CN106991277A - 一种任意关系的二阶子问题逆运动学求解方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种任意关系的二阶子问题逆运动学求解方法，属于机器人逆运动学领域，本发明涉及二阶子问题RR的逆解方法，该方法在指数积模型的基础上，利用旋量理论的基本性质和Rodrigues旋转矩阵表达，将几何方法与代数方法结合起来给出一种通用的关节角求解公式，不需要考虑关节轴线之间的关系，无论是相交、平行、还是异面都可以利用这种方法直接求出。本发明对机器人逆解的求解方法进行了拓展，扩大了适应范围，简化了求解过程，为机器人在实际的开发和应该提供了方便。

Description

一种任意关系的二阶子问题逆运动学求解方法

技术领域

本发明属于机器人逆运动学领域，具体涉及一种任意关系的二阶子问题逆运动学求解方法。

背景技术

Paden-Kanhan子问题在机器人逆运动学应用非常广泛，因为它具有几何意义和数值稳定性，能够灵活的为多种机器人提供封闭解。Paden-Kanhan子问题主要分为三类：一阶子问题，二阶子问题，三阶子问题。其中一阶子问题是针对单关节的转动R或平移T运动的逆解问题；二阶子问题是针对两个关节逆解问题，包含了3种情况：RR，TT，RT/TR，其中RR又分为相交、平行、异面垂直等不同的类型；三阶子问题是针对三个关节的逆解问题，包含了6种情况。在实际中，由于加工、装配很多几何关系很难保证，比如：相交、平行，而且不同的结构需要选择不同的公式，这为实际应用带来很多不便。

发明内容

针对现有技术中存在的上述技术问题，本发明提出了一种任意关系的二阶子问题逆运动学求解方法，设计合理，克服了现有技术的不足，具有良好的效果。

为了实现上述目的，本发明采用如下技术方案：

一种任意关系的二阶子问题逆运动学求解方法，包括如下步骤：

步骤1：求θ₁

二阶子问题RR可用公式表示为

其中，是p,q的齐次坐标，由第i关节轴的轴方向向量ω_i和轴上一点r_i组成，这些参数均已知。根据旋量理论的距离相等原则可知：

||c-r₂||＝||p-r₂|| (5)；

将带入上式，并利用的Rodrigues旋转公式将其化简成关于θ₁的三角函数方程：

x₁sinθ₁+y₁cosθ₁＝z₁ (9)；

其中为已知参数，从上式可解得θ₁的表达式：

上式中需要通过调整r₁和r₂来保证

步骤2：求θ₂

根据已知的θ₁可得c的值，而c还可表示为：

将的Rodrigues旋转公式带入上式整理可得：

x₂sinθ₂+y₂cosθ₂＝z₂ (14)；

其中均为已知参数，从上式中可解的θ₂的表达式：

θ₂角度的具体象限由和的符号决定，需注意的是当相邻两关节相交的时候，两关节轴上的点r₁和r₂，必须满足r₁≠r₂≠r₀，其中r₀是两条轴线的交点。

本发明所带来的有益技术效果：

1、计算效率高，给出了关节角度的封闭解，可利反三角函数直接求出，具有很高的计算效率；2、实现简单，每个关节的表达形式非常简单易懂，只需求解一次反三角函数即可；3、应用范围广，可应用于任意2R机器人中，不需要考虑其轴线之间的几何关系。

附图说明

图1为任意关系的RR结构图。

具体实施方式

下面结合附图以及具体实施方式对本发明作进一步详细说明：

一种任意关系的二阶子问题逆运动学求解方法，包括如下步骤：

步骤1：求θ₁

如图1所示，二阶子问题RR可用公式表示为

其中，和是空间点p和q的齐次坐标表示，且点为初始点，绕轴ω₂转θ₂到点c，c点绕ω₁旋转θ₁到点q，为运动旋量，由关节轴的单位方向向量和轴上的任意一点构成，是刚体变换的指数表达，对于转动关节其表达式为：

其中，I_3×3为3×3的单位矩阵，是旋转矩阵，可用Rodrigues表示为：

其中，是单位方向向量ω＝[ω_x,ω_y,ω_z]^T的反对称矩阵，可表示为：

根据旋量理论的距离相等原则可知：

||c-r₂||＝||p-r₂|| (5)；

根据旋量理论的基本原理可知：

上述两式相减可得：

将指数积公式的表达式(2)带入式(6)可得：

将公式(7)带入公式(5)可得：

再将的Rodrigues表达(3)带入式(8)，两边平方后，整理可得：

x₁sinθ₁+y₁cosθ₁＝z₁ (9)；

其中

设x₁＝ρcosφ，y₁＝ρsinφ，则利用三角函数的积化和差公式，公式(9)可变为：

其中，同理可以得到：

则关节角度θ₁可表示为：

上式中需要通过调整r₁和r₂来保证

步骤2：求θ₂

将θ₁的值带入公式(7)中可得c的值，而c还可表示为：

将的Rodrigues表达(3)带入式(13)，整理可得：

x₂sinθ₂+y₂cosθ₂＝z₂ (14)；

其中

由于则在公式(14)两边分别同乘以和可得：

则θ₂可表示为：

θ₂角度的具体象限由和的符号决定，需要注意的是当相邻两关节相交的时候，两关节轴上的点r₁和r₂，必须满足r₁≠r₂≠r₀，其中r₀是两条轴线的交点。

当然，上述说明并非是对本发明的限制，本发明也并不仅限于上述举例，本技术领域的技术人员在本发明的实质范围内所做出的变化、改型、添加或替换，也应属于本发明的保护范围。

Claims (1)

1.一种任意关系的二阶子问题逆运动学求解方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤1：求θ₁

二阶子问题RR可用公式表示为

$\underset{i=1}{\overset{2}{\Σ}}{e}^{{\mathrm{\θ}}_i{\widehat{\mathrm{\ξ}}}_i}\tilde{p}=\tilde{q}---\left(1\right);$

其中，是p,q的齐次坐标，i＝1,2由第i关节轴的轴方向向量ω_i和轴上一点r_i组成，这些参数均已知，根据旋量理论的距离相等原则可知：

||c-r₂||＝||p-r₂|| (5)；

将带入上式，并利用的Rodrigues旋转公式将其化简成关于θ₁的三角函数方程：

x₁sinθ₁+y₁cosθ₁＝z₁ (9)；

其中为已知参数，从公式(9)可解得θ₁的表达式：

${\mathrm{\θ}}_1=arctan\left(\frac{\±z_1}{\sqrt{x_1^2+y_1^2-z_1^2}}\right)-arctan\left(\frac{y_1}{x_1}\right)---\left(12\right);$

其中，

步骤2：求θ₂

根据已知的θ₁可得c的值，而c还可表示为：

$c=e^{{\mathrm{\θ}}_2{\widehat{\mathrm{\ω}}}_2}(p-r_2)+r_2---\left(13\right);$

将的Rodrigues旋转公式带入上式整理可得：

x₂sinθ₂+y₂cosθ₂＝z₂ (14)；

其中均为已知参数，从公式(14)中可解的θ₂的表达式：

${\mathrm{\θ}}_2=arctan\left(\frac{x_2^T{z}_2}{y_2^T{z}_2}\right)---\left(17\right);$

θ₂角度的具体象限由和的符号决定，当相邻两关节相交的时候，两关节轴上的点r₁和r₂，必须满足r₁≠r₂≠r₀，其中r₀是两条轴线的交点。