CN101629859A - 基于变形测量与数值反求确定薄膜应力的系统与方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种简单、灵活和可靠的薄膜应力测量系统和测量方法。本发明采用形状测量设备测量因薄膜应力引起的薄膜材料变形，并将该变形表示成为薄膜材料的挠度或横截面转角。采用板结构有限元对检测对象的几何模型进行离散，以直接测量或间接插值的方式给出全部或部分有限元节点自由度的测量值，在数据测量和处理时修正外力对变形测量的影响。建立这些节点处薄膜应力产生的变形与测量给出的变形之间的最小二乘拟合条件，通过规则化处理，反求出薄膜应力。本发明在平面形状不规则、试样和薄膜厚度不均匀、薄膜材料参数未知等情况下能够用来识别各向异性和非均匀分布的薄膜应力。

Description

基于变形测量与数值反求确定薄膜应力的系统与方法

技术领域

本发明属于集成电路和微机电系统(MEMS)制造过程中使用的测量技术，该技术用于测量薄膜材料中的薄膜应力。

背景技术

薄膜材料被广泛用于制造集成电路和微机电系统(MEMS)。在基体表面采用化学沉积(CVD)和物理沉积(PVD)等技术形成具有特定性质和功能的薄膜材料后，采用掩模，光刻和腐蚀等微加工工艺可将薄膜材料加工成为集成电路和微结构。由于薄膜形成过程中产生的晶体缺陷和薄膜材料与基体材料热膨胀系数之间的差异，导致不可避免地在薄膜材料中出现不可忽视的应力。薄膜应力可引起薄膜材料的变形、脱层和开裂，也可使得由薄膜材料制造的器件发生力学性能的改变，甚至失效。薄膜材料应力的精确测量是设计能够对其进行有效控制的工艺过程的重要依据。

薄膜应力测量的方法可分为直接和间接两类方法。直接方法包括像X-射线散射仪和微拉曼光谱仪等。不过这类方法成本很高，也不便于在生产过程采用。间接方法则是通过测量试样变形(位移和曲率变化等)来确定薄膜应力。比如在微机电系统领域，对环结构、金刚石结构和指针旋转结构测量其在特殊点处的平面位移，对两端固支梁列阵和悬臂梁测量其特殊点的离面位移等。这些模型的主要缺陷是难于提供足够正确的几何，边界和材料参数来保证得到高精度的薄膜应力。在半导体集成电路制造领域使用最为普遍的是基体弯曲法。该方法采用光学干涉仪或表面轮廓仪测量晶片变形前后曲率或角度的改变，然后通过如下Stoney公式计算薄膜中的应力

${\mathrm{\σ}}_f=E_s{t}_s^2\mathrm{\κ}/{6t}_f(1-v_s),---\left(1\right)$

其中，σ_f为薄膜应力；t_s和t_f分别为基体和薄膜厚度；E_s和v_s分别为基体的弹性模量和泊松比；κ为薄膜应力引起的基体曲率变化(假设初始曲率为0)。虽然该方法简单实用也无需薄膜的材料参数，但是该方法的解析计算公式建立在圆形薄板各向同性和均匀平面薄膜应力状态的条件之上，不适合用于一般几何形状和应力状态下薄膜应力的测量。

有限元方法是一种适合分析一般几何形状、复杂载荷条件和不同材料构成等情况下相关力学问题的数值方法。以该方法为基础，可以建立一些直接求解薄膜应力的方法。比如，在已知薄膜和基体间非协调的温度应变和本征应变情况下，可将这些应变变换为等效的载荷用来计算薄膜应力。但是应用这种方法的主要障碍是在通常情况下难于获取这些应变的值。另外一种方法是通过测量试件的变形来直接获取有限元方法中的全部运动学变量(节点位移和转角)，由有限元方程得出节点载荷，再由节点载荷计算薄膜应力。虽然这种方法避免了使用非协调应变的问题，但是仍然存在如下的明显缺陷：(1)测量全部节点运动学变量一般是无法实现的，除边界上的节点外，内部节点是不可测的，只能靠插值获得；(2)对转角等自由度的测量难于保证获得足够的精度；(3)没有考虑基体与薄膜之间变形的协调条件；(4)计算需要利用薄膜的材料参数；和(5)没有考虑修正外力(如自重)对测量变形的影响等。

发明内容

本发明针是对微电子和微机电系统制造过程中需要确定薄膜材料应力的要求为克服上述现有技术中的缺点而提出的一套测量系统和一种相应的测试方法。

测试系统包括：测量台1、形状测量设备2、计算与控制设备3、以及设备之间的数据连接和交换设备5、6和7。用户4通过上述设备的人机交互界面8、9和10对设备进行操作(见图1)。测量台1提供的被测薄膜材料的安装条件，使其至少在自身重力作用下成为静定结构。测量台能够在水平，竖直和两者之间的任一方向上的对薄膜材料进行安装，安装角范围是[0，π]。对较大的试件，为减小自重带来的附加挠曲变形，对薄膜材料采用竖直方向的安装(见图2)。形状测量设备2为能够测量测量台上试件形状的测量仪，它可以是光学干涉仪、表面轮廓仪或激光形貌扫描仪，由它通过测量通路5采集安装在测量台上被测试件的形状数据。由计算机构成的计算与控制设备3通过连接装置6和7分别与测量仪器2和测量台1相连接，执行本发明的方法中所需的全部数据交换、计算和处理功能。

测试方法包括：方法流程图(图3)概括给出的各操作步骤、计算内容和计算过程。下面是结合流程图对各模块及其相互之间关系的说明。

(1)薄膜材料在测量台上的安装13：根据薄膜材料的尺寸和测量条件，在[0，π]的安装角范围内选择一个方向安装测试件。本发明通过测量挠度或转角来确定薄膜应力，当测试件以竖直的方向安装时(见图2)，能有效地减轻重力对挠度或转角测量产生的附加影响。

(2)测量数据的采集与处理14：通过形状测量设备采集安装在测量台上的薄膜材料指定点处的形状数据，将形状数据转换成轮廓数据，对比原基体材料与薄膜材料的轮廓数据，得出由挠度和转角表示的薄膜材料变形数据。

(3)薄膜材料结构的有限元离散和有限元模型的建立15、16：在没有外力而仅有薄膜应力单独作用的条件下，建立薄膜材料在以薄膜应力作为内力处于自平衡状态的虚功方程

${\∫}_{{\mathrm{\Ω}}^s}{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{ij}}^s\mathrm{\δ}{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{ij}}^s\mathrm{d\Ω}+{\∫}_{{\mathrm{\Ω}}^f}{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\α\β}}^f\mathrm{\δ}{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\α\β}}^f\mathrm{d\Ω}=0---\left(2\right)$

其中，Ω^s和Ω^f分别为基体的体积和薄膜的体积；σ_ij ^s、σ_ij ^s、σ_αβ ^f和ε_αβ ^f分别为基体应力、基体应变、薄膜应力和薄膜应变。基体应力通过基体材料的本构关系表示成为基体应变的函数。

基体的平面应变分量ε_αβ ^s和平面应变形式的薄膜应变ε_αβ ^f通过如下相同的平面应力状态几何关系表示成为薄膜材料的挠度和转角的函数

$\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ϵ}}_{11}\\ {\mathrm{\ϵ}}_{22}\\ 2{\mathrm{\ϵ}}_{12}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& x_3{\∂}_1& 0\\ -x_3{\∂}_2& 0& 0\\ -x_3{\∂}_1& x_3{\∂}_2& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\θ}}_1\\ {\mathrm{\θ}}_2\\ u_3\end{array}\right],---\left(3\right)$

其中，θ_α、u₃和x₃分别为薄膜材料的转角、挠度和中面上法线方向的坐标。基于几何关系(3)得到的基体应变和薄膜应变满足基体和薄膜之间的变形协调条件。

将薄膜材料虚功方程(2)中的基体应力σ_ij ^s通过物理关系表示成为基体应变ε_ij ^s函数，然后利用包括(3)在内的几何关系将基体应变和薄膜应变表示成为挠度和转角，最后采用三角形或四边形板单元做有限元离散，即得到如下基于挠度和转角自由度的薄膜材料有限元方程

[K][u]＝[F][σ]，    (4)

其中，[u]为由挠度或转角组成的有限元节点自由度矢量矩阵；[K]为有限元刚度矩阵；[σ]为一般平面应力状态下的全部单元薄膜应力σ_αβ ^f组成的矢量矩阵；[F]为将单元薄膜应力转换为节点力的薄膜应力系数矩阵。薄膜材料有限元模型的建立过程中，仅使用到基体材料的物理关系，这使得本发明的方法在测试薄膜应力的计算中不需要使用薄膜的材料参数。

(4)测量数据向有限元节点的转换17：将测量得到的薄膜材料变形转换为由挠度或转角表示的有限元节点自由度，建立由全部或部分有限元节点自由度测量值组成的矢量矩阵

为此有两种途径：一是将测量点的值插值到有限元节点上，二是选择有限元节点的位置直接进行测量。

(5)有限元节点测量值的修正18、19、20、21、22：当外力(比如重力)对薄膜变形测量结果的影响不能忽略时，用标准有限元方法计算这些非薄膜应力载荷在与测量状态等同的条件下产生的变形，得到有限元节点自由度修正量的矢量矩阵

在测量得到的有限元节点自由度的量值

中消除有限元节点自由度的修正量

得到修正了外力影响的有限元节点自由度测量值的矢量矩阵[u]。当

的分析采用和步骤(3)完全相同的有限元网格时，本步骤节点自由度数据的处理是简单的。

(6)薄膜材料变形反问题的提出：由于[u]的自由度数一般是小于或等于[u]的自由度数，不能由方程(4)直接确定薄膜应力。本发明通过采用薄膜应力决定的有限元节点自由度[u]与测量确定的有限元节点自由度[u]之间的规则化最小二乘拟合条件来建立由薄膜变形反求薄膜应力的条件，即

$\underset{\left[\mathrm{\σ}\right],\mathrm{\α}}{\min }\left\{{[u-\stackrel{\‾}{u}]}^T\right[u-\stackrel{\‾}{u}]+\mathrm{\α\Φ}\},---\left(5\right)$

其中，α∈(0，1)为规则化参数；Φ为规则化函数。此式为建立规则化反问题的一种标准形式。

(7)规则化函数的确定23：根据光滑性需要可以选择不同的规则化函数，比如，可将其取为基于薄膜应力一阶导数的L²-范数

$\mathrm{\Φ}={\∫}_{{\mathrm{\Ω}}^f}{\left(\frac{{\∂\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\α\β}}^f}{{\∂x}_{\mathrm{\α}}}\right)}^2\mathrm{d\Ω}---\left(6\right)$

不受此例限制，本发明允许采用其他不同的光滑化函数进行规则化处理，它们最终都可以归结为如下的矩阵形式

Φ＝[σ]^T[H]^T[H][σ]。    (7)

其中，[H]为规则化矩阵。由规则化函数的矩阵表达形(7)确定具体规则化方法的规则化矩阵[H]。

(8)薄膜应力方程的建立24、25：由薄膜材料变形反问题的极值条件(5)导出如下薄膜应力方程

[S]^T[S][σ]+α[H]^T[H][σ]＝[S]^T[u]，    (8)

其中，

$\left[S\right]=\∂\left[u\right]/\∂\left[\mathrm{\σ}\right],---\left(9\right)$

为灵敏度矩阵，由薄膜材料有限元方程(4)对薄膜应力的导数给出它的计算条件。

(9)薄膜应力的计算26：求解薄膜应力方程(8)，确定薄膜应力。

这里通过一个数值算例来说明该方法的有效性。选用的例子为一个轴对称的圆形晶片，其上的径向薄膜应力和环向薄膜应力都从中心处的最大值以线性变化方式减小至外边沿处。其径向应力σ_r和环向应力σ_θ分别由下面二式给出

σ_r＝σ_c(1-r/r₀)，    (10)

σ_θ＝σ_c[(1+2v_f)r/(2+v_f)r₀]，    (11)

其中，σ_c为最大应力，r为径向坐标，r₀为晶片最大外径，v_f为薄膜材料泊松比。在此薄膜应力作用下，基体相对于中心处的挠度由下式给出

$w=\frac{3{\mathrm{\σ}}_c{r}_0^2{t}_f(1-v_s^2)}{E_s{t}_s^2(2+v_f)}[\frac{(2+v_s)}{(1+v_s)}{\left(\frac{r}{r_0}\right)}^2-\frac{2}{3}{\left(\frac{r}{r_0}\right)}^3],---\left(12\right)$

其中，t_s和t_f分别为基体和薄膜厚度；E_s和v_s分别为基体弹性模量和泊松比。该基于弹性理论的解析解满足平衡、协调和边界条件，可用来检验本发明的准确性和相对于Stoney方法的改进性。算例中采用的材料和几何参数如表-1所示。取σ_c＝500MPa。根据解析表达式，径向应力σ_r和环向应力σ_θ在中心处都有最大值500MPa，且随径向坐标的增大而线性地减小，在晶片的外沿r＝r₀处，分别有σ_r＝0MPa和σ_θ＝150MPa。

图4和图5给出了采用挠度表达式(12)计算曲率κ，然后代入Stoney方程(1)计算薄膜径向应力σ_r和薄膜环向应力σ_θ，以及采用本发明的方法由挠度表达式(12)给出的位移反求上述应力的结果。与(10)和(11)给出的精确解进行对比，可以看出本发明的方法预测的结果明显优于Stoney方程给出的预测结果。

表-1算例中采用的材料和几何特性参数

本发明相对现有方法的优点还体现在：(1)如同在此算例中表明的，本发明方法采用的给定有限元节点自由度[u]可以仅由便于测量的有限元节点挠度组成，而不包含在实际测量中较难准确获得的转角自由度；(2)基体与薄膜之间拥有协调的变形条件；(3)计算过程不需要薄膜的材料参数；(4)必要时可以修正外力(比如重力)对变形测量的影响；(5)可以对每个单元指定不同的基体或薄膜厚度；和(6)用来分析复杂几何形状的薄膜材料等。

附图说明

图1是由测量台1、测量仪2、计算机3和连接装置5、6和7构成的薄膜应力测量系统。

图2是可以减少自重对薄膜材料挠曲变形测量的影响而竖直安装在测量台上的薄膜材料。

图3是本发明测试方法的流程图。

图4是圆形薄膜材料数值算例中径向应力预测结果与精确解的对比。

图5是圆形薄膜材料数值算例中环向应力预测结果与精确解的对比。

图6是实施例中矩形薄膜材料的有限元网格。

图7是实施例中矩形薄膜材料变形的挠度分布。

图8是实施例中预测出的矩形薄膜正应力σ_x。

图9是实施例预中测出的矩形薄膜正应力σ_y。

具体实施方式

以下通过实例说明本发明的实施方式：考虑一个矩形基体材料(如图6所示)，其尺寸为30mm×20mm×70μm，杨氏模量为290GPa、泊松比为0.32、密度为2.3290g/cm³。在长度方向距左边界12mm处起形成一宽2mm、厚0.7μm的横向薄膜带。薄膜应力预测步骤如下：

(1)用户将无薄膜时的基体和有薄膜时的薄膜材料沿给定的方向分别安装于测量台上；

(2)用形状测量设备分别测量出无薄膜时基体的轮廓数据和有薄膜时基体的轮廓数据；

(3)用计算程序对比两种测量得到的形状数据求出薄膜材料轮廓的改变量；

(4)用计算程序对薄膜材料进行几何建模和有限元网格的剖分(见图6)；

(5)用计算程序将薄膜材料轮廓的改变量转换为有限元节点自由度测量值组成的矢量矩阵

(6)如果需要做自重的修正，用计算程序计算薄膜材料在相同测试环境下由自重产生的有限元节点自由度的修正量

(7)用计算程序由

单独或与

一起给出的节点自由度矢量矩阵[u](见图7)；

(8)用计算程序计算模型的有限元刚度矩阵[K]和薄膜应力系数矩阵[F]；

(9)用计算程序计算规则化系数矩阵[H]和灵敏度矩阵[S]；

(10)用计算程序建立薄膜应力方程(8)；

(11)用计算程序求解薄膜应力方程(8)，得出预测的薄膜应力[σ](其中，薄膜正应力σ_x见图8，薄膜正应力σ_y见图9)。

上述详细说明为针对本发明的一种较佳的可行实施例说明而已，惟该实施例并非用以限定本发明的申请范围，凡其它未脱离本发明所揭示的技艺精神下所完成的均等变化与修饰变更，均应包含于本发明所涵盖的专利范围中。

Claims (10)

1.一种由测量薄膜材料变形确定薄膜应力的测试方法，包括下列步骤：

(1)在测量台上安装薄膜材料；

(2)测量测量台上薄膜材料的形状变化；

(3)建立和使用被测薄膜材料的有限元模型；

(4)将测量得到的薄膜材料的形状变化转换为有限元网格节点自由度的测量值；

(5)由有限元网格节点自由度的测量值计算薄膜应力；

其特征在于：

(1)薄膜材料安装角的选择范围是[0，π]；

(2)建立和使用一个以薄膜应力作为内力的薄膜材料自平衡有限元模型；

(3)建立和使用一个保证基体和薄膜之间的变形协调的几何关系；

(4)通过建立和求解一个关于薄膜材料变形的数值反问题来确定薄膜应力。

2.如权利要求1所述的一种由测量薄膜材料变形确定薄膜应力的测试方法，其特征在于：薄膜材料的有限元模型采用三角形或四边形板单元，建立和使用如下形式的薄膜材料有限元方程

[K][u]＝[F][σ]

其中，[u]为由挠度或转角组成的有限元节点自由度矢量矩阵；[K]为有限元刚度矩阵；[σ]为一般平面应力状态下的全部单元薄膜应力组成的矢量矩阵；[F]为将单元薄膜应力转换为节点力的薄膜应力系数矩阵。

3.如权利要求1所述的一种由测量薄膜材料变形确定薄膜应力的测试方法，其特征在于：基体的平面应变分量和薄膜应变分量以相同的平面应力状态几何关系定义成为薄膜材料的挠度和转角的函数；

4.如权利要求1所述的一种由测量薄膜材料变形确定薄膜应力的测试方法，其特征在于：将测量得到的薄膜材料变形转换成为由挠度或转角表示的有限元节点自由度，给出关于全部或部分有限元节点自由度的测量值矢量矩阵

。

5.如权利要求1所述的一种由测量薄膜材料变形确定薄膜应力的测试方法，其特征在于：采用标准有限元方法计算外力(如自重)作用下有限元节点自由度的修正量

，在有限元节点自由度的测量值

中消除修正量

，得到修正了外力影响的有限元节点自由度的测量值[u]。

6.如权利要求1所述的一种由测量薄膜材料变形确定薄膜应力的测试方法，其特征在于：由薄膜应力决定的有限元节点自由度[u]与由测量确定的有限元节点自由度[u]之间的规则化最小二乘拟合条件

$\underset{\left[\mathrm{\σ}\right],\mathrm{\α}}{\min }\left\{{[u-\stackrel{\‾}{u}]}^T\right[u-\stackrel{\‾}{u}]+\mathrm{\α\Φ}\}$

导出如下形式的薄膜应力方程

[S]^T[S][σ]+α[H]^T[H][σ]＝[S]^T[u]

其中，[H]为规则化矩阵，[S]为灵敏度矩阵。

7.如权利要求1或权利要求6所述的一种由测量薄膜材料变形确定薄膜应力的测试方法，其特征在于：(1)以薄膜材料有限元方程对薄膜应力求导数的结果作为条件计算灵敏度矩阵[S]；或(2)以规则化函数的矩阵表示

Φ＝[σ]^T[H]^T[H][σ]

作为条件计算规则化矩阵[H]。

8.一种由测量薄膜材料变形确定薄膜应力的测试系统，包括：

(1)一个安装薄膜材料试件的测量台；

(2)一台对测量台上的薄膜材料形状进行测量的仪器；

(3)一台可控制测量仪器和处理薄膜材料测量数据的计算机；

(4)一套提供(1)、(2)和(3)中各设备之间互相通讯和连接条件的设备和部件；

其特征在于：

(1)安装试件的测量台提供安装角范围在[0，π]之间的任一方向上对薄膜材料进行安装的条件；

(2)系统的计算机通过程序建立和求解一个薄膜材料变形的数值反问题，计算薄膜应力。

9.如权利要求8所述的一种由测量薄膜材料变形确定薄膜应力的测试系统，其特征在于：测量薄膜材料试件形状的仪器是能够对测量台上以不同允许方向进行安装的薄膜材料进行测量的光学干涉仪、表面轮廓仪或激光形貌扫描仪。

10.如权利要求8所述的一种由测量薄膜材料变形确定薄膜应力的测试系统，其特征在于：处理薄膜材料数据的计算机通过程序：

(1)根据测量得到的薄膜材料形状变化数据计算出由全部或部分有限元节点自由度的测量值；

(2)或计算有限元节点自由度的外力修正量

；

(3)直接或经

修正由

计算出有限元节点自由度的测量值[u]；

(4)计算薄膜材料有限元模型的刚度矩阵[K]和薄膜应力系数矩阵[F]；

(5)计算节点自由度[u]关于薄膜应力[σ]的灵敏度矩阵[S]和规则化矩阵[H]；

(6)用节点自由度的测量值[u]、灵敏度矩阵[S]和规则化矩阵[H]，由薄膜应力方程计算薄膜应力[σ]。

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