SU1441413A1 - Устройство дл формировани элементов расширенных полей Галуа GF ( @ ) и кодовых последовательностей на их основе - Google Patents

Abstract

Изобретение относитс  к области прикладной вычислительной техники и может быть использовано в специализированных вычислительньтх устройствах и микропроцессорах дл  формировани , исследовани  свойств элементов полей CF(p), в системах св зи с шумоподобными широкополосными сигналами в качестве устройств формировани  дискретных сигналов. С целью расширени  функциональных возможностей по обеспечению формировани  элементов расширенных полей GF(p) и на их основе рекуррентных последовательностей, в устройство дополнительно введены группа 3 умножителей , сумматор 4, блок 5 сложени , блок 6 коммутации, блок 7 пам ти, три счетчика 8, 12, 14, два элемента ИЛИ 9, 15, два триггера 10, 13, генератор 11 тактовых импульсов. Дополнительно введенные блоки обеспечивают формирование расширенных полей Галуа дл  любых простых р и целых п, а также позвол ют генерировать кодовые последовательности на их основе. 2 ил. У9 сл

Description

Намер almaHOpqxaMa

л;.. )

(ntoftn сброс .

Изобретение относитс  к приклад- 21, ной вычислительной технике и может 22, быть использовано в специализиро- 23, ванных вычислительных устройствах и с микропроцессорах дл  формировани , исследовани  свойств элементов полей GF(p), в системах кодировани  в качестве устройств формировани  кодовых комбинаций, построение которых Q базируетс  на теории полей GFCp) также 3 системах св зи с шумоподоб- ными широкополосными сигналами в качестве устройств формировани  дискретных сигналов,15

Целью изобретени   вл етс  расширение функциональных возможностей по обеспечению формировани  элемен- тав расширенных полей СР(р)инаих основе рекуррентных последователь- 20 ностей за счет нахождени  характера расширенного пол  GF(p).

Из теории полей GFCp) известно, что, если б - первообразный элемент пол  GF(p), то все элементы пол  25 GF(p)  вл ютс  степен ми , т.е.

GF(p) 0°,е...,

f

(modd:a(x),p).30

При этом а(х)  вл етс  первообразным неприводимым полиномом степени п и а(0) О,

Таким образом, любой А элемент

А

2х -ьх-И

хЧ1

2х+2

24. 25. 26.

А

А

А-

пол  GF(p) может быть найден путем Д  результат по модулю р

чаем А„ 1/А.а 1 (mod

возведени  х

дени  А х

0 в степень k и привепо modd а.(х),р, т.е. двойному модулю. Если известен А -и элемент пол , то дл  нахождени  А АГ элемента достаточно -и элемент умножить на X и результат привести

Действительно, например мент А вычисл етс  путем у элемента А на х и приведен тата по двойному модулю:

а(х) , р 3; XX (modd а(х),р)

Таким образом, дл  отыс элементов (полиномов) пол  обходимо умножать ранее вы предшествуюп ий элемент А на X и результат приводить а(х),р. Эта операци  тожде сдвигу влево полинома пред элемента (т.е. увеличению степени х каждого члена по если наибольша  степень п п, из результата необходим полином а(х) столько раз, зультат вычитани  не имел равной п, а затем результ по модулю ,.

Рассмотрим некоторые п поле GF(3). Чтобы коэффициентов при степен  элемента А(т.е.А , А, А точно провести следующие коэффициентами А, А, А А и а,,, а,, а j -.первообр нома а(х): умножа  А на

а I (той , и прибавл   получаем после привед

3 А 1/А|.а, + е

жа  А;, на а А

А А

к-(

по modd а(х),р, т.е. (modd а(х),р).

Ниже приведены вычисленные элементы пол  GF(3): GF(3,P 3; n 3; а(х) at 0.

45

дулю р J A l 1/,А.а,+ умножа  A на a и прибав зультату Af после приведе

7

дулю р 3 получаем Аа. Таким образом, А Далее, например, коэфф

х -х-2;

2; а, I,линома А образом;

А

ВЫЧИСЛЯЮТСЯ сл

о г

  7 «АЛ

.Э1

А , А

х +х+2

2

2

2х 2к 2х+1 х +2х+1 2х +2х+2

2х -ьх-И

хЧ1

2х+2

24. 25. 26.

2х +2х

А

А

А-

21, 22, 23, с Q 5

0

5

0

Д  результат по модулю р

чаем А„ 1/А.а 1 (mod

Г

Действительно, например 6-й элемент А вычисл етс  путем умножени  элемента А на х и приведени  результата по двойному модулю:

а(х) , р 3; () ; XX (modd а(х),р).

Таким образом, дл  отыскани  всех элементов (полиномов) пол  GF(p ) необходимо умножать ранее вычисленный предшествуюп ий элемент А (полином) на X и результат приводить по modd а(х),р. Эта операци  тождественна сдвигу влево полинома предыдуш.его элемента (т.е. увеличению на единцу степени х каждого члена полинома) и если наибольша  степень при х равна п, из результата необходимо вычитать полином а(х) столько раз, чтобы результат вычитани  не имел степени х, равной п, а затем результат привести по модулю ,.

Рассмотрим некоторые примеры на поле GF(3). Чтобы пол -чить значение - коэффициентов при степен х х, х , х . элемента А(т.е.А , А, А ) , достаточно провести следующие операции с коэффициентами А, А, А элемента А и а,,, а,, а j -.первообразного полинома а(х): умножа  А на a и приво 3, полуа I (той 3), wHo- , и прибавл   к результату получаем после приведени  по мо 3 А 1/А|.а, +А е

жа  А;, на а А

5

дулю р J A l 1/,А.а,+Лд J (mod умножа  A на a и прибавл   к результату Af после приведени  по мо7

дулю р 3 получаем Аа. 1 (mod р) . Таким образом, А . Далее, например, коэффициенты полинома А образом;

А

ВЫЧИСЛЯЮТСЯ следутощим

о г

  7 «АЛ

.Э1Z

А , А.

,+

АГ

2;

.Af

0

AV АГ-а + А7 0; коэффициенты полинома i следующим образом:

вычисл ютс 

.2S

АО

- Aj. ар

1 (mod 3);

А

19

+ А

2

5

. гй .1 . А г А. Ai-a, +А

- О (mod 3); 2-.

ч , Таким образом, данное рекуррентное правило сводитс  к следук1щег.;у: коэффициенты каждого последующе- м ги лино3 )

элемента пол  GF(p) вычисл ютс  с использованием коэффициентов предыдущего полинома - эле- . мента А и первообразного полинома а(х) по правилу:

. а (mod р); А . А ;

X aj А (mod р).

Из вьш1еприведенного следует, что могут быть расширены функциональные

|U,

fu |u , k О, 1,. ,, p -21 ,

fyCe - -), если б -t- 4) (mod p); 1 1 , если 9 + I 0 (mod p).

где

V(b)e Jдвузначный характер элемента b пол  GF(p);

u - индекс, определ емый из услови 

b 0 (modd а(х),р),

Из данного правила видно, что дл  формировани  характеристического кода достаточно найти все элементов пол  GF(p), а затем осуществить операцию отыскани  i и k элементов , отличающихс  друг от друга на 1, так, что

А А + 6 + (modd а(х),р),

после чего ш позиции кода присвоить значению характера (f (А + 1) у (А ), Если i О (mod 2), то /иц 1, если i I (mod 2), то |Ц, -1. Така  методика отражает процедуру построени  характеристических кодов.

Таким образом, по вл етс  возможность формировани  рекуррентных последовательностей , построение которых ос новьшаетс  на использовании свойств и характеров элемеьтов полей GF(p ).

На фиг. I преде-давлена функциональна  схема предлагаемого устройства} на фиг. 2 - функциональна  схема . блока сложени .

Устройство дл  формировани  элементов расширенных полей Галуа GF(p ) и кодовых последовательностей

0

134

возможности известного устройства по формированию элементов полей GFCp) дл  любых простых р и любых целых п. Из теории кодировани  известно, . что на использовании свойств и характеров элементов пол  Gl (p) базируютс  правила построени , например, характеристических кодов. Так, дл  характеристических кодов правило кодировани  формулируетс  следующим образом:

, если u О (mod 2) -I, если u I (mod 2)

25 на их основе содержит первую группу I умножителей, группу 2 сумматоров, вторую группу 3 умножителей, сумматор 4, блок 5 сложени , блок 6 коммутации, блок 7 пам ти, первьй

30 счетчик 8, первый элемент ИЛИ 9, первый триггер 10, генератор И тактовых импульсов, второй счетчик 12, второй триггер 13, третий счетчик 14, второй элемент ИЛИ 15,

2g Перва  группа 1 умножителей предназначена дл  умножени  по модулю р коэффициента А|, предьщущего элемента пол  на соответствующие коэффициенты полинома а ; (j О,...,

40 n-l). Группа 2 сумматоров предназначена дл  сложени  по модушо р произведени  AJа;с коэффициентом.элемента пол  GF(p) А-,. Втора  группа 3 умножителей предназначена дл 

45 умножени  по модулю р коэффициентов элементов пол  GF(p) на соответствующие им степени первообразного

элемента х

X,

, , . Сумматор 4 предназначен дл  сложени  по модулю

0

h ,г- .к 1

р у А-X , т.е. на выходе сумматоj e

pa 4 действует значение, соответствующее элементу пол  Aj. Блок 5 сложени  предназначен дл  прибавлени  5 единицы к значению А-. Блок 5 коммутации предназначен дл  коммутации первых входов блока 7 пам ти с выходами либо сумматора 4, либо блока 5 сложени  в зависимости от управл 51

ющего сигнала. Блок 7 пам ти предназначен дл  записи индексов по модулю два элементов пол  по адресу А| и считьшани  их по адресу А , . Пер

вый счетчик 8 предназначен дл  управлени  работой устройства. Первый триггер 10 предназначен дл  формировани  индексов элементов пол  по модулю два. Второй 12 и третий 14 счет чики предназначены дл  управлени  записью - считыванием блока 7 пам ти: третий счетчик 14 предназначен также дл  выдачи сигнала готовности устройства к формированию очередного сигнала. Второй триггер 13 предназначен дл  вьщачи сигналов записи - считьшани  на второй вход блока 7 па:м ти, О - запись, 1 - считывание .

Блок сложени  5 содержит сумматор 16, блок 17 поразр дного сложени  по модулю 2, элемент ЙЛИ-НЕ 18 элемент НЕ 19, блок 20 ключей, элемент ИЛИ 21.

Первые входы сумматора 16  вл ютс  входами блока 5 сложени , выходы сумматора 16 соединены с вторыми входами блока 20 ключей и первыми входами блока 17 поразр дного сложени  по модулю два, выходы которого соединены с входами э: емента ИЛИ-НЕ 18, выход которого соединен с входом элемента НЕ 19, выход которого соединен с первым входом блока 20 клю- г1ей, первый выход которого соединен с первым входом элемента ИЛИ 21j выходы блока 20 ключей  вл ютс  выходами блока 5 сложени , причем пер- вьй из них через элемент ИЛИ 21 соединен с выходом элемента ИЛИ-НЕ 18.

Устройство работает следующим образом .

В начапьньй момент- времени на шину Сброс поступает импульс сброса, который устанавливает первый 8 и третий 14 счетчики в исходное состо ние , на выходе первого триггера в исходном состо нии действует напр же ни-е нул . Одновременно с этим на вход генератора 1I тактовых импульсов поступает сигнал Старт, по которому с выхода генератора 11 начинают поступать тактовые импульсы; на первые входы первой группй 1 умножителей подаетс  двоичный код номера автоморфизма (циклической сдвижки) псевдослучайного сигнала, представл ющий собой код коэффициентов А„.,-го

414136

элемента пол  Галуа GF(p), с которо- го начинаетс  формирование этого пол , а на вторые входы первой 1 и втоg рой 3 групп умножителей подаютс  коды

коэффициентов первообразного полинома а(х) и коды первообразного элемента , степени х , х, ..., соответственно . При поступлении на счетный вход

10 первого счетчика 8 тактовых импульсов импульс переполнени  по вл етс  последовательно на одном из его выходов . При по влении его на первом выходе в первой группе 1 умножителей

15 происходит умножение по модулю р коэффициента А „ предьдутцего элемента пол  GF(P) на соответствующие коэф- фициенты полинома а(х), aj.(j 0,п-1), т.е. группа 1 умножителей реализует

20 вычисление произведени  А„.,-а: (mod р) (J О, п-).. При последовательном по влении импульса на 2 - п выходах первого счетчика 8 в группе 2 сумматоров последовательно произ25 водитс  суммирование по модулю р ре- зультата произведени  А|, aj(modp) со значением коэффициента А , . Таким образом, на выходах группы 2 сумматоров действуют значени  коэффици-

tf4-l

30 ентов очередного элемента пол  А /I (j 0,п-1),. вычисленные по рекур- : рентному правилу. При по влении импульса на (п+1)-выходе первого счетчика 8 во второй -группе 3 умножите35 лей реализуетс  умножение коэффи- циентов AV на значение первообразного элемента степени x4j 1 ,п-1) . При по влении импульса на (п+-2)-м

выходе первого счетчика В в сумма

торе 4 производитс  сложение А,

4-А- х 4 ... А:;:;хК4 .1

т.е. на выходах сумматора действует значение, соответствующее очередному элементу пол  GFfp). Этот же им- пульс через элемент ИЛИ 9 сбрасывает в нулевое состо ние первый счетчик 8 и переводит в противоположное состо ние триггер 10.

На выходе второго триггера 13 действует нулевое значение, в соответствии с которым к выходам блока 6 подключены его первые входы, а блок 7 пам ти находитс  в режиме записи.

Таким образом, в блок 7 пам ти записываетс  значение по модулю два индекса k элемента А пол  GF(p) по

I/

адресу А. Затем счетчик 8 оп ть генерирует импульсы управлени  и через

очередные n+2 такта работы устройства в блок 7 пам ти записываетс 

I/ J

значение (mod 2) по адресу А Вычисление индекса k по модулю два обеспечивает первый триггер счетный, который при поступлении на его вход очередного импульса с (п+2)-го выхода первого счетчика 8 переключаетс  в противоположное состо ние.

Таким образом, через (п+2) () тактов работы устройства в блок 7 пам ти записываютс  значени  по модулю два индексов k по адресам элементов пол  А . В этот момент второй счетчик 12, коэффициент переполнени  которого равен , переполн етс  и на его выходе формируетс  импульс , под действием которого по вл етс  импульс на первом выходе третьего счетчика 14, который через второй элемент ИЛИ 15 переключает второй триггер 13 в единичное состо ние , в соответствии с которым блок

10

15

20

ходе по вл етс  импульс, под действием которого на втором выходе третьего счетчика 14 по вл етс  импульс переполнени , который отключает генератор 11 тактовых импульсов, перев о- дит через второй элемент ИЛИ 15 второй триггер 13 в нулевое состо ние и поступает на выход устройства как сигнал готовности его к формированию очередной кодовой последовательности. i

. Блок 5 сложени  работает следующим образом.

На входы сумматора. 16 в двоичном коде подаетс  значение элемента поII

л  А . В сумматоре 16 производитс  сложение единицы. С вькодов сумU

матора 16 двоичный код А +1 поступает на первые входы блока 17 поразр дного сложени  по модулю два и на вторые входы блока 20 ключей. Блок 17 реализует поразр дное сложение по модулю два кодов А +l и р. Если ре6 коммутации коммутирует свои выходы 25 зультат суммировани  по модулю два равен нулю, т.е. р, то на всех входах элемента ИЛИ-НЕ 18 действуют нулевые значени , следовательно на его выходе действует единица, котора  через элемент ИЛИ 21 считываетс  на выход блока 5 сложени . Одновременно элемент НЕ 19 инвертирует эту единицу и на первый вход блока 20 ключей поступает нулевое значение, т.е. блок 20 ключей не пропускает на вЬкод блока 5 сложени  значение кода А « , поступающего на его вторые входы из сумматора 16.

с вторыми входами, а блок 7 пам ти переходит в режим считывани . Импуль с выхода счетчика 12 сбрасывает его в исходное состо ние. Затем устройство работает по алгоритму, описанному вьше, за исключением того, что на адресные входы блока 7 поступают значени  элементов пол  А, увеличенные на единицу (эта операци  реализуетс  в блоке 5 сложени ), и на выход устройства из блока 7 пам ти считываютс  значени  индексов k по модулю два по адресу А +1.

Таким образом, устройство реализует правило формировани  нелинейных рекуррентных последовательностей, построенных на основе полей Галуа:

l«v

1, если & + 1 О (mod 2), -1, если 0 + (mod 2),

k О,

,

где /K| - элемент кодовой последовательности;

в - первообразный элемент, пол  GF().

Через очередные (п+2Хр -1) тактов работы на выход устройства считываютс  все элементы кодовой последовательности , после чего второй счетчик 12 переполн етс , на его вы0

5

0

ходе по вл етс  импульс, под действием которого на втором выходе третьего счетчика 14 по вл етс  импульс переполнени , который отключает генератор 11 тактовых импульсов, перев о- дит через второй элемент ИЛИ 15 второй триггер 13 в нулевое состо ние и поступает на выход устройства как сигнал готовности его к формированию очередной кодовой последовательности. i

. Блок 5 сложени  работает следующим образом.

На входы сумматора. 16 в двоичном коде подаетс  значение элемента поII

л  А . В сумматоре 16 производитс  сложение единицы. С вькодов сумU

матора 16 двоичный код А +1 поступает на первые входы блока 17 поразр дного сложени  по модулю два и на вторые входы блока 20 ключей. Блок 17 реализует поразр дное сложение по модулю два кодов А +l и р. Если результат суммировани  по модулю два ра

вен нулю, т.е. р, то на всех входах элемента ИЛИ-НЕ 18 действуют нулевые значени , следовательно на его выходе действует единица, котора  через элемент ИЛИ 21 считываетс  на выход блока 5 сложени . Одновременно элемент НЕ 19 инвертирует эту единицу и на первый вход блока 20 ключей поступает нулевое значение, т.е. блок 20 ключей не пропускает на вЬкод блока 5 сложени  значение кода А « , поступающего на его вторые входы из сумматора 16.

Если же результат суммировани  по модулю два в блоке I7 не равен нулю, т.е. А +1 Ф р, то хот  бы на одном из входов элемента ИЛИ-НЕ 1В присутствует единица, следовательно на выходе элемента ИЛИ-НЕ 18 - нуль, который инвертируетс  элементом НЕ I9 в единицу и подаетс  на первый вход блока 20 ключей, разреша  тем самым прохождение через него кода , поступающего с выходов сумматора 16, т.е. на выходе блока 5 сложени  дей-| ствует двоичный код 1.

Таким образом, блок 5 сложени  реализует равенство:.

55

1

А + 1, если А + I

Р,

если

А -н 1

Claims (1)

1. Формула изобретени 

   I

   Устройство дл  формировани  элементов расширенных полей Галуа GF(p) и кодовых последовательностей на их основе, содержащее первую группу КЗ п-1 умножителей и группу из п-1 сумматоров, вход первого слагаемого k-ro сумматора группы (k ,...,n-), соединен с выходом k-r умножител  первой группы, стробирую- щие входы всех умножителей первой группы объединены, о. тличаю- щ а е с   тем, что, с целью расши- рени  функциональных возможностей по обеспечению формировани  элементов расширенных полей GF(p) и на их основе рекуррентных последовательностей за счет нахождени  характера ра ширенного пол  GF(p), в него введены втора  группа из п-1 умножителей , сумматор, блок коммутации, блок пам ти, три счетчика, два элемента ИЛИ, два триггера, генератор тактовых импульсов, а в первую группу умножителей введен п-й умножитель причем входы первых сомножителей умножи1 елей первой группы  вл ютс  входами коэффициентов полинома уст- ройства, вход первого сомножител  а-го умножител  второй группы (а ,..,,п-2) соединен с выходами а-го сумматора группы и входами второго сла гаемого ()-го сумматора группы, входы первого сомножител  ()-го умножител  второй группы соединен с выходом (п-1)-го сумматора группы, входом кода автоморфизма устройства и входами вторых сом- ножителей умножителей первой группы , выход.п-го умножител  которой соединен с входом второго слагаемого первого сумматора группы и первым входом сумматора, с второго по п-й входы которого соединены с выходами с первого по (п-).-й З множи- телей второй группы соответственно, входы вторых сомножителей которых

    вл ютс  соответствующими входами задани  первообразного элемента устройства , выход сумматора соединен с входом блока сложени  и первым информационным входом блока коммутации , второй информационный вход которого соединен с выходом блока сложени , вькод коммутатора соединен с адресным входом блока пам ти, информационный вход которого соединен с выходом первого триггера, вход управлени  записью-считыванием блока пам ти соединен с управл ющим входом блока коммутации и выходом второго триггера, информационный выход блока пам ти  вл етс  информационным выходом устройства, первый выход первого счетчика соединен со стробирующи- ми входами умножителей первой группы га-й выход счетчика (га 2,...,п) соединен со стробирующим входом k-ro (k n-1,...,)сумматора группы, (п+1)-й выход счетчика соединен со стробирующими входами умножителей второй группы, (п+2)-й выход счетчика соединен со стробирующими входом сумматора, счетными входами первого триггера и второго счетчика и первым входом первого элемента ИЛИ, второй вход которого соединен с входом обнулени  второго счетчика и входом сброса устройства, выход первого элемента ИЛИ подключен к входу обнулени  первого счетчика, счетный вход которого соединен с выходом генератора тактовых импульсов, вход запуска которого  вл етс  входом импульса старта устройства, а вход останова соединен с выходом переполнени  третьего счетчика, вьгxoдo f готовности устройства и первым входом второго элемента ИЛИ, второй вход которого подключен к выходу третьего счетчика, счетный вход которого подключен к входу сброса и выходу переполнени  -зторого счетчика, выход второго элемента ИЛИ подключен к счетному входу второго триггера.

   .2