WO2005103995A1 - 旋回流評価装置及び旋回流の評価方法 - Google Patents

旋回流評価装置及び旋回流の評価方法 Download PDF

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swirling flow
turning
calculation unit
fluid
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Katsuyuki Nakayama
Kenji Umeda
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Mitsubishi Heavy Industries Ltd
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Mitsubishi Heavy Industries Ltd
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    • G—PHYSICS
    • G01—MEASURING; TESTING
    • G01P—MEASURING LINEAR OR ANGULAR SPEED, ACCELERATION, DECELERATION, OR SHOCK; INDICATING PRESENCE, ABSENCE, OR DIRECTION, OF MOVEMENT
    • G01P5/00—Measuring speed of fluids, e.g. of air stream; Measuring speed of bodies relative to fluids, e.g. of ship, of aircraft
    • G01P5/001—Full-field flow measurement, e.g. determining flow velocity and direction in a whole region at the same time, flow visualisation

Definitions

  • the present invention relates to a swirl flow evaluation device and a swirl flow evaluation method, and particularly to a swirl flow evaluation device and a swirl flow evaluation method for evaluating a swirl flow in a fluid flow.
  • FIG. 1 shows an example of a fluid flow in a state of only a swirling flow.
  • FIG. 1 shows velocity vectors at each of a plurality of nodes (coordinate points) in one of the swirling planes of the swirling flow (a plane perpendicular to the swirling axis of the swirling flow).
  • the direction of the velocity vector is represented by the direction of the arrow, and the magnitude of the velocity vector is represented by the length of the arrow.
  • the fluid rotates around the swirling axis PO! / ⁇ .
  • FIG. 2 shows an example of a fluid flow in a state where a swirling flow and a uniform flow are combined.
  • FIG. 2 shows velocity vectors at each of a plurality of nodes (coordinate points) when a horizontal uniform flow from left to right in the figure is added to the swirling flow of FIG.
  • the existence of the swirling flow becomes visually insignificant.
  • M.7, S. Kiaa, H. Miura ⁇ Koyori 'Identiiication and analysis of vortical structure ", (EJ Mech. B / Fluids, (1998), vol. 17 (No. 4), p471— 488) discloses yet another swirl flow evaluation method, in which a swirl axis is determined from the flow of cyan and excessive velocity gradient tensors to pressure, but not only velocity data but pressure data is required. When performing analysis from experimental data, it is difficult to obtain pressure data with a sufficient number of coordinate points for the analysis.
  • an object of the present invention is to provide a swirl flow evaluation device and a swirl flow evaluation method capable of accurately identifying a swirl flow using a velocity vector at each node (coordinate point).
  • Another object of the present invention is to provide a swirl flow evaluation device and a swirl flow evaluation method capable of accurately identifying a swirl flow even when other flows or a plurality of swirl flows are present. is there.
  • Still another object of the present invention is to provide a swirl flow evaluation device and a swirl flow evaluation method capable of accurately determining the presence or absence of a swirl flow.
  • Another object of the present invention is to provide a swirl flow evaluation device and a swirl flow evaluation method capable of distinguishing a swirl flow having a swirl axis (vortex axis) from a swirl flow that does not. Is in
  • a swirling flow evaluation device of the present invention includes an eigen equation calculation unit, a swirling axis A calculating unit.
  • the eigen equation calculation unit calculates the eigen equation force eigen value for the coordinate point X and the velocity data V based on the fluid velocity data V at the coordinate point X. If the eigenvalue ⁇ is a complex number ⁇ R ⁇ i ⁇ , the turning axis calculation unit sets the imaginary part ⁇ of the complex number ⁇ R ⁇ i ⁇ as the turning function ⁇ , and the coordinate point X that gives the maximum value in the turning function ⁇ .
  • the coordinate point X giving the maximum value ⁇ is defined as the position of the swirl axis ⁇ of the swirling flow in the fluid.
  • the swirling axis calculation unit 4 calculates the local maximum value ⁇ in the swirling function ⁇ .
  • 0 is the angular velocity at the turning axis ⁇ .
  • the above-described swirl flow evaluation device includes a swirl line calculation unit that calculates a swirl line s indicating the swirl flow based on an eigenvector ⁇ calculated from the eigen equation and a swirl function ⁇ ; And a display unit for displaying.
  • the swirling axis calculation unit further determines that the fluid does not have a swirling flow when the eigenvalue ⁇ is not a complex number ⁇ R ⁇ i ⁇ .
  • the swirling axis calculation unit may further include a local maximum value satisfying a predetermined condition.
  • the fluid simulation device of the present invention includes an analysis device that calculates velocity data at each of a plurality of coordinate points indicating a position in a fluid based on input of data related to the fluid, And any of the swirling flow evaluation devices described in (1).
  • the swirl flow evaluation method of the present invention is executed by a swirl flow evaluation device including an eigen equation calculation unit and a swirl axis calculation unit.
  • A a step in which the eigen equation calculation unit calculates an eigen equation force eigen value for the coordinate point X and the velocity data V based on the velocity data V of the fluid at the coordinate point X output from the communication line or the storage device.
  • the eigenvalue ⁇ is a complex number ⁇ R ⁇ i ⁇ , Let the imaginary part ⁇ be the swirl function ⁇ , the maximum value in the swirl function ⁇ ⁇
  • the method further includes the step of setting 0 as the angular velocity at the rotation axis ⁇ .
  • the computer program of the present invention is executed by a swirling flow evaluation device including an eigen equation calculation unit and a rotation axis calculation unit.
  • the eigen equation calculation unit calculates the eigen equation force eigenvalue for the coordinate point X and the velocity data V.
  • the eigenvalue is a complex number R ⁇ i ⁇ i
  • the imaginary part ⁇ of the complex number R ⁇ i is a rotation function ⁇
  • coordinate points X are a plurality of coordinate points X.
  • the steps are as follows: (al) For each of the plurality of coordinate points X, the eigen equation calculation unit calculates the eigen value from the eigen equation for the coordinate point X and the velocity data V based on the coordinate point X and the velocity data V Calculating the weights.
  • Step of calculating 0, b2) When there are a plurality of coordinate points X giving the maximum value ⁇ , the maximum value ⁇
  • each of a plurality of coordinate points X giving 0 0 0 be the position of the swirl axis P of the swirling flow in the fluid.
  • the turning axis calculation unit 4 calculates the maximum value ⁇ in the turning function ⁇ .
  • the method further includes a step of setting 0 as the rotation axis (P) angular velocity.
  • (d) a step of calculating a swirl line S indicating the swirling flow based on the eigenvector ⁇ and the swirl function ⁇ of which the eigen equation force is also calculated; Displaying the line S.
  • step (b) is as follows: (b3) the turning axis calculation unit determines that the eigenvalue X is a complex number ⁇ R ⁇ i ⁇ and the fluid has no swirling flow. It is equipped with a judgment step.
  • the step (b) comprises the step of: (b4) determining that the turning axis calculation unit 4 has a maximum value ⁇ satisfying a predetermined condition.
  • a computer program of the present invention is a computer program to be executed by a simulation device including an analysis device and a swirling flow evaluation device.
  • a simulation device including an analysis device and a swirling flow evaluation device.
  • the analysis device calculates velocity data V at a coordinate point X indicating a position in the fluid based on input of data on the fluid; and
  • a swirling flow evaluation device 1 And a step of executing the computer program according to claim 1.
  • the swirling flow can be accurately identified by using the velocity vector at each node (coordinate point).
  • the presence or absence of a swirling flow and the presence of a swirling axis (vortex axis) can be accurately determined.
  • FIG. 1 is a diagram illustrating an example of a flow of a fluid in a state of only a swirling flow.
  • FIG. 2 is a diagram showing an example of a fluid flow in a state where a swirling flow and a uniform flow are combined.
  • FIG. 3 is a block diagram showing a configuration of an embodiment of a swirling flow evaluation device of the present invention.
  • FIG. 4 is a block diagram showing a hardware configuration of an embodiment of the swirling flow evaluation device of the present invention.
  • FIG. 5 is a flowchart showing an operation of the embodiment of the swirling flow evaluation device of the present invention.
  • FIG. 6 is a graph showing the results of evaluating the Burgers vortex velocity data with the swirling flow evaluation device of the present invention.
  • FIG. 7 is a view of FIG. 6 in which the directional force of the pivot axis P is also seen.
  • FIG. 8 is a graph showing another result of evaluating the Burgers vortex velocity data with the swirling flow evaluation device of the present invention.
  • FIG. 9 is a diagram showing a result of evaluating an example of a fluid flow in which the swirl flow and the uniform flow shown in FIG. 2 are combined by the swirl flow evaluation device of the present invention.
  • FIG. 3 is a block diagram showing a functional configuration of the swirling flow evaluation device according to the embodiment of the present invention.
  • the swirling flow evaluation device 1 is an information processing device exemplified by a workstation and a personal computer.
  • the swirling flow evaluation device 1 includes a speed data acquisition unit 2 as a program, an eigen equation calculation unit 3, a swirl axis calculation unit 4, a swirl line calculation unit 6, and a display unit 7. Furthermore, a speed database 8 and a result database 9 as data and programs are provided.
  • the speed database 8 and the result database 9 may be integrated.
  • the velocity data acquisition unit 2 performs a numerical analysis by computational fluid dynamics based on the input of the data on the fluid. Then, at each of a plurality of three-dimensional coordinate points X (X, X, X) indicating positions in the fluid, the three-dimensional coordinates of the fluid
  • the force may be obtained from another storage device (not shown) connected to the swirling flow evaluation device 1 via a communication line (not shown) or another device (not shown) on the network.
  • another device may have the function of the speed data acquisition unit 2, or may be another simulation device (eg, a ship, a wind power generator, a turbine) related to the flow of fluid.
  • Fluid machinery, aircraft, chemistry Z Nuclear power plant simulation equipment e.g., Fluid machinery, aircraft, chemistry Z Nuclear power plant simulation equipment
  • the speed database 8 stores the speed data V calculated by the speed data acquisition unit 2 in association with the coordinate point X.
  • Other storage devices not shown
  • devices on the network Figure (Not shown)
  • the speed data V may be stored in association with the coordinate point X.
  • the eigen equation calculation unit 3 obtains the speed data V associated with the coordinate point X from the speed data obtaining unit 2 or the speed database 8. Based on the velocity data V of the fluid at the coordinate point X, eigenvalues and eigenvectors (, ⁇ , ⁇ ) are calculated from eigen equations relating to the coordinate point X and the velocity data V. Coordinate point X and velocity data V are three-dimensional
  • the revolving axis calculating unit 4 determines that the eigenvalue is a complex number represented by ⁇ i ⁇ (i is an imaginary number).
  • the imaginary part ⁇ of the complex number ⁇ i ⁇ is defined as the swirl function ⁇ . Its swivel function (X, X, X
  • 0 0 0 is defined as the position of the swirl axis P of the swirling flow.
  • the turning axis calculation unit 4 further calculates a local maximum value ⁇ in the turning function ⁇ . Its maxima
  • 0 is defined as the angular velocity at the pivot axis P.
  • the result database 9 stores the eigenvalues and eigenvectors ⁇ calculated by the eigen equation calculation unit 3, the position X of the turning function ⁇ and the turning axis ⁇ calculated by the turning axis calculation unit 4, and the angular velocity calculation.
  • the swirl line calculation unit 6 calculates a swirl line S indicating the swirling flow based on the eigenvector ⁇ and the swirl function ⁇ .
  • the calculation result is output to the display unit 7.
  • the display unit 7 displays the turning line S on the display based on the calculation result.
  • FIG. 4 is a block diagram showing a hardware configuration of the swirling flow evaluation device according to the embodiment of the present invention.
  • the swirling flow evaluation device 1 includes a CPU (central processing unit) 11, a first memory 12, a second memory 13, an input / output unit 14, and a display 15 connected to each other via a bus 16.
  • CPU central processing unit
  • the unit 6, the display unit 7, the speed database 8, and the result database 9 are stored in a second memory 13 exemplified by a hard disk (HDD).
  • the speed data acquisition unit 2, the unique equation calculation unit 3, the turning axis calculation unit 4, the turning line calculation unit 6, and the display unit 7 are exemplified in the random access memory (RAM) when the turning flow evaluation device 1 operates.
  • the data is expanded in the first memory 12 and executed by the CPU 11. Data is read from the speed database 8 and the result database 9 by the CPU 11 as appropriate, and is written to them.
  • Input from the input / output unit 14 (including an input from an external device via a communication line), such as a communication port and a keyboard, is performed as necessary.
  • the swirling flow evaluation device may be included in a part of another simulation device relating to the flow of the fluid.
  • the position and angular velocity of the swirling flow can be grasped more accurately, and the accuracy of the simulation related to the fluid flow can be improved.
  • Examples of such a simulation device include a ship, a wind generator, a turbine, an aircraft, and a chemical Z nuclear plant.
  • FIG. 5 is a flowchart showing the operation of the swirling flow evaluation device according to the embodiment of the present invention.
  • the velocity data acquisition unit 2 performs a numerical analysis on a predetermined fluid by using computational fluid dynamics.
  • a numerical analysis at each of a plurality of three-dimensional coordinate points X (X, X, X) indicating positions in the fluid, the three-dimensional velocity
  • the result of the already executed numerical analysis may be received from another storage device (not shown) and output to the eigen equation calculation unit 3.
  • the eigen equation calculation unit 3 obtains fluid velocity data V for each of a plurality of coordinate points X in the fluid. At each of the plurality of coordinate points X, the following eigen equation (
  • step S03: No If all of the coordinate points X are (i) (step S03: No), the process proceeds to step S Go to 08. Otherwise (step S03: Yes), the process proceeds to step 04 for the coordinate point X in (ii).
  • the turning axis calculation unit 4 defines the imaginary part ⁇ of the complex number ⁇ ⁇ i ⁇ as a turning function ⁇ . Its rotation
  • Time function ⁇ (X, X, X) Coordinate when ⁇ (r, ⁇ , z) (cylindrical coordinate system) takes the maximum value ⁇
  • Examples of the method include a method of calculating the change from the function obtained by differentiating the turning function ⁇ and a method of calculating the maximum value of the turning function ⁇ . Its coordinate point X
  • 0 is defined as the position of the swirl axis P of the swirling flow in the fluid.
  • each of the plurality of coordinate points giving the maximum value is defined as the positions of the plurality of swirling axes PI, P2,.
  • Step S05 If there is no clear maximum value !, it has a clear swirl axis (vortex axis)! /, And it is judged as a swirl flow (flow forcibly swirling).
  • the clear maximum value is a maximum value that satisfies a predetermined standard.
  • An example of the predetermined criterion is that the difference between the local maximum value and the average value is equal to or larger than a predetermined value. If there is no clear maximum value (step S05: No), go to step S08. Otherwise (step S05: Yes), proceed to step 06 below. [0053] (6) Step S06
  • the turning axis calculation unit 4 further calculates a local maximum value ⁇ 0 in the turning function ⁇ . For example, coordinate point X
  • the maximum value is the maximum value ⁇ .
  • the maximum value ⁇ is defined as the angular velocity at the pivot axis P.
  • the swirl line calculation unit 6 calculates a swirl line S indicating the swirl flow based on the eigenvector ⁇ and the swirl function ⁇ .
  • Vectors 6 (1) and ⁇ (2) are also complex numbers.
  • the eigenvector ⁇ is expressed as follows.
  • the turning line S (the locus of the coordinate point X) Is calculated as follows: If there are a plurality of pivot axes PI, ⁇ 2,..., The same calculation is performed for those pivot lines Sl, S2-.
  • the display unit 7 displays the turning line S (S1, S2,%) On the display 15 based on the calculation result of step S07. Alternatively, if all of the plurality of coordinate points X are (i) in step S03, it is displayed that there is no swirling flow. Alternatively, if the swirling flow does not have a clear swirl axis (vortex axis) in step S05, it is displayed that there is no swirl axis.
  • FIG. 6 is a graph showing the result of evaluating the velocity data of Burgers vortex with the swirling flow evaluation device of the present invention.
  • the vertical axis shows the value of the turning function ⁇ (r, ⁇ , z), and the horizontal axis shows the value of r.
  • the graph shows a change in the turning function ⁇ in a predetermined direction ( ⁇ is fixed) in a predetermined turning plane (z is fixed).
  • 0 is the angular velocity at the pivot axis P. That is, in the present invention, the position of the swirling flow P is defined as r, and its angular velocity is defined as ⁇ . This position and
  • the angular velocity was confirmed to be consistent with the value of Burgers vortex obtained by the mathematical exact solution.
  • FIG. 7 is a diagram showing FIG. 6 as viewed from the direction of the pivot axis P. Here, the darker one is the turning function
  • FIG. 8 is a graph showing another result of evaluating the velocity data of Burgers vortex with the swirling flow evaluation device of the present invention.
  • the three axes are the eigenvectors ⁇ ⁇ ⁇ ( and ⁇ (3 ⁇ 4 , respectively.
  • the graph shows the revolving line S (the trajectory of the coordinate point X). This trajectory can be obtained by other known methods. It is consistent with the value of the Burgers vortex obtained.
  • the Burgers vortex well known in hydrodynamics as a vortex model has proved the usefulness of the present invention as described above. In other words, it is theoretically proved that the eigenvalue is a complex number around the pivot axis, rather than a complex number only on the pivot axis. Was. This imaginary part was defined as a turning function, and it was shown that it was a physical quantity of angular velocity.
  • the present invention is applicable not only to other Burgers vortices but also to other general flows.
  • Fig. 9 shows an example.
  • FIG. 9 is a diagram showing a result of evaluating an example of a fluid flow in a state where the swirling flow and the uniform flow in the predetermined swirling plane shown in FIG. 2 are combined by the swirling flow evaluation device of the present invention. is there.
  • This figure shows velocity vectors at each of a plurality of nodes (coordinate points) when a horizontal uniform flow from left to right in the figure is added to the swirling flow in FIG. Then, the swirl axis P in the swirling flow shown in FIG.
  • the swirl flow evaluation device of the present invention uses the method of determining the swirl axis P from the maximum value of the swirl function ⁇ , so that a uniform flow exists in addition to the swirl flow (the velocity is also at the swirl axis P). Is not 0), the position of the turning axis P can be correctly identified and its turning line S can be calculated. So
  • the present invention it is possible to distinguish between a swirling flow having a clear swirling axis (vortex axis) and a swirling flow (a swirling flow by forcibly swirling).
  • the turning function has a clear turning axis
  • the turning function has a convex distribution with a peak around the turning axis.
  • the turning function does not become the maximum at the turning axis in the forced turning flow.
  • a swirling flow can be accurately calculated by a relatively simple calculation method using a velocity vector at each node (coordinate point). .
  • the swirling flow evaluation device and the swirling flow evaluation method of the present invention can also be incorporated into a simulation related to a fluid flow in a ship, a wind power generator, a turbine, a fluid machine, an aircraft, a plant, and the like, and used. is there. In this case, the position and angular velocity of the swirling flow can be more accurately determined. It is possible to grasp and improve the accuracy of the simulation.

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Abstract

　固有方程式計算部３と、旋回軸算出部４とを具備する旋回流評価装置を用いる。固有方程式計算部３は、座標点における流体の速度データに基づいて、座標点と速度データとに関する固有方程式から固有値を計算する。旋回軸算出部４は、固有値が複素数である場合、複素数の虚数部を旋回関数として、旋回関数における極大値を与える座標点を算出し、極大値を与える座標点をその流体における旋回流の旋回軸の位置とする。これにより、他の流れや複数の旋回流が存在する場合でも、各節点（座標点）における速度ベクトルを用いて、旋回流を的確に同定できる旋回流評価装置を提供する。

Description

旋回流評価装置及び旋回流の評価方法
技術分野
[0001] 本発明は、旋回流評価装置及び旋回流の評価方法に関し、特に、流体の流れに おける旋回流を評価する旋回流評価装置及び旋回流の評価方法に関する。
背景技術
背景技術
[0002] 流体の流れとして、旋回流が知られている。図 1は、旋回流のみの状態にある流体 の流れの一例を示している。図 1は、旋回流の旋回平面（当該旋回流の旋回軸に垂 直な平面）の一つにおける、複数の節点 (座標点）の各々での速度ベクトルを示して いる。速度ベクトルの向きは矢印の向きで、速度ベクトルの大きさは矢印の長さでそ れぞれ表されている。図 1に示されるように、旋回流では、旋回軸 POを中心として、流 体がその周囲を回転して!/ヽる。
[0003] 図 2は、旋回流と一様流れとが合わさった状態にある流体の流れの一例を示してい る。図 2は、図 1の旋回流に、図において左から右への横方向の一様流れが加わって いる場合における、複数の節点 (座標点）の各々での速度ベクトルを示している。この ように、旋回流の他に一様流れがあると旋回流の存在が視覚的にわ力 なくなる。
[0004] 各節点 (座標点）における速度ベクトルを用いて、旋回流を的確に同定可能な技術 が望まれている。他の流れが存在する場合でも、旋回流を的確に同定可能な技術が 望まれている。他の流れや複数の旋回流が存在する場合でも、それらの旋回流を的 確に同定可能な技術が求められる。
[0005] 関連する技術として、 D. Sujudi, R. Haimesによる "Identification of s wirling flow in 3— D vector fields 、丄 2th AIAA Comput Fluid Dy n Conf 1995 Part2, (1995) , p. 792— 799)に旋回流の評価方法力 S開示さ れている。この方法では、まず、速度勾配テンソルの固有値が計算される。次に、そ の固有値が複素数であれば、旋回平面上におけるその点の周りで速度が 0の座標点 が探される。その速度が 0の座標点力 旋回軸の位置とされる。ただし、この方法では 、一様流れが存在する場合には、旋回軸を求めることは困難である。
[0006] また、 R. C. Strawn, D. N. Kenwright, J. Ahmadによる "Compu ter Visualization of Vortex Wake System", (AIAA (1999) , vol. 7 (No. 4) , p. 511— 512)に他の旋回流の評価方法が開示されている。この方 法では、渦度 ωが算出される。そして、渦度 ωの極大を表す座標点が旋回軸の位置 とされる。ただし、渦度 ωは、旋回流に限らず任意の流れのパターンにおける角速度 (の 2倍)を表す。そのため、渦度 ωを有する流れが旋回流を示すとは限らない。すな わち、渦度 ωを有することは、旋回流としての十分条件ではない。
[0007] ま 7こ、 S. Kiaa, H. Miura【こよる 'Identiiication and analysis of vort ical structure", (E. J. Mech. B/Fluids, (1998) , vol. 17 (No. 4) , p471— 488)に更に他の旋回流の評価方法が開示されている。この方法では 、圧力へシアン及び過度'速度勾配テンソルの流れから旋回軸が求められる。ただし 、速度データだけでなく圧力データが必要であり、かつ計算が複雑である。実験デー タから解析を行う場合、解析に必要かつ十分な座標点数の圧力データを取得するこ とは困難である。
発明の開示
[0008] 従って、本発明の目的は、各節点 (座標点）における速度ベクトルを用いて、旋回 流を的確に同定可能な旋回流評価装置及び旋回流の評価方法を提供することにあ る。
[0009] また、本発明の他の目的は、他の流れや複数の旋回流が存在する場合でも、旋回 流を的確に同定可能な旋回流評価装置及び旋回流の評価方法を提供することにあ る。
[0010] 本発明の更に他の目的は、旋回流の存在の有無を的確に判定可能な旋回流評価 装置及び旋回流の評価方法を提供することにある。
[0011] 本発明の別の目的は、旋回軸 (渦軸)を有している旋回流とそうでない旋回流とを 区別することが可能な旋回流評価装置及び旋回流の評価方法を提供することにある
[0012] 本発明の観点では、本発明の旋回流評価装置は、固有方程式計算部と、旋回軸 算出部とを具備する。固有方程式計算部は、座標点 Xにおける流体の速度データ V に基づいて、座標点 Xと速度データ Vとに関する固有方程式力 固有値えを計算す る。旋回軸算出部は、固有値 λが複素数 λ R±i φである場合、複素数 λ R±i φの 虚数部 φを旋回関数 φとして、旋回関数 φにおける極大値を与える座標点 X
0を算 出し、極大値 Φ を与える座標点 Xをその流体における旋回流の旋回軸 Ρの位置と
0 0
する。
ここでは、座標点 Xにおける速度データ Vに基づいて、評価対象座標点 Xの速度に て移動する移動座標系にお 、て速度のティラー展開を行 、、 2次以降の高次項を無 視することにより得られる速度勾配テンソルを求め、その固有方程式を用いている [0013] 上記の旋回流評価装置は、旋回軸算出部 4が、旋回関数 φにおける極大値 φ を
0 算出し、極大値 Φ
0を旋回軸 Ρでの角速度とする。
[0014] 上記の旋回流評価装置は、その固有方程式から計算される固有ベクトル ξと旋回 関数 Φとに基づいて、その旋回流を示す旋回線 sを計算する旋回線計算部と、旋回 線 sを表示する表示部とを更に具備する。
[0015] 上記の旋回流評価装置は、旋回軸算出部が、更に、固有値 λが複素数 λ R±i φ で無 、場合、その流体には旋回流が無 、と判定する。
[0016] 上記の旋回流評価装置は、旋回軸算出部は、更に、所定の条件を満たす極大値
Φ
0が無い場合、明確な旋回軸 Pが無いと判定する。
明確な旋回軸が無いとは、旋回流の中心が軸ではなぐ有限な領域の周りを旋回し ているものである。
[0017] また、他の観点では、本発明の流体シミュレーション装置は、流体に関するデータ の入力に基づいて、流体内の位置を示す複数の座標点の各々における速度データ を算出する解析装置と、上記に記載の旋回流評価装置のいずれかとを具備する。
[0018] また、他の観点では、本発明の旋回流の評価方法は、固有方程式計算部と旋回軸 算出部とを備える旋回流評価装置で実行される。（a)固有方程式計算部が、通信回 線又は記憶装置から出力された座標点 Xにおける流体の速度データ Vに基づいて、 座標点 Xと速度データ Vとに関する固有方程式力 固有値えを計算するステップと、 (b)旋回軸算出部が、固有値 λが複素数 λ R±i φである場合、複素数 λ R±i φの 虚数部 φを旋回関数 φとして、旋回関数 φにおける極大値 φ
0を与える座標点 X
0を 計算し、極大値 φ を与える座標点 Xをその流体における旋回流の旋回軸 Sの位置
0 0
とするステップとを具備する。
[0019] 上記の旋回流の評価方法において、（c)旋回軸算出部が、旋回関数 φにおける極 大値 Φ
0を計算し、極大値 φ
0を旋回軸 Ρでの角速度とするステップを更に具備する。
[0020] 上記の旋回流の評価方法において、（d)その固有方程式力 計算される固有べク トル ξと旋回関数 φとに基づいて、その旋回流を示す旋回線 Sを計算するステップと 、（e)旋回線 Sを表示するステップとを更に具備する。
[0021] また、他の観点では、本発明のコンピュータプログラムは、固有方程式計算部と旋 回軸算出部とを備える旋回流評価装置により実行される。 (a)固有方程式計算部が、 通信回線又は記憶装置から出力された座標点 Xにおける流体の速度データ Vに基 づいて、座標点 Xと速度データ Vとに関する固有方程式力 固有値えを計算するス テツプと、（b)旋回軸算出部が、固有値えが複素数え R±i <i)である場合、複素数え R±i φの虚数部 φを旋回関数 φとして、旋回関数 φにおける極大値 φ
0を与える座 標点 X その
0を計算し、極大値 Φ
0を与える座標点 X
0を 流体における旋回流の旋回軸
Pの位置とするステップとを具備する。
[0022] 上記のコンピュータプログラムにおいて、座標点 Xは複数の座標点 Xである。（a)ス テツプは、（al)複数の座標点 Xの各々について、固有方程式計算部が、座標点 Xと 速度データ Vに基づいて、座標点 Xと速度データ Vとに関する固有方程式から固有 値えを計算するステップを備える。（b)ステップは、（bl)複数の座標点 Xの各々につ V、て、固有値 λが複素数 λ R±i φである場合、旋回軸算出部が、複素数 λ R±i φ の虚数部 φを旋回関数 φとして、旋回関数 φにおける極大値 φ
0を与える座標点 X
0 を計算するステップと、 b2)極大値 φ を与える座標点 Xが複数ある場合、極大値 φ
0 0 0 を与える複数の座標点 Xの各々をその流体における旋回流の旋回軸 Pの位置とす
0
るステップとを備える。
[0023] 上記のコンピュータプログラムにおいて、（c)旋回軸算出部 4が、旋回関数 φにお ける極大値 φ での
0を計算し、極大値 φ
0を旋回軸 (P) 角速度とするステップを更に具 備する。 [0024] 上記のコンピュータプログラムにおいて、（d)その固有方程式力も計算される固有 ベクトル ξと旋回関数 φとに基づいて、その旋回流を示す旋回線 Sを計算するステツ プと、 (e)旋回線 Sを表示するステップとを更に具備する。
[0025] 上記のコンピュータプログラムにおいて、（b)ステップは、（b3)旋回軸算出部が、固 有値 Xが複素数 λ R±i φで無 、場合、その流体には旋回流が無 、と判定するステ ップを備える。
[0026] 上記のコンピュータプログラムにおいて、（b)ステップは、（b4)旋回軸算出部 4が、 所定の条件を満たす極大値 Φ
0が無い場合、その流体には明確な旋回軸 Pが無いと 判定するステップを備える。
[0027] 上記課題を解決するために、本発明のコンピュータプログラムは、解析装置と旋回 流評価装置とを備えるシミュレーション装置に実行させるコンピュータプログラムであ る。（f)解析装置が、流体に関するデータの入力に基づいて、流体内の位置を示す 座標点 Xにおける速度データ Vを算出するステップと、（g)旋回流評価装置 1が、上 記段落のいずれか一項に記載のコンピュータプログラムを実行するステップとを具備 する流体シミュレーション方法をシミュレーション装置に実行させる。
[0028] 本発明により、他の流れや複数の旋回流が存在する場合でも、各節点 (座標点）に おける速度ベクトルを用いて、旋回流を的確に同定できる。旋回流の存在の有無や、 旋回軸 (渦軸）を有して!/、る旋回流の有無を的確に判定できる。
図面の簡単な説明
[0029] [図 1]図 1は、旋回流のみの状態にある流体の流れの一例を示す図である。
[図 2]図 2は、旋回流と一様流れとが合わさった状態にある流体の流れの一例を示す 図である。
[図 3]図 3は、本発明の旋回流評価装置の実施例の構成を示すブロック図である。
[図 4]図 4は、本発明の旋回流評価装置の実施例のハードウェア構成を示すブロック 図である。
[図 5]図 5は、本発明の旋回流評価装置の実施例の動作を示すフロー図である。
[図 6]図 6は、バーガーズ渦の速度データを本発明の旋回流評価装置で評価した結 果を示すグラフである。 [図 7]図 7は、図 6を旋回軸 Pの方向力も見た図である。
[図 8]図 8は、バーガーズ渦の速度データを本発明の旋回流評価装置で評価した他 の結果を示すグラフである。
[図 9]図 9は、図 2で示した旋回流と一様流れとが合わさった流体の流れの一例を、本 発明の旋回流評価装置で評価した結果を示す図である。
発明を実施するための最良の形態
[0030] 以下に、本発明の旋回流評価装置及び旋回流の評価方法の実施例について、添 付図面を参照して詳細に説明する。
[0031] 図 3は、本発明の実施例による旋回流評価装置の機能構成を示すブロック図であ る。旋回流評価装置 1は、ワークステーションやパーソナルコンピュータに例示される 情報処理装置である。旋回流評価装置 1は、プログラムとしての速度データ取得部 2 、固有方程式計算部 3、旋回軸算出部 4、旋回線計算部 6及び表示部 7を具備する。 更に、データ及びプログラムとしての速度データベース 8及び結果データベース 9を 具備する。速度データベース 8及び結果データベース 9は、統合されていても良い。
[0032] 速度データ取得部 2は、流体に関するデータの入力に基づいて、数値流体力学 (C omputational Fluid Dynamics)による数値解析を行う。そして、流体内における 位置を示す複数の 3次元座標点 X(X , X , X )の各々において、当該流体の 3次元
1 2 3
速度ベクトルデータ V (V , V , V )を算出する。算出されたデータは、速度データべ
1 2 3
ース 8に格納される。固有方程式計算部 3へ直接出力されても良い。
[0033] 複数の座標点 X (X , X , X )の各々における当該流体の速度データ V (V , V , V
1 2 3 1 2
3 )は、旋回流評価装置 1に通信回線（図示されず)で接続された他の記憶装置（図示 されず)やネットワーク上の他の装置（図示されず)力 取得されても良 、。その場合 に、他の装置（図示されず）は、この速度データ取得部 2の機能を有していても良いし 、流体の流れに関わる他のシミュレーション装置 (例示:船舶、風力発電機、タービン 、流体機械、航空機、化学 Z原子力プラント用シミュレーション装置)であっても良い
[0034] 速度データベース 8は、速度データ取得部 2で算出された速度データ Vを座標点 X に対応付けて格納して 、る。他の記憶装置（図示されず)やネットワーク上の装置（図 示されず)から取得されたデータにっ ヽて、速度データ Vを座標点 Xに対応付けて格 納していても良い。
[0035] 固有方程式計算部 3は、速度データ取得部 2又は速度データベース 8から座標点 X に対応付けられた速度データ Vを取得する。その座標点 Xにおける流体の速度デー タ Vに基づいて、座標点 Xと速度データ Vとに関する固有方程式から固有値え及び 固有ベクトル ( , ξ , ξ )を計算する。座標点 X及び速度データ Vは、 3次元の
1 2 3
データであるので、固有値えも 3個（λ , λ , λ )計算される。計算結果は旋回軸算
1 2 3
出部 4へ出力される。
[0036] 旋回軸算出部 4は、固有値えがえ ±i φ (iは虚数)で表される複素数である場合、
R
複素数え ±i φの虚数部 φを旋回関数 φと定義する。その旋回関数 (X , X , X
R 1 2 3
)が極大値 Φ を取るときの座標点 Xを算出する。その座標点 X 1S その流体におけ
0 0 0 る旋回流の旋回軸 Pの位置として定義される。
[0037] 旋回軸算出部 4は、更に、旋回関数 φにおける極大値 φ を算出する。その極大値
0
Φ
0を旋回軸 Pでの角速度と定義する。これらの固有値え、固有ベクトル ξ、旋回関 数 φ、極大値 φ
0 =角速度、旋回軸 Ρの位置 X
0は、結果データベース 9に格納される
[0038] 結果データベース 9は、固有方程式計算部 3で計算された固有値え及び固有べク トル ξ、旋回軸算出部 4で算出された旋回関数 φ及び旋回軸 Ρの位置 X、角速度算
0 出部 5で算出された極大値 φ =角速度について、座標点 X及び速度データに関連
0
付けて格納している。
[0039] 旋回線計算部 6は、固有ベクトル ξと旋回関数 φとに基づ!/、て、その旋回流を示す 旋回線 Sを計算する。計算結果は表示部 7へ出力される。表示部 7は、計算結果に 基づいて、旋回線 Sをディスプレイ上に表示する。
[0040] 図 4は、本発明の実施例による旋回流評価装置のハードウェア構成を示すブロック 図である。旋回流評価装置 1は、互いにバス 16で接続された CPU (central proce ssing unit) 11、第 1メモリ 12、第 2メモリ 13、入出力部 14及びディスプレイ 15を具 備する。
[0041] 上述の速度データ取得部 2、固有方程式計算部 3、旋回軸算出部 4、旋回線計算 部 6、表示部 7、速度データベース 8及び結果データベース 9は、ハードディスク (HD D)に例示される第 2メモリ 13に格納されている。そのうち、速度データ取得部 2、固 有方程式計算部 3、旋回軸算出部 4、旋回線計算部 6及び表示部 7は、旋回流評価 装置 1の動作の際、ランダムアクセスメモリ (RAM)に例示される第 1メモリ 12に展開さ れ、 CPU 11により実行される。速度データベース 8及び結果データベース 9から、 C PU11により適宜データが読み出され、それらに書き込まれる。必要に応じて、通信 ポートやキーボードに例示される入出力部 14からの入力（通信回線を介した外部装 置からの入力を含む）が行われる。
[0042] この旋回流評価装置は、流体の流れに関わる他のシミュレーション装置の一部に 含まれていても良い。旋回流の位置や角速度をより的確に把握することが出来、その 流体の流れに関わるシミュレーションの精度を向上させることができる。そのようなシミ ユレーシヨン装置としては、船舶、風力発電機、タービン、航空機、化学 Z原子力ブラ ントが例示される。
[0043] 次に、本発明の実施例による旋回流評価装置の動作について説明する。図 5は、 本発明の実施例による旋回流評価装置の動作を示すフロー図である。
[0044] (1)ステップ301：
速度データ取得部 2は、所定の流体について、数値流体力学 (Computational Fluid Dynamics)による数値解析を行う。数値解析により、流体内における位置を 示す複数の 3次元座標点 X(X , X , X )の各々において、当該流体の 3次元速度べ
1 2 3
タトルデータ V(V , V , V )を算出する。算出されたデータは固有方程式計算部 3へ
1 2 3
出力される。既に実行された数値解析の結果を他の記憶装置（図示されず)から受 信して、固有方程式計算部 3へ出力しても良い。
[0045] (2)ステップ S02
固有方程式計算部 3は、流体中の複数の座標点 Xの各々に関する流体の速度デ ータ Vを取得する。その複数の座標点 Xの各々において、以下のような固有方程式（
1)を立て、その計算を実行する。ただし、計算の実行に際し、式 (2)の流体の連続条 件をカ卩えている。
[0046] [数 1] det =0 (1) =0 ただし、
：速度データ Vの速度成分 (i= l, 2, 3)
X：座標点 Xの座標成分 (j = l、 2、 3)
λ :固有値
σ ：クロネッカーデルタ（Kronecker Delta、 i=jのとき 1、その他のとき 0 ij
である。
[0047] 計算の結果、以下のような解を得ることができる。
[数 2]
Figure imgf000011_0001
1 ただし、
X= (X , X , X )
1 2 3
c ER:定数 (j = l, 2, 3)
λ：算出された固有値え (j = l, 2, 3)
6 α) , ξ ϋ) ) :算出された固有ベクトル ξ (j = l, 2, 3)
1 2 3
である。
[0048] (3)ステップ S03
式（3)において、 3つの固有値え ( λ (j = l, 2, 3) )には、（i)全て実数、及び、 (ii) 一つが実数で他の二つが複素数、の二つの場合がありうる。
流体中の複数の座標点 Xの各々について、（i)の場合、その座標点近傍の流体の 関わる旋回流が存在しないと判定される。（ii)の場合、旋回流が存在すると判定され る。
そして、複数の座標点 Xの全てが（i)の場合 (ステップ S03： No)、処理はステップ S 08へ進む。その他の場合 (ステップ S03 : Yes)、（ii)となった座標点 Xについて、処 理はステップ 04へ進む。
[0049] (4)ステップ S04
(ii)の場合、以下の固有値えは、以下のように表現される。
[数 3] ニ 士 (4)
ただし、
= (X , X , X )
1 2 3
= (r, 0 , z) (円筒座標系）〉 0
i:虚数
である。
[0050] 旋回軸算出部 4は、複素数 λ ±i φの虚数部 φを旋回関数 φと定義する。その旋
R
回関数 φ (X , X , X ) = φ (r, θ , z) (円筒座標系）が極大値 φ を取るときの座標
1 2 3 0
点 X (X , X , X ) = (r , Θ , z )を算出する。座標点 XOの算出する方法として
0 10 20 30 0 0 0
は、旋回関数 Φを微分した関数の変化から求める方法や、旋回関数 Φの最大値を 求める方法が例示される。その座標点 X
0を、その流体における旋回流の旋回軸 Pの 位置と定義する。
[0051] ここで、極大値を与える座標点が複数ある場合、複数の旋回流が存在すると判断 する。そして、極大値を与える複数の座標点の各々を、複数の旋回流に対応する複 数の旋回軸 PI, P2, . . .の位置と定義する。
[0052] (5)ステップ S05
明確な極大値が無!、場合、明確な旋回軸 (渦軸)を有して!/、な 、旋回流 (強制的に 旋回させている流れ)と判断する。ここで、明確な極大値とは、所定の基準を満たす 極大値である。所定の基準としては、例えば、極大値と平均値のとの差が所定の大き さ以上であることに例示される。明確な極大値が無い場合 (ステップ S05 : No)、ステ ップ S08へ進む。その他の場合 (ステップ S05 : Yes)、以下のステップ 06へ進む。 [0053] (6)ステップ S06
旋回軸算出部 4は、更に、旋回関数 φにおける極大値 φ 0を算出する。例えば、座 標点 X
0を旋回関数 φを微分した関数の変化カゝら求めた場合、座標点 X
0の値を旋回 関数 Φに代入すれば極大値 Φ
0を算出できる。座標点 X
0を旋回関数 Φの最大値から 求めた場合、その最大値が極大値 φ である。その極大値 φ を旋回軸 Pでの角速度
0 0
と定義する。複数の旋回軸 PI, P2, . . .力ある場合には、それらについても同様に 極大値を求め角速度を定義する。
これらの固有値え、固有ベクトル 、旋回関数 φ、極大値 φ =角速度、旋回軸 P
0
の位置 Xは、結果データベース 9に格納される。
0
[0054] (7)ステップ S07
旋回線計算部 6は、固有ベクトル ξと旋回関数 φとに基づいて、その旋回流を示す 旋回線 Sを計算する。
固有値え 及びえ が複素数 (式 (4) )の場合、固有値え 及びえ に対応する固有
1 2 1 2
ベクトル 6 (1)及び ξ (2)もまた複素数となる。固有ベクトル ξは、以下のように表現され る。
[0055] [数 4] ξ(ι\ ξ(2) - ξρ1αηε ± ι ηρ1αηε (6)
( ) ただし、
i :虚数
である。
[0056] 式 (4)と式（5)の固有値 λ、及び、式（6)と式（7)の固有ベクトル の各々を式（3) に代入すると、旋回線 S (座標点 Xの軌跡）は以下のように計算される。複数の旋回軸 PI, Ρ2, . . .がある場合には、それらの旋回線 Sl、 S2 -についても同様に計算さ れる。
[0057] [数 5] x = 2e oo^ t - ηρί sin φ ΐ) + e。' (8) ただし、 c = l (j = l 2 3)
[0058] (8)ステップ S08
表示部 7は、ステップ S07の計算結果に基づいて、旋回線 S (S1, S2, . . . )をディ スプレイ 15上に表示する。又は、ステップ S03で複数の座標点 Xの全てが（i)の場合 、旋回流が無い旨を表示する。あるいは、ステップ S05で明確な旋回軸 (渦軸）を有し ていない旋回流場合、旋回軸が無い旨を表示する。
[0059] 上記のように本発明の旋回流評価装置の実施例の動作が実行される。
[0060] 図 6は、バーガーズ (Burgers)渦の速度データを本発明の旋回流評価装置で評価 した結果を示すグラフである。縦軸は旋回関数 φ (r, Θ , z)の値、横軸は rの値を示 す。グラフは、所定の旋回平面 (zは固定）における所定の方向（ Θは固定)の場合の 、旋回関数 Φの変化を示して 、る。
この場合、 r=rの位置で φが極大値 φ となっている。すなわち、すなわち、 r=r
0 0 0 の位置が旋回軸 Pの位置であり、 Φ = Φ
0が旋回軸 Pにおける角速度となる。すなわ ち、本発明では、旋回流 Pの位置を r、その角速度を φ と定義する。この位置及び
0 0
角速度は、数学的な厳密解で得られたバーガーズ (Burgers)渦の値と一致すること を確認した。
[0061] この結果は、旋回関数 φが存在する複数の座標点 Xの全てにぉ 、て、一致するこ とも確認された。
[0062] 図 7は、図 6を旋回軸 Pの方向力 見た図である。ここでは、色が濃い方が旋回関数
Φの大きさが大きいことを示す。中心部に極大値があり、そこが図 6における r=rの
0 旋回軸 Pの位置である。すなわち、旋回関数 φの値の分布を求めることで、視覚的に 容易に旋回軸の位置を見出すことができる。
[0063] 図 8は、バーガーズ (Burgers)渦の速度データを本発明の旋回流評価装置で評価 した他の結果を示すグラフである。三つの軸は、それぞれ固有ベクトル ξ ω ξ ( 及 び ξ (¾である。グラフは、旋回線 S (座標点 Xの軌跡）を示している。この軌跡は、従 来知られた他の方法で得られたバーガーズ (Burgers)渦の値と一致して 、る。 [0064] 本発明では、渦のモデルとして流体力学上よく知られているバーガーズ渦において 、上記のように本発明の有用性を証明できた。すなわち、固有値が旋回軸のみで複 素数となるのではなぐ旋回軸の周辺で複素数となっていることを理論的に証明し、 固有値の複素数の虚数部が旋回軸で極大値となることを示した。この虚数部を旋回 関数と定義し、角速度の物理量であることを示した。
[0065] 本発明は、他のバーガーズ渦だけでなく他の一般的な流れに対しても適用できる。
その一例を示したのが図 9である。
図 9は、図 2で示した所定の旋回平面における旋回流と一様流れとが合わさった状 態にある流体の流れの一例を、本発明の旋回流評価装置で評価した結果を示す図 である。この図は、図 1の旋回流に、図における左から右への横方向の一様流れが 加わっている場合における、複数の節点 (座標点）の各々での速度ベクトルを示して いる。そして、それらにカ卩えて、図 1に示す旋回流における旋回軸 Pの
0 位置及び旋 回線 Sが示されている。この旋回軸 P0の位置及び旋回線 Sは、従来知られた他の方 法で得られた場合と一致して!/、る。
[0066] このように、本発明の旋回流評価装置は、旋回関数 φの極大値から旋回軸 Pを定 める方法により、旋回流の他に一様流れが存在する（旋回軸 Pでも速度が 0でない） 場合でも、正しく旋回軸 Pの位置を同定し、その旋回線 Sを算出することができる。そ
0
して、その存在を視覚的に明示することができる。
[0067] 本発明により、明確な旋回軸 (渦軸)を有して 、る旋回流とそうでな ヽ旋回流 (強制 的に旋回させて 、る流れ)との区別を図ることが出来る。明確な旋回軸を有して 、る 場合、旋回関数は旋回軸を中心に山なりの凸分布となるが、強制的な旋回流れでは 旋回軸で旋回関数が極大とならない。
[0068] 本発明により、各節点 (座標点）における速度ベクトルを用いて、他の流れや複数の 旋回流が存在する場合でも、比較的簡単な計算方法で旋回流を的確に算出可能と なる。
[0069] 本発明の旋回流評価装置及び旋回流の評価方法を、船舶、風力発電機、タービン 、流体機械、航空機、プラント等における流体の流れに関わるシミュレーションに組み 込んで利用することも可能である。その場合、旋回流の位置や角速度をより的確に把 握することが出来、シミュレーションの精度を向上させることができる。

Claims

請求の範囲
[1] 座標点における流体の速度データに基づいて、前記座標点と前記速度データとに 関する固有方程式から固有値を計算する固有方程式計算部と、
前記固有値が複素数である場合、前記複素数の虚数部を旋回関数として、前記旋 回関数における極大値を与える座標点を算出し、前記極大値を与える座標点を前記 流体における旋回流の旋回軸の位置とする旋回軸算出部と
を具備する
旋回流評価装置。
[2] 請求項 1に記載の旋回流評価装置において、
前記旋回軸算出部は、更に、前記旋回関数における前記極大値を算出し、前記極 大値を前記旋回軸での角速度とする
旋回流評価装置。
[3] 請求項 2に記載の旋回流評価装置において、
前記固有方程式力 計算される固有ベクトルと前記旋回関数とに基づいて、前記 旋回流を示す旋回線を計算する旋回線計算部と
前記旋回線を表示する表示部と
を更に具備する
旋回流評価装置。
[4] 請求項 1に記載の旋回流評価装置において、
前記旋回軸算出部は、更に、前記固有値が複素数で無い場合、前記流体には旋 回流が存在しな 、と判定する
旋回流評価装置。
[5] 請求項 1に記載の旋回流評価装置において、
前記旋回軸算出部は、更に、所定の条件を満たす前記極大値が無い場合、前記 流体には旋回軸が存在しないと判定する
旋回流評価装置。
[6] 流体に関するデータの入力に基づ!/、て、流体内の位置を示す複数の座標点の各 々における速度データを算出する解析装置と、 請求項 1乃至 5のいずれか一項に記載の旋回流評価装置と
を具備する
流体シミュレーション装置。
[7] 固有方程式計算部と旋回軸算出部とを備える旋回流評価装置で実行する旋回流 の評価方法であって、
(a)前記固有方程式計算部が、座標点における流体の速度データに基づいて、前 記座標点と前記速度データとに関する固有方程式力 固有値を計算することと、
(b)前記旋回軸算出部が、前記固有値が複素数である場合、前記複素数の虚数 部を旋回関数として、前記旋回関数における極大値を与える座標点を計算し、前記 極大値を与える座標点を前記流体における旋回流の旋回軸の位置とすることと を具備する
旋回流の評価方法。
[8] 請求項 7に記載の旋回流の評価方法において、
(c)前記旋回軸算出部が、前記旋回関数における前記極大値を計算し、前記極大 値を前記旋回軸での角速度とすることを更に具備する
旋回流の評価方法。
[9] 請求項 7又は 8に記載の旋回流の評価方法において、
(d)前記固有方程式力 計算される固有ベクトルと前記旋回関数とに基づいて、前 記旋回流を示す旋回線を計算することと、
(e)前記旋回線を表示することと
を更に具備する
旋回流の評価方法。
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