CN101350523A - 一种多时滞电力系统稳定的判别方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于电力系统技术领域，涉及一种时滞判稳方法，该方法利用Lyapunov稳定判据的思想，首先选择出合适的Lyapunov泛函，通过Leibniz－Newton公式及松弛化等手段，转换为一组线性矩阵不等式(LMI)加以求解；同时，剔除掉推导过程中产生的冗余项，从而得到稳定判据。本发明计算过程中的待求量大大减少，运行效率也相应地提高，而且，时滞环节广泛存在于各种系统中，因此本发明适用于各种含有延时的环境。

Description

一种多时滞电力系统稳定的判别方法

技术领域

本发明属于电力系统技术领域，涉及一种时滞判稳方法。

背景技术

时滞现象广泛存在于电力系统各个环节，但传统控制信号主要取自本地量测装置，时滞很小而通常不予考虑^[3]。但在广域控制情况下，量测环节的时滞非常明显，因此研究时滞环节对电力系统稳定性的影响，具有十分重要的现实意义。

人们很早就开展了对时滞动力系统稳定性的研究，上世纪50年代提出的Smith预估理论^[4]，可以完全消除系统传递函数中已知的固定时滞，从而将之简化为一般系统加以考虑；而对于线性固定时滞系统，上世纪80年代就已形成较完整的稳定分析理论^[2，4]。但当时滞并非固定常数时，上述方法将难以奏效。而采用Lyapunov稳定性理论研究时滞系统稳定性，则不受此限制，因此寻求科学的Lyapunov时滞稳定判据，就成为近年来这一领域的研究热点。时滞系统Lyapunov稳定分析方法主要分为基于Razumikhin理论和基于Krasovskii理论的两类^[4-5]，前者因缺乏列解Lyapunov函数的有效方法，而逐渐被后者所取代。基于Krasovskii理论的方法，进一步可细分为时滞依赖型和时滞独立型，前者所给判据，要求系统对部分时滞常数保持稳定；而后者则要求系统在时滞存在时均稳定，即系统稳定性不依赖于时滞的大小，一般具有较大保守性。由于基于Lyapunov理论的稳定判据，只给出时滞系统稳定的充分条件，方法本身存在一定保守性，因此近年来的研究多集中在如何降低Lyapunov时滞稳定判据的保守性上^[6-12]。[11]通过在单时滞稳定判据推导过程中加入松散项以降低方法的保守性，收到很好效果，文献[12]将之推广应用到多时滞系统，形成所谓的自由权矩阵(Free Weighting Matrix)方法，但由于引入大量松散项，方法计算效率受到很大影响。

发明内容

本发明的目的是克服现有方法的上述不足，给出了一种保守性小且运行效率高的时滞依赖判稳方法。采用本发明的判稳方法，可使得系统能够保持目前判稳方法中公认的最小的保守性，同时使得系统的运行速度约为利用现有的自由权矩阵方法的运行速度的3倍。为此，本发明采用如下的技术方案：

一种多时滞电力系统稳定的判别方法，包括下列步骤：

(1)建立含m个时滞环节的系统模型

式中

x_τi＝x(t-τ_i)＝Δz(t-τ_i)，i＝0，1，2，…，m，τ₀＝0；

(2)给定一组(τ₀，τ₁，……τ_m)；

(3)给定稳定判据条件：

a.矩阵P和Q_i(i＝1，2，…，m)为正定对称矩阵，矩阵X^(ij)和W^(ij)(0≤i＜j≤m)为对称半正定矩阵，其中

N_i ^(ij)，N_j ^(ij)(0≤i＜j≤m)为任意矩阵，

其中， ${\mathrm{\Λ}}_{00}={\mathrm{PA}}_0+A_0^{T}P+\underset{i=0}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{Q}_i+\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}(N_0^{\left(0j\right)}+{\left[N_0^{\left(0j\right)}\right]}^T)+A_0^T{\mathrm{GA}}_0+\underset{i=0}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=i+1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}({\mathrm{\τ}}_j-{\mathrm{\τ}}_i)X_{00}^{\left(\mathrm{ij}\right)},$

${\mathrm{\Λ}}_{0k}={\mathrm{PA}}_k-N_0^{\left(0k\right)}+{\left[N_0^{\left(0k\right)}\right]}^T+A_0^T{\mathrm{GA}}_k+{\mathrm{\τ}}_k{X}_{0k}^{\left(0k\right)},(k=\mathrm{1,2},\·\·\·,m)$

${\mathrm{\Λ}}_{\mathrm{kk}}=-Q_k-\underset{l=0}{\overset{k-1}{\mathrm{\Σ}}}(N_k^{\left(\mathrm{ik}\right)}+{\left[{\stackrel{\·}{N}}_k^{\left(\mathrm{ik}\right)}\right]}^T)+\underset{j=k+1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}(N_k^{\left(\mathrm{kj}\right)}+[{N_k^{\left(\mathrm{kj}\right)}}^T\left]\right)+A_k^T{\mathrm{GA}}_k+\underset{i=0}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=i+1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}({\mathrm{\τ}}_j-{\mathrm{\τ}}_i)X_{\mathrm{kk}}^{\left(\mathrm{ij}\right)},(k=\mathrm{1,2},\·\·\·,m)$

${\mathrm{\&Lambda;}}_{\mathrm{lk}}=N_l^{\left(\mathrm{lk}\right)}-{\left[N_l^{\left(\mathrm{lk}\right)}\right]}^T+A_l^T{\mathrm{GA}}_k+({\mathrm{\&tau;}}_k-{\mathrm{\&tau;}}_l)X_{\mathrm{lk}}^{\left(\mathrm{lk}\right)},(l=\mathrm{1,2},\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,m,l<k\&le;m)$

$G=\underset{i=0}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=i+1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}({\mathrm{\&tau;}}_j-{\mathrm{\&tau;}}_i)W^{\left(\mathrm{ij}\right)},0\&le;i<j\&le;m;$

(4)利用计算软件判断时滞数据(τ₀，τ₁，……τ_m)是否满足步骤(3)给出的判据表达式，若满足，则判定(τ₀，τ₁，……τ_m)在m+1维空间的稳定区域中，否则，则判定(τ₀，τ₁，……τ_m)不在m+1维空间的稳定区域中。

本发明的实质性特点是：利用Lyapunov稳定判据的思想，首先选择出合适的Lyapunov泛函，在具体过程中通过Leibniz-Newton公式及松弛化等手段，转换为一组线性矩阵不等式(LMI)加以求解；同时，剔除掉推导过程中产生的冗余项，得到含时滞环节的电力系统稳定判据，基于该判据，利用MATLAB形成判稳方法。本发明将冗余项去掉，计算过程中的待求量大大减少，运行效率也相应地提高，克服了原有的自由权矩阵为了降低保守性以牺牲运算效率为代价的弊端。而且，由于时滞环节广泛存在于各种系统中，因此本发明适用于各种含有延时的环境。

附图说明

图1本发明提出的电力系统稳定判别方法流程图。

图2WSCC三机九节点系统。

具体实施方式

本发明利用Leibniz-Newton公式及松弛化等手段来降低多时滞电力系统稳定判别方法的保守性，通过剔除方法推导过程中产生的冗余项来提高系统的运行效率。下面从电力系统时滞模型、本发明所依据的稳定判据及其证明、本发明的含时滞环节的系统判稳方法以及实施例几个方面对本发明做进一步详述。

1.电力系统时滞模型

存在时滞环节的电力系统模型可表示为：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{z}=f(z,y,z_{\mathrm{\&tau;}1},y_{\mathrm{\&tau;}1},z_{\mathrm{\&tau;}2},y_{\mathrm{\&tau;}2},...,z_{\mathrm{\&tau;m}},y_{\mathrm{\&tau;m}},p)\\ 0=g(z,y,p)\\ 0=g(z_{\mathrm{\&tau;}1},y_{\mathrm{\&tau;}1},p)\\ 0=g(z_{\mathrm{\&tau;}2},y_{\mathrm{\&tau;}2},p)\\ \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\\ 0=g(z_{\mathrm{\&tau;m}},y_{\mathrm{\&tau;m}},p)\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，z∈Rⁿ，y∈R^m和p∈R^p分别为状态变量、代数变量和分岔变量；(z_τi，y_τi)：＝[z(t-τ_i)，y(t-τ_i)]为时滞状态变量和时滞代数变量，τ_i＞0，i＝1，2，…，m为时滞常数。在平衡点(z₀，y₀)处对其线性化可得：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;}\stackrel{\&CenterDot;}{z}={\tilde{A}}_0\mathrm{\&Delta;z}+{\tilde{B}}_0\mathrm{\&Delta;y}+\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}({\tilde{A}}_{\mathrm{\&tau;}1}{\mathrm{\&Delta;z}}_{\mathrm{\&tau;}1}+{\tilde{B}}_{\mathrm{\&tau;}1}{\mathrm{\&Delta;y}}_{\mathrm{\&tau;}1})\\ 0={\tilde{C}}_0\mathrm{\&Delta;z}+{\tilde{D}}_0\mathrm{\&Delta;y}\\ 0={\tilde{C}}_{\mathrm{\&tau;}1}{\mathrm{\&Delta;z}}_{\mathrm{\&tau;}1}+{\tilde{D}}_{\mathrm{\&tau;}1}{\mathrm{\&Delta;y}}_{\mathrm{\&tau;}1}\\ 0={\tilde{C}}_{\mathrm{\&tau;}2}{\mathrm{\&Delta;z}}_{\mathrm{\&tau;}2}+{\tilde{D}}_{\mathrm{\&tau;}2}\mathrm{\&Delta;}{y}_{\mathrm{\&tau;}2}\\ \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;\\ 0=C_{\mathrm{\&tau;m}}{\mathrm{\&Delta;z}}_{\mathrm{\&tau;m}}+D_{\mathrm{\&tau;m}}{\mathrm{\&Delta;y}}_{\mathrm{\&tau;m}}\end{array}\right.---\left(2\right)$

上式中： ${\tilde{A}}_0=\frac{\&PartialD;f}{\&PartialD;x}{|}_p,$ ${\tilde{B}}_0=\frac{\&PartialD;f}{\&PartialD;y}{|}_p,$ ${\tilde{C}}_0=\frac{\&PartialD;g}{\&PartialD;x}{|}_p,$ ${\tilde{D}}_0=\frac{\&PartialD;g}{\&PartialD;y}{|}_p,$ ${\tilde{A}}_{\mathrm{\&tau;i}}=\frac{\&PartialD;f}{\&PartialD;x_{\mathrm{\&tau;i}}}{|}_p,$ ${\tilde{B}}_{\mathrm{\&tau;i}}=\frac{\&PartialD;f}{\&PartialD;y_{\mathrm{\&tau;i}}}{|}_p,$ ${\tilde{C}}_{\mathrm{\&tau;i}}=\frac{\&PartialD;g}{\&PartialD;x_{\mathrm{\&tau;i}}}{|}_p,$ ${\tilde{D}}_{\mathrm{\&tau;i}}=\frac{\&PartialD;g}{\&PartialD;y_{\mathrm{\&tau;i}}}{|}_p,$

当

非奇异，方程(10)可简化为：

其中：x_τi＝x(t-τ_i)＝Δz(t-τ_i)，i＝0，1，2，…，m，τ₀＝0

$A_0={\tilde{A}}_0-{\tilde{B}}_0\&CenterDot;{\tilde{D}}_0^{-1}\&CenterDot;{\tilde{C}}_0$

$A_i={\tilde{A}}_{\mathrm{\&tau;i}}-{\tilde{B}}_{\mathrm{\&tau;i}}\&CenterDot;{\tilde{D}}_{\mathrm{\&tau;i}}^{-1}\&CenterDot;{\tilde{C}}_{\mathrm{\&tau;i}},i=\mathrm{1,2},...,m$

为系统的初始轨迹。

进一步，系统特征方程可表示为：

$\det (\mathrm{\&lambda;}\&CenterDot;I-A_0-\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{A}_i\&CenterDot;e^{-\mathrm{\&lambda;}\&CenterDot;{\mathrm{\&tau;}}_i})=0---\left(4\right)$

设C^-，C⁺，C⁰分别表示复平面的左半平面、右半平面和虚轴，并令τ＝(τ₁，τ₂，…，τ_m)，则在(τ₁，τ₂，…，τ_m)空间中，向量τ确定一个方向 $\stackrel{\&RightArrow;}{k}=(k_1,k_2,...,k_m),$ 其中： $k_i=\frac{{\mathrm{\&tau;}}_i}{\left|\right|\mathrm{\&tau;}\left|\right|},i=\mathrm{1,2,3},...,m,$ 式中||·||为欧式范数。在该方向上的系统全部时滞向量可统一表示为：

${\mathrm{\&tau;}}_{\stackrel{\&RightArrow;}{k}}=(k_1,k_2,...,k_m)\widetilde{\mathrm{\&tau;}}---\left(5\right)$

沿方向，从0开始逐渐增大

，若 $\widetilde{\mathrm{\&tau;}}<{\mathrm{\&tau;}}_{\lim ,k}$ 时，系统全部特征值位于C^-内； $\widetilde{\mathrm{\&tau;}}={\mathrm{\&tau;}}_{\lim ,k}$ 时，某一特征值λ_c位于C⁰上；而 $\widetilde{\mathrm{\&tau;}}>{\mathrm{\&tau;}}_{\lim ,k}$ 后，λ_c进入C⁺，则τ_lim，k即为

方向的系统时滞稳定裕度，而时滞区间[0，τ_lim，k)对应着系统可稳定运行的区域。本发明利用Lyapunov稳定性理论，确定时滞系统的时滞稳定裕度和可以稳定运行的时滞区间。

2.Lyapunov-Krasovskii稳定判别方法

Lyapunov-Krasovskii定理是时滞依赖型稳定判据的基础，是Lyapunov稳定判据的一种简化形式，该定理指出若时滞系统存在一个有界正定函数V(t，x(t，τ))，且沿时滞系统轨迹的导函数负定，则系统稳定。对于式(3)所示线性定常时滞系统，此时意味着系统全部特征值位于C^-内^[4]。因采用该定理列解的Lyapunov函数与时滞系统轨迹相关，属泛函范畴，因此该方法常被称为Lyapunov-Krasovskii泛函分析法，其判稳条件可通过Leibniz-Newton公式及松弛化等手段，转换为一组线性矩阵不等式(LMI)加以求解。近年来，寻求保守性更小的时滞依赖型稳定判据成为这一领域研究的热点。

本发明提出的稳定判据是将文献[11]单时滞Lyapunov稳定判据的思想推广应用到多时滞系统，通过引进必要的松散项，一方面达到减少稳定判据保守性的目的；另一方面，与[12]自由权矩阵方法相比，尽可能减少待求变量数以提高算法计算效率。

3.本发明提出的双时滞系统稳定判据

对于含有两个时滞环节的系统(双时滞系统)，式(3)将具有如下形式：

下面给出了双时滞系统的稳定判据：

对于式(6)所示双时滞系统，如果存在对称正定矩阵P和Q_l(l＝1，2)，对称半正定矩阵W_i，X_ii，Y_ii，Z_ii(i＝1，2，3)，任意矩阵N_l，S_l，T_l，(l＝1，2)和X_ij，Y_ij，Z_ij，(1≤i＜j≤3)，且满足如下条件，则系统渐近稳定：

$\mathrm{\&phi;}=\left[\begin{array}{ccc}{\mathrm{\&phi;}}_{11}& {\mathrm{\&phi;}}_{12}& {\mathrm{\&phi;}}_{13}\\ {\mathrm{\&phi;}}_{12}^T& {\mathrm{\&phi;}}_{22}& {\mathrm{\&phi;}}_{23}\\ {\mathrm{\&phi;}}_{13}^T& {\mathrm{\&phi;}}_{23}^T& {\mathrm{\&phi;}}_{33}\end{array}\right]<0---\left(7a\right)$

${\mathrm{\&psi;}}_1=\left[\begin{array}{cccc}{X}_{11}& X_{12}& 0& N_1\\ X_{12}^T& X_{22}& 0& N_2\\ 0& 0& X_{33}& 0\\ N_1^T& N_2^T& 0& W_1\end{array}\right]\&GreaterEqual;0---\left(7b\right)$

${\mathrm{\&psi;}}_2=\left[\begin{array}{cccc}{Y}_{11}& 0& Y_{13}& S_1\\ 0& Y_{22}& 0& 0\\ Y_{13}^T& 0& Y_{33}& S_2\\ S_1^T& 0& S_2^T& W_2\end{array}\right]\&GreaterEqual;0---\left(7c\right)$

${\mathrm{\&psi;}}_3=\left[\begin{array}{cccc}{Z}_{11}& 0& 0& 0\\ 0& Z_{22}& Z_{23}& {\mathrm{kT}}_1\\ 0& Z_{23}^T& Z_{33}& {\mathrm{kT}}_2\\ 0& k{T}_1^T& k{T}_2^T& W_3\end{array}\right]\&GreaterEqual;0---\left(7d\right)$

其中：

$k=\left\{\begin{array}{cc}1;& \mathrm{if}{\mathrm{\&tau;}}_1\&GreaterEqual;{\mathrm{\&tau;}}_2\\ -1;& \mathrm{if}{\mathrm{\&tau;}}_1<{\mathrm{\&tau;}}_2\end{array}\right.$

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\&phi;}}_{11}={\mathrm{PA}}_0+A_0^{T}P+Q_1+Q_2+N_1+N_1^T+S_1+S_1^T& +A_0^T{\mathrm{HA}}_0+{\mathrm{\&tau;}}_1{X}_{11}+{\mathrm{\&tau;}}_2{Y}_{11}+|{\mathrm{\&tau;}}_1-{\mathrm{\&tau;}}_2|Z_{11}\end{array}$

${\mathrm{\&phi;}}_{12}={\mathrm{PA}}_1-N_1+N_2^T+A_0^T{\mathrm{HA}}_1+{\mathrm{\&tau;}}_1{X}_{12}$

${\mathrm{\&phi;}}_{13}={\mathrm{PA}}_2+S_2^T-S_1+A_0^T{\mathrm{HA}}_2+{\mathrm{\&tau;}}_2{Y}_{13}$ ${\mathrm{\&phi;}}_{22}=-Q_1-N_2-N_2^T-T_1-T_1^T+A_1^T{\mathrm{HA}}_1+{\mathrm{\&tau;}}_1{X}_{22}$

$+{\mathrm{\&tau;}}_2{Y}_{22}+|{\mathrm{\&tau;}}_1-{\mathrm{\&tau;}}_2|Z_{22}$

${\mathrm{\&phi;}}_{23}=T_1-T_2^T+A_1^T{\mathrm{HA}}_2+|{\mathrm{\&tau;}}_1-{\mathrm{\&tau;}}_2|Z_{23}$

${\mathrm{\&phi;}}_{33}=\begin{array}{cc}-Q_2-S_2-S_2^T+T_2+T_2^T+A_2^T{\mathrm{HA}}_2+{\mathrm{\&tau;}}_1{X}_{33}& +{\mathrm{\&tau;}}_2{Y}_{33}+|{\mathrm{\&tau;}}_1-{\mathrm{\&tau;}}_2|Z_{33}\end{array}$

$H={\mathrm{\&tau;}}_1{W}_1+{\mathrm{\&tau;}}_2{W}_2+|{\mathrm{\&tau;}}_1-{\mathrm{\&tau;}}_2|W_3$

证明：首先考虑τ₁≥τ₂的情况，依据Lyapunov-Krasovskii定理，选择如下Lyapunov泛函：

V(t)＝V₁(t)+V₂(t)+V₃(t)(8)

其中：

V₁(t)＝x^T(t)Px(t)

$V_2\left(t\right)={\&Integral;}_{t-{\mathrm{\&tau;}}_1}^t{x}^T\left(s\right)Q_{1}x\left(s\right)\mathrm{ds}+{\&Integral;}_{t-{\mathrm{\&tau;}}_2}^t{x}^T\left(s\right)Q_{2}x\left(s\right)\mathrm{ds}$

$V_3\left(t\right)={\&Integral;}_{-{\mathrm{\&tau;}}_1}^0{{\&Integral;}_{t+\mathrm{\&theta;}}^t\stackrel{\&CenterDot;}{x}}^T\left(s\right)W_1\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(s\right)\mathrm{dsd\&theta;}+{\&Integral;}_{-{\mathrm{\&tau;}}_2}^0{\&Integral;}_{t+\mathrm{\&theta;}}^t{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}^T\left(s\right)W_2\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(s\right)\mathrm{dsd\&theta;}$

$+{\&Integral;}_{-{\mathrm{\&tau;}}_1}^{-{\mathrm{\&tau;}}_2}{\&Integral;}_{t+\mathrm{\&theta;}}^t{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}^T\left(s\right)W_3\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(s\right)\mathrm{dsd\&theta;}$

其中P，Q_l(l＝1，2)为待求正定矩阵，W_i(i＝1，2，3)为待求半正定矩阵，分别对V₁(t)~V₃(t)求导数：

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_1\left(t\right)={2x}^T\left(t\right)P[A_{0}x\left(t\right)+A_{1}x(t-{\mathrm{\&tau;}}_1)+A_{2}x(t-{\mathrm{\&tau;}}_2)]$

将如下Newton-Leibniz公式代入上式：

$x(t-{\mathrm{\&tau;}}_1)=x\left(t\right)-{\&Integral;}_{t-{\mathrm{\&tau;}}_1}^t\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(s\right)\mathrm{ds}$

$=x(t-{\mathrm{\&tau;}}_2)-{\&Integral;}_{t-{\mathrm{\&tau;}}_1}^{t-{\mathrm{\&tau;}}_2}\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(s\right)\mathrm{ds}---\left(9\right)$

$x(t-{\mathrm{\&tau;}}_2)=x\left(t\right)-{\&Integral;}_{t-{\mathrm{\&tau;}}_2}^t\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(s\right)\mathrm{ds}---\left(10\right)$

并在

推导过程中引入松散项N_l，S_l，T_l，(l＝1，2)和X_ij，Y_ij，Z_ij(1≤i≤j≤3)，整理可得：

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_1\left(t\right)=x^T\left(t\right)[{\mathrm{PA}}_0+A_0^{T}P+N_1+N_1^T+S_1+S_1^T$

$+{\mathrm{\&tau;}}_1{X}_{11}+{\mathrm{\&tau;}}_2{Y}_{11}+({\mathrm{\&tau;}}_1-{\mathrm{\&tau;}}_2)Z_{11}]x\left(t\right)$

$+2x^T\left(t\right)[{\mathrm{PA}}_1-N_1+{N_2}^T+{\mathrm{\&tau;}}_1{X}_{12}]x(t-{\mathrm{\&tau;}}_1)$

$=x^T(t-{\mathrm{\&tau;}}_1)[-N_2-{N_2}^T-T_1-{T_1}^T+{\mathrm{\&tau;}}_1{X}_{22}$

$+{\mathrm{\&tau;}}_2{Y}_{22}+({\mathrm{\&tau;}}_1-{\mathrm{\&tau;}}_2)Z_{22}]x(t-{\mathrm{\&tau;}}_1)$

$+x^T(t-{\mathrm{\&tau;}}_2)[-S_2-{S_2}^T+T_2+{T_2}^T+{\mathrm{\&tau;}}_1{X}_{33}$

$+{\mathrm{\&tau;}}_2{Y}_{33}+({\mathrm{\&tau;}}_1-{\mathrm{\&tau;}}_2)Z_{33}]x(t-{\mathrm{\&tau;}}_2)$

$+{2x}^T(t-{\mathrm{\&tau;}}_1)[T_1-{T_2}^T+({\mathrm{\&tau;}}_1-{\mathrm{\&tau;}}_2)Z_{23}]x(t-{\mathrm{\&tau;}}_2)$

$+{2x}^T\left(t\right)({\mathrm{PA}}_2-S_1+S_2^T+{\mathrm{\&tau;}}_2{Y}_{13})x(t-{\mathrm{\&tau;}}_2)$

$-{\&Integral;}_{t-{\mathrm{\&tau;}}_1}^t[x^T\left(t\right)\left({2N}_1\right)\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(s\right)+x^T(t-{\mathrm{\&tau;}}_1)\left({2N}_2\right)\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(s\right)$

$+x^T\left(t\right)\left(X_{11}\right)x\left(t\right)+x^T(t-{\mathrm{\&tau;}}_1)\left(X_{22}\right)x(t-{\mathrm{\&tau;}}_1)$

$+x^T(t-{\mathrm{\&tau;}}_2)\left(X_{33}\right)x(t-{\mathrm{\&tau;}}_2)$

$+x^T\left(t\right)\left({2X}_{12}\right)x(t-{\mathrm{\&tau;}}_1)]\mathrm{ds}$

$-{\&Integral;}_{t-{\mathrm{\&tau;}}_2}^t[x^T\left(t\right)\left({2S}_1\right)\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(s\right)+x^T(t-{\mathrm{\&tau;}}_2)\left({2S}_2\right)\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(s\right)$

$+x^T\left(t\right)\left(Y_{11}\right)x\left(t\right)+x^T(t-{\mathrm{\&tau;}}_1)\left(Y_{22}\right)x(t-{\mathrm{\&tau;}}_1)$

$+x^T(t-{\mathrm{\&tau;}}_2)\left(Y_{33}\right)x(t-{\mathrm{\&tau;}}_2)+x^T\left(t\right)\left({2Y}_{13}\right)x(t-{\mathrm{\&tau;}}_2)]\mathrm{ds}$

$-{\&Integral;}_{t-{\mathrm{\&tau;}}_1}^{t-{\mathrm{\&tau;}}_2}[x^T(t-{\mathrm{\&tau;}}_1)\left({2T}_1\right)\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(s\right)+x^T\left(t\right)\left(Z_{11}\right)x\left(t\right)$

$\begin{array}{cc}+x^T(t-{\mathrm{\&tau;}}_2)\left({2T}_2\right)\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(s\right)+x^T(t-{\mathrm{\&tau;}}_1)\left(Z_{22}\right)x(t-{\mathrm{\&tau;}}_1)& +x^T(t-{\mathrm{\&tau;}}_2)\left(Z_{23}\right)x(t-{\mathrm{\&tau;}}_2)\end{array}$

$+x^T(t-{\mathrm{\&tau;}}_1)\left({2Z}_{23}\right)x(t-{\mathrm{\&tau;}}_2)]\mathrm{ds}---\left(11\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_2\left(t\right)=x^T\left(t\right)Q_{1}x\left(t\right)-x^T(t-{\mathrm{\&tau;}}_1)Q_{1}x(t-{\mathrm{\&tau;}}_1)$

$+x^T\left(t\right)Q_{2}x\left(t\right)-x^T(t-{\mathrm{\&tau;}}_2)Q_{2}x(t-{\mathrm{\&tau;}}_2)---\left(12\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_3\left(t\right)={\mathrm{\&tau;}}_1{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}^T\left(t\right)W_1\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)-{\&Integral;}_{t-{\mathrm{\&tau;}}_1}^t{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}^T\left(s\right)W_1\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(s\right)\mathrm{ds}$

$+{\mathrm{\&tau;}}_2{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}^T\left(t\right)W_2\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)-{\&Integral;}_{t-{\mathrm{\&tau;}}_2}^t{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}^T\left(s\right)W_2\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(s\right)\mathrm{ds}$

$+({\mathrm{\&tau;}}_1-{\mathrm{\&tau;}}_2){\stackrel{\&CenterDot;}{x}}^T\left(t\right)W_3\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)$

$-{\&Integral;}_{t-{\mathrm{\&tau;}}_1}^{t-{\mathrm{\&tau;}}_2}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}^T\left(s\right)W_3\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(s\right)\mathrm{ds}---\left(13\right)$

进一步，将 $\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)=A_{0}x\left(t\right)+A_{1}x(t-{\mathrm{\&tau;}}_1)+A_{2}x(t-{\mathrm{\&tau;}}_2)$ 代入(13)式，并对式(11)-(13)进行整理，同时注意 ${\&Integral;}_{t-\mathrm{\&tau;}}^{t}f\left(t\right)\mathrm{ds}=\mathrm{\&pi;f}\left(t\right)$ 条件，经整理可得：

$\stackrel{\&CenterDot;}{V}\left(t\right)={\mathrm{\&epsiv;}}_1^T\left(t\right){\mathrm{\&phi;\&epsiv;}}_1\left(t\right)$

$-{\&Integral;}_{t-{\mathrm{\&tau;}}_1}^t{\mathrm{\&epsiv;}}_2^T(t,s){\mathrm{\&psi;}}_1{\mathrm{\&epsiv;}}_2(t,s)\mathrm{ds}$

$-{\&Integral;}_{t-{\mathrm{\&tau;}}_2}^t{\mathrm{\&epsiv;}}_2^T(t,s){\mathrm{\&psi;}}_2{\mathrm{\&epsiv;}}_2(t,s)\mathrm{ds}$

$-{\&Integral;}_{t-{\mathrm{\&tau;}}_1}^{t-{\mathrm{\&tau;}}_2}{\mathrm{\&epsiv;}}_2^T(t,s){\mathrm{\&psi;}}_1{\mathrm{\&epsiv;}}_2(t,s)\mathrm{ds}---\left(14\right)$

其中：

ε₁(t)＝[x^T(t)，x^T(t-τ₁)，x^T(t-τ₂)]^T

${\mathrm{\&epsiv;}}_2(t,s)={[{\mathrm{\&epsiv;}}_1^T\left(t\right),{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}^T\left(s\right)]}^T$

不难看出，式(14)若满足φ＜0，ψ_i≥0(i＝1，2，3)，则对于任意的ε₁(t)≠0总有 $\stackrel{\&CenterDot;}{V}\left(t\right)<0,$ 根据Lyapunov稳定性理论可知，此时系统(6)是渐近稳定的。而对于τ₁＜τ₂的情况，Lyapunov泛函需改为：

$V\left(t\right)=x^T\left(t\right)\mathrm{Px}\left(t\right)+{\&Integral;}_{t-{\mathrm{\&tau;}}_1}^t{x}^T\left(s\right)Q_{1}x\left(s\right)\mathrm{ds}$

$+{\&Integral;}_{t-{\mathrm{\&tau;}}_2}^t{x}^T\left(s\right)Q_{2}x\left(s\right)\mathrm{ds}+{\&Integral;}_{-{\mathrm{\&tau;}}_1}^0{\&Integral;}_{t+\mathrm{\&theta;}}^t{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}^T\left(s\right)W_1\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(s\right)\mathrm{dsd\&theta;}$

$+{\&Integral;}_{-{\mathrm{\&tau;}}_2}^0{\&Integral;}_{t+\mathrm{\&theta;}}^t{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}^T\left(s\right)W_2\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(s\right)\mathrm{dsd\&theta;}$

$+{\&Integral;}_{-{\mathrm{\&tau;}}_2}^{-{\mathrm{\&tau;}}_1}{\&Integral;}_{t+\mathrm{\&theta;}}^t{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}^T\left(s\right)W_3\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(s\right)\mathrm{dsd\&theta;}---\left(15\right)$

具体稳定判据的推导过程与τ₁≥τ₂类似，在此略去。将τ₁≥τ₂和τ₁＜τ₂两种情况所得判据加以整合，即得式(7)所示结果，定理得证。□

与文献[12]的不同之处在于，本发明提出的稳定判据较[12]方法引入了更少的松弛变量，表现在式(7)线性矩阵不等式中的ψ₁~ψ₃存在较多的零项，此外φ矩阵的待求变量数也有相应减少。

5.本发明提出的多时滞系统稳定判据

多时滞系统稳定判据的推导过程和双时滞系统稳定的判别方法的推导过程类似，在此不再赘述，只给出最后的结果：

对于式(3)含有m个时滞环节的系统，为研究方便，假设时滞常数满足：

0＝τ₀≤τ₁≤τ₂≤…≤τ_m    (16)

则给出系统(3)的时滞稳定判据：

对于含m个时滞的系统(3)，当时滞常数满足式(16)且满足如下条件时，系统渐近稳定：存在正定对称矩阵P和Q_i(i＝1，2，…，m)，对称半正定矩阵X^(ij)和W^(ij)(0≤i＜j≤m)，其中：

以及任意矩阵N_i ^(ij)，N_j ^(ij)(0≤i＜j≤m)满足以下矩阵不等式：

其中：

0≤i＜j≤m

${\mathrm{\&Lambda;}}_{00}={\mathrm{PA}}_0+A_0^{T}P+\underset{i=0}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{Q}_i+\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}(N_0^{\left(0j\right)}+{\left[N_0^{\left(0j\right)}\right]}^T)$

$+A_0^T{\mathrm{GA}}_0+\underset{i=0}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=i+1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}({\mathrm{\&tau;}}_j-{\mathrm{\&tau;}}_i)X_{00}^{\left(\mathrm{ij}\right)}$

${\mathrm{\&Lambda;}}_{0k}={\mathrm{PA}}_k-N_0^{\left(0k\right)}+{\left[N_0^{\left(0k\right)}\right]}^T+A_0^T{\mathrm{GA}}_k+{\mathrm{\&tau;}}_k{X}_{0k}^{\left(0k\right)},$

$(k=\mathrm{1,2},\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,m)$

${\mathrm{\&Lambda;}}_{\mathrm{kk}}=-Q_k-\underset{l=0}{\overset{k-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}(N_k^{\left(\mathrm{ik}\right)}+{\left[N_k^{\left(\mathrm{ik}\right)}\right]}^T)+\underset{j=k+1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}(N_k^{\left(\mathrm{kj}\right)}+[{N_k^{\left(\mathrm{kj}\right)}}^T\left]\right)$

$+A_k^T{\mathrm{GA}}_k+\underset{i=0}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=i+1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}({\mathrm{\&tau;}}_j-{\mathrm{\&tau;}}_i)X_{\mathrm{kk}}^{\left(\mathrm{ij}\right)},(k=\mathrm{1,2},\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,m)$

${\mathrm{\&Lambda;}}_{\mathrm{lk}}=N_l^{\left(\mathrm{lk}\right)}-{\left[N_l^{\left(\mathrm{lk}\right)}\right]}^T+A_l^T{\mathrm{GA}}_k+({\mathrm{\&tau;}}_k-{\mathrm{\&tau;}}_l)X_{\mathrm{lk}}^{\left(\mathrm{lk}\right)}$

$(l=\mathrm{1,2},\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,m,l<k\&le;m)$

$G=\underset{i=0}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=i+1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}({\mathrm{\&tau;}}_j-{\mathrm{\&tau;}}_i)W^{\left(\mathrm{ij}\right)}$

6.本发明提出的稳定判据的优越性

众所周知，基于Lyapunov理论的时滞系统稳定性分析方法存在保守性，这种方法的保守性又进一步分为两种类型：一类是由Lyapunov理论引起的，源自Lyapunov判据只是系统稳定的充分条件，这类保守性只能通过寻求更优的Lyapunov函数来减小；另一类是由于在稳定判据推导过程中引入放大操作引起的，因此可以通过选择更好的放大函数加以降低，后者是近年时滞稳定判据研究领域关注的重点。[11]在单时滞系统稳定判据推导时引入一些松散项，完全避免了判据推导过程中的放大操作，使判据保守性大大降低。所加松散项主要为建立x(t)，x(t-τ)，

三者之间的关系。[12]将[11]思路推广应用到多时滞系统，形成所谓的自由权矩阵方法，主要通过在两个环节中引入松散项建立x(t)，x(t-τ_i)，

0≤i＜j≤m之间的关系，避免判据推导中的放大操作，从而降低方法的保守性。但通过深入分析，发现[12，17-19]方法在引入松散项时存在冗余情况，通过减少冗余部分可实现减少计算量，提高计算效率的目的。以双时滞系统为例说明本发明的改进原理和本发明提出的判稳方法的优越性：

1)剔除Newton-Leibniz公式中的冗余项

[12]方法通过在如下三个Newton-Leibniz公式(下划线部分)中增加松散项N_i，S_i，T_i，i＝1，2，3，以建立x(t)，x(t-τ₁)，x(t-τ₂)，

以及

之间关系。但仔细分析后会发现，由于式(19)的Newton-Leibniz公式并未包含x(t-τ₂)项，此时增加N₃松散项就没有任何意义(冗余的)，同理式(20)中的S₂和式(21)中的T₁项也属于冗余松散项，完全可以去除。这样剔除这一过程的冗余松散项后，本发明较[12]待求变量减少3n²个。

$2[x^T\left(t\right)N_1+x^T(t-{\mathrm{\&tau;}}_1)N_2+x^T(t-{\mathrm{\&tau;}}_2)N_3]$

$\&times;\underset{\&OverBar;}{[x\left(t\right)-x(t-{\mathrm{\&tau;}}_1)-{\&Integral;}_{t-{\mathrm{\&tau;}}_1}^t\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(s\right)\mathrm{ds}]}=0---\left(19\right)$

$2[x^T\left(t\right)S_1+x^T(t-{\mathrm{\&tau;}}_1)S_2+x^T(t-{\mathrm{\&tau;}}_2)S_3]$

$\&times;\underset{\&OverBar;}{[x\left(t\right)-x(t-{\mathrm{\&tau;}}_2)-{\&Integral;}_{t-{\mathrm{\&tau;}}_2}^t\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(s\right)\mathrm{ds}]}=0---\left(20\right)$

$2[x^T\left(t\right)T_1+x^T(t-{\mathrm{\&tau;}}_1)T_2{+x}^T(t-{\mathrm{\&tau;}}_2)T_3]$

$\&times;\underset{\&OverBar;}{[x(t-{\mathrm{\&tau;}}_2)-x(t-{\mathrm{\&tau;}}_1)-{\&Integral;}_{t-{\mathrm{\&tau;}}_1}^{t-{\mathrm{\&tau;}}_2}\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(s\right)\mathrm{ds}]}=0---\left(21\right)$

2)剔除关联矩阵中的冗余项

除在Newton-Leibniz公式中加入松散项外，[12]方法还用如下关联矩阵建立x(t)，x(t-τ₁)，x(t-τ₂)三者间的联系：

${\left[\begin{array}{c}x\left(t\right)\\ x(t-{\mathrm{\&tau;}}_1)\\ x(t-{\mathrm{\&tau;}}_2)\end{array}\right]}^T\left[\begin{array}{ccc}{\mathrm{\&Lambda;}}_{11}& {\mathrm{\&Lambda;}}_{12}& {\mathrm{\&Lambda;}}_{13}\\ {\mathrm{\&Lambda;}}_{12}^T& {\mathrm{\&Lambda;}}_{22}& {\mathrm{\&Lambda;}}_{23}\\ {\mathrm{\&Lambda;}}_{13}^T& {\mathrm{\&Lambda;}}_{23}^T& {\mathrm{\&Lambda;}}_{33}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\left(t\right)\\ x(t-{\mathrm{\&tau;}}_1)\\ x(t-{\mathrm{\&tau;}}_2)\end{array}\right]=0---\left(22\right)$

其中：Λ_ij＝τ₁(X′_ij-X′_ij)+τ₂(Y′_ij-Y′_ij)

            +(τ₁-τ₂)(Z′_ij-Z′_ij)，(1≤i≤j≤3)       (23)

根据判据推导过程可知，X′_ij，Y′_ij，Z′_ij，i＝1，2，3将出现在判据矩阵的主对角位置，若去掉则会引起判据矩阵的奇异，因此需保留。下面分析式(22)的非主对角元素，以Λ₁₂为例，其表达式为：

Λ₁₂＝τ₁(X′₁₂-X′₁₂)+τ₂(Y′₁₂-Y′₁₂)+

      (τ₁-τ₂)(Z′₁₂-Z′₁₂)                            (24)

其目的是建立x(t)，x(t-τ₁)之间的关系，将式(24)改写：

Λ₁₂＝τ₁[(X′₁₂-X′₁₂)+(Z′₁₂-Z′₁₂)]

      +τ₂[(Y′₁₂-Y′₁₂)-(Z′₁₂-Z′₁₂)]                 (25)

则式(25)中后一项只与x(t-τ₂)的τ₂相关，与x(t)，x(t-τ₁)无任何关系，因此属冗余项；而对于前一项，令X₁₂＝X′₁₂+Z′₁₂，则(24)和(25)将简化为：

Λ₁₂＝τ₁(X₁₂-X₁₂)                                      (26)

与式(24)对比不难看出，其实质是可以直接省略式(24)中的两个冗余项Y′₁₂，Z′₁₂。采用类似分析，可知Λ₁₃中的X′₁₃，Z′₁₃以及Λ₂₃中的X′₂₃，Y′₂₃均为冗余项，可以省略。

综合以上两个过程，对于双时滞系统，本发明所给稳定判据比[12]的自由权矩阵方法少求解9个n×n矩阵变量，计算效率得到较大提高。对于多时滞系统，算法改进的原理与双时滞系统相同，在此不再赘述。

7.本发明的电力系统判稳方法

图1给出了本发明的判稳方法的程序流程图，每个时滞系统都可以写成如下形式：

首先输入时滞系统数据A₀，A₁，……，A_i，其次输入本发明采用的判据表达式，再次输入延时数据τ₀，τ₁，……，τ_i进行验证，如果满足判据表达式就说明点(τ₀，τ₁，……τ_m)在m+1维空间的稳定区域中，如果不满足判据表达式就说明点(τ₀，τ₁，……τ_m)不在m+1维空间的稳定区域中。最后将在稳定区域中的点描绘出来就可以得到整个稳定区域。

下面给出双时滞系统的时滞稳定区域的求解程序，该程序利用Matlab实现。

8.有效性验证

本发明以一典型的两阶时滞系统和WSCC-3机9节点系统，参见图2为例验证本发明方法的有效性。

●两阶时滞系统算例

首先考虑一个典型两阶时滞系统^[11-14]，系统方程同式(14)，其中：

$A_0=\left[\begin{array}{cc}-2& 0\\ 0& -0.9\end{array}\right],$ $A_1=\left[\begin{array}{cc}-1& 0.6\\ -0.4& -1\end{array}\right]$ $A_2=\left[\begin{array}{cc}0& -0.6\\ -0.6& 0\end{array}\right]$

表1给出用节3方法对两阶时滞系统的计算结果，并与文献[11-14]进行了比较

表1两阶系统本发明中的结果与[12-14]结果的比较

●WSCC-3机9节点系统算例

利用WSCC-3机9节点系统对本发明方法做进一步验证。考虑该系统控制回路存在两个时滞环节，系统的模型推导参见[15，16]，验证计算时取负荷水平为2.0p.u，P_m2＝P_m3＝1.0p.u，V_ref2＝V_ref3＝1.03，系统其他参数取值同[15，16]。此时系统时滞模型可表示为式(14)形式，其系数矩阵如下：

${\tilde{A}}_0=\left[\begin{array}{cccccccccc}0& 377& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ -0.1492& -0.0039& -0.0337& -0.1127& 0& 0.1006& 0& 0.1116& 0.0607& 0\\ -0.0231& 0& -0.2559& -0.0516& -0.1667& 0.1471& 0& 0.4597& 0.0130& 0\\ -1.8676& 0& 0.2386& -5.0160& 0& 0.9221& 0& 0.2634& 0.7509& 0\\ 0& 0& -2308.6264& 959.2936& -50.0000& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 377& 0& 0& 0\\ 0.2148& 0& 0.1946& 0.1231& 0& -0.3616& -0.0083& -0.0870& -0.2987& 0\\ 0.1345& 0& 0.3502& 0.0159& 0& -0.0141& 0& -0.1416& 0.0259& 0.1250\\ 2.4094& 0& 0.4318& 1.8511& 0& -1.6875& 0& -0.2429& -14.2197& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& -2358.7906& 828.3157& -50.0000\end{array}\right]---\left(F1\right)$

${\tilde{A}}_{\mathrm{\&tau;}1}=\left[\begin{array}{cccccccccc}0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ -2358.3506& 0& 2271.9084& -593.7330& 0& -173.7266& 0& -942.8067& 86.9951& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]---\left(F2\right)$

${\tilde{A}}_{\mathrm{\&tau;}2}=\left[\begin{array}{cccccccccc}0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ -250.7616& 0& -814.1500& 13.5902& 0& -123.8625& 0& 32.4877& -343.2048& 0\end{array}\right]---\left(F3\right)$

表2给出了采用本发明和[12]方法分别计算WSCC系统的时滞稳定裕度和时滞稳定区间，同时给出两种方法与[16]结果(标准结果)的比较。表3给出了本发明方法与[12]方法计算效率的比较。

表2本发明采用的稳定判据与[12]和[16]方法计算结果的比较

表3本发明与[12]方法计算效率比较

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Claims (1)

1.一种多时滞电力系统稳定的判别方法，其特征在于，包括下列步骤：

(1)建立含m个时滞环节的系统模型

式中x_n＝x(t-τ_i)＝Δz(t-τ_i)，i＝0，1，2，...，m，τ₀＝0；

(2)给定一组(τ₀，τ₁，……τ_m)；

(3)给定稳定判据条件：

a.矩阵P和Q_i(i＝1，2，…，m)为正定对称矩阵，矩阵X^(ij)和W^(ij)(0≤i＜j≤m)为对称半正定矩阵，其中

N_i ^(ij)，N_j ^(ij)(0≤i＜j≤m)为任意矩阵，

b.

其中， ${\mathrm{\&Lambda;}}_{00}=P{A}_0+A_0^{T}P+\underset{i=0}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{Q}_i+\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}(N_0^{\left(0j\right)}+{\left[N_0^{\left(0j\right)}\right]}^T)+A_0^{T}G{A}_0+\underset{i=0}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=i+1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}({\mathrm{\&tau;}}_j-{\mathrm{\&tau;}}_i)X_{00}^{\left(\mathrm{ij}\right)},$

${\mathrm{\&Lambda;}}_{0k}=P{A}_k-N_0^{\left(0k\right)}+{\left[N_0^{\left(0k\right)}\right]}^T+A_0^{T}G{A}_k+{\mathrm{\&tau;}}_k{X}_{0k}^{\left(0k\right)},$ (k＝1，2，…，m)

${\mathrm{\&Lambda;}}_{\mathrm{kk}}=-Q_k-\underset{l=0}{\overset{k-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}(N_k^{\left(\mathrm{ik}\right)}+{\left[N_k^{\left(\mathrm{ik}\right)}\right]}^T)+\underset{j=k+1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}(N_k^{\left(\mathrm{kj}\right)}+[N_k^{{\left(\mathrm{kj}\right)}^T}\left]\right)+A_k^{T}G{A}_k+\underset{i=0}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=i+1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}({\mathrm{\&tau;}}_j-{\mathrm{\&tau;}}_i)X_{\mathrm{kk}}^{\left(\mathrm{ij}\right)}$ (k＝1，2，…，m)

${\mathrm{\&Lambda;}}_{\mathrm{lk}}=N_l^{\left(\mathrm{lk}\right)}-{\left[N_l^{\left(\mathrm{lk}\right)}\right]}^T+A_l^{T}G{A}_k+({\mathrm{\&tau;}}_k-{\mathrm{\&tau;}}_l)X_{\mathrm{lk}}^{\left(\mathrm{lk}\right)}$ (l＝1，2，…，m，l＜k≤m)

$G=\underset{i=0}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=i+1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}({\mathrm{\&tau;}}_j-{\mathrm{\&tau;}}_i)W^{\left(\mathrm{ij}\right)},$ 0≤i＜j≤m；

(4)利用计算软件判断时滞数据(τ₀，τ₁，……τ_m)是否满足步骤(3)给出的判据表达式，若满足，则判定(τ₀，τ₁，……τ_m)在m+1维空间的稳定区域中，否则，则判定(τ₀，τ₁，……τ_m)不在m+1维空间的稳定区域中。

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