KR20110024399A - 확장형 칼만필터를 이용한 헤테로다인 레이저 간섭계 오차 보정 장치 - Google Patents

확장형 칼만필터를 이용한 헤테로다인 레이저 간섭계 오차 보정 장치 Download PDF

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Abstract

본 발명은 확장형 칼만필터를 이용한 헤테로다인 레이저 간섭계 오차 보정 장치에 관한 것으로, 헤테로다인 레이저 간섭계로부터 입력되는 신호로부터 기준 신호와 측정 신호를 생성하는 Ir 연산부와 Im 연산부, 기준 신호와 측정 신호를 이용하여 위상 정보를 출력하는 전처리부, 확장형 칼만 필터의 노이즈 분산 정보를 저장하는 데이터베이스 및 위상 정보, 노이즈 분산 정보 및 타겟 물체 이동 속도 정보를 이용하여 오차를 보정하는 확장형 칼만 필터를 포함하는 헤테로다인 레이저 간섭계 오차 보정 장치를 제공함으로써 보다 정밀한 목표물의 측정이 가능하게 된다.
Figure P1020090082385
확장형 칼만 필터, 헤테로다인, 레이저 간섭계

Description

확장형 칼만필터를 이용한 헤테로다인 레이저 간섭계 오차 보정 장치{Laser Interferometer Compensating Apparatus Using Extended Kalman Filter}
본 발명은 확장형 칼만필터를 이용한 헤테로다인 레이저 간섭계 오차 보정 장치에 관한 것으로, 특히 위상 정보, 노이즈 분산 정보 및 타겟 물체 이동 속도 정보를 이용하여 오차를 보정하는 확장형 칼만 필터를 적용함으로써 나노 단위의 길이를 측정하는데 발생하는 비선형성을 제거하기 위한 것이다.
현대의 고도화 된 산업분야에서는 높은 분해능의 공정 정밀도가 요구된다. 예를 들어, 공정 정밀도는 기존의 마이크로미터 단위에서 나노미터 단위로 그 정밀성이 더욱 높아지고 있다. 특히 높은 집적도와 고속화를 위해 소자의 세밀화가 필요한 반도체 산업에서는 100㎚의 최소 가공 선폭이 사용되고 있는 실정이다.
따라서 공정 정밀도를 높이기 위해 수십 미터에서 수 나노미터에 이르는 넓은 측정범위와 거의 무한대의 분해능 등의 장점을 가진 헤테로다인 레이저 간섭계(Heterodyne Laser Interferometer)가 널리 상용되고 있다. 헤테로다인 레이저 간섭계는 환경적인 요인과 간섭계 자체의 비선형성 오차 등으로 인하여 실제 공정 에서는 수 나노미터 단위의 정밀도 구현에도 많은 어려움이 발생한다.
현재 환경요인에 의한 오차를 극복하기 위해 정밀 측정 센서와 에들렌 공식(Edlen Formula)을 이용하여 환경요인 오차를 보상하고 있다. 그리고 비선형성에 의한 오차를 극복하기 위해 칼만 필터를 이용하여 오차를 최소화시키는 방법, 헤테로다인 레이저 간섭계의 두 출력 값의 위상천이(Phase Shifting)와 곱셈기를 이용하여 위상 부호 매김(Phase Encoding)을 만드는 방법, 최소자승법 및 반복 최소자승법을 이용하여 보정변수를 도출하는 방법, 신경회로망을 이용한 보정방법 등 지금까지 많은 연구들이 진행되어 왔다.
그러나 기존의 제안된 방법들은 레이저 간섭계의 오차 요인으로 지목된 환경요인 또는 비선형성 요인 중 특정 부분에 대해서만 대응하는 한계를 가지고 있다. 따라서 실제 현장에서 이러한 오차 보정 방법을 적용하는 경우 발생하는 문제들 중 일부에 대한 해답만을 얻을 수 있으므로 전체 시스템의 정밀도 수준을 수 나노미터 단위까지 끌어올리기에는 한계가 있다.
따라서 본 발명은 상기한 종래 기술에 따른 문제점을 해결하기 위한 것으로, 비선형성 노이즈를 제거하기 위하여 확장형 칼만필터를 이용한 헤테로다인 레이저 간섭계 오차 보정 장치의 제공을 그 목적으로 한다.
본 발명의 일 측면에 다른 헤테로다인 레이저 간섭계 오차 보정 장치는 헤테로다인 레이저 간섭계로부터 입력되는 신호로부터 기준 신호를 생성하는 Ir 연산부; 상기 헤테로다인 레이저 간섭계로부터 입력되는 신호로부터 측정 신호를 생성하는 Im 연산부; 상기 기준 신호와 측정 신호를 입력받아 위상 정보를 포함하는 신호를 출력하는 전처리부; 확장형 칼만 필터의 노이즈 분산 정보를 저장하는 데이터베이스; 및 상기 전처리부가 출력한 위상 정보를 포함하는 신호, 상기 데이터베이스의 노이즈 분산 정보 및 상기 헤테로다인 레이저 간섭계에서의 타겟 물체 이동 속도 정보를 확장형 칼만 필터에 적용하여 오차를 보정하는 확장형 칼만 필터를 포함한다.
상기 전처리부는 상기 기준 신호와 측정 신호의 고대역 성분만을 통과시키는 고대역 통과 필터; 상기 고대역 통과 필터를 통과한 기준 신호를 소정의 각도만큼 위상 지연시키는 위상 지연부; 상기 위상 지연된 기준 신호와 고대역 통과 필터를 통과한 측정 특정 신호의 곱을 연산하는 제1 곱셈기; 상기 고대역 통과 필터를 통과한 기준 신호와 측정 신호의 곱을 연산하는 제2 곱셈기; 및 상기 제1 곱셈기와 제2 곱셈기가 출력한 신호 중 저대역 성분을 통과시키는 저대역 통과 필터를 포함하는 것을 특징으로 한다.
상기 확장형 칼만 필터가 출력한 신호를 이용하여 측정 대상물의 거리를 연산하는 위상거리 변환부가 더 포함될 수 있다. 상기 위상거리 변환부는 아래 수학식을 이용하여 측정 대상물의 거리를 연산하는 것을 특징으로 한다.
Figure 112009054050399-PAT00001
(여기서 φ*는 오차 보정된 신호의 위상각, λ는 헤테로다인 레이저 간섭계로부터 출력된 두 신호의 평균 주파수, η은 굴절률, L*는 대상 물체의 거리)
상기 확장형 칼만 필터는, 아래 수학식을 이용하여 노이즈 분산 정보를 업데이트하는 것을 특징으로 한다.
Figure 112009054050399-PAT00002
(여기서, Pk는 어포스테리 에러 분산(a posteriori estimate error covariance), Pk -는 어프라이어리 에러 분산(a priori estimate error covariance), Kk는 k번째 단계에서의 칼만 게인, Hk는 k번째 단계에서의 측정 자코비안(measurement noise Jacobian)을 의미함)
상기한 바와 같이 본 발명에 따른 확장형 칼만필터를 이용한 헤테로다인 레 이저 간섭계 오차 보정 장치에 따르면, 나노 단위의 측정 시 정밀도에 주요한 영향을 끼치는 헤테로다인 레이저 간섭계에서의 주파수 혼합과 그에 따른 오차를 제거할 수 있으므로 높은 정밀도를 가진 측정이 가능하게 된다.
이하, 본 발명에 따른 확장형 칼만필터를 이용한 헤테로다인 레이저 간섭계 오차 보정 장치에 대하여 첨부된 도면을 참조하여 상세히 설명한다.
도 1은 본 발명의 일 실시예에 따른 헤테로다인 레이저 간섭계의 세부 구성을 나타낸 도면이다.
도 1에 도시된 바와 같이 헤테로다인 레이저 간섭계(100)는 포토 디텍터 A(110), B(120), 레이저 헤드(Laser Head)(130), BS(Beam Splitter)(140), PBS(Polarization Beam Splitter)(150), 고정 미러(Fixed Mirror)(160), 스테이지 미러(Stage Mirror)(170), 나노 스테이지(Nano Stage)(180)로 구성될 수 있다.
레이저 헤드(130)는 주파수가 서로 다르면서 직교 및 편광하는 특성을 가진 빛을 출력한다. 여기서 레이저 헤드(130)가 출력하는 빛의 주파수를 각각 f1, f2로 가정한다. 또한, 그 크기는 각각 A와 B로 정의한다.
BS(140)에서는 레이저 헤드(130)가 출력한 빛을 분리하여 그 중 일부의 신호를 포토 디텍터 A(110)로 전달한다. 포토 디텍터 A(110)가 빛을 디텍팅하여 출력하는 신호를 Af1 + Bf2로 표시한다.
한편, BS(140)에서 전달된 신호들은 PBS(150)에서 주파수 별로 분리되어 경로 L1 또는 L2를 진행하게 된다. 이 경우 레이저 헤드(130)에서의 두 주파수 사이의 비직교성 및 타원화 현상과 편광분리기에서의 불완전한 배열로 인한 주파수 혼합 현상으로 인하여 분리된 신호에는 비선형적인 오차가 발생한다.
PBS(150)에서 f1의 주파수를 가지는 신호는 경로 L1을 따라 분리되어 진행하며 고정 미러(160)에서 반사되어 포토 디텍터 B(120)로 전달된다. 이 때 위에서 설명한 비선형 오차로 인하여 Af1로 표시되는 신호는 경로 L1을 따라 진행하면서 비선형 성분인 βf2의 신호가 더해진다.
또한 PBS(150)에서 f2의 주파수를 가지는 신호는 좌우 방향으로 이동하는 나노 스테이지(180)로의 경로 L2를 따라 진행한다. 마찬가지로 Bf2로 표시되는 신호도 비선형성 오차가 추가되며 αf1의 신호와 결합된다.
이들 신호 중 Bf2+αf1의 신호는 나노 스테이지(180)의 이동으로 인한 도플러 효과의 영향을 받게 된다. 이 경우 스테이지 미러(170)에서 반사되는 신호는 Bf2'+αf1'로 표시될 수 있다. 여기서 f1`과 f2`는 각각 f1과 f2의 신호가 나노 스테이지(180)의 이동으로 인하여 도플러 편이(Doppler-shifted)된 주파수에 해당한다. 한편, 계수 α와 β는 각각 간섭 신호의 크기를 나타낸다.
여기서 포토 디텍터 B(120)가 빛을 디텍팅하여 출력한 신호는 고정 미 러(160)에서 반사된 신호와 스테이지 미러(170)에서 반사된 신호의 합인 Af1 + βf2 + Bf2`+αf1`로 표시할 수 있다.
도 2는 본 발명의 다른 실시예에 따른 헤테로다인 레이저 간섭계 오차 보정 장치의 블록 구성을 나타낸 도면이다.
도 2에 도시된 바와 같이 포토 디텍터 A, B(110, 120)와 연결되어 있는 오차 보정 장치(200)는 Ir 연산부(210), Im 연산부(220), 전처리부(230), 확장형 칼만 필터(240), 데이터베이스(250) 및 위상거리 변환부(260) 등을 포함하여 구성될 수 있다.
포토 디텍터 A(110)로부터 Ir 연산부(210)가 입력받게 되는 신호의 전기장은 다음 수학식과 같이 표현할 수 있다. 아래 수학식에서 ΦA와 ΦB는 초기 위상 값이다.
Figure 112009054050399-PAT00003
Ir 연산부(210)는 입력된 신호에 대해 아래 수학식 2와 같이 연산을 수행하여 Ir 신호를 출력한다.
Figure 112009054050399-PAT00004
여기서 △f는 f2와 f1의 주파수 차이를 의미한다.
한편, 주파수 혼합에 의한 효과에 따라 포토 디텍터 B(120)로 입력되어 Im 연산부(220)로 입력되는 신호의 전기장은 다음과 같다.
Figure 112009054050399-PAT00005
여기서 PB1은 측정 신호 중 도 1에서 L1 경로를 진행하여 입력된 신호의 전기장이며, PB2는 측정 신호 중 도 1에서 L2 경로를 진행하여 입력된 신호의 전기장을 의미한다. Im 연산부(220)는 Ir 연산부(210)와 마찬가지로 전기장과 전기장의 켤레 복소수를 곱하여 측정 신호의 세기를 구할 수 있다.
이와 같이 Ir 연산부(210)와 Im 연산부(220)로부터 출력되는 신호는 전치리부(230)의 고대역 필터(231)로 입력된다.
Im 연산부(220)에서 출력되는 신호를 전치리부(230)의 고대역 필터(High Pass Filter)(231)를 통과시킴으로써 DC 성분과 초기 위상값 성분들은 제거될 수 있다. 즉, Im 연산부(231)가 출력하는 AC 성분의 신호는 다음과 같다.
Figure 112009054050399-PAT00006
위 수학식에서 φ는 도플러 효과에 의한 주파수 차이에 해당한다. 이를 수식으로 나타내면, φ = 2π(f2' - f2)t = 2π(f1' - f1)t와 같이 표현할 수 있다. 위 수학식 4에서
Figure 112009054050399-PAT00007
, 즉 두 번째 항과 세 번째 항은 레이저 간섭계 측정 시 원치 않는 비선형성 에러에 해당한다.
또한, 전처리부(230)의 위상 이동(Phase Shift) 기능을 포함하는 락인앰프(Lock In Amplifier), 파워 디바이더(Power Divider), 멀티플라이어(Multiflier) 및 저대역 통과 필터(Low Pass Filter)를 이용하면, Ir 과 Im,ac 신호는 위상 정보인 Φ를 획득할 수 있는 다른 신호로 변환된다.
제1 단계에서 Ir 과 Im , ac 신호는 각각 90°와 0° 위상지연기(232)에 입력된다. 그 후 두 신호를 멀티플라이어(233, 234)에 통과시키면 두 개의 혼합 신호는 다음 수학식에 의하여 획득되어진다.
Figure 112009054050399-PAT00008
수학식 5의 신호가 전처리기(230)의 저대역 통과 필터(235)를 통과하는 경우, 위상 정보 φ를 포함하는 두 개의 세기 신호들을 획득할 수 있다.
Figure 112009054050399-PAT00009
비선형성 에러는 헤테로다인 레이저 간섭계(100)의 불완전한 PBS(150)로 인하여 발생한다. 이하, 본 발명에 따른 확장 칼만 필터(Extended Kalman Filter)(240)를 이용하여 비선형성 에러를 보상하는 방법에 대하여 살펴보기로 한다.
먼저, 목표물(Target)은 동일한 속도로 움직이는 것으로 가정한다. 움직이는 목표물의 이동 거리, 속도, 시간을 각각 x, v, t로 정의하면, x = tv와 같은 관계식을 얻을 수 있다. 그러나 엄밀하게 말하면 v가 일정하지 않으므로 각각의 시각에서 얻어지는 거리 x는 균일하게 증감하지 않는다. 목표물의 거리 x는 액튜에이터(actuator)의 백래쉬 현상(backlash problem) 또는 진동(rattling vibration) 등에 의하여 영향을 받게 된다. 따라서 비이상적인 스테이지 조건하에서, 샘플링 시 간마다 측정되는 거리는 Non-Uniform하다. 목표물의 이러한 비균일성은 아래 수학식 7과 같이 표현될 수 있다.
Figure 112009054050399-PAT00010
위 수학식에서 x는 거리, td는 샘플링 시각, v는 속도, ζ는 외부 요인을 인하여 발생하는 속도 에러를 의미한다.
이동 거리 x와 위상 Φ의 관계식에 따르면,
Figure 112009054050399-PAT00011
를 만족하므로 위의 수학식 7을 위상 Φ를 이용하여 표현하면 다음과 같다.
Figure 112009054050399-PAT00012
또한, 수학식 7을 수학식 6의 Ix와 Iy로 대체하면, 움직이는 목표물에 대한 레이저 간섭계의 상태 모델(State Model)은 다음과 같이 표현될 수 있다.
Figure 112009054050399-PAT00013
이 때
Figure 112009054050399-PAT00014
라는 점을 고려하면, 상태 방정식(State Equation)은 다음과 같이 쓸 수 있다.
Figure 112009054050399-PAT00015
여기서, n(k)는 측정 노이즈이며, z(k)는 레이저 간섭계의 측정된 위상 값 Φ(k)를 의미한다.
확장형 칼만 필터는 수학식 10과 같이 표현된 비선형성 상태의 시스템에서 발생하는 에러 또는 노이즈를 극복하기 위하여 사용될 수 있다. 이하, 확장형 칼만 필터의 동작 방법에 대하여 살펴보자. 확장형 칼만 필터에 적용되는 일반적인 비선형성 시스템의 상태 방정식은 다음과 같이 표현될 수 있다.
Figure 112009054050399-PAT00016
여기서, xk와 zk는 각각 실제 상태 벡터(actual state vector)와 측정 벡 터(measurement vector)를 의미한다.
Figure 112009054050399-PAT00017
는 k 번째 단계에서 상태에서의 포스테어리 추측값(a Posteriori Estimate)을 의미한다. 또한, wk와 vk는 프로세스 노이즈(process noise)와 측정 노이즈(measurement noise)를 의미한다.
여기서 A는 프로세스 자코비안, H는 측정 자코비안, W는 프로세스 노이즈 자코비안, V는 측정 노이즈 자코비안을 의미한다. 즉, A, H, W, V는 상태 벡터 (x)와 노이즈 (v, w)에 대한 f와 h의 편미분 쟈코비안 매트릭스이며, 다음 수학식에 의하여 표현될 수 있다.
Figure 112009054050399-PAT00018
수학식 12의 A, H, W, V는 단계별로 그 값이 다를 수 있음에도 불구하고 단순화를 위해 첨자 k를 붙이지 않기로 한다.
수학식 11의 두 번째 zk에 대한 식 중 H 함수는 비선형 함수를 의미하며, 이는 수학식 10의 tan-1 함수 또한 비선형 함수이므로 적용이 가능하다.
마지막으로, 아래 수학식 13, 14는 시간과 측정값이 업데이트되면서 얻어지는 확장 칼만 필터의 결론식들이다. 수학식 13은 xk와 Pk -를 예측하기 위한 식에 해 당한다.
Figure 112009054050399-PAT00019
한편, 본 확장형 칼만 필터는 k번째 단계에서 실제로 그 값을 측정하고, 이를 수학식 13의 추측값과 종합하여 그 다음 단계의 추측값, 갱신될 칼만 게인, 갱신될 에러 분산 값을 계산한다. 새롭게 획득된 칼만 게인과 에러 분산은 그 다음인 k+1 단계에서 적용이 된다.
Figure 112009054050399-PAT00020
위 수학식들에서, Pk -는 어프라이어리 에러 분산(a priori estimate error covariance)을 의미한다. 또한, Pk는 어포스테리 에러 분산(a posteriori estimate error covariance)을 의미한다. Kk는 k번째 단계에서의 칼만 게인을 의미한다. 여기서 Q와 R은 노이즈항인 n(k)와 ζ(k)의 분산(covariance)을 의미한다.
본 발명에 따른 확장형 칼만 필터(240)는 이상에서 설명한 확장형 칼만 기법 을 이용한다. 확장형 칼만 필터(240)는 전처리부로부터 Ix 신호와 Iy 신호를 입력받는다. 또한 확장형 칼만 필터(240)는 데이터베이스(250)로부터 노이즈항인 n(k)와 ζ(k)의 분산(covariance)인 Q와 R을 입력받게 된다. 기본적으로 이동물체의 속도 v를 알 수 있으므로 수학식 10을 통해 A 또한 알 수 있다.
확장형 칼만 필터(240)는 입력된 정보를 통하여 오차 보정된 Z를 계산하여 출력한다. 그 후 위상거리 변환부(260)는 확장형 칼만 필터(240)로부터 출력된 Z를 거리로 변환하고 그 결과인 L을 출력한다. 이 경우 위상거리 변환부(260)는
Figure 112009054050399-PAT00021
의 관계를 이용하여 위상인 Z로부터 거리 L을 획득한다.
이상에서 대표적인 실시예를 통하여 본 발명에 대하여 상세하게 설명하였으나, 본 발명이 속하는 기술 분야에서 통상의 지식을 가진 자는 상술한 실시예에 대하여 본 발명의 범주에서 벗어나지 않는 한도 내에서 다양한 변형이 가능함을 이해할 것이다. 그러므로 본 발명의 권리 범위는 설명된 실시예에 국한되어 정해져서는 안 되며, 후술하는 특허청구범위뿐만 아니라 이 특허청구범위와 균등한 것들에 의하여 정해져야 한다.
도 1은 본 발명의 일 실시예에 따른 헤테로다인 레이저 간섭계의 세부 구성을 나타낸 도면.
도 2는 본 발명의 다른 실시예에 따른 헤테로다인 레이저 간섭계 오차 보정 장치의 블록 구성을 나타낸 도면.
<도면의 주요 부분에 대한 부호 설명>
200 : 오차 보정 장치
210 : Ir 연산부
220 : Im 연산부
230 : 전처리부
231 : 고대역 통과 필터
232 : 위상 지연기
233, 234 : 곱셈기
235 : 저대역 통과 필터
240 : 확장형 칼만 필터
250 : 위상거리 변환부
260 : 데이터베이스

Claims (5)

  1. 헤테로다인 레이저 간섭계 오차 보정 장치에 있어서,
    헤테로다인 레이저 간섭계로부터 입력되는 신호로부터 기준 신호를 생성하는 Ir 연산부;
    상기 헤테로다인 레이저 간섭계로부터 입력되는 신호로부터 측정 신호를 생성하는 Im 연산부;
    상기 기준 신호와 측정 신호를 입력받아 위상 정보를 포함하는 신호를 출력하는 전처리부;
    확장형 칼만 필터의 노이즈 분산 정보를 저장하는 데이터베이스; 및
    상기 전처리부가 출력한 위상 정보를 포함하는 신호, 상기 데이터베이스의 노이즈 분산 정보 및 상기 헤테로다인 레이저 간섭계에서의 타겟 물체 이동 속도 정보를 확장형 칼만 필터에 적용하여 오차를 보정하는 확장형 칼만 필터를 포함하는 헤테로다인 레이저 간섭계 오차 보정 장치.
  2. 제1항에 있어서,
    상기 전처리부는
    상기 기준 신호와 측정 신호의 고대역 성분만을 통과시키는 고대역 통과 필터;
    상기 고대역 통과 필터를 통과한 기준 신호를 소정의 각도만큼 위상 지연시 키는 위상 지연부;
    상기 위상 지연된 기준 신호와 고대역 통과 필터를 통과한 측정 특정 신호의 곱을 연산하는 제1 곱셈기;
    상기 고대역 통과 필터를 통과한 기준 신호와 측정 신호의 곱을 연산하는 제2 곱셈기; 및
    상기 제1 곱셈기와 제2 곱셈기가 출력한 신호 중 저대역 성분을 통과시키는 저대역 통과 필터를 포함하는 것을 특징으로 하는 헤테로다인 레이저 간섭계 오차 보정 장치.
  3. 제1항에 있어서,
    상기 확장형 칼만 필터가 출력한 신호를 이용하여 타겟 물체의 길이를 연산하는 위상거리 변환부를 더 포함하는 헤테로다인 레이저 간섭계 오차 보정 장치.
  4. 제3항에 있어서,
    상기 위상거리 변환부는 아래 수학식을 이용하여 타겟 물체의 길이를 연산하는 것을 특징으로 하는 헤테로다인 레이저 간섭계 오차 보정 장치.
    Figure 112009054050399-PAT00022
    (여기서 φ*는 오차 보정된 신호의 위상각, λ는 헤테로다인 레이저 간섭계 로부터 출력된 두 신호의 평균 주파수, η은 굴절률, L*는 대상 물체의 거리)
  5. 제1항에 있어서,
    상기 확장형 칼만 필터는,
    아래 수학식을 이용하여 노이즈 분산 정보를 업데이트하는 것을 특징으로 하는 헤테로다인 레이저 간섭계 오차 보정 장치.
    Figure 112009054050399-PAT00023
    (여기서, Pk는 어포스테리 에러 분산(a posteriori estimate error covariance), Pk -는 어프라이어리 에러 분산(a priori estimate error covariance), Kk는 k번째 단계에서의 칼만 게인, Hk는 k번째 단계에서의 측정 자코비안(measurement noise Jacobian)을 의미함)
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