CN101645601A - 电力系统时滞依赖型鲁棒稳定的判别方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于电力系统技术领域，涉及一种改进的含不确定性时滞环节的电力系统稳定性Lyapunov鲁棒稳定判别方法，首先基于Krasovskii理论列解时滞系统的Lyapunov泛函，接着将泛函对系统轨迹的导函数用一组线性矩阵不等式(LMI)表达，在泛函导数推导过程中，通过引入一些必要的松散项以减少该判据的保守性，然后利用Schur补对含不确定性的扰动项进行变换，从而得到稳定判据。本发明该种方法具有保守性小且运行效率高的优点。

Description

电力系统时滞依赖型鲁棒稳定的判别方法

技术领域

本发明属于电力系统技术领域，涉及一种含不确定性时滞的判稳方法。

背景技术

在自然界中，系统未来的发展趋势既取决于当前状态，也与过去状态有关，这类现象称为时滞^[1-2]。时滞现象广泛存在于电力系统的各个环节，是导致控制设备失效、系统恶化和失稳的一种重要诱因，因此研究时滞系统稳定性判据和寻求有效的时滞稳定控制手段，具有十分重要的现实意义^[2-4]。

人们对时滞系统稳定性的研究开展较早^[1]，早在上世纪50年代O.J.Smith就提出Smith预估器的完整理论^[5]，在已知系统时滞变化规律时，通过它可完全消除传递函数中已知的固定时滞，从而将之简化为一般系统进行考虑；此外，上世纪80年代^[6-7]就已形成较完整的线性时滞稳定分析理论。但当时滞并非固定常数时，上述方法将难以奏效。而采用Lyapunov稳定性理论研究时滞系统稳定性，则不受此限制，因此寻求科学的Lyapunov时滞稳定判据，就成为近年来这一领域的研究热点。时滞系统Lyapunov稳定分析方法主要分为基于Razumikhin理论和基于Krasovskii理论的两类^[8]，前者因缺乏列解Lyapunov函数的有效方法，而逐渐被后者所取代。基于Krasovskii理论的方法，主要分为时滞依赖型和时滞独立型，由于后者要求系统的稳定性不依赖于时滞的大小，因而其所给判据较前者具有更大的保守性。另外基于Lyapunov理论的稳定判据，只给出时滞系统稳定的充分条件，方法本身存在一定保守性，因此近年来的研究多集中在如何降低Lyapunov时滞稳定判据的保守性上^[9-15]。[13]通过在单时滞稳定判据推导过程中加入松散项以降低方法的保守性，收到很好效果，并在此基础上推导出了时滞依赖型鲁棒稳定判据，文献[14]将这种方法推广应用到多时滞系统，形成了所谓的自由权矩阵(Free Weighting Matrix)方法，但大量松散项的引入使得方法的计算效率受到很大的影响。文献[16]则利用[13]思想，通过仅引入必要的松散项，在降低判据保守性的同时提高了计算效率。

发明内容

本发明的目的是克服现有方法的上述不足，给出一种含不确定性扰动项的时滞系统鲁棒稳定判别方法，该种方法具有保守性小且运行效率高的优点。为此，本发明采用如下的技术方案：

一种电力系统时滞依赖型鲁棒稳定的判别方法，包括下列步骤：

(1)建立含m个不确定性时滞环节的系统模型

式中x_τi＝x(t-τ_i)＝Δz(t-τ_i)，i＝0，1，2，...，m，τ₀＝0；ΔA_i，i＝0，1，2，...，m为系统参数扰动项。

(2)给定一组满足条件0＝τ₀≤τ₁≤τ₂≤…≤τ_m的时滞常数以及任意满足0＜τ≤τ(τ：＝max{τ₁，τ₂，…，τ_m})的延时τ，设：[ΔA₀(t)ΔA₁(t)ΔA₂(t)…ΔA_m(t)]＝DF(t)[E₀ E₁ E₂… E_m]，F(t)∈R^k×l为非线性随机扰动矩阵，满足如下条件： $F^T\left(t\right)F\left(t\right)\≤I,\∀t,$ 按照下列的方式选择系数矩阵D，E₀，E₁，...，E_m：使得乘积项ΔA_i(t)＝DF(t)E_i与A_i对应，即矩阵A_i中等于0的项要保证乘积项ΔA_i(t)＝DF(t)E_i对应地也为0，矩阵A_i中不等于0的项要保证乘积项ΔA_i(t)＝DF(t)E_i对应地取为随机变量。

(3)给定稳定判据条件：

如果存在任一标量ε＞0，P＝P^T＞0， $Q_i=Q_i^T>0,(i=\mathrm{1,2},...,m)$ 为对称正定矩阵，X^(ij)，W^(ij)对称半正定矩阵，N_l ^(ij)(l＝0，1，...，m，0≤i＜j≤m)为任意矩阵，即，

W^(ij)＝[W^(ij)]^T≥0，(0≤i＜j≤m)，并且满足下列两个线性矩阵不等式，则不确定多延时系统是鲁棒渐近稳定的：

其中：

0≤i＜j≤m

${\mathrm{\Ξ}}_{00}=\underset{i=0}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{Q}_i+\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}(N_0^{\left(0j\right)}+{\left[N_0^{\left(0j\right)}\right]}^T)+\underset{i=0}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=i+1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}({\mathrm{\τ}}_j-{\mathrm{\τ}}_i)X_{00}^{\left(\mathrm{ij}\right)}$

${\mathrm{\Ξ}}_{0k}=-N_0^{\left(0k\right)}+{\left[N_0^{\left(0k\right)}\right]}^T+{\mathrm{\τ}}_k{X}_{0k}^{\left(0k\right)},(k=\mathrm{1,2},\·\·\·,m)$

${\mathrm{\Ξ}}_{\mathrm{kk}}=-Q_k-\underset{i=0}{\overset{k-1}{\mathrm{\Σ}}}(N_k^{\left(\mathrm{ik}\right)}+{\left[N_k^{\left(\mathrm{ik}\right)}\right]}^T)+\underset{j=k+1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}(N_k^{\left(\mathrm{kj}\right)}+{\left[N_k^{\left(\mathrm{kj}\right)}\right]}^T)+\underset{i=0}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=i+1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}({\mathrm{\τ}}_j-{\mathrm{\τ}}_i)X_{\mathrm{kk}}^{\left(\mathrm{ij}\right)}(k=\mathrm{1,2},\·\·\·,m)$

${\mathrm{\&Xi;}}_{\mathrm{lk}}=N_l^{\left(\mathrm{lk}\right)}-{\left[N_l^{\left(\mathrm{lk}\right)}\right]}^T+({\mathrm{\&tau;}}_k-{\mathrm{\&tau;}}_l)X_{\mathrm{lk}}^{\left(\mathrm{lk}\right)},(l=\mathrm{1,2},\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,m,l<k\&le;m)$

$G=\underset{i=0}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=i+1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}({\mathrm{\&tau;}}_j-{\mathrm{\&tau;}}_i)W^{\left(\mathrm{ij}\right)}$

(4)利用计算软件判断在r扰动半径下时滞数据(τ₀，τ₁，……τ_m)是否满足步骤(3)给出的判据表达式，若满足，则可判定在r扰动半径下含时滞数据为(τ₀，τ₁，……τ_m)的不确定多延时系统是鲁棒渐近稳定的。

本发明给出一种改进的时滞系统依赖型鲁棒稳定判别方法，其实质性特点是：利用Lyapunov-Krasovskii理论列解含有扰动项的系统Lyapunov泛函，在其导数推导过程中引入一些必要的松散项，进一步利用Schur补对扰动项进行变形从而得到不确定时滞系统的鲁棒稳定判据，并基于该判据，利用MATLAB工具箱得到系统的鲁棒稳定区域。该种方法具有保守性小且运行效率高的优点，并且得出了随着扰动半径的增大系统鲁棒稳定区域减小的规律。众所周知，在进行广域控制器设计时，系统参数的随机扰动会对控制器的性能产生不良影响，而这种不良影响则可通过本发明所提供方法进行有效地评估。

附图说明

图1本发明提出的电力系统鲁棒稳定判别方法流程图。

图2WSCC三机九节点系统。

图3单机无穷大系统稳定区域随扰动变化的情况。

图4不同扰动下三机九节点系统稳定区域的变化。

具体实施方式

本发明给出了一种改进的含不确定性时滞环节的电力系统稳定性Lyapunov鲁棒稳定判据，首先基于Krasovskii理论列解时滞系统的Lyapunov泛函，接着将泛函对系统轨迹的导函数用一组线性矩阵不等式(LMI)表达，在泛函导数推导过程中，通过引入一些必要的松散项以减少该判据的保守性，然后利用Schur补对含不确定性的扰动项进行变换。下面从电力系统时滞模型、本发明所依据的稳定判据及其证明、本发明的含不确定性时滞环节的系统判稳方法以及实施方式几个方面对本发明做进一步详述。

1电力系统时滞模型

存在时滞环节的电力系统模型可表示为：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{z}=f(z,y,z_{\mathrm{\&tau;}1},y_{\mathrm{\&tau;}1},z_{\mathrm{\&tau;}2},y_{\mathrm{\&tau;}2},...,z_{\mathrm{\&tau;m}},y_{\mathrm{\&tau;m}},p)\\ 0=g(z,y,p)\\ 0=g(z_{\mathrm{\&tau;}1},y_{\mathrm{\&tau;}1},p)\\ 0=g(z_{\mathrm{\&tau;}2},y_{\mathrm{\&tau;}2},p)\\ ......\\ 0=g(z_{\mathrm{\&tau;m}},y_{\mathrm{\&tau;m}},p)\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，z∈Rⁿ，y∈R^m和p∈R^p分别为状态变量、代数变量和分岔变量；(z_τi，y_τi)：＝[z(t-τ_i)，y(t-τ_i)]为时滞状态变量和时滞代数变量，τ_i＞0，i＝1，2，...，m为时滞常数。在平衡点(z₀，y₀)处对其线性化可得：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;}\stackrel{\&CenterDot;}{z}={\tilde{A}}_0\mathrm{\&Delta;z}+{\tilde{B}}_0\mathrm{\&Delta;y}+\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}({\tilde{A}}_{\mathrm{\&tau;i}}\mathrm{\&Delta;}{z}_{\mathrm{\&tau;i}}+{\tilde{B}}_{\mathrm{\&tau;i}}{\mathrm{\&Delta;y}}_{\mathrm{\&tau;i}})\\ 0={\tilde{C}}_0\mathrm{\&Delta;z}+{\tilde{D}}_0\mathrm{\&Delta;y}\\ 0={\tilde{C}}_{\mathrm{\&tau;}1}{\mathrm{\&Delta;z}}_{\mathrm{\&tau;}1}+{\tilde{D}}_{\mathrm{\&tau;}1}\mathrm{\&Delta;}{y}_{\mathrm{\&tau;}1}\\ 0={\tilde{C}}_{\mathrm{\&tau;}2}{\mathrm{\&Delta;z}}_{\mathrm{\&tau;}2}+{\tilde{D}}_{\mathrm{\&tau;}2}{\mathrm{\&Delta;y}}_{\mathrm{\&tau;}2}\\ ......\\ 0=C_{\mathrm{\&tau;m}}{\mathrm{\&Delta;z}}_{\mathrm{\&tau;m}}+D_{\mathrm{\&tau;m}}{\mathrm{\&Delta;y}}_{\mathrm{\&tau;m}}\end{array}\right.---\left(2\right)$

上式中： ${\tilde{A}}_0=\frac{\&PartialD;f}{\&PartialD;x}{|}_p,$ ${\tilde{B}}_0=\frac{\&PartialD;f}{\&PartialD;y}{|}_p,$ ${\tilde{C}}_0=\frac{\&PartialD;g}{\&PartialD;x}{|}_p,$ ${\tilde{D}}_0=\frac{\&PartialD;g}{\&PartialD;y}{|}_p,$ ${\tilde{A}}_{\mathrm{\&tau;i}}=\frac{\&PartialD;f}{\&PartialD;x_{\mathrm{\&tau;i}}}{|}_p,$ ${\tilde{B}}_{\mathrm{\&tau;i}}=\frac{\&PartialD;f}{\&PartialD;y_{\mathrm{\&tau;i}}}{|}_p,$ ${\tilde{C}}_{\mathrm{\&tau;i}}=\frac{\&PartialD;g}{\&PartialD;x_{\mathrm{\&tau;i}}}{|}_p,$ ${\tilde{D}}_{\mathrm{\&tau;i}}=\frac{\&PartialD;g}{{\&PartialD;y}_{\mathrm{\&tau;i}}}{|}_p,$ 当

非奇异，方程(2)可简化为：

其中：x_τi＝x(t-τ_i)＝Δz(t-τ_i)，i＝0，1，2，...，m，τ₀＝0

$A_0={\tilde{A}}_0-{\tilde{B}}_0\&CenterDot;{\tilde{D}}_0^{-1}\&CenterDot;{\tilde{C}}_0$

$A_i={\tilde{A}}_{\mathrm{\&tau;i}}-{\tilde{B}}_{\mathrm{\&tau;i}}\&CenterDot;{\tilde{D}}_{\mathrm{\&tau;i}}^{-1}\&CenterDot;{\tilde{C}}_{\mathrm{\&tau;i}},$ i＝1，2，...，m

t∈[-τ，0]为系统的初始轨迹

进一步，系统特征方程可表示为：

$\det (\mathrm{\&lambda;}\&CenterDot;I-A_0-\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{A}_i\&CenterDot;e^{-\mathrm{\&lambda;}\&CenterDot;{\mathrm{\&tau;}}_i})=0---\left(4\right)$

设C^-，C⁺，C⁰分别表示复平面的左半平面、右半平面和虚轴。令τ＝(τ₁，τ₂，...，τ_m)，则在(τ₁，τ₂，...，τ_m)空间中，向量τ确定一个方向 $\stackrel{\&RightArrow;}{k}=(k_1,k_2,...,k_m),$ 其中： $k_i=\frac{{\mathrm{\&tau;}}_i}{\left|\right|\mathrm{\&tau;}\left|\right|},$ i＝1，2，3，...，m，式中||·||为欧式范数。在该方向上的系统全部时滞向量可统一表示为：

${\mathrm{\&tau;}}_{\stackrel{\&RightArrow;}{k}}=(k_1,k_2,...,k_m)\widetilde{\mathrm{\&tau;}}---\left(5\right)$

沿

方向，从0开始逐渐增大若 $\widetilde{\mathrm{\&tau;}}<{\mathrm{\&tau;}}_{\lim ,k}$ 时，系统全部特征值位于C^-内； $\widetilde{\mathrm{\&tau;}}={\mathrm{\&tau;}}_{\lim ,k}$ 时，某一特征值λ_c位于C⁰上；而 $\widetilde{\mathrm{\&tau;}}>{\mathrm{\&tau;}}_{\lim ,k}$ 后，λ_c进入C⁺，则τ_lim，k即为方向的系统时滞稳定裕度，而时滞区间[0，τ_lim，k)对应着系统可稳定运行的区域。时滞稳定裕度曲线，构成了时滞参数空间电力系统小扰动稳定域的边界，因此，只需保证系统时滞向量位于稳定域内，即可保证系统的小扰动稳定性。

如果系统中存在着扰动，式(3)将变为如下形式：

其中，ΔA_i，i＝0，1，2，...，m为系统参数扰动项。本发明目的是利用Lyapunov稳定性理论，研究上述扰动项对系统时滞稳定裕度的影响。

2本发明提出的改进时滞依赖型鲁棒稳定判据

本发明借鉴[16]稳定判据的推导思路，给出含不确定性扰动项的时滞鲁棒稳定判据，首先给出含双时滞情况下的判据，然后将其推广应用到更一般的场景。

2.1双时滞系统鲁棒稳定判据

对于含有两个时滞扰动环节的系统，式(6)将具有如下形式：

$\left({\mathrm{\&Sigma;}}_2\right):\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)=(A_0+{\mathrm{\&Delta;A}}_0\left(t\right))x\left(t\right)+(A_1+{\mathrm{\&Delta;A}}_1\left(t\right))x(t-{\mathrm{\&tau;}}_1)\\ +(A_2+{\mathrm{\&Delta;A}}_2\left(t\right))x(t-{\mathrm{\&tau;}}_2)\\ x\left(t\right)=\mathrm{\&phi;}\left(t\right),\&ForAll;t\&Element;[-\mathrm{\&tau;},0]\end{array}\right.---\left(7\right)$

其中：τ：＝max{τ₁，τ₂}

设：[ΔA₀(t)ΔA₁(t)ΔA₂(t)]＝DF(t)[E₀ E₁ E₂](8)

F(t)∈R^k×l为非线性随机扰动矩阵，满足如下条件：

$F^T\left(t\right)F\left(t\right)\&le;I,\&ForAll;t---\left(9\right)$

则有以下定理成立。

定理1：对于式(7)所示双时滞不确定系统，当时滞常数满足条件0＜τ≤τ(τ：＝max{τ₁，τ₂})，若存在任意标量ε＞0，正定矩阵P＝P^T＞0， $Q_i=Q_i^T>0(i=\mathrm{1,2}),$ 正定半对称矩阵 $W_i=W_i^T\&GreaterEqual;0,$ $X_{\mathrm{ii}}=X_{\mathrm{ii}}^T\&GreaterEqual;0,$ $Y_{\mathrm{ii}}=Y_{\mathrm{ii}}^T\&GreaterEqual;0(i=\mathrm{1,2,3})$ 以及任意矩阵N_l，S_l，T_l(l＝1，2)和X_ij，Y_ij，Z_ij(1≤i＜j≤3)且满足如下条件，则系统就是鲁棒稳定的。

${\mathrm{\&phi;}}^{\&prime;}=\left[\begin{array}{ccccc}{\mathrm{\&phi;}}_{11}^{\&prime;}& {\mathrm{\&phi;}}_{12}^{\&prime;}& {\mathrm{\&phi;}}_{13}^{\&prime;}& {\mathrm{\&phi;}}_{14}^{\&prime;}& {\mathrm{\&phi;}}_{15}^{\&prime;}\\ *& {\mathrm{\&phi;}}_{22}^{\&prime;}& {\mathrm{\&phi;}}_{23}^{\&prime;}& {\mathrm{\&phi;}}_{24}^{\&prime;}& {\mathrm{\&phi;}}_{25}^{\&prime;}\\ *& *& {\mathrm{\&phi;}}_{33}^{\&prime;}& {\mathrm{\&phi;}}_{34}^{\&prime;}& {\mathrm{\&phi;}}_{35}^{\&prime;}\\ *& *& *& {\mathrm{\&phi;}}_{44}^{\&prime;}& {\mathrm{\&phi;}}_{45}^{\&prime;}\\ *& *& *& *& {\mathrm{\&phi;}}_{55}^{\&prime;}\end{array}\right]<0---\left(10a\right)$

${\mathrm{\&psi;}}_1=\left[\begin{array}{cccc}{X}_{11}& X_{12}& 0& N_1\\ X_{12}^T& X_{22}& 0& N_2\\ 0& 0& X_{33}& 0\\ N_1^T& N_2^T& 0& W_1\end{array}\right]\&GreaterEqual;0;---\left(10b\right)$

${\mathrm{\&psi;}}_2=\left[\begin{array}{cccc}{Y}_{11}& 0& Y_{13}& S_1\\ 0& Y_{22}& 0& 0\\ Y_{13}^T& 0& Y_{33}& S_2\\ S_1^T& 0& S_2^T& W_2\end{array}\right]\&GreaterEqual;0;---\left(10c\right)$

${\mathrm{\&psi;}}_3=\left[\begin{array}{cccc}{Z}_{11}& 0& 0& 0\\ 0& Z_{22}& Z_{23}& T_1\\ 0& Z_{23}^T& Z_{33}& T_2\\ 0& T_1^T& T_2^T& W_3\end{array}\right]\&GreaterEqual;0---\left(10d\right)$

其中

${\mathrm{\&phi;}}_{11}^{\&prime;}=P{A}_0+A_0^{T}P+Q_1+Q_2+N_1+N_1^T+S_1+S_1^T+{\mathrm{\&tau;}}_1{X}_{11}+{\mathrm{\&tau;}}_2{Y}_{11}+|{\mathrm{\&tau;}}_1-{\mathrm{\&tau;}}_2|Z_{11}+\mathrm{\&epsiv;}{E}_0^T{E}_0;$

${\mathrm{\&phi;}}_{12}^{\&prime;}={\mathrm{PA}}_1-N_1+N_2^T+{\mathrm{\&tau;}}_1{X}_{12}+\mathrm{\&epsiv;}{E}_0^T{E}_1;$

${\mathrm{\&phi;}}_{13}^{\&prime;}={\mathrm{PA}}_2-S_1+S_2^T+{\mathrm{\&tau;}}_2{Y}_{13}+\mathrm{\&epsiv;}{E}_0^T{E}_2;$

${\mathrm{\&phi;}}_{14}^{\&prime;}={\mathrm{HA}}_0^T;$

φ′₁₅＝PD；

${\mathrm{\&phi;}}_{22}^{\&prime;}=-Q_1-N_2-N_2^T-T_1-T_1^T+{\mathrm{\&tau;}}_1{X}_{22}+{\mathrm{\&tau;}}_2{Y}_{22}+|{\mathrm{\&tau;}}_1-{\mathrm{\&tau;}}_2|Z_{22}+\mathrm{\&epsiv;}{E}_1^T{E}_1;$

${\mathrm{\&phi;}}_{23}^{\&prime;}=T_1-T_1^T+|{\mathrm{\&tau;}}_1-{\mathrm{\&tau;}}_2|Z_{23}+\mathrm{\&epsiv;}{E}_1^T{E}_2;$

${\mathrm{\&phi;}}_{24}^{\&prime;}={\mathrm{HA}}_1^T;$

φ′₂₅＝0；

${\mathrm{\&phi;}}_{33}^{\&prime;}=-Q_2-S_2-S_2^T+T_2+T_2^T+{\mathrm{\&tau;}}_1{X}_{33}+{\mathrm{\&tau;}}_2{Y}_{33}+|{\mathrm{\&tau;}}_1-{\mathrm{\&tau;}}_2|Z_{33}+\mathrm{\&epsiv;}{E}_2^T{E}_2;$

${\mathrm{\&phi;}}_{34}^{\&prime;}={\mathrm{HA}}_2^T;$

φ′₃₅＝0；

φ′₄₄＝-H；

φ′₄₅＝HD；

φ′₅₅＝-εI；

H＝τ₁W₁+τ₂W₂+|τ₁-τ₂|W₃

证明：

首先考虑τ₁≥τ₂的情况.选择如下的Lyapunov-Krasovskii泛函：

$V\left(t\right)=x^T\left(t\right)\mathrm{Px}\left(t\right)+{\&Integral;}_{t-{\mathrm{\&tau;}}_1}^t{x}^T\left(s\right)Q_{1}x\left(s\right)\mathrm{ds}+{\&Integral;}_{t-{\mathrm{\&tau;}}_2}^t{x}^T\left(s\right)Q_{2}x\left(s\right)\mathrm{ds}$

$+{\&Integral;}_{t-{\mathrm{\&tau;}}_1}^0{\&Integral;}_{t+\mathrm{\&theta;}}^t{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}^T\left(s\right)W_1\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(s\right)\mathrm{dsd\&theta;}+{\&Integral;}_{t{-\mathrm{\&tau;}}_2}^0{\&Integral;}_{t+\mathrm{\&theta;}}^t{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}^T\left(s\right)W_2\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(s\right)\mathrm{dsd\&theta;}+{\&Integral;}_{t-{\mathrm{\&tau;}}_1}^{t-{\mathrm{\&tau;}}_2}{\&Integral;}_{t+\mathrm{\&theta;}}^t{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}^T\left(s\right)W_3\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(s\right)\mathrm{dsd\&theta;}---\left(11\right)$

其中P＝P^T＞0， $Q_i=Q_i^T>0(i=\mathrm{1,2})$ 为待求的正定矩阵， $W_i=W_i^T\&GreaterEqual;0(i=\mathrm{1,2,3})$ 为待求的半正定矩阵。计算V(t)的导数可得：

$\stackrel{\&CenterDot;}{V}\left(t\right)=2x^T\left(t\right)P[(A_0+{\mathrm{\&Delta;A}}_0)x\left(t\right)+(A_1+{\mathrm{\&Delta;A}}_1)x(t-{\mathrm{\&tau;}}_1)+(A_2+{\mathrm{\&Delta;A}}_2)x(t-{\mathrm{\&tau;}}_2)$

$+x^T\left(t\right)Q_{1}x\left(t\right)-x^T(t-{\mathrm{\&tau;}}_1)Q_{1}x(t-{\mathrm{\&tau;}}_1)+x^T\left(t\right)Q_{2}x\left(t\right)-x^T(t-{\mathrm{\&tau;}}_2)Q_{2}x(t-{\mathrm{\&tau;}}_2)$

$+{\mathrm{\&tau;}}_1{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}^T\left(t\right)W_{1}x\left(t\right)-{\&Integral;}_{t-{\mathrm{\&tau;}}_1}^t{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}^T\left(s\right)W_1\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(s\right)\mathrm{ds}+{\mathrm{\&tau;}}_2{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}^T\left(t\right)W_2\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)-{\&Integral;}_{t-{\mathrm{\&tau;}}_2}^t{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}^T\left(s\right)W_2\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(s\right)\mathrm{ds}$

$+({\mathrm{\&tau;}}_1-{\mathrm{\&tau;}}_2){\stackrel{\&CenterDot;}{x}}^T\left(t\right)W_3\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)-{\&Integral;}_{t-{\mathrm{\&tau;}}_1}^{t-{\mathrm{\&tau;}}_2}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}^T\left(s\right)W_3\stackrel{\&CenterDot;}{x}\mathrm{ds}---\left(12\right)$

根据Newton-Leibniz公式，对任意矩阵N_l，S_l，T_l(l＝1，2)，有如下方程成立。

$2[x^T\left(t\right)N_1+x^T(t-{\mathrm{\&tau;}}_1)N_2]\&times;[x\left(t\right)-x(t-{\mathrm{\&tau;}}_1)-{\&Integral;}_{t-{\mathrm{\&tau;}}_1}^t\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(s\right)\mathrm{ds}]=0---\left(13a\right)$

$2[x^T\left(t\right)S_1+x^T(t-{\mathrm{\&tau;}}_2)S_2]\&times;[x\left(t\right)-x(t-{\mathrm{\&tau;}}_2)-{\&Integral;}_{t-{\mathrm{\&tau;}}_2}^t\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(s\right)\mathrm{ds}]=0---\left(13b\right)$

$2[x^T(t-{\mathrm{\&tau;}}_1)T_1+x^T(t-{\mathrm{\&tau;}}_2)T_2]\&times;[x(t-{\mathrm{\&tau;}}_2)-x(t-{\mathrm{\&tau;}}_1)-{\&Integral;}_{t-{\mathrm{\&tau;}}_1}^{t-{\mathrm{\&tau;}}_2}\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(s\right)\mathrm{ds}]=0---\left(13c\right)$

此外，对于合适维数的矩阵 $W_i=W_i^T\&GreaterEqual;0,$ $X_{\mathrm{ii}}=X_{\mathrm{ii}}^T\&GreaterEqual;0,$ $Y_{\mathrm{ii}}=Y_{\mathrm{ii}}^T\&GreaterEqual;0(i=\mathrm{1,2,3})$ 和X_ij，Y_ij，Z_ij，有如下方程成立。

${\left[\begin{array}{c}x\left(t\right)\\ x(t-{\mathrm{\&tau;}}_1)\\ x(t-{\mathrm{\&tau;}}_2)\end{array}\right]}^T\left[\begin{array}{ccc}{\mathrm{\&Lambda;}}_{11}& {\mathrm{\&Lambda;}}_{12}& {\mathrm{\&Lambda;}}_{13}\\ {\mathrm{\&Lambda;}}_{12}^T& {\mathrm{\&Lambda;}}_{22}& {\mathrm{\&Lambda;}}_{23}\\ {\mathrm{\&Lambda;}}_{13}^T& {\mathrm{\&Lambda;}}_{23}^T& {\mathrm{\&Lambda;}}_{33}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\left(t\right)\\ x(t-{\mathrm{\&tau;}}_1)\\ x(t-{\mathrm{\&tau;}}_2)\end{array}\right]=0---\left(14\right)$

其中：

Λ₁₁＝τ₁(X₁₁-X₁₁)+τ₂(Y₁₁-Y₁₁)+(τ₁-τ₂)(Z₁₁-Z₁₁)

Λ₂₂＝τ₁(X₂₂-X₂₂)+τ₂(Y₂₂-Y₂₂)+(τ₁-τ₂)(Z₂₂-Z₂₂)

Λ₃₃＝τ₁(X₃₃-X₃₃)+τ₂(Y₃₃-Y₃₃)+(τ₁-τ₂)(Z₃₃-Z₃₃)

Λ₁₂＝τ₁(X₁₂-X₁₂)

Λ₁₃＝τ₂(Y₁₃-Y₁₃)

Λ₂₃＝(τ₁-τ₂)(Z₂₃-Z₂₃)

将式(13)-(14)的左边加入到

考虑到，对于r≥0和任意的f(t)有

${\&Integral;}_{t-r}^{t}f\left(t\right)\mathrm{ds}=\mathrm{rf}\left(t\right)$

经推导可得：

$\stackrel{\&CenterDot;}{V}\left(t\right)={\mathrm{\&epsiv;}}_1^T\left(t\right){\mathrm{\&phi;\&epsiv;}}_1\left(t\right)-{\&Integral;}_{t-{\mathrm{\&tau;}}_1}^t{\mathrm{\&epsiv;}}_2^T(t.s){\mathrm{\&psi;}}_1{\mathrm{\&epsiv;}}_2(t,s)\mathrm{ds}-{\&Integral;}_{t-{\mathrm{\&tau;}}_2}^t{\mathrm{\&epsiv;}}_2^T(t,s){\mathrm{\&psi;}}_2{\mathrm{\&epsiv;}}_2(t,s)\mathrm{ds}-{\&Integral;}_{t-{\mathrm{\&tau;}}_1}^{t-{\mathrm{\&tau;}}_2}{\mathrm{\&epsiv;}}_2^T(t,s){\mathrm{\&psi;}}_3{\mathrm{\&epsiv;}}_2(t,s)\mathrm{ds}---\left(15\right)$

其中：ε₁(t)＝[x^T(t)x^T(t-τ₁)x^T(t-τ₂)]^T

${\mathrm{\&epsiv;}}_2(t,s)={\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\&epsiv;}}_1^T\left(s\right)& {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}^T\left(s\right)\end{array}\right]}^T$

$\mathrm{\&phi;}=\left[\begin{array}{ccc}{\mathrm{\&phi;}}_{11}& {\mathrm{\&phi;}}_{12}& {\mathrm{\&phi;}}_{13}\\ {\mathrm{\&phi;}}_{12}^T& {\mathrm{\&phi;}}_{22}& {\mathrm{\&phi;}}_{23}\\ {\mathrm{\&phi;}}_{13}^T& {\mathrm{\&phi;}}_{23}^T& {\mathrm{\&phi;}}_{33}\end{array}\right]\&le;0;---\left(16a\right)$

${\mathrm{\&psi;}}_1=\left[\begin{array}{cccc}{X}_{11}& X_{12}& 0& N_1\\ X_{12}^T& X_{22}& 0& N_2\\ 0& 0& X_{33}& 0\\ N_1^T& N_2^T& 0& W_1\end{array}\right]\&GreaterEqual;0;---\left(16b\right)$

${\mathrm{\&psi;}}_2=\left[\begin{array}{cccc}{Y}_{11}& 0& Y_{13}& S_1\\ 0& Y_{22}& 0& 0\\ Y_{13}^T& 0& Y_{33}& S_2\\ S_1^T& 0& S_2^T& W_2\end{array}\right]\&GreaterEqual;0;---\left(16c\right)$

${\mathrm{\&psi;}}_3=\left[\begin{array}{cccc}{Z}_{11}& 0& 0& 0\\ 0& Z_{22}& Z_{23}& T_1\\ 0& Z_{23}^T& Z_{33}& T_2\\ 0& T_1^T& T_2^T& W_3\end{array}\right]\&GreaterEqual;0---\left(16d\right)$

${\mathrm{\&phi;}}_{11}=P(A_0+{\mathrm{\&Delta;A}}_0)+{(A_0+{\mathrm{\&Delta;A}}_0)}^{T}P+Q_1+Q_2+N_1+N_1^T+S_1+S_1^T+{\mathrm{\&tau;}}_1{X}_{11}+{\mathrm{\&tau;}}_2{Y}_{11}+({\mathrm{\&tau;}}_1-{\mathrm{\&tau;}}_2)Z_{11}$

$+{(A_0+{\mathrm{\&Delta;A}}_0)}^{T}H(A_0+{\mathrm{\&Delta;A}}_0)$

$=P(A_0+{\mathrm{\&Delta;A}}_0)+{(A_0+{\mathrm{\&Delta;A}}_0)}^{T}P+M_{11}+{(A_0+{\mathrm{\&Delta;A}}_0)}^{T}H(A_0+{\mathrm{\&Delta;A}}_0)$

${\mathrm{\&phi;}}_{12}=P(A_1+{\mathrm{\&Delta;A}}_1)-N_1+N_2^T+{\mathrm{\&tau;}}_1{X}_{12}+{(A_0+{\mathrm{\&Delta;A}}_0)}^{T}H(A_1+\mathrm{\&Delta;}{A}_1)$

$=P(A_1+{\mathrm{\&Delta;A}}_1)+M_{12}+{(A_0+{\mathrm{\&Delta;A}}_0)}^{T}H(A_1+{\mathrm{\&Delta;A}}_1)$

${\mathrm{\&phi;}}_{13}=P(A_2+{\mathrm{\&Delta;A}}_2)-S_1+S_2^T+{\mathrm{\&tau;}}_2{Y}_{13}+{(A_0+{\mathrm{\&Delta;A}}_0)}^{T}H(A_2+{\mathrm{\&Delta;A}}_2)$

$=P(A_2+{\mathrm{\&Delta;A}}_2)+M_{13}+{(A_0+{\mathrm{\&Delta;A}}_0)}^{T}H(A_2+{\mathrm{\&Delta;A}}_2)$

${\mathrm{\&phi;}}_{23}=T_1-T_2^T+({\mathrm{\&tau;}}_1-{\mathrm{\&tau;}}_2)Z_{23}+{(A_1+{\mathrm{\&Delta;A}}_1)}^{T}H(A_2+{\mathrm{\&Delta;A}}_2)$

$=M_{23}+{(A_1+{\mathrm{\&Delta;A}}_1)}^{T}H(A_2+{\mathrm{\&Delta;A}}_2)$

${\mathrm{\&phi;}}_{22}=-Q_1-N_2-N_2^T-T_1-T_1^T+{\mathrm{\&tau;}}_1{X}_{22}+{\mathrm{\&tau;}}_2{Y}_{22}+({\mathrm{\&tau;}}_1-{\mathrm{\&tau;}}_2)Z_{22}+{(A_1+{\mathrm{\&Delta;A}}_1)}^{T}H(A_1+{\mathrm{\&Delta;A}}_1)$

$=M_{22}+{(A_1+{\mathrm{\&Delta;A}}_1)}^{T}H(A_1+{\mathrm{\&Delta;A}}_1)$

${\mathrm{\&phi;}}_{33}=-Q_2-S_2-S_2^T+T_2+T_2^T+{\mathrm{\&tau;}}_1{X}_{33}+{\mathrm{\&tau;}}_2{Y}_{33}+({\mathrm{\&tau;}}_1-{\mathrm{\&tau;}}_2)Z_{33}+{(A_2+{\mathrm{\&Delta;A}}_2)}^{T}H(A_2+{\mathrm{\&Delta;A}}_2)$

$=M_{33}+{(A_2+{\mathrm{\&Delta;A}}_2)}^{T}H(A_2+{\mathrm{\&Delta;A}}_2)$

H＝τ₁W₁+τ₂W₂+(τ₁-τ₂)W₃

式(16a)可被重新写为

$0<\mathrm{\&phi;}=\left[\begin{array}{ccc}P(A_0+{\mathrm{\&Delta;A}}_0)+{(A_0+{\mathrm{\&Delta;A}}_0)}^{T}P+M_{11}& P(A_1+{\mathrm{\&Delta;A}}_1)+M_{12}& P(A_2+{\mathrm{\&Delta;A}}_2)+M_{13}\\ {(A_1+{\mathrm{\&Delta;A}}_1)}^{T}P+M_{12}^T& M_{22}& M_{23}\\ {(A_2+{\mathrm{\&Delta;A}}_2)}^{T}P+M_{13}^T& M_{23}^T& M_{33}\end{array}\right]$

$-\left[\begin{array}{c}H{(A_0+{\mathrm{\&Delta;A}}_0)}^T\\ H{(A_1+{\mathrm{\&Delta;A}}_1)}^T\\ H{(A_2+{\mathrm{\&Delta;A}}_2)}^T\end{array}\right][-H^{-1}]\left[\begin{array}{ccc}H(A_0+A_0)& H(A_1+A_1)& H(A_2+A_2)\end{array}\right]---\left(17\right)$

利用Schur补定理，由式(17)可以得到下式(18)成立：

$\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{PA}}_0+A_0^{T}P+M_{11}& {\mathrm{PA}}_1+M_{12}& {\mathrm{PA}}_2+M_{13}& {\mathrm{HA}}_0^T\\ A_1^{T}P+M_{12}^T& M_{22}& M_{23}& {\mathrm{HA}}_1^T\\ A_2^{T}P+M_{13}^T& M_{23}^T& M_{33}& {\mathrm{HA}}_2^T\\ {\mathrm{HA}}_0& {\mathrm{HA}}_1& {\mathrm{HA}}_2& -H\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cccc}\mathrm{P\&Delta;}{A}_0+{\left({\mathrm{\&Delta;A}}_0\right)}^{T}P& P{\mathrm{\&Delta;A}}_1& {\mathrm{P\&Delta;A}}_2& H{\left({\mathrm{\&Delta;A}}_0\right)}^T\\ {\left({\mathrm{\&Delta;A}}_1\right)}^{T}P& 0& 0& H{\left({\mathrm{\&Delta;A}}_1\right)}^T\\ {\left({\mathrm{\&Delta;A}}_2\right)}^{T}P& 0& 0& H{\left({\mathrm{\&Delta;A}}_2\right)}^T\\ \mathrm{H\&Delta;}{A}_0& \mathrm{H\&Delta;}{A}_1& \mathrm{H\&Delta;}{A}_2& 0\end{array}\right]<0---\left(18\right)$

其中，由

[ΔA₀ ΔA₁ ΔA₂]＝DF(σ)[E₀ E₁ E₂]

F(σ)F^T(σ)≤I

则式(18)还可重新写为：

$\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{PA}}_0+A_0^{T}P+M_{11}& {\mathrm{PA}}_1+M_{12}& {\mathrm{PA}}_2+M_{13}& {\mathrm{HA}}_0^T\\ A_1^{T}P+M_{12}^T& M_{22}& M_{23}& {\mathrm{HA}}_1^T\\ A_2^{T}P+M_{13}^T& M_{23}^T& M_{33}& {\mathrm{HA}}_2^T\\ {\mathrm{HA}}_0& {\mathrm{HA}}_1& {\mathrm{HA}}_2& -H\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}\mathrm{PD}\\ 0\\ 0\\ \mathrm{HD}\end{array}\right]F\left(\mathrm{\&sigma;}\right)\&times;\left[\begin{array}{cccc}{E}_0& E_1& E_2& 0\end{array}\right]$

$+\left[\begin{array}{c}{E}_0^T\\ E_1^T\\ E_2^T\\ 0\end{array}\right]F^T\left(\mathrm{\&sigma;}\right)\&times;\left[\begin{array}{cccc}{D}^{T}P& 0& 0& D^{T}H\end{array}\right]$

$\&le;\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{PA}}_0+A_0^{T}P+M_{11}& {\mathrm{PA}}_1+M_{12}& {\mathrm{PA}}_2+M_{13}& {\mathrm{HA}}_0^T\\ A_1^{T}P+M_{12}^T& M_{22}& M_{23}& {\mathrm{HA}}_1^T\\ A_2^{T}P+M_{13}^T& M_{23}^T& M_{33}& {\mathrm{HA}}_2^T\\ {\mathrm{HA}}_0& {\mathrm{HA}}_1& {\mathrm{HA}}_2& -H\end{array}\right]$

$+\mathrm{\&epsiv;}\left[\begin{array}{c}{E}_0^T\\ E_1^T\\ E_2^T\\ 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}{E}_0& E_1& E_2& 0\end{array}\right]+{\mathrm{\&epsiv;}}^{-1}\left[\begin{array}{c}\mathrm{PD}\\ 0\\ 0\\ \mathrm{HD}\end{array}\right]\&times;\left[\begin{array}{cccc}{D}^{T}P& 0& 0& D^{T}H\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{PA}}_0+A_0^{T}P& {\mathrm{PA}}_1+M_{12}& {\mathrm{PA}}_2+M_{13}& \\ & & & {\mathrm{HA}}_0^T\\ +M_{11}+{\mathrm{\&epsiv;E}}_0^T{E}_0& +{\mathrm{\&epsiv;E}}_0^T{E}_1& +\mathrm{\&epsiv;}{E}_0^T{E}_2& \\ A_1^{T}P+M_{12}^T& M_{22}& M_{23}& \\ & & & {\mathrm{HA}}_1^T\\ +{\mathrm{\&epsiv;E}}_1^T{E}_0& +{\mathrm{\&epsiv;E}}_1^T{E}_1& +{\mathrm{\&epsiv;E}}_1^T{E}_2& \\ A_2^{T}P+M_{13}^T& M_{23}^T& M_{33}& \\ & & & {\mathrm{HA}}_2^T\\ +\mathrm{\&epsiv;}{E}_2^T{E}_0& +{\mathrm{\&epsiv;E}}_2^T{E}_1& +\mathrm{\&epsiv;}{E}_2^T{E}_2& \\ {\mathrm{HA}}_0& {\mathrm{HA}}_1& {\mathrm{HA}}_2& -H\end{array}\right]+{\mathrm{\&epsiv;}}^{-1}\left[\begin{array}{c}\mathrm{PD}\\ 0\\ 0\\ \mathrm{HD}\end{array}\right]\&times;\left[\begin{array}{cccc}{D}^{T}P& 0& 0& D^{T}H\end{array}\right]<0$

再次利用Shur补定理，并且将τ₁≥τ₂和τ₁＜τ₂两种情况所得判据加以整合即可得到定理条件(10).

2.2单时滞系统鲁棒稳定判据

下面考虑系统中仅存在一个时滞环节的情况，如下定理给出了其鲁棒稳定的条件。

定理2：当m＝1，对于满足条件0＜τ≤τ的任意延时常数τ，如果存在标量ε＞0，对称正定矩阵P＝P^T＞0，Q＝Q^T＞0，对称半正定矩阵 $W_i=W_i^T\&GreaterEqual;0,$ $X_{\mathrm{ii}}=X_{\mathrm{ii}}^T\&GreaterEqual;0,$ 任意矩阵X₁₂以及N_i(i＝1，2)，满足以下不等式，则不确定时滞系统是鲁棒渐近稳定的。

$\left[\begin{array}{cccc}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&phi;}}}_{11}& {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&phi;}}}_{12}& {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&phi;}}}_{13}& {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&phi;}}}_{14}\\ {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&phi;}}}_{12}^T& {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&phi;}}}_{22}& {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&phi;}}}_{23}& {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&phi;}}}_{24}\\ {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&phi;}}}_{13}^T& {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&phi;}}}_{23}^T& {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&phi;}}}_{33}& {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&phi;}}}_{34}\\ {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&phi;}}}_{14}^T& {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&phi;}}}_{24}^T& {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&phi;}}}_{34}^T& {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&phi;}}}_{44}\end{array}\right]<0---\left(19\right)$

$\left[\begin{array}{ccc}{\stackrel{\&OverBar;}{X}}_{11}& {\stackrel{\&OverBar;}{X}}_{12}& {\stackrel{\&OverBar;}{N}}_1\\ {\stackrel{\&OverBar;}{X}}_{12}^T& {\stackrel{\&OverBar;}{X}}_{22}& {\stackrel{\&OverBar;}{N}}_2\\ {\stackrel{\&OverBar;}{N}}_1^T& {\stackrel{\&OverBar;}{N}}_2^T& \stackrel{\&OverBar;}{W}\end{array}\right]\&GreaterEqual;0---\left(20\right)$

其中

${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&phi;}}}_{11}={\mathrm{PA}}_0+A_0^{T}P+Q_1+N_1+N_1^T+{\mathrm{\&tau;}}_1{X}_{11}+{\mathrm{\&epsiv;E}}_0^T{E}_0;$

${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&phi;}}}_{12}={\mathrm{PA}}_1-N_1+N_2^T+{\mathrm{\&tau;}}_1{X}_{12}+{\mathrm{\&epsiv;E}}_0^T{E}_1$

${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&phi;}}}_{13}=\stackrel{\&OverBar;}{H}{A}_0^T;$

φ₁₄＝PD；

${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&phi;}}}_{22}=-Q_1-N_2-N_2^T+{\mathrm{\&tau;}}_1{X}_{22}+{\mathrm{\&epsiv;E}}_1^T{E}_1;$

${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&phi;}}}_{23}=\stackrel{\&OverBar;}{H}{A}_1^T;$

φ₂₄＝0；

φ₃₃＝-H；

φ₃₄＝HD；

φ₄₄＝-εI；

H＝τ₁W；

下面证明定理2是定理1中τ₁＝τ₂的一种特例。

如果将矩阵不等式(10a)的第三行和第三列分别加入到第二行和第二列中，(10a)和以下不等式是等价的

$\mathrm{\&Pi;}=\left[\begin{array}{ccccc}{\mathrm{\&Phi;}}_{11}& {\mathrm{\&Pi;}}_{12}& {\mathrm{\&Phi;}}_{13}& {\mathrm{\&Phi;}}_{14}& {\mathrm{\&Phi;}}_{15}\\ {\mathrm{\&Pi;}}_{12}^T& {\mathrm{\&Pi;}}_{22}& {\mathrm{\&Pi;}}_{23}& {\mathrm{\&Pi;}}_{24}& {\mathrm{\&Pi;}}_{25}\\ {\mathrm{\&Phi;}}_{13}^T& {\mathrm{\&Pi;}}_{23}^T& {\mathrm{\&Phi;}}_{33}& {\mathrm{\&Phi;}}_{34}& {\mathrm{\&Phi;}}_{35}\\ {\mathrm{\&Phi;}}_{14}^T& {\mathrm{\&Pi;}}_{24}^T& {\mathrm{\&Phi;}}_{34}^T& {\mathrm{\&Phi;}}_{44}& {\mathrm{\&Phi;}}_{45}\\ {\mathrm{\&Phi;}}_{15}^T& {\mathrm{\&Pi;}}_{25}^T& {\mathrm{\&Phi;}}_{35}^T& {\mathrm{\&Phi;}}_{45}^T& {\mathrm{\&Phi;}}_{55}\end{array}\right]<0---\left(21\right)$

其中

${\mathrm{\&Phi;}}_{11}={\mathrm{PA}}_0+A_0^{T}P+Q_1+Q_2+N_1+N_1^T+S_1+S_1^T+{\mathrm{\&tau;}}_1{X}_{11}+{\mathrm{\&tau;}}_2{Y}_{11}+|{\mathrm{\&tau;}}_1-{\mathrm{\&tau;}}_2|Z_{11}+A_0^T{\mathrm{HA}}_0+{\mathrm{\&epsiv;E}}_0^T{E}_0$

${\mathrm{\&Pi;}}_{12}=P(A_1+A_2)-N_1-S_1+N_2^T+S_2^T+{\mathrm{\&tau;}}_1{X}_{12}+{\mathrm{\&tau;}}_2{Y}_{13}+A_0^{T}H(A_1+A_2)+\mathrm{\&epsiv;}{E}_0^T(E_1+E_2)$

${\mathrm{\&Pi;}}_{22}=-(Q_1+Q_2)-S_2-S_2^T-N_2-N_2^T+{\mathrm{\&tau;}}_1(X_{22}+X_{33})+{\mathrm{\&tau;}}_2(Y_{22}+Y_{33})+|{\mathrm{\&tau;}}_1-{\mathrm{\&tau;}}_2|(Z_{22}+Z_{23}+Z_{23}^T+Z_{33})$

$+{(A_1+A_2)}^{T}H(A_1+A_2)+\mathrm{\&epsiv;}{(E_1+E_2)}^T(E_1+E_2)$

${\mathrm{\&Pi;}}_{23}=-Q_2-S_2-S_2^T+T_2+T_1+{\mathrm{\&tau;}}_1{X}_{33}+{\mathrm{\&tau;}}_2{Y}_{33}+|{\mathrm{\&tau;}}_1-{\mathrm{\&tau;}}_2|(Z_{23}+Z_{33})+{(A_1+A_2)}^T{\mathrm{HA}}_2+\mathrm{\&epsiv;}{(E_1+E_2)}^T{E}_2;$

П₂₄＝H(A₁+A₂)^T；

П₂₅＝0；

另外Φ₁₁，Φ₁₃，Φ₃₃和H的定义见(10a).

如果满足定理2中的线性矩阵不等式(19)和(20)，将式(21)中的A₁+A₂用A₁代替，并设P＝P，S_i＝0(i＝1，2，3)，N₁＝N₁，N₂＝N₂，N₃＝0， $Q_2=A_2^T\left(\stackrel{\&OverBar;}{H}\right)A_2,$ Q₁＝Q-Q₂，W₁＝W，W₂＝0， $T_1=Q_2-{(A_1+A_2)}^T\left(\stackrel{\&OverBar;}{H}\right)A_2-\mathrm{\&epsiv;}{E}_1^T{E}_2,$ T₃＝0，T₂＝Q₂-(A₁+A₂)^THA₂， ${\mathrm{\&epsiv;E}}_0^T{E}_2=-{\mathrm{PA}}_2-A^T\left(\stackrel{\&OverBar;}{H}\right)A_2,$ X₁₁＝X₁₁，X₁₂＝X₁₂，X₁₃＝0，X₂₂＝X₂₂，X₂₃＝0，X₃₃＝0以及Y_ij(1≤i＜j≤3)，Z_ij＝0(1≤i＜j≤3)，两者将完全相同。可见，定理1中τ₁＝τ₂的情况包含定理2。

另一方面，对于线性矩阵不等式(10b)-(10d)和(21).当令P＝P，Q＝Q₁+Q₂，W＝W₁+W₂，N₁＝N₁+S₁，N₂＝N₂+S₂，E₁＝E₁+E₂，X₁₁＝X₁₁+Y₁₁，X₂₂＝X₂₂+Y₂₂+X₃₃+Y₃₃，两者也将完全相同。可见，定理2包含了定理1中τ₁＝τ₂的情况。

综上所述，定理2与定理1中τ₁＝τ₂情况等价。□

2.3多时滞系统鲁棒稳定判据

与双时滞情况下的推导过程类似，可得到如下多时滞系统的鲁棒稳定判据。

定理3：对于满足条件0＝τ₀≤τ₁≤τ₂≤…≤τ_m的时滞常数以及任意满足0＜τ≤τ(τ：＝max{τ₁，τ₂，…，τ_m})的延时τ，如果存在任一标量ε＞0，对称正定矩阵P＝P^T＞0， $Q_i=Q_i^T>0,(i=\mathrm{1,2},...,m),$ 对称半正定矩阵

W^(ij)＝[W^(ij)]^T≥0，(0≤i＜j≤m)，任意矩阵N_l ^(ij)(l＝0，1，...，m，0≤i＜j≤m)，并且满足线性矩阵不等式(22)，不确定多延时系统(6)是鲁棒渐近稳定的。

其中：

${\mathrm{\&Xi;}}_{00}=\underset{i=0}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{Q}_i+\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}(N_0^{\left(0j\right)}+{\left[N_0^{\left(0j\right)}\right]}^T)+\underset{i=0}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=i+1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}({\mathrm{\&tau;}}_j-{\mathrm{\&tau;}}_i)X_{00}^{\left(\mathrm{ij}\right)}$

${\mathrm{\&Xi;}}_{0k}=-N_0^{\left(0k\right)}+{\left[N_0^{\left(0k\right)}\right]}^T+{\mathrm{\&tau;}}_k{X}_{0k}^{\left(0k\right)},(k=\mathrm{1,2},\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,m)$

${\mathrm{\&Xi;}}_{\mathrm{kk}}=-Q_k-\underset{i=0}{\overset{k-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}(N_k^{\left(\mathrm{ik}\right)}+{\left[N_k^{\left(\mathrm{ik}\right)}\right]}^T)+\underset{j=k+1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}(N_k^{\left(\mathrm{kj}\right)}+{\left[N_k^{\left(\mathrm{kj}\right)}\right]}^T)+\underset{i=0}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=i+1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}({\mathrm{\&tau;}}_j-{\mathrm{\&tau;}}_i)X_{\mathrm{kk}}^{\left(\mathrm{ij}\right)}(k=\mathrm{1,2},\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,m)$

${\mathrm{\&Xi;}}_{\mathrm{lk}}=N_l^{\left(\mathrm{lk}\right)}-{\left[N_l^{\left(\mathrm{lk}\right)}\right]}^T+({\mathrm{\&tau;}}_k-{\mathrm{\&tau;}}_l)X_{\mathrm{lk}}^{\left(\mathrm{lk}\right)},(l=\mathrm{1,2},\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,m,l<k\&le;m)$

$G=\underset{i=0}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=i+1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}({\mathrm{\&tau;}}_j-{\mathrm{\&tau;}}_i)W^{\left(\mathrm{ij}\right)}$

证明过程同定理1的证明，在此就不再赘述。

3.本发明的电力系统判稳方法

图1给出了本发明的判稳方法的程序流程图，该程序利用Matlab实现。每个时滞系统都可以写成如下形式：

首先输入时滞系统数据A₀，A₁，……，A_m，接着输入合适的系数矩阵D，E₀，E₁，……，E_m其次输入本发明采用的判据表达式，再次输入延时数据τ₀，τ₁，……，τ_m进行验证，如果满足判据表达式就说明在r扰动半径下点(τ₀，τ₁，……τ_m)在m+1维空间的稳定区域中，如果不满足判据表达式就说明在r扰动半径下点(τ₀，τ₁，……τ_m)不在m+1维空间的稳定区域中。最后将在稳定区域中的点描绘出来就可以得到在不同的扰动半径下的稳定区域。

4算例分析

4.1单机无穷大系统算例

单机无穷大系统模型及参数取值见[17，18]，研究D＝7.0，K_A＝180和P_m＝1.0的情况，系统只存在单一时滞，其时滞方程对应矩阵如下：

$A_0=\left[\begin{array}{cccc}0& 376.9911& 0& 0\\ -0.0963& -0.7000& -0.0801& 0\\ -0.0480& 0& -0.1667& 0.1000\\ 0& 0& 0& -1.0000\end{array}\right]---\left(23a\right)$

$A_1=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 38.0187& 0& -95.2560& 0\end{array}\right]---\left(23b\right)$

假设此时励磁放大系数存在随机扰动：

${\tilde{K}}_A=K_A+r---\left(24\right)$

其中r为一标量，反映对励磁放大系数的扰动；K_A为励磁放大系数整定值，是考虑扰动影响后的实际系数。当采用节三方法研究扰动项r对单机无穷大系统稳定性的影响时，矩阵D，E₀，E₁的取值分别为：

$D=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& r\end{array}\right]$ $E_0=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$ $E_1=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 1& 0\end{array}\right]$

在r变动时，可求得系统时滞稳定裕度结果如表1所示，同时将结果绘于图1。从中不难看到，当K_A的扰动项存在时，系统稳定运行能允许的时滞范围是减小的，并且扰动范围越大，系统能够允许的时滞范围就越小。例如：当不存在扰动时(r＝0)，系统可稳定运行的时滞区间为[0，0.0654s)；当扰动r＝1.0，即K_A取值在179～181之间变动时，系统可稳定运行的时滞区间变为[0，0.0552s)；而当扰动r＝10.0，即K_A取值在170～190之间变动时，系统可稳定运行的时滞区间变为[0，0.0180s)，稳定运行的区间被大大缩小了。由此可见，在进行广域控制器设计时，系统参数的随机扰动会对控制器的性能产生不良影响，而这种不良影响则可通过本发明所提供方法进行有效地评估。

表1单机无穷大系统鲁棒稳定性结果

r	0	0.5	1.0	1.5	2.0
						τ	0.0654	0.0570	0.0552	0.0534	0.0516
r	2.5	3.0	3.5	4.0	5.0

τ	0.0497	0.0478	0.0459	0.0439	0.0397
						r	6.0	7.0	8.0	9.0	10.0
τ	0.0353	0.0307	0.0263	0.0220	0.0180

4.2WSCC-3机9节点系统算例

采用[16]中的WSCC-3机9节点系统时滞模型(见图2)，并考虑发电机2、3均存在时滞的情况。取负荷水平2.0p.u，P_m2＝P_m3＝1.0，V_ref2＝V_ref3＝1.03的场景加以研究，系统模型和其他参数设定均同[16]，下面给出此时系统时滞方程中的相关矩阵。

$A=\left[\begin{array}{cccccccccc}0& 377& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ -0.1421& -0.0039& -0.0249& -0.1097& 0& 0.1009& 0& 0.1202& 0.0594& 0\\ -0.0096& 0& -0.2233& 0.0536& 0.1667& 0.1549& 0& 0.4965& 0.0116& 0\\ -1.8167& 0& 0.2657& -5.0227& 0& 0.9126& 0& 0.2903& 0.7403& 0\\ 0& 0& -2307.3912& 962.2607& -50.0000& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 377& 0& 0& 0\\ 0.2157& 0& 0.2061& 0.1216& 0& -0.3470& -0.0083& -0.0708& -0.2916& 0\\ 0.1444& 0& 0.3780& 0.0173& 0& -0.0057& 0& -0.1092& 0.0248& 0.1250\\ 2.3717& 0& 0.4298& 1.8275& 0& -5.5476& 0& -0.2416& -14.2578& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& -2358.2911& 829.7367& -50.0000\end{array}\right]---\left(25a\right)$

$A_1=\left[\begin{array}{cccccccccc}0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ -257.8282& 0& 161.8154& -600.5298& 0& -191.1358& 0& -1016.6381& 88.5849& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]---\left(25b\right)$

$A_2=\left[\begin{array}{cccccccccc}0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ -274.9823& 0& -879.6285& 9.6697& 0& -139.8803& 0& -43.9157& -342.2694& 0\end{array}\right]---\left(25c\right)$

同样假设励磁系统的放大系数存在随机扰动项，为简单起见，假设两发电机的扰动项变动规律相同，即：

${\tilde{K}}_{A2}=K_{A2}+r---\left(26a\right)$

${\tilde{K}}_{A3}=K_{A3}+r---\left(26b\right)$

则矩阵D，E₀，E₁，E₂的取值原则与单机无穷大系统类似，不再赘述。

表2 WSCC三机九节点系统鲁棒稳定分析结果

r	0	0.2	0.5	1.0	1.5	1.8	2.0
								θ＝0°	0.0591	0.0588	0.0584	0.0576	0.0569	0.0565	0.0562
θ＝10°	0.0477	0.0476	0.0474	0.0468	0.0465	0.0462	0.0460
								θ＝20°	0.0418	0.0418	0.0416	0.0412	0.0408	0.0407	0.0406

θ＝30°	0.0386	0.0386	0.0383	0.0379	0.0377	0.0375	0.0374
								θ＝40°	0.0371	0.0371	0.0368	0.0365	0.0361	0.0360	0.0358
θ＝45°	0.0370	0.0368	0.0366	0.0363	0.0360	0.0358	0.0356
								θ＝50°	0.0367	0.0367	0.0365	0.0361	0.0357	0.0356	0.0354
θ＝60°	0.0374	0.0374	0.0371	0.0368	0.0365	0.0362	0.0361
								θ＝70°	0.0396	0.0396	0.0393	0.0390	0.0387	0.0384	0.0382
θ＝80°	0.0439	0.0439	0.0436	0.0432	0.0428	0.0425	0.0423
								θ＝90°	0.0518	0.0516	0.0513	0.0508	0.0503	0.0500	0.0498

采用本发明方法，表2给出了考虑扰动时的计算结果，表中角度θ＝tan^-1(τ₃/τ₂)， $\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&tau;}}=\sqrt{{\mathrm{\&tau;}}_2^2+{\mathrm{\&tau;}}_3^2}.$ 图2给出了在不同扰动情况下系统稳定区域的变化曲线图。从中，我们同样可以看到，随着扰动项r数值的不断增大，系统能够稳定运行的范围在不断减小，其变化规律与单机无穷大系统是相同的。

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Claims (1)

1.一种电力系统时滞依赖型鲁棒稳定的判别方法，包括下列步骤：

(1)建立含m个不确定性时滞环节的系统模型

式中x_a＝x(t-τ_i)＝Δz(t-τ_i)，i＝0，1，2，...，m，τ₀＝0；ΔA_i，i＝0，1，2，..，m为系统参数扰动项。(2)给定一组满足条件0＝τ₀≤τ₁≤τ₂≤…≤τ_m的时滞常数以及任意满足0＜τ≤τ(τ：＝max{τ₁，τ₂，…，τ_m})的延时τ，设：[ΔA₀(t)ΔA₁(t)ΔA₂(t)…ΔA_m(t)]＝DF(t)[E₀E₁E₂…E_m]，F(t)∈R^k×l为非线性随机扰动矩阵，满足如下条件：F^T(t)F(t)≤I

按照下列的方式选择系数矩阵D，E₀，E₁，…，E_m：使得乘积项ΔA_i(t)＝DF(t)E_i与A_i对应，即矩阵A_i中等于0的项要保证乘积项ΔA_i(t)＝DF(t)E_i对应地也为0，矩阵A_i中不等于0的项要保证乘积项ΔA_i(t)＝DF(t)E_i对应地取为随机变量。(3)给定稳定判据条件：

如果存在任一标量ε＞0，对称正定矩阵P＝P^T＞0， $Q_i=Q_i^T>0,$ (i＝1，2，...，m)，对称半正定矩阵X^(ij)，W^(ij)，任意矩阵

即，

W^(ij)＝[W^(ij)]^T≥0，(0≤i＜j≤m)，并且满足下列两个线性矩阵不等式，则不确定多延时系统是鲁棒渐近稳定的：

其中：

0≤i＜j≤m

${\mathrm{\&Xi;}}_{00}=\underset{i=0}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{Q}_i+\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}(N_0^{\left(0j\right)}+{\left[N_0^{\left(0j\right)}\right]}^T)+\underset{i=0}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=i+1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}({\mathrm{\&tau;}}_j-{\mathrm{\&tau;}}_i)X_{00}^{\left(\mathrm{ij}\right)}$

${\mathrm{\&Xi;}}_{0k}=-N_0^{\left(0k\right)}+{\left[N_0^{\left(0k\right)}\right]}^T+{\mathrm{\&tau;}}_k{X}_{0k}^{\left(0k\right)},(k=\mathrm{1,2},...,m)$

${\mathrm{\&Xi;}}_{\mathrm{kk}}=-Q_k-\underset{i=0}{\overset{k-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}(N_k^{\left(\mathrm{ik}\right)}+{\left[N_k^{\left(\mathrm{ik}\right)}\right]}^T)+\underset{j=k+1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}(N_k^{\left(\mathrm{kj}\right)}+{\left[N_k^{\left(\mathrm{kj}\right)}\right]}^T)+\underset{i=0}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=i+1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}({\mathrm{\&tau;}}_j-{\mathrm{\&tau;}}_i)X_{\mathrm{kk}}^{\left(\mathrm{ij}\right)},(k=\mathrm{1,2},...,m)$

${\mathrm{\&Xi;}}_{\mathrm{lk}}=N_l^{\left(\mathrm{lk}\right)}-{\left[N_l^{\left(\mathrm{lk}\right)}\right]}^T+({\mathrm{\&tau;}}_k-{\mathrm{\&tau;}}_l)X_{\mathrm{lk}}^{\left(\mathrm{lk}\right)},(l=\mathrm{1,2},...,m,l<k\&le;m)$

$G=\underset{i=0}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=i+1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}({\mathrm{\&tau;}}_j-{\mathrm{\&tau;}}_i)W^{\left(\mathrm{ij}\right)}$

(4)利用计算软件判断在r扰动半径下时滞数据(τ₀，τ₁，……τ_m)是否满足步骤(3)给出的判据表达式，若满足，则可判定在r扰动半径下含时滞数据为(τ₀，τ₁，……τ_m)的不确定多延时系统是鲁棒渐近稳定的。

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