WO2019196229A1 - 一种任意三关节的逆运动学求解方法 - Google Patents

一种任意三关节的逆运动学求解方法 Download PDF

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WO2019196229A1
WO2019196229A1 PCT/CN2018/095639 CN2018095639W WO2019196229A1 WO 2019196229 A1 WO2019196229 A1 WO 2019196229A1 CN 2018095639 W CN2018095639 W CN 2018095639W WO 2019196229 A1 WO2019196229 A1 WO 2019196229A1
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王海霞
卢晓
张志国
崔玮
盛春阳
李玉霞
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山东科技大学
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    • G—PHYSICS
    • G06—COMPUTING; CALCULATING OR COUNTING
    • G06F—ELECTRIC DIGITAL DATA PROCESSING
    • G06F17/00—Digital computing or data processing equipment or methods, specially adapted for specific functions
    • G06F17/10—Complex mathematical operations
    • G06F17/11—Complex mathematical operations for solving equations, e.g. nonlinear equations, general mathematical optimization problems
    • G—PHYSICS
    • G06—COMPUTING; CALCULATING OR COUNTING
    • G06F—ELECTRIC DIGITAL DATA PROCESSING
    • G06F17/00—Digital computing or data processing equipment or methods, specially adapted for specific functions
    • G06F17/10—Complex mathematical operations
    • G06F17/16—Matrix or vector computation, e.g. matrix-matrix or matrix-vector multiplication, matrix factorization

Definitions

  • the invention belongs to the field of robot inverse kinematics, and particularly relates to an inverse kinematic solution method of an arbitrary three joints.
  • the core problem of the inverse solution is to solve the third-order sub-problem, because the general high-dimensional robot can not directly obtain its inverse solution, and often solves the problem of simplifying it to the third-order or less by using the elimination method.
  • the current third-order sub-problems are solved by further simplification to obtain second-order sub-problems and first-order sub-problems. There are few methods for directly solving them. Even if such methods are solved, it is very complicated, even There is no closed solution.
  • the second-order sub-problems currently used are solved by special geometric relations: parallel, intersecting, vertical and other constraints, but in practice these geometric relationships are difficult to guarantee, and these methods also limit the design of the mechanical structure of the robot. Therefore, there is a kind of direct solution to the third-order sub-problem, and it is of great theoretical and practical significance to obtain a unified solution method that is not subject to the robot geometry.
  • the present invention proposes an inverse kinematics solving method for an arbitrary three joints, which is reasonable in design, overcomes the deficiencies of the prior art, and has good effects.
  • Step 1 Solve ⁇ 1 and ⁇ 3
  • spin parameter Is the homogeneous coordinate of p,q, For the motion of the i-th joint, Including the axis direction vector of the joint axis And a little on the shaft ⁇ i and r i.
  • spin parameter Is the homogeneous coordinate of p,q, For the motion of the i-th joint, Including the axis direction vector of the joint axis And a little on the shaft ⁇ i and r i.
  • I 3 ⁇ 3 is a 3 ⁇ 3 unit matrix
  • Is a rotation matrix which can be expressed as Rodrigues:
  • a 1 , b 1 , c 1 , d 1 , a 2 , b 2 , c 2 , d 2 , k 1 , k 2 are known parameters;
  • m 1 (f s1 +v s1 ) 2 +(f c1 +v c1 ) 2 -1
  • the solution of t(12) quadratic equation can be used to obtain the solution of t.
  • the value of ⁇ 3 can be further determined:
  • ⁇ 1 a tan 2(f s1 -u s1 sin ⁇ 3 -v s1 cos ⁇ 3 , f c1 -u c1 sin ⁇ 3 -v c1 cos ⁇ 3 ) (14);
  • Step 2 Solve ⁇ 2
  • the implementation is simple; only need to solve a one-fourth equation and two arctangent functions to obtain a closed solution of the three joints;
  • Figure 1 is a schematic diagram of the inverse of the RRR of any relationship.
  • Step 1 Solve ⁇ 1 and ⁇ 3
  • spin parameter Is the homogeneous coordinate of p,q, For the motion of the i-th joint, Including the axis direction vector of the joint axis And a little on the shaft ⁇ i and r i.
  • spin parameter Is the homogeneous coordinate of p,q, For the motion of the i-th joint, Including the axis direction vector of the joint axis And a little on the shaft ⁇ i and r i.
  • I 3 ⁇ 3 is a 3 ⁇ 3 unit matrix
  • Is a rotation matrix which can be expressed as Rodrigues:
  • a 1 , b 1 , c 1 , d 1 , a 2 , b 2 , c 2 , d 2 , k 1 , k 2 are known parameters;
  • m 1 (f s1 +v s1 ) 2 +(f c1 +v c1 ) 2 -1
  • the solution of t(12) quadratic equation can be used to obtain the solution of t.
  • the value of ⁇ 3 can be further determined:
  • ⁇ 1 a tan 2(f s1 -u s1 sin ⁇ 3 -v s1 cos ⁇ 3 , f c1 -u c1 sin ⁇ 3 -v c1 cos ⁇ 3 ) (14);
  • Step 2 Solve ⁇ 2

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Abstract

一种任意三关节的逆运动学求解方法，属于机器人逆运动学领域，在指数积模型的基础上，利用简单的几何约束方程、旋量理论的基本性质以及旋转矩阵的Rodrigues表达，将问题转化成关于三角函数的线性方程进行求解，实现了任意三个关节轴线的逆解问题，使机器人逆解的求解不再局限于相交、平行、垂直的约束关系中，可根据需求设计结构，安装或加工中存在的误差也不会影响最终的计算结果。一种灵活、方便、实用的机器人逆解方法，为机器人在实际中的应用提供了方便。

Description

一种任意三关节的逆运动学求解方法 技术领域
本发明属于机器人逆运动学领域，具体涉及一种任意三关节的逆运动学求解方法。
背景技术
在机器人指数积模型中，其逆解的核心问题就是求解三阶子问题，因为一般的高维机器人无法直接获得其逆解，往往采用消元方法将其化简为三阶以下的问题来解决，而目前的三阶子问题都是通过进一步化简得到二阶子问题和一阶子问题来求解，很少有直接对其进行求解的方法，即使有这样的方法求解也是很复杂的，甚至得不到封闭解。而目前所采用的二阶子问题都是利用了特殊的几何关系：平行、相交、垂直等约束条件来求解，但实际中这些几何关系难以保证，同时这些方法也限制了机器人机械结构的设计。所以，能够有一种直接针对三阶子问题进行求解，得到一种统一的、不受机器人几何结构的约束求解方法具有重要的理论意义和实际意义。
发明内容
针对现有技术中存在的上述技术问题，本发明提出了一种任意三关节的逆运动学求解方法，设计合理，克服了现有技术的不足，具有良好的效果。
为了实现上述目的，本发明采用如下技术方案：
一种任意三关节的逆运动学求解方法，包括以下步骤：
步骤1：求解θ 1和θ 3
空间点p绕轴ω 3旋转角度θ 3到点p 1，再绕轴ω 2旋转角度θ 2到点p 2，最后点p 2绕轴ω 1旋转角度θ 1到q点，这一过程可表示为：
Figure PCTCN2018095639-appb-000001
其中，
Figure PCTCN2018095639-appb-000002
是p,q的齐次坐标，
Figure PCTCN2018095639-appb-000003
为第i关节的运动旋量，
Figure PCTCN2018095639-appb-000004
包括关节轴的轴方向向量
Figure PCTCN2018095639-appb-000005
和轴上一点
Figure PCTCN2018095639-appb-000006
ω i和r i被称为旋量参数，
Figure PCTCN2018095639-appb-000007
的表达形式如下：
Figure PCTCN2018095639-appb-000008
其中，
Figure PCTCN2018095639-appb-000009
是ω i的反对称矩阵，如果ω i＝[ω ix,ω iy,ω iz] T，则
Figure PCTCN2018095639-appb-000010
可表示成：
Figure PCTCN2018095639-appb-000011
其中，
Figure PCTCN2018095639-appb-000012
和
Figure PCTCN2018095639-appb-000013
均已知；
Figure PCTCN2018095639-appb-000014
是刚体变换的指数表达，对于转动关节其表达式为：
Figure PCTCN2018095639-appb-000015
其中，I 3×3为3×3的单位矩阵，
Figure PCTCN2018095639-appb-000016
是旋转矩阵，可用Rodrigues表示为：
Figure PCTCN2018095639-appb-000017
根据旋量理论的基本性质可得：
Figure PCTCN2018095639-appb-000018
其中，r 21和r 22分别为第二个轴上的两个点，将
Figure PCTCN2018095639-appb-000019
Figure PCTCN2018095639-appb-000020
以及
Figure PCTCN2018095639-appb-000021
和
Figure PCTCN2018095639-appb-000022
的Rodrigues公式，带入式(4)整理得：
a 1sin θ 1+b 1cos θ 1+c 1sin θ 3+d 1cos θ 3＝k 1               (6)；
a 2sin θ 1+b 2cos θ 1+c 2sin θ 3+d 2cos θ 3＝k 2             (7)；
其中，a 1,b 1,c 1,d 1,a 2,b 2,c 2,d 2,k 1,k 2均为已知参数；
当a 1b 2-b 1a 2≠0，对式(6)、(7)进行化简可得：
Figure PCTCN2018095639-appb-000023
其中，
Figure PCTCN2018095639-appb-000024
当c 1d 2-d 1c 2≠0时，公式(6)和(7)可整理为：
Figure PCTCN2018095639-appb-000025
其中，公式(10)中的系数可根据公式(9)中的a,b分别与c,d互换，下标不变得到：
Figure PCTCN2018095639-appb-000026
Figure PCTCN2018095639-appb-000027
Figure PCTCN2018095639-appb-000028
根据三角函数性质，将式(8)带入sin 2θ 1+cos 2θ 1＝1中，整理可得：
(f s1-u s1sin θ 3-v s1cos θ 3) 2+(f c1-u c1sin θ 3-v c1cos θ 3) 2＝1        (11)；
设
Figure PCTCN2018095639-appb-000029
则
Figure PCTCN2018095639-appb-000030
将其带入sin 2θ 3+cos 2θ 3＝1中，整理可得：
m 1t 4+m 2t 3+m 3t 2+m 4t+m 5＝0         (12)；
其中，
m 1＝(f s1+v s1) 2+(f c1+v c1) 2-1
m 2＝-4[(f s1+v s1)u s1+(f c1+v c1)u c1]
Figure PCTCN2018095639-appb-000031
m 4＝-4[(f s1-v s1)u s1+(f c1-v c1)u c1]
m 5＝(f s1-v s1) 2+(f c1-v c1) 2-1
根据费拉里法求解式(12)一元四次方程可得t的解，根据角度取值范围，可进一步确定θ 3的值：
θ 3＝2arc tan(t)                (13)；
将θ 3的值带入公式(8)，可得θ 1：
θ 1＝a tan 2(f s1-u s1sin θ 3-v s1cos θ 3,f c1-u c1sin θ 3-v c1cos θ 3)            (14)；
步骤2：求解θ 2
当θ 1和θ 3已知时，由
Figure PCTCN2018095639-appb-000032
和
Figure PCTCN2018095639-appb-000033
可获得p 1和p 2，而p 2和p 1之间有：
Figure PCTCN2018095639-appb-000034
将旋转矩阵
Figure PCTCN2018095639-appb-000035
的Rodrigues公式带入公式(15)可得：
x 2sin θ 2+y 2cos θ 2＝z 2              (16)；
其中，
Figure PCTCN2018095639-appb-000036
Figure PCTCN2018095639-appb-000037
Figure PCTCN2018095639-appb-000038
由于
Figure PCTCN2018095639-appb-000039
在公式(16)两边分别同乘以
Figure PCTCN2018095639-appb-000040
和
Figure PCTCN2018095639-appb-000041
可得：
Figure PCTCN2018095639-appb-000042
Figure PCTCN2018095639-appb-000043
则可得θ 2的值：
Figure PCTCN2018095639-appb-000044
本发明所带来的有益技术效果：
1、计算效率高；直接针对三关节机器人进行求解，不需要进行降阶来实现；
2、实现简单；只需要求解一个一元四次方程和两个反正切函数获得三个关节的封闭解；
3、应用范围广；可应用于任意关系的RRR机器人中，不需要考虑其轴线之间的几何关系。
附图说明
图1为任意关系的RRR逆解示意图。
具体实施方式
下面结合附图以及具体实施方式对本发明作进一步详细说明：
任意关系的RRR逆解如图1所示。
一种任意三关节的逆运动学求解方法，包括以下步骤：
步骤1：求解θ 1和θ 3
空间点p绕轴ω 3旋转角度θ 3到点p 1，再绕轴ω 2旋转角度θ 2到点p 2，最后点p 2绕轴ω 1旋转角度θ 1到q点，这一过程可表示为：
Figure PCTCN2018095639-appb-000045
其中，
Figure PCTCN2018095639-appb-000046
是p,q的齐次坐标，
Figure PCTCN2018095639-appb-000047
为第i关节的运动旋量，
Figure PCTCN2018095639-appb-000048
包括关节轴的轴方向向量
Figure PCTCN2018095639-appb-000049
和轴上一点
Figure PCTCN2018095639-appb-000050
ω i和r i被称为旋量参数，
Figure PCTCN2018095639-appb-000051
的表达形式如下：
Figure PCTCN2018095639-appb-000052
其中，
Figure PCTCN2018095639-appb-000053
是ω i的反对称矩阵，如果ω i＝[ω ix,ω iy,ω iz] T，则
Figure PCTCN2018095639-appb-000054
可表示成：
Figure PCTCN2018095639-appb-000055
其中，
Figure PCTCN2018095639-appb-000056
和
Figure PCTCN2018095639-appb-000057
均已知；
Figure PCTCN2018095639-appb-000058
是刚体变换的指数表达，对于转动关节其表达式为：
Figure PCTCN2018095639-appb-000059
其中，I 3×3为3×3的单位矩阵，
Figure PCTCN2018095639-appb-000060
是旋转矩阵，可用Rodrigues表示为：
Figure PCTCN2018095639-appb-000061
根据旋量理论的基本性质可得：
Figure PCTCN2018095639-appb-000062
其中，r 21和r 22分别为第二个轴上的两个点，将
Figure PCTCN2018095639-appb-000063
Figure PCTCN2018095639-appb-000064
以及
Figure PCTCN2018095639-appb-000065
和
Figure PCTCN2018095639-appb-000066
的Rodrigues公式，带入式(4)整理得：
a 1sin θ 1+b 1cos θ 1+c 1sin θ 3+d 1cos θ 3＝k 1           (6)；
a 2sin θ 1+b 2cos θ 1+c 2sin θ 3+d 2cos θ 3＝k 2          (7)；
其中，a 1,b 1,c 1,d 1,a 2,b 2,c 2,d 2,k 1,k 2均为已知参数；
当a 1b 2-b 1a 2≠0，对式(6)、(7)进行化简可得：
Figure PCTCN2018095639-appb-000067
其中，
Figure PCTCN2018095639-appb-000068
当c 1d 2-d 1c 2≠0时，公式(6)和(7)可整理为：
Figure PCTCN2018095639-appb-000069
其中，公式(10)中的系数可根据公式(9)中的a,b分别与c,d互换，下标不变得到：
Figure PCTCN2018095639-appb-000070
Figure PCTCN2018095639-appb-000071
Figure PCTCN2018095639-appb-000072
根据三角函数性质，将式(8)带入sin 2θ 1+cos 2θ 1＝1中，整理可得：
(f s1-u s1sin θ 3-v s1cos θ 3) 2+(f c1-u c1sin θ 3-v c1cos θ 3) 2＝1        (11)；
设
Figure PCTCN2018095639-appb-000073
则
Figure PCTCN2018095639-appb-000074
将其带入sin 2θ 3+cos 2θ 3＝1中，整理可得：
m 1t 4+m 2t 3+m 3t 2+m 4t+m 5＝0            (12)；
其中，
m 1＝(f s1+v s1) 2+(f c1+v c1) 2-1
m 2＝-4[(f s1+v s1)u s1+(f c1+v c1)u c1]
Figure PCTCN2018095639-appb-000075
m 4＝-4[(f s1-v s1)u s1+(f c1-v c1)u c1]
m 5＝(f s1-v s1) 2+(f c1-v c1) 2-1
根据费拉里法求解式(12)一元四次方程可得t的解，根据角度取值范围，可进一步确定θ 3的值：
θ 3＝2arc tan(t)                  (13)；
将θ 3的值带入公式(8)，可得θ 1：
θ 1＝a tan 2(f s1-u s1sin θ 3-v s1cos θ 3,f c1-u c1sin θ 3-v c1cos θ 3)         (14)；
步骤2：求解θ 2
当θ 1和θ 3已知时，由
Figure PCTCN2018095639-appb-000076
和
Figure PCTCN2018095639-appb-000077
可获得p 1和p 2，而p 2和p 1之间有：
Figure PCTCN2018095639-appb-000078
将旋转矩阵
Figure PCTCN2018095639-appb-000079
的Rodrigues公式带入公式(15)可得：
x 2sin θ 2+y 2cos θ 2＝z 2               (16)；
其中，
Figure PCTCN2018095639-appb-000080
Figure PCTCN2018095639-appb-000081
Figure PCTCN2018095639-appb-000082
由于
Figure PCTCN2018095639-appb-000083
在公式(16)两边分别同乘以
Figure PCTCN2018095639-appb-000084
和
Figure PCTCN2018095639-appb-000085
可得：
Figure PCTCN2018095639-appb-000086
Figure PCTCN2018095639-appb-000087
则可得θ 2的值：
Figure PCTCN2018095639-appb-000088
当然，上述说明并非是对本发明的限制，本发明也并不仅限于上述举例，本技术领域的技术人员在本发明的实质范围内所做出的变化、改型、添加或替换，也应属于本发明的保护范围。

Claims (1)

  1. 一种任意三关节的逆运动学求解方法，其特征在于：包括以下步骤：
    步骤1：求解θ 1和θ 3
    空间点p绕轴ω 3旋转角度θ 3到点p 1，再绕轴ω 2旋转角度θ 2到点p 2，最后点p 2绕轴ω 1旋转角度θ 1到q点，这一过程可表示为：
    Figure PCTCN2018095639-appb-100001
    其中，
    Figure PCTCN2018095639-appb-100002
    是p,q的齐次坐标，
    Figure PCTCN2018095639-appb-100003
    为第i关节的运动旋量，
    Figure PCTCN2018095639-appb-100004
    包括关节轴的轴方向向量
    Figure PCTCN2018095639-appb-100005
    和轴上一点
    Figure PCTCN2018095639-appb-100006
    ω i和r i被称为旋量参数，
    Figure PCTCN2018095639-appb-100007
    的表达形式如下：
    Figure PCTCN2018095639-appb-100008
    其中，
    Figure PCTCN2018095639-appb-100009
    是ω i的反对称矩阵，如果ω i＝[ω ix,ω iy,ω iz] T，则
    Figure PCTCN2018095639-appb-100010
    可表示成：
    Figure PCTCN2018095639-appb-100011
    其中，
    Figure PCTCN2018095639-appb-100012
    和
    Figure PCTCN2018095639-appb-100013
    均已知；
    Figure PCTCN2018095639-appb-100014
    是刚体变换的指数表达，对于转动关节其表达式为：
    Figure PCTCN2018095639-appb-100015
    其中，I 3×3为3×3的单位矩阵，
    Figure PCTCN2018095639-appb-100016
    是旋转矩阵，可用Rodrigues表示为：
    Figure PCTCN2018095639-appb-100017
    根据旋量理论的基本性质可得：
    Figure PCTCN2018095639-appb-100018
    其中，r 21和r 22分别为第二个轴上的两个点，将
    Figure PCTCN2018095639-appb-100019
    Figure PCTCN2018095639-appb-100020
    以及
    Figure PCTCN2018095639-appb-100021
    和
    Figure PCTCN2018095639-appb-100022
    的Rodrigues公式，带入式(4)整理得：
    a 1 sinθ 1+b 1 cosθ 1+c 1 sinθ 3+d 1 cosθ 3＝k 1    (6)；
    a 2 sinθ 1+b 2 cosθ 1+c 2 sinθ 3+d 2 cosθ 3＝k 2    (7)；
    其中，a 1,b 1,c 1,d 1,a 2,b 2,c 2,d 2,k 1,k 2均为已知参数；
    当a 1b 2-b 1a 2≠0，对式(6)、(7)进行化简可得：
    Figure PCTCN2018095639-appb-100023
    其中，
    Figure PCTCN2018095639-appb-100024
    当c 1d 2-d 1c 2≠0时，公式(6)和(7)可整理为：
    Figure PCTCN2018095639-appb-100025
    其中，公式(10)中的系数可根据公式(9)中的a,b分别与c,d互换，下标不变得到：
    Figure PCTCN2018095639-appb-100026
    Figure PCTCN2018095639-appb-100027
    Figure PCTCN2018095639-appb-100028
    根据三角函数性质，将式(8)带入sin 2θ 1+cos 2θ 1＝1中，整理可得：
    (f s1-u s1sinθ 3-v s1cosθ 3) 2+(f c1-u c1sinθ 3-v c1cosθ 3) 2＝1  (11)；
    设
    Figure PCTCN2018095639-appb-100029
    则
    Figure PCTCN2018095639-appb-100030
    将其带入sin 2θ 3+cos 2θ 3＝1中，整理可得：
    m 1t 4+m 2t 3+m 3t 2+m 4t+m 5＝0  (12)；
    其中，
    m 1＝(f s1+v s1) 2+(f c1+v c1) 2-1
    m 2＝-4[(f s1+v s1)u s1+(f c1+v c1)u c1]
    Figure PCTCN2018095639-appb-100031
    m 4＝-4[(f s1-v s1)u s1+(f c1-v c1)u c1]
    m 5＝(f s1-v s1) 2+(f c1-v c1) 2-1
    根据费拉里法求解式(12)一元四次方程可得t的解，根据角度取值范围，可进一步确定θ 3的值：
    θ 3＝2arc tan(t)    (13)；
    将θ 3的值带入公式(8)，可得θ 1：
    θ 1＝a tan2(f s1-u s1sinθ 3-v s1cosθ 3,f c1-u c1sinθ 3-v c1cosθ 3)    (14)；
    步骤2：求解θ 2
    当θ 1和θ 3已知时，由
    Figure PCTCN2018095639-appb-100032
    和
    Figure PCTCN2018095639-appb-100033
    可获得p 1和p 2，而p 2和p 1之间有：
    Figure PCTCN2018095639-appb-100034
    将旋转矩阵
    Figure PCTCN2018095639-appb-100035
    的Rodrigues公式带入公式(15)可得：
    x 2sinθ 2+y 2cosθ 2＝z 2    (16)；
    其中，
    Figure PCTCN2018095639-appb-100036
    Figure PCTCN2018095639-appb-100037
    Figure PCTCN2018095639-appb-100038
    由于
    Figure PCTCN2018095639-appb-100039
    在公式(16)两边分别同乘以
    Figure PCTCN2018095639-appb-100040
    和
    Figure PCTCN2018095639-appb-100041
    可得：
    Figure PCTCN2018095639-appb-100042
    Figure PCTCN2018095639-appb-100043
    则可得θ 2的值：
    Figure PCTCN2018095639-appb-100044
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