KR101107992B1

KR101107992B1 - 신호 해석 방법, 신호 해석 장치, 및 신호 해석 프로그램

Info

Publication number: KR101107992B1
Application number: KR1020097027112A
Authority: KR
Inventors: 시게키 히로바야시
Original assignee: 국립대학법인 도야마 다이가쿠
Priority date: 2007-09-20
Filing date: 2008-09-17
Publication date: 2012-01-25
Also published as: WO2009038056A1; JPWO2009038056A1; JP5590547B2; EP2192415A4; EP2192415A1; US20100274511A1; KR20100033491A

Abstract

주파수 분해능이 해석 창 길이에 의존하지 않고 높은 주파수 분해능을 가지고, 놀랄만한 고정밀도로 주파수 해석을 행할 수 있는 신호 해석 장치를 제공한다. 신호 해석 장치는 해석 대상이 되는 해석 대상 신호를 입력하면, 그 해석 대상 신호와, 주파수(f’) 및 초기 위상(φ’)을 사용한 위상과 진폭(A’)에 의해 나타나는 정현파 모델 신호의 차의 자승합이 최소값이 되는 것 같은 주파수(f’), 진폭(A’), 및 초기 위상(φ’)을 구한다.

주파수 해석, 신호 해석 방법, 해석 대상 신호, 신호 해석 장치, 연산 수단, 메모리, 초기 위상, 진폭, 정현파 모델 신호, 신호 해석 프로그램, 컴퓨터.

Description

신호 해석 방법, 신호 해석 장치, 및 신호 해석 프로그램{SIGNAL ANALYSIS METHOD, SIGNAL ANALYSIS DEVICE, AND SIGNAL ANALYSIS PROGRAM}

본 발명은 입력된 신호의 주파수 해석을 행하는 신호 해석 방법, 신호 해석 장치, 및 신호 해석 프로그램에 관한 것이다.

종래부터 신호의 계측, 디지털 신호의 압축 부호화, 및 장래에 있어서의 경제 시계열 신호 변동의 예측 등, 다양한 분야에 있어서 입력된 신호의 주파수 해석이 행해지고 있다. 소위 정현파 모델을 사용한 신호 해석 방법으로서는 비특허문헌 1에도 소개되어 있듯이 다양한 수법이 제안되고 있지만, 그 대부분은 신호의 주파수를 사전에 추정하고, 그 추정한 주파수에 있어서의 최적의 진폭이나 초기 위상을 구함으로써 행해지고 있다.

신호는 복수의 주파수의 정현파의 중합이며, 신호를 해석하기 위해서는 해당 신호를 구성하는 다양한 주파수의 정현파마다 진폭이나 초기 위상 등의 주파수 파라미터를 추정하게 된다. 이와 같은 주파수 해석 수법으로서는 푸리에 변환이 널리 알려져 있다. 푸리에 변환에 있어서의 주파수 파라미터의 추정은 주기적인 신호의 경우에는 다음 식 (1)에 나타나 있는 바와 같이, 유한 길이의 창에 의한 푸리에 변환식을 사용하여 행할 수 있고, 이 다음 식 (1)에 기초하여 특정의 주파 수(f)(=n/T : n은 정수, T는 해석 창 길이)의 파라미터(진폭 A 및 초기 위상 φ)를 추정할 수 있다. 단, 진폭(A)과 초기 위상(φ)과 X(f)의 관계는 다음 식 (2)이다.

이와 같은 푸리에 변환에 의해 추정하는 것이 가능한 주파수 파라미터는 해석 창 길이(T)에 의존하여, 1/T의 정수배의 주파수분밖에 계산할 수 없다. 따라서, 상기 식(1)을 사용하여 파라미터를 추정하고 있는 한, 주파수(f)는 원리적으로 이산적이 되고, 비주기 신호의 주파수 성분을 특정할 수는 없다. 또 푸리에 변환을 사용하여 주파수 해석을 행하고 있는 분야에서는 그 대부분이 주기를 가지지 않는 비주기 신호를 해석 대상으로 함에도 불구하고, 무한 길이의 적분 구간에 걸친 적분 계산이 매우 곤란한 점에서, 상기 식 (1)을 사용해야 하는 것이 현상황이다.

이 문제를 해결하기 위해서, 창함수의 조정이나 해석 구간을 복수 이용하여 외견상의 주파수 분해능을 향상시키려는 시도가 있다.

예를 들어, 비특허문헌 2에 기재된 단시간 푸리에 변환(Short-Time Fourier Transform, Short-Term Fourier Transform;STFT)은 음향 신호를 단시간의 해석 창에 의해 복수의 신호로 분할하고, 각 신호에 대해서 독립적으로 푸리에 변환을 행하는 수법이다.

또 비특허문헌 3 내지 비특허문헌 6에 기재된 ABS(Analysis by Synthesis)법이나 GHA(Generalized Harmonic Analysis) 등에 있어서는, 최적인 주파수를 정하기 위한 주파수를 복수 준비하여 진폭 및 초기 위상을 구하고, 그 중에서 최적인 주파수와 진폭과 초기 위상의 조합을 선택하고 있다.

[비특허문헌 1] : 토우야마 미키오, 코이케 츠네히코, 「높은 주파수 분석 정밀도의 신호 분석 수법」, 일본음향학회 논문지, 1988년, 제54권, 제8호

[비특허문헌 2] : L. R. Rabiner and R. W. Schafer, “Digital Processing of Speech Signals", Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1978년

[비특허문헌 3] : T. F. Quatieriand R. J. McAulay, “Speechtransformations based on a sinesoidal representation", IEEE Trans. Acoust. Speech Signal Process. ASSP 34, 1986년, p.1449-1464

[비특허문헌 4] : E. B. Georgeand M. J. Smith, “Analysis-by-synthesis/overlap-addsinusoidal representation", J. Audio Eng. Soc. 40, 1992년, p.497-515

[비특허문헌 5] : E. B. George and M. J. Smith, “Speech analysis/synthesis and modification using ananalysis-by-synthesis/overlap-add sinusoidal model", IEEE Trans. Speech Audio Process. 5, 1997년, p.389-406

[비특허문헌 6] : T. Terada, H. Nakajima, M. Tohyama and Y. Hirata, “Non-stationary waveform analysis and synthesis using generalizedharmonic analysis", IEEE-SP, Int. Symp. TF/TSAnalysis, 1994년, p.429-432

그러나 상기 서술한 비특허문헌 2에 기재된 단시간 푸리에 변환에 있어서는, 단시간의 해석 창 길이의 역수의 정수배의 주파수에서밖에 주파수 파라미터를 추정할 수 없다는 문제가 여전히 존재한다.

또 상기 서술한 비특허문헌 3 내지 비특허문헌 6에 기재된 ABS법이나 GHA 등에 있어서는, 원래의 신호에 대해서 미리 준비된 주파수와 상이한 주파수가 존재하는 경우에는 잘못된 조합이 복수 검파되어 버려, 해석 정밀도가 저하된다는 문제가 있다.

이들 창함수의 조정이나 해석 구간을 복수 이용하여 외견상의 주파수 분해능을 향상시키려는 시도는,

1) 주파수 분해능을 높이기 위해서는 해석 창 길이를 길게 해야 하지만, 시간적인 주파수 변동을 수반하는 신호에서는 주파수가 평균화되어, 시간적인 변동을 파악하는 것이 곤란하게 되는 것

2) 한편, 해석 창 길이를 짧게 하면 주파수 분해능이 저하되는 것

과 같은 문제가 지적되고 있다.

이와 같이 주파수의 변화를 세세하게 파악하는 것과, 주파수 분해능을 높이는 것은 서로 상반된 관계에 있어, 신호 해석상의 큰 문제가 되고 있었다.

(발명의 개시)

본 발명은 이와 같은 실상을 감안하여 이루어진 것으로, 주파수 분해능이 해석 창 길이에 의존하지 않고 높은 주파수 분해능을 가지고, 놀랄만한 고정밀도로 주파수 해석을 행할 수 있는 신호 해석 방법, 신호 해석 장치, 및 신호 해석 프로그램을 제공하는 것을 목적으로 한다.

상기 서술한 목적을 달성하는 본 발명에 따른 신호 해석 방법은 입력된 신호의 주파수 해석을 행하는 신호 해석 방법에 있어서, 해석 대상이 되는 해석 대상 신호를 신호 해석 장치에 입력하고, 메모리에 기억시키는 신호 입력 공정과, 상기 신호 해석 장치의 연산 수단이 상기 신호 입력 공정에서 입력되어 상기 메모리에 기억된 상기 해석 대상 신호를 독출하고, 상기 해석 대상 신호와, 주파수(f’) 및 초기 위상(φ’)을 사용한 위상과 진폭(A’)에 의해 나타나는 정현파 모델 신호의 차의 자승합이 최소값이 되는 것 같은 상기 주파수(f’), 상기 진폭(A’), 및 상기 초기 위상(φ’)을 구하는 파라미터 산출 공정과, 상기 연산 수단이 상기 파라미터 산출 공정에서 구해진 상기 주파수(f’), 상기 진폭(A’), 및 상기 초기 위상(φ’)에 기초하는 해석 결과를 해석 결과 출력 수단에 출력하는 해석 결과 출력 공정을 구비하는 것을 특징으로 하고 있다.

또 상기 서술한 목적을 달성하는 본 발명에 따른 신호 해석 장치는, 입력된 신호의 주파수 해석을 행하는 신호 해석 장치에 있어서, 해석 대상이 되는 해석 대상 신호를 입력하는 신호 입력 수단과, 상기 신호 입력 수단을 통하여 입력된 상기 해석 대상 신호와, 주파수(f’) 및 초기 위상(φ’)을 사용한 위상과 진폭(A’)에 의해 나타나는 정현파 모델 신호의 차의 자승합이 최소값이 되는 것 같은 상기 주파수(f’), 상기 진폭(A’), 및 상기 초기 위상(φ’)을 구하는 파라미터 산출 수단과, 상기 파라미터 산출 수단에 의해 구해진 상기 주파수(f’), 상기 진폭(A’), 및 상기 초기 위상(φ’)에 기초하는 해석 결과를 출력하는 해석 결과 출력 수단을 구비하는 것을 특징으로 하고 있다.

또한 상기 서술한 목적을 달성하는 본 발명에 따른 신호 해석 프로그램은 입력된 신호의 주파수 해석을 행하는 컴퓨터 실행 가능한 신호 해석 프로그램에 있어서, 상기 컴퓨터를 해석 대상이 되는 해석 대상 신호를 입력하는 신호 입력 수단, 상기 신호 입력 수단을 통하여 입력된 상기 해석 대상 신호와, 주파수(f’) 및 초기 위상(φ’)을 사용한 위상과 진폭(A’)에 의해 나타나는 정현파 모델 신호의 차의 자승합이 최소값이 되는 것 같은 상기 주파수(f’), 상기 진폭(A’), 및 상기 초기 위상(φ’)을 구하는 파라미터 산출 수단, 및, 상기 파라미터 산출 수단에 의해 구해진 상기 주파수(f’), 상기 진폭(A’), 및 상기 초기 위상(φ’)에 기초하는 해석 결과를 출력하는 해석 결과 출력 수단으로서 기능시키는 것을 특징으로 하고 있다.

이와 같은 본 발명에 따른 신호 해석 방법, 신호 해석 장치, 및 신호 해석 프로그램이 실장된 장치는, 비주기 신호를 상정한 주파수 해석을 목적으로 하여 정식화를 행하고, 비주기 신호의 푸리에 변환식의 파라미터를 구하는 문제를 비선형 방정식의 최적해를 구하는 문제로 치환함으로써, 주파수 분해능이 해석 창 길이에 의존하지 않는 새로운 주파수 해석 수법을 실현할 수 있다.

이상과 같은 본 발명에 있어서는, 해석 창 길이와 주파수 분해능의 제약을 받지 않고 높은 주파수 분해능을 가지고, 종래의 주파수 해석 수법에 있어서의 정밀도에 비해 10만~100억배 이상이라는 놀랄만한 고정밀도로 주파수 해석을 행할 수 있다.

도 1은 본 발명의 실시형태로서 나타내는 신호 해석 장치의 구성을 도시한 블록도이다.

도 2는 본 주파수 해석 수법과 DFT의 차이를 설명하기 위한 도면이다.

도 3은 본 주파수 해석 수법과 DFT의 차이를 설명하기 위한 도면이며, 2차원의 해석 대상 신호에 각 수법을 적용한 경우의 구체예를 도시한 도면이다.

도 4는 본 주파수 해석 수법과 DFT와 GHA의 차이를 설명하기 위한 도면이며, 각 수법의 오차를 구한 결과를 도시한 도면이다.

도 5는 해석 대상 신호로서의 피아노음의 구체예를 도시한 도면이다.

도 6(A)는 DFT를 사용하여 도 5에 도시한 신호를 해석하여 얻어진 스펙트로그램을 도시한 도면이다.

도 6(B)는 본 주파수 해석 수법을 사용하여 도 5에 도시한 신호를 해석하여 얻어진 스펙트로그램을 도시한 도면이다.

도 7은 본 주파수 해석 수법과 DFT의 차이를 설명하기 위한 도면이며, 2차원의 해석 대상 신호에 각 수법을 적용하여 얻어지는 스펙트럼의 해석 정밀도의 구체예를 도시한 도면이다.

도 8은 본 주파수 해석 수법과 JPEG와 JPEG2000의 차이를 설명하기 위한 도면이며, 2차원의 비트맵 화상 데이터를 압축한 경우의 구체예를 도시한 도면이다.

도 9는 본 주파수 해석 수법을 적용한 경제 지표의 예측예를 도시한 도면이 다.

도 10은 본 주파수 해석 수법을 적용하여 구한 예측 데이터와 실제의 데이터의 오차의 분포를 도시한 도면이다.

(발명을 실시하기 위한 최선의 형태)

이하, 본 발명을 적용한 구체적인 실시형태에 대해서 도면을 참조하면서 상세히 설명한다.

이 실시형태는 입력된 신호의 주파수 해석을 행하는 신호 해석 장치이다. 특히, 이 신호 해석 장치는 비선형 방정식을 푸는 것으로 푸리에 계수를 추정함으로써, 주파수 분해능이 해석 창 길이에 의존하지 않는 새로운 주파수 해석 수법을 실현하는 것이다.

[신호 해석 장치의 구성]

신호 해석 장치는, 예를 들어 컴퓨터 등으로 구성되며, 도 1에 도시한 바와 같이, 각 부를 통괄적으로 제어하는 CPU(Central Processing Unit)(11)와, 각종 프로그램을 포함하는 각종 정보를 격납하는 판독 전용의 ROM(Read Only Memory)(12)과, 워크 에리어로서 기능하는 RAM(Random Access Memory)(13)과, 각종 정보를 독출 및/또는 기입 가능하게 기억하는 기억부(14)와, 유저 인터페이스로서의 도시하지 않는 소정의 조작 디바이스를 통한 입력 조작의 처리 및 제어를 행하는 입력 조작 제어부(15)와, 각종 정보를 표시하는 표시부(16)를 구비한다.

CPU(11)는 기억부(14) 등에 격납되어 있는 각종 어플리케이션 프로그램을 비 롯한 각종 프로그램을 실행하고, 각 부를 통괄적으로 제어한다.

ROM(12)은 각종 프로그램을 비롯한 각종 정보를 격납하고 있다. 이 ROM(12)에 격납되어 있는 정보는 CPU(11)의 제어하에서 독출된다.

RAM(13)은 CPU(11)가 각종 프로그램을 실행할 때의 워크 에리어로서 기능하고, CPU(11)의 제어하에서 각종 정보를 일시 기억함과 아울러 기억하고 있는 각종 정보를 독출한다.

기억부(14)는 본 발명에 따른 신호 해석 프로그램 등의 어플리케이션 프로그램 외에 주파수 해석의 대상이 되는 해석 대상 신호의 데이터를 비롯한 각종 정보를 기억한다. 이 기억부(14)로서는 예를 들어 하드 디스크나 불휘발성 메모리 등을 사용할 수 있다. 또 기억부(14)에는 본체에 대해서 착탈 가능한 플렉시블 디스크나 메모리 카드 등의 기억 매체에 대해서 각종 정보의 독출 및/또는 기입을 행하는 드라이브 장치도 포함된다. 이 기억부(14)에 기억되어 있는 각종 정보는 CPU(11)의 제어하에서 독출된다.

입력 조작 제어부(15)는 예를 들어 키보드, 마우스, 키패드, 적외선 리모트 컨트롤러, 스틱 키, 또는 푸시 버튼과 같은 유저 인터페이스로서의 도시하지 않는 소정의 조작 디바이스를 통한 입력 조작을 받아들이고, 조작 내용을 나타내는 제어 신호를 CPU(11)에 대해서 공급한다.

표시부(16)는 예를 들어 액정 디스플레이(Liquid Crystal Display;LCD), 플라즈마·디스플레이·패널(Plasma Display Panel;PDP), 유기 일렉트로루미네센스(Organic ElectroLuminescent) 디스플레이, 또는 CRT(Cathode Ray Tube)와 같은 각종 표시 디바이스이며, CPU(11)의 제어하에서 각종 정보를 표시한다. 예를 들어 표시부(16)는 CPU(11)에 의해 신호 해석 프로그램이 기동되면, 그 화면을 표시하고, 입력된 해석 대상 신호나 주파수 해석 결과 등을 표시한다.

이와 같은 각 부를 구비하는 신호 해석 장치는 CPU(11)의 제어하에서, 신호 해석 프로그램을 실행하면, CPU(11)의 제어하에서, 입력된 신호의 주파수 해석을 행한다. 또한 주파수 해석의 대상이 되는 신호, 즉, 상기 서술한 해석 대상 신호는 도시하지 않는 신호 입력부를 통하여 입력되어, CPU(11)에 의해 독출 가능하게 기억부(14)에 기억된다. 예를 들어 신호 해석 장치는 임의의 센서에 의해 계측된 시계열 신호를 해석 대상 신호로 하는 경우에는, 해당 신호 해석 장치와 센서를 접속하는 소정의 인터페이스를 통하여 해석 대상 신호로서의 시계열 신호를 기억부(14)에 기억시킴으로써 입력한다. 또 신호 해석 장치는 디지털 카메라 등의 촬상 장치에 의해 촬상된 화상 데이터의 압축 부호화를 행하는 기능을 가지고, 그 압축 부호화시에 주파수 해석을 행하는 경우에는, 해당 신호 해석 장치와 촬상 장치를 접속하는 소정의 인터페이스를 통하여 해석 대상 신호로서의 화상 데이터를 기억부(14)에 기억시킴으로써 입력한다. 또한 신호 해석 장치는 주가 등의 장래에 있어서의 변동을 예측하기 위해서 사용하는 경우에는, 인터넷 등을 통하여 해석 대상 신호로서의 과거의 주가 데이터를 기억부(14)에 기억시킴으로써 입력한다. 그 밖에 신호 해석 장치는 유저가 작성한 임의의 데이터를 해석 대상 신호로서 기억부(14)에 기억시킴으로써 입력하도록 해도 된다. 즉, 신호 입력부는 해석 대상 신호를 CPU(11)에 의해 독출 가능하게 입력시키는 기능을 가지는 부위이다. 또한 신 호 입력부는 아날로그 신호를 입력한 경우에는 A/D 변환을 행하여 디지털 신호로 변환하는 기능을 겸비하는 것은 말할 필요도 없다. 이 때, 신호 입력부는 필요에 따라서 안티앨리어싱 필터를 포함하는 A/D 변환기로 해도 된다. 신호 해석 장치는 CPU(11)의 제어하에서, 이와 같이 하여 입력된 해석 대상 신호의 주파수 해석을 행하고, 그 해석 결과 등을 도시하지 않는 해석 결과 출력부를 통하여 표시부(16)에 표시 출력시키거나, 인쇄 장치나 그 밖의 기기에 출력하거나 한다.

[주파수 해석 알고리즘]

이하, 이와 같은 신호 해석 장치에 있어서의 주파수 해석 알고리즘에 대해서 상세히 서술한다.

신호 해석 장치에 적용하는 주파수 해석 수법, 즉, 본 발명에서 새롭게 제안하는 주파수 해석 수법(이하, 본 주파수 해석 수법이라고 함)은, 「주파수의 변화를 세세하게 파악하는 것과, 주파수 분해능을 높이는 것은 서로 상반된 관계에 있다」라는 종래의 주파수 해석 수법의 문제를 본질적으로 해결하기 위해서, 비선형 방정식의 해를 구하는 문제에 주목했다. 즉, 본 주파수 해석 수법에 있어서는, 다음 식 (3)에 나타내는 비주기 신호의 푸리에 변환식의 주파수 파라미터를 구하는 문제를 비선형 방정식의 최적해를 구하는 문제로 치환했다.

구체적으로는 본 주파수 해석 수법에 있어서는, 다음 식 (4)에 나타나 있는 바와 같이 해석 대상 신호(x(n))와 정현파 모델 신호의 차의 자승합으로 나타나는 비선형 방정식의 최적해로서, 이 비선형 방정식의 우변이 최소값이 되는 것 같은 주파수(f’), 진폭(A’), 및 초기 위상(φ’)을 구한다. 또한 다음 식 (4)에 있어서, L은 프레임 길이(해석 창 길이)이며, f_s는 샘플링 주파수[Hz]이다. 이와 같이, 비선형 방정식에 주파수(f’)를 파라미터로서 포함시킨 것은, 아직 사례가 없어 참신하다. 바꾸어 말하면, 본 주파수 해석 수법에 있어서는 진폭(A’) 및 초기 위상(φ’)뿐만 아니라, 주파수(f’)도 정확히 구하는 것을 목적으로 하여, 상기 식 (3)에 대해서 비선형 방정식의 해법을 사용하는 것이다. 본 주파수 해석 수법에 있어서는, 이와 같은 최소 자승법에 의해 비선형 방정식의 최적해를 구하는 문제에 귀착시킴으로써, 해석 창의 영향이나 앨리어싱의 영향이 없어져, 해석 창 길이가 1주기 미만이어도 되고, 주기의 정수배가 아니어도 되며, 또한 부등간격이어도 되는 등, 유연한 주파수 해석 처리를 실현하는 것이 가능하게 된다.

또한 상기 식 (4)은 해석 대상 신호(x(n))가 센서에 의해 계측된 시계열 신호 등의 1차원 신호인 경우를 상정하고 있지만, 본 주파수 해석 수법은, 2차원의 화상 데이터 등의 2차원 신호나 동화상 데이터 등의 3차원 신호, 홀로그램과 같은 입체 동화상 데이터 등의 4차원 신호, 또한 그 이상의 차원의 신호에 대해서도 적 용 가능하다. 즉, 본 주파수 해석 수법은, 1차원의 해석 대상 신호를 s(x_n), 2차원의 해석 대상 신호를 s(x_m, y_n), 3차원의 해석 대상 신호를 s(x_l, y_m, z_n), 4차원의 해석 대상 신호를 s(x_k, y_l, z_m, w_n)로서 일반화하면, 해석 대상 신호가 1차원, 2차원, 3차원, 또는 4차원인 경우의 각각에 대해서, 다음 식 (5) 내지 다음 식 (8)에 나타내는 비선형 방정식의 최적해를 구하게 된다.

바꾸어 말하면, 본 주파수 해석 수법은 임의의 n차원(n은 1 이상의 정수)의 해석 대상 신호를 s(x1_n1, x2_n2, x3_n3, …, xn_nn)로서 일반화하면, 다음 식 (9)에 나타내는 비선형 방정식의 최적해를 구하게 된다.

또한 이하에서는, 설명의 편의상, 해석 대상 신호가 1차원이며, 상기 식 (4)에 나타내는 비선형 방정식의 최적해를 구하는 것으로 한다.

그런데, 상기 식 (4)에 나타내는 비선형 방정식의 최적해를 실제로 구하는 것에 있어서는 이하와 같은 방법을 취할 수 있다.

본 주파수 해석 수법에 있어서는, 진폭(A’), 주파수(f’), 및 초기 위상(φ’)의 각각에 대해서 적절한 초기값을 구하고, 이들 초기값으로부터 비선형 방정식의 해법을 사용하여 최적해에 수속시킨다. 이 비선형 문제에서는 상기 식 (4)을 비용 함수로 하는 최소화 문제로 한다. 또한 적절한 초기값은 이산 푸리에 변환(Discrete Fourier Transform;이하, DFT라고 함)이나 웨이브렛 변환 등의 임의의 주파수 변환을 행하거나, 필터링을 행함으로써 대략 짐작하거나 하는 등, 기존의 임의의 방법을 적용하여 구할 수 있다.

우선, 본 주파수 해석 수법에 있어서는, 상기 식 (4)에 있어서의 정현파 모델 신호의 위상을 구성하는 주파수 파라미터(f’, φ’)에 대해서 소위 최급강하법 을 적용하고, 주파수 파라미터(f_m’, φ_m’)를 다음 식 (10) 및 다음 식 (11)에 의해 구한다.

또한 상기 식 (10) 및 상기 식 (11)에 있어서는, 다음 식 (12)로 줄여서 나타내고 있다. 또 μ_m은 소위 감속법에 기초하는 무게 계수이며, 각 점화식에 의해 구해지는 비용 함수를 단조감소수열로 하기 위해서 적시에 0~1의 값을 취한다.

주파수 파라미터(f_m’, φ_m’)를 구할 수 있으면, 상기 식 (4)에 있어서의 정현파 모델 신호의 계수로서의 주파수 파라미터(A’)를 똑같이 구할 수 있기 때문에, 본 주파수 해석 수법에 있어서는 다음 식 (13)에 의해 주파수 파라미터(A_m’)를 수속(收束)시킨다.

본 주파수 해석 수법에 있어서는, 이들 일련의 계산을 반복함으로써, 진폭(A’), 주파수(f’), 및 초기 위상(φ’)을 고정밀도로 수속시킬 수 있다. 특히, 본 주파수 해석 수법에 있어서는, 상기 식 (4)에 있어서의 정현파 모델 신호의 위상을 구성하는 주파수 파라미터(f’, φ’)와, 계수로서의 주파수 파라미터(A’)를 별개로 구함으로써, 계산을 간편히 행할 수 있다.

그러나, 최급강하법은 비교적 넓은 범위에서 수속하지만, 1회의 반복으로는 정밀도가 낮아, 수속할 때까지 시간을 필요로 한다.

그래서, 본 주파수 해석 수법에 있어서는, 최급강하법을 적용하여 주파수 파라미터(f_m’, φ_m’)를 어느 정도까지 수속시킨 후, 추가로 소위 뉴톤법을 적용하여 고정밀도로 수속시키는 것이 바람직하다. 구체적으로는 본 주파수 해석 수법에 있어서는, 뉴톤법으로서 다음 식 (14) 및 다음 식 (15)에 나타내는 점화식에 의해 주파수 파라미터(f_m’, φ_m’)를 구한다.

단, 상기 식(14) 및 상기 식(15)에 있어서, J는 다음 식 (16)으로 하고, 다음 식 (17)로 줄여서 나타내고 있다. 또 ν_m도 μ_m과 마찬가지로 감속법에 기초하는 무게 계수이며, 적시에 0~1의 값을 취한다.

본 주파수 해석 수법에 있어서는, 상기 식 (14) 및 상기 식 (15)에 의해 주파수 파라미터(f_m’, φ_m’)를 구한 후, 최급강하법과 마찬가지로, 상기 식 (13)에 의해 주파수 파라미터(A_m’)를 수속시켜, 이 일련의 계산을 추가로 반복한다.

이와 같이 본 주파수 해석 수법에 있어서는, 최급강하법과 뉴톤법을 조합시킨 하이브리드형의 해법을 사용함으로써 고속이고 또한 고정밀도로 주파수 파라미터(A’, f’, φ’)를 추정할 수 있다.

또 본 주파수 해석 수법에 있어서는, 해석 대상 신호(x(n))가 복합 정현파인 경우라도, 차례차례 감산 처리함으로써, 근사적으로 스펙트럼 파라미터를 도출할 수 있다. 여기서, 해석 대상 신호(x(n))가 복수의 정현파의 합이며, 다음 식 (18)과 같이 나타나 있는 것으로 한다.

파스발(Parseval)의 정리로부터 해석 대상 신호(x(n))의 주파수(f_k)와 정현파 모델 신호의 주파수 파라미터(f’)가 전혀 일치하지 않는 경우, 즉, 다음 식 (19)인 경우에는 상기 식 (4)에 나타내는 비선형 방정식은 다음 식 (20)이 된다. 또 주파수 파라미터(f’, φ’)의 세트가 주파수(f_k) 및 초기 위상(φ_k)의 세트 중 어느 하나와 일치하는 경우에는, 상기 식 (4)에 나타내는 비선형 방정식은 다음 식 (21)이 된다. 또한 진폭(A_j)이 주파수 파라미터(A’)와도 일치한 경우에는, 해석 대상 신호로부터 추정 스펙트럼에 관한 주파수 성분을 완전히 소거할 수 있다. 그 때문에 최적해를 구하는 문제는, 주파수에 대해서 독립적이며, 해석 대상 신호로부터 순차 개별적으로 추정하면, 복수의 정현파로 나타나는 신호에도 응용할 수 있다.

즉, 본 주파수 해석 수법에 있어서는, 해석 대상 신호(x(n))가 복합 정현파인 경우라도, 차례차례 잔차 신호에 대해서 마찬가지로 처리를 행하여, 복수의 정현파를 추출할 수 있다.

단, 복수의 스펙트럼인 경우에는, 상기 식 (3)으로부터도 알 수 있듯이, 무한 길이를 가정하고 있기 때문에, 복수의 스펙트럼의 주파수끼리가 가까운 경우에는 합성 스펙트럼의 주기가 해석 창 길이보다 수 단 길어져, 상기 식 (17)이 만족되지 않게 되기 때문에 오차가 발생하는 경우도 있다.

음성 신호나 음향 신호 등의 신호를 복합 정현파에 의해 표현하기 위해서는, 지금까지 많은 스펙트럼수(정현파의 수)가 필요했지만, 본 주파수 해석 수법에 있어서는, 그러한 신호라도 약간의 스펙트럼수로 오차 없이 표현할 수 있다. 즉, 신호를 보다 적은 스펙트럼수로 표현 가능한 것은, 정보 압축의 용도에 유효한 것은 물론, 그 외에도 물리 현상에 관하여 파수 표현을 하는 것 같은 어프로치에 사용함으로써, 신호의 본질적인 특성도 간파할 수 있는 것을 나타내고 있다. 이와 같이 본 주파수 해석 수법은 복합 정현파의 해석 대상 신호에 대해서도 유효하며, 다양 한 분야에 응용하는 것이 가능하다.

[본 주파수 해석 수법의 유효성]

이하, 본 주파수 해석 수법의 유효성에 대해서 구체적으로 설명한다.

종래, 센서에 의해 계측된 신호를 계산기를 사용하여 해석하기 위해서는, 일반적으로 예를 들어 도 2에 도시한 바와 같이, 그 신호의 일부를 잘라내어, DFT와 같은 대표적인 조화형의 주파수 해석 수법에 의해 해석하고 있었다.

그러나, 해석 대상 신호를 잘라내어(윈도잉하여) 조화형의 해석을 행하는 것은, 해당 해석 대상 신호가 잘라낸 일부의 신호가 완전 주기로 반복되는 신호라고 의제하여 해석하는 것에 지나지 않으며, 당연히 그 주파수 특성도 원래의 스펙트럼 특성과는 완전히 일치하지 않는 것이 된다. 또 이 신호를 잘라낸 것의 영향을 회피하기 위해서, 창함수에 의해 영향을 경감시키는 것도 시도되고 있지만, 잘라낸 일부의 신호를 완전 주기로서 해석하는 것에는 변함이 없어, 본질적인 문제 해결에는 이르지 못하고 있는 것이 현상황이다.

이것에 대해서, 본 주파수 해석 수법은 비주기 신호를 상정한 주파수 해석을 목적으로 하여 정식화를 행하고 있는 점에서, 해석 창 길이와 주파수 분해능의 제약을 받지 않아 정확히 주파수와 그 파라미터를 추정할 수 있다.

또 본 주파수 해석 수법은 주파수의 추정에 대해서도 종래의 이산적인 탐색으로부터 동적 또한 연속적인 탐색이 되기 때문에, 현격히 정밀도를 향상시킬 수 있어 혁신적인 수법이다. 특히, 본 주파수 해석 수법은 계가 안정되어 있는 경우에는 현상의 일부를 관측하여 해석함으로써 정확한 특성을 추정할 수 있기 때문에, 예측 문제에 대한 응용을 기대할 수 있다.

또한, 다차원화에 관해서도, 종래의 주파수 해석 수법에 있어서는, 해석 대상 신호가 1차원인 경우와 마찬가지로 창함수의 영향을 받는다. 구체적으로는, 예를 들어 도 3에 도시한 바와 같이, 2차원의 해석 대상 신호(원화상 데이터) 중 도 3 좌측 도면 중 파선부를 잘라내어 DFT를 시행하여 해석했다고 해도, 그 잘라낸 구간을 완전 주기로 한 화상이 계속 반복되는 것을 해석한 것과 등가인 점에서, 우상측 도면에 도시한 바와 같이, 복원한 화상 데이터가 창함수의 영향을 받은 것이 되어, 본질적인 특성을 찾아내는 것은 곤란하다.

이것에 대해서 상기 식 (6)을 적용한 본 주파수 해석 수법에 있어서는, 도 3 우하측 도면에 도시한 바와 같이, 창함수의 영향이 경감되어, 본질적인 주파수특성을 찾아내고, 잘라낸 구간의 주위의 화상도 완전히 재현할 수 있다.

이상과 같이, 본 주파수 해석 수법은 비선형 방정식의 최적해를 구함으로써, 정현파 모델 신호의 주파수(f’), 진폭(A’), 및 초기 위상(φ’)을 고속이고 또한 고정밀도로 구할 수 있다. 구체적인 정밀도를 입증하기 위해서, 본원 발명자는 DFT와, DFT의 발전형 중 가장 해석 정밀도가 높다고 일컬어지는 GHA(Generalized Harmonic Analysis)를 비교 대상으로 하여 정밀도의 검증을 했다.

또한 DFT나 GHA는 1개의 해석 창 길이에 외견상 복수의 창 길이를 갖게 한 점에서, 주파수 분해능이 해석 창 길이에 의존하지만, 그 분해 주파수가 유한 길이이며, 해석 대상 신호의 주파수가 분해 주파수 이외의 주파수가 된 경우에는, 해석할 수 없고, 해석 대상 신호를 정확히 해석할 수 있는 주파수와 상이한 경우에는, 가장 가까운 분해 주파수 이외에, 그 주변에 작은 스펙트럼의 주파수(측대파 성분)가 나타나, 복수의 주파수가 출현해 버린다.

이와 같은 현상이 본 주파수 해석 수법에 있어서도 생길지 여부에 대해, 즉, 본 주파수 해석 수법의 주파수 분해능을 검증하기 위해서, 해석 창 길이를 1초(1024샘플)로 한 1차원의 매우 짧은 단일 정현파를 해석하고, 각 수법에 의해 정현파를 1개 추출하여 원래의 신호와의 자승 오차를 조사했다. 그 결과를 도 4에 도시한다.

도 4에 도시한 바와 같이, DFT에 있어서는, 기본 주파수의 정수배 이외의 주파수에 있어서의 해석 정밀도의 악화가 보여졌다. 또 GHA에 있어서는, 1Hz 이상의 주파수에서는 DFT에 비해 2~5자릿수정도의 정밀도 향상이 보여졌다. 이것에 대해서, 본 주파수 해석 수법에 있어서는, 1Hz 이상의 주파수에서는 DFT에 비해 10자릿수 이상, GHA에 비해 5자릿수 이상의 정밀도 향상이 보여졌다. 즉, 본 주파수 해석 수법은 기존의 주파수 해석 수법에 비해 10만~100억배 이상의 정밀도 향상이 보여졌다.

특히, 1Hz 이하의 주파수를 정확히 추정할 수 있다는 것은 해석 창 길이를 넘는 긴 주기 신호라도 해석 가능한 것을 나타내고 있으며, 주가 등의 다양한 변동 요인이 포함되는 신호에 대해서도, 그 스펙트럼 구조를 보다 정확히 추정 가능한 것을 나타내고 있다.

이와 같이, 본 주파수 해석 수법은 가장 해석 정밀도가 높다고 일컬어지는 GHA와 비교해도 놀랄만한 고정밀도로 해석을 행할 수 있다. 일본 국내외의 다양한 연구 사례를 보아도, 이만큼의 정밀도로 신호를 해석할 수 있는 수법은 존재하지 않아, 본 주파수 해석 수법은 앞으로 정확한 해석을 필요로 하는 다양한 분야에 대한 응용을 기대할 수 있는 수법이라고 할 수 있다.

[본 주파수 해석 수법의 구체적인 응용예]

현재, 다양한 분야에서 주파수 해석이 이용되고 있지만, 본 주파수 해석 수법은 이들 분야 외에도 파급 효과를 기대할 수 있다고 생각된다. 본 주파수 해석 수법은 푸리에 계수 파라미터를 푸리에 변환을 사용하지 않고 고정밀도로 구할 수 있는 점에서, 예를 들어 주기성(파동성)을 수반하는 음향·진동 이외의 지금까지 다양한 비정상적인 변동으로서 생각되고 있었던 현상을 주기성을 수반하는 신호로서 모델화할 수 있을 가능성도 있다. 이하, 본원 발명자가 행한 본 주파수 해석 수법의 응용예에 대해서 설명한다.

[계측 분야에 대한 응용예]

최근, 피아노 현을 해머로 두드린 경우에는, 그 피아노 현은 수직의 진동뿐만 아니라 수평의 진동도 더해져 타원궤도 상에서 회전 운동을 하고 있는 것이, 피아노 현의 근방에 레이저 계측 기기를 설치하여 해당 피아노 현과의 거리 변위를 계측함으로써 밝혀져 있다. 또 최근에는, 1개의 피아노 현은 2개의 기본 주파수를 가지고, 그들의 기본 주파수에서 교대로 요동하면서 연속적으로 변화하고 있는 것이 광학적으로 실증되어 있다.

그러나, 피아노음을 계측하여 그 음의 주파수 해석을 함으로써, 이러한 피아노 현의 기본 주파수에서의 작은 흔들림을 정확히 파악하는 것은 곤란하다. 종래 의 주파수 해석은 DFT나 고속 푸리에 변환(Fast Fourier Transform;FFT)으로 대표되는 스펙트럼 애널라이저를 사용하여 행해지는 경우가 많았지만, 일반적으로 창함수의 영향이나 주파수 분해능의 낮음에 기인하여, 피아노 현의 작은 흔들림을 해석할 수는 없었다. 이와 같이, 음만의 해석에 대해서는 광학적인 계측과 동등한 성공 사례는 아직 보고되어 있지 않다.

그래서, 본원 발명자는 본 주파수 해석 수법을 사용하여, 일반적으로 사용되고 있는 CD(Compact Disc)정도의 음질의 관측음만으로부터 피아노 현의 스펙트럼 특성의 추정이나 그 스펙트럼 주변의 흔들림을 가시화하는 것을 시도해 보았다.

구체적으로는, 도 5에 도시한 바와 같이 피아노 조율 작업중에 있어서의 음명 A4(계명 라, 440Hz)의 피아노음을 CD와 동일한 샘플링 주파수 44.1kHz로 녹음한 신호를 해석 대상 신호로 하고, 이 해석 대상 신호를 DFT 및 본 주파수 해석 수법의 각각에 의해 해석하여, 그 스펙트로그램을 평가했다. 해석 구간은 1초이며, 창 길이의 데이터 점수를 4096점(0.093밀리 초)으로 하고, 시프트 길이를 창 길이의 1/16로 했다. 이 창 길이를 사용한 경우, DFT의 주파수 분해폭은 약10.76Hz가 된다.

해석 결과를 도 6(A) 및 도 6(B)에 도시한다. 도 6(A)는 DFT에 의한 해석 결과이며, 원음 부근을 확대한 것이다. 또 도 6(B)는 본 주파수 해석 수법에 의한 해석 결과이며, 마찬가지로 원음 부근을 확대한 것이다. 또한 이들 도 6(A) 및 도 6(B)에 있어서, 우측 가로축은 시간을 나타내고, 좌측 가로축은 주파수를 나타내며, 세로축은 진폭을 나타내고 있다.

도 6(A)에 있어서는 상기 서술한 약10.76Hz의 주파수 분해폭으로 스펙트럼을 표시하고 있다. 이 도 6(A)를 보면, 440Hz 근방에 나타나 있는 스펙트럼이 가장 크기 때문에, 그 주변에 올바른 스펙트럼이 있는 것을 짐작할 수 있다. 또 430Hz 근방에 물결처럼 에너지의 증감을 나타내고 있는 스펙트럼도 확인할 수 있다. 이번의 조율시에는 타정시 이후에 외력이 작용하지 않기 때문에, 이와 같은 에너지의 증감은 일어날 수 없다고 생각하면, 440Hz 근방의 스펙트럼열 주변에서 주파수가 흔들리고 있는 것이라고 예상할 수 있지만, 주파수 분해폭 이하의 작은 변동을 해석할 수 없어, 정확히 어떠한 현상이 일어나고 있는지를 파악할 수 없다.

이것에 대해서 도 6(B)를 보면, 440Hz 근방에 나타나 있는 스펙트럼이 연속적으로 흔들리고 있는 모습을 명백히 파악할 수 있다. 이것은 피아노 현이 복수의 타원궤도 상에서 회전 운동을 하고 있는 것에 의한 주파수의 변화를 파악한 것에 지나지 않으며, DFT로는 파악할 수 없었던 주파수의 흔들림을 확인할 수 있다. 또, 본 주파수 해석 수법은 DFT에 비해 동일한 해석 창 길이라도 정확히 주파수(440Hz)를 추정하고 있는 것을 알 수 있다.

이와 같이 DFT에 있어서는, 해석 창의 영향 때문에 주파수의 진동이 존재하는 현상을 스펙트럼의 단조감소함수로 표현할 수 없지만, 본 주파수 해석 수법에 있어서는, 주파수 변동을 수반한 단조감소 스펙트럼으로 표현할 수 있다. 그 때문에, 본 주파수 해석 수법은 복잡한 주파수 변동을 수반하는 단조감소 스펙트럼의 해석에 유효하다.

이 실험에서도 분명한 바와 같이, 본 주파수 해석 수법은 CD정도의 음질의 음의 해석으로부터 광학적 계측과 동등한 성과를 얻을 수 있는 획기적인 수법이라고 할 수 있다.

[화상의 부호화]

본 주파수 해석 수법에 있어서는, 창의 영향이 적기 때문에, 스펙트럼에 측대파 성분이 전혀 나오지 않는다. 즉, 본 주파수 해석 수법은 상기 서술한 바와 같이, 복잡한 해석 대상 신호라도 약간의 스펙트럼수로 효율적으로 오차 없이 표현할 수 있다.

도 7에 2차원 신호를 DFT와 본 주파수 해석 수법의 각각에 의해 해석한 구체예를 도시한다. 도 7 좌측 도면에 도시한 바와 같이, 본래는 1개의 스펙트럼으로 표현되는 신호를 DFT에 의해 변환한 경우에는, 일반적으로 변환하여 얻어지는 스펙트럼도, 도 3 우하측 도면에 도시한 바와 같은 해석 창의 영향에 기인하여, 도 7 우상측 도면에 도시한 바와 같이 복수의 측대파 성분이 무리지어 나타나 버린다. 이것은 화상의 압축 부호화에 있어서 널리 사용되고 있는 이산 코사인 변환(Discrete Cosine Transform;DCT) 등에 있어서도 마찬가지이다. 이것에 대해서 본 주파수 해석 수법은 도 7 우하측 도면에 도시한 바와 같이, 원래의 신호의 스펙트럼을 정확히 추정할 수 있다. 정확히 해석할 수 있으면, 화상 데이터를 표현하는 스펙트럼수를 현격히 삭감할 수 있을 가능성이 있어, 화질을 떨어뜨리지 않고 비약적인 정보 압축 효과를 기대할 수 있다.

실제로 화상 압축의 일반적 수법으로서 널리 알려져 있는 JPEG(Joint Photographic Experts Group)와 JPEG2000을 비교 대상으로 하여, 도 8 중앙 도면에 도시한 2차원의 비트맵 화상 데이터를 소프트웨어 압축했다. 또한 JPEG는 DCT를 기초 해석에 이용하고 있는 수법이며, JPEG2000은 웨이브렛 변환을 기초 해석에 이용하고 있는 수법인 것은 주지이다.

각 주파수 해석 수법을 적용하여 도 8 중앙 도면에 도시한 화상 데이터를 압축한 후, 동화상 데이터에 찍혀 있는 배경 부분을 잘라낸 결과를 도 8 좌측 도면에 도시하고, 동화상 데이터에 찍허 있는 있는 인물의 의복 부분을 잘라낸 결과를 도 8 우측 도면에 도시한다. 즉, 도 8 좌측 도면에 도시한 결과는 변화가 약한 부분 화상(저주파수 신호)의 압축 결과이며, 도 8 우측 도면에 도시한 결과는 변화가 심한 부분 화상(고주파수 신호)의 압축 결과이다.

도 8 좌측 도면을 보면 5176바이트의 원부분 화상을 압축한 결과, JPEG에 있어서는 740바이트가 되고, 원부분 화상의 사이즈의 14.3%의 사이즈로 압축되었다. 또 JPEG2000에 있어서는 306바이트가 되고, 원부분 화상의 사이즈의 5.91%의 사이즈로 압축되었다. 이것에 대해서, 본 주파수 해석 수법에 있어서는 4바이트가 되고, 원부분 화상의 사이즈의 0.08%의 사이즈로까지 압축되었다. 또한 이 본 주파수 해석 수법에 의한 압축 후의 화상으로부터 원부분 화상을 복원하는데 필요한 스펙트럼수는 겨우 1개였다.

한편, 도 8 우측 도면을 보면 5176바이트의 원부분 화상을 압축한 결과, JPEG에 있어서는 820바이트가 되고, 원부분 화상의 사이즈의 15.49%의 사이즈로 압축되었다. 또 JPEG2000에 있어서는 307바이트가 되고, 원부분 화상의 사이즈의 5.93%의 사이즈로 압축되었다. 이것에 대해서 본 주파수 해석 수법에 있어서는 20 바이트가 되고, 원부분 화상의 사이즈의 0.39%의 사이즈로까지 압축되었다. 또한 이 본 주파수 해석 수법에 의한 압축 후의 화상으로부터 원부분 화상을 복원하는데 필요한 스펙트럼수는 5개였다.

이와 같이 본 주파수 해석 수법은 JPEG나 JPEG2000 등의 일반적인 수법에 비해 압축 후의 정보량이 약1/100~1/10이 되어, 다른 것을 훨씬 능가하는 압축률을 실현할 수 있다. 또 본 주파수 해석 수법은 저주파수 신호로부터 고주파수 신호까지 폭넓게 고정밀도로 신호의 특징을 특정할 수 있는 수법이기도 하다. 특히, 본 주파수 해석 수법에 있어서는, 변화가 약한 신호의 해석을 행하는 경우에는, 해석 창을 넘은 주기에 대해서도 특정할 수 있기 때문에, 배경 등의 화상을 효율적으로 부호화할 수 있다. 따라서, 본 주파수 해석 수법은 디지털 방송으로 이행하고 있는 텔레비젼 방송에 본 주파수 해석 수법을 적용함으로써, 휴대 단말기를 대상으로 한 소위 원 세그라도 하이비전 방송과 동등 혹은 그 이상의 화상 품질을 제공할 수 있을 가능성이 있다. 이와 같이 차세대의 화상/동화상 부호화 기술에 있어서의 핵심 기술이 될 수 있는 것은 매우 의미가 있다.

[경제 시계열의 예측]

대기압 등의 평형 상태를 유지시키는 작용이 있는 상황하에서, 공간상의 점에 있어서 기압의 변화가 생기면, 그 압력 변화가 파동성을 수반하여 주위에 전파된다. 이러한 압력을 상품의 매매에 있어서의 압력으로 치환하고, 경제 지표도 항상 평형 상태를 유지시키는 작용이 기능하다고 가정하면, 파동 현상과 같이 생각할 수 있다. 이와 같은 사고에 기초하면, 주가 등으로 대표되는 경제 시계열 등에도 주기적인 변동 요인을 가정할 수 있으며, 실제로 엘리어트 파동에 수반되는 경제 시계열의 주기성에 주목한 연구도 이루어지고 있다.

그러나 경제 시계열의 주기성에 관해서는 다양한 주기성이 복합적으로 조합된 모델에 의해 나타나고 있다고 생각되고 있다. 게다가, 실제의 시장에서는 그 각 주기성도 시간적으로 변동하는 복잡한 모델이 된다.

그래서, 본원 발명자는 이러한 곤란한 문제에 대해서도 본 주파수 해석 수법을 응용하는 것을 시도해 보았다. 특히, 본 주파수 해석 수법은 해석 창에 대한 의존성이 작고, 높은 주파수 분해능을 가지는 점에서, 해석 대상 신호의 일부의 구간을 잘라내어 해석하고, 그 후에 연장 묘사를 행함으로써 용이하게 관성적이며 장기적인 예측이 가능하게 된다.

과거 4년간(1997년 7월~2001년 6월)에 있어서의 실제의 닛케이 평균 주가 종가의 추이를 도 9 중, 굵은 실선으로 나타낸다. 이 주가 데이터 중, 과거 2년간(1997년 7월~1999년 6월)을 학습 기간으로 하고, 이 학습 기간의 데이터를 해석 대상 신호로 하여 본 주파수 해석 수법을 적용했다. 그리고 학습 기간 이후의 2년간(1999년 7월~2001년 6월)의 주가가 어떻게 추이할지를 추정했다. 구체적으로는 과거 2년간의 학습 기간의 주가 데이터를 해석 대상 신호로 하여 본 주파수 해석 수법을 적용하고, 복수의 정현파를 결정하는 주파수와 진폭과 초기 위상을 구하고, 이들 파라미터가 잠정적으로 변화되지 않는 것으로 하여, 그 이후 2년간의 데이터를 연장 묘사함으로써 예측 데이터를 구했다. 그 결과를 도 9 중, 가는 실선으로 나타낸다. 도 9를 보면 해석 창의 영향이 나타나지 않고 대략 정확하게 장기적인 상하 변동을 파악하고 있는 것을 확인할 수 있다.

또 본 주파수 해석 수법의 예측 가능 시기를 추정하기 위해서, 1991년 1월 4일부터 2005년 8월 11일까지의 약15년분의 실제의 닛케이 평균 주가 종가의 데이터로부터, 학습 기간으로서의 초기 2년간의 데이터와 평가를 위한 종기 2년간의 데이터를 제외한 약11년간의 구간에서의 데이터를 사용하여, 예측 결과의 검증을 했다. 구체적으로는, 해석 기간을 일정하게 1993년 2월 1일부터 2003년 7월 9일까지 1일씩 이동시키면서 도 9와 마찬가지로 본 주파수 해석 수법을 적용하여 예측 데이터를 구하고, 과거 2년간의 데이터에 있어서의 각 시점에 대해서, 해당 각 시점 이후 2년간의 실제의 주가 데이터와 예측 데이터의 오차의 분포를 구했다. 이 결과를 도 10에 도시한다.

도 10을 보면 예측 오차가 10% 이하인 영역이 많은 것을 짐작할 수 있다. 또한 1997년 전후의 기간이나 2001년 전후의 기간에서 오차가 커지고 있는 것은 전자 기간에서는 1997년 7월에 발생한 아시아 통화 위기에 의해, 후자 기간에서는 2001년 9월에 발생한 미국 동시 다발 테러에 의해, 주가에 영향을 주어, 관성적인 변동을 유지할 수 없게 되었기 때문이라고 생각된다. 이와 같은 대사건이 발생하여 돌발적인 변동이 있었던 직후에서는 오차가 커지는 경향이 있지만, 그 후는 다시 오차가 작아지는 것도 확인할 수 있다. 이것은 해석 기간을 2년으로 하고 있기 때문에 사건 발생으로부터 어느 정도의 기간경과까지의 예측에서는 사건 발생 전의 데이터의 주기성을 끌어오지 않아, 다시 주기성이 안정되기 시작할 무렵에는 예측 결과에 정확한 주기성이 반영되기 때문이라고 생각된다. 이러한 점에서, 본 주파 수 해석 수법에 있어서는, 2년정도의 해석 기간의 스펙트럼 구성을 정확히 추정하고, 그 시점에서 그 후 2년간의 변동을 장기적으로 예측한 경우라도, 예측하기 어려운 사건이 발생하지 않으면 예측 오차를 작게 억제할 수 있는 것을 알 수 있었다.

이와 같이, 본 주파수 해석 수법은 매우 높은 주파수 분해능을 가지는 점에서, 일부의 구간을 해석하면, 그 신호의 특성을 본질적으로 간파할 수 있을 가능성이 있다. 종래, 이 분야에서는 소위 랜덤 워크로 대표되는 현상의 모델화, 유전적 알고리즘(Genetic Algorithm;GA)이나 뉴럴 네트워크, 또한 에이전트 어프로치 등으로 대표되는 인공지능적인 어프로치 등, 다양한 방법이 시도되고 있지만, 이 정도의 장기의 예측이 행해진 사례는 아직 보고되어 있지 않다. 이 사례로부터도 알 수 있는 바와 같이, 본 주파수 해석 수법은 다른 수법을 크게 능가하는 높은 해석 정밀도를 가지며, 경제 지표에 대한 응용 분야에서만 보아도, 주가의 중기 ·장기 예측, 금융 정책에 있어서의 경제 지표의 영향 예측, 투자 계획, 정책 결정 등, 다양한 리스크 관리에 응용 가능하다고 할 수 있다.

[본 주파수 해석 수법의 효과]

이상에서 설명한 바와 같이, 본 주파수 해석 수법은 비선형 방정식의 최적해를 구함으로써, 주파수 분해능이 해석 창 길이에 의존하지 않고, 매우 높은 신호 해석 정밀도를 실현할 수 있다. 이와 같은 본 주파수 해석 수법은 다양한 공학계의 분야에서 기본 기술에 관련되기 때문에 그 이용 가치가 매우 크다. 예를 들어 본 주파수 해석 수법은 높은 주파수 분해능을 가지기 때문에 주파수 해석을 필요로 하는 기존 분야는 물론, DFT로 대표되는 조화형의 주파수 해석으로는 한계가 있었던 응용 분야에 적용함으로써, 해석 효과를 대폭 개선할 수 있다는 전망이 있다. 또 본 주파수 해석 수법은 해석 창에 의존하지 않는 점에서, 연속적으로 변동하는 신호의 일부를 관측함으로써, 신호 전체의 특성을 파악할 수 있기 때문에 예측 문제에 대한 응용 등도 가능하다.

또한 본 발명은 상기 서술한 실시형태에 한정되는 것은 아니다. 예를 들어 상기 서술한 실시형태에서는 신호 해석 장치에 의해 소프트웨어에 의한 주파수 해석을 행하는 것으로 하여 설명했지만, 본 발명은 본 주파수 해석 수법의 알고리즘을 실장한 DSP(Digital Signal Processor) 등, 곱합 연산을 행하는 것이 가능하면 하드웨어에 의해서도 실현할 수 있다.

이와 같이 본 발명은 그 취지를 일탈하지 않는 범위에서 적당히 변경이 가능한 것은 말할 필요도 없다.

Claims

입력된 신호의 주파수 해석을 행하는 신호 해석 방법에 있어서,

해석 대상이 되는 해석 대상 신호를 신호 해석 장치에 입력하고, 메모리에 기억시키는 신호 입력 공정과,

상기 신호 해석 장치의 연산 수단이 상기 신호 입력 공정에서 입력되어 상기 메모리에 기억된 상기 해석 대상 신호를 독출하고, 상기 해석 대상 신호와, 주파수(f’) 및 초기 위상(φ’)을 사용한 위상과 진폭(A’)에 의해 나타나는 정현파 모델 신호의 차의 자승합이 최소값이 되는 것 같은 상기 주파수(f’), 상기 진폭(A’), 및 상기 초기 위상(φ’)을 구하는 파라미터 산출 공정과,

상기 연산 수단이 상기 파라미터 산출 공정에서 구해진 상기 주파수(f’), 상기 진폭(A’), 및 상기 초기 위상(φ’)에 기초하는 해석 결과를 해석 결과 출력 수단에 출력하는 해석 결과 출력 공정을 구비하고,

상기 파라미터 산출 공정에서는 상기 연산 수단이,

상기 해석 대상 신호가 1차원의 해석 대상 신호(s(x_n))인 경우, 하기 수학식 (1)의 우변이 최소값이 되는 것 같은 주파수(f_x’), 진폭(A’), 및 초기 위상(φ’)을 구하고,

상기 해석 대상 신호가 2차원의 해석 대상 신호(s(x_m, y_n))인 경우, 하기 수학식 (2)의 우변이 최소값이 되는 것 같은 주파수(f_x’, f_y’), 진폭(A’), 및 초기 위상(φ’)을 구하고,

상기 해석 대상 신호가 3차원의 해석 대상 신호(s(x_l, y_m, z_n))인 경우, 하기 수학식 (3)의 우변이 최소값이 되는 것 같은 주파수(f_x’, f_y’, f_z’), 진폭(A’), 및 초기 위상(φ’)을 구하고,

상기 해석 대상 신호가 4차원의 해석 대상 신호(s(x_k, y_l, z_m, w_n))인 경우, 하기 수학식 (4)의 우변이 최소값이 되는 것 같은 주파수(f_x’, f_y’, f_z’, f_w’), 진폭(A’), 및 초기 위상(φ’)을 구하고,

상기 해석 대상 신호가 n차원(n은 1 이상의 정수)의 해석 대상 신호(s(x1_n1, x2_n2, x3_n3, …, xn_nn))인 경우, 하기 수학식 (5)의 우변이 최소값이 되는 것 같은 주파수(f_x1’, f_x2’, f_x3’, …, f_xn’), 진폭(A’), 및 초기 위상(φ’)을 구하는 것을 특징으로 하는 신호 해석 방법.

(수학식 1)

(수학식 2)

(수학식 3)

(수학식 4)

(수학식 5)
삭제
제 1 항에 있어서,

상기 파라미터 산출 공정에서는 상기 연산 수단이 상기 주파수(f’), 상기 진폭(A’), 및 상기 초기 위상(φ’)의 각각에 대해서 초기값을 구하고, 구한 초기값으로부터 비선형 방정식의 최적해에 수속시켜 상기 주파수(f’), 상기 진폭(A’), 및 상기 초기 위상(φ’)을 구하는 것을 특징으로 하는 신호 해석 방법.
제 3 항에 있어서,

상기 파라미터 산출 공정은,

상기 연산 수단이 상기 정현파 모델 신호의 위상을 구성하는 상기 주파수(f’) 및 상기 초기 위상(φ’)에 대해서 최급강하법을 적용하여 수속시켜, 해당 주파수(f’) 및 해당 초기 위상(φ’)을 구하는 제1 산출 공정과,

상기 연산 수단이 상기 제1 산출 공정에서 상기 주파수(f’) 및 상기 초기 위상(φ’)을 구한 후, 상기 정현파 모델 신호의 계수로서의 상기 진폭(A’)에 대해서 최급강하법을 적용하여 수속시켜, 해당 진폭(A’)을 구하는 제2 산출 공정을 가지는 것을 특징으로 하는 신호 해석 방법.
제 4 항에 있어서,

상기 제1 산출 공정에서는 상기 연산 수단이 상기 최급강하법을 적용하여 상기 주파수(f’) 및 상기 초기 위상(φ’)을 수속시킨 후, 추가로 뉴톤법을 적용하여 상기 주파수(f’) 및 상기 초기 위상(φ’)을 수속시키는 것을 특징으로 하는 신호 해석 방법.
입력된 신호의 주파수 해석을 행하는 신호 해석 장치에 있어서,

해석 대상이 되는 해석 대상 신호를 입력하는 신호 입력 수단과,

상기 신호 입력 수단을 통하여 입력된 상기 해석 대상 신호와, 주파수(f’) 및 초기 위상(φ’)을 사용한 위상과 진폭(A’)에 의해 나타나는 정현파 모델 신호의 차의 자승합이 최소값이 되는 것 같은 상기 주파수(f’), 상기 진폭(A’), 및 상기 초기 위상(φ’)을 구하는 파라미터 산출 수단과,

상기 파라미터 산출 수단에 의해 구해진 상기 주파수(f’), 상기 진폭(A’), 및 상기 초기 위상(φ’)에 기초하는 해석 결과를 출력하는 해석 결과 출력 수단을 구비하고,

상기 파라미터 산출 수단은,

상기 해석 대상 신호가 1차원의 해석 대상 신호(s(x_n))인 경우, 하기 수학식 (6)의 우변이 최소값이 되는 것 같은 주파수(f_x’), 진폭(A’), 및 초기 위상(φ’)을 구하고,

상기 해석 대상 신호가 2차원의 해석 대상 신호(s(x_m, y_n))인 경우, 하기 수학식 (7)의 우변이 최소값이 되는 것 같은 주파수(f_x’, f_y’), 진폭(A’), 및 초기 위상(φ’)을 구하고,

상기 해석 대상 신호가 3차원의 해석 대상 신호(s(x_l, y_m, z_n))인 경우, 하기 수학식 (8)의 우변이 최소값이 되는 것 같은 주파수(f_x’, f_y’, f_z’), 진폭(A’), 및 초기 위상(φ’)을 구하고,

상기 해석 대상 신호가 4차원의 해석 대상 신호(s(x_k, y_l, z_m, w_n))인 경우, 하기 수학식 (9)의 우변이 최소값이 되는 것 같은 주파수(f_x’, f_y’, f_z’, f_w’), 진폭(A’), 및 초기 위상(φ’)을 구하고,

상기 해석 대상 신호가 n차원(n은 1 이상의 정수)의 해석 대상 신호(s(x1_n1, x2_n2, x3_n3, …, xn_nn))인 경우, 하기 수학식 (10)의 우변이 최소값이 되는 것 같은 주파수(f_x1’, f_x2’, f_x3’, …, f_xn’), 진폭(A’), 및 초기 위상(φ’)을 구하는 것을 특징으로 하는 신호 해석 장치.

(수학식 6)

(수학식 7)

(수학식 8)

(수학식 9)

(수학식 10)
입력된 신호의 주파수 해석을 행하는 컴퓨터 실행 가능한 신호 해석 프로그램을 내장한 컴퓨터 판독가능한 매체에 있어서,

상기 컴퓨터를,

해석 대상이 되는 해석 대상 신호를 입력하는 신호 입력 수단,

상기 신호 입력 수단을 통하여 입력된 상기 해석 대상 신호와, 주파수(f’) 및 초기 위상(φ’)을 사용한 위상과 진폭(A’)에 의해 나타나는 정현파 모델 신호의 차의 자승합이 최소값이 되는 것 같은 상기 주파수(f’), 상기 진폭(A’), 및 상기 초기 위상(φ’)을 구하는 파라미터 산출 수단, 및

상기 파라미터 산출 수단에 의해 구해진 상기 주파수(f’), 상기 진폭(A’), 및 상기 초기 위상(φ’)에 기초하는 해석 결과를 출력하는 해석 결과 출력 수단으로서 기능시키고,

상기 파라미터 산출 수단에,

상기 해석 대상 신호가 1차원의 해석 대상 신호(s(x_n))인 경우, 하기 수학식 (11)의 우변이 최소값이 되는 것 같은 주파수(f_x’), 진폭(A’), 및 초기 위상(φ’)을 구하게 하고,

상기 해석 대상 신호가 2차원의 해석 대상 신호(s(x_m, y_n))인 경우, 하기 수학식 (12)의 우변이 최소값이 되는 것 같은 주파수(f_x’, f_y’), 진폭(A’), 및 초기 위상(φ’)을 구하게 하고,

상기 해석 대상 신호가 3차원의 해석 대상 신호(s(x_l, y_m, z_n))인 경우, 하기 수학식 (13)의 우변이 최소값이 되는 것 같은 주파수(f_x’, f_y’, f_z’), 진폭(A’), 및 초기 위상(φ’)을 구하게 하고,

상기 해석 대상 신호가 4차원의 해석 대상 신호(s(x_k, y_l, z_m, w_n))인 경우, 하기 수학식 (14)의 우변이 최소값이 되는 것 같은 주파수(f_x’, f_y’, f_z’, f_w’), 진폭(A’), 및 초기 위상(φ’)을 구하게 하고,

상기 해석 대상 신호가 n차원(n은 1 이상의 정수)의 해석 대상 신호(s(x1_n1, x2_n2, x3_n3, …, xn_nn))인 경우, 하기 수학식 (15)의 우변이 최소값이 되는 것 같은 주파수(f_x1’, f_x2’, f_x3’, …, f_xn’), 진폭(A’), 및 초기 위상(φ’)을 구하게 하는 것을 특징으로 하는 신호 해석 프로그램을 내장한 컴퓨터 판독가능한 매체.

(수학식 11)

(수학식 12)

(수학식 13)

(수학식 14)

(수학식 15)