TW200527224A - Process and device for determining a transforming element for a given transformation function, method and device for transforming a digital signal from the time domain into the frequency domain and vice versa and computer readable medium - Google Patents

Description

Z00527224 4 九、發明說明： [相關申請案之交互參考] 此申請案係主張於西元2003年9月29曰提出的美國 專利臨時申請案第60/5〇7,210號、與於西元2〇〇3年9月29 日提出的美國專利臨時申請案第6〇/5〇7，物號的優先權之 利盈，各者之内容係針對所有目的以參照方式而為整體納 入於本文。 再者，下列共同擁有的申請案係同時提出，且以整體 納入於本文： 代理人案件第P100442號“用於實施由時域至頻域及 反向之數位訊號域轉換的方法，，，及 代理人案件第P100444號“用於由時域至頻域及反向 轉換數位訊號之方法”。 【發明所屬之技術領域】 本發明係關於一種用於決定特定轉換函數之轉換元素 之方法及裝置、用於將數位訊號由時域轉換至頻域及反向 轉換之方法及裝置、以及電腦可讀取媒體。 【先前技術】 例如疋離散餘弦轉換（DCT，discrete cosine transform) 之域轉換係廣泛運用於現代的訊號處理產業。近來，稱為 整數DCT之DCT的一種變化係因為於無損耗（1〇ssless)編碼 (coding)的應用中之重要角色而已經吸引諸多研究興趣。術 語“無損耗”係意謂著：解碼器係可自編碼（enc〇ded)位元 流（bit-stream)產生原始訊號的一個精確無誤的複製（c〇py)。 200527224 DCT是一種貫數值的區塊（bl〇ck)轉換。即使輸入區塊 係僅由整數所組成，DCT之輸出區塊仍可能包含非整數的 成分。為了方便起見，輸入區塊係稱為輸入向量，而輸出 區塊係稱為輸出向量。若一個向量僅包含整數成分，則其 稱為一個整數向量。不同於DCT的是，整數DCT係自一整 數輸入向量產生一整數輸出向量。對於相同的整數輸入向 i而5，整數DCT之整數輸出向量係非常接近DcT之實數 輸出向量。因此，整數DCT係保有DCT於頻譜分析之所有 良好的性質。 整數DCT之一個重要性質係可逆性（reversibility)。可 逆性係意謂著存在一整數逆向DCT(IDCT，inverse DCT)，使 得若疋整數DCT係自一輸入向量l產生一輸出向量义，則 整數IDCT係可自向量[回復向量毛。有時，整數DCT亦稱 為正向（forward)轉換，而整數IDCT稱為反向或逆向轉換。 一種稱為整數修改式離散餘弦轉換（IntMDCT，integer modified discrete cosine transform)之轉換係最近被提出且 運用於ISO/IEC MPEG-4音訊壓縮。intMDCT係可從其原 型一修改式離散餘弦轉換（MDCT，modified discrete cosine transform)推導出。於參考文獻[1]，Malvar係提供一種 MDCT之有效率的實現，其係藉由串接一組（bank)之Givens 旋轉以及一個DCT-IV區塊。眾所週知的是，Givens旋轉係 了因式分解為三個提升級（lifting step)以供映射整數至整 數。例如，請參閱參考文獻[2]。 因此，IntMDCT之實現係仰賴於整數DCT-IV之有效率 200527224 的施行。 整數轉換係可直接轉換自其原型，此係藉由以三個提 升級替代各個Givens旋轉。因為各個提升級中具有一個化 整（rounding)運算，因此整數轉換之總化整數目係原型轉換 之Givens旋轉數目的三倍。針對於離散三角轉換（例如··離 散傅立葉轉換（DFT)或離散餘弦轉換（DCT))，所涉及的

Glvens旋轉之數目係通常為於#1〇§2#的層級，其中，#係區 塊的尺寸，亦即内含在數位訊號所分割成為的各個區塊中 之資料符號量。是以，針對於直接轉換的整數轉換之系列 而言，總化整數目亦為於的層級。因為化整，所以整 數轉換僅為近似其浮點原型。近似誤差係隨著化整之數目 而增大。 【發明内容】

本發明係解決決定一特定轉換函數的轉換元素之問 忒轉換函數係包含一轉換矩陣且對應於由時域至頻域 =反向之數位訊號的轉換，俾使由該轉換元素所包含之化 整，算的數目顯著地降低。本發明亦提出一種用於根據該 决疋的轉換疋素以將數位訊號由時域轉換至頻域或反向轉 換之方法。 忒問題係藉由一種用於決定特定轉換函數之轉換元素 之方w 在置、一種用於將數位訊號由時域轉換至頻域及 °轉換之方法及裝置、以及一種具有根據申請專利範圍 獨立項之特徵的電腦可讀取媒體而解決。 據本發明，一種用於決定一特定轉換函數之轉換元 200527224 素之方法係被提出，該轉換函數係包含一轉換矩陣且對應 於由時域至頻域或反向之數位訊號的轉換，其中：該轉換 7陣係分解成為-個旋轉矩陣與—個輔助矩陣，該輔助矩 P當乘以其本身時係等於一個置換矩陣乘以一個整數對角 矩陣；該旋轉矩陣與辅助矩陣係各自分解成為複數個提升 矩陣，該轉換元素係被決定為包含對應於該些提升矩陣之 複數個提升級。 f < 再者，根據本發明’ 一種適於實施上述的方法之 係被提出。 展置 再者’根據本發明，—種用於將數位訊號由時域轉換 至頻域或反向轉換之太、土在& 、 门轉換之方法係被提出’其運用一轉換元素， =人該轉換元素係對應於—特定轉換函數，該轉換 係包含一個轉換矩陣，i中， 早^ 5亥轉換兀素係由一種方法所

:”匕3 ·分解該轉換矩陣成為-個旋轉矩陣與一個 輔助矩陣，兮結# & # i & 1U 陣乘以-個敕 其本身時係等於一個置換矩 各自 數對角矩陣；分解該旋轉矩陣與輔助矩陣而 對應於該此提升矩Γ 及’決定該轉換元素為包含 級孫勺人升矩陣之複數個提升級；且其中，各個提升 且3Γ數位訊號的子區塊之處理，其係藉由辅助轉換 且精由一個化整單元。 π 1为 再者’根據本發明，一、奋 係被提出。 種<於實細i述的方法之裝置 根據本發明’―種電料讀取媒㈣被 其係具有記錄於其上之一 壬式，/、中，該程式係適於使得 200527224 電腦實施-種用於決特定轉換函數之轉換元素之方 法，該轉換函數係包含一個轉換矩陣且對應於由時域至頻 域或反向之數位訊號的轉換’其中：該轉換矩陣係分解成 為一個旋轉矩陣與一個輔助矩陣，該辅助矩陣當乘以其本 身時係等於-個置換矩陣乘以—個整數對角矩陣；該旋 矩陣與輔助矩陣係各自分解成為複數個提升矩陣；該轉換 元素係被決定為包含對應於該些提升矩陣之複數個提升 級。 再者’根據本發明，-種電腦可讀取媒體係被提出，· 其：具有記錄於其上之一程式，其中，該程式係適於使得 電月®實施一種用於將數位訊號由時域轉換至頻域或反向轉 換之方法’其係運用一轉換元素，其中··該轉換元素係對 應於-特定轉換函數，該轉換函數係包含一個轉換矩陣， 其中’该轉換兀素係由一種方法所決定，其包含：分解該 ^奐矩陣成為-個旋轉矩陣與一個輔助矩陣，該輔助矩陣 當乘以其本身時係等於一個置換矩陣乘以一個整數對角矩 刀解-亥旋轉矩陣與辅助矩陣而各自成為複數個提升矩_ 陣，以及，決定該轉換元素為包含對應於該些提升矩陣之 複數個提升級，且，各個提升級係包含該數位訊號的子區 鬼之處理，其係藉由輔助轉換且藉由一個化整單元。 〆於個較佳實施例中，本發明係提出一種用於實現整 數類型IV的DCT轉換之程序與方法。相較於先前技藝的方 2根據本發明之方法僅需要顯著降低數目之化整運算。 果近似块差係大為降低，就DCT_IV而論，其可自通常 11 200527224 的AHog，的層級而降低至低為如2·5#，其中，#係表示數位 訊號之區塊尺寸。根據本發明之方法係為低的計算複雜度 且為模組化的結構。 根據本發明之方法及裝置係可運用於任何型式的數位 訊號，諸如：音訊、影像或視訊訊號。數位訊號（其為數位 化的讯號）係對應於一實際測量的訊號，且可為藉著掃描一 個對應的類比訊號之至少一個特性特徵（例如··視訊訊號之 冗度與色度值、類比聲音訊號之振幅、或來自感測器之類 比感測訊號）而產生。該數位訊號係包含複數個資料符號。 數位訊號之資料符號係被分組成為區塊，且各個區塊係具 有相同預定數目之資料符號，該數目為基於對應的類比訊 號之取樣率而定。 根據本發明之方法係可運用於轉換一 入數位訊號至-亦代表整數值之輸出訊號。根據 轉換方法是可逆的。該輸出訊號係可藉著實施根據本發明 之轉換方法而轉換回到原始輸入訊號。根據本發明之方法 的轉換之此種可逆性質係可運用於無損耗編碼，其中，輸 出Λ號係應相同於原始輸入訊號。 根據本發明之訊號的此種整數轉換係可運用於諸多岸 用與系統，諸如：MPEG音訊、影像與視訊壓縮、jpEG2〇〇〇 ，頻譜分析器（用於分析紅外線、紫外線或核磁輻射訊號）。 =可為容易施行於硬體系統（諸如：定點數位訊號處理器 p))而無須考慮於論及於一個實數值的訊號轉換之諸如 /虚位（overflow)的因素。 12 200527224 根據本發明之方法，數位訊號係藉由一轉換元素而轉 換至頻域，該轉換元素係針對於一個特定的轉換函數而根 據本發明之方法所決定。 較佳而吕，轉換元素係包含複數個提升級 stage) ° 轉換το素係可為基於一種提升階梯（ladde〇模型來加以 次月提升階梯模型係具有二個側部，各者係用於接收二 個群、、且的資料4號中之—群組。二或多個串接的提升級係 被設置於該二個側部之間。各個提升級係於一端（輸入端） 接收一舐唬，且經由一總和單元而於另一端（輸出端）輸出一 唬 化整單元係配置於輸出端。提升級係以交替的方 式配置於側部之間’俾使相鄰的提升級之輸出（或輸入）端為 連接至不同的側部。 應注意的是，雖然該轉換元素係以提升階梯模型之形 式來加以描述，但其僅為說明轉換元素之轉換路徑。本發 明不應受限於該種階梯模型。 轉換元素之提升級的數目係由其為根據本發明之方法 所决疋之提升矩陣的數目所定義。 離散餘弦轉換、離散正弦轉換、離散傅立葉轉換或離 散w轉換係轉換函數之實例，其可運用作為根據本發明之 轉換函數。轉換元素之提升級的數目係可為不同的，視根 據本發明之方法的結果而定，以供針對於個別的轉換函數 決定一個轉換元素之用。 【實施方式】 13 200527224 ^發明之說明性質的實施例係參照圖式而解說於後。 第1圖係顯示根據本發明的一個實施例之一種音訊編 碼器100的架構。 曰I編碼态100係、包含··基於修改式離散餘弦轉換 (MDCT)之-個習用的感知（pereept㈣）底層（be㈣⑺編碼 (coder)以及其基於整數修改式離散餘弦轉換（intMDc丁) 之一個無損耗增強編碼器。 一音1〇9 (例如··由—麥克風11〇所提供且其為 ^ -類比至數位轉換器⑴所數位化）係被提供至音訊編碼 器1〇〇。音訊訊號109係包含複數個資料符號。音訊訊號 109係被分割為複數個區塊，其中，各個區塊係包含數位訊 號之複數個資料符號且各個區塊係由一修改式離散餘弦轉 換（MDCT)裝置101所轉換。藉助於一個感知模型1〇2，由 MDCT裝置1〇1所提供的MDCT係數為由一個量化器 所量化。該感知模型係控制量化器1〇3，使得由量化誤差所 造成之可聽見的失真為低的。量化器1〇3之輸出係由一個 位元流編碼器104所編碼，而產生有損耗的〇〇ssy)之感知編 碼的輸出位元流112。位元流編碼器1〇4係無損耗式壓縮其 輸入以產生一輸出，該輸出相較於其輸入而具有較低的平 均位元率（bit-rate)，其係藉由諸如霍夫曼編碼 (Huffman-Coding)或運行長度編碼（Run_Length_c〇ding)的 標準方法。輸入音訊訊號1〇9亦饋入至一 IntMDcT裝置 105，其係產生IntMDCT係數。量化的MDCT係數（其為量 化器103之輸出）係被用以預測intMDCT係數。量化的 14 200527224

mdct係數被饋入至一個逆向量化器ι〇6且逆向量化器ι〇6 之輸出係饋入至一個化整單元107，藉其為化整至整數值且 剩餘（residual)的IntMDCT係數（其為化整單元107的輸出與 IntMDCT係數之間的差值）係由一個熵（entropy)編碼器108 而進行網編碼。類比於位元流編碼器1〇4，熵編碼器1 〇8係 無損耗式降低其輸入之位元率且產生一無損耗增強的位元 流11 3。無損耗增強的位元流丨丨3以及感知編碼的位元流 1 12係載有必要資訊，以確實重建輸入音訊訊號1 〇9。 第2圖係顯示包含本發明的一個實施例之一種音訊解 碼器200的架構，其對應於第1圖所示之音訊編碼器1〇〇。

感知編碼的位元流207係由一個位元流解碼器2〇丨（其 係實施對於第1圖之位元流編碼器丨〇4的運算之逆向運算） 所解碼，且被饋入至一個逆向量化器2〇2。逆向 一個逍向MDCT裝置203而施加至逆向量化器2〇2的輸出。 因此，得到重建之感知編碼的音訊訊號2〇9。無損耗增強的 位元流208係由一個熵解碼器2〇4 (其係實施對於第i圖之 熵編碼器、108的運算之逆向運算而產生對應之剩餘 IntMDCT係數）所解碼。逆向量化器2〇2之輸出係由一個化 1波置2〇5所化整，且被加至剩餘IntMDCT係數，因此產 生IntMDCT係數。最後，逆向IntMDCT係藉由一個逆 IntMDCT裝置206而施加至IntMDCT係數，以產生重建之 無損耗編碼的音訊訊號2 1 〇。 々上所述於參考文獻[2]所顯示的是： 編碼中擔任重要肖色且運料第 15 200527224 實施例之IntMDCT的核心者是一整數DCT_IV。 弟3圖係說明根據本發明的方法之一個實施例的流程 圖，其中，轉換函數是一 DCT-IV轉換函數。

下文’根據本發明的用於決定DCT-IV轉換函數的轉換 元素之一個實施例係被解說。所決定的轉換元素係運用於 第1圖所示之編碼器以施行IntMDCT，且因此逆向轉換元 素係運用於弟2圖所示之解碼器以施行逆向IntMDCT。針 對於如何以DCT-IV實施IntMDCT與逆向IntMDCT之說 明，請參閱參考文獻[2]。 個#點的實數輸入序列办)之DCT_IV轉換函數係 義為如後（請參閱參考文獻[2]): 棘称。⑽ 令C為DCT-IV之轉換矩陣，即： Ο) c1 ^ λ !2 In cos \m + l/2)(n + l/2)^

N (2) 根據本發明之方法的實施例，轉換矩陣笠係分解成 一個旋轉矩陣盥—個拓陆 ^ ^ .,-個車#乘]"其本身時係等; 個置換矩陣乘以一個整數對角矩陣。 為了清楚起見，#係假設為偶數。 於步驟300，該方法係起始。 於步驟301，針對於偶數索 有奇數舍U ^ s a 宗引之轉換函數的項次係與j 了欺緊引的項次為分離： 、-(一

Ν 16 --1200527224

π I -石 χ(2π) cos卜 m + 3)(2^7 + 7)旬 + 心石 X(2w +1) cos[(m + 吾)(2π +1 + 吾) 一 Σχι ⑻cos N n=〇 / 、 --1 / Λ / U ^ (m + _)(w+4) + ⑻ c〇s V /1=0 (m+ ^)(^+-)- π Ά V j j 因此 —l y(m)= ⑻cos V ^ /1=0 f N 2 (3) 2 N ~ϊ ▲ —1 + y~77^x2 («)c〇s » ^ n=0 其中，具有成分χ»χ(2«)，w = 〇，··.，了一 1之毛L係包含具有偶 索引的所有 x(n)之 個向量，而具有成分 x2 + ，W = 〇，."，Y-1之公係包含具有奇數索 個向量。 以下的一個縮寫係被運用： ⑻ (X m，11 (m + I)(w+去)7^，m，n = u-1 (4) (5) 藉著式（4)與（5)，式（3)係可改寫為： (6) y(0)二]liP1 ⑻ CQS(Hm) + ][^ΣΧ2 ⑻ e°s(am，n +

n=Q 於步雜302 ’針對於餘弦之以下的二個加法定理係應 ⑺

co机，，久）= c〇sa-侧久 +siim心.sinA 17 (8)200527224 cos(am，w + — sinaww .sin人 藉著式（7)與（8) ’式（6)係可改寫為··

Xm):

N f_1 f-1 ~l N 1 g ⑻ c°i °°祝+§^气《sin^+2¾ ⑻c()®u。。祝-E^(w)siii%isin^ «=〇 n=0 —-1 n=0 * 2 N_ ~2 Σ C〇S]=m h(«) + ^2(«)]cosa //=〇 V 2 y-l «=〇 Vz (9) 為了縮寫，二個N/2維度的向量釭，與公，係被定義為 包含以下的成分： 文丨》=古[» + '⑻]，《 =0””，令-1 (10) 七·⑷=士h⑷-Α(Ό] ’《 = 〇，···，夸-1 (η) 藉著式（10)與（11)，式（9)係簡化為： η=0 丨 m’n (12) y(m)=

V 於步驟303，向量 r*K〇r y •Ki)

Lma〇 係分割為 〆〇) ' 少⑴ 部分义^_與以，其中 鲁 .4- 1) 18 (13) (14) 200527224 y{N-2) 4

N 向量ZL係包含對應於索引為自^至#-1且以反向順序 之义_的成分。向量之成分少1〇)係滿足下式： y} (m) = y(N-l-m) fi Scos^^iVOOcos^v-h，" + Σδίη A-i-_V〇)sina (15) 1 2 n=0

n-Q

N 對於 m = 0，..·，了-1 0 請注意到： 少(m +寻)= —1

N

Vcos>0 N + VsinNx2\n)sina N K16) m」 wv\ J vt μ」 m Λ. n n=0 m+— 2 m+—,n

N 對於 m = 0，".，~y-1 0 於步驟304,处與u係各為一個DCT-IV矩陣Cf與 τ 個DST-IV矩陣所表示，其各者為維度

N 此係以下列的方式達成。針對於儿=(w + |)i，下式係成 /3 / \ Ν、π , \、π Ν π η π (Λ Π, -y 2 2 IN 2 2# 2 27V w 4 v ’ 立：

Pn l m = (N -l-m + = N · - (m + —) · - βηϊ (18) 2 2# 2N 2 IN 2 再者： cos^yv-i-m : = cos(|-pj = sin 凡 (19) sin/? 一 = = sin(^-/?m) = cos^w (20) 19 200527224 π

N_ Y 下式係成立： a {N —){n + —) π 2 2 ( N 2 (N — m — π 2 ( N 2 N(n + ΤΊΛ~(m++\}77Λ = 2π(<η+^"a,w^ ^2πη + π^ f»,n (21) 再者： cos a cos(2^· n^rπ-amn) = cos(^r-amn) = -cosamn (22) N~\-m，n -sin(2^r ηλ-π-amn) = sin(^r~Λ) = sinamn (23)藉著式（19)、（20)、（22)與（23)，式（15)係可改寫為· r^-i …、· ^ 2 2 XW — 1-所)=TTTdZCC)S^M-mV(W)C0SaAM，+ESinAv-nV⑻ Sina sin a N_ 2 N_

2 2 Σ Sin ^ V ⑻(—COS % w ) + Σ COS 凡 V ⑻ Sin A —1 --1

N

[cos^V(w)sinaw，, = 〜sin从

N、 [I 1 2 (N) 2 ZV(OC0S〜，W n + COS 凡 2 2 ^x2\n)smamn n LV UJ LI (24) 對於 m = 0”.·，--1 o 2 再者，由於式（12)係產生 --1 y{m)= N_

Zcos 凡 V ⑻+ Zsin 儿 x2’(w)sina" 20 200527224 βη _2_ 2 + sin 从 2 l 一 1 Σν⑻ sin、 (25) y± = dlag[^Pm\ .^1 + diag[sinβηι]·S1^ ·χ2， _L ~ _L — yi = diag[-smpm\c^ ^xx'Λ-diag[cospm\S1^ -x2\ 對於與之表示式係可由式（24)與（25)而構成： 所= 〇，···，令-1 (26) 所==0”··，] — 1 (2 7) 其中，血gfaw]係表示一個N/2乘以N/2的對角矩陣且％ 為於第ni列，cf 係DCT-IV轉換之轉換矩陣而 <係型式" _Χ _τ. 四的離散正弦轉換（DST-IV，discrete sine transformation of type f〇ur)之轉換矩陣。 该二式Γ 2 6Ο 77 LV Y列方式表不為單一式： 少 〇(〇) 一 COS^J sin A _ v(〇) _ y〇(~-i) c〇s凡 sinA« ' f^IV _ ^ N __ ~2 少丨(〇) ' sin βχ c〇s A Cl IV Ί x2，(0) 少丨(令-' - .sin Ah cos^_ L 一=—J V(f -1)_ (28) 下文，fxf矩陣 N_ 2 (29) 與 21 (30) (31) 200527224 係被運用。 可看出的是： 一〆〇) _ \ΐΚΪ Ί 少⑵ 丄Ν 2 _ Λ __2_ 其係縮寫為： y \ _ Τ Λ 一 4 _2_ _Zl_ [N/2 χ Ν/2

少。⑼· (N n(y1) 义⑼Wf-D (32) 進而可看出的是：藉著定義矩陣心為

R 下式 IΝ/2 — IΝII _ vw _ (0) V(鲁-1) V(0) =κ Α (替-1) 又2⑼ 係成立。 式（34)係縮寫為： ίι

Rpr (33) (34) (35) 再者，令匕為一個偶奇（even-odd)矩陣，即：重新排序 向量:ϊ的成分之一個置換矩陣 x(0) 22 200527224 ，其係藉著分離對應於偶數索引的成分與對應於奇數 索引的成分，即：俾使 %⑼ m x(N-l) (36) & (吾-1) χ2⑼ A (令-1) 或是簡單而言： Ρ (37) 係成立。 藉著結合式（28)及式（31)、（34)與（36)，可得到 ~ X〇)" 7a Ί oosfix y(2) 一 上N ΟΟ^βτη - sin A c〇sA cos凡 C IV 藉「著前述的縮寫與以下的的縮寫： rcos βλ

S

IV

R AM) (38) C = 一 cos九 與 sin βλ S = 式（38)係可簡窝 In ' ~2 r J N -I. cir s

IV (39) (40) (41) 23 200527224 於步驟305, 係由qr所表 SI〜C丨[dn丄 ^ J 了 7 其中，~係維度為AV2 不 此係藉著下式 (42) 作成 之一個對角 矩陣，其給定 為 (43) 一 1 藉著式（42)，式（41)係可改寫 為： y· (44)之所 C s c c

IV (44) 於步驟3H赠轉料^係被計算 ο 出，其係包含式 個矩陣： \ _ 「八 1 2 — ~C s： rl c 一八 - 2 _ - -i-_ (45) 於，（45)之三個矩陣的相乘係產生： COS-

4N cos- 3π 4Ν sin- cos (N% cos-^r

.3；r sm-— 4N

4N ❿ (46)

3π 4N cos- —sin-

3π* ~—- 4N

4N COS- 於步驟307，輔助矩陣係被計算出， /、本身時係專於一個置換矩陣乘

4iV 該輔助矩陣當乘 以一個整數對角矩陣。 祠助矩陣係包含式（44)之第四與第五個矩陣： 以 24 200527224 Τ· τ.τ: -piv - ^N/2 n 1 _ ^N/2^N/2 ^V2[ [1 0 0 1 1 ·· o 0 1 -1 0 0 . 一 1 ^ιν ^Ν/2^Ν/2 ^ C^nD 注意： /-iIV ^Ν/2 Ν/2 (47) ι 1 ο 即，Ζ1乘以其本身係箄於 （48) 陣。 4置換料乘以―整數對角矩 藉著式（46)與（47)，式（44)係簡化為： CA/ = /? τ p

KlPeo_ (49) 身時係等於 個置換矩陣乘以一個整數對角矩 於步驟308，心與1係各自因式分解為提升矩 乘積。Z係因式分解成如後： 卜碰… …' (5〇) •個 丄嘗乘以其本 陣之 IN11 \-DN/2 κ2ί '/ Ί 丄n n 玉 I Nn ’ ，：_ L ——- Ύ7 i __1 1 N/2 ----」 其中， (51) (52) (53) ^ ACN/2DNf2 + V^/2fel

r^lV ^1^^2CJNV/2DNJ2 -hIN/2 25 (54)

(54) 且，^係根據下式而被因式分解： ^ N/2 H2 ' I n η H' ’"/2 - /2 Η] I MU (N-l)z SN 200527224

Rpo =及】及2及3 其中， -tan-

8iV -tan-

SN 及 H,

3π L-- 4N '-tan

4N (55) (56) sin

(N - \)π AN 因此，式（49)係可改寫為 (57)

Cl_^RxR2RJJ2T^Pe〇 於步驟309，提升矩陣係儘可能被集成。矩陣之係定義 為與Τ之乘積’即·

S ΙΝ 12 Η，Κ' _ — 1 N12 (58) 此集成係由於2亦為一個提升矩陣而為可行的。 由式（57)與（58) ’對於dct-Iv矩陣之最後的因式分解 係得到為： ^j-RxR2ST2T3Peo (59) 式（59)係指出：根據本發明之針對於整數DCT-IV轉換 的轉換元素係包含五個提升級。 由於最後的因式分解式係被決定，該方法係停止於步 26 200527224 * 驟 3 1 0。 第4圖係顯示根據本發明的方法之一個實施例的流程 圖400，其運用五個提升級，即：第一提升級4〇ι、第二提 升級402、第二提升級403、第四提升級4〇4與第五提升級 405。此方法係車父佳被運用於第j圖之IntMDcT裝置 與第2圖之逆向IntMDCT裝置2〇6，以分別施行intMD(：T 與逆向IntMDCT。於第4圖，^與係分別為數位訊號之 第一與第二區塊，^、^與^係中間訊號，且與&係分 別為對應於數位訊號之第一與第二區塊的輸出訊號。 第5圖係顯示根據本發明的方法之一個實施例的流程 圖，其中，轉換函數係一 DCT-IV轉換函數。被運用於此實 施例之轉換元素係對應於式（59)，即，其為由第3圖所示的 方法之實施例所決定者。 轉換元素係包含五個提升級，其對應於式（59)之五個提 升矩陣。 再者，轉換元素係包含一資料混洗（shuffling)級，其對 應於置換矩陣&。 於第5圖，第一提升級之輸入是數位訊號之二個區塊 以_與&，而UL與系中間訊號，且乂1_與此係分別為對 應於數位訊號之第一與第二區塊的輸出訊號。 轉換元素之輸入I及轉換元素的第一提升級之二個輸 入區塊毛7與係滿足下式： (6〇) (請參閱式（37))。 27 200527224 下文，第一提升級501係被解說，其對應於提升矩陣& 之提升級。 2 令為第一提升級之輸出向量，其暫時未化整至整數 值 即 (61) 運用「由式⑼)所提供之㉔定義，式（61)係改寫為： (62) Γ Π ~2 ί!/ _ __2_

由於此實施例中，針對於整數DCT-IV之一種可逆式演 算法係被提供，因此其包括一至整數值的化整運算。故， 根據式（62)，於第一提升級5〇1之第一步驟5〇6中，々係乘 以么。此相乘之結果係於步驟507被化整至整數值。於步 驟508中，化整的值係接著被加至公。因此，中間訊號乙 係滿足下式： ~ 么=[^·五」+佥 (63)

其中，[*」係表示化整運算。 由於第5圖所示之轉換元素的其他四個提升級5〇2、 503、504、505 (其分別為對應於矩陣4、5、么與係具有 如同第一提升級501之相同的結構，故其解說係被省略。 僅須注意的是：於第二提升級502之相加步驟509中，根 據工之定義，。係乘以。 下文，反向轉換之轉換元素的提升級係參照第6圖而 加以解說。 第6圖係說明於第5圖所示之轉換的反向轉換之轉換 28 200527224 元素的提升級。 於第6圖，第一提升級之輸入是數位訊號之二個區塊 1與以，而仏與化係中間訊號，且l與包係分別為對 應於數位訊號之第一與第二區塊的輸出訊號。 於第6圖所示的最後一個提升級605係逆向於第5圖 所示的第一提升級501。故，於最後一個提升級6〇5之第一 步驟606,係乘以么。此相乘之結果係於步驟6〇7被化整 至整數值。於步驟608，化整的值係接著從L減去。因此， sfl ^虎^^係滿足下式： 佥= （64) 其中，L*」係表示化整運算。 由於第6圖所示之轉換元素的其他四個提升級601、 602 603、604 (其分別為逆向於提升級505、504、503、502) 係具有如同最後一個提升級6〇5之相同的結構，故其解說 係被省略。僅須注意的是：在第四提升級604的相加步驟 6〇9之後，相加步驟6〇9之結果係乘以—~而產生 可看出的是：第6圖之提升級605、604、603、602與 601係分別為逆向於第5圖之提升級5〇1至5〇5。此外，由 於對應於矩陣匕之輸入訊號的置換係可被反向且因此一個 貝料混洗級係包含逆向的轉換元素，所提供的方法是可逆 的’因此’若運用於第1與2圖所示之音訊編碼器1 〇〇與 音訊解碼器200，則其係提供一種用於無損耗式音訊編碼之 方法及裝置。 運用於此實施例之化整的數目之分析係說明於本發明 29 200527224 之敘述的結尾處。 第7圖係顯示根據本發明的一個實施例之一種影像存 檔（archiving)系統的架構。

/於第7圖’—影像源7()1 (例如：照相機)係提供一個類 々像Λ號3亥影像汛號係由一個類比至數位轉換器7〇2 所處理’以提供—個對應的數位影像訊號。該數位影像訊 號係藉由-個無損耗影像編碼器7()3而無損耗式編碼，該 、扁馬器703係包括自時域至頻域之轉換。於此實施例，時 域係對應於影像之座標空間。無損耗式編碼的影像訊號係 儲存於一個儲存裝4 7〇4,例如：硬碟《则。當需要該 影像時’無損耗式編碼的影像訊號係提取自冑存裝置剔 且提供至一個無損耗影像解碼器705,其係解碼無損耗式編 碼的影像訊號且重建原始的影像訊號而無任何資料喪失。 影像訊號之此種無損耗式的存檔是重要的，舉例而 言，假設影像係半導體晶圓之誤差圖（map)且必須儲存以供 稍後的分析之情形。 μ 下文，根據本發明之用於由時域至頻域及反向之數位

訊號轉換的方法之又-個實施例係被解說。此實施例係較 佳為運用於第7圖所示之影像存㈣統的無損耗影像編碼 為7 0 3與無損耗影像解碼器7 〇 5。 第8圖係說明根據本發明的方法之一個實施例，其運 用DWT-IV作為轉換函數。 八 一個點的實數輸入序歹ιΜ收DWT_IV係定義為如 後· 30 200527224 n=0

π (m + l/2)(n -f \/2)2π N m9n = 〇X--9N^i (65) DWT-IV之轉換矩陣係給定為 K：· π | (ηι^1/2)(η^1/2)2π 4 Ν (66) 根據本發明之方法，DWT-IV矩陣係因式分解為以下 形式： (67) ^係一個旋轉矩陣，其定義為： IN 丨1 J N/2 的 R, 'Έ

JN /2 IN 丨1 (68)

1 N/2 係階數（order)為N/2之單位矩陣（參閱式（29))，而J多 係階數為N/2之反單位矩陣（參閱式（3〇))。 4係一個置換矩陣： 1 N/2

JN /2 (69) I：係一個矩陣，其給定為：

T

Civ rIV ΖΛ'λ —c"/2— 9^I2DNI2 C^/2DN/2 (70) 其中，^係階數為N/2之DCT-IV矩陣：

lN 丨2_ : i(m) cos (^ + 1/2)(η^ι/2)π(m) (71) 階數為N/2之對角矩陣，其給定為： 一 1 N/2 (72) 一 1 矩陣明之方法’…係可〜式分解為提升 31 /2 (73) /2 (73) IΝ/2 「I • ~ ---- .£2； lull IΝ 丨1 - IΝ丨2 一 ..細 Κ3 I ν η— Nnf^n ΚΊ 200527224 ΐ>τ'τ2τ\ 其中， K'={fil訊 Ο

h.^^l2PNI2-IK 且 Rn = RlR2R3 IN丨2 IN/2 其中， = = -tan(^/8)· ljm I n n % -0.414 N/2 -0.414 (74) (75) ;0.414 及 H2 = sin(;r/4)· f N/2 0.707 0.707. (76) 0.707 因此，式（67)係可改寫為以下的形式： = R1R2R3TiT2T,I\t (77) 根據本發明之方法，提升級係儘可能被集成。 於此實施例，提升矩陣么與&係可集成至提升矩陣^ S = RT — ~ y (78) 由式（77)與（78)，針對於〇界丁-1¥矩陣之以下的因式分 解式係可得到： ^ = %s τ2τ3% (79) 式（79)係指出的是：根據本發明之針對於整數DWT-IV 轉換的轉換元素係包含五個提升級。 再者，轉換元素係包含一資料混洗級，其對應於置換 32 200527224 矩陣么。資料混洗級係重新排列於各個輸入資料區塊之成 分的次序。根據么，輸入資料向量係以下列方式重新排列： 向量之第一半部係保持為不變；向量之第二半部係倒轉， 即： Χχ ^2 Χ2 ΧΝ/2 ΧΝ/2 ΧΝ/2+\ ΧΝ ； ΧΝ-\ ΧΝ-\ • ^ ΧΝ _ 一ΧΝΙΙλΛ _ (80) 於第8圖，第一提升級之輸入是數位訊號之二個區塊 k與公，而以、仏與仏係中間訊號，且與I係分別為對 應於數位訊號之第一與第二區塊的輸出訊號。 轉換元素之輸入及轉換元素的第一提升級之二個輸 人區「气〜與係滿足下式： (81) 下文，第一提升級801係被解說，其係為對應於提升 矩陣丛之提升級。 令 值，即： V2 — — -η χΛ V2 -J -1 為第一提升級之輪出向量，其暫時未化整至整數 (82) 一 π Ί Ν Ί _ Ν ~2 ν2 ---J Χ2 L— 編 33 (83) 200527224 由於此實施例，針對於整數DWT-IV之一種可逆式演 算法係被提供，其為包括一至整數值的化整運算。故，根 據式（83)，於第一提升級8〇1之第一步驟8〇6，红^系乘以么。 此相乘之結果係於步驟807被化整至整數值。於步驟808， 化整的值係接著被加至&。因此，中間訊號L係滿足下式： 佥= 佥 (84) 其中，L*」係表示化整運算。 由於苐8圖所示之轉換元素的其他四個提升級go】、 8〇3、8〇4、8〇5 (其分別為對應於矩陣&、$、么與係具有 鲁 如同第一提升級801之相同的結構，故其解說係被省略。 僅須注意的是：於第二提升級802之相加步驟809，根據r2 之定義，係乘以。 下文，反向轉換之轉換元素的提升級係參照第9圖而 被解說。 第9圖係說明於第8圖所示之轉換的反向轉換之轉換 疋素的升級。 於第9圖，第一提升級之輸入是數位訊號之二個區塊馨 1/_與Zl，而以、仏與心一係中間訊號，且匕與系分別為對 應於數位訊號之第一與第二區塊的輸出訊號。 於第9圖所示的最後一個提升級905係逆向於第8圖 所示的第一提升級8〇1。故，於最後一個提升級9〇5之第一 步驟906，係乘以么。此相乘之結果係於步驟9〇7化整至 整數值。於步驟9〇8，化整的值係接著從k減去。因此，訊 號心_係滿足下式： 34 (85) 200527224 其中’ [%」係表示化整運算。 由於第9圖所示之轉換元素的其他四個提升級9〇1、 902、903、904 (其分別為逆向於提升級805、804、803、與 802)係具有如同最後一個提升級9〇5之相同的結構，故其解 說係被省略。僅須注意的是：在第四提升級904的相力1步 驟909之後，相加步驟9〇9之結果係乘以^而產生心。 可看出的是··第9圖之提升級9〇5、9〇4、9〇3、902、 與901係分別為逆向於第8圖之提升級8〇1至8〇5。此外， 由於對應於矩陣么之輸入訊號的置換係可被反向且因此一 貧料混洗級係包含逆向轉換元素，整體所提供的方法是可 延的Θ此’右運用於第7圖所示之無損耗影像編碼器7〇3 與無損耗影像解碼器7〇5，則其係提供一種用於無損耗式影 像編碼之方法及裝置。 雖'然於解說的實施财，針對於DCT_lv之根據本發明 =係運用於音訊編碼且針對於DWT_Iv之根據本發明 方^運用於影像編碼，但是針對於沉㈣之根據本發 太 ㈣可利於影像編碼，針對於DWT_IV之根據 本發明的方法同樣可土軍據 用於豆# ; 9汛編碼，且二者均同樣可運 用於其他的數位訊號· ^ 、 現（渚如·視訊訊號）之編碼。 考慮式（63)與（64)，可看屮μ Η ，化整，，考慮式::的^^ 本發明之DCT-IV演曾、& 、疋十對於根據 五倍，即.心ΓΓ 元素之總化整數目係屬之 即.—其顯著較低於根據現有技藝者之態Μ。 35 200527224 同樣，考慮式（59)，可看出的是：當#係一個大的值， 例如：7V =加2 4時，大部分的計算能力係運用於對應於與以2 的相乘之四個A/72點DCT-IV子程序。因為浮點DCT-IV係 可運用一個半長度DC T-IV加上前置旋轉與後置旋轉且根 據式（47)與（49)而計算，因此提出的整數DCT-IV之算術複 雜度係粗略估計為浮點DCT-IV者之二倍。 一個類似的結論係可針對於整數DWT-IV轉換函數而 導出。 下文，另一個實施例係被解說，其中，轉換係一種離 散傅立葉轉換。 轉換矩陣细係階數#之正規化（normalized)FFT的轉換 矩陣，其給定為·· Εν exp 、N J」 （86) m, η = 0, 1, ··· , N - 1 其中，轉換尺寸#係偶數。 依照分時（decimation-in-time)之基底 2 (radix-2)的 FFT 演算法，取係可分解為如後：

In / 2/^ In / 2/^ ίΝ/ 2 5n / 2 _In / 2/^/2 -In / 2/^. w ^/2 . 參 工八T /Γ νΊ (87) 其中，如上所述，&〇係一個偶奇矩陣，即：一個重新 排列一個向量Z的成分之轉置矩陣 χ(〇)

X x(N - 1) ，其係藉由分離對應於偶數索引的成分與對應於奇數 索引的成分，俾使： 36 (88) 200527224 x(〇) x(2) x(N - 2) x(l) x(3) x(〇) x(N - 1) x(N - 令Ik/2為階數#/2之正規化FFT的轉換矩陣 再者，令為一個對角矩陣，其給定為： 「喵 1 w

喵"-I 其中，％ = e-：ΐ2π / N 。 如上所述’以/ 2係表示階數WO之單位矩陣。 於式（87)中，從右側數來的第一個矩陣是一個偶奇矩陣 &〇，其僅為重新排序輸入向量中之成分。 於式（87)中，從右側數來的第二個矩陣係可因式分解為 二個提升矩陣，如後： 函/ 2_ Jk/ 2 _ Q 0 ~Q In / 2 In / 2 ' L ίΝ/ 2. Jn / 2 In / 2_ (89) ❿ ίΝ / 2 r^^/2 In/2. 其，’ i是一個階數iV/2的置換矩陣，其給定為： 0 切 2-1_ 且办/ 2一1疋階數#/2-1的反（counter)索引（index)矩陣。 於式（87)中，從右側數來的第三個矩陣是一個反對角矩 陣，其僅將輪入向量中之成分的半數者乘以位於單位圓上 的一個複數。 此係可被解讀為於複數平面上之一旋轉。 37 200527224 令為輸入向量中之一成分。 再者，令 读=e~~j2k71 / N = c〇s (2k7i / N) - j sin (2k7i / N) = Ck - j % 為複 數，即：當輸入向量（在其已經乘以式（87)之自右側數來的 第一個矩陣與於右側數來的第二個矩陣之後）乘以W—時 之成分係乘以X。 結果係 y = Yr + jyi =邊X = (Ckxr + SkXi) + j(ckxi - Skxr)，其 係等於x在複數平面逆時針方向旋轉2以/#半徑範圍。該旋轉 係可因式分解為三個提升級，如後： 'λ" = Ck Sk ΊΓXr 1 〇- c-1 . 1 5 1 0" c-1 n V 人 rsk ck\[x^ 1 _ S . _0 1_ -0 _ s _ 人

X (90) 於式（87)中，自右側數來的第四個矩陣係可因式分解為 個提升矩陣，如後： ίΝ/2/>/2 IN/2/V2 .iN/2/V2 -IN/2/V2 W - In / 2 In / 2 In/2 _ In/2 _ ^N/ 2 _ _ In/ 2 _ -丄)In / 2 In / 2 (91)

分頻（decimation-in-frequency)之基底 2 (radix-2)的 FFT 演算法係僅為式（87)之分時之基底2的FFT演算法之轉置 (transposition)。 因此’以上的程序亦適用於因式分解以分頻之方式的 FFT矩陣故。 運用式（87)之右側的因式分解於提升矩陣，藉著產生對 應於各個提升矩陣之一個提升級，一轉換元素係被決定出。 由於上文已經詳述提升級是如何根據提升矩陣而產 38 200527224 生，且於此實施例中其係類似如上述般地運作，因此其解 說在此係予以省略。 [納入參考文獻] 以下的文獻係以參照方式而納入本文： Π] H. S. Malvar，“Signal Processing with Lapped

Transforms” dr/ecA 1992.

[2] R· Geiger，T· Sporer，J. Koller，K. Brandenburg, "Audio Coding based on Integer Transforms55 AES 111th Convention, New York, USA, Sept. 2001. 【圖式簡單說明】 第i圖係顯示根據本發明的一個實施例之一種音訊編 碼器的架構； 第2圖係顯示根據本發明的一個實施例之一種音訊解 碼裔的架構’該音訊解碼器係對應於帛丨圖所示之音訊編 碼器；

第3圖係顯示根據本發明的方法之一個實施例，其中 轉換函數係一 DCT-IV轉換函數； 苐4圖係顯示根據本發 知5的方法之一個實施例的流 圖； 運用 第5圖係說明根據本發 DCT_IV作為轉換函數； 明的方法之一個實施例，其係 第6圖係說明針對於第$ 之實施例的反向轉換之演算法圖所不之根據本發明的方法 苐7圖係顯不根據本發明的一個實施例之一種影像存 39 200527224 檔系統的架構； 第8囷係況明根據本發明的方法之一個實施例，其運 用DWT-IV作為轉換函數；及 第9圖係說明斜斜％| — ^針對於# 8 _示之根據本發 之貫施例的反向轉換之演算法。 的方法 【主要元件符號說明】 1〇〇 :音訊編碼器 1 0 1 : M D C Τ 裝置

1 〇 2 ·•感知模型 1〇3 :量化器 1 04 :位元流編碼器 105 : IntMDCT 裝置 1 06 :逆向量化器 107 ·•化整單元 108 :熵編碼器 109 :音訊訊號 110 :麥克風 111 :類比至數位轉換器 1 1 2 ·感知編碼的位元流 1 1 3 :無損耗增強的位元流 200 :音訊解碼器 201 :位元流解碼器 202 :逆向量化器 203 :逆向MDCT裝置 40 200527224 204 :熵解碼器 205 :化整裝置 206 :逆向IntMDCT裝置 207 :感知編碼的位元流 208 :無損耗增強的位元流 2 0 9 ··感知編碼的音訊訊號 2 1 0 :無損耗編碼的音訊訊號

3 00-3 10 :第3圖之方法的步驟 400 :第4圖之流程圖 401-405 :提升級 501-505 :提升級 5 06 :相乘 507 :化整 508、509 :相加（相減） 601-605 :提升級

606 :相乘 607 :化整 608、609 :相加（相減） 701 :影像源 702 :類比至數位轉換器 703 :無損耗影像編碼器 704 :儲存裝置 705 :無損耗影像解碼器 801-805 :提升級 41 200527224 806 :相乘 807 :化整 808、809 :相加（相減） 901-905 :提升級 906 :相乘 907 :化整 908、909 ··相加（相減）

42

Claims (1)

1. 200527224 十、申請專利範圍： i-種用於決定一特定轉換函數之一轉換元素之方 法，該轉換函數係包含-轉換矩陣且對應於由時域至頻域 或反向之數位訊號的轉換，其中·· 一 …該㈣矩陣係分解成一個旋轉矩陣與一個輔助矩陣， D亥輔助矩陣當乘以其本身時係等於__個置換矩陣乘以 整數對角矩陣； 該旋轉矩陣與輔助矩陣係各自分解成複數個提升矩 陣； 該轉換元素係被決定為包含對應於該些提升矩 數個提升級。 一 2.如申請專利範圍第β之方法，其中，該轉換函數係 - DCT]轉換函數、DCT_IV轉換函數、轉換函數、 DST-IV轉換函數、耐]轉換函數、耐^轉換函數、 DWT-I轉換函數、或DWT_IV轉換函數。 7 3·如申請專利範圍帛1項之方法，丨中，該等提升矩陣 人各為區塊_肖矩p車，其具有三個可逆的整數矩 角線。 、對 4. 如申請專利範圍帛3項之方*，其中，於各個提升矩 陣中之可逆的整數矩陣係單位矩陣或負單位矩陣。 5. 如申請專利範圍第丨至4項中之任一項之方 1 中，該轉移元素係包含五個提升級。 ，/、 ，6一：申請專利範圍第1纟4項中之任-項之方法，其 中，一音訊訊號或一視訊訊號係被運用作為該數位訊號。 43 200527224 7.-種用於決定-特定轉換函數之—轉換元素之裝 置，該轉換函數係、包含一轉換矩陣且對應☆由時域至頻域 或反向之數位訊號的轉換，該裝置係包含·· 5 -第-分解單元，其係詩分解該轉換矩陣成為—個 :疋轉矩陣與—個輔助矩陣，該輔助矩陣當乘以其本身 等於一個置換矩陣乘以一個整數對角矩陣； 、“ -第二分解單元，其制於分解該旋轉矩陣與輔助矩 陣而各自成為複數個提升矩陣； * -決定單元，其係用於決^該轉換元素為包含對心 *亥些提升矩陣之複數個提升級。 μ ; 8.-種用於將—數位訊號由時域轉換至頻域或反 、之方法，其係運用一轉換元素，其中： :轉換元素係對應於一個特定轉換函數 :包含:個轉換矩陣，其中，該轉換元素係由一種方二 成疋，該方法係包含： :解該轉換矩陣成為一個旋轉矩陣與一個輔助矩陣， 整數對乘以其本身時係等於一個置換矩陣乘以-個 陣； 分解該旋轉矩陣與輔助矩陣而各自成為複數個提升矩 矩陣之複數個 θ決定該轉換元素為包含對應於該些提升 提升級； 各個提升級係包含該數位訊號 Mi,. ❿现的于^塊之處理，其倍 错由輔助轉換且藉由一個化整單元。 八係 44 200527224 9· 一種用於將一數位訊號由 換之裝置，其係包含用”由:：轉 或反向轉 號之一轉換單元，其中：、错由—轉換元素來轉換該數位訊 該轉換元素係對應於—個特定轉換函數，該轉 係包含一個轉換矩陣，其中，兮 、八數 決定，該方法係包含："轉換％素係由—種方法所 :解該轉換矩陣成為一個旋轉矩陣與一個輔 =:乘以其一於-個置換矩陣乘以-個 陣；分解該旋轉矩陣與辅助矩陣而各自成為複數個提升矩 決定該轉換元素為包含對應於該些提升矩陣之複數個 提升級； ^針對於各個提升級，該裝置係包含用於處理該數位訊 =子區塊之一個輔助轉換單元、以及用於處理該數位訊 號的子區塊之一個化整單元。 1〇_一種電腦可讀取媒體，其係具有記錄於其上之一程 2 ’其中’該程式係適於使得電腦實施一種用於決定一特 疋轉換函數之一轉換元素之方法，該轉換函數係包含一個 轉換矩陣且對應於由時域至頻域或反向之數位訊號的轉 換，其中： 該轉換矩陣係分解成一個旋轉矩陣與_個輔助矩陣， 该輔助矩陣當乘以其本身時係等於一個置換矩陣乘以一個 整數對角矩陣； 45 200527224 "亥旋轉矩陣與輔助矩陣係各 陣； 分解成為複數個提升矩 該轉換元素係被決定為包含對應 數個提升級。 於該些提升矩陣之複 種電腦可讀取媒體，其係具有記錄 1匕録於具上〜 鮮11 ’、該程式係適於使得電腦實施—種用於將κ 換：素日轉換至頻域或反向轉換之方法，其係運用-I 該轉換元素係對應於一個特定轉換函數，該轉換函凄 係=含一個轉換矩陣，其中，該轉換元素係由一種方法片 決定，包含·· j

   刀解该轉換矩陣成為一個旋轉矩陣與一個輔助矩陣， 辅助矩陣當乘以其本身時係等於一個置換矩陣乘以 整數對角矩陣； 分解該旋轉矩陣與輔助矩陣而各自成為複數個提升矩 決定該轉換元素為包含對應於該些提升矩陣之複數個 鲁 提升級； 各個提升級係包含該數位訊號的子區塊之處理，其係 藉由辅助轉換且藉由一個化整單元。 十一、囷式： 如次頁 46