CN101488761A - 一种无短环无低码重码的ldpc码构造方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于循环矩阵的LDPC码的代数构造方法，通过短环检验和最小码重检验调整循环矩阵的设计参数：满足两个约束条件的非负素数a和b，及单位矩阵的维数q，其中移位单位矩阵的维数q大小与是否为素数影响到所设计的LDPC码的误码率特性。本发明解决了现有QC LDPC码设计可能出现短环和低码重码字的问题。本发明方法可以检验所设计的码中低码重码字的存在，检验4环的存在。本发明提出的不规则准循环LDPC码结构，将校验矩阵H分为两子矩阵A和B，提出子矩阵A的非奇异结构，由两子矩阵A和B得到生成矩阵。通过生成矩阵直接线性编码。实施例验证了本发明所提方法的有效性与良好的比特率性能。

Description

一种无短环无低码重码的LDPC码构造方法

技术领域

本发明涉及通信与电子系统领域，尤其涉及一种信道纠错码中LDPC码构造方法。

背景技术

近年来，通信技术发展日新月异，其中信道编码作为通信系统中不可替代的基本技术，在理论研究和实际应用中得了长足的进步。低密度奇偶校验码(LDPC码)的研究和实现，是继Turbo码之后在纠错编码领域的又一重大进展。LDPC码的优异性能及其在信息可靠传输和磁存储技术中的良好应用前景，已引起世界各国学术界和IT业界的高度重视，成为当今信道编码领域的研究热点。

LDPC全称Low Density Parity Check，即低密度奇偶校验码，是一种线性分组码，它通过一个生成矩阵G将信息序列映射成发送序列，也就是码字序列。对于生成矩阵G，完全等效于存在一个奇偶校验矩阵H，所有的码字序列c构成了H的零空间，即Hc^T＝0。

LDPC码的奇偶校验矩阵H是一稀疏矩阵，相对于行与列的长度(N，M)，校验矩阵每行、列中非零元素的数目(习惯称作行重、列重)非常小，这也是LDPC码之所以称为低密度码的原因。由于校验矩阵H的稀疏性以及构造时所使用的不同规则，使得不同LDPC码的编码二分图(Tanner图)具有不同的闭合环路(Girth)分布。而二分图中闭合环路是影响LDPC码性能的重要因素，它使得LDPC码在类似可信度传播(Belief Propagation)算法的一类迭代译码算法下，表现出完全不同的译码性能。当H的行重和列重保持不变或尽可能的保持均匀时，称这样的LDPC码为规则LDPC码，反之如果列、行重变化差异较大时，称为不规则的LDPC码。一般来说，正确设计的不规则LDPC码的性能要优于规则LDPC。根据校验矩阵H中的元素是属于GF(2)域还是GF(q)(2^p＝q)，还可以将LDPC码分为二元域或多元域的LDPC码，本发明内容涉及二元域的LDPC码的设计。

根据校验矩阵结构，LDPC码可分为两类：准循环(QC)LDPC码和随机LDPC码。随机LDPC码校验矩阵中的1的分布是随机的，不利于编码器和解码器的硬件实现，而准循环LDPC码中的1的分布是按一定规律分布的，利于编码器和解码器的硬件实现。但是，现有准循环(QC)LDPC码的设计未同时考虑避免短环问题和避免低码重码问题，这两个问题使准循环LDPC码的误码率性能远低于随机LDPC码。LDPC码避免短环，可使LDPC码译码器能够较快收敛，但是并不能保证该LDPC码不存在低码重码。因此，无短环的LDPC码如果存在低码重码，其误码率性能远低于随机LDPC码。此外，现有准循环(QC)LDPC码的校验矩阵存在奇异性(非满秩)问题，不能得到同秩的生成矩阵。

由于LDPC码可采用复杂度较低的迭代消息传递(BP)译码算法，且译码复杂度不会随着码长的增加而加大，所以性能优异的LDPC码设计受到极大关注，在卫星地面数字电视广播标准(DVB-S2，Digital video broadcasting(DVB)；second generation framings tructure，channel coding and modulationsystems for broadcasting，interactive services，news gathering and otherbroad-band satellite applications，EN 302 307，EuropeanTelecommunications Standards Institute(ETSI))和IEEE 802.16e IEEE Std802.16e，(Draft IEEE standard for local and metropolitan area networks，Part 16：Air interface for fixed and mobile broadband wireless accesssystems，Feb.2006)中获得采纳，并应用到无线保密通信领域。准循环(QC)LDPC码和随机LDPC码。无4环的随机LDPC码的优点是：码的最小码重和码间距离近似为码长的线性函数，其缺点是校验矩阵中1的分布无规律，使其码树上的校验节点和信息节点的连接无规律，其编码器需要存储生成矩阵的所有行向量，解码器需要存储校验矩阵的所有行向量。因此随机LDPC码的编码器和解码器的超大规模集成电路(VLSI)实现较为困难。如果使用代数方法构造的QC LDPC码，则上述问题可解决。QC LDPC码校验矩阵是由一组循环矩阵构成的，它的准循环特性使其易于高效编码和解码，码的代数结构使得它易于VLSI实现。然而，现有QC码设计并不能保证QC LDPC码的无四、六环，并不能保证无低码重码，使其纠错性能和误码率性能优于或接近随机LDPC码。

准循环LDPC码设计是采用分块单位循环矩阵的组合构成校验矩阵。但是，一般准循环LDPC码的校验矩阵是非满秩的，不能得到同秩的生成矩阵。虽然DVB-S2中采用双对角线矩阵作为校验矩阵中的一子矩阵，可使校验矩阵为满秩，但是双对角线矩阵会导致低码重码字，使LDPC码纠错能力降低。

发明内容

为解决上述问题，本发明公开一种无短环无低码重码的准循环LDPC码的构造方法，根据四环检验结果与低码重码检验结果调整校验矩阵中循环子矩阵的维数和移位因子。

本发明提出一种不规则QC LDPC码的校验矩阵结构，使校验矩阵为一非奇异方阵和循环子矩阵的组合，采用GF(2)域的逆矩阵运算得到生成矩阵，具体方法见式(5)。

本发明提出QC LDPC码构造的约束条件，对索引矩阵参数的选择做出严格限制，可获得无4环，无低码重码字的QC LDPC码。采用本发明方法构造的QC LDPC码的码重分布和误码率特性均接近LDPC随机码。本发明提出的QC LDPC码解决了低码重码字问题，码集合中的所有码都具有较大的码重，使LDPC码纠错能力与码长呈线性关系。

定义1：设LDPC码的码长为N，校验矩阵的每列包含j个1，每行包含k个1，则该码为规则LDPC码，记作(N，j，k)。

一种规则QC LDPC码的构造方法，其校验矩阵由若干不同整数移位的循环子矩阵构成，循环子矩阵的移位由如下索引矩阵确定。

定义2：如果j×k矩阵P的元素来自GF(q)域，且它的第(s，t)个元素P_s，t＝a^tb^s如下：

$P(a,b)=\left[\begin{array}{cccc}1& a& L& a^{k-1}\\ b& \mathrm{ab}& L& a^{k-1}b\\ L& & & \\ b^{j-1}& {\mathrm{ab}}^{j-1}& L& a^{k-1}{b}^{j-1}\end{array}\right]---\left(1\right)$

这里0≤s≤j-1，0≤t≤k-1，a和b均为素数，则称矩阵P(a，b)为索引矩阵。索引矩阵P(a，b)的元素P_s，t＝a^tb^s，modq，q为素数。

校验矩阵H(a，b，q)中第(s，t)个循环子矩阵是由q×q的单位矩阵I按照行的方向向右循环移位动P_s，t位产生的。由j×k个循环子矩阵构造校验矩阵H(a，b，q)为

$H(a,b,q)=\left[\begin{array}{cccc}{I}_1& I_a& L& I_{a^{k-1}}\\ I_b& I_{\mathrm{ab}}& L& I_{a^{k-1}b}\\ L& & & \\ I_{b^{j-1}}& I_{{\mathrm{ab}}^{j-1}}& L& I_{a^{k-1}{b}^{j-1}}\end{array}\right]---\left(2\right)$

H(a，b，q)的维数是jq×kq，码长N＝kq，这里I_x是一个q×q的单位循环矩阵，是将单位矩阵的每行向右循环移动x位后得到的。

采用式(2)构成生成矩阵得到的QC码的码率为R≥1-j/k。R取决于校验矩阵H(a，b，q)中行向量之间的线性独立性，而式(2)的H(a，b，q)中至少有j-1个相关的行，这给生成矩阵的设计带来很大困难。

设H(a，b，q)中相关的行数为r，现有方法用GF(2)域内的高斯消元法得到一(jq+r)×kq维的生成矩阵G(a，b，q)，使

H¹(a，b，q)·G^T(a，b，q)＝0   (3)

其中H¹(a，b，q)为满足式(3)的对H(a，b，q)进行列交换后的校验矩阵，上式的矩阵乘积运算为GF(2)域内的计算。

解码器根据式(3)中H¹(a，b，q)和软接收码流进行解码。这里，软接收码流有如下定义。

定义3：编码信号流经过高斯白噪声信道后未经判决的信号流为软接收码流。

由于H¹(a，b，q)和G(a，b，q)的维数不同，这给LDPC码的编解码电路实现带来很大困难。另外，现有方法用GF(2)域内的高斯消元法需要对式(2)的校验矩阵H(a，b，q)进行列交换，得到的H¹(a，b，q)已破坏了式(2)的校验矩阵H(a，b，q)的循环结构，使得编码器和解码器无法利用校验矩阵的循环特性。

为保持式(2)的校验矩阵H(a，b，q)的循环结构，本发明直接将H(a，b，q)分解为两个子矩阵A(a，b，q)和B(a，b，q)，

H(a，b，q)＝[A(a，b，q)B(a，b，q)]   (4)

A(a，b，q)为方阵，本发明使A(a，b，q)为非奇异的，则可以得到同维数的生成矩阵

G(a，b，q)＝[(A^-1(a，b，q)B(a，b，q))^TI]   (5)

＝[g₁(a，b，q)g₂(a，b，q)K g_M(a，b，q)]^T

其中的逆矩阵与乘积运算为GF(2)域内的计算，g_m(a，b，q)为生成矩阵G(a，b，q)的行向量，且为a，b，q的隐函数，m＝1，...M。

如果采用DVB-S2的LDPC码结构设计子矩阵A(a，b，q)，则A(a，b，q)为双对角线矩阵，A(a，b，q)为非奇异，但得到的码字集合中存在大量低码重码字。为解决该问题，本发明提出如下不规则QC码构造方法。不失一般性，考虑常用的1/2码率(N，3，6)LDPC码，其它码率LDPC码可依此类推得到。

本发明中，对于1/2码率的(N，3，6)LDPC码，单位矩阵维数q须为素数，则码长为N＝6q，参数a和b分别为小于q且大于1的两素数，设

$P(a,b)=\left[\begin{array}{cccccc}0& a& a^2& a^3& a^4& a^5\\ z& 0& a^{2}b& a^{3}b& a^{4}b& a^{5}b\\ b^2& z& 0& a^3{b}^2& a^4{b}^2& a^5{b}^2\end{array}\right]---\left(6\right)$

其中z表示该位置为零矩阵，P(a，b)的其它元素定义同式(1)，H(a，b，q)由3×6个子矩阵构成，

$H(a,b,q)={\left[\begin{array}{cccccc}{I}_0& I_a& I_{a^2}& I_{a^3}& I_{a^4}& I_{a^5}\\ 0& I_0& I_{a^{2}b}& I_{a^{3}b}& I_{a^{4}b}& I_{a^{5}b}\\ I_{b^2}& 0& I_0& I_{a^3{b}^2}& I_{a^4{b}^2}& I_{a^5{b}^2}\end{array}\right]}_{3q\×6q}---\left(7\right)$

I_x是一个q×q的单位循环矩阵，其将单位矩阵的每行向右循环移动x位。

由式(7)中的H(a，b，q)，令

$A(a,b,q)={\left[\begin{array}{ccc}{I}_0& I_a& I_{a^2}\\ 0& I_0& I_{a^{2}b}\\ I_{b^2}& 0& I_0\end{array}\right]}_{3q\×3q}---\left(8\right)$

$B(a,b,q)={\left[\begin{array}{ccc}{I}_{a^3}& I_{a^4}& I_{a^5}\\ I_{a^{3}b}& I_{a^{4}b}& I_{a^{5}b}\\ I_{a^3{b}^2}& I_{a^4{b}^2}& I_{a^5{b}^2}\end{array}\right]}_{3q\×3q}---\left(9\right)$

将两子矩阵A(a，b，q)和B(a，b，q)代入式(5)得到生成矩阵

G(a，b，q)＝[(A^-1(a，b，q)B^T(a，b，q)I]   (10)

将长度为N/2的信息比特向量与生成矩阵相乘得到长度为N的码c_n

$c_n=u_{n}G(a,b,q)=\left[\begin{array}{cc}{c}_n^{\′}& u_n\end{array}\right]---\left(11\right)$

本发明中1/2码率LDPC码的校验矩阵和生成矩阵分别具有式(7)和式(10)的形式，其中参数a、b和q的设计需要用本发明提出的方法。LDPC码是否无4环取决于式(7)的校验矩阵，而由式(11)得到的LDPC码是否无低码重码亦取决于式(7)的校验矩阵。

令式(2)的H(a，b，q)矩阵为(N，3，6)码的行列格式，

$H(a,b,q)={\left[\begin{array}{cccccc}{I}_1& I_a& I_{a^2}& I_{a^3}& I_{a^4}& I_{a^5}\\ I_b& I_{\mathrm{ab}}& I_{a^{2}b}& I_{a^{3}b}& I_{a^{4}b}& I_{a^{5}b}\\ I_{b^2}& I_{a{b}^2}& I_{a^2{b}^2}& I_{a^3{b}^2}& I_{a^4{b}^2}& I_{a^5{b}^2}\end{array}\right]}_{3q\×6q}---\left(12\right)$

将式(7)与式(12)比较，可看出式(12)的H(a，b，q)矩阵有5个子矩阵被替换，这是本发明使A(a，b，q)为非奇异方阵的方法。

由于本发明方法的式(7)引入了两个零矩阵，因此H(a，b，q)有2q行的1的个数为5，q行的1的个数为6，同样，2q列的1的个数为2，q列的1的个数为3。此时，由式(7)构造的QC LDPC码为不规则QC码，不同于式(2)的规则QC码。本发明提出的约束条件同样适合其它码率的不规则QC LDPC码。

式(10)中的LDPC码生成矩阵G(a，b，q)的行向量与码字有如下关系。

性质1：LDPC码生成矩阵行向量的线性组合构成码字，

$c_n=u_{n}G(a,b,q)$

$=\left[\begin{array}{cccc}{u}_{n,1}& u_{n,2}& K& u_{n,M}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}{g}_1(a,b,q)& g_2(a,b,q)& K& g_M(a,b,q)\end{array}\right]---\left(13\right)$

$=\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{u}_{n,m}{g}_m(a,b,q)$

其中u＝[u_n，1 u_n，2 K u_n，M]为信息比特向量，M＝N/为信息比特序列长度。

BP译码算法(见D.J.C.MacKay，“Good Error-Correcting Codes Basedon Very Sparse Matrices”，IEEE Transactions on Information Theory，Vol.45，No.2，1999，pp.399-431)是基于LDPC树图(Tanner两部图)的最大后验概率译码方法，其获得良好译码性能的重要前提是H(a，b，q)无短环(4环)。Tanner两部图的短环特性取决于校验矩阵H(a，b，q)中4环的个数。评估得到的QC LDPC码是否为好码，必须检验校验矩阵H(a，b，q)是否存在短环。

定义4：校验矩阵H(a，b，q)中的两列向量对应位置的1构成端点的四边形围线为4环。

本发明采用论文：Yang XIAO and Moon Ho LEE，Low Complexity MIMO-LDPCCDMA Systems over Multipath Channels，IEICE Transactions onCommunications，2006，E89-B(5)：1713-1717；doi：10.1093/ietcom/e89-b.5.1713，提出的LDPC码的4环检验方法，使所设计的校验矩阵H(a，b，q)无4环。

4环检验方法：当且仅当H(a，b，q)H^T(a，b，q)除对角线外的元素值为0或1，LDPC码无4环。

4环检验方法能保证无4环，但不能保证通过其检验的LDPC码无低码重码。

本发明提出一种通过LDPC码生成矩阵G的行向量估计LDPC码最小码重的上界的方法，即最小码重估计方法。

最小码重估计方法：LDPC码的最小码重小于生成矩阵G(a，b，q)的行向量最小码重与任意两行向量直和的最小码重，即

w_min{c_n，n＝1，...，2^N}≤min[w_min{g_m(a，b，q)，m∈{1，...，M}，

                                                               (14)

w_min{mod(g_m(a，b，q)+g_n(a，b，q)，2)，m，n∈{1，...，M}，m≠n}]

精确地确定w_min{c_n，n＝1，...，2^N}为NP(Non-deterministic Polynomial)难解问题，在P≠NP的假设下，NP难解问题找不到一个算法能保证在多项式时间内得到w_min{c_n，n＝1，...，2^N}。本发明提出的最小码重估计方法提供了估计LDPC码的最小码重的简单方法。该算法可以确定已提出的各种LDPC码最小码重的上界，包括DVB-S2和IEEE 802.16e中的LDPC码。本发明提出联合使用4环检验方法和最小码重估计方法，得到一种不存在4环和无低码重码的1/2码率QC LDPC码的构造方法。现有方法在构造校验矩阵H(a，b，q)时，未考虑单位矩阵I的阶次q与单位矩阵I的最大右循环移位a^k-1b^j-1的关系，使其构造的校验矩阵H(a，b，q)可能存在4环。

本发明提出一种不存在4环和无低码重码的1/2码率QC LDPC码的构造方法，包括下列步骤：

步骤1：使所构造的1/2码率QC LDPC码的码长N为单位矩阵维数q的6倍，N＝6q，单位矩阵维数q为素数，信息比特向量长度为M＝3q；

步骤2：从素数集合{a}和{b}(1<a<q，1<b<q)中选取两素数a和b，构造具有下式形式的1/2码率QC LDPC码的校验矩阵，即

$H(a,b,q)={\left[\begin{array}{cccccc}{I}_0& I_a& I_{a^2}& I_{a^3}& I_{a^4}& I_{a^5}\\ 0& I_0& I_{a^{2}b}& I_{a^{3}b}& I_{a^{4}b}& I_{a^{5}b}\\ I_{b^2}& 0& I_0& I_{a^3{b}^2}& I_{a^4{b}^2}& I_{a^5{b}^2}\end{array}\right]}_{3q\&times;6q}---\left(15\right)$

步骤3：用4环检验方法检验H(a，b，q)是否无4环，如无4环，进到步骤4，否则，返回步骤2，直到取遍集合{a}和{b}内所有a和b；

步骤4：由步骤3获得的H(a，b，q)，令

$A(a,b,q)={\left[\begin{array}{ccc}{I}_0& I_a& I_{a^2}\\ 0& I_0& I_{a^{2}b}\\ I_{b^2}& 0& I_0\end{array}\right]}_{3q\&times;3q}---\left(16a\right)$

及

$B(a,b,q)={\left[\begin{array}{ccc}{I}_{a^3}& I_{a^4}& I_{a^5}\\ I_{a^{3}b}& I_{a^{4}b}& I_{a^{5}b}\\ I_{a^3{b}^2}& I_{a^4{b}^2}& I_{a^5{b}^2}\end{array}\right]}_{3q\&times;3q}---\left(16b\right)$

步骤5：将步骤4得到的两个子矩阵A(a，b，q)和B(a，b，q)代入式(5)得到生成矩阵

G(a，b，q)＝[(A^-1(a，b，q)B(a，b，q))^TI]，

用最小码重估计方法检验式(14)，即

min[w_min{g_m(a，b，q)，m∈{1，...，M}，w_min{mod(g_m(a，b，q)+g_n(a，b，q)，2)，m，n∈{1，...，M}，m≠n}

对于{a}，{b}是否为最大，若是，则H(a，b，q)为所求，否则返回步骤2。

步骤6：将长度为M＝3q的信息比特向量与生成矩阵相乘得到长度为N的码c_n，

$c_n=u_{n}G(a,b,q)=\left[\begin{array}{cc}{c}_n^{\&prime;}& u_n\end{array}\right],$

其中u_n＝[u_n，0，u_n，1，...，u_n，N/2-1]是一个随机的信息比特向量。

如果保持子矩阵A(a，b，q)不变，但改变子矩阵B(a，b，q)的列数，则可以获得其它码率的LDPC码，如3/4码率的LDPC码，见如下具体方法。

本发明提出一种不存在4环和无低码重码的3/4码率QC LDPC码的构造方法，包括下列步骤：

步骤1：使所构造的3/4码率QC LDPC码的码长N为单位矩阵维数q的4倍，N＝4q，单位矩阵维数q为素数，信息比特向量长度为M＝3q；

步骤2：从素数集合{a}和{b}(1<a<q，1<b<q)中选取两素数a和b，构造具有下式形式的3/4码率QC LDPC码的校验矩阵，即

$H(a,b,q)={\left[\begin{array}{cccc}{I}_0& I_a& I_{a^2}& I_{a^3}\\ 0& I_0& I_{a^{2}b}& I_{a^{3}b}\\ I_{b^2}& 0& I_0& I_{a^3{b}^2}\end{array}\right]}_{3q\&times;4q}---\left(17\right)$

步骤3：用4环检验方法检验H(a，b，q)是否无4环，如无4环，进到步骤4，否则，返回步骤2，直到取遍集合{a}和{b}内所有a和b；

步骤4：由步骤3获得的H(a，b，q)，令

$A(a,b,q)={\left[\begin{array}{ccc}{I}_0& I_a& I_{a^2}\\ 0& I_0& I_{a^{2}b}\\ I_{b^2}& 0& I_0\end{array}\right]}_{3q\&times;3q}---\left(18a\right)$

及

$B(a,b,q)={\left[\begin{array}{c}{I}_{a^3}\\ I_{a^{3}b}\\ I_{a^3{b}^2}\end{array}\right]}_{3q\&times;q}---\left(18b\right)$

步骤5：将步骤4得到的两个子矩阵A(a，b，q)和B(a，b，q)代入式(5)得到生成矩阵

G(a，b，q)＝[(A^-1(a，b，q)B(a，b，q))^TI]，

用最小码重估计方法检验式(14)，即

min[w_min{g_m(a，b，q)，m∈{1，...，M}，w_min{mod(g_m(a，b，q)+g_n(a，b，q)，2)，m，n∈{1，...，M}，m≠n，M＝3q}

对于{a}，{b}是否为最大，若是，则H(a，b，q)为所求，否则返回步骤2。

步骤6：将长度为M＝3q的信息比特向量与生成矩阵相乘得到长度为N的码c_n，

$c_n=u_{n}G(a,b,q)=\left[\begin{array}{cc}{c}_n^{\&prime;}& u_n\end{array}\right],$

其中u_n＝[u_n，0，u_n，1，...，u_n，N/2-1]是一个随机的信息比特向量。

本发明还提出一种不存在4环和无低码重码的3/5码率QC LDPC码的构造方法，包括下列步骤。

步骤1：使所构造的3/5码率QC LDPC码的码长N为单位矩阵维数q的5倍，N＝5q，单位矩阵维数q为素数，信息比特向量长度为M＝3q；

步骤2：从素数集合{a}和{b}(1<a<q，1<b<q)中选取两素数a和b，构造具有下式形式的3/5码率QC LDPC码的校验矩阵，即

$H(a,b,q)={\left[\begin{array}{ccccc}{I}_0& I_a& I_{a^2}& I_{a^3}& I_{a^4}\\ 0& I_0& I_{a^{2}b}& I_{a^{3}b}& I_{a^{4}b}\\ I_{b^2}& 0& I_0& I_{a^3{b}^2}& I_{a^4{b}^2}\end{array}\right]}_{3q\&times;5q}---\left(19\right)$

步骤3：用4环检验方法检验H(a，b，q)是否无4环，如无4环，进到步骤4，否则，返回步骤2，直到取遍集合{a}和{b}内所有a和b；

步骤4：由步骤3获得的H(a，b，q)，令

$A(a,b,q)={\left[\begin{array}{ccc}{I}_0& I_a& I_{a^2}\\ 0& I_0& I_{a^{2}b}\\ I_{b^2}& 0& I_0\end{array}\right]}_{3q\&times;3q}---\left(20a\right)$

及

$B(a,b,q)={\left[\begin{array}{cc}{I}_{a^3}& I_{a^4}\\ I_{a^{3}b}& I_{a^{4}b}\\ I_{a^3{b}^2}& I_{a^4{b}^2}\end{array}\right]}_{3q\&times;2q}---\left(20b\right)$

步骤5：将步骤4得到的两个子矩阵A(a，b，q)和B(a，b，q)代入式(5)得到生成矩阵

G(a，b，q)＝[(A^-1(a，b，q)B(a，b，q))^TI]，

用最小码重估计方法检验

min[w_min{g_m(a，b，q)，m∈{1，...，M}，w_min{mod(g_m(a，b，q)+g_n(a，b，q)，2)，m，n∈{1，...，M}，m≠n，M＝3q}

对于{a}，{b}是否为最大，若是，则H(a，b，q)为所求，否则返回步骤2。

步骤6：将长度为M＝3q的信息比特向量与生成矩阵相乘得到长度为N的码c_n，

$c_n=u_{n}G(a,b,q)=\left[\begin{array}{cc}{c}_n^{\&prime;}& u_n\end{array}\right],$

其中u_n＝[u_n，0，u_n，1，...，u_n，M-1]是一个随机的信息比特向量。

从上面三种码率的QC LDPC码的构造方法可以得到3/(3+K)码率QC LDPC码的一般构造方法，其中QC LDPC码校验矩阵H由子矩阵A和子矩阵B构成，子矩阵A的矩阵块列数为3，子矩阵B的矩阵块列数为K，K为大于1的整数，由码率决定。一种不存在4环和无低码重码的3/(3+K)码率QC LDPC码的构造方法，可用附图1的流程图表示，该流程图包括下列具体步骤。

步骤1：使所构造的3/(3+K)码率QC LDPC码的码长N为单位矩阵维数q的3+K倍，N＝(3+K)q，单位矩阵维数q为素数，信息比特向量长度为M＝3q；

步骤2：从素数集合{a}和{b}(1<a<q，1<b<q)中选取两素数a和b，构造具有下式形式的3/(3+K)码率QC LDPC码的校验矩阵，即

$H(a,b,q)={\left[\begin{array}{ccccccc}{I}_0& I_a& I_{a^2}& I_{a^3}& I_{a^4}& L& I_{a^4}\\ 0& I_0& I_{a^{2}b}& I_{a^{3}b}& I_{a^{4}b}& L& I_{a^{3+K-1}b}\\ I_{b^2}& 0& I_0& I_{a^3{b}^2}& I_{a^4{b}^2}& L& I_{a^{3+K-1}{b}^2}\end{array}\right]}_{3q\&times;(3+K)q}---\left(21\right)$

步骤3：用4环检验方法检验H(a，b，q)是否无4环，如无4环，进到步骤4，否则，返回步骤2，直到取遍集合{a}和{b}内所有a和b；

步骤4：由步骤3获得的H(a，b，q)，令

$A(a,b,q)={\left[\begin{array}{ccc}{I}_0& I_a& I_{a^2}\\ 0& I_0& I_{a^{2}b}\\ I_{b^2}& 0& I_0\end{array}\right]}_{3q\&times;3q}---\left(22a\right)$

及

$B(a,b,q)={\left[\begin{array}{cccc}{I}_{a^3}& I_{a^4}& L& I_{a^4}\\ I_{a^{3}b}& I_{a^{4}b}& L& I_{a^{3-K-1}b}\\ I_{a^3{b}^2}& I_{a^4{b}^2}& L& I_{a^{3+K-1}{b}^2}\end{array}\right]}_{3q\&times;\mathrm{Kq}}---\left(22b\right)$

步骤5：将步骤4得到的两个子矩阵A(a，b，q)和B(a，b，q)代入式(5)得到生成矩阵

G(a，b，q)＝[(A^-1(a，b，q)B(a，b，q))^TI]，

用最小码重估计方法检验

min[w_min{g_m(a，b，q)，m∈{1，...，M}，w_min{mod(g_m(a，b，q)+g_n(a，b，q)，2)，

m，n∈{1，...，M}，m≠n，M＝3q}

对于{a}，{b}是否为最大，若是，则H(a，b，q)为所求，否则返回步骤2。

步骤6：将长度为M＝3q的信息比特向量与生成矩阵相乘得到长度为N的码c_n，

$c_n=u_{n}G(a,b,q)=\left[\begin{array}{cc}{c}_n^{\&prime;}& u_n\end{array}\right],$

其中u_n＝[u_n，0，u_n，1，...，u_n，M-1]是一个随机的信息比特向量。

本发明的3/(3+K)码率QC LDPC码的一般构造方法归纳了1/2码率QC LDPC码(K＝3)，3/4码率QC LDPC码(K＝1)和3/5码率QC LDPC码(K＝2)的构造方法，选取不同的K，根据本发明给出的设计步骤，可得到不同码率QC LDPC好码。例如，在3/(3+K)码率QC LDPC码的一般构造方法中，令K＝3，即得到1/2码率QC LDPC码的设计方法。

附图说明

图1是不存在4环和无低码重码的3/(3+K)码率QC LDPC码的构造方法的流程图。

图2是根据本发明一个具体实施方式中H(2，2，47)H^T(2，2，47)的计算结果：采用4环检验方法检验1/2码率QC LDPC码的H(2，2，47)，无4环。

图3是根据本发明一个具体实施方式中H(2，3，47)H^T(2，3，47)的计算结果：采用4环检验方法检验，1/2码率QC LDPC码的H(2，3，47)，无4环。

图4是根据本发明一个具体实施方式中H(2，5，47)H^T(2，5，47)的计算结果：采用4环检验方法检验1/2码率QC LDPC码的H(2，5，47)，无4环。

图5是根据本发明一个具体实施方式中H(2，7，47)H^T(2，7，47)的计算结果：采用4环检验方法检验1/2码率QC LDPC码的H(2，7，47)，无4环。

图6是根据本发明一个具体实施方式中H(2，11，47)H^T(2，11，47)的计算结果：采用4环检验方法检验1/2码率QC LDPC码的H(2，11，47)，无4环。

图7是根据本发明一个具体实施方式中各LDPC码H(2，b，47)，b＝2，3，5，7，11的误码率曲线。

图8是根据本发明另一个具体实施方式中各LDPC码H(2，b，47)，b＝2，3，5，7，11的误码率曲线。

图9是根据本发明又一个具体实施方式中各LDPC码H(2，b，47)，b＝2，3，5，7，11的误码率曲线。

下面结合附图和实施例进一步说明本发明。

具体实施方式

本发明以实例说明所提出的设计方法，计算机仿真结果验证本发明设计的准循环LDPC码具有良好的误码率性能。附图2-附图6中的横轴坐标和纵轴坐标是根据本发明一个具体实施方式中矩阵乘积H(2，b，47)H^T(2，b，47)的元素位置，z轴的数值为矩阵乘积H(2，b，47)H^T(2，b，47)的元素的数值。在4环检验方法中，H(a，b，q)无4环的充要条件是矩阵乘积H(a，b，q)H^T(a，b，q)除对角线外的元素值为0或1，附图2-附图6中的矩阵乘积H(2，b，47)H^T(2，b，47)的数值满足这一条件。在附图7-附图9中的横轴坐标为信噪比，纵轴坐标为误码率。如果LDPC码误码率曲线能够随信噪比增大而快速衰落，则该码为好码。

根据本发明的一个具体实施方式，采用本发明不存在4环和无低码重码的1/2码率QC LDPC码的构造方法设计(N，3，6)码，考察q＝47，a＝2，b＝{2，3，5，7，11}时的4环特性，生成矩阵行向量最小码重，行向量直和最小码重与误码率特性，选取集合中的好码。

在3/(3+K)码率QC LDPC码的一般构造方法中，令K＝3，得到1/2码率QCLDPC码的设计方法，包括下列步骤。

步骤1：K＝3，使所构造的3/(3+K)＝3/6＝1/2码率QC LDPC码的码长N为单位矩阵维数q的3+K＝6倍，N＝(3+K)q＝6q。这里，单位矩阵维数q为素数，q＝47，信息比特向量长度为M＝3q＝141，码长N＝6q＝282；

步骤2：从素数集合{a}＝{2}和{b}＝{2，3，5，7，11}(1<a<47，1<b<47)中选取两素数a和b，构造具有下式形式的3/(3+3)码率QC LDPC码的校验矩阵，即

$H(a,b,q)={\left[\begin{array}{cccccc}{I}_0& I_a& I_{a^2}& I_{a^3}& I_{a^4}& I_{a^5}\\ 0& I_0& I_{a^{2}b}& I_{a^{3}b}& I_{a^{4}b}& I_{a^{5}b}\\ I_{b^2}& 0& I_0& I_{a^3{b}^2}& I_{a^4{b}^2}& I_{a^5{b}^2}\end{array}\right]}_{3q\&times;6q};$

得到构造的H(2，b，47)，b＝2，3，5，7，11，

$H(2,2,47)={\left[\begin{array}{cccccc}{I}_0& I_2& I_{2^2}& I_{2^3}& I_{2^4}& I_{2^5}\\ 0& I_0& I_{2^2\&CenterDot;2}& I_{2^3\&CenterDot;2}& I_{2^4\&CenterDot;2}& I_{2^5\&CenterDot;2}\\ I_{2^2}& 0& I_0& I_{2^3{\&CenterDot;2}^2}& I_{2^4\&CenterDot;2^2}& I_{2^5{\&CenterDot;2}^2}\end{array}\right]}_{3\&CenterDot;47\&times;6\&CenterDot;47}$

$H(2,3,47)={\left[\begin{array}{cccccc}{I}_0& I_2& I_{2^2}& I_{2^3}& I_{2^4}& I_{2^5}\\ 0& I_0& I_{2^2\&CenterDot;3}& I_{2^3\&CenterDot;3}& I_{2^4\&CenterDot;3}& I_{2^5\&CenterDot;3}\\ I_{3^2}& 0& I_0& I_{2^3\&CenterDot;3^2}& I_{2^4\&CenterDot;3^2}& I_{2^5{\&CenterDot;3}^2}\end{array}\right]}_{3\&CenterDot;47\&times;6\&CenterDot;47},$

$H(2,5,47)={\left[\begin{array}{cccccc}{I}_0& I_2& I_{2^2}& I_{2^3}& I_{2^4}& I_{2^5}\\ 0& I_0& I_{2^2\&CenterDot;5}& I_{2^3\&CenterDot;5}& I_{2^4\&CenterDot;5}& I_{2^5\&CenterDot;5}\\ I_{5^2}& 0& I_0& I_{2^3\&CenterDot;5^2}& I_{2^4\&CenterDot;6^2}& I_{2^5{\&CenterDot;5}^2}\end{array}\right]}_{3\&CenterDot;47\&times;6\&CenterDot;47},$

$H(2,7,47)={\left[\begin{array}{cccccc}{I}_0& I_2& I_{2^2}& I_{2^3}& I_{2^4}& I_{2^5}\\ 0& I_0& I_{2^2\&CenterDot;7}& I_{2^3\&CenterDot;7}& I_{2^4\&CenterDot;7}& I_{2^5\&CenterDot;7}\\ I_{7^2}& 0& I_0& I_{2^3\&CenterDot;7^2}& I_{2^4\&CenterDot;7^2}& I_{2^5{\&CenterDot;7}^2}\end{array}\right]}_{3\&CenterDot;47\&times;6\&CenterDot;47},$

$H(2,11,47)={\left[\begin{array}{cccccc}{I}_0& I_2& I_{2^2}& I_{2^3}& I_{2^4}& I_{2^5}\\ 0& I_0& I_{2^2\&CenterDot;11}& I_{2^3\&CenterDot;11}& I_{2^4\&CenterDot;11}& I_{2^5\&CenterDot;11}\\ I_{{11}^2}& 0& I_0& I_{2^3\&CenterDot;{11}^2}& I_{2^4\&CenterDot;{11}^2}& I_{2^5{\&CenterDot;11}^2}\end{array}\right]}_{3\&CenterDot;47\&times;6\&CenterDot;47},$

步骤3：用4环检验方法检验H(a，b，q)均无4环，见附图2-附图6。附图2-附图6显示H(2，b，47)H^T(2，b，47)的矩阵乘积结果，因为H(2，b，47)H^T(2，b，47)，b＝2，3，5，7，11除对角线外的元素值为0或1，所以该组LDPC码无4环。

步骤4：由步骤3获得的H(2，b，47)，b＝2，3，5，7，11，令

$A(2,b,47)={\left[\begin{array}{ccc}{I}_0& I_2& I_{2^2}\\ 0& I_0& I_{2^2\&CenterDot;b}\\ I_{3^2}& 0& I_0\end{array}\right]}_{3\&CenterDot;47\&times;3\&CenterDot;47}$

及

$B(2,b,47)={\left[\begin{array}{ccc}{I}_{2^3}& I_{2^4}& I_{a^5}\\ I_{2^3\&CenterDot;b}& I_{2^4\&CenterDot;b}& I_{2^5\&CenterDot;b}\\ I_{2^3{\&CenterDot;b}^2}& I_{2^4\&CenterDot;b^2}& I_{2^5\&CenterDot;b^2}\end{array}\right]}_{3\&CenterDot;47\&times;3\&CenterDot;47};$

步骤5：将步骤4得到的两子矩阵A(2，b，47)，b＝3，5，7，11和B(2，b，47)，b＝2，3，5，7，11代入下式得到生成矩阵

G(2，b，47)＝[(A^-1(2，b，47)B(2，b，47))^TI]，b＝3，5，7，11；

应用最小码重估计方法，得到表1生成矩阵的行向量最小码重，行向量直和最小码重。

表1.1/2码率QC LDPC码的生成矩阵的行向量最小码重w_min{g_m，m∈{1，...，M}.M＝3q}与行向量直和最小码重w_min{mod(g_m+g_n，2)，m，n∈{1，...，M}，m≠n.M＝3q}

G(2，b，47)  b＝2  b＝3  b＝5  b＝7  b＝11

w_min{g_m，m∈{1，...，M}                76  73  10  72  81

w_min{mod(g_m+g_n，2)，m，n∈{1，...，M}  20  38  10  26  28

由表1知，

使min[w_min{g_m，m∈{1，...，M}，w_min{mod(g_m+g_n，2)，m，n∈{1，...，M}，m≠n，M＝141}为最大的为H(2，3，47)，所以H(2，3，47)为所求。

在所检验的5个LDPC码中，H(2，5，47)存在低码重码，因为

w_min{g_m，m∈{1，...，M}}＝10，

w_min{mod(g_m+g_n，2)，m，n∈{1，...，M}，m≠n}＝10，

导致

w_min{cn，n＝1，...，2^N}≤10。

步骤6：将长度为3q的信息比特向量与生成矩阵相乘得到长度为N的码c_n，

$c_n=u_{n}G(2,3,47)=\left[\begin{array}{cc}{c}_n^{\&prime;}& u_n\end{array}\right],$

其中u_n＝[u_n，0，u_n，1，...，u_n，N/2-1]是一个随机选取的信息比特向量。

对上述一个具体实施方式涉及的各不规则QC LDPC码：H(2，b，47)，b＝2，3，5，7，11进行系统仿真，解码算法采用BP算法，迭代次数为20，调制方式同为BPSK，信道为高斯加性(AWGN)高斯信道。校验矩阵H(2，b，47)，b＝2，3，5，7，11对应的LDPC码误码率曲线见附图7，附图7中的横轴坐标为信噪比，纵轴坐标为误码率。如果LDPC码误码率曲线能够随信噪比增大而快速衰落，则该码为好码。

在所检验的5个LDPC码中，H(2，5，47)存在低码重码，导致其误码率性能最差，见附图7中最上方含圆圈的曲线。H(2，3，47)为本发明方法得到的好码的校验矩阵，其误码率性能最好，见附图7中最下方含倒三角形的曲线。附图7中H(2，11，47)的误码率曲线与H(2，3，47)误码率曲线接近，与表1的最小码重结果吻合，H(2，11，47)的生成矩阵的行向量直和最小码重仅低于H(2，3，47)的行向量直和最小码重。

附图7的结果说明在无4环LDPC码中可以使用本发明提出的方法得到无低码重码的好码。

此外，根据本发明的另一个具体实施方式，采用本发明不存在4环和无低码重码的3/5码率QC LDPC码的构造方法设计(N，3，5)码，考察q＝47，a＝2，b＝{2，3，5，7，11}时的4环特性，生成矩阵行向量最小码重，行向量直和最小码重与误码率特性，选取集合中的好码。

在3/(3+K)码率QC LDPC码的一般构造方法中，令K＝2，得到3/5码率QCLDPC码的设计方法，包括下列步骤。

步骤1：K＝2，使所构造的3/(3+K)＝3/5码率QC LDPC码的码长N为单位矩阵维数q的3+K＝5倍，N＝(3+K)q＝5q。这里，单位矩阵维数q为素数，q＝47，信息比特向量长度为M＝3q＝141，码长N＝5q＝235；

步骤2：从素数集合{a}＝{2}和{b}＝{2，3，5，7，11}(1<a<47，1<b<47)中选取两素数a和b，构造具有下式形式的3/5码率QC LDPC码的校验矩阵，即

$H(a,b,q)={\left[\begin{array}{ccccc}{I}_0& I_a& I_{a^2}& I_{a^3}& I_{a^4}\\ 0& I_0& I_{a^{2}b}& I_{a^{3}b}& I_{a^{4}b}\\ I_{b^2}& 0& I_0& I_{a^3{b}^2}& I_{a^4{b}^2}\end{array}\right]}_{3q\&times;5q};$

得到构造的H(2，b，47)，b＝2，3，5，7，11，

$H(2,2,47)={\left[\begin{array}{ccccc}{I}_0& I_2& I_{2^2}& I_{2^3}& I_{2^4}\\ 0& I_0& I_{2^2\&CenterDot;2}& I_{2^3\&CenterDot;2}& I_{2^4\&CenterDot;2}\\ I_{2^2}& 0& I_0& I_{2^3{\&CenterDot;2}^2}& I_{2^4\&CenterDot;2^2}\end{array}\right]}_{3\&CenterDot;47\&times;5\&CenterDot;47}$

$H(2,3,47)={\left[\begin{array}{ccccc}{I}_0& I_2& I_{2^2}& I_{2^3}& I_{2^4}\\ 0& I_0& I_{2^2\&CenterDot;3}& I_{2^3\&CenterDot;3}& I_{2^4\&CenterDot;3}\\ I_{3^2}& 0& I_0& I_{2^3{\&CenterDot;3}^2}& I_{2^4\&CenterDot;3^2}\end{array}\right]}_{3\&CenterDot;47\&times;5\&CenterDot;47},$

$H(2,5,47)={\left[\begin{array}{ccccc}{I}_0& I_2& I_{2^2}& I_{2^3}& I_{2^4}\\ 0& I_0& I_{2^2\&CenterDot;5}& I_{2^3\&CenterDot;5}& I_{2^4\&CenterDot;5}\\ I_{5^2}& 0& I_0& I_{2^3{\&CenterDot;5}^2}& I_{2^4\&CenterDot;6^2}\end{array}\right]}_{3\&CenterDot;47\&times;5\&CenterDot;47},$

$H(2,7,47)={\left[\begin{array}{ccccc}{I}_0& I_2& I_{2^2}& I_{2^3}& I_{2^4}\\ 0& I_0& I_{2^2\&CenterDot;7}& I_{2^3\&CenterDot;7}& I_{2^4\&CenterDot;7}\\ I_{7^2}& 0& I_0& I_{2^3{\&CenterDot;7}^2}& I_{2^4\&CenterDot;7^2}\end{array}\right]}_{3\&CenterDot;47\&times;5\&CenterDot;47},$

$H(2,11,47)={\left[\begin{array}{ccccc}{I}_0& I_2& I_{2^2}& I_{2^3}& I_{2^4}\\ 0& I_0& I_{2^2\&CenterDot;11}& I_{2^3\&CenterDot;11}& I_{2^4\&CenterDot;11}\\ I_{{11}^2}& 0& I_0& I_{2^3{\&CenterDot;11}^2}& I_{2^4\&CenterDot;{11}^2}\end{array}\right]}_{3\&CenterDot;47\&times;5\&CenterDot;47}.$

步骤3：用4环检验方法检验H(a，b，q)均无4环，结果类似附图2-附图6。

步骤4：由步骤3获得的H(2，b，47)，b＝2，3，5，7，11，令

$A(2,b,47)={\left[\begin{array}{ccc}{I}_0& I_2& I_{2^2}\\ 0& I_0& I_{2^2\&CenterDot;b}\\ I_{3^2}& 0& I_0\end{array}\right]}_{3\&CenterDot;47\&times;3\&CenterDot;47}$

及

$B(2,b,47)={\left[\begin{array}{cc}{I}_{2^3}& I_{2^4}\\ I_{2^3\&CenterDot;b}& I_{2^4\&CenterDot;b}\\ I_{2^{\&CenterDot;3}{b}^2}& I_{2^4{\&CenterDot;b}^2}\end{array}\right]}_{3\&CenterDot;47\&times;2\&CenterDot;47};$

步骤5：将步骤4得到的两子矩阵A(2，b，47)，b＝3，5，7，11和B(2，b，47)，b＝2，3，5，7，11代入下式得到生成矩阵

G(2，b，47)＝[(A^-1(2，b，47)B(2，b，47))^TI]，b＝3，5，7，11；

应用最小码重估计方法，得到表2生成矩阵的行向量最小码重，行向量直和最小码重。

表2.3/5码率QC LDPC码的生成矩阵的行向量最小码重w_min{g_m，m∈{1，...，M}，M＝3q}与行向量直和最小码重w_min{mod(g_m+g_n，2)，m，n∈{1，...，M}，m≠n，M＝3q}

G(2，b，47)                           b＝2  b＝3  b＝5  b＝7  b＝11

w_min{g_m，m∈{1，...，M}                51    53    7     51    53

w_min{mod(g_m+g_n，2)，m，n∈{1，...，M}  46    38    7     38    28

由表2知，

使min[w_min{g_m，m∈{1，...，M}，w_min{mod(g_m+g_n，2)，m，n∈{1，...，M}，m≠n，M＝141}为最大的为H(2，2，47)，所以该H(2，2，47)为所求。

在所检验的5个LDPC码中，H(2，5，47)存在低码重码，因为

w_min{g_m，m∈{1，...，M}}＝7，

w_min{mod(g_m+g_n，2)，m，n∈{1，...，M}，m≠n}＝7，

导致

w_min{c_n，n＝1，...，2^N}≤7。

步骤6：将长度为3q的信息比特向量与生成矩阵G(2，2，47)相乘得到长度为N的码c_n，

$c_n=u_{n}G(2,2,47)=\left[\begin{array}{cc}{c}_n^{\&prime;}& u_n\end{array}\right],$

其中u_n＝[u_n，0，u_n，1，...，u_n，N/2-1]是一个随机选取的信息比特向量。

对上述另一个具体实施方式涉及的各不规则QC LDPC码：H(2，b，47)，b＝2，3，5，7，11进行系统仿真，解码算法采用BP算法，迭代次数为20，调制方式同为BPSK，信道为高斯加性(AWGN)高斯信道。校验矩阵H(2，b，47)，b＝2，3，5，7，11对应的LDPC码误码率曲线见附图8。在所检验的5个LDPC码中，H(2，5，47)存在低码重码，导致其误码率性能最差，参见附图8中最上方含圆圈的曲线。H(2，2，47)为本发明方法得到的好码的校验矩阵，其误码率性能最好，参见附图8中最下方含星号的曲线。附图8中H(2，7，47)的误码率曲线与H(2，2，47)误码率曲线接近，与表2的最小码重结果吻合，H(2，7，47)的生成矩阵的行向量直和最小码重仅低于H(2，2，47)的行向量直和最小码重。

附图8的结果说明在无4环LDPC码中可以使用本发明提出的方法得到无低码重码的好码。

此外，根据本发明的又一个具体实施方式，采用本发明不存在4环和无低码重码的3/4码率QC LDPC码的构造方法设计(N，3，4)码，考察q＝47，a＝7，b＝{2，3，5，7，11}时的4环特性，生成矩阵行向量最小码重，行向量直和最小码重与误码率特性，选取集合中的好码。

在3/(3+K)码率QC LDPC码的一般构造方法中，令K＝1，得到3/4码率QCLDPC码的设计方法，包括下列步骤。

步骤1：K＝1，使所构造的3/(3+K)＝3/4码率QC LDPC码的码长N为单位矩阵维数q的3+K＝4倍，N＝(3+K)q＝4q。这里，单位矩阵维数q为素数，q＝47，信息比特向量长度为M＝3q＝141，码长N＝4q＝188；

步骤2：从素数集合{a}＝{7}和{b}＝{2，3，5，7，11}(1<a<47，1<b<47)中选取两素数a和b，构造具有下式形式的3/4码率QC LDPC码的校验矩阵，即

$H(a,b,q)={\left[\begin{array}{cccc}{I}_0& I_a& I_{a^2}& I_{a^3}\\ 0& I_0& I_{a^{2}b}& I_{a^{3}b}\\ I_{b^2}& 0& I_0& I_{a^3{b}^2}\end{array}\right]}_{3q\&times;4q},$

得到构造的H(7，b，47)，b＝2，3，5，7，11，

$H(7,2,47)={\left[\begin{array}{cccc}{I}_0& I_7& I_{7^2}& I_{7^3}\\ 0& I_0& I_{7^2\&CenterDot;2}& I_{7^3\&CenterDot;2}\\ I_{2^2}& 0& I_0& I_{7^3\&CenterDot;2^2}\end{array}\right]}_{3\&CenterDot;47\&times;4\&CenterDot;47};$

$H(7,3,47)={\left[\begin{array}{cccc}{I}_0& I_7& I_{7^2}& I_{7^3}\\ 0& I_0& I_{7^2\&CenterDot;3}& I_{7^3\&CenterDot;3}\\ I_{3^2}& 0& I_0& I_{7^3\&CenterDot;3^2}\end{array}\right]}_{3\&CenterDot;47\&times;4\&CenterDot;47},$

$H(7,5,47)={\left[\begin{array}{cccc}{I}_0& I_7& I_{7^2}& I_{7^3}\\ 0& I_0& I_{7^2\&CenterDot;5}& I_{7^3\&CenterDot;5}\\ I_{5^2}& 0& I_0& I_{7^3\&CenterDot;5^2}\end{array}\right]}_{3\&CenterDot;47\&times;4\&CenterDot;47},$

$H(7,7,47)={\left[\begin{array}{cccc}{I}_0& I_7& I_{7^2}& I_{7^3}\\ 0& I_0& I_{7^2\&CenterDot;7}& I_{7^3\&CenterDot;7}\\ I_{7^2}& 0& I_0& I_{7^3\&CenterDot;7^2}\end{array}\right]}_{3\&CenterDot;47\&times;4\&CenterDot;47},$

$H(7,11,47)={\left[\begin{array}{cccc}{I}_0& I_7& I_{7^2}& I_{7^3}\\ 0& I_0& I_{7^2\&CenterDot;11}& I_{7^3\&CenterDot;11}\\ I_{{11}^2}& 0& I_0& I_{7^3\&CenterDot;{11}^2}\end{array}\right]}_{3\&CenterDot;47\&times;4\&CenterDot;47}.$

步骤3：用4环检验方法检验H(a，b，q)均无4环，结果类似附图2-附图6。

步骤4：由步骤3获得的H(7，b，47)，b＝2，3，5，7，11，令

$A(7,b,47)={\left[\begin{array}{ccc}{I}_0& I_2& I_{2^2}\\ 0& I_0& I_{2^2\&CenterDot;b}\\ I_{3^2}& 0& I_0\end{array}\right]}_{3\&CenterDot;47\&times;3\&CenterDot;47}$

及

$B(7,b,47)={\left[\begin{array}{c}{I}_{2^3}\\ I_{2^3\&CenterDot;b}\\ I_{2^3{\&CenterDot;b}^2}\end{array}\right]}_{3\&CenterDot;47\&times;47};$

步骤5：将步骤4得到的两子矩阵A(7，b，47)，b＝3，5，7，11和B(7，b，47)，b＝2，3，5，7，11代入下式得到生成矩阵

G(7，b，47)＝[(A^-1(7，b，47)B(7，b，47))^TI]，b＝3，5，7，11；

应用最小码重估计方法，得到表3生成矩阵的行向量最小码重，行向量直和最小码重。

表3.3/4码率QC LDPC码的生成矩阵的行向量最小码重w_min{g_m，m∈{1，...，M}，M＝3q}与行向量直和最小码重w_min{mod(g_m+g_n，2)，m，n∈{1，...，M}，m≠n，M＝3q}

G(7，b，47)                           b＝2  b＝3  b＝5  b＝7  b＝11

w_min{g_m，m∈{1，...，M}                75    62    65    67    71

w_min{mod(g_m+g_n，2)，m，n∈{1，...，M}  26    18    34    24    18

由表3知，

使min[w_min{g_m，m∈{1，...，M}，w_min{mod(g_m+g_n，2)，m，n∈{1，...，M}，m≠n，M＝141}为最大的为H(7，5，47)，所以H(7，5，47)为所求。

在所检验的5个LDPC码中，不存在低码重码，因为

w_min{g_m，m∈{1，...，M}}>＝62，

w_min{mod(g_m+g_n，2)，m，n∈{1，...，M}，m≠n}>＝18，并由附图9中各误码率曲线接近得以验证。

步骤6：将长度为3q的信息比特向量与生成矩阵G(7，5，47)相乘得到长度为N的码c_n，

$c_n=u_{n}G(7,5,47)=\left[\begin{array}{cc}{c}_n^{\&prime;}& u_n\end{array}\right],$

其中u_n＝[u_n，0，u_n，1，...，u_n，N/2-1]是一个随机选取的信息比特向量。

对上述又一个具体实施方式涉及的各不规则QC LDPC码：H(7，b，47)，b＝2，3，5，7，11进行系统仿真，解码算法采用BP算法，迭代次数为20，调制方式同为BPSK，信道为高斯加性(AWGN)高斯信道。校验矩阵H(7，b，47)，b＝2，3，5，7，11对应的LDPC码误码率曲线见附图9。附图9中的横轴坐标为信噪比，纵轴坐标为误码率。在所检验的5个LDPC码中，不存在低码重码，其误码率性能接近。H(7，5，47)为本发明方法得到的好码的校验矩阵，其误码率性能最好，附图8中最下方含圆圈的曲线。附图9中5个LDPC码的误码率曲线接近，与表3的最小码重结果吻合。

上述多个具体实施方式给出了3/(K+3)码率小范围参数集合内搜索无4环无低码重码的好码的方法。只须参照上述3个具体实施方式的步骤，本发明的方法可直接得到3/(K+3)，K>3的其它码率、大范围参数集合内搜索无4环无低码重码的好码。

以上所述，仅为本发明较佳的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明揭露的技术范围内，可轻易想到的变化或替换，都应涵盖在本发明的保护范围之内。因此，本发明的保护范围应该以权利要求的保护范围为准。

Claims (8)

1、一种不存在4环和无低码重码的3/(3+K)码率QC LDPC码的构造方法，其中QC LDPC码校验矩阵H(a，b，q)由子矩阵A(a，b，q)和子矩阵B(a，b，q)构成，子矩阵A(a，b，q)的矩阵块列数为3，子矩阵B(a，b，q)的矩阵块列数为K，K为大于1的整数，K由码率决定，其特征在于，包括下列步骤：

步骤1：使所构造的3/(3+K)码率QC LDPC码的码长N为单位矩阵维数q的3+K倍，N＝(3+K)q，单位矩阵维数q为素数，信息比特向量长度为M＝3q；

步骤2：从素数集合{a}和{b}(1<a<q，1<b<q)中选取两素数a和b，构造具有下式形式的3/(3+K)码率QC LDPC码的校验矩阵，即

$H(a,b,q)={\left[\begin{array}{ccccccc}{I}_0& I_a& I_{a^2}& I_{a^3}& I_{a^4}& L& I_{a^4}\\ 0& I_0& I_{a^{2}b}& I_{a^{3}b}& I_{a^{4}b}& L& I_{a^{3+K-1}b}\\ I_{b^2}& 0& I_0& I_{a^3{b}^2}& I_{a^4{b}^2}& L& I_{a^{3+K-1}{b}^2}\end{array}\right]}_{3q\&times;(3+K)q};$

步骤3：用4环检验方法检验H(a，b，q)是否无4环，如无4环，进到步骤4，否则，返回步骤2，直到取遍集合{a}和{b}内所有a和b；

步骤4：由步骤3获得的H(a，b，q)，令

$A(a,b,q)={\left[\begin{array}{ccc}{I}_0& I_a& I_{a^2}\\ 0& I_0& I_{a^{2}b}\\ I_{b^2}& 0& I_0\end{array}\right]}_{3q\&times;3q}$

及

$B(a,b,q)={\left[\begin{array}{cccc}{I}_{a^3}& I_{a^4}& L& I_{a^4}\\ I_{a^{3}b}& I_{a^{4}b}& L& I_{a^{3+K-1}b}\\ I_{a^3{b}^2}& I_{a^4{b}^2}& L& I_{a^{3+K-1}{b}^2}\end{array}\right]}_{3q\&times;\mathrm{Kq}};$

步骤5：将步骤4得到的两个子矩阵A(a，b，q)和B(a，b，q)代入下式得到生成矩阵

G(a，b，q)＝[(A^-1(a，b，q)B(a，b，q))^TI]，

用最小码重估计方法检验

min[w_min{g_m(a，b，q)，m∈{1，...，M}，w_min{mod(g_m(a，b，q)+g_n(a，b，q)，2)，m，n∈{1，...，M}，m≠n.M＝3q}

判断对于{a}，{b}是否为最大，若是，则H(a，b，q)为所求，否则返回步骤2；

步骤6：将长度为M＝3q的信息比特向量与生成矩阵相乘得到长度为N的码c_n，

c_n＝u_nG(a，b，q)＝[c_n u_n]，

其中u_n＝[u_n，0，u_n，1，...，u_n，M-1]是一个随机的信息比特向量。

2、根据权利要求1的方法，其特征在于，上述步骤2中，校验矩阵H(a，b，q)中第(s，t)个循环子矩阵由q×q的单位矩阵I按照行的方向向右循环移位动P_s，t＝a^sb^t位产生。

3、根据权利要求1的方法，其特征在于，上述步骤3中，用4环检验方法检验校验矩阵H(a，b，q)是否无4环，是检查H(a，b，q)H^T(a，b，q)除对角线外的元素值为0或1，如果满足该条件，则校验矩阵H(a，b，q)无4环，否则校验矩阵H(a，b，q)有4环。

4、根据权利要求1的方法，其特征在于，上述步骤4中，生成矩阵G(a，b，q)由校验矩阵H(a，b，q)的子矩阵A(a，b，q)和子矩阵B(a，b，q)计算，G(a，b，q)＝[(A^-1(a，b，q)B(a，b，q))^TI]，校验矩阵的H(a，b，q)的子矩阵A(a，b，q)和子矩阵B(a，b，q)在上述步骤3中给出，即

$A(a,b,q)={\left[\begin{array}{ccc}{I}_0& I_a& I_{a^2}\\ 0& I_0& I_{a^{2}b}\\ I_{b^2}& 0& I_0\end{array}\right]}_{3q\&times;3q}$ 及 $B(a,b,q)={\left[\begin{array}{cccc}{I}_{a^3}& I_{a^4}& L& I_{a^4}\\ I_{a^{3}b}& I_{a^{4}b}& L& I_{a^{3+K-1}b}\\ I_{a^3{b}^2}& I_{a^4{b}^2}& L& I_{a^{3+K-1}{b}^2}\end{array}\right]}_{3q\&times;\mathrm{Kq}}.$

5、根据权利要求1的方法，其特征在于，上述步骤5中，用最小码重估计方法检验校验矩阵H是否有低码重码，在

min[w_min{g_m(a，b，q)，m∈{1，...，M}，w_min{mod(g_m(a，b，q)+g_n(a，b，q)，2)，m，n∈{1，...，M}，m≠n}中，g_m(a，b，q)和g_n(a，b，q)为生成矩阵G(a，b，q)的行向量，mod(g_m(a，b，q)+g_n(a，b，q)，2)，m，n∈{1，...，M}，m≠n为生成矩阵G两行向量g_m(a，b，q)和g_n(a，b，q)的直和。

6、根据权利要求1的方法，其特征在于，K＝3时，得到一种不存在4环和无低码重码的1/2码率QC LDPC码的构造方法，其中步骤2中所构造的所述校验矩阵具有下式形式，即

$H(a,b,q)={\left[\begin{array}{cccccc}{I}_0& I_a& I_{a^2}& I_{a^3}& I_{a^4}& I_{a^5}\\ 0& I_0& I_{a^{2}b}& I_{a^{3}b}& I_{a^{4}b}& I_{a^{5}b}\\ I_{b^2}& 0& I_0& I_{a^3{b}^2}& I_{a^4{b}^2}& I_{a^5{b}^2}\end{array}\right]}_{3q\&times;6q};$

在步骤4中设置子矩阵A(a，b，q)和子矩阵B(a，b，q)，分别设置为

$A(a,b,q)={\left[\begin{array}{ccc}{I}_0& I_a& I_{a^2}\\ 0& I_0& I_{a^{2}b}\\ I_{b^2}& 0& I_0\end{array}\right]}_{3q\&times;3q}$ 及 $B(a,b,q)={\left[\begin{array}{ccc}{I}_{a^3}& I_{a^4}& I_{a^5}\\ I_{a^{3}b}& I_{a^{4}b}& I_{a^{5}b}\\ I_{a^3{b}^2}& I_{a^4{b}^2}& I_{a^5{b}^2}\end{array}\right]}_{3q\&times;3q}.$

7、根据权利要求1的方法，其特征在于，K＝1时，得到一种不存在4环和无低码重码的3/4码率QC LDPC码的构造方法，其中步骤2中所构造的所述校验矩阵H(a，b，q)的形式如下，即

$H(a,b,q)={\left[\begin{array}{cccc}{I}_0& I_a& I_{a^2}& I_{a^3}\\ 0& I_0& I_{a^{2}b}& I_{a^{3}b}\\ I_{b^2}& 0& I_0& I_{a^3{b}^2}\end{array}\right]}_{3q\&times;4q};$

在步骤4中分别设置子矩阵A(a，b，q)和子矩阵B(a，b，q)，其中

$A(a,b,q)={\left[\begin{array}{ccc}{I}_0& I_a& I_{a^2}\\ 0& I_0& I_{a^{2}b}\\ I_{b^2}& 0& I_0\end{array}\right]}_{3q\&times;3q}$ 及 $B(a,b,q)={\left[\begin{array}{c}{I}_{a^3}\\ I_{a^{3}b}\\ I_{a^3{b}^2}\end{array}\right]}_{3q\&times;q}.$

8、根据权利要求1的方法，其特征在于，K＝2时，得到一种不存在4环和无低码重码的3/5码率QC LDPC码的构造方法，其中步骤2中所构造的所述校验矩阵H(a，b，q)的形式如下，即，

$H(a,b,q)={\left[\begin{array}{ccccc}{I}_0& I_a& I_{a^2}& I_{a^3}& I_{a^4}\\ 0& I_0& I_{a^{2}b}& I_{a^{3}b}& I_{a^{4}b}\\ I_{b^2}& 0& I_0& I_{a^3{b}^2}& I_{a^4{b}^2}\end{array}\right]}_{3q\&times;5q};$

在步骤4中分别设置子矩阵A(a，b，q)和子矩阵B(a，b，q)，其中

$A(a,b,q)={\left[\begin{array}{ccc}{I}_0& I_a& I_{a^2}\\ 0& I_0& I_{a^{2}b}\\ I_{b^2}& 0& I_0\end{array}\right]}_{3q\&times;3q}$ 及 $B(a,b,q)={\left[\begin{array}{cc}{I}_{a^3}& I_{a^4}\\ I_{a^{3}b}& I_{a^{4}b}\\ I_{a^3{b}^2}& I_{a^4{b}^2}\end{array}\right]}_{3q\&times;2q}.$

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