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Vorrichtung zur automatischen und kontinuierlichen Interpolation Die
Erfindung betrifft eine Vorrichtung zur automatischen und kontinuierlichen Interpolation
der Werte einer Größe, welche eine Funktion zweier Veränderlicher darstellt, die
jeweils nur für diskrete Argumentpaare der beiden Veränderlichen verfügbar ist.
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Es kommt häufig vor, daß eine Funktion nur für diskrete Werte der
Veränderlichen bekannt ist. Dies kann an der Ausbildung des Meßgerätes oder auch
an der Art des untersuchten Vorgangs liegen. Wenn man, wie dies meist der Fall ist,
die betreffende Größe zwischen diesen diskreten Werten kennen will, muß interpoliert
werden. Eine der benutzten Methoden besteht darin, diese Werte durch leicht meßbare
elektrische Potentiale darzustellen und die Interpolationen mit Hilfe von Spannungsteilern
vorzunehmen, welche zwischen auf diese Potentiale gebrachte Punkte gelegt werden.
Wenn zahlreiche Interpolationen erforderlich sind, wird dieses Verfahren sehr beschwerlich.
Dies gilt insbesondere für den Fall, daß es sich um die Funktion zweier Veränderlicher
handelt, die jeweils nur für diskrete Argumentpaare der beiden Veränderlichen verfügbar
ist. Diese verfügbaren Werte der Funktion zu diskreten Argumentpaaren der Veränderlichen
können beispielsweise elektrisch in Form eines zweidimensionalen Widerstandsnetzes
nachgebildet werden, das beispielsweise aus einem Quadratnetz von miteinander verbundenen
Widerständen besteht, wobei die Knotenpunkte des Widerstandsnetzwerkes den betreffenden
Argumentpaaren der Veränderlichen entsprechen, zu welchen die Funktionswerte bekannt
sind; durch entsprechende Wahl der Widerstände und der Speisespannungen des Netzwerkes
läßt sich erreichen, daß die elektrischen Potentiale der Knotenpunkte die vorgegebenen
Werte der Funktion an diesen Stellen wiedergeben. Soll der Funktionswert für andere
als die vorgegebenen diskreten Argumentpaare der beiden Veränderlichen ermittelt
werden, so ist eine Interpolation erforderlich. Diese Interpolation könnte, wie
erwähnt, mit Hilfe von zwischen benachbarte Knotenpunkte geschalteten Spannungsteilern
erfolgen; soweit die Interpolation für einen auf der Verbindungslinie zweier Knotenpunkte
liegenden Punkt gewünscht wird, würde hierzu ein einziger Spannungsteiler ausreichen,
der zwischen die beiden Knotenpunkte geschaltet wird. Für den allgemeinen Fall jedoch,
wo die Funktionswerte für Argumentpaare bestimmt werden sollen, welche nicht auf
den Verbindungslinien der Knotenpunkte liegen, wären jeweils drei Spannungsteiler
erforderlich. Offensichtlich ist dieses Verfahren der Interpolation mit Hilfe von
zwischen die Knotenpunkte zu schaltenden Spannungsteilern mühsam und beschwerlich.
Wenn der Funktionsverlauf nicht nur an einzelnen zwischen den vorgegebenen diskreten
Argumentpaaren liegenden Stellen, sondern innerhalb eines ganzen Gebiets der Veränderlichen
gewünscht wird (dieser Funktionsverlauf innerhalb eines ganzen Gebiets kann beispielsweise
mittels der Linien, entlang welcher die Funktion gleiche Werte besitzt [»Äquipotentiallinien«1,
wiedergegeben werden), werden diese Schwierigkeiten prohibitiv.
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Durch die Erfindung soll daher eine Interpolationsvorrichtung zur
Ermittlung der Werte einer Funktion zweier Veränderlicher geschaffen werden, bei
welcher die erwähnten Schwierigkeiten nicht auftreten und mit geringstmöglichem
konstruktivem Aufwand eine vollkommen kontinuierliche Interpolation ohne die Zuhilfenahme
gesonderter Spannungsteiler od. dgl., die zwischen die Grenzen des Interpolationsintervalls
geschaltet werden müssen, ermöglicht wird.
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Zu diesem Zweck kennzeichnet sich eine Interpolationsvorrichtung gemäß
der Erfindung durch wenigstens vier gleichartige rechteckige Leiterplatten mit paarweise
zueinander parallelen Seiten, welche nebeneinander, jedoch elektrisch voneinander
isoliert, in wenigstens -zwei jeweils zu den Seiten der
Elemente:
parallelen Zeilen und Spalten angeordnet sind und deren jeder ein elektrisches Potential
zugeführt wird, dessen Wechselstromkomponente proportional dem Wert der genannten
Funktion für das der Zeile und Spalte des betreffenden Elementes entsprechende.,Argumentpaar
ist, wobei jede Zeile einem diskreten Wert der einen Veränderlichen und jede Spalte
einem diskreten Wert der anderen Veränderlichen entspricht, durch eine die Oberfläche
der genannten Leiterelemente überdeckende dielektrische Folie konstanter Dicke,
durch eine nach Form und Abmessungen mit den erwähnten Leiterelementen übereinstimmende
Sonde, welche auf der Folie mittels einer Führung in beliebiger Richtung parallel
zur Oberfläche der erwähnten Leiterelemente und zu ihrer eigenen Ebene sowie unter
Aufrechterhaltung der Seitenparallelität zwischen der Sonde und den erwähnten Leiterelementen
verschiebbar ist, sowie durch einen Detektor zur Bestimmung der Wechselstromkompönente
des an der Sonde auftretenden elektrischen Potentials, deren jeweiliger Betrag den
interpolierten Funktionswert für die der Relativstellung der Sonde bezüglich der
Leiterelemente entsprechenden Wertpaare der beiden Veränderlichen wiedergibt.
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Gemäß bevorzugten Ausführungsformen ist dabei vorgesehen, daß die
Leiterelemente eine ebene Fläche bilden und vorzugsweise quadratische Form besitzen,
wobei die Sonde ebenfalls eben und vorzugsweise quadratisch ausgebildet ist.
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Das erfindungsgemäße Prinzip der komplexen Interpolation beruht auf
folgender Wirkungsweise: Die den vorgegebenen diskreten Argumentwertpaaren entsprechenden
Funktionswerte werden durch Wechselstrompotentiale der in Zeilen und Spalten in
einer Fläche nebeneinander, jedoch elektrisch voneinander isoliert angeordneten
Leiterplatten elektrisch nachgebildet; die Interpolation auf beliebige Zwischenwerte
erfolgt in einfachster Weise mittels der in Form und Abmessung den Leiterplatten
entsprechenden Sonde, die parallel zu der Fläche der Leiterplatten und zu sich selbst
und unter Aufrechterhaltung der Seitenparallelität zu den Leiterplatten in beliebiger
Richtung über die Fläche der Leiterplatten hin verschoben wird, und zwar in gleichbleibendem,
vorzugsweise durch eine zwischengelegte dielektrische Folie gewährleistetem Abstand
von diesen. Die in der Sonde entsprechend ihrer jeweiligen Relativstellung bezüglich
den Leiterplatten influenzierte Wechselspannung ist das bezüglich. der anteiligen
überlappung der Sonde mit den von ihr nach ihrer jeweiligen Stellung überdeckten
Leiterplatten gewogene Mittel der Wechselstromkomponenten der Potentiale der genannten
Leiterplatten und stellt somit die elektrische Nachbildung des Funktionswertes entsprechend
der jeweiligen beliebigen Zwischenstellung dar.
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Auf diese Weise wird mit geringstmöglichem konstruktivem Aufwand eine
vollkommen kontinuierliche Interpolation der Funktionswerte innerhalb eines ganzen
Bereichs ermöglicht, ohne daß hierzu besondere Hilfsmittel, wie Spannungsteiler
od. dgl., die jeweils an der Interpolationsstelle mit den Grenzen des Interpolatiönsintervalls
verbunden werden müßten, benötigt werden.
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Aus der deutschen .Patentschrift 885165 sind Netzwerke zur elektrischen
Nachbildung mathematischer--Operationen , in Rechenanlagen bekannt, wobei diese
Netzwerke unter anderem auch :variable Kondensatoren aufweisen; diese Kondensatoren
gehören jedoch zu den Parametern der elektrischen Nachbildung, d. h., sie sind Teile
des Netzwerkes und müssen je nach der nachzubildenden Operation entsprechend gewählt
werden. Das der vorliegenden Erfindung zugrunde liegende Problem einer Interpolation
der Funktionswerte einer Funktion zweier Veränderlicher besteht bei der bekannten
Anordnug, bei welcher es sich, wie gesagt, um die Nachbildung von Operationen handelt,
überhaupt nicht.
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Ferner sind, beispielsweise aus der schweizerischen Patentschrift
322 793, Drehkondensatoren besonderer Bauart zur Verwendung als Rechengerät bekannt;
auch hier dienen die Kapazität bzw. die verschiede= nen Teilkapazitäten eines derartigen
Drehkondensators als solche zur Nachbildung bestimmter Funktionen; abgesehen davon,
daß auch bei diesen bekannten Vorrichtungen das Problem der Interpolation zwischen
diskreten Funktionswerten nicht -berührt ist, wäre mit derartigen Drehkondensatoranordnungen
allenfalls die Interpolation der Werte einer Funktion einer einzigen Variablen denkbar.
Für das hier in Frage stehende Problem der sogenannten komplexen Interpolation,
d. h. der Interpolation einer Funktion zweier Veränderlicher, bieten die erwähnten
bekannten Vorrichtungen keinerlei Anhaltspunkte.
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Die Vorrichtung gemäß der Erfindung eignet sich in besonderem zur
Ermittlung der Linien gleicher Funktionswerte, d. h. im erwähnten Beispielsfall
der elektrischen Nachbildung mittels Widerstandsnetzwerten, wo die verfügbaren diskreten
Funktionswerte durch die Potentiale der Knotenpunkte dargestellt werden, zur Aufzeichnung
von Äquipotentiallinien; gemäß einer bevorzugten Ausführungsform der Erfindung ist
hierbei vorgesehen, daß über der dielektrischen Folie ein dünner, blattförmiger
Aufzeichnungsträger vorgesehen ist und daß die Sonde in ihrer Mitte mit einer Öffnung
zur Markierung der Stellung der Sonde auf dem darunter befindlichen Aufzeichnungsträger
versehen ist.
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Gemäß einer besonders vorteilhaften Ausführungsform der Erfindung
kann dabei zur selbsttätigen Aufzeichnung der Äquipotentiallinien eine selbsttätige
mechanische Führung zur Verstellung der Sonde vorgesehen sein, welche durch ein
Fehlersignal gesteuert wird, das der Differenz zwischen dem jeweiligen Potential
der Sonde und einem vorgegebenen festen, der Potentiallinie entsprechenden Potential
entspricht.
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.Die Wechselkomponenten der Potentiale der Elemente sind im allgemeinen
in Phase. Die erfindungsgemäße Anordnung kann jedoch auch mit Wechselpotentialen
verschiedener Phase benutzt werden, wenn der Apparat zur Messung des Potentials
der Sonde nur für die eine gewisse Phase besitzende Komponente dieses Potentials
empfindlich ist oder wenn das Meßgerät die gleichzeitige Messung der Amplitude und
der Phase gestattet. In dem letzeren Fall erhält man eine lineare vektorielle Interpolation.
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Die erfindungsgemäße Vorrichtung nutzt die Eigenschaft der ebenen
Kondensatoren mit parallelen Flächen aus, daß ihre Kapazität proportional zu den
einander gegenüberliegenden Flächen ist.-Die Erfindung ist nachstehend unter Bezugnahme
auf die Zeichnung beispielshalber erläutert.
F i g. 1 ist eine schematische
Darstellung des Prinzips der Erfindung; F i g. 2 zeigt schaubildlich die Leiterelemente
und ein dielektrisches Blatt einer erfindungsgemäßen Anordnung; F i g. 3 zeigt schaubildlich
die Verbindung dieser Elemente mit einem Widerstandsnetz; F i g. 4 ist eine andere
schaubildliche schematische Ansicht einer erfindungsgemäßen Vorrichtung.
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Die erfindungsgemäße Vorrichtung beruht auf der Eigenschaft der ebenen
Kondensatoren mit parallelen Flächen, daß ihre Kapazität proportional zu dem Flächeninhalt
der einander gegenüberliegenden Flächen ist.
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Eine ebene leitende quadratische Fläche wird durch zwei Trennstriche,
deren Breite gegenüber den Abmessungen der Quadrate vernachlässigbar ist, in vier
gleiche Quadrate 1, 2, 3 und 4 unterteilt, welche elektrisch voneinander isoliert
sind (F i g. 1).
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Eine Sonde genanntes leitendes Quadrat 5, welches mit den vorhergehenden
identisch ist, ist über diesen in einem Abstand angeordnet, welcher klein gegenüber
den Abmessungen der Quadrate ist, und derart, daß seine Seiten parallel zu den Seiten
der obigen Quadrate sind. Zwischen den einander gegenüberliegenden Flächen wird
das Mittel durch Luft oder durch einen dielektrischen Werkstoff konstanter Dicke
gebildet. Zwischen der Sonde 5 und den vier Quadraten entstehen so vier Kondensatoren.
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Wenn die Dicke des Dielektrikums oder der Luft so klein ist, daß die
Randwirkungen vernachlässigt werden können, ist die Kapazität eines jeden Kondensators
zu der von der Sonde auf dem entsprechenden Quadrat bedeckten Fläche proportional.
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Jedes der vier Quadrate 1, 2, 3, 4 wird in bezug auf ein Ursprungspotential
auf ein bestimmtes Wechselpotential gleicher Frequenz, aber verschiedener Amplitude
gebracht. Diese Amplituden seinen V1, V2, V3, V4 und die Flächen der vier Kondensatoren
s1, s2, s3, s4.
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Die Fläche S = s1 + 82 -I- s3 -I- s4 der elektrisch isolierten Sonde
5 wird dann auf ein Potential gebracht, dessen Wechselkomponente der Mittelwert
der Potentiale der vier anderen Belegungen ist, welcher durch die Nutzfläche eines
jeden Kondensators bestimmt wird. Die Amplitude dieses Potentials ist
wobei diese Gleichung für die Amplitude gilt, wenn die Potentiale in Phase sind,
und vektoriell in den anderen Fällen.
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Wenn die Sonde 5 über einem der Quadrate 1, 2,3
oder 4 liegt,
befindet sie sich auf dem Potential desselben. Wenn sie zwischen zwei Quadraten
liegt, ist ihr zwischen dem Potential dieser beiden Quadrate liegendes Potential
dasjenige, welches durch eine lineare Interpolation zwischen den Mittelpunkten dieser
Quadrate entsprechend der Stellung ihres Mittelpunkts erhalten würde. Wenn sie sich
zwischen vier Quadraten befindet, entspricht ihr Potential linearen Interpolationen
zwischen den Potentialen der vier Quadrate bei zu den Seiten der Quadrate parallelen
Verschiebungen.
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Die Zahl der Quadrate der bei 1, 2, 3 und 4 dargestellten Art kann
beliebig sein. Das Verfahren gestattet, jedem Punkt der Ebene dieser Quadrate ein
Potential zuzuteilen, welches zwischen dem der Nachbarquadrate interpoliert ist
und dem entspricht, welches die Sone 5 annimmt, wenn der Mittelpunkt auf diesen
Punkt gebracht wird.
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Die Sonde 5 muß natürlich mit einem Meß- oder Detektorsystem verbunden
werden, welches ihr Potential nicht verändert und dessen erstes Glied z. B. ein
Verstärker sein kann, welcher hinsichtlich der Eingangsfrequenz bei der benutzten
Frequenz eine hohe Eingangsimpedanz hat. Es kann zweckmäßig sein, die Sonde elektrisch
gegen die Wirkung der Nachbarleiter abzuschirmen.
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Die erfindungsgemäße Vorrichtung ermöglicht somit die Interpolierung
zwischen den Spannungen von vier beliebigen benachbarten Quadraten, ohne irgendeine
vorherige Messung oder einen Anschluß von Apparaten an die entsprechenden Knoten
zu erfordern. Sie ermöglicht außerdem die schnelle unmittelbare Herstellung der
Äquipotentialkurven. Ferner kann sie, was bei den bekannten Systemen unmöglich ist,
mit einem automatischen Gerät kombiniert werden, welches kontinuierlich die Äquipotentialkurven
aufzeichnet. Derartige Vorrichtungen sind bereits bei den elektrischen Widerstandströgen
benutzt worden, und ihre Anpassung an die erfindungsgemäße Vorrichtung ist ohne
weiteres möglich.
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Unter Bezugnahme auf die schematischen F i g. 2 bis 4 ist nachstehend
ein Beispiel der praktischen Ausführung der den Gegenstand der Erfindung bildenden
Interpoliervorrichtung beschrieben.
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Dieses Beispiel betrifft einen Analogrechentisch in Form eines zweidimensionalen
Widerstandsnetzes. Derartige Netze werden bekanntlich für die Berechnung von Funktionen
von zwei Veränderlichen benutzt. Sie werden durch ein Quadratnetz aus Widerständen
6 (F i g. 3) gebildet, welche an den Schnittstellen 9 miteinander verbunden sind
und deren Werte entsprechend den Daten der zu lösenden Aufgabe gewählt sind. Entsprechend
den gleichen Daten werden an verschiedenen Punkten dieser Netze die entsprechenden
Stromquellen angeordnet.
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Das Potential eines jeden Knotens eines derartigen Netzes gibt den
Wert der Funktion für das den Koordinaten dieses Knotens entsprechende Wertepaar
der Veränderlichen an.
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Die Funktion wird somit tatsächlich nur für jedes diesen Knoten entsprechende
Paar von diskreten Werten dieser Veränderlichen berechnet. Wenn man, wie dies häufig
der Fall ist, die Funktion für andere Werte dieser Veränderlichen berechnen will,
insbesondere wenn die Linien gleichen Wertes der untersuchten Größe bestimmt werden
sollen oder, anders ausgedrückt, wenn die Äquipotentiallinien dieses Netzes gezeichnet
werden sollen, muß interpoliert werden. Diese Interpolation erfolgt im allgemeinen
mit Hilfe von zwischen benachbarte Knoten geschalteten Spannungsteilern. Die Interpolation
für einen auf der Verbindungslinie zweier Knoten liegenden Punkt kann leicht mittels
eines einzigen zwischen diese beiden Knoten geschalteten Spannungsteilers vorgenommen
werden. Man stellt den Schieber des Spannungsteilers auf diesen Punkt ein, und das
erhaltene Potential gibt den Wert der Funktion an diesem Punkt an.
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Wenn man jeder der beiden Veränderlichen Werte erteilen will, welche
nicht der den Knoten entsprechenden Anordnung angehören, müssen drei Spannungsteiler
benutzt werden. Wenn z. B. A, B, C, D
vier an den Ecken eines
Quadrats liegende Knoten sind, wobei A und B dem gleichen Wert x1
der ersten Veränderlichen x, C und D einem anderen Wert x2 dieser
ersten Veränderlichen, A und C ein und demselben Wert y, der zweiten Veränderlichen
y und B und D einen anderen Wert y2 dieser zweiten Veränderlichen
entsprechen, wünscht man den Wert der Funktion für einen zwischen x, und x2 liegenden
Wert x der ersten Veränderlichen und einen zwischen y1 und y2 liegenden Wert y der
zweiten Veränderlichen zu kennen. Hierfür wird der erste Spannungsteiler zwischen
A und B und der zweite zwischen C und D gelegt, und die Schieber dieser
beiden Spannungsteiler werden beide in die dem Wert y der zweiten -Veränderlichen
entsprechende Stellung gebracht. Der dritte Spannungsteiler wird zwischen die Schieber
der beiden ersten geschaltet, und die Stellung seines Schiebers entspricht dem Wert
x der ersten Veränderlichen. Der Wert der Funktion wird dann durch das Potential
dieses letzteren Schiebers angegeben.
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Man erhält so eine Interpolation zwischen vier Knoten mit einer recht
guten Genauigkeit, deren Ausführung jedoch sehr beschwerlich ist.
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Für die Aufzeichnung der Äquipotentiallinien müssen jedesmal nach
Feststellung des gewählten Potentials in ein Schaubild die durch die Stellungen
der Schieber definierten Werte der Veränderlichen eingetragen werden.
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F i g. 3 zeigt ein Widerstandsnetz aus Elementen 6, deren Werte zwischen
100 und 5000 Ohm liegen, welches durch eine nicht dargestellte Wechselstromquelle
mit einer Frequenz von 400 Hz gespeist wird.
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Erfindungsgemäß ist ein leitendes Blatt 7, welches auf einer isolierenden
dünnen starren Platte 8 konstanter Dicke (s. F i g. 2) befestigt ist, in quadratische
Felder der bei 1 oder 2 dargestellten Art unterteilt, welche alle voneinander
durch ein feines, gleichmäßiges Quadratnetz isoliert sind. Hierfür wird ein entsprechend
behandeltes Blatt für gedruckte Stromkreise benutzt.
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Die. Isolierplatte 8 hat eine Dicke von 1 mm. Die Seitenlänge der
Quadrate 1, 2 usw. beträgt 20 mm. Die gravierten Grenzstriche haben eine Dicke von
0,2 mm.
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Jedes Feld der bei 1 dargestellten Art ist elektrisch mit dem entsprechenden
Knoten 9 des Netzes verbunden (s. F i g. 3).
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Man sieht in F i g. 4 ein auf die Isolierplatte 8 gelegtes Papierblatt
10. Die Sonde 5 mit einer Seitenlänge von 20 mm ist auf das Papier 10 gelegt und
eine nicht dargestellte mechanische Vorrichtung mit Gelenkparallelogramm, welche
den an Zeichentischen benutzten entspricht, bewirkt, daß ihre Seiten zu dem Quadratnetz
parallel bleiben. Ihre Einschaltung verändert nicht das Potential der Knoten, da
ihre größte Kapazität gegenüber einem Feld 1 (20 pF) stets bei 400 Hz eine Impedanz
darstellt, welche sehr groß gegenüber dem größten Widerstand des Netzes (5000 Ohm)
ist, und der Verstärker, mit welchem sie verbunden ist, besitzt eine Eingangsimpedanz
der gleichen Größenordnung wie diese Impedanz. Dieser Verstärker gehört einem Meßsystem
11 an, welches gestattet, bei der Verstellung der Sonde 5 die Stellung festzustellen,
in welcher sich diese auf dem gewählten Potential befindet. Ferner weist sie in
ihrer Mitte -ein Loch 12 von 0,8 mm Durchmesser auf, welches gestattet, auf das
Papier mittels eines nicht dargestellten Bleistifts (oder einer Tintenspitze) einen
Punkt zu zeichnen und so ihre Stellung anzuzeichnen.
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Man kann so jedesmal, wenn das Potential der Sonde 5 gleich dem gewählten
Potential ist, einen Punkt der entsprechenden Äquipotentiallinie markieren. Für
ihre Zeichnung genügt es, die benachbarten Punkte durch eine gleichmäßige Kurve
13 zu verbinden.
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Bei einer genauen Meßapparatur kann der Linienzug praktisch kontinuierlich
sein.
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An sich bekannte elektromechanische Stellvorrichtungen ermöglichen
sogar die selbsttätige Aufzeichnung dieses Linienzuges, wobei das Fehlersignal die
Differenz zwischen dem von dem Meßsystem 11 gemessenen Potential und dem gewählten
Potential ist. In F i g. 4 ist auch der elektrische Wechselstromerzeuger
14 dargestellt, welcher an verschiedene Knoten des Netzes über zusätzliche
Widerstände 15 angeschlossen ist. Die Wahl dieser Anschlüsse hängt offenbar von
den vorgegebenen Grenzen der berechneten Funktion ab.