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Elektrisches Widerstandsanalogon zur Lösung der Poisson'schen Differentialgleichung
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welches aus einem Widerstandsnetz von festen oder verstellbaren Widerständen oder aus einem leitenden Elektrolyt oder aus einer leitenden oder halbleitenden Folie oder deren Kombination gebildet ist.
Auf dem Gebiet der Wissenschaft und der Technik kommt eine grosse Anzahl von Problemen vor, welche mathematisch als partiale Differentialgleichungen II. Ordnung, die sogenannten Poisson'schen Differentialgleichungen beschrieben werden können, welche z. B. in rechtwinkeligen Koordinaten nachstehende Form aufweisen :
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wobei ! die geuschte Funktion, x, y, z die Koordinaten und f, g, h, F beliebige Funktionen sind, welche in manchen Fällen dem Nullwert gleich werden können.
Diese Gleichung kommt z. B. in der Flüssigkeitsströmungslehre, in der Filtrationslehre, Wärmelehre, Festigkeit-un Elastizitätslehre und in der Lehre der elektrischen und magnetischen Felder usw. vor. Eine allgemeine Lösung dieser Gleichung durch mathematische Analyse ist nicht möglich. Essind aber verschiedene Methoden der analogen Lösung bekannt, z. B. mittels eines elektrolytischen Troges, der Widerstandspapiere und der elektrischen Widerstandsnetze. Ihr Prinzip beruht in der analogen Beziehung zwischen dem elektrischen Spannungsfeld im Leiter und der untersuchten, durch die Gleichung (1) beschriebenen Erscheinung. Die Theorie und die praktische Ausführung solcher Analoga werden z. B. in dem Buche W. J.
Karplus "Analog Simulation", herausgegeben durch Me Graw-Hill Comp., ausführlich beschrieben.
Ein gemeinsames Merkmal für diese Analoga zur Lösung der Gleichung (1) besteht darin, dass den einzelnen Punkten des Widerstandsmediums die der rechten Seite der Gleichung (1) proportionalen Ströme zugeführt werden. Zum Zweck der Erzielung einer ausreichenden Präzision muss die Zahl der Netzknotenpunkte und dadurch auch die Zahl der zugeführten Ströme ausreichend gross sein, etwa im Bereich von 100 bis 1000. Die Funktion auf der rechten Seite der Gleichung wird manchmal beträchtlich kompliziert und deren Berechnung und die Einstellung von einigen hundert Strömen nach dem berechneten Wert ist mühselig. Besonders schwierig ist die Auswertung dann, wenn auf der rechten Seite der Gleichung die Ableitung irgendeiner angegebenen Funktion nach irgendeiner Koordinate vorkommt.
Die angeführten Nachteile beseitigt das elektrische Widerstandsanalogon zur Lösung der Poisson'schen Differentialgleichung, welches aus einem in zwei oder drei Richtungen des angewandtenKoordinatensy-
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stems leitenden Widerstandsmedium besteht, welches entweder aus einem Widerstandsnetz fester oder verstellbarer Widerstände oder einem leitenden Elektrolyt oder einer leitenden oder halbleitenden Folie oder derenKombination aufgebaut ist, wobei in die einzelnen Knotenpunkte dieses Widerstandsmediums Strom-bzw. Spannungsquellen, u. zw. entweder direkt oder über den elektrischen Widerstand geschaltet sind.
Erfindungsgemäss wird dies dadurch erreicht, dass das Widerstandsmedium aus zwei oder drei Widerstandssystemen besteht, welche über Vielpolschalter an eine gemeinsame Buchsenplatte anschliessbar sind, wobei jedes Widerstandssystem entsprechend der Richtung einer Koordinate des angewandten Koordinatensystems in leitenden Zustand versetzbar und das Widerstandsmedium durch Einschalten der Vielpolschalter gebildet ist.
Falls den Knotenpunkten des so geteilten Widerstandsmediums Ströme zugeführt werden, welche der Ableitung einer bestimmten Funktion gemäss der die Verteilungsrichtung des Widerstandsmediums aufweisenden Koordinate proportional sind, so wird dem so verteilten Widerstandsmedium die dem Integral der rechten Seite der Gleichung gemäss der Koordinate, d. h. der gegebenen Funktion, proportionale Spannung angelegt.
Diese Tatsache kann man dann zum mühelosen Einstellen der Ströme benutzen, die die rechte Seite der Gleichung (1) darstellen, denn es genügt, die Ströme in dem Widerstandsmedium so einzustellen, dass die darauf erzielte Spannung der gegebenen Funktion proportional wird, deren Ableitung sich auf der rechten Seite der Gleichung befindet. Dies ergibt noch einen weiteren Vorteil, u. zw. den, dass die Spannung üblicherweise schneller und genauer zu messen ist als der Strom. Das Analogon kann ausser dem Grundwiderstandsmedium noch weiter mit einem oder mehreren Hilfswiderstandsmedien versehen werden, welche auf die die Koordinatenrichtung aufweisenden Widerstandssysteme verteilt sind, welcher Richtung nach die bestimmte Funktion auf der rechten Seite der Gleichung differenziert wird.
Als Widerstandsmedium kann ein aus festen oder verstellbaren Widerständen, einem Elektrolyt, leitende oder halbleitende Folien oder deren Kombinationen bestehendes Widerstandsnetz benutzt werden.
Im folgenden ist ein Ausführungsbeispiel der Erfindung unter Bezugnahme auf die Zeichnung näher beschrieben, in der ein Schema eines zweidimensionalen Widerstandsmediums eines erfindungsgemä- ssen Analogons, u. zw. unter Anwendung von vier Widerstandssystemen in der Richtung einer Koordinate und von fünf Widerstandssystemen in der Richtung der andern Koordinate, gezeigt ist.
Das zweidimensionale Widerstandsmedium besteht aus einem System-D-von in der Richtung einer, z. B. der x-Koordinate leitenden Widerstandsreihen, und aus einem System-E-von in der Richtung der andern, z. B. der y-Koordinate leitenden Widerstandsreihen. Die Widerstandssysteme --D und E-- sind der gemeinsamen Buchsenplatte-A-- angeschlossen, deren Buchsen zum Schalten von Strombzw. Spannungsquellen mittels zweier Vielpolschaltersysteme --B und C-dienen, u. zw. das B-System zum Schalten der Reihen von D-Widerständen zu Knotenpunkten und das C-System zum Schalten der Reihen von E-Widerständen zu Knotenpunkten. Die Vielpolschalter können auch als Relais ausgeführt sein.
Im folgenden wird zur näheren Erläuterung ein Anwendungsbeispiel angeführt.
Es soll die Wärmedeformation einer rechtwinkeligen Platte in der x-Richtung berechnet werden.
Dazu wird die Poisson'sche Gleichung für ein ebenes Koordinatensystem in der Form
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verwendet, in der x, y die Koordinaten (m),
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Die Verteilung der Temperatur T in allen Punkten der Platte sei gegeben. Die linke Seite der Platte soll als eingespannt angesehen und die obgenannte Gleichung zur Lösung des Problems benutzt
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Nach dem Ausschalten der Schalter-C--und dem Einschalten der Schalter --8-- bekommt man Reihen von Widerständen, die nur in der x-Richtung leitend sind. Die linken Punkte der Widerstandsreihen werden geerdet, um die Einspannung der Platte zu simulieren. Den einzelnen Knotenpunkten werden solche Ströme zugeführt, dass der Spannungsabfall an jedem Widerstand dem Wert E 01. T entspricht (oder, da Ea = konstant, der Temperatur T proportional ist). Die Einstellung der Ströme erfolgt von der rechten Seite nach links, damit die einmal eingestellten Ströme durch Einstellung in weiteren Knotenpunkten nicht geändert werden.
Nach der Einstellung der Ströme in allen Knotenpunkten, die der gegebenen Platte entsprechen, werden die Schalter-C--eingeschaltet und das Potential in den einzelnen Knotenpunktengemessen. Dieses Potential ist der Lösung der Gleichung (2) für die gegebene Randbedingung und die gegebene Temperaturverteilung sowie auch die durch dieTemperatur verursachte Verschie- bung der einzelnen Punkte des Körpers proportional.
Bei der Anwendung eines elektrolytischen Troges als Widerstandsmedium ist dessen Verteilung auf Widerstandsbereiche durch das Einlegen vonnichtleitenden Trennwänden in den Elektrolyten zu verwirklichen. Als Widerstandsmedium kann eine leitende oder halbleitende Folie benutzt werden. In den Fällen, wo das Widerstandsmedium nicht mühelos zu verteilen und wieder zu verbinden ist, z. B. bei einem leitenden Papierband, sind zwei Widerstandsmedien anzuwenden, u. zw. ein kompaktesund ein verteil- tes Widerstandsmedium, und die Ströme mittels eines dauerhaft verteilten Widerstandsmediums einzustellen. Die Knotenpunkte der beiden Widerstandsmedien sind an die gemeinsame Buchsenplatte mittels der Vielpolschaltersysteme angeschlossen.
PATENTANSPRÜCHE :
1. Elektrisches Widerstandsanalogon zur Lösung der Poisson'sehen Differentialgleichung, bestehend aus einem in zwei oder drei Richtungen leitenden Widerstandsmedium, welches aus einem Widerstandsnetz von festen oder verstellbaren Widerständen oder aus einem leitenden Elektrolyt oder aus einer leitenden oder halbleitenden Folie oder deren Kombination gebildet ist, dadurch gekennzeichnet, dass das Widerstandsmedium aus zwei oder drei Widerstandssystemen (D, E) besteht, welche über Vielpolschalter (B, C) an eine gemeinsame Buchsenplatte (A) anschliessbar sind, wobei jedes Widerstandssystem entsprechend der Richtung einer Koordinate des angewandten Koordinatensystems in leitenden Zustand versetzbar und das Widerstandsmedium durch Einschalten der Vielpolschalter (B, C) gebildet ist.