CN107577905A - 一种三自由度混联机械臂的运动学正解求解方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种三自由度混联机械臂的运动学正解求解方法，更具体地，涉及一种“三自由度混联机械臂”(专利授权号：CN102320041A)的运动学正解求解方法。该方法根据该混联机械臂的几何特征，推导出机械臂末端参考点M的位置坐标与各驱动关节l₁、l₂和l₃的长度之间的对应关系。该方法提供了该三自由度混联机械臂正解的简便算法，为该混联机械臂的运动学分析建立了有效的运动学正解模型，也为该混联机械臂的进一步使用奠定了良好的数学基础。

Description

一种三自由度混联机械臂的运动学正解求解方法

技术领域

本发明涉及一种三自由度混联机械臂的运动学正解求解方法。

背景技术

专利CN102320041A公开了一种三自由度混联机械臂，该机械臂充分发挥了串联机构与并联机构的优点，具有结构刚度好，工作空间大的优点。为进一步分析该混联机械臂的运动性能，需为该混联机械臂提供有效的运动学正解模型，而该机械臂为一种新型混联机械臂，尚无可借鉴的运动学正解模型。本发明旨在为该混联机械臂提供一种运动学正解的求解方法。

该三自由度混联机械臂末端的位姿是由其中的并联机构和串联机构共同作用的结果，本发明根据该三自由度混联机械臂的几何结构特点，推导出一种简便实用的运动学正解模型。

发明内容

本发明为一种新型的三自由度混联机械臂提供了一种简便实用的运动学正解的求解方法。运动学正解描述的是机械臂末端的位姿与各关节变量之间的关系。由于该三自由度混联机械臂的姿态与位置是耦合的，因此，所述的三自由度混联机械臂的正解是指已知三移动副变量l₁、l₂、l₃的长度，求解末端参考点M的位置坐标^OP_M＝(x_M，y_M，z_M)^T。

第一步，求解O₂点在基系中的坐标

第二步，求解{B}系相对基系的变换矩阵

第三步，求解{G}系相对基系的变换矩阵

第四步，求解末端参考点M在基系中的坐标^OP_M＝(x_M，y_M，z_M)^T与输入变量l₁、l₂和l₃的关系。至此，该三自由度混联机械臂的正解求解完毕。

本发明具有计算简单、易于实现的特点，为该三自由度混联机械臂的运动学分析提供了有效的运动学正解模型。

附图说明

附图是该三自由度混联机械臂正解求解的坐标系布局图。

具体实施方式

为便于对本发明实施例的理解，下面将结合附图为例做进一步的解释说明，且实施例并不构成对本发明实施例的限定。

附图说明

附图是该三自由度混联机械臂正解求解的坐标系布局图。

具体实施方式

为便于对本发明实施例的理解，下面将结合附图为例做进一步的解释说明，且实施例并不构成对本发明实施例的限定。

参照附图，一种三自由度混联机械臂的运动学正解是指已知三移动副变量l₁、l₂、l₃的长度，求解末端参考点M的坐标^OP_M＝(x_M，y_M，z_M)^T。

建立求正解坐标系，A、B、C、D、E、F、G、H分别为各铰链中心点。首先，建立基准坐标系(基系)，基准坐标系{O}-Oxyz与基座相连，O为球铰A、C连线的中点，y轴沿AC指向C，由于球铰A、C相对万向铰B对称布置，则有BO⊥AC，x轴在BO延长线上。由于A、B、C与基座固定，因此A、B、C点在基系中的坐标已知。

假想将D、E两万向铰固联，与大臂BG解除约束，将AD、CE延长交于O₂，则AO₂、CO₂的长度为两移动副的运动学尺寸(令)，则三脚架AO₂C只能绕AC轴线转动，点O₂的轨迹是以点O₁为圆心，以长度r(r＝O₁O₂)为半径的圆。经计算，这些圆心的坐标(O₁点)：

同时得到：

以O₁为参考点建立与基座相连的坐标系{O₁}-O₁x₁y₁z₁。坐标系{O₁}原点相对{O}系平移至O₁点。令O₁O₂与x₁轴正向夹角为则O₂在{O₁}系下的坐标为：

由于{O₁}系相对{O}系的平移向量为因此O₂在{O}系下的坐标为：

由于O₂B为定长，设O₂B长度为L，且B点坐标根据机械臂尺寸可知，则利用O₂B＝L可列机械臂的约束方程：

从而求出：

由于受机械臂运动范围所限，因此：

将(6)式和(7)式代入(3)和(4)式，则O₂在基系下的坐标可得。

建立动坐标系{B}-Bx_By_Bz_B，{B}系由{O}系平移至B点，再将z轴旋转至大臂BG方向，并与大臂固联。{B}系相对{O}系的平移向量：

^OP_BORG＝(X_B，Y_B，0)^T (8)

{B}系相对{O}系的旋转变换矩阵可通过矢量BO₂＝(a，b，c)计算，其中：

旋转变换的实现步骤为：首先将BO₂绕x轴旋转α角到xz平面为BO₂’，再将BO₂’绕y轴旋转β角使之与z轴重合。其中：

则有

其中：

则{B}系相对{O}系的变换矩阵为：

建立动坐标系{G}-Gx_Gy_Gz_G，{G}系由{B}系沿大臂BG平移至G点，并与BG杆固联，{G}系y轴方向恰与G点转动副轴线重合。由于BG杆长是确定的，则{G}系相对{B}系的平移向量可知：

^BP_GORG＝(0，0，^BZ_G)^T (16)

则{G}系相对{O}系的变换矩阵为：

在G点建立第二个动坐标系{G₁}-G₁x_G1y_G1z_G1与小臂GM固联，令机械臂的初始位姿为小臂GM与大臂BG互相垂直，则x_G1在小臂GM的延长线上，则机械臂末端参考点M在{G₁}系下的坐标为^G1P_M＝(X_M，0，0)^T。{G₁}系相对{G}系的旋转角度可通过∠FGH的角度变化求得。

将FH定为该移动副的运动学尺寸，令FH＝l₃，则根据l₃的变化可求得∠FGH的角度变化σ。由于GF和GH的长度由机械臂确定，分别记为L_GF和L_GH，∠FGH＝θ，则cosθ和sinθ可求。

将∠FGH在初始位姿时的角度定为θ₁(已知)，设l₃变化后∠FGH角度为θ₂，则

σ＝θ₂-θ₁ (20)

cos(σ)＝cosθ₂cosθ₁+sinθ₂sinθ₁ (21)

sin(σ)＝sinθ₂cosθ₁-cosθ₂sinθ₁ (22)

则{G₁}系相对{G}系的变换矩阵：

由于该机械臂为三自由度机构，其末端姿态与位置是耦合的，末端姿态通过{G₁}系相对{O}系的旋转矩阵可得，因此只需求解末端参考点M的坐标^OP_M＝(x_M，y_M，z_M)^T与输入量l₁、l₂、l₃的关系即可，从而得出该混联机械臂的正解：

至此，该三自由度混联机械臂的正解求解完毕。

Claims (5)

1.一种三自由度混联机械臂的运动学正解求解方法，其特征在于，由于该三自由度混联机械臂的姿态与位置是耦合的，所述的三自由度混联机械臂的正解是指已知三移动副变量l₁、l₂、l₃的长度，求解末端参考点M的位置坐标^OP_M＝(x_M，y_M，z_M)^T。

2.如权利要求1所述的一种三自由度混联机械臂的运动学正解求解方法，其特征在于，根据该机械臂的结构特点，建立求正解坐标系。A、B、C、D、E、F、G、H分别为各铰链中心点。首先，建立基准坐标系(基系)，基准坐标系{O}-Oxyz与基座相连，O为球铰A、C连线的中点，y轴沿AC指向C，由于球铰A、C相对万向铰B对称布置，则有BO⊥AC，x轴在BO延长线上。由于A、B、C与基座固定，因此A、B、C点在基系中的坐标已知。

3.如权利要求2所述的一种三自由度混联机械臂的运动学正解求解方法，其特征在于，求解{B}系相对基系的变换矩阵

假想将D、E两万向铰固联，与大臂BG解除约束，将AD、CE延长交于O₂，则AO₂、CO₂的长度为两移动副的运动学尺寸(令)，则三脚架AO₂C只能绕AC轴线转动，点O₂的轨迹是以点O₁为圆心，以长度r(r＝O₁O₂)为半径的圆。经计算，这些圆心的坐标(O₁点)：

同时得到：

以O₁为参考点建立与基座相连的坐标系{O₁}-O₁x₁y₁z₁。坐标系{O₁}原点相对{O}系平移至O₁点。

令O₁O₂与x₁轴正向夹角为则O₂在{O₁}系下的坐标为：

由于{O₁}系相对{O}系的平移向量则O₂在{O}系下的坐标为：

由于O₂B为定长，设O₂B长度为L，且B点坐标根据机构尺寸可知，则利用O₂B＝L可列机械臂的约束方程：

从而求出：

由于受机械臂运动范围所限，因此：

将(6)式和(7)式代入(3)式和(4)式，则O₂在{O}系下的坐标可得。

建立动坐标系{B}系由{O}系平移至B点，再将z轴旋转至大臂BG方向，并与大臂固联。{B}系相对{O}系的平移向量：

^OP_BORG＝(X_B，Y_B，O)^T (8)

{B}系相对{O}系的旋转变换矩阵可通过矢量BO₂＝(a，b，c)计算，其中：

旋转变换的实现步骤为：首先将BO₂绕x轴旋转α角到xz平面为BO₂’，再将BO₂’绕y轴旋转β角使之与z轴重合。其中：

则有

其中：

则{B}系相对{O}系的变换矩阵为：

。

4.如权利要求3所述的一种三自由度混联机械臂的运动学正解求解方法，其特征在于，求解{G}系相对{O}系的变换矩阵

建立动坐标系{G}系由{B}系沿大臂BG平移至G点，并与BG杆固联，{G}系y轴方向恰与G点转动副轴线重合。由于BG杆长是确定的，则{G}系相对{B}系的平移向量可知：

^BP_GORG＝(0，0，^BZ_G)^T (16)

则{G}系相对{O}系的变换矩阵为：

。

5.如权利要求4所述的一种三自由度混联机械臂的运动学正解求解方法，其特征在于，在G点建立第二个动坐标系与小臂GM固联，令机械臂的初始位姿为小臂GM与大臂BG互相垂直，则x_G1在小臂GM的延长线上，则机械臂末端参考点M在{G₁}系下的坐标为^G1P_M＝(X_M，0，0)^T。{G₁}系相对{G}系的旋转角度可通过∠FGH的角度变化求得。

将FH定为该移动副的运动学尺寸，令FH＝l₃，则根据l₃的变化可求得∠FGH的角度变化σ。由于GF和GH的长度由机械臂确定，分别记为L_GF和L_GH，∠FGH＝θ，则cosθ和sinθ可求。

将∠FGH在初始位姿时的角度定为θ₁(已知)，设l₃变化后∠FGH角度为θ₂，则

σ＝θ₂-θ₁ (20)

cos(σ)＝cosθ₂cosθ₁+sinθ₂sinθ₁ (21)

sin(σ)＝sinθ₂cosθ₁-cosθ₂sinθ₁ (22)

则{G₁}系相对{G}系的变换矩阵

由于该机械臂为三自由度机构，其末端姿态与位置是耦合的，末端姿态通过{G₁}系相对{O}系的旋转矩阵可得，因此只需求解末端参考点M的坐标^OP_M＝(x_M，y_M，z_M)^T与输入量l₁、l₂、l₃的关系即可，从而得出该混联机械臂的正解：

。