RU2018948C1 - Аппроксиматор монотонных функций - Google Patents

Abstract

Изобретение относится к автоматике и вычислительной технике и может найти применение в специализированных вычислительных и информационно-измерительных системах. Целью изобретения является повышение точности за счет реализации сплайн - аппроксимации. Аппроксиматор содержит генератор импульсов, ключ, счетчик импульсов, счетчик функции, преобразователь кода в частоту, управляемый делитель частоты и последовательно соединенные счетчики длины и номера участка, причем управляемый делитель частоты выполнен в виде последовательно соединенных кодовыми шинами мультиплексора и преобразователя кода в частоту. 1 ил.

Description

Изобретение относится к автоматике и вычислительной технике и может найти применение в специализированных вычислительных и информационно-измерительных системах, в системах автоматического управления при воспроизведении и вычислении методом кусочно-квадратичной аппроксимации монотонных функций, аргумент которых представлен интервалом времени.

Известен аппроксиматор монотонных функций, аргумент которых представлен интервалом времени, содержащий реверсивный счетчик, дешифратор, блок памяти, триггер, элемент И и генератор дискретно изменяющейся частоты.

Недостатком аппроксиматора является пониженная точность воспроизведения функциональных зависимостей, обусловленная применением метода кусочно-линейной аппроксимации.

Известен аппроксиматор монотонных функций, аргумент которых представлен интервалом времени, содержащий генератор импульсов, счетчик импульсов, счетчик функции, преобразователь кода в частоту, включающий в себя пересчетную схему и систему импульсно-потенциальных ключей, блок задания начальных точек (узлов) аппроксимации и ключи.

Одним из недостатков аппроксиматора является невысокая точность воспроизведения функциональных зависимостей, обусловленная применением метода кусочно-экспоненциальной аппроксимации, который хотя и точнее кусочно-линейной, но уступает кусочно-квадратичной. Другим его недостатком является то, что запись новых чисел в счетчик импульсов в узлах аппроксимации нарушает непрерывность, гладкость выходного кода этого счетчика, что приводит к нарушению гладкости частоты импульсов на входе счетчика функции и тем самым к разрыву первой производной воспроизводимой функции в указанных узлах, т. е. к отсутствию сплайн-аппроксимации при воспроизведении функциональных зависимостей.

Наиболее близким к изобретению техническим решением, выбранным в качестве прототипа, является аппроксиматор монотонных функций, аргумент которых представлен интервалом времени, содержащий генератор импульсов, выход которого соединен с информационным входом ключа, управляющий вход которого соединен с входом аппроксиматора, счетчик импульсов, счетчик функции, преобразователь кода в частоту, включающий в себя пересчетный блок, группу элементов И, элемент ИЛИ, кодовый вход и частотный выход которого соединены соответственно с кодовым выходом счетчика импульсов и через первый элемент И со счетным входом счетчика функции, причем выход ключа соединен с частотным входом преобразователя кода в частоту и через второй элемент И со счетным входом счетчика импульсов, и блок задания граничных условий, кодовые вход и выход которого соединены соответственно с кодовым выходом счетчика функции и входом параллельной записи счетчика импульсов, а вход параллельной записи счетчика функции соединен с установочным входом аппроксиматора.

Недостатком прототипа является отсутствие сплайн-аппроксимации при воспроизведении функциональных зависимостей, обусловленное записью новых чисел в счетчик импульсов в узлах аппроксимации.

Целью изобретения является обеспечение сплайн-аппроксимации при воспроизведении функциональных зависимостей.

Цель достигается тем, что в аппроксиматор монотонных функций, содержащий генератор импульсов, выход которого соединен с информационным входом ключа, управляющий вход которого соединен с входом аппроксиматора, счетчик импульсов, счетчик функции и преобразователь кода в частоту, кодовый и частотный входы которого соединены соответственно с кодовым выходом счетчика импульсов и выходом ключа, а вход параллельной записи счетчика функции соединен с установочным входом аппроксиматора, введены управляемый делитель частоты, выполненный в виде последовательно соединенных кодовыми шинами мультиплексора и преобразователя кода в частоту, и последовательно соединенные счетчик длины участка и счетчик номера участка, причем управляющий вход и частотный выход управляемого делителя частоты соединены соответственно с кодовым выходом счетчика номера участка и со счетным входом счетчика импульсов, выход ключа соединен с частотным входом управляемого делителя частоты и со счетным входом счетчика длины участка, частотный выход преобразователя кода в частоту соединен со счетным входом счетчика функции, а входы параллельной записи счетчика импульсов и информационные входы управляемого делителя частоты соединены соответственно с вторым и третьим установочными входами аппроксиматора.

Таким образом, заявляемое устройство соответствует критерию изобретения "Новизна".

Использование совокупности признаков, указанных в отличительной части формулы, в других устройствах согласно научно-техническим материалам и публикациям не известно. Поэтому можно сделать вывод, что предложенное техническое решение обладает существенным отличием.

На чертеже представлена функциональная схема аппроксиматора.

Аппроксиматор монотонных функций содержит счетчик 1 функции, последовательно соединенные кодовыми шинами счетчик 2 импульсов и преобразователь 3 кода в частоту (ПКЧ), частотный выход которого соединен со счетным входом счетчика 1 функции, управляемый делитель 4 частоты (УДЧ), выполненный в виде последовательно соединенных кодовыми шинами мультиплексора 5 и ПКЧ 6, частотный выход которого является частотным выходом управляемого делителя 4 частоты, последовательно соединенные счетчик 7 длины участка и счетчик 8 номера участка, кодовый выход которого соединен с управляющим входом УДЧ 4, являющимся управляющим входом мультиплексора 5, ключ 9, выход которого соединен с частотным входом УДЧ 4, являющимся частотным входом преобразователя 6 кода в частоту, со счетным входом счетчика 7 длины участка и с частотным входом ПКЧ 3, и генератор 10 импульсов, выход которого соединен с информационным входом ключа 9, управляющий вход которого соединен с входом 11 аппроксиматора, а входы параллельной записи счетчика 1 функции и счетчика 2 импульсов, а также информационные входы управляемого делителя 4 частоты, являющиеся информационными входами мультиплексора 5, соединены соответственно с первым 12, вторым 13 и третьим 14 установочными входами аппроксиматора.

Функцию воспроизведения, диапазон изменения аргумента которой разбит на m равных по длине участков, каждый из которых аппроксимирован полиномом второй степени, на любом i-м участке аппроксимации можно представить в виде
Y=a

a

(T_x-T

)± a

(T_x-T

)²,, (1) причем T

T_x≅ T

;; 1 ≅ i ≅ m где Y - функция воспроизведения;
Т_х - интервал аргумента;
Т_xi ^н и Т_хi ^к - интервал аргумента в начальной и конечной точках i-го участка соответственно;
а_оi, a_1i, a_2i - постоянные коэффициенты, соответствующие i-му участку, причем знаки полярности перед коэффициентами а_1i и а_2i могут принимать различные, но одинаковые для всех m участков сочетания, за исключением тех, при которых в диапазоне изменения интервала Т_х аргумента происходит изменение знака полярности первой либо второй производной функции воспроизведения (1), т.е. рассматривается только такая функция воспроизведения, которая монотонна и не имеет точек перегиба.

Необходимо отметить, что разбиение на участки диапазона изменения интервала Т_х аргумента должно производиться при условии не только, как отмечалось выше, равенства их длины
ΔT_x= T

-T

= const,, (2) но и при условии, чтобы в узлах аппроксимации функция воспроизведения (1) не претерпевала разрыва, т.е. чтобы соблюдалось равенство
a

=a

+ΔY_i-1,, (3) где
ΔY_i-1= ± a

X± a

T $\genfrac{}{}{0ex}{}{\text{2}}{\text{x}}$ .. (4)
Цикл воспроизведения и вычисления монотонной функции, представленной формулой (1), начинается с поступления на вход 11 аппроксиматора импульса напряжения, равного по длительности интервалу Т_харгумента, поступающему на управляющий вход ключа 9 и производящего по переднему фронту запись кодовых установок А_о1 и А₁₁ с первого 12 и второго 13 установочных входов в счетчик 1 функции и в счетчик 2 импульсов соответственно (цепи записи счетчиков на чертеже не показаны). Для обеспечения более четкой работы аппроксиматора запись кодовых уставок А_о1 и А₁₁ должна производиться заранее перед началом интервала Т_х аргумента как операция по установке счетчиков 1 и 2 в исходное состояние.

Учитывая непрерывность интервала Т_х аргумента можно считать справедливым равенство
T_i = T_x - T_xi ^н, (5) где Т_i - длительность интервала, равная разности текущего и начального значений интервала Т_х на i-м участке.

Входной импульс напряжения, поступая на управляющий вход ключа 9, открывает последний, в результате чего импульсы с генератора 10 импульсов, приходящие на информационный вход ключа 9, поступают на частотные входы ПКЧ 3 и 6.

Выходная частота f_ПКЧi ПКЧ 3 на i-м участке определяется выражением
f

=

· N

,, (6) где f_o - частота генератора 10 импульсов;
n - число разрядов ПКЧ 3, равное числу разрядов счетчика 2 импульсов;
N_1i - выходной код счетчика 2 импульсов на i-м участке.

В каждый момент времени t в интервале длительности Т_i на любом i-м участке выходной код N_1i счетчика 2 импульсов, поступающий на кодовые шины ПКЧ 3, равен
N

= A

+f

t,, (7) причем
A

=A

f

ΔT;; (8)
f

=

· A

, , (9) где А_1i-1 и А_1i- выходные коды счетчика 2 импульсов, соответствующие начальным моментам аппроксимации на (i-1)-м и i- участках;
f_{УДЧi- 1} и f_УДЧi- выходные частоты управляемого УДЧ 4 на (i-1)-м и i-м участках соответственно, равные выходным частотам ПКЧ 6;
р - число разрядов ПКЧ 6, равное числу разрядов мультиплексора 5;
A_2i- выходной код мультиплексора 5 на i-м участке.

Знаки полярности "+" либо "-" в выражениях (7) и (8) употребляются в зависимости от режима, в котором должен работать счетчик 2 импульсов - в суммирующем либо в вычитающем соответственно, при этом выходной код счетчика 2 импульсов в начальный момент аппроксимации на первом участке соответствует записанной в него ранее начальной уставке А₁₁.

Подставляя выражение (7) в выражение (6) и используя формулу (9), получают
f

=

±

· t .. (10)
С частотного выхода ПКЧ 3 за время преобразования Т_i на вход счетчика 1 функции поступает число импульсов
N_i=

f

dt .. (11)
Подставляя формулу (10) в выражение (11) и производя интегрирование с использованием выражения (5), получают
N_i=

(T_x-T

) ±

· (T_x-T

)².. (12)
К моменту окончания длительности Т, соответствующему концу цикла воспроизведения и вычисления монотонной функции, выходной код N_Yсчетчика 1 функции соответствует числу импульсов
N_y= A

N_i ,, (13) причем, в силу плавности воспроизведения, характеризуемого отсутствием записи каких-либо чисел в этот счетчик в моменты прохождения узлов аппроксимации, что приводило бы к скачкообразному изменению (разрыву) его выходного кода, справедливы равенства, соответствующие условию непрерывности функции воспроизведения (1) согласно выражениям (3) и (4):
A

=A

N_i-1;; (14)
N_i-1=

ΔT_x±

ΔT $\genfrac{}{}{0ex}{}{\text{2}}{\text{x}}$ ,, (15) где А_0i-1 и А_0i - выходные коды счетчика 1 функции, соответствующие начальным моментам аппроксимации на (i-1)-м и i-м участках.

Знаки полярности "+" либо "-" в выражениях (13) и (14) употребляются в зависимости от режима, в котором должен работать счетчик 1 функции - в суммирующем либо в вычитающем соответственно, при этом выходной код счетчика 1 функции в начальный момент аппроксимации на первом участке соответствует записанной в него ранее начальной уставке А₀₁.

Учитывая выражение (12), формулу (13) записывают в виде
N_y= A

· (T_x-T

) ±

· (T_x-T

)² . (16)
Сопоставляя формулы (1) и (16), можно отметить, что при соблюдении равенств
a

=

A

; (17)
a

=

· A

; (18)
a

=

· A

(19) выполняется соотношение, выражающее прямо пропорциональную зависимость выходного кода N_Y счетчика 1 функции от значения функции воспроизведения (1), аргумент которой представлен интервалом времени
N_Y = α ˙ Y, (20) где α - коэффициент масштабирования.

Для удобства отсчета результата вычисления счетчик 1 функции может быть выполнен двоично-десятичным, а коэффициент α выбран кратным десяти.

Соблюдение равенства (17) при заданном α обеспечивается путем выбора величины начальной уставки А₀₁, соответствующей коэффициенту а₀₁первого участка аппроксимации, и выполнения равенств (18) и (19) для каждого из m участков, необходимость выполнения которых вытекает из формул (3), (4), (14) и (15).

В свою очередь соблюдение равенства (18) при заданных α , f₀, n обеспечивается путем выбора величины начальной уставки А₁₁, соответствующей коэффициенту а₁₁ первого участка аппроксимации, и выполнения для последующих участков определенного соотношения между значением коэффициента а_1i i-го участка и значениями коэффициентов а_1i-1 и а_2i-1 (i-1)-го участка, которое сводится к следующему.

Учитывая равенства (9) и (18), формулу (8) записывают в виде
a

=a

ΔT_x . (21)
Используя равенство (19), получают соотношение
a

= a

2·a

T_x, (22) т.е. при разбиении на участки диапазона изменения интервала Т_х аргумента значение коэффициента а_1i i-го участка должно определяться по значениям коэффициентов а_1i-1 и а_2i-1 предшествующего (i-1)-го участка. При этом нетрудно убедиться, что соблюдение соотношения (22) равносильно необходимости соблюдения в узлах аппроксимации непрерывности первой производной функции воспроизведения (1) при разбиении ее на участки, т.е. необходимости выполнения равенства

=

. (23)
Таким образом, разбиение на участки диапазона изменения интервала Т_х аргумента должно производиться при условии отсутствия в узлах аппроксимации разрыва не только функции воспроизведения (1), но и ее первой производной, т. е. вышеуказанное разбиение должно осуществляться путем сплайн-аппроксимации полиномами второй степени.

Что касается соблюдения равенства (19) при заданных α , f₀, n, p, то оно обеспечивается установлением числа А_2i на входе ПКЧ 6 в начальный момент аппроксимации i-го участка, что достигается следующим образом. В момент начала формирования интервала Т импульсы с частотой f_o начинают поступать с выхода ключа 9 на вход предварительно обнуленного (цепь сброса на чертеже не показана) счетчика 7 длины участка, период повторения выходных импульсов которого равен
T_п=

,, (24) где k₁ - коэффициент пересчета счетчика 7 длины участка.

Период Т_п выбирается таким, чтобы он был равен длине участка Δ Т_х, т.е. чтобы выполнялось равенство
k₁ = f_о ˙ Δ T_x . (25)
Выходные импульсы счетчика 7 длины участка с периодом Т_п поступают на вход счетчика 8 номера участка, в результате чего последний поочередно устанавливается в одно из m состояний, начиная с второго. Установка счетчика 8 номера участка в первое состояние, соответствующее первому участку, и тем самым дальнейшее установление соответствия между номерами участков и состояниями счетчика 8 номера участка производится путем подачи импульса обнуления (цепь сброса на чертеже не показана) в тот же момент, что и для счетчика 7 длины участка, а именно перед началом интервала Т_х, например, в момент записи начальных уставок А₀₁ и А₁₁. Последовательно сменяемая по мере перехода с участка на участок кодовая комбинация с выходных шин счетчика 8 номера участка поступает на управляющие входы мультиплексора 5, в результате чего на выходе последнего в моменты перехода с (i-1)-го на i-й участок устанавливается необходимое i-у участку число А_2i из ряда мультиплексируемых с третьего установочного входа 14 чисел А_2i ... A_2m, шины которых соединены с информационными входами мультиплексора 5. Установление необходимых чисел А_2i на входе ПКЧ 6 может производиться не только с помощью мультиплексора 5, но и с помощью, например, дешифратора, преобразователя кода на программируемой логической матрице или ПЗУ, в котором заранее "прошиты" вышеуказанные числа. При этом для каждого из заменяющих элементов входным кодом (для ПЗУ адресным), как и для мультиплексора 5, является код выходных шин счетчика 8 номера участка, а их выходным кодом - код числа А_2i, полученный в результате операции дешифрирования, преобразования или выборки.

Таким образом, реализация сплайн-аппроксимации функции воспроизведения (1) сводится к установлению в счетчиках 1 и 2 начальных уставок А₀₁ и А₁₁, соответствующих первому участку аппроксимации, и установлению с помощью мультиплексора 5 на кодовом входе ПКЧ 6 числа А_2i, соответствующего i-у участку, начиная с первого. При этом нет необходимости в начале каждого из последующих участков производить запись в счетчиках 1 и 2 чисел А_0i и А_1i, так как эти числа на кодовых выходах указанных счетчиков устанавливаются автоматически в силу непрерывного (без скачков) ими счета импульсов, соответствующего непрерывности функции воспроизведения (1) и ее первой производной, что, как отмечалось выше, характерно для сплайн-аппроксимации.

Упоминаемые ранее режимы работы счетчиков 1 и 2 на сложение либо на вычитание устанавливаются заранее, исходя из знаков полярности производных функций воспроизведения (1), а именно если знак полярности первой производной на любом без исключения i-м участке положителен, т.е. если функция воспроизведения (1) монотонно возрастающая, то счетчик 1 функции необходимо устанавливать в режим сложения, а если отрицателен, то в режим вычитания; если полярность произведения знаков полярности первой и второй производных на любом без исключения i-м участке положительна, то счетчик 2 импульсов необходимо устанавливать в режим сложения, а если отрицательна, то в режим вычитания. Учитывая, что в аппроксиматоре рассматривается функция воспроизведения (1), у которой полярность первой и второй производных неизменна во всем диапазоне изменения интервала Т_х аргумента, в том числе и при Т_х = Т_хi ^н, учет знаков полярности вышеуказанных производных при выборе режимов работы счетчиков 1 и 2 можно заменить на более простой учет знаков полярности перед коэффициентами а_1i и а_2i функции воспроизведения (1), каждый из которых, как указывалось выше, одинаков для любого из m участков, а именно если перед коэффициентом а_1i знак "+", то счетчик 1 функции необходимо устанавливать в режим сложения, а если знак "-" то, в режим вычитания; если полярность произведения знаков полярности перед коэффициентами а_1i и а_2i положительна, то счетчик 2 импульсов необходимо устанавливать в режим сложения, а если отрицательна, то в режим вычитания.

Необходимо подчеркнуть, что в силу одинаковости знаков полярности перед одноименными коэффициентами функции воспроизведения (1) на каждом из m ее участков режимы работы счетчиков 1 и 2 на сложение либо на вычитание, заранее устанавливаемые согласно вышеуказанным знакам, также одинаковы на каждом из этих участков.

Следует отметить, что если функция воспроизведения (1) представлена в более краткой форме:
Y=b

b

T_x± b

T $\genfrac{}{}{0ex}{}{\text{2}}{\text{x}}$ , (26) где b_0i, b_1i, b_2i - постоянные коэффициенты, то связь между приведенными коэффициентами и коэффициентами а_0i, a_1i и a_2i можно выразить соотношениями
b

=a

a

T

a

(T

)²; (27)
b

=a

-2·a

T

; (28)
b_2i = a_2i . (29)
Можно отметить, что на первом участке при Т = 0 интервал аргумента Т_х1 ^н= 0. При этом выражения (27)...(29) для первого участка принимают вид b

=a

; b

=a

; b

=a

, т.е. для первого участка имеет место идентичность рассматриваемых коэффициентов, согласно которым, как указывалось выше, устанавливаются начальные уставки А₀₁, А_1i и число A₂₁.

Таким образом, благодаря новым связям, элементам и возможности установки различного сочетания режимов работы счетчиков 1 и 2 обеспечивается с учетом масштабирования аппаратурная реализация воспроизведения и вычисления монотонных функций, как возрастающих, так и убывающих, выпуклых как вверх, так и вниз (в зависимости от знака полярности перед коэффициентом а_2i, воспроизводимых путем сплайн-аппроксимации, аргумент которых может быть представлен интервалом времени.

Claims (1)

1. АППРОКСИМАТОР МОНОТОННЫХ ФУНКЦИЙ, содержащий генератор импульсов, ключ, счетчик импульсов, счетчик функции и преобразователь кода в частоту, причем выход генератора импульсов соединен с информационным входом ключа, управляющий вход и выход которого соединены соответственно с входом аргумента аппроксиматора и частотным входом преобразователя кода в частоту, информационный вход которого соединен с выходом счетчика импульсов,информационный вход счетчика функции соединен с первым установочным входом аппроксиматора, отличающийся тем, что, с целью повышения точности за счет реализации сплайн-аппроксимации, он содержит управляющий делитель частоты, счетчик длины участка и счетчик номера участка, причем выход ключа соединен с частотным входом управляемого делителя частоты и счетным входом счетчика длины участка, выход которого соединен со счетным входом счетчика номера участка, выход которого соединен с управляющим входом управляемого делителя частоты, выход которого соединен со счетным входом счетчика импульсов, информационный вход которого соединен с вторым установочным входом аппроксиматора, третий установочный вход и выход которого соединены соответственно с информационным входом управляемого делителя частоты и выходом счетчика функции, счетный вход которого соединен с выходом преобразователя кода в частоту.

Images