CN101763650A - 滚珠螺母内滚道磨削砂轮轴截形的圆弧拟合方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了滚珠螺母内滚道磨削砂轮轴截形的圆弧拟合方法：首先将已知砂轮与滚珠螺母滚道面之间的空间离散接触点投影到过砂轮轴线的平面上，得到砂轮轴截形上离散点的坐标值；然后根据最小二乘法原理用圆弧来拟合砂轮轴截形离散点，计算出包括圆弧圆心坐标以及圆弧半径的砂轮轴截形拟合圆弧的参数。采用本发明的方法可以得到与砂轮理论轴截形之间误差最小拟合圆弧，方便简化砂轮的修整，利于保证滚珠螺母实际加工质量。

Description

滚珠螺母内滚道磨削砂轮轴截形的圆弧拟合方法

技术领域

本发明涉及滚珠丝杠副中滚珠螺母内滚道磨削砂轮轴截形的圆弧拟合，尤其是大导程滚珠螺母磨削砂轮轴截形的圆弧拟合，属于机械设计与加工领域。

背景技术

滚珠螺母内滚道一般都是以磨削作为其最后一道工艺，因此如何提高磨削精度，以及使砂轮轴截形简单，成为了制造滚珠丝杠副的关键技术之一。砂轮轴截形是过砂轮轴线的平面与砂轮表面相交而得到的形状。要磨削出符合所需精度要求的滚珠螺母，一般有以下的几个步骤：

所以在得到砂轮理论轴截形后，设计出既便于实际加工又能维持精度的拟合后的砂轮轴截形曲线，是保证滚珠螺母加工质量的关键问题。

发明内容

本发明的目的是提供一种滚珠螺母内滚道磨削砂轮轴截形的圆弧拟合方法，以方便简化砂轮的修整，提高滚珠螺母加工精度。

在设计大导程滚珠螺母磨削砂轮精确形状时，基于螺旋曲面磨削加工原理，砂轮回转面与被加工的滚珠螺母内螺旋滚道面会形成一条空间的接触线。根据已知的滚珠螺母滚道法向截形参数和确定的砂轮安装角及中心距，建立滚珠螺母滚道面方程，求出砂轮与滚珠螺母螺旋滚道面之间接触线上的一系列离散点，将其投影至过砂轮轴线的平面上得到砂轮的轴截形曲线。该轴截形曲线绕砂轮轴线回转得到砂轮的回转面，即为相应工艺参数下的砂轮形状。

这样得到的砂轮轴截形是一条十分复杂的平面曲线，而且不能用显式函数予以描述，只能用数值求解得到的离散点表示。在实际的加工过程中，很难把砂轮修整成复杂的曲线或曲面，而修整成圆弧比较简便。为了方便简化砂轮的修整，需要寻找一条圆弧使之与砂轮轴截形之间误差最小。因此，本发明采用最小二乘法原理来对砂轮轴截形的离散点进行圆弧最佳拟合。

本发明的滚珠螺母内滚道磨削砂轮轴截形的圆弧拟合方法，其步骤如下：

1)将砂轮与螺母滚道内表面的空间离散接触点投影到过砂轮轴线的平面上，得到由离散点构成的砂轮轴截形曲线

建立砂轮坐标系O_s、X_s、Y_s、Z_s，其中原点O_s在砂轮的中心，X_s指向滚道法向，Y_s指向砂轮上与X_s垂直的直径方向，Z_s指向砂轮的轴线方向，在砂轮坐标系O_s、X_s、Y_s、Z_s中，已知砂轮与滚珠螺母螺旋滚道面之间的n个离散接触点的空间坐标值，分别为x_si、y_si、z_si，i＝1，2，...，n，则坐标为x_si，y_si，z_si的任意一点绕砂轮轴线的回转半径R_si为：

$R_{\mathrm{si}}=\sqrt{{x_{\mathrm{si}}}^2+{y_{\mathrm{si}}}^2}---\left(1\right)$

在过砂轮轴线的平面另建立坐标系O、X、Y，其中原点O与O_s重合，X指向砂轮直径方向，Y指向砂轮的轴线方向，令

x_i＝R_si    (2)

y_i＝z_si

则得到空间离散接触点在过砂轮轴线的平面上的投影x_i，y_i，其中i＝1，2，...，n，也就得到由离散点构成的砂轮轴截形曲线；

2)用圆弧来拟合砂轮轴截形曲线离散点

假设在砂轮轴截形平面上拟合得到的圆弧方程为：

(x-A)²+(y-B)²＝R²    (3)

其中x，y为圆弧上任意点的坐标

A，B分别为所求的圆弧圆心在X方向与Y方向坐标

R为圆弧半径

将(3)式展开得：

x²+y²-2Ax-2By+A²+B²-R²＝0    (4)

令

a₀＝-2A，a₁＝-2B，a₂＝A²+B²-R²    (5)

得到式(4)的变形为：

x²+y²+a₀x+a₁y+a₂＝0    (6)

利用最小二乘法原理，将砂轮轴截形上各离散点的坐标值x_i，y_i，分别代入方程(6)，得到各离散点与拟合圆弧之间的误差如式(7)：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Δ}}_1={x_1}^2+{y_1}^2+a_{0}x+a_{1}y+a_2\\ {\mathrm{\Δ}}_2={x_2}^2+{y_1}^2+a_{0}x+a_{1}y+a_2\\ ............\\ {\mathrm{\Δ}}_n={x_n}^2+{y_n}^2+a_{0}x+a_{1}y+a_2\end{array}\right.---\left(7\right)$

其中，Δ_i，i＝1，2，...，n为各离散点的误差值

x_i，y_i，i＝1，2，...，n为砂轮上各离散点的坐标值全部离散点误差的平方和ε如式(8)：

$\mathrm{\ϵ}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{{\mathrm{\Δ}}_i}^2=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{({x_i}^2+{y_i}^2+a_0{x}_i+a_1{y}_i+a_2)}^2---\left(8\right)$

对(8)式求导并令其值为0，得到(9)式：

$\left\{\begin{array}{c}\∂\mathrm{\ϵ}/\∂a_0=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}2({x_i}^2+{y_i}^2+a_0{x}_i+a_1{y}_i+a_2)x_i=0\\ \∂\mathrm{\ϵ}/\∂a_1=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}2({x_i}^2+{y_i}^2+a_0{x}_i+a_1{y}_i+a_2)y_i=0\\ \∂\mathrm{\ϵ}/\∂a_2=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}2({x_i}^2+{y_i}^2+a_0{x}_i+a_1{y}_i+a_2)=0\end{array}\right.---\left(9\right)$

将(9)式整理得(10)式：

$\left\{\begin{array}{c}\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x_i}^2\right)a_0+\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i{y}_i\right)a_1+\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i\right)a_2=-\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}({x_i}^3+{y_i}^2{x}_i)\\ \left(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i{y}_i\right)a_0+\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{y_i}^2\right)a_1+\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{y}_i\right)a_2=-\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}({x_i}^2{y}_i+{y_i}^3)---\left(10\right)\\ \left(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i\right)a_0+\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{y}_i\right)a_1+n{a}_2=-\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}({x_i}^2+{y_i}^2)\end{array}\right.$

由(10)式求出拟合参数a₀，a₁，a₂，将拟合参数a₀，a₁，a₂代入(5)式，计算出砂轮轴截形的拟合圆弧的参数A，B，R。

本发明的有益效果是：

采用本发明方法可以得到一条与砂轮轴截形之间误差最小拟合圆弧，方便简化了砂轮的修整，解决了保证滚珠螺母制造质量的关键问题，为实际滚珠螺母加工提供了既便于实施又能保持精度的有效方法。

附图说明

图1是砂轮坐标系O_s、X_s、Y_s、Z_s的示意图。

图2是滚珠螺母内滚道砂轮磨削示意图，图中1为滚珠螺母，2为滚道，3为磨削砂轮。

图3是滚珠螺母内滚道法向剖面的截形图。

图4表示滚珠螺母内滚道磨削时在砂轮坐标系中砂轮与滚珠螺母滚道表面的一系列空间接触点。

图5表示了空间接触点投影后得到在过砂轮轴线的平面上的砂轮轴截形离散点。

图6表示了拟合计算前设定的初始圆弧，预赋值初始圆弧圆心坐标：A＝6.3，B＝0，半径：R＝2。图中初始圆弧上的点用“x”表示，初始圆弧的圆心用“+”表示，砂轮轴截形离散点用“o”表示。

图7表示了拟合计算的结果。计算后得到最佳拟合圆弧的参数，也就是拟合圆弧的圆心坐标A＝6.659，B＝-0.099，半径：R＝2.338。图中拟合圆弧上的点用“x”表示，拟合圆弧的圆心用“+”表示，砂轮轴截形离散点用“o”表示。

具体实施方式

下面以磨削加工某一型号滚珠螺母内滚道所用砂轮轴截形的圆弧拟合实例进一步说明本发明。

1)将砂轮与螺母滚道内表面的空间离散接触点投影到过砂轮轴线的平面上，得到由离散点构成的砂轮轴截形曲线

建立砂轮坐标系O_s、X_s、Y_s、Z_s，其中原点O_s在砂轮的中心，X_s指向滚道法向，Y_s指向砂轮上与X_s垂直的直径方向，Z_s指向砂轮的轴线方向，如图1所示。

滚珠螺母内滚道砂轮磨削时的情况如图2所示。

滚珠螺母内滚道的钢球球心轨迹直径为32mm，导程为32mm，滚道双圆弧的半径为2.572mm，滚道双圆弧的偏心距在两个方向上分别为0.148mm和0.12mm，钢球直径为4.736mm，接触角为39°，砂轮安装角(砂轮轴线与滚珠螺母轴线的夹角)为12°，如图3所示。

已知砂轮与滚珠螺母螺旋滚道面之间的n个离散接触点的空间坐标值，分别为x_si、y_si、z_si，i＝1，2，...，n，图4显示了各接触点在砂轮坐标系中的情况。

则坐标为x_si，y_si，z_si的任意一点绕砂轮轴线的回转半径R_si为：

$R_{\mathrm{si}}=\sqrt{{x_{\mathrm{si}}}^2+{y_{\mathrm{si}}}^2}---\left(1\right)$

在过砂轮轴线的平面另建立坐标系O、X、Y，其中原点O与O_s重合，X指向砂轮直径方向，Y指向砂轮的轴线方向，令

x_i＝R_si    (2)

y_i＝z_si

则得到空间离散接触点在过砂轮轴线的平面上的投影x_i，y_i，其中i＝1，2，...，n，也就得到由离散点构成的砂轮轴截形曲线，如图5所示。

2)用圆弧来拟合砂轮轴截形曲线离散点

假设在砂轮轴截形平面上拟合得到的圆弧方程为：

(x-A)²+(y-B)²＝R²    (3)

其中x，y为圆弧上任意点的坐标

A，B分别为所求的圆弧圆心在X方向与Y方向坐标

R为圆弧半径

将(3)式展开得：

x²+y²-2Ax-2By+A²+B²-R²＝0    (4)

令

a₀＝-2A，a₁＝-2B，a₂＝A²+B²-R²    (5)

得到式(4)的变形为：

x²+y²+a₀x+a₁y+a₂＝0    (6)

利用最小二乘法原理，将砂轮轴截形上各离散点的坐标值x_i，y_i，分别代入方程(6)，得到各离散点与拟合圆弧之间的误差如式(7)：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Δ}}_1={x_1}^2+{y_1}^2+a_{0}x+a_{1}y+a_2\\ {\mathrm{\Δ}}_2={x_2}^2+{y_1}^2+a_{0}x+a_{1}y+a_2\\ ............\\ {\mathrm{\Δ}}_n={x_n}^2+{y_n}^2+a_{0}x+a_{1}y+a_2\end{array}\right.---\left(7\right)$

其中，Δ_i，i＝1，2，...，n为各离散点的误差值

x_i，y_i，i＝1，2，...，n为砂轮上各离散点的坐标值全部离散点误差的平方和ε如式(8)：

$\mathrm{\ϵ}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{{\mathrm{\Δ}}_i}^2=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{({x_i}^2+{y_i}^2+a_0{x}_i+a_1{y}_i+a_2)}^2---\left(8\right)$

对(8)式求导并令其值为0，得到(9)式：

$\left\{\begin{array}{c}\∂\mathrm{\ϵ}/\∂a_0=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}2({x_i}^2+{y_i}^2+a_0{x}_i+a_1{y}_i+a_2)x_i=0\\ \∂\mathrm{\ϵ}/\∂a_1=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}2({x_i}^2+{y_i}^2+a_0{x}_i+a_1{y}_i+a_2)y_i=0\\ \∂\mathrm{\ϵ}/\∂a_2=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}2({x_i}^2+{y_i}^2+a_0{x}_i+a_1{y}_i+a_2)=0\end{array}\right.---\left(9\right)$

将(9)式整理得(10)式：

$\left\{\begin{array}{c}\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x_i}^2\right)a_0+\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i{y}_i\right)a_1+\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i\right)a_2=-\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}({x_i}^3+{y_i}^2{x}_i)\\ \left(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i{y}_i\right)a_0+\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{y_i}^2\right)a_1+\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{y}_i\right)a_2=-\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}({x_i}^2{y}_i+{y_i}^3)---\left(10\right)\\ \left(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i\right)a_0+\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{y}_i\right)a_1+n{a}_2=-\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}({x_i}^2+{y_i}^2)\end{array}\right.$

拟合计算前，先设定一初始圆弧，预赋值初始圆弧圆心坐标：A＝6.3，B＝0，半径：R＝2，如图6所示。图6中初始圆弧上的点用“x”表示，初始圆弧的圆心用“+”表示，砂轮轴截形离散点用“o”表示。

由(10)式求出拟合参数a₀，a₁，a₂，将拟合参数a₀，a₁，a₂代入(5)式，计算出砂轮轴截形的拟合圆弧的参数A，B，R。拟合圆弧的圆心坐标A＝6.659，B＝-0.099，半径：R＝2.338。拟合圆弧显示在图7中，图7中拟合圆弧上的点用“x”表示，拟合圆弧的圆心用“+”表示，砂轮轴截形离散点用“o”表示。在图7中看到，拟合圆弧的点基本与砂轮轴截形离散点重合在一起。

Claims (1)

1.滚珠螺母内滚道磨削砂轮轴截形的圆弧拟合方法，其步骤为：

1)将砂轮与螺母滚道内表面的空间离散接触点投影到过砂轮轴线的平面上，得到由离散点构成的砂轮轴截形曲线

建立砂轮坐标系O_s、X_s、Y_s、Z_s，其中原点O_s在砂轮的中心，X_s指向滚道法向，Y_s指向砂轮上与X_s垂直的直径方向，Z_s指向砂轮的轴线方向，在砂轮坐标系O_s、X_s、Y_s、Z_s中，已知砂轮与滚珠螺母螺旋滚道面之间的n个离散接触点的空间坐标值，分别为x_si、y_si、z_si，i＝1，2，...，n，则坐标为x_si，y_si，z_si的任意一点绕砂轮轴线的回转半径R_si为：

$R_{\mathrm{si}}=\sqrt{{x_{\mathrm{si}}}^2+{y_{\mathrm{si}}}^2}---\left(1\right)$

在过砂轮轴线的平面另建立坐标系O、X、Y，其中原点O与O_s重合，X指向砂轮直径方向，Y指向砂轮的轴线方向，令

x_i＝R_si                        (2)

y_i＝z_si

则得到空间离散接触点在过砂轮轴线的平面上的投影x_i，y_i，其中i＝1，2，...，n，也就得到由离散点构成的砂轮轴截形曲线；

2)用圆弧来拟合砂轮轴截形曲线离散点

假设在砂轮轴截形平面上拟合得到的圆弧方程为：

(x-A)²+(y-B)²＝R²                        (3)

其中x，y为圆弧上任意点的坐标

A，B分别为所求的圆弧圆心在X方向与Y方向坐标

R为圆弧半径

将(3)式展开得：

x²+y²-2Ax-2By+A²+B²-R²＝0                (4)

令

a₀＝-2A，a₁＝-2B，a₂＝A²+B²-R²           (5)

得到式(4)的变形为：

x²+y²+a₀x+a₁y+a₂＝0                      (6)

利用最小二乘法原理，将砂轮轴截形上各离散点的坐标值x_i，y_i，分别代入方程(6)，得到各离散点与拟合圆弧之间的误差如式(7)：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Δ}}_1={x_1}^2+{y_1}^2+a_{0}x+a_{1}y+a_2\\ {\mathrm{\Δ}}_2={x_2}^2+{y_1}^2+a_{0}x+a_{1}y+a_2\\ ............\\ {\mathrm{\Δ}}_n={x_n}^2+{y_n}^2+a_{0}x+a_{1}y+a_2\end{array}\right.---\left(7\right)$

其中，Δ_i，i＝1，2，...，n为各离散点的误差值

x_i，y_i，i＝1，2，...，n为砂轮上各离散点的坐标值

全部离散点误差的平方和ε如式(8)：

$\mathrm{\ϵ}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{{\mathrm{\Δ}}_i}^2=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{({x_i}^2+y_i^2+a_0{x}_i+a_1{y}_i+a_2)}^2---\left(8\right)$

对(8)式求导并令其值为0，得到(9)式：

$\left\{\begin{array}{c}\∂\mathrm{\ϵ}/\∂a_0=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}2({x_i}^2+{y_i}^2+a_0{x}_i+a_1{y}_i+a_2)x_i=0\\ \∂\mathrm{\ϵ}/\∂a_1=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}2({x_i}^2+{y_i}^2+a_0{x}_i+a_1{y}_i+a_2)y_i=0\\ \∂\mathrm{\ϵ}/\∂a_2=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}2({x_i}^2+{y_i}^2+a_0{x}_i+a_1{y}_i+a_2)=0\end{array}\right.---\left(9\right)$

将(9)式整理得(10)式：

$\left\{\begin{array}{c}\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x_i}^2\right)a_0+\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i{y}_i\right)a_1+\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i\right)a_2=-\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}({x_i}^3+{y_i}^2{x}_i)\\ \left(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i{y}_i\right)a_0+\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{y_i}^2\right)a_1+\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{y}_i\right)a_2=-\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}({x_i}^2{y}_i+{y_i}^3)\\ \left(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i\right)a_0+\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{y}_i\right)a_1+n{a}_2=-\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}({x_i}^2+{y_i}^2)\end{array}\right.---\left(10\right)$

由(10)式求出拟合参数a₀，a₁，a₂，将拟合参数a₀，a₁，a₂代入(5)式，计算出砂轮轴截形的拟合圆弧的参数A，B，R。

Images