU方法所得的计算CUEP的正确性，而不用检查很难检查的单参数横截条件。通过计算所得的计算CUEP的边界距离，来验证所得的计算CUEP是否位于原始系统的稳定边界上。如果所得的计算CUEP的边界距离是1.0，则CUEP位于原始故障后系统的稳定边界上；否则，CUEP不在所述边界上。 

可以展示，边界特性具有群特性(群特性是对群中成员都成立的特性)；因此，不必为每个相关意外事件群中的每个计算UEP来计算边界距离。计算相关意外事件群中的一个计算UEP的边界距离足以确定所述群中所有意外事件的边界特性。如后所述，群特性的利用将显著减少计算量。 

在本发明中，我们将描述一种被称为基于群的BCU-DSA的新颖的系统，其用于现代能量管理系统中实际电力系统的在线动态安全评估及能量裕度计算。通过有效地利用基于群的BCU方法(及改进的BCU分类器)和详细的时域仿真程序的优点，所述新颖的系统满足在线动态安全评估和能量裕度计算的要求。在该体系结构中有三个主要部分：(i)一系列改进的BCU分类器，其主要功能为从一组可信的意外事件中筛选掉所有定义为稳定的意外事件，以及捕获所有(潜在)不稳定的意外事件，(ii)BCU引导的时域程序，用于由(i)中的一系列改进的BCU分类器所捕获的(潜在)不稳定和未定的意外事件 的稳定性分析及能量裕度计算，以及(iii)基于群的BCU方法。 

发明内容

为了满足前述的迫切需要，本发明提供一种可靠且有效的系统，基于群的BCU-DSA，用于执行实际电力系统的在线动态安全评估(DSA)以及能量裕度计算。特别地，本发明开发了以下内容： 

(i)用于检查边界特性的验证方案 

(ii)BCU-退出点方法 

(iii)相关意外事件的群 

(iv)基于群的验证方案 

(v)基于群的BCU-退出点方法 

(vi)基于群的BCU方法 

(vii)改善的BCU分类器 

(viii)基于群的BCU-DSA 

3.1验证方案 

在本发明中，我们提出了一种检查由BCU方法所计算的UEP的边界条件的验证方案。此验证方案克服了检查单参数横截条件的困难。我们提供了一个用于检查UEP(记为X^UEP)是否落在SEP(记为X_s ^post)稳定边界上的计算程序。 

步骤1.(选择步骤) 

选择一个点(测试向量)。在实际实施中，我们使用下面的公式为每个所选择的UEP(记为X^UEP)计算测试向量， 

$X^{\mathrm{test}}=X_s^{\mathrm{post}}+0.99(X^{\mathrm{UEP}}-X_s^{\mathrm{post}})$

其中，X_s ^post为SEP。 

步骤2.(检查步骤) 

通过仿真从X^test开始的故障后原始系统的系统轨迹来检查X^UEP的边界条件。如果从X^test开始的故障后轨迹收敛于X_s ^post，则X^UEP位于故障后原始系统的稳定边界上；否则，X^UEP不在稳定边界上。 

3.2BCU-退出点方法 

如果违反所计算的UEP的边界条件，则所计算的UEP不在原始 (故障后)系统的稳定边界上。因此，使用在所计算的UEP处的能量值作为临界能量是不恰当的。该问题于是变成如何在违反边界条件时发现其能量值可以被用作临界能量的点。在本发明中，我们开发了BCU-退出点方法来解决这一问题。 

BCU-退出点方法 

给定：电力系统暂态稳定模型，研究意外事件以及用于故障后电力系统的能量函数。 

步骤1.使用BUC方计算研究意外事件的CUEP和故障后SEP。 

步骤2.将验证程序应用于步骤1中所计算的CUEP。如果满足边界条件，则研究意外事件的临界能量值是在所计算的CUEP处的能量值，转向步骤4；否则，转向下一步骤。 

步骤3.应用有效的基于时域的方法，计算相应的BCU退出点。研究意外事件的临界能量值是在BCU退出点处的能量值。 

步骤4.基于临界能量值，执行稳定评估，计算研究意外事件的能量裕度。 

3.3相关意外事件的群 

在本发明中，我们开发了相关意外事件的群的概念并且开发了相关意外事件的群的几种特性。我们发现，由BCU方法计算得到的一群意外事件的UEP彼此接近。这些UEP在状态空间上彼此接近而这些意外事件的故障位置在地理空间上彼此接近。我们还发现，一系列意外事件可以分类成若干个相关意外事件群。一些群包括数量较多的意外事件，而另外一些群包括数量较少的意外事件。 

我们发现，在每个相关意外事件群中，具有最大SEP分隔的UEP和具有最小SEP分隔的UEP界定了该群中所有UEP的边界特性。更具体来说，我们发现了下列群特性： 

群特性1：如果具有最大SEP分隔的UEP和具有最小SEP分隔的UEP皆满足边界特性，则整个相关群中的每个UEP都位于相应原始系统的稳定边界上。换句话说，如果在相关群的两端的UEP位于相应原始系统的稳定边界上，则整个群的UEP也位于原始系统的稳定边 界上。 

群特性2：如果具有最大SEP分隔的UEP和具有最小SEP分隔的UEP不满足边界特性，则整个群的UEP都不在原始系统的稳定边界上。 

如果最大SEP分隔和最小SEP分隔之间的差较小，则群特性1可以被表示如下： 

群特性1-A：如果具有最大SEP分隔的UEP满足边界特性，则整个相关群的每个UEP都位于相应原始系统的稳定边界上。 

如果最大SEP分隔和最小SEP分隔之间的差较小，则群特性2可以被表示如下： 

群特性2-A：如果具有最大SEP分隔的UEP不满足边界特性，则整个相关群的UEP都不在原始系统的稳定边界上。 

我们开发了下列准则，用于将一个相关意外事件群重新分群为几个相关意外事件群，以使得特性1和特性2被满足。 

用于重新分群的准则：如果所述两个UEP中的一个，具有最大SEP分隔的UEP或者具有最小SEP分隔的UEP满足边界特性，而另一个不满足，则整个相关群的一些UEP满足边界特性，而其他的不满足该特性。 

给定意外事件列表，我们应用BCU方法计算意外事件列表中每个意外事件的CUEP。然后，基于所计算的UEP的坐标及其SEP分隔，将所有意外事件分群为若干个相关意外事件群。可以形成多个分群方案，但是，每一方案都应满足特性1和特性2。 

3.4基于群的验证方案 

在本发明中，我们开发了一种有效的数值程序，用于检查相关群中每个计算UEP(相关于一个意外事件)是否位于其原始(故障后)系统的稳定边界上。特别地，在本发明中，我们开发了一种基于群的程序，用于检查相关意外事件群的边界特性。 

基于群的验证程序 

步骤0：给定相关意外事件的群。 

步骤1.(选择步骤) 

对于所述相关意外事件的群，我们提出下面的准则，用于从相关意外事件群中选择一个或者两个意外事件验证边界特性。如果相关意外事件群中每个意外事件的SEP分隔较小，例如小于3度，则选择该群中所计算具有最大SEP分隔的UEP；否则，选择该群中所计算具有最大SEP分隔的UEP及所计算具有最小SEP分隔的UEP。 

步骤2.(检查步骤) 

检查选择步骤中所选择意外事件的UEP的边界条件。我们使用下面的公式来计算每个所选择的UEP(记为X^UEP)的测试向量， 

$X^{\mathrm{test}}=X_s^{\mathrm{post}}+0.99(X^{\mathrm{UEP}}-X_s^{\mathrm{post}})$

其中，X_s ^post是与X^UEP相对应的意外事件的故障后SEP。如果从X^test开始的故障后轨迹收敛于X_s ^post，则所选择UEP满足边界条件；否则，所选择UEP不满足边界条件。 

步骤3.(评估步骤) 

基于步骤2的检查结果，获得下列评估结果。 

(1)若所选UEP满足边界条件，则整个群中相关意外事件所计算的UEP满足边界特性。 

(2)若所选UEP皆不满足边界条件，则整个群中相关意外事件所计算的UEP不满足边界特性。 

3.5基于群的BCU退出点方法 

在本发明中，基于群的一些特性，我们开发了一种基于群的BCU退出点方法，以克服计算相关意外事件群中每一意外事件的BCU退出点的困难。给定一违反边界条件的相关意外事件群，我们开发了下面的基于群的BCU退出点方法。该方法的优点是为所述群中的每个意外事件正确计算临界能量。基于群的BCU退出点方法的流程图如图3所示。 

基于群的BCU退出点方法 

给定：一违反边界条件的相关意外事件群，下列步骤为该相关意外事件群中的每一意外事件确定一临界能量。 

步骤1.(选择步骤) 

从相关意外事件群中，选择具有最大SEP分隔的计算UEP(假定为X_l ^UEP)，其意外事件假定为L_l，选择具有最小SEP分隔的计算UEP(假定为X_s ^UEP)，其意外事件假定为L_s。 

步骤2.(BCU退出点) 

分别计算X_l ^UEP和X_s ^UEP的BCU退出点，记为X_l ^bcu和X_s ^bcu。 

步骤3.(临界能量) 

以V_l ^bcu表示在X_l ^bcu处的能量并作为意外事件L_l的临界能量。同样地，以V_s ^bcu表示在X_s ^bcu处的能量并作为意外事件L_s的临界能量。 

步骤4.(计算群中其他意外事件的临界能量) 

假定意外事件L_i的SEP分隔为SEP_i，则意外事件L_i的临界能量是 

$V_i^{\mathrm{cr}}=a\×{\mathrm{SEP}}_i+b$

其中 

$a=\frac{V_l^{\mathrm{bcu}}-V_s^{\mathrm{bcu}}}{{\mathrm{SEP}}_l-{\mathrm{SEP}}_s}$

$b=\frac{V_s^{\mathrm{bcu}}\×{\mathrm{SEP}}_l-V_l^{\mathrm{bcu}}\×{\mathrm{SEP}}_s}{{\mathrm{SEP}}_l-{\mathrm{SEP}}_s}$

3.6基于群的BCU方法 

在本发明中，我们开发了一种基于群的BCU方法，所述方法将本发明中基于群的验证方案和基于群的BCU退出点方法合并起来。在直接暂态稳定评估中，本发明的基于群的BCU方法有极高的可靠性，而且可以提高BCU方法的保守性。 

基于群的BCU方法 

步骤1.使用BCU方法来计算一意外事件列表中每一研究意外事件的控制UEP及故障后SEP，直至该意外事件列表结束。 

步骤2.(分群步骤)将与每一意外事件相关联的所计算的UEP，分成若干相关意外事件群，使得其满足特性1及特性2。 

对于每一UEP群，执行下列步骤： 

步骤3.(选择步骤)若该群中每一意外事件的SEP分隔较小，则选择具有最大SEP分隔的UEP；否则，选择具有最大SEP分隔的 UEP及具有最小SEP分隔的UEP。 

步骤4.(检查步骤)检查所选UEP的边界特性。在实际实施中，我们使用下列公式计算每一所选UEP(记为X^UEP)的测试向量： 

$X^{\mathrm{test}}=X_s^{\mathrm{post}}+a(X^{\mathrm{UEP}}-X_s^{\mathrm{post}})$

其中，α＜1是正数且接近于1.0，例如0.99，X_s ^post为意外事件的故障后SEP，X^UEP是所选UEP。如果从X^test开始的故障后轨迹收敛到X_s ^post，则所选UEP满足边界特性；否则，所选UEP不满足边界特性。 

步骤5.若所选UEP满足边界特性，则整个群的UEP满足边界特性，转向步骤6；若所选UEP皆不满足边界特性，则整个群的UEP不满足边界特性，转向步骤7。 

步骤6.相关意外事件群中每一研究意外事件的临界能量值为所计算的UEP处的能量值，转向步骤11。 

步骤7.从相关意外事件群中，选择具有最大SEP分隔的计算UEP(假定为X_l ^UEP)，其意外事件假定为L_l，选择具有最小SEP分隔的计算UEP(假定为X_s ^UEP)，其意外事件假定为L_s。 

步骤8.(BCU退出点) 

分别计算X_l ^UEP和X_s ^UEP的BCU退出点，记为X_l ^bcu和X_s ^bcu。 

步骤9.(临界能量) 

以V_l ^bcu表示在X_l ^bcu处的能量并作为意外事件L_l的临界能量。同样地，以V_s ^bcu表示在X_s ^bcu处的能量并作为意外事件L_s的临界能量。 

步骤10.(计算群中其他意外事件的临界能量) 

假定意外事件L_i的SEP分隔为SEP_i，则意外事件L_i的临界能量是 

$V_i^{\mathrm{cr}}=a\×{\mathrm{SEP}}_i+b$

其中 

$a=\frac{V_l^{\mathrm{bcu}}-V_s^{\mathrm{bcu}}}{{\mathrm{SEP}}_l-{\mathrm{SEP}}_s}$

$b=\frac{V_s^{\mathrm{bcu}}\×{\mathrm{SEP}}_l-V_l^{\mathrm{bcu}}\×{\mathrm{SEP}}_s}{{\mathrm{SEP}}_l-{\mathrm{SEP}}_s}$

步骤11.基于临界能量，对相关意外事件群中之每一意外事件，进行直接稳定性评估，并计算能量裕度。 

3.7改善的BCU分类器 

改善的BCU分类器的主要设计目的是保证[3]中所描述的在线动态意外事件筛选的所有五个需求都满足。 

输入：具有用于动态安全评估及研究意外事件相关数据的电力系统模型。 

输出：用于电力系统意外事件稳定评估及能量裕度值。 

以下列步骤来执行改善的BCU分类器(参看图4)： 

步骤1.BCU分类器I：当意外事件发送到改善的BCU分类器时，程序首先检查BCU分类器I，其为检查网络孤岛(network islanding)问题的分类器。若BCU分类器I被触发，则电力系统在该意外事件下将分离成几个部分，因此认为该意外事件下的电力系统高度不稳定，并且给该意外事件赋予较大负能量裕度(假定为-999)并停止该程序；否则，将该意外事件发送至BCU分类器II。 

步骤2.BCU分类器II-A及BCU分类器II-B：计算意外事件下的故障后SEP。若没有发现故障后SEP，或发现一故障后SEP但是其与故障前SEP的距离过远，则分类器2-A被触发并将该意外事件评估为高度不稳定，并且给该意外事件赋予较大负能量裕度(假定为-999)并停止该程序；否则，若故障后SEP与故障前SEP的距离适中，则分类器2-B被触发且仍认为该意外事件高度不稳定，但是需要时域仿真以验证初步评估。若其的确不稳定，则给该意外事件赋予较大负能量裕度(假定为-999)并停止该程序；否则，将该意外事件发送至BCU分类器III。 

步骤3.BCU分类器III：计算退出点。若在指定周期内没有发现退出点，且该指定周期的终点处的势能是非正的，则BCU分类器III被触发。将该意外事件评估为高度稳定；接着给该意外事件赋予较大能量裕度(假定为999)并停止该程序；否则，将该意外事件发送至BCU分类器IV。 

步骤4.BCU分类器IV：计算最小梯度点(MGP)。若射线调整程序失败，或者在射线调整中指定数量的步骤内不能找到MGP点， 则BCU分类器IV被触发，且将该意外事件发送至BCU引导的时域仿真进行稳定性评估及能量裕度计算并停止该程序。否则，将该意外事件发送至BCU分类器V。 

步骤5.BCU分类器V：计算控制UEP。若不能发现控制UEP，则BCU分类器V被触发，且将该意外事件发送至BCU引导的时域仿真进行稳定性评估及能量裕度计算并停止该程序；否则，将该意外事件发送至BCU分类器VI。 

步骤6.BCU分类器VI：基于所计算的控制UEP处的能量值计算能量裕度。若能量裕度为正，则将该意外事件评估为稳定；否则，将该意外事件评估为不稳定。该程序完成。 

可修改改善的BCU分类器的步骤6，以便改进BCU方法的保守性，如下文所述。 

步骤7.BCU分类器VI：基于所计算的控制UEP处的能量值，计算能量裕度。若能量裕度为负，则将此情况评估为不稳定的，且需要时域仿真来验证该评估。当该评估结果与时域仿真结果不同时，则使用BCU引导的时域仿真来重新计算其能量裕度。若能量裕度为正，则保持相应能量裕度及稳定性评估不变，并停止该程序。 

3.8基于群的BCU-DSA 

本发明提供一种新颖系统，基于群的BCU-DSA来进行实际电力系统的在线动态安全评估及能量裕度计算。基于群的BCU-DSA的体系结构包含三个主要部分：由八个改善的BCU分类器构成的动态意外事件分类程序，BCU引导的时域仿真程序，基于群的BCU方法。基于群的BCU-DSA系统(版本I)包括下列步骤： 

输入：具有用于动态安全评估相关数据的电力系统模型，以及可信的意外事件列表。 

输出：可信意外事件列表中每一意外事件的稳定性评估(即，稳定或不稳定)、能量裕度值及估计的临界清除时间。 

对每一意外事件，执行下列步骤： 

步骤0：连续输入可信意外事件列表的每一意外事件。 

改善的BCU分类器及BCU引导的时域仿真程序： 

步骤1.BCU分类器I：当意外事件发送到改善的BCU分类器时，程序首先检查BCU分类器I，其为检查网络孤岛(network islanding)问题的分类器。若BCU分类器I被触发，则电力系统在该意外事件下将分离成几个部分，因此认为该意外事件下的电力系统高度不稳定，并且给该意外事件赋予较大负能量裕度(假定为-999)，估计的临界清除时间是零，回到步骤0；否则，将该意外事件发送至BCU分类器II。 

步骤2.BCU分类器II-A及BCU分类器II-B：计算意外事件下的故障后SEP。若没有发现故障后SEP，或发现一故障后SEP但是其与故障前SEP的距离过远，则分类器2-A被触发并将该意外事件评估为高度不稳定，并且给该意外事件赋予较大负能量裕度(假定为-999)，估计的临界清除时间是零，回到步骤0；否则，若故障后SEP与故障前SEP的距离适中，则分类器2-B被触发且仍认为该意外事件高度不稳定，但是需要时域仿真以验证初步评估。若其的确不稳定，则给该意外事件赋予较大负能量裕度(假定为-999)，估计的临界清除时间是零，回到步骤0；否则，将该意外事件发送至BCU分类器III。 

步骤3.BCU分类器III：计算退出点。若在指定周期内没有发现退出点，且该指定周期的终点处的势能是非正的，则BCU分类器III被触发。将该意外事件评估为高度稳定；接着给该意外事件赋予较大能量裕度(假定为999)，估计的临界清除时间被定为极大，回到步骤0；否则，将该意外事件发送至BCU分类器IV。 

步骤4.BCU分类器IV：计算最小梯度点(MGP)。若射线调整程序失败，或者在射线调整中指定数量的步骤内不能找到MGP点，则BCU分类器IV被触发，且将该意外事件发送至BCU引导的时域仿真进行稳定性评估及能量裕度计算，以及基于该能量裕度和沿着故障中轨迹的能量而输出临界清除时间，回到步骤0。否则，将该意外事件发送至BCU分类器V。 

步骤5.BCU分类器V：计算控制UEP。若不能发现控制UEP， 则BCU分类器V被触发，且将该意外事件发送至BCU引导的时域仿真进行稳定性评估及能量裕度计算，以及基于该能量裕度和沿着故障中轨迹的能量而输出临界清除时间，回到步骤0；否则，将该意外事件发送至BCU分类器VI。 

基于群的BCU方法 

步骤6.将发送到这个步骤的每个意外事件的计算UEP和故障后SEP存储起来。检查意外事件列表是否结束，如果已经结束，则进行下一个步骤；否则，回到步骤0。 

步骤7.(分群步骤)将与每一意外事件相关联的所计算的UEP，分成若干相关意外事件群，使得其满足特性1及特性2。 

对于每一UEP群，执行下列步骤，直到所有的相关意外事件群都被执行为止： 

步骤8.(选择步骤)若群中每一意外事件的SEP分隔较小，则选择具有最大SEP分隔的UEP；否则，选择具有最大SEP分隔的UEP及具有最小SEP分隔的UEP。 

步骤9.(检查步骤)检查所选UEP的边界特性。在实际实施中，我们使用下列公式计算每一所选UEP(记为X^UEP)的测试向量： 

$X^{\mathrm{test}}=X_s^{\mathrm{post}}+a(X^{\mathrm{UEP}}-X_s^{\mathrm{post}})$

其中，α＜1是正数且接近于1.0，例如0.99，X_s ^post为意外事件的故障后SEP，X^UEP是所选UEP。如果从X^test开始的故障后轨迹收敛到X_s ^post，则所选UEP满足边界特性；否则，所选UEP不满足边界特性。 

步骤10.若所选UEP满足边界特性，则整个群的UEP满足边界特性，转向步骤11；若所选UEP皆不满足边界特性，则整个群的UEP不满足边界特性，转向步骤12。 

步骤11.相关意外事件群中每一意外事件的临界能量值为所计算的UEP处的能量值，转向步骤16。 

步骤12.从相关意外事件群中，选择具有最大SEP分隔的计算UEP(假定为X_l ^UEP)，其意外事件假定为L_l，选择具有最小SEP分隔的计算UEP(假定为X_s ^UEP)，其意外事件假定为L_s。 

步骤13.(BCU退出点) 

分别计算X_l ^UEP和X_s ^UEP的BCU退出点，记为X_l ^bcu和X_s ^bcu。 

步骤14.(临界能量) 

以V_l ^bcu表示在X_l ^bcu处的能量并作为意外事件L_l的临界能量。同样地，以V_s ^bcu表示在X_s ^bcu处的能量并作为意外事件L_s的临界能量。 

步骤15.(计算群中其他意外事件的临界能量) 

假定意外事件L_i的SEP分隔为SEP_i，则意外事件L_i的临界能量是 

$V_i^{\mathrm{cr}}=a\×{\mathrm{SEP}}_i+b$

其中 

$a=\frac{V_l^{\mathrm{bcu}}-V_s^{\mathrm{bcu}}}{{\mathrm{SEP}}_l-{\mathrm{SEP}}_s}$

$b=\frac{V_s^{\mathrm{bcu}}\×{\mathrm{SEP}}_l-V_l^{\mathrm{bcu}}\×{\mathrm{SEP}}_s}{{\mathrm{SEP}}_l-{\mathrm{SEP}}_s}$

步骤16.基于临界能量，对相关意外事件群中每一意外事件，进行直接稳定性评估，并计算能量裕度，以及基于该能量裕度和沿着故障中轨迹的能量而输出临界清除时间。 

基于群的BCU-DSA系统(版本II)的步骤顺序与基于群的BCU-DSA系统(版本I)的步骤顺序相同，除步骤16如下： 

步骤16.基于临界能量，对相关意外事件群中每一意外事件，进行直接稳定性评估，并计算能量裕度，以及基于该能量裕度和沿着故障中轨迹的能量而输出临界清除时间。 

步骤17.对每一相关意外事件群，如果群中的意外事件被评估为不稳定的，则进行到步骤18；否则，检查下一相关意外事件群，直到所有的相关意外事件群都检查过为止。 

步骤18.以故障清除时的状态作为初始条件，执行相应故障后系统的时域仿真。若故障后轨迹被评估为不稳定的，则相应能量裕度、稳定性评估及估计的临界清除时间保持不变；否则，其为稳定的意外事件，并将其发送到BCU引导的时域仿真进行能量裕度计算和临界清除时间估计，并转向步骤17。 

对单成员群不必要进行完全的基于群的分析，包括边界距离计算 和临界能量计算。我们建议： 

-基于群的BCU-DSA将基于群的BCU方法应用于多成员相关意外事件群。 

-基于群的BCU-DSA将BCU引导的时域方法应用于单成员相关意外事件群。 

本发明的其他优势将在下文中阐明，这些优势也可以在本发明的实现过程中得到体现。通过此后的阐述中特别指出的手段和组合，可以实现和获得本发明的优势。 

附图说明

本说明书的附图是说明书的一部分，和上述详细描述和下述具体算例共同解释了本发明的原理。 

图1用来说明BCU退出点的概念； 

图2A和图2B说明了边界距离和边界条件的概念； 

图3是基于群的BCU退出点方法的流程图； 

图4给出了通过改善的BCU分类器、BCU引导的时域仿真和能量裕度计算，进行稳定分析和能量裕度计算的流程图。 

图5是基于群的BCU-DSA系统(版本I)的流程图。 

具体实施方式

现将参照附图来描述本发明的实施实例。 

目前，随着改进的BCU分类器的发展，使BCU方法的可靠性(即BCU方法给出错误的稳定性评估)降低的唯一因素在于，用BCU方法所计算的UEP可能不对应正确的CUEP。而且，由BCU方法所计算的UEP可能甚至不满足所述边界条件。如果所计算的UEP位于原始意外事件后系统的稳定边界上，则(关于意外事件的)所计算的UEP满足所述边界条件。 

此因素可以清楚地解释BCU方法对于某些类型的意外事件给出错误的稳定性评估的原因。BCU方法由于不足的系统阻尼而失效。从 技术上来说，不足的系统阻尼导致了参数化动态系统中的全局分岔(global bifurcation)的产生，而该系统是BCU方法的基础。另一方面，已经发现，如果满足边界条件，则BCU方法工作良好；此外，当系统阻尼足够大时，则满足边界条件。 

引入边界特性，我们可以通过检查边界特性来验证BCU方法，而不用检查很难检查的单参数横截条件。通过计算所得的计算CUEP的边界距离，来验证所得的计算CUEP是否位于原始系统的稳定边界上。如果所得的计算CUEP的边界距离是1.0，则CUEP位于原始故障后系统的稳定边界上；否则，CUEP不在所述边界上。 

我们发现，达界特性具有群特性(群特性是对群中成员都成立的特性)；因此，不必对每个相关意外事件群中的每个计算UEP计算边界距离。计算相关意外事件群中的一个计算UEP的边界距离足以确定所述群中所有意外事件的边界特性。群特性的利用显著减少了计算量。与逐个进行意外事件分析的BCU方法相比，基于相关意外事件的群特性，对整个意外事件群进行分析的BCU方法有效得多。这就是基于群的BCU方法的核心思想。 

5.1边界特性 

在BCU方法中，边界特性为一重要特性，其使状态降低系统的计算UEP与原始系统的相应UEP相关联。计算UEP边界特性的满足保证了：相关于状态降低系统的计算UEP，原始系统的相应UEP落在该原始系统的稳定边界上；其还保证计算UEP处的能量值可以用作研究意外事件的临界能量。 

通常，BCU方法对于满足边界条件(即保持边界特性)的意外事件执行得很好。另一方面，对于违反边界条件的意外事件，BCU方法可能给出不正确的稳定性评估及能量裕度计算。为了检查边界条件，在本发明中，我们开发了一种称为边界距离(BD)的性能指标。该指标可以用于对所计算UEP边界条件的数值验证。当且仅当所计算的UEP的边界距离为1.0，所计算的UEP位于原始故障后系统的稳定边界上。如果由BCU方法所计算的UEP落在原始故障后系统的稳定边 界上，则所计算的UEP处的能量值可以用作意外事件的临界能量。应注意，通过图形说明，可以清晰地解释边界距离的概念。给定所计算的UEP，我们可以在所计算的UEP与其故障后SEP之间绘制一条射线，并标识该射线与原始系统稳定边界之间的交点。若所计算的UEP位于稳定区域之外，则该射线将与故障后SEP的稳定边界相交。自该SEP开始沿着该射线的第一交点称为BCU退出点(或UEP退出点)(参看图1)。图1显示了当给定所计算的UEP时，所计算的UEP(其位于稳定区域之外)与其故障后SEP之间的射线。自该射线与稳定边界之间的SEP开始，沿着该射线的(第一)交点为BCU退出点。若所计算的UEP满足边界条件，则BCU退出点为所计算的UEP本身。该交点可以通过时域仿真计算获得。然后，我们定义所计算的UEP的边界距离为，交点与故障后SEP之间的欧几里德距离(Euclideandistance)除以所计算的UEP与其故障后SEP之间的欧几里德距离的标量(参看图2)。图2显示，当给定所计算的UEP时，该所计算的UEP与其故障后SEP之间的射线。该射线与稳定边界之间的交点为沿着该射线的交点。如果UEP的边界距离小于1.0(参看部分a)，则该UEP位于稳定边界之外；否则，其位于稳定边界上(参看部分b)。应注意，UEP的边界距离不大于1.0。若UEP的边界距离为1.0，则该UEP位于原始系统的稳定边界上；否则，其位于稳定边界之外。因此，边界距离愈小，则UEP与原始系统稳定边界的距离愈远。由于当且仅当所计算的UEP位于原始故障后系统的稳定边界上时，所计算的UEP才等于BCU退出点，因此当且仅当所计算的UEP的边界距离为1.0时，其才位于原始故障后系统的稳定边界上。 

自实际观点来看，若所计算的UEP的边界距离接近于1.0，假定介于0.97与1之间，则认为所计算的UEP落在原始故障后系统的稳定边界上。这是由于考虑到在计算过程中可能发生数值误差。 

5.2验证方案 

在本发明中，我们提出了一种用于检查由BCU方法所计算的UEP的边界条件的验证方案。这种验证方案克服了检查单参数横截条 件的难题。通过计算所计算的UEP的边界距离，我们可以验证所计算的UEP是否位于原始系统的稳定边界上；若所计算的UEP的边界距离为1.0，则该UEP位于原始故障后系统的稳定边界上；否则，其不在原始故障后系统的稳定边界上。 

众所周知，检查UEP是否位于通用非线性动态系统的稳定性边界上是相当耗时的。我们提出了一种用于检查UEP(假定为X^UEP)是否位于SEP(假定为X_s ^post)通用非线性动态系统稳定边界上的计算程序。 

步骤1.(选择步骤) 

选择一个点(测试向量)。在实际实施中，我们使用下面的公式为每个所选择的UEP(设为X^UEP)计算测试向量， 

$X^{\mathrm{test}}=X_s^{\mathrm{post}}+0.99(X^{\mathrm{UEP}}-X_s^{\mathrm{post}})$

其中，X_s ^post为SEP。 

步骤2.(检查步骤) 

通过仿真，如果从X^test开始的故障后轨迹收敛于X_s ^post，则X^UEP位于故障后原始系统的稳定边界上；否则，X^UEP不在稳定边界上。 

上述程序的理论基础为稳定边界的特性。若X^UEP位于稳定边界上，则测试向量X^test必须位于稳定区域内；否则，X^UEP必须位于稳定区域外。上述程序所需要的计算工作量约等于一个时域轨迹仿真的工作量。 

上述程序可以用来验证由BCU方法所计算的每个UEP。然而，此验证程序需要故障后原始系统的一个时域轨迹仿真。为了改良该验证程序，我们发现了意外事件列表中相关意外事件群的存在以及群的特性。换言之，我们发现了意外事件列表中多个相关意外事件群的形成以及群的特性。我们还利用这些群特性以改进用于每一相关意外事件群的验证程序。具体来说，我们开发了一种基于群的验证方案，其能够快速而精确地验证相关意外事件群中每一意外事件每一计算UEP的边界条件。详细内容将在后续部分阐述。 

有趣的是，在我们关于两个测试系统的数值研究中(两个测试系 统为116机系统及134机系统)，满足边界条件的所有所计算的UEP的比率在87.0％到87.7％之间变化。 

5.3校正方案-BCU退出点方法 

通过将清除基础故障后即刻状态的系统能量与临界能量进行比较，用于暂态稳定分析的直接方法来判定故障后系统轨迹是否将保持稳定。如果故障清除点处的能量小于临界能量，则故障后系统轨迹是稳定的；否则，其可能是不稳定的。因此，不准确的临界能量值可导致下列问题： 

问题1(P1)：高估的临界能量将不稳定意外事件分类为稳定的。 

问题2(P2)：对临界能量的过度保守计算将稳定意外事件分类为不稳定的。 

因此，必需计算准确的临界能量值，以用于对意外事件进行正确的稳定性评估。 

我们开发的理论结果显示，用于意外事件的准确临界能量值为(原始)退出点处的能量值，该(原始)退出点为故障中轨迹和故障后电力系统的稳定边界之间的交点；此外，(原始)退出点对应于时域仿真中的临界清除时间(CCT)。为了改进获得原始退出点中的计算工作量(其需要若干时域仿真以获得CCT)，我们已在[4]中显示，控制不稳平衡点(CUEP)处的能量值给出准确的临界能量值。因此，验证由诸如BCU方法所计算的UEP的确是位于故障后电力系统的稳定边界上的控制UEP，是非常重要的。我们注意到，CUEP为故障后电力系统的稳定边界上的UEP，其稳定簇与故障轨迹相交。 

如前文所示，若违反所计算的UEP的边界条件，则所计算的UEP不会位于原始(故障后)系统的稳定边界上。因此，将所计算的UEP处的能量值作为临界能量是不适当的。于是，问题变为在违反边界条件时如何发现能量值可用作临界能量的点。在本发明中，我们开发了一种用以解决此问题的BCU退出点方法。 

BCU退出点方法的一个主要设计目的是解决前述问题(P1)及(P2)并达到下列情况： 

(S1)BCU退出点方法不会给出高估的能量裕度；换句话说，BCU退出点方法不会将不稳定意外事件分类为稳定的。 

(S2)与BCU方法所计算的能量裕度相比，BCU退出点方法计算较不保守的能量裕度。 

BCU退出点方法 

违反边界条件的所有所计算的UEP共享一个共同特性-其不位于相应故障后SEP的稳定边界上，而是位于相应故障后SEP的稳定区域之外。所计算的UEP处的能量值不能用作临界能量。在这种情况下，我们提出计算BCU退出点，并将其能量值作为临界能量。 

接着，我们定义了BCU退出点。考虑某一意外事件的某一违反边界条件的所计算的UEP(由BCU方法)，画出连接相应故障后SEP与所计算的UEP的射线。由于所计算的UEP位于稳定区域之外，因此该射线将与故障后SEP的稳定边界相交。沿着从SEP开始的射线的第一交点，称为BCU退出点。若所计算的UEP满足边界条件，则BCU退出点就是所计算的UEP本身。 

BCU退出点在BCU退出点方法的研发中起重要作用。其还在基于群的BCU退出点方法的研发中起重要作用。该方法为违反边界条件的相关意外事件群中的每一意外事件确定准确的临界能量值。 

应注意，如果所计算的UEP的边界距离小于1.0，则所计算的UEP位于稳定边界外，并且所计算的UEP处的势能不能作为临界能量。我们接着展示用于计算某一意外事件(该意外事件由BCU方法所计算的UEP违反边界条件)的准确临界能量的BCU退出点方法。为了使BCU退出点方法具有实际用途，必须满足下列标准： 

(C1)：与准确能量裕度相比，所计算的能量裕度总是保守的但不是过于保守。 

上述标准(C1)大体上遵循了直接方法的思想，特别是遵循了控制UEP方法的思想。 

我们考虑研究意外事件下的电力系统。下列BCU退出点方法计算该研究意外事件的准确临界能量。 

BCU退出点方法 

给定：电力系统暂态稳定模型、研究意外事件、及用于故障后电力系统模型的能量函数。 

步骤1.使用BCU方法来计算研究意外事件的CUEP及故障后SEP。 

步骤2.将验证程序应用于步骤1中所计算的CUEP。若满足边界条件，则研究意外事件的临界能量值作为所计算的CUEP处的能量值，且转向步骤4；否则，转向下一步骤 

步骤3.应用有效的基于时域的方法来计算相应的BCU退出点。研究意外事件的临界能量值是BCU退出点处的能量值。 

步骤4.基于临界能量值，执行稳定性评估并计算研究意外事件的能量裕度。 

表6BCU退出点方法和准确时域方法应用于几个意外事件上的评估 

数值研究 

我们通过对实际电力系统模型的数值研究显示，BCU退出点方法满足标准(C1)。我们在包括5栏的表6中列出了数值仿真结果；第一栏列出了意外事件号，而第二栏列出与第一栏的每个意外事件相关的每个所计算的UEP的边界距离。从该边界距离值可以知道，所有所计算的UEP都不满足边界条件。因此，所计算的UEP处的能量值不能用作临界能量。相反的，BCU退出点处的能量值可用作临界能量值。第三栏列出了与每一意外事件相关联的SEP分隔。我们对基于BCU退出点方法的临界能量值与基于准确时域方法(基准点(bench-mark)方法)的临界能量值进行了比较，并集中于由这两种方法所计算的能量裕度。对于每一意外事件，我们进行迭代时域仿真来计算准确能量裕度。我们在迭代时域仿真中采用黄金二分法(Golden bisection method)来确定临界清除时间(在时域内)；即，准确退出点(稳定边界与故障轨迹间的(第一)交点)。准确的(原始)退出点的能量值为准确的临界能量。在该表的第四栏中列出了由准确时域方法所获得的临界能量值，而在第五栏中列出由BCU退出点方法所获得的临界能量值。 

从表6中列出的结果可以看出，对于每一研究意外事件，BCU退出点处的能量值稍微小于准确临界能量。因此，在此测试系统上满足标准(C1)；更具体来说， 

-BCU退出点处的能量值总是小于临界清除时间点处的能量值(即准确的临界能量)。这表明，遵循控制UEP方法的思想，BCU退出点方法在稳定性评估中是保守的。 

-BCU退出点处的能量值总是接近于临界清除时间点处的能量值(即准确的临界能量)。这表明，遵循控制UEP方法的思想，BCU退出点方法在稳定性评估中是准确的但不过于保守。 

5.4相关意外事件群 

在本发明中，我们还研发了相关意外事件群的概念，还研究了相关意外事件群的几个特性。我们坚信，相关意外事件的概念，不仅在 基于群的BCU方法的研发中是有用的，而且在例如意外事件分析、校正控制及预防性控制等应用中也是有用的。 

我们发现，由BCU方法计算得到的一群意外事件的UEP彼此接近。这些UEP在状态空间上彼此接近而这些意外事件的故障位置在地理空间上彼此接近。我们还发现，一系列意外事件可以分类成若干个相关意外事件群。一些群包括数量较多的意外事件，而另外一些群包括数量较少的意外事件。 

在进行相关意外事件群的讨论之前，下面首先给出一些定义和术语。 

定义：(意外事件列表) 

对于特定的电力系统动态模型，将由动态安全评估(DSA)程序在一个执行中所研究的整个意外事件(假定为L)称为一个意外事件列表。 

对于每个意外事件，我们可以计算其故障前SEP及故障后SEP。我们定义意外事件的SEP分隔如下： 

定义：(SEP分隔) 

给定某一意外事件，我们定义该意外事件的SEP分隔为其故障前SEP(假定为δ_s ^pre)与其故障后SEP(假定为δ_s ^post)之间的无穷范数(infinite-norm)，即 

定义：(相关意外事件) 

若两个意外事件在所计算的SEP与所计算的UEP处的发电机转子角度彼此接近，则称两个意外事件相关。数学上而言，若满足下列条件，则称意外事件i与意外事件j为相关意外事件： 

${\left|\right|{\mathrm{\&delta;}}_i^{\mathrm{sep}}-{\mathrm{\&delta;}}_j^{\mathrm{sep}}\left|\right|}_{\&infin;}<{\mathrm{\&epsiv;}}^{\mathrm{sep}}$

${\left|\right|{\mathrm{\&delta;}}_i^{\mathrm{cuep}}-{\mathrm{\&delta;}}_j^{\mathrm{cuep}}\left|\right|}_{\&infin;}<{\mathrm{\&epsiv;}}^{\mathrm{cuep}}$

其中(i)δ_i ^sep与δ_j ^sep分别为意外事件i与意外事件j的故障后SEP的发电机转子角度向量，且ε^sep为指定的角度限值。 

(ii)δ_i ^cuep与δ_j ^cuep分别为意外事件i与意外事件j的所计算的UEP 的发电机转子角度向量，且ε^cuep为指定的角度限值。 

应注意，此定义中所使用的范数为无穷范数。因此，此定义对大电源系统与小电源系统两者都有效。 

定义：(相关意外事件群) 

相关意外事件群为意外事件列表的子集，其中该群中的任何两个意外事件皆相关。 

应注意，每一相关意外事件群中所含有的意外事件的数量可大可小，且最小群可仅含有一个意外事件。 

SEP分隔可以看作是对意外事件的静态严重性的度量。可将意外事件的所计算的UEP与故障后SEP之间的“分隔”看作是对意外事件的动态严重性的度量。我们定义这两种度量，并且应用其来开发将意外事件列表分群成若干相关意外事件群的方案。 

我们在数值研究中已经发现，在每一相关意外事件群中，具有最大SEP分隔的UEP与具有最小SEP分隔的UEP为该群中所有UEP定义了边界特性；更具体来说，我们观察到下列群特性： 

群特性1：如果具有最大SEP分隔的UEP和具有最小SEP分隔的UEP皆满足边界特性，则整个相关群中的每个UEP都位于相应原始系统的稳定边界上。换句话说，如果在相关群的两端的UEP位于相应原始系统的稳定边界上，则整个群的UEP也位于原始系统的稳定边界上。 

群特性2：如果具有最大SEP分隔的UEP和具有最小SEP分隔的UEP不满足边界特性，则整个群的UEP都不在原始系统的稳定边界上。 

如果最大SEP分隔和最小SEP分隔之间的差较小，则群特性1可以被表示如下： 

群特性1-A：如果具有最大SEP分隔的UEP满足边界特性，则整个相关群的每个UEP都位于相应原始系统的稳定边界上。 

如果最大SEP分隔和最小SEP分隔之间的差较小，则群特性2可以被表示如下： 

群特性2-A：如果具有最大SEP分隔的UEP不满足边界特性，则整个相关群的UEP都不在原始系统的稳定边界上。 

我们开发了下列准则，用于将一个相关意外事件群重新分群为几个相关意外事件群，以使得特性1和特性2被满足。 

用于重新分群的准则：如果所述两个UEP中的一个，具有最大SEP分隔的UEP或者具有最小SEP分隔的UEP满足边界特性，而另一个不满足，则整个相关群的一些UEP满足边界特性，而其他的不满足该特性。 

给定意外事件列表，我们应用BCU方法计算意外事件列表中每个意外事件的CUEP。然后，基于所计算的UEP的坐标及其SEP分隔，将所有意外事件分群为若干个相关意外事件群。可以形成多个分群方案，但是，每一方案都应满足特性1和特性2。 

数值研究 

通过大量的数值分析，我们观察到，意外事件群的由BCU方法计算的UEP倾向于在故障后系统的状态空间内彼此接近。我们将通过对具有详细发电机模型的几个测试系统进行数值研究来验证相关意外事件群的概念。 

我们给出了将BCU方法应用于具有详细发电机模型的测试系统的意外事件列表的仿真结果。然后，基于所计算的UEP及相关SEP分隔，将该列表中所有意外事件分类成若干相关意外事件群。数值仿真表明，意外事件列表包括若干个相关意外事件群；其中的一些群较大；例如，群#4含有43个相关意外事件，而一些群仅含有一个意外事件。在表7中，我们列出了群号及具有大于3个意外事件的每一相关意外事件群中相关意外事件的数量。 

我们列出了几个相关意外事件群中的意外事件，连同该群中每一个意外事件的边界距离(参看表8至表15)。应当注意，相关意外事件群中每一意外事件的边界距离彼此接近。此外，若边界距离是准确的(即，1.0)，则满足边界特性。 

我们发现，我们所发明的相关意外事件群的概念、定义使得边界 特性能够成为相关意外事件群的群特性。 

表7每个相关意外事件群中意外事件的数目 

群号	相关意外事件  的数目	群号	相关意外事件  的数目	群号	相关意外事件  的数目
						1	25	12	25	23	3
2	27	13	6	24	7
						3	11	14	6	25	3
4	43	15	3	26	9
						5	10	16	3	27	3
6	3	17	6	28	8
						7	10	18	3	29	9
8	6	19	3	30	3
						9	4	20	5	31	15
10	3	21	15	32	5
						11	9	22	15

表14群13中所有相关意外事件的边界距离 

事件号	186	193	677	177	181	173
							边界距离	0.234	0.234	0.234	0.234	0.234	0.234

表15群32中所有相关意外事件的边界距离 

事件号	382	381	706	705	702
						边界距离	准确的	准确的	准确的	准确的	准确的

下文给出了一些数值研究中得到的观察结果： 

观察1：每一相关意外事件群中，由BCU方法所计算的UEP的边界距离彼此接近。 

观察2：对于若干相关意外事件群，若某一相关意外事件群中，某一意外事件由BCU方法所计算的UEP位于原始系统的稳定边界上(即，其满足边界条件)，则同一相关意外事件群中任何其它意外事件由该BCU方法所计算的UEP也位于该原始系统的稳定边界上；换句话说，边界特性具有群特性。 

观察3：单摆动稳定性/不稳定性现象为相关意外事件的群特性。 

观察4：多摆动稳定性/不稳定性现象为相关意外事件的群特性。 

5.5基于群的验证方案 

检查UEP是否位于原始(故障后)系统的稳定边界上的程序是相当耗时的。在本发明中，我们研发了一种有效的数值程序，用于检查相关群中每一所计算的UEP(相关于意外事件)是否落在其相应的原始(故障后)系统的稳定边界上。特别地，在本发明中，我们研发了一种基于群的程序，用来检查相关意外事件群的边界特性。 

基于群的验证程序 

步骤0：给定相关意外事件的群。 

步骤1.(选择步骤) 

对于所述相关意外事件的群，我们提出下面的准则，用于从相关意外事件群中选择一个或者两个意外事件验证边界特性。如果相关意外事件群中的每个意外事件的SEP分隔较小，例如小于3度，则选择该群中所计算具有最大SEP分隔的UEP；否则，选择该群中所计算具有最大SEP分隔的UEP及所计算具有最小SEP分隔的UEP。 

步骤2.(检查步骤) 

检查选择步骤中所选择意外事件的计算UEP的边界条件。我们使用下面的公式来计算每个所选择的UEP(令为X^UEP)的测试向量， 

$X^{\mathrm{test}}=X_s^{\mathrm{post}}+0.99(X^{\mathrm{UEP}}-X_s^{\mathrm{post}})$

其中，X_s ^post为对应于X^UEP的意外事件的故障后SEP。如果从X^test开始的故障后轨迹收敛于X_s ^post，则所选择UEP满足边界条件；否则，所选择UEP不满足边界条件。 

步骤3.(评估步骤) 

基于步骤2的检查结果，获得下列评估结果。 

(1)若所选UEP满足边界条件，则整个群中相关意外事件所计算的UEP满足边界特性。 

(2)若所选UEP皆不满足边界条件，则整个群中相关意外事件所计算的UEP不满足边界特性。 

上述基于群的验证程序包含三个步骤：选择步骤、检查步骤及评估步骤。所需要的主要计算工作量在步骤2的执行时域仿真以检查边界条件。通过检查边界条件来验证BCU方法所计算的UEP是否落在原始(故障后)系统的稳定边界上，而不需要检查单参数横截条件。此外，上述验证程序避免了对每一相关意外事件群中的每一意外事件的边界条件进行完全检查的需要。 

5.6基于群的BCU退出点方法 

我们考虑到具有研究意外事件的电力系统。假设从BCU意义上来说，该意外事件数值条件较好，使得该意外事件通过了改进的BCU分类器的筛选程序，且BCU方法计算了该意外事件的UEP。于是，问题变为所计算的UEP是否落在故障后系统的稳定边界上。为了处理 此问题，BCU退出点方法(BCU方法的扩展)包括了检查边界条件的有效验证程序和在违反该边界条件时计算准确临界能量的校正方案。事实上，不管是否满足所需要的边界条件，BCU退出点方法都给出对意外事件的准确稳定评估及能量裕度计算。 

然而，BCU退出点方法所需要的计算工作量可能显著大于BCU方法所需要的计算工作量。因此，迫切需要减小BCU退出点方法所需要的计算工作量。为了改进验证程序，我们在本发明中研发了一种基于群的验证程序，对每一相关意外事件群，仅仅需要一个或两个时域仿真；而不是对该群中的每一个意外事件需要一个时域仿真。基于群的验证程序所提供的加速(speed-up)为m或0.5×m，其中m为一相关群中意外事件的数量。 

在本发明中，我们通过研究一些群特性而研发了一种基于群的BCU退出点方法，以克服为相关群中每一意外事件计算BCU退出点的困难。我们研发了一种基于群的校正程序，该程序不需要计算相关群中每一个意外事件的BCU退出点，而能够确定每一个意外事件的准确临界能量。基于群的BCU退出点方法仅仅需要计算相关群中某一(特定)意外事件的BCU退出点；因此，加速粗略地为m，其中m为相关群中意外事件的数量。 

我们展示了基于群的BCU退出点方法。我们研究了违反边界条件的相关意外事件群。我们的目的是为相关群中每一意外事件确定(准确)的临界能量。令L_l为所计算的UEP(假定为X_l ^UEP)在群中具有最大SEP分隔的意外事件。令L_s为所计算的UEP(假定为X_s ^UEP)在群中具有最小SEP分隔的意外事件。由于边界条件为群特性，因此相关群中每一意外事件都违反边界条件。 

令X_l ^UEP与X_s ^UEP的BCU退出点分别为X_l ^bcu与X_s ^bcu。我们有以下发现： 

-BCU退出点X_l ^bcu处的能量值可精确地用作意外事件L_l的临界能量值。另一方面，所计算的UEP(X_l ^UEP)处的能量值不能用作意外事件L_l的临界能量值。 

-BCU退出点X_s ^bcu处的能量值可精确地用作意外事件L_s的临界能量值。另一方面，所计算的UEP(X_s ^UEP)处的能量值不能用作意外事件L_s的临界能量值。 

通过研发下面可适用于每一相关意外事件群的关系而更进一步： 

-对于相关群中的每一意外事件，准确临界能量(即，退出点处的能量)与其SEP分隔之间是什么关系？ 

-对于相关群中的每一意外事件，BCU退出点处的能量与其SEP分隔之间是什么关系？ 

我们有如下发现： 

-在相关意外事件群中，其临界能量与其SEP分隔之间为非线性关系。 

-在相关意外事件群中，在BCU退出点处的能量与其SEP分隔之间为近似线性关系。 

我们提出了一种基于群的BCU退出点方法，研究BCU退出点处的能量与其SEP分隔之间的关系。 

基于群的BCU退出点方法 

给定：一违反边界条件的相关意外事件群，下列步骤为该相关意外事件群中的每一意外事件确定一临界能量。 

步骤1.(选择步骤) 

从相关意外事件群中，选择具有最大SEP分隔的计算UEP(假定为X_l ^UEP)，其意外事件假定为L_l，选择具有最小SEP分隔的计算UEP(假定为X_s ^UEP)，其意外事件假定为L_s。 

步骤2.(BCU退出点) 

分别计算X_l ^UEP和X_s ^UEP的BCU退出点，记为X_l ^bcu和X_s ^bcu。 

步骤3.(临界能量) 

以V_l ^bcu表示在X_l ^bcu处的能量并作为意外事件L_l的临界能量。同样地，以V_s ^bcu表示在X_s ^bcu处的能量并作为意外事件L_s的临界能量。 

步骤4.(计算群中其他意外事件的临界能量) 

假定意外事件L_i的SEP分隔为SEP_i，则意外事件L_i的临界能量是 

$V_i^{\mathrm{cr}}=a\&times;{\mathrm{SEP}}_i+b$

其中 

$a=\frac{V_l^{\mathrm{bcu}}-V_s^{\mathrm{bcu}}}{{\mathrm{SEP}}_l-{\mathrm{SEP}}_s}$

$b=\frac{V_s^{\mathrm{bcu}}\&times;{\mathrm{SEP}}_l-V_l^{\mathrm{bcu}}\&times;{\mathrm{SEP}}_s}{{\mathrm{SEP}}_l-{\mathrm{SEP}}_s}$

数值研究 

我们在134机系统上评估了基于群的BCU退出点方法，比较了两种用于计算临界能量的不同方法。 

-通过时域仿真来计算临界清除时间的准确临界能量， 

-根据基于群的BCU退出点方法(G-BCU退出点方法)计算临界能量。 

表16对于相关意外事件群，基于群的BCU退出点方法与基于准确时域仿真方法的临界能量计算结果比较 

表17对于违反边界条件的相关意外事件群，基于群的BCU退出点方法与基于准确时域仿真方法的临界能量计算结果比较 

我们首先评估基于群的BCU退出点方法的准确性及可靠性。为了进行比较，我们采用时域仿真方法计算临界清除时间以计算准确临界能量，临界清除时间时的能量即为准确临界能量。这是最准确但却是耗时的方法。在时域仿真中采用了黄金二分法来确定临界清除时间。 

在表16中，我们列出了一些群的信息，包括事件号、边界距离、SEP分隔、通过时域仿真方法获得的临界能量、和应用于相关意外事件群的G-BCU退出点方法获得的临界能量。在表17中，我们列出了一些群的信息，包括事件号、边界距离、SEP分隔、通过时域仿真方法获得的临界能量、和应用于违反边界条件的相关意外事件群的G-BCU退出点方法获得的临界能量。我们发现： 

-基于群的BCU退出点方法的临界能量总是小于准确临界能量。此结论对于仿真中所有意外事件都成立。这表明，基于群的BCU退出点方法的临界能量是保守的，遵循了直接稳定性评估中CUEP方法的思想。 

-基于群的BCU退出点方法的临界能量总是接近于准确临界能量。此结论对于仿真中所有意外事件都成立。这表明，基于群的BCU 退出点方法的临界能量在直接稳定性评估中是准确的而且不过于保守。 

-G-BCU退出点方法的临界能量总是小于但接近于基于BCU退出点方法的临界能量。 

-对每一相关意外事件群，BCU退出点处的能量与SEP分隔之间存在近似线性关系。 

-对每一相关意外事件群，准确临界能量与SEP分隔之间存在非线性-线性关系。 

然而，BCU退出点方法可能不适用于在线应用，因为计算每一意外事件的BCU退出点非常耗时，而G-BCU退出点方法可证明对于在线应用是有效的。 

5.7基于群的BCU方法 

在本发明中，我们开发了一种基于群的BCU方法，所述方法将本发明中基于群的验证方案和基于群的BCU退出点方法合并起来。在直接暂态稳定评估中，本发明的基于群的BCU方法有极高的可靠性，而且可以提高BCU方法的保守性。 

基于群的BCU方法 

步骤1.使用BCU方法来计算一意外事件列表中每一研究意外事件的控制UEP及故障后SEP，直至该意外事件列表结束。 

步骤2.(分群步骤)将与每一意外事件相关联的所计算的UEP，分成若干相关意外事件群，使得其满足特性1及特性2。 

对于每一UEP群，执行下列步骤： 

步骤3.(选择步骤)若该群中每一意外事件的SEP分隔较小，则选择具有最大SEP分隔的UEP；否则，选择具有最大SEP分隔的UEP及具有最小SEP分隔的UEP。 

步骤4.(检查步骤)检查所选UEP的边界特性。在实际实施中，我们使用下列公式计算每一所选UEP(假定为X^UEP)的测试向量： 

$X^{\mathrm{test}}=X_s^{\mathrm{post}}+a(X^{\mathrm{UEP}}-X_s^{\mathrm{post}})$

其中，α＜1是正数且接近于1.0，例如0.99，X_s ^post为意外事件的 故障后SEP，X^UEP是所选UEP。如果从X^test开始的故障后轨迹收敛到X_s ^post，则所选UEP满足边界特性；否则，所选UEP不满足边界特性。 

步骤5.若所选UEP满足边界特性，则整个群的UEP满足边界特性，转向步骤6；若所选UEP皆不满足边界特性，则整个群的UEP不满足边界特性，转向步骤7。 

步骤6.相关意外事件群中每一研究意外事件的临界能量值为所计算的UEP处的能量值，转向步骤11。 

步骤7.从相关意外事件群中，选择具有最大SEP分隔的计算UEP(假定为X_l ^UEP)，其意外事件假定为L_l，选择具有最小SEP分隔的计算UEP(假定为X_s ^UEP)，其意外事件假定为L_s。 

步骤8.(BCU退出点) 

分别计算X_l ^UEP和X_s ^UEP的BCU退出点，记为X_l ^bcu和X_s ^bcu。 

步骤9.(临界能量) 

以V_l ^bcu表示在X_l ^bcu处的能量并作为意外事件L_l的临界能量。同样地，以V_s ^bcu表示在X_s ^bcu处的能量并作为意外事件L_s的临界能量。 

步骤10.(计算群中其他意外事件的临界能量) 

假定意外事件L_i的SEP分隔为SEP_i，则意外事件L_i的临界能量是 

$V_i^{\mathrm{cr}}=a\&times;{\mathrm{SEP}}_i+b$

其中 

$a=\frac{V_l^{\mathrm{bcu}}-V_s^{\mathrm{bcu}}}{{\mathrm{SEP}}_l-{\mathrm{SEP}}_s}$

$b=\frac{V_s^{\mathrm{bcu}}\&times;{\mathrm{SEP}}_l-V_l^{\mathrm{bcu}}\&times;{\mathrm{SEP}}_s}{{\mathrm{SEP}}_l-{\mathrm{SEP}}_s}$

步骤11.基于临界能量，对相关意外事件群中每一意外事件，进行直接稳定性评估，并计算能量裕度。 

5.8改善的BCU分类器 

本发明中改善的BCU分类器是基于发明[3]中的改进BCU分类器的。改进BCU分类器的主要设计目的是保证[3]中所描述的在线动态意外事件筛选的所有五个需求都满足。 

输入：具有用于动态安全评估及研究意外事件相关数据的电力系 统模型。 

输出：用于电力系统意外事件稳定评估及能量裕度值。 

以下列步骤来执行改善的BCU分类器(参看图4)：图4给出了某一意外事件的稳定评估和能量裕度计算的流程，顺序执行BCU分类器、BCU引导的时域仿真及能量裕度计算。 

步骤1.BCU分类器I：当意外事件发送到改善的BCU分类器时，程序首先检查BCU分类器I，其为检查网络孤岛(network islanding)问题的分类器。若BCU分类器I被触发，则电力系统在该意外事件下将分离成几个部分，因此认为该意外事件下的电力系统高度不稳定，并且给该意外事件赋予较大负能量裕度(假定为-999)并停止该程序；否则，将该意外事件发送至BCU分类器II。 

步骤2.BCU分类器II-A及BCU分类器II-B：计算意外事件下的故障后SEP。若没有发现故障后SEP，或发现一故障后SEP但是其与故障前SEP的距离过远，则分类器2-A被触发并将该意外事件评估为高度不稳定，并且给该意外事件赋予较大负能量裕度(假定为-999)并停止该程序；否则，若故障后SEP与故障前SEP的距离适中，则分类器2-B被触发且仍认为该意外事件高度不稳定，但是需要时域仿真以验证初步评估。若其的确不稳定，则给该意外事件赋予较大负能量裕度(假定为-999)并停止该程序；否则，将该意外事件发送至BCU分类器III。 

步骤3.BCU分类器III：计算退出点。若在指定周期内没有发现退出点，且该指定周期的终点处的势能是非正的，则BCU分类器III被触发。将该意外事件评估为高度稳定；接着给该意外事件赋予较大能量裕度(假定为999)并停止该程序；否则，将该意外事件发送至BCU分类器IV。 

步骤4.BCU分类器IV：计算最小梯度点(MGP)。若射线调整程序失败，或者在射线调整中指定数量的步骤内不能找到MGP点，则BCU分类器IV被触发，且将该意外事件发送至BCU引导的时域仿真进行稳定性评估及能量裕度计算并停止该程序。否则，将该意外 事件发送至BCU分类器V。 

步骤5.BCU分类器V：计算控制UEP。若不能发现控制UEP，则BCU分类器V被触发，且将该意外事件发送至BCU引导的时域仿真进行稳定性评估及能量裕度计算并停止该程序；否则，将该意外事件发送至BCU分类器VI。 

步骤6.BCU分类器VI：基于所计算的控制UEP处的能量值计算能量裕度。若能量裕度为正，则将该意外事件评估为稳定；否则，将该意外事件评估为不稳定。该程序完成。 

可修改改善BCU分类器的步骤6，以便改进BCU方法的保守性，如下文所述。 

步骤7.BCU分类器VI：基于所计算的控制UEP处的能量值，计算能量裕度。若能量裕度为负，则将此情况评估为不稳定的，且需要时域仿真来验证该评估。当该评估结果与时域仿真结果不同时，则使用BCU引导的时域计算来重新计算其能量裕度。若能量裕度为正，则保持相应能量裕度及稳定性评估不变，并停止该程序。 

5.9基于群的BCU-DSA 

本发明提供一种新颖系统，基于群的BCU-DSA，进行实际电力系统的在线动态安全评估及能量裕度计算。基于群的BCU-DSA的体系结构包含三个主要部分： 

(1)改善的BCU分类器 

(2)BCU引导的时域仿真程序 

(3)基于群的BCU方法。 

基于BCU-DSA(基于群的验证程序)、以及基于群的BCU退出点方法，我们设计一种基于群的BCU-DSA系统。图5给出了G-BCU-DSA系统(版本I)的体系结构。改善的BCU分类器是基于[3]中改进BCU分类器的，而且[3]中研发了BCU引导的时域仿真程序。本发明研发了基于群的BCU方法。改善的BCU分类器的主要设计目的是保证满足[3]中所述的在线动态意外事件筛选的所有五个需求。 

本发明提供一种新颖系统，基于群的BCU-DSA用于进行实际电 力系统的在线动态安全评估及能量裕度计算。基于群的BCU-DSA包含三个主要部分：由八个经改善的BCU分类器构成的动态意外事件分类程序、BCU引导的时域仿真程序、以及基于群的BCU方法。当进入新一轮的DSA时，首先将可信意外事件列表、来自状态估计的信息和拓扑分析应用于改善的BCU分类器，该BCU分类器的基本功能是筛选出潜在不稳定或明确稳定的意外事件。由改善BCU分类器分类为明确稳定的意外事件，指定能量函数值，不需进行其他稳定性分析。由改善BCU分类器分类为潜在不稳定的意外事件，发送至BCU引导的时域仿真程序，进行进一步的稳定性分析及能量裕度计算。 

基于群的BCU-DSA系统(版本I)包括下列步骤： 

输入：具有用于动态安全评估相关数据的电力系统模型，以及可信的意外事件列表。 

输出：可信意外事件列表中每一意外事件的稳定性评估(即，稳定或不稳定)、能量裕度值及估计的临界清除时间。 

对每一意外事件，执行下列步骤： 

步骤0：连续输入可信意外事件列表的每一意外事件。 

改善的BCU分类器及BCU引导的时域程序： 

步骤1.BCU分类器I：当意外事件发送到改善的BCU分类器时，程序首先检查BCU分类器I，其为检查网络孤岛(network islanding)问题的分类器。若BCU分类器I被触发，则电力系统在该意外事件下将分离成几个部分，因此认为该意外事件下的电力系统高度不稳定，并且给该意外事件赋予较大负能量裕度(假定为-999)，估计的临界清除时间是零，回到步骤0；否则，将该意外事件发送至BCU分类器II。 

步骤2.BCU分类器II-A及BCU分类器II-B：计算意外事件下的故障后SEP。若没有发现故障后SEP，或发现一故障后SEP但是其与故障前SEP的距离过远，则分类器2-A被触发并将该意外事件评估为高度不稳定，并且给该意外事件赋予较大负能量裕度(假定为-999)，估计的临界清除时间是零，回到步骤0；否则，若故障后SEP与故障 前SEP的距离适中，则分类器2-B被触发且仍认为该意外事件高度不稳定，但是需要时域仿真以验证初步评估。若其的确不稳定，则给该意外事件赋予较大负能量裕度(假定为-999)，估计的临界清除时间是零，回到步骤0；否则，将该意外事件发送至BCU分类器III。 

步骤3.BCU分类器III：计算退出点。若在指定周期内没有发现退出点，且该指定周期的终点处的势能是非正的，则BCU分类器III被触发。将该意外事件评估为高度稳定；接着给该意外事件赋予较大能量裕度(假定为999)，估计的临界清除时间被定为极大，回到步骤0；否则，将该意外事件发送至BCU分类器IV。 

步骤4.BCU分类器IV：计算最小梯度点(MGP)。若射线调整程序失败，或者在射线调整中指定数量的步骤内不能找到MGP点，则BCU分类器IV被触发，且将该意外事件发送至BCU引导的时域仿真进行稳定性评估及能量裕度计算，以及基于该能量裕度和沿着故障中轨迹的能量而输出临界清除时间，回到步骤0。否则，将该意外事件发送至BCU分类器V。 

步骤5.BCU分类器V：计算控制UEP。若不能发现控制UEP，则BCU分类器V被触发，且将该意外事件发送至BCU引导的时域仿真进行稳定性评估及能量裕度计算，以及基于该能量裕度和沿着故障中轨迹的能量而输出临界清除时间，回到步骤0；否则，将该意外事件发送至BCU分类器VI。 

基于群的BCU方法 

步骤6.将发送到这个步骤的每个意外事件的计算UEP和故障后SEP存储起来。检查意外事件列表是否结束，如果已经结束，则进行下一个步骤；否则，回到步骤0。 

步骤7.(分群步骤)将与每一意外事件相关联的所计算的UEP，分成若干相关意外事件群，使得其满足特性1及特性2。 

对于每一UEP群，执行下列步骤，直到所有的相关意外事件群都被执行为止： 

步骤8.(选择步骤)若群中每一意外事件的SEP分隔较小，则 选择具有最大SEP分隔的UEP；否则，选择具有最大SEP分隔的UEP及具有最小SEP分隔的UEP。 

步骤9.(检查步骤)检查所选UEP的边界特性。在实际实施中，我们使用下列公式计算每一所选UEP(假定为X^UEP)的测试向量： 

$X^{\mathrm{test}}=X_s^{\mathrm{post}}+a(X^{\mathrm{UEP}}-X_s^{\mathrm{post}})$

其中，α＜1是正数且接近于1.0，例如0.99，X_s ^post为意外事件的故障后SEP，X^UEP是所选UEP。如果从X^test开始的故障后轨迹收敛到X_s ^post，则所选UEP满足边界特性；否则，所选UEP不满足边界特性。 

步骤10.若所选UEP满足边界特性，则整个群的UEP满足边界特性，转向步骤11；若所选UEP皆不满足边界特性，则整个群的UEP不满足边界特性，转向步骤12。 

步骤11.相关意外事件群中每一意外事件的临界能量值为所计算的UEP处的能量值，转向步骤16。 

步骤12.从相关意外事件群中，选择具有最大SEP分隔的计算UEP(假定为X_l ^UEP)，其意外事件假定为L_l，选择具有最小SEP分隔的计算UEP(假定为X_s ^UEP)，其意外事件假定为L_s。 

步骤13.(BCU退出点) 

分别计算X_l ^UEP和X_s ^UEP的BCU退出点，记为X_l ^bcu和X_s ^bcu。 

步骤14.(临界能量) 

以V_l ^bcu表示在X_l ^bcu处的能量并作为意外事件L_l的临界能量。同样地，以V_s ^bcu表示在X_s ^bcu处的能量并作为意外事件L_s的临界能量。 

步骤15.(计算群中其他意外事件的临界能量) 

假定意外事件L_i的SEP分隔为SEP_i，则意外事件L_i的临界能量是 

$V_i^{\mathrm{cr}}=a\&times;{\mathrm{SEP}}_i+b$

其中 

$a=\frac{V_l^{\mathrm{bcu}}-V_s^{\mathrm{bcu}}}{{\mathrm{SEP}}_l-{\mathrm{SEP}}_s}$

$b=\frac{V_s^{\mathrm{bcu}}\&times;{\mathrm{SEP}}_l-V_l^{\mathrm{bcu}}\&times;{\mathrm{SEP}}_s}{{\mathrm{SEP}}_l-{\mathrm{SEP}}_s}$

步骤16.基于临界能量，对相关意外事件群中每一意外事件，进 行直接稳定性评估，并计算能量裕度，以及基于该能量裕度和沿着故障中轨迹的能量而输出临界清除时间。 

基于群的BCU-DSA(版本I)系统设计为对具有下列特性的实际电力系统的每一意外事件进行在线动态安全评估： 

[1]若意外事件的暂态稳定能量裕度大于零，则意外事件后，所提供数据及模型(用于暂态稳定研究)对应的电力系统必定是稳定的。 

[2]若意外事件的暂态稳定能量裕度小于零且不是基于群的BCU方法所计算的，则意外事件后，所提供数据及模型(用于暂态稳定研究)对应的电力系统必定是不稳定的。 

[3]若意外事件的暂态稳定能量裕度小于零且是基于群的BCU方法所计算的，则意外事件后，所提供数据及模型(用于暂态稳定研究)对应的电力系统可能是不稳定的。 

特性[3]表明了对这些意外事件稳定性评估的保守。然而，与发明[3]中所研发的BCU-DSA系统相比，在减小具有保守稳定性评估的意外事件数量的意义上，基于群的BCU-DSA系统(版本I)在特性[3]中显著增强；此外，基于群的BCU-DSA系统(版本I)总是具有特性[1]与特性[2]。 

为了改良基于群的BCU-DSA系统(版本I)的特性[3]，基于群的BCU-DSA系统(版本II)对具有下列特性的实际电力系统计算了每一意外事件的暂态稳定能量函数及估计的临界清除时间： 

[1]若意外事件的暂态稳定能量裕度大于零，则意外事件后，所提供数据及模型(用于暂态稳定研究)对应的电力系统必定是稳定的。 

[2]若意外事件的暂态稳定能量裕度小于零，则意外事件后，所提供数据及模型(用于暂态稳定研究)对应的电力系统必定是不稳定的。 

基于群的BCU-DSA系统(版本II)的步骤顺序与基于群的BCU-DSA系统(版本I)的步骤顺序相同，除步骤16如下： 

步骤16.基于临界能量，对相关意外事件群中每一意外事件，进行直接稳定性评估，并计算能量裕度，以及基于该能量裕度和沿着故障中轨迹的能量而输出临界清除时间。 

步骤17.对每一相关意外事件群，如果群中的意外事件被评估为不稳定的，则进行到步骤18；否则，检查下一相关意外事件群，直到所有的相关意外事件群都检查过为止。 

步骤18.以故障清除时的状态作为初始条件，执行相应故障后系统的时域仿真。若故障后轨迹被评估为不稳定的，则相应能量裕度、稳定性评估及估计的临界清除时间保持不变；否则，其为稳定的意外事件，并将其发送到BCU引导的时域仿真进行能量裕度计算和临界清除时间估计，并转向步骤17。 

通过改善BCU分类器VII的输出，在基于群的BCU-DSA系统(版本I)基础上，建立基于群的BCU-DSA系统(版本II)，使得由基于群的BCU方法分类为不稳定的所有意外事件被发送至BCU引导的时域仿真程序，以用于不稳定性的最终验证及(若需要)用于能量裕度的重新计算。 

我们在两个测试电力系统上评估了基于群的BCU-DSA系统(版本I)。这两个测试系统为116机测试系统及134机测试系统。将116机系统的故障清除时间设定为0.09秒，而将134机系统的故障清除时间设定为0.07秒。表18给出了动态安全评估及分群结果。我们观察到以下现象： 

-在所有测试系统中，群特性都成立。 

-给定可信意外事件列表，相关意外事件群的数量是取决于系统、负载和意外事件的。 

-116机系统与134机系统的意外事件的数量分别为312与135。前者的最大相关意外事件群包含多于30个意外事件，而134机测试系统的最大相关意外事件群仅包含6个意外事件。 

-存在若干仅包含一个意外事件的单成员群。其中，134机测试系统具有3个单成员群。 

表18群特性和群数量 

测试系统	所测试意外   事件的数量	相关意外事   件群的数量	最大群中相  关意外事件   的数量	单成员群的   数量
					116机系统	312	38	44	7
134机系统	135	29	6	3

应当指出，分析单成员群的策略不同于分析多成员群的策略。不必对单成员群进行完全的、基于群的边界距离及临界能量的计算。我们提议将BCU引导的时域方法应用于分析单成员群。总之，我们提议： 

-基于群的BCU-DSA将基于群的BCU方法应用于多成员相关意外事件群， 

-基于群的BCU-DSA将BCU引导的时域方法应用于单成员相关意外事件群。 

我们在两个测试系统上提供了BCU-DSA系统[3]与基于群的BCU-DSA系统(版本I)之间的数值比较。特别地，我们关注了以下问题： 

-在故障清除时间将稳定意外事件分类为不稳定的问题(故障清除时间时的保守分类)； 

-在故障清除时间将不稳定意外事件分类为稳定的问题(故障清除时间时的错误分类)； 

-高估的临界清除时间的问题。 

由于我们提出使用BCU引导的方法而不是基于群的BCU方法来处理单成员相关意外事件群，因此我们在表19中排除了这些意外事件。表中结果显示了基于群的BCU-DSA在以下方面优于BCU-DSA系统。 

表19BCU-DSA和基于群的BCU-DSA(版本I)之间的数值比较 

-保守稳定性分类中的改良(即，减少将稳定意外事件错误分类为不稳定的数量) 

-消除错误稳定性评估(即，不会将不稳定意外事件错误分类为稳定的) 

-消除高估的临界清除时间(不存在对每一意外事件的临界清除时间的高估) 

我们使用数值实例来说明基于群的BCU-DSA系统所取得的上述进步。对于116机测试系统，BCU-DSA对总共312个意外事件中的310个意外事件的稳定性正确地进行了分类，而保守地将2个稳定意外事件分类为不稳定。另一方面，基于群的BCU-DSA系统对总共312个意外事件中的312个意外事件的稳定性正确地进行了分类，没有保守分类。在临界清除时间方面，BCU-DSA系统对总共312个意外事件中306个意外事件给出了稍微保守估计的临界清除时间，而对6个意外事件给出高估的临界清除时间，而基于群的BCU-DSA系统对总共312个意外事件中312个意外事件给出了稍微保守估计的临界清除 时间，没有对任何意外事件给出高估的临界清除时间。 

我们指出，只要将控制UEP与准确能量函数一起使用，任何以控制UEP为基础的能量函数方法就会伴随估计临界清除时间的保守性。 

对于134机测试系统，BCU-DSA对总共135个意外事件中的132个意外事件的稳定性正确地进行了分类，而保守地将3个稳定意外事件分类为不稳定。另一方面，基于群的BCU-DSA系统对总共135个意外事件中的134个意外事件的稳定性正确地进行了分类，且有一个保守分类。在临界清除时间方面，BCU-DSA系统对总共135个意外事件中135个意外事件给出了稍微保守估计的临界清除时间，没有对任何意外事件给出高估的临界清除时间，而基于群的BCU-DSA系统对总共135个意外事件中135个意外事件给出了稍微保守估计的临界清除时间，没有对任何意外事件给出高估的临界清除时间。 

对于本领域的技术人员来说，很容易想到其他的优点及修改方法。因此，本发明在较广的方面不限于本文所展示及描述的具体细节及代表性的实例。因而，在不脱离由附加的申请专利范围及其等同物所定义的一般发明性概念的精神和范畴的情况下，可以进行各种修改。 

6.参考文献 

[1]H.D.Chiang，“On-Line Method for Determining PowerSystem Transient Stability”，美国专利5,483,462，1996年1月9日。 

[2]H.D.Chiang and C.S.Wang，“Method for On-Line DynamicContingency Screening of Electric Power Systems”，美国专利5,719,787，1998年2月17日。 

[3]H.D.Chiang，A.Kurita，H.Okamoto，R.Tanabe，Y.Tada，K.Koyanagi and Y.Zhou，“Method and System for On-lineDynamical Screening of Electric Power System”，美国专利申请，公开号US 2003/0200010A1，2003年10月23日。 

[4]H.D.Chiang，F.F.Wu and P.P.Varaiy，“Foundations ofDirect Methods for Power System Transient Stability Analysis”，IEEETrans.on Circuits and Systems，CAS-34(2)：pp.160-173，Feb.1987。 

Claims (1)

1.一种基于群的基于稳定区域边界的控制不稳定平衡点(BCU)退出点方法，该方法包括：

获得违反边界条件的相关意外事件群；

从所获得的违反所述边界条件的相关意外事件群中计算不稳定平衡点；

选择具有最大稳定平衡点分隔的计算的不稳定平衡点，该不稳定平衡点假定为其意外事件假定为L_l，选择具有最小稳定平衡点分隔的计算的不稳定平衡点，该不稳定平衡点假定为其意外事件假定为L_s；以及

分别计算和的基于稳定区域边界的控制不稳定平衡点退出点，记为和以表示在处的能量并作为意外事件L_l的临界能量，同样地，以表示在处的能量并作为意外事件L_s的临界能量，

假定意外事件L_i的稳定平衡点分隔为SEP_i，则意外事件L_i的临界能量是

V_i ^cr=a×SEP_i+b

其中

$a=\frac{{V_l}^{\mathrm{bcu}}-{V_s}^{\mathrm{bcu}}}{{\mathrm{SEP}}_l-{\mathrm{SEP}}_s}$

$b=\frac{{V_s}^{\mathrm{bcu}}\&times;{\mathrm{SEP}}_l-{V_l}^{\mathrm{bcu}}\&times;{\mathrm{SEP}}_s}{{\mathrm{SEP}}_l-{\mathrm{SEP}}_s}.$