KR100817092B1 - 중첩계측오차를 보정하기 위한 계측시스템 및 이를 이용한계측방법 - Google Patents

Abstract

고차 회귀분석모형에 따른 중첩계측오차를 감안하여 실제 참값에 가까운 계측값을 도출할 수 있는 계측시스템 및 계측방법을 제시한다. 그 시스템 및 방법은 최적실험계획법을 이용하여 주어진 회귀분석모형과 계측할 샷의 수가 정해졌을 경우에 계측할 샷의 최적의 위치를 결정하는 방법과, 신뢰구간의 추정기법을 이용하여 주어진 회귀분석모형과 공정산포에 따른 계측할 샷의 최적의 수를 결정 하는 방법을 제공한다. 또한, 위의 두 가지 방법에 의해 공정의 변화에 따라 동적으로 계측할 샷의 수와 위치를 변경시킬 수 있는 동적계측 표본추출 방법을 소개한다. 나아가, 오류성 데이터를 검출하거나 계측된 데이터가 유실될 때, 강인회귀분석기법과 더불어 이를 필터링하는 방법을 제시한다.

최적실험계획법, 신뢰구간 추정, 동적계측 표본추출, 오류성 데이터

Description

중첩계측오차를 보정하기 위한 계측시스템 및 이를 이용한 계측방법{Measuring system for correcting overlay measurement error and method of measurement using the system}

도 1은 본 발명의 최적실험계획법을 이용하여 계측하고자 하는 샷의 위치를 최적화하는 절차를 나타낸 흐름도이다.

도 2는 D-최적기준값과 분석된 잔차의 (최대값/최소값)과의 관계를 나타내는 그래프이고, 도 3은 D-최적기준값과 분석된 잔차의 표준편차와의 관계를 나타낸 그래프이다.

도 4는 본 발명에 의한 동적 계측 표본추출 절차를 나타내는 흐름도이다.

도 5는 계측을 하기로 했던 11개의 샷중 1개 샷에 대한 계측 데이터가 유실된 경우를 나타내는 도표(diagram)이고,

도 6은 1개의 유실된 계측 데이터를 제외한 나머지 10개의 계측 데이터만을 이용한 고차 회귀분석에서의 잔차를 나타낸 도표이며,

도 7은 본 발명에 의해 유실된 데이터를 복원 한 후 10개 샷에 대한 계측 데이터와 1개의 복원 데이터를 이용한 회귀분석 결과 얻어진 잔차를 나타낸 도표이다.

도 8a 및 도 8b는 오류성 데이터가 포함되지 않은 경우에 각각 최적화된 24개의 샷과 전체 샷에 대하여 중첩위치오차를 추정한 도표이다.

도 9a 및 9b는 고의로 오류성 데이터를 포함시킨 경우에 각각 최적화된 24개의 샷과 전체 샷에 대하여 중첩위치오차를 추정한 도표이다.

도 10은 오류성 데이터를 본 발명의 복원방법에 의해 복원한 경우에 최적화된 24개의 샷의 분석결과를 전체 샷에 대하여 중첩위치오차를 추정한 도표이다.

도 11은 도 9a의 오류성 데이터가 포함된 계측 데이터에 강인회귀분석기법을 적용한 결과를 나타낸 도표이다.

본 발명은 계측시스템 및 이를 이용한 계측방법에 관한 것으로, 특히 고차 회귀분석모형(high order regression analysis model)을 이용하여 계측되지 않은 샷에 대한 중첩위치오차를 정확히 도출할 수 있는 계측시스템 및 이를 이용한 계측방법에 관한 것이다.

반도체소자와 같은 제품(이하, 소자라고 함)을 제조하기 위한 계측시스템은 다양한 형태의 계측값을 측정한다. 여기서는 노광공정(photo-lithographic process)을 예로 들기로 한다. 노광공정은 반도체소자를 제조하기 위한 핵심공정으로서, 웨이퍼에 도포된 화학물질 위에 동일한 패턴을 반복적으로 형성시키는 것이다. 일반적으로 한번의 노광을 통해 형성되는 패턴의 단위를 샷(shot)이라 부르며, 300mm 웨이퍼의 경우 한 장의 웨이퍼에 많게는 100개 이상의 샷이 노광된다. 이때 노광되는 각 샷은 이전에 형성된 막질(layer)에서 형성되어 있는 샷 위에 정확히 중첩되어야 한다.

노광된 샷이 이전의 막질의 샷에 대해 얼마만큼의 위치적 오차를 가지고 형성되었는가 하는 것은 중첩위치오차(overlay alignment error)로 계측된다. 이렇게 계측된 중첩위치오차가 원하는 범위를 벗어나게 되면 현재 진행된 로트(lot)에 대한 공정을 다시 진행해야 한다. 또한 상기 오차는 후속의 로트에 대한 공정을 진행할 때 각 샷을 이전의 막질의 샷에 정확히 중첩시키기 위해 얼마만큼의 위치보정이 필요한지를 결정하는데 사용된다.

반도체소자를 생산하기 위한 노광공정은 일반적으로 생산의 효율성을 위해 모든 샷에 대해 중첩위치오차를 계측하지 않고, 현재의 로트 내에서 선택된 웨이퍼의 일부 샷들에 대해서만 중첩위치오차를 계측한다. 그후, 계측된 일부 샷들의 중첩위치오차를 이용하여 웨이퍼 내의 모든 샷(또는 전체 샷)들에 대한 중첩위치오차를 추정하는 방법이 사용된다.

중첩위치오차를 계측하기 위하여 일반적으로 사용되는 방법이 회귀분석방법이며, 이를 위해 중첩위치오차를 각 샷들의 웨이퍼 내에서의 위치의 함수로 나타낸 회귀분석모형을 사용하고 있다. 노광설비업체들은 특정한 형태의 회귀분석모형을 설정하고, 상기 회귀분석모형의 회귀계수(coefficient of regression)를 설비 입력값으로 받아들여 위치보정에 활용하고, 상기 회귀계수는 웨이퍼 내의 각각의 샷에 필요한 위치보정량(amount of correction of position)을 계산하여 이에 따라 적절한 보정을 할 수 있도록 한다. 따라서 노광공정 후에 각 샷의 중첩위치오차를 정확히 나타낼 수 있는 회귀계수를 얻어내는 것은 노광공정에 있어 핵심적인 과정이다.

한편, 현재의 중첩위치오차 계측설비는 각각의 소자의 제조공정 단계에 따라 계측할 샷의 수와 위치를 미리 설정해주어야 한다. 이에 의해 상기 설비는 해당 샷들을 계측하여 원본데이터(raw data)의 형태 혹은 미리 정해진 형태의 회귀분석모형에 의해 분석된 회귀계수들을 출력하도록 되어 있다. 그런데, 위와 같은 설비는 실제 생산라인에서 계측할 샷의 수나 위치를 수시로 변경해가면서 공정을 운영하기는 매우 어렵다.

또한, 대부분의 반도체 생산업체는 중첩위치오차 보정을 위해 1차(first order) 회귀분석모형을 사용하고 있다. 그런데, 1차 회귀분석모형은 계측할 샷의 수나 위치가 분석 신뢰도에 크게 영향을 미치지 않기 때문에, 계측할 샷의 수나 위치의 최적화에 대한 연구 결과는 거의 없다. 또한, 몇몇 연구들은 여러 가지 조합으로 계측할 샷의 수와 위치를 변경시켜가면서 계측한 후 이들 데이터를 분석하여 최적의 계측 샷의 수와 위치를 경험적으로 결정하였다. 하지만, 경험적인 방법은 다양한 공정의 형태나 상황에 맞추어 활용되기는 곤란하다.

반도체소자의 크기가 점점 작아짐(shrink)에 됨에 따라, 요구되는 중첩위치오차는 점점 작아지고 있다. 이에 따라, 종래의 1차 회귀분석모형을 이용한 분석결과만으로는 요구되는 중첩위치오차의 보정을 위한 정밀도를 만족시킬 수 없다. 각 노광설비의 생산업체는 광원(light source)과 하드웨어를 업그레이드(upgrade)하여 설비에서 형성할 수 있는 회로의 선폭(line width)을 미세화하는 것과 동시에 고차 회귀분석모형에 의한 정밀한 보정기능이 장착된 노광설비를 개발하였다. 즉, 위와 같은 정밀한 보정기능을 활용하기 위해서는 중첩위치오차에 대한 고차 회귀분석모형에 의한 분석기법이 필요하게 되었다.

고차 회귀분석 기법은 계측할 샷의 수와 위치에 따라 분석 신뢰도가 많은 영향을 받는다. 상기 기법은 1차 회귀분석에 비해 많은 수의 샷의 계측이 필요하기 때문에, 가능한 적은 수의 샷을 계측하여 높은 분석 신뢰도를 얻기 위해서 계측할 샷 위치의 최적화가 요구된다. 계측할 샷의 위치를 최적화함으로써 같은 수의 샷을 계측하더라도 최대의 분석 신뢰도를 얻을 수 있다.

또한, 반도체소자의 제조공정이 진행되는 상황에 따라서 분석 신뢰도의 차이가 발생한다. 즉, 정밀한 중첩위치오차 보정을 위해 필요한 분석 신뢰도가 정해져 있을 경우, 상기 공정이 안정적으로 운영이 되고 있는 상황이면 해당 분석 신뢰도 얻기 위해 필요한 계측할 샷의 수는 상대적으로 작아지며, 상기 공정이 불안정하게 운영되고 있는 상황이면 반대로 커진다.

나아가, 가능한 적은 수의 샷을 계측하며 중첩위치오차를 정밀하게 보정하는 시스템을 안정적으로 운영하기 위해서는 오류성 데이터의 검출 및 보완(필터링이라고 함)이 필요하다. 회귀분석모형의 차수가 높아질수록 개개의 계측된 데이터가 회귀분석에 미치는 영향력은 커지게 되며, 계측된 샷의 수가 작을 경우에는 그 영향력이 더욱 증가한다. 따라서 오류성 데이터가 필터링(filtering)되지 않은 상태에서 그대로 회귀분석에 이용된다면, 분석결과에 커다란 왜곡(distortion)이 발생한다. 상기 왜곡은 이후 진행되는 로트 들에 대한 중첩위치오차에서의 보정의 정 확성을 급격하게 떨어뜨린다. 오류성 데이터는 공정의 진행 중에 웨이퍼상의 불순물(particle)이나 다른 공정의 영향으로 인한 오버레이 마크(overlay mark)의 손상 등으로 항상 발생할 수 있다. 이에 따라, 상기 오류성 데이터를 효과적으로 필터링하는 것은 중첩위치오차의 정밀한 보정시스템의 안정적 운영을 위해 필수불가결한 것이다.

일반적인 회귀분석에서 사용되는 오류성 데이터는 데이터의 절대적 크기를 관측하여 검출된다. 즉, 상기 데이터의 크기가 다른 데이터에 비해 비정상적으로 크거나 회귀분석 이후의 상대적인 잔차(standard error of an estimated value)가 비정상적으로 크면 이를 오류성 데이터를 검출해내는 방법이 사용되고 있다.

오류성 데이터가 검출되면 해당 데이터를 제외한 후 나머지 데이터를 최소제곱법을 이용한 회귀분석을 다시 실시한다. 그러나, 최소제곱법에 의한 오류성 데이터 검출방법은 오류성 데이터의 검출 기준이 잘못되어 오류성 데이터를 제대로 검출해내지 못하거나 정상적인 데이터가 오류성 데이터로 오인되어 제거될 가능성이 있다. 또, 오류성 데이터로 검출되어 제외된 데이터는 계측된 샷의 주변 샷들에 대한 중첩위치오차 추정값의 왜곡을 일으킬 수 있으므로, 종래의 방법에 의해 오류성 데이터를 검출해내는 것만으로 정확한 데이터를 확보할 수 없다.

따라서, 본 발명이 이루고자 하는 기술적 과제는 고차 회귀분석모형에 따른 중첩계측오차를 감안하여 실제 참값에 가까운 계측값을 도출할 수 있는 계측시스템을 제공하는 데 있다.

또한, 본 발명이 이루고자 하는 다른 기술적 과제는 상기 계측시스템을 이용한 계측방법을 제공하는 데 있다.

상기 기술적 과제를 달성하기 위한 본 발명에 의한 계측시스템의 하나의 사례는 반복적인 계측값에 대한 중첩계측오차를 구하기 위한 2차 이상의 회귀분석을 위한 함수에 있어서, 상기 함수의 행렬인 X에 대한 (X^TX)를 최대화하는 최적기준을 수립한다.

상기 최적기준은 상기 회귀분석모형의 함수에서 주어지는 회귀계수의 추정치의 신뢰구간의 부피를 최소화하는 D-최적기준일 수 있다.

본 발명의 바람직한 실시예에 있어서, 상기 중첩계측오차는 노광공정에서의 중첩위치오차일 수 있고, 상기 중첩위치오차는 상기 회귀분석모형과 계측하고자 하는 n개의 샷의 수가 정해져 있을 때, 계측할 수 있는 m개의 샷 중에서 n개의 샷들로 이루어진 조합 중에서 det(X^TX)가 최대인 것을 선택하는 것에 의해 최적화될 수 있다.

상기 기술적 과제를 달성하기 위한 본 발명에 의한 계측시스템의 다른 사례는 반복적인 계측값에 대한 중첩계측오차를 구하기 위한 2차 이상의 회귀분석을 위한 함수에 있어서, 상기 중첩계측오차의 추정치의 신뢰도가 100(1-α)%인 예측구간 길이가 2w보다 작게 될 확률을 100(1-γ)%로 보장하는 최소의 계측할 대상을 선정한다.

상기 기술적 과제를 달성하기 위한 본 발명에 의한 계측시스템의 또 다른 사례는 반복적인 계측값에 대한 중첩계측오차를 구하기 위한 2차 이상의 회귀분석을 위한 함수에 있어서, 상기 함수의 행렬인 X에 대한 (X^TX)를 최대화하는 최적기준을 수립하고, 상기 중첩계측오차의 추정치의 신뢰도가 100(1-α)%인 예측구간 길이가 2w보다 작게 될 확률을 100(1-γ)%로 보장하는 최소의 계측할 대상을 선정한다.

상기 다른 기술적 과제를 달성하기 위한 본 발명에 의한 계측방법의 하나의 사례는 먼저 계측할 수 있는 m개의 계측대상에서 계측할 n개의 계측대상을 임의로 선정한다. 그후, 상기 n개의 계측대상으로부터 2차 이상의 회귀분석모형의 함수의 행렬인 X에 대한 (X^TX)값을 구한다. 상기 n개의 계측대상 중의 하나를 선정되지 않은 (m-n)개의 계측대상과 교체하여 새로운 행렬인 X₁에 대한 (X₁ ^TX₁)을 구한다. 만일, 상기 (X₁ ^TX₁)이 상기 (X^TX)보다 크면, 상기 (X₁ ^TX₁)과 (X^TX)의 차이가 가장 큰 경우의 상기 선정되지 않은 (m-n)개의 계측대상 중의 하나를 상기 선정된 n개의 하나를 대체하고, 만일, 상기 (X₁ ^TX₁)이 상기 (X^TX)보다 작으면, 상기 (X^TX)을 이루는 상기 선정된 n개의 계측대상을 결정하는 단계를 포함한다.

상기 계측대상은 노광공정의 샷일 수 있다.

본 발명의 바람직한 계측방법에 있어서, 상기 (X^TX)이 커지면 분석된 계측 값에 대한 잔차의 최대값과 최소값이 작아지고, 상기 (X^TX)이 커지면 분석된 계측값에 대한 잔차의 표준편차가 작아질 수 있다.

상기 다른 기술적 과제를 달성하기 위한 본 발명에 의한 계측방법의 다른 사례는 먼저 반복적인 계측값에 대한 중첩계측오차를 구하기 위한 2차 이상의 회귀분석을 위한 함수에 있어서, 유실된 데이터 또는 오류성 데이터를 확인한다. 이어서, 상기 데이터들을 필터링하여 복원한다. 마지막으로, 상기 복원된 데이터를 이용하여, 상기 2차 이상의 회귀분석을 실시한다.

상기 계측값은 노광공정의 샷의 위치일 수 있다.

상기 복원하는 단계는 상기 데이터들을 제거한 후 1차 회귀분석을 실시하여, 상기 1차 회귀분석의 데이터로 상기 유실된 데이터 또는 오류성 데이터를 대체하는 단계를 포함할 수 있다.

또한, 상기 복원하는 단계는, 최소제곱법에 의해 회귀계수를 구하는 단계와,

상기 회귀계수를 가중함수에 의해 갱신한 회귀계수를 구하는 단계를 포함할 수 있다. 이때, 만일 상기 갱신하기 전의 회귀계수와 갱신한 후의 회귀계수의 차이가 사전에 정해진 기준치보다 크면, 갱신된 회귀계수를 구하는 과정을 반복하고, 만일 상기 갱신하기 전의 회귀계수와 갱신한 후의 회귀계수의 차이가 사전에 정해진 기준치보다 작으면, 갱신된 회귀계수를 상기 2차 이상의 회귀분석을 위한 함수의 회귀계수로 결정하는 단계를 포함할 수 있다.

이하 첨부된 도면을 참조하면서 본 발명의 바람직한 실시예를 상세히 설명한다. 다음에서 설명되는 실시예는 여러 가지 다른 형태로 변형될 수 있으며, 본 발명의 범위가 아래에서 상술되는 실시예에 한정되는 것은 아니다. 본 발명의 실시예들은 당분야에서 통상의 지식을 가진 자에게 본 발명을 보다 완전하게 설명하기 위하여 제공되는 것이다. 실시예 전체에 걸쳐서 동일한 참조부호는 동일한 구성요소를 나타낸다.

본 발명의 실시예는 고차 회귀분석모형에 따른 중첩계측오차를 감안한 계측값을 도출할 수 있는 계측시스템 및 계측방법을 제공할 것이다. 본 발명의 실시예는 다음과 같은 순서를 통하여 소개될 것이다.

먼저, 최적실험계획법을 이용하여 주어진 회귀분석모형과 계측할 샷의 수가 정해졌을 경우에 계측할 샷의 최적의 위치를 결정하는 방법을 설명한다. 그후, 신뢰구간(confidence interval)의 추정기법(estimating method)을 이용하여 주어진 회귀분석모형과 공정산포(process dispersion)에 따른 계측할 샷의 최적의 수를 결정 하는 방법을 기술한다. 그리고, 위의 두 가지 방법을 접목시켜 공정의 변화에 따라 동적으로 계측할 샷의 수와 위치를 변경시킬 수 있는 동적(dynamic) 계측 표본추출(sampling) 방법을 소개한다. 이후에, 오류성 데이터를 검출하거나 계측된 데이터가 유실될 때 데이터의 복원방법을 설명하고, 강인회귀분석(robust regression analysis)기법을 이용하여 오류성 데이터 필터링하는 방법을 제시할 것이다.

본 발명의 실시예에서 제시하는 것은 계측값의 중첩계측오차의 하나의 예 로써 중첩위치오차를 처리하는 것이다. 이에 따라, 본 발명의 범주에 속하는 범위에서 다양한 형태의 계측값에 대하여서도 본 발명의 특징이 적용될 수 있을 것이다. 예컨대, 본 발명의 실시예에서는 노광공정에서의 중첩위치오차를 처리하는 것을 제공하겠으나, 다른 공정에서의 다른 계측값, 예컨대 두께에 대해서도 동일하게 적용될 수 있다.

<최적실험계획법을 이용한 계측할 샷 위치의 최적화 방법>

여기서 제시하고자 하는 최적실험계획법에 의한 계측할 샷 위치의 최적화 방법은, 중첩위치오차 분석에 사용할 회귀분석모형과 계측할 샷의 수가 결정되어 있을 때, 계측할 샷의 최적의 위치를 결정하는 방법이다.

- 최적실험계획법

본 발명의 실시예에서 제공하는 회귀분석모형은 다음의 식(1)과 같다.

… 식(1)

여기서, dx_i와 dy_i는 각각 i번째 샷에서 계측된 x, y방향의 중첩위치오차이고, x_i와 y_i는 i번째 샷의 웨이퍼상의 x, y좌표 상의 위치이다. 그리고, F(x_i, y_i)는 [f₁(x_i, y_i) f₂(x_i, y_i) … f_m(x_i, y_i)]의 벡터 함수로 회귀분석모형의 차수를 나타내는 함수이다. K_x는 [k_x1 k_x2 … k_xm]^T인 회귀계수이고, K_y는 [k_y1 k_y2 … k_ym]^T인 회귀계수이다. ε_xi와 ε_yi는 각각 i번째 샷에서 계측된 중첩위치오차의 잔차이며, 이때 각 각은 평균이 0, 분산(variance)이 σ_x ², σ_y ²인 정규분포를 따른다고 가정하였다. 그리고, n은 실험계획에 포함된 실험점(experimental point)의 개수이다.

식(1)을 행렬식 형태로 나타내면 다음의 식(2)이 된다.

… 식(2)

이때, D_x는 [d_x1 d_x2 … d_xn]^T이고, D_y는 [d_y1 d_y2 … d_yn]^T이며, E_x는 [ε_x1 ε_x2 … ε_xn]^T이고, E_y는 [ε_y1 ε_y2 … ε_yn]^T이다. 또한, X는 i번째 열(row)이 F(x_i, y_i)인 행렬이다.

이때, 식(2)의 최소제곱추정량(least squares estimator)에 의한 회귀계수 추정치인

의 분산-공분산 행렬(variance-covariance matrix)은 다음 식(3)으로 주어진다.

… 식(3)

또한, (x, y) 위치의 샷에 대한 중첩위치오차의 추정치인

의 분산

은 다음 식(4)과 같이 주어진다.

… 식(4)

식(3)과 (4)는 (X^TX)^-1에 따라 그 값이 달라지게 된다. 따라서, 잡음(noise) 역할을 하는 잔차 성분이 존재하는 상황에서 실제 참값에 가까운

나

를 얻기 위해서는 가능한 (X^TX)^-1값을 작게 만드는 실험계획을 수립해야 한다. 가능한 한 (X^TX)^-1값을 작게 만드는 기준을 최적기준이라고 한다. 최적실험계획법을 위한 다양한 최적 기준은 다음과 같이 제시될 수 있다

먼저, 회귀계수의 추정치, 즉

의 분산을 작게 하기 위한 최적 실험계획 기준으로는 D-최적기준과 A-최적기준이 있다. D-최적기준은 추정된 회귀계수들의 동시 신뢰구간의 부피를 최소화하는 방법으로서 det(X^TX)^-1를 최소화하는 것이며, 이는 det(X^TX)를 최대화하는 것을 의미한다. 일반적으로, 대부분의 통계용 소프트웨어(software)는 최적실험계획에 대한 기본값으로 D-최적기준을 사용한다. 그리고, A-최적기준은 추정된 회귀계수의 분산들의 합을 최소화하는 기준으로서, (X^TX)^-1의 행렬의 대각선 방향의 성분들의 합을 최소화하는 것이다.

다음에, 예측치에 대한 분산을 최소화하는 최적 실험계획 기준으로 G-최적기준과 V-최적기준이 있다. G-최적기준은 전체 실험영역에서

의 최대값을 최소화하는 기준이다. 즉

를 최소화하는 기준을 의미한다. 여기서, C는 고려될 수 있는 모든 실험점들의 집합이다. V-최적기준은 전체 실험영역에서 예측치의 분산들의 총합을 최소화하는 방법으로서,

를 최소화하는 것을 의미한다.

최적 실험계획을 수립한다는 것은 실행가능한(또는 고려될 수 있는) 모든 실험점들 중에서 제시한 기준을 만족시키는 실험점들을 골라내는 것을 의미한다. 실험계획을 수립할 때, 어떤 기준을 이용하여 최적 실험계획을 설계하느냐에 따라 실험계획의 결과는 조금씩 차이가 있을 수 있으나, 그 기본개념은 모두 비슷하기 때문에 큰 차이가 나지는 않는다. 따라서, 본 실시예는 D-최적기준을 채용하기로 한다.

이어서, 최적 실험계획법과 중첩위치오차를 이용하여 계측할 샷 위치의 최적화하는 방법을 제시한다. 중첩위치오차를 계측할 샷의 위치의 최적화를 위해 최적 실험계획법을 이용하는 방법은 다음과 같다. 이때, 실험계획법은 앞에서 설명한 바와 같이 D-최적기준을 이용한다. 즉, 중첩위치오차 분석을 위한 회귀분석모형과 계측하고자 하는 샷의 수가 n개로 정해져 있을 때, 계측할 수 있는 모든 샷들 중에서 계측할 n개의 샷을 골라내면 그에 따른 행렬 X를 얻을 수 있다. 이어서, n개 샷들로 이루어진 여러 가지 조합 중에서 det(X^TX)가 최대가 되는 조합을 골라낸다.

그러나 계측할 수 있는 샷들의 수가 m개이고, 계측할 샷의 개수가 n개라고 하면, m개중에 n개를 뽑아내는 조합의 수는 _mC_n 의 경우가 발생한다. 상기 조합에 대한 최적기준을 조사한 후 전체 최적해(global optimal solution)를 찾아내는 방법은 지수함수적으로 증가한다. 따라서, 전체 최적해를 구하는 것은 현실적으로 불 가능하다. 본 발명은 합리적인 계산을 위하여 부분 최적해(sub-optimal solution)를 찾아낼 수 있는 알고리즘을 이용한다.

이러한 알고리즘들에는 Sequential, Exchange, Detmax, M_Fedorov, Fedorov 알고리즘 등이 있으며, 본 발명의 실시예에서는 중첩위치오차를 계측할 샷 위치의 최적화를 위해 상기 알고리즘들을 반도체 노광공정에 맞도록 다음과 같이 수정하였다. 한편, 일반적인 실험계획법에서는 동일한 실험점에서 2회 이상의 실험을 실시하는 것이 유리한 경우가 있어 동일한 실험점을 두 번 이상 선택하는 것이 허용된다. 하지만, 노광공정에서 하나의 샷을 2번 이상 계측하는 것은 의미가 없으므로 하나의 실험점이 2회 이상 선택되지 않도록 한다.

도 1은 본 발명의 최적실험계획법을 이용하여 계측하고자 하는 샷의 위치를 최적화하는 절차를 나타낸 흐름도이다.

도 1에 의하면, 계측할 수 있는 m개의 샷에서 계측할 n개의 샷을 임의로 선정한다(S100). 즉, 계측할 수 있는 m개의 샷은 임의로 선정된 n개의 샷과 선정되지 않은 (m-n)개의 샷으로 나뉜다. 선택적으로, 계측할 위치에 대한 초기해 결정방법을 이용하여 n개의 샷을 결정할 수 있다. 초기해는 부분 최적해의 계산시간을 좌우할 수 있으므로, 중첩위치오차 분석에 사용되는 회귀분석모형에 따른 부분 최적해 형태의 경향에 따라 초기해를 결정할 수 있다. 예컨대, 회귀분석모형의 차수가 증가함에 따라, 계측되는 샷의 분포는 일정한 곳에 집중되는 경향을 이룬다. 즉, 상기 집중된 곳에 있는 샷을 초기해로 결정할 수 있다.

이어서, n개의 계측할 샷으로부터 앞에서 설명한 행렬 X를 구성한 다음, 선정된 샷에 의한 (X^TX)를 계산한다(S110). 선정된 n개의 샷 중의 하나를 선정되지 않은 (m-n)개의 샷들과 교체하여 새로운 X₁을 각각 구성한 다음, (X₁ ^TX₁)를 계산한다(S120). 다음에, (X₁ ^TX₁)과 (X^TX)의 값을 비교한다(S130). 만일, (X₁ ^TX₁)의 값이 (X^TX)의 값보다 크면, n개의 계측할 샷 중에서 (X₁ ^TX₁)과 (X^TX)의 값의 차이가 가장 큰 경우의 샷을 제거하고 선정되지 않은 샷 중의 하나를 새로운 계측할 샷으로 편입한다(S140). 이어서, 상기 X를 다시 구성한 다음 위의 절차를 반복한다. 만일, (X₁ ^TX₁)의 값이 (X^TX)의 값보다 작으면, 이때의 n 개의 계측할 샷을 계측하고자 하는 샷의 위치로 결정한다(S150).

본 발명의 실시예에 의하면, 최적실험기준과 중첩위치오차에서 최적기준을 최대한 충족시킬 수 있도록 계측할 샷의 위치가 결정되면 안정적인 중첩위치오차 분석 결과를 얻을 수 있다.

도 2는 D-최적기준값과 분석된 잔차의 (최대값/최소값)과의 관계를 나타내는 그래프이고, 도 3은 D-최적기준값과 분석된 잔차의 표준편차와의 관계를 나타낸 그래프이다. 이때, 계측할 수 있는 모든 샷(또는 전체 샷)에 대해 일정한 수준의 잡음이 섞여있는 가상의 중첩위치오차 데이터를 생성한 후, 10000가지의 다른 방법으로 17개의 계측할 샷을 임의로 추출하여 해당 샷들의 중첩위치오차 데이터만을 이용하여 3차 회귀모형에 대한 회귀계수를 구하였다. 그리고 회귀계수의 결과를 이 용하여 전체 샷에 대한 중첩위치오차의 잔차성분을 계산하여 각각 잔차성분의 최대/최소값이나 표준편차를 각각 D-최적기준인 값에 대해 산점도로 표시한 것이다. 여기서, D-최적기준값은 (X^TX)의 값으로 정해질 수 있다.

도 2 및 도 3을 참조하면, 계측된 샷들의 위치들로 계산된 D-최적기준값이 커지면 커질수록 분석잔차의 최대/최소값이나 표준편차가 줄어들고 있었다. 계측할 샷의 위치를 D-최적기준값이 크도록 하면, 선택된 계측할 샷에서 계측된 중첩위치오차 데이터만을 이용해서 얻어낸 회귀계수가 전체 샷의 데이터로부터 얻는 회귀계수에 가까운 값을 얻을 수 있다. 따라서, 앞에서 설명한 방법으로 계측할 샷의 위치를 최적화하면 보다 정확한 중첩위치오차를 분석할 수 있다.

- 회귀분석모형과 공정산포에 따른 계측할 최적의 샷의 수의 결정방법

이어서, 회귀분석모형과 공정산포에 따른 최적의 계측할 샷 수를 결정하는 방법에 대하여 살펴보기로 한다. 상기 방법에서 각각 샷들의 계측값에 대한 예측구간 추정은 하나의 값을 구하는 것이 아니라 공정산포 및 계측값의 분포를 이용하여 각 샷들의 계측값을 포함하리라고 예상되는 구간을 제시하는 것이다. 예측구간 추정에서는 먼저 신뢰수준(confidence level)을 정하고 계측값이 포함되는 구간을 찾는다. 어떤 예측값(θ)에 대한 100(1-α)%의 예측구간 [L, U]는 1-α를 만족한다. 이때, L과 U는 각각 신뢰상한과 신뢰하한을 나타내는 통계량이고, w는 (L-U)/2로써 정밀도라고 한다. 이때, 각 샷의 계측값에 대하여 추정된 정밀도는 w에 의해 결정되기 때문에 예측구간이 각 샷들의 계측값을 포함할 확률을 100(1-α)%로 유지하면 서 원하는 정밀도 w를 가지도록 계측할 샷의 수를 결정해야 한다.

식(1)과 같은 회귀분석모형을 이용하여 n개의 샷에 대한 중첩위치오차 계측값으로 회귀분석을 수행했을 때, (x_f, y_f)위치의 샷의 x, y 방향의 중첩위치오차값을 100(1-α)%의 확률로 포함할 수 있는 예측구간은 다음과 같다.

… 식(5)

이때,

이다. 그리고, p는 추정되는 회귀계수의 개수이고, ε_x, ε_y는 계측된 계측들의 표준편차이다. 또, 예측구간의 길이에 대한 변동을 고려하여 예측구간의 길이가 2w보다 크지 않을 확률을 100(1-γ)%로 보장하기 위한 계측할 샷의 수 n은 다음의 식(6)을 이용해 결정할 수 있다.

… 식(6)

식(6)에서 σ_x, σ_y는 x, y 방향 중첩위치오차의 공정산포를 나타내고, 식(6)을 만족하는 계측할 샷 수인 n은 (x_f, y_f)의 샷에서 계측되는 중첩위치오차 추정값에 대한 신뢰도가 100(1-α)%인 예측구간의 길이가 2w보다 작게 될 확률을 100(1-γ)%로 보장하는 최소의 계측할 샷의 수가 된다. 그러므로, α, γ 및 w의 값이 정해지고 σ_x, σ_y 값을 알고 있으면 계측할 샷의 수인 n을 구할 수 있다. 정 밀도인 w값은 중첩위치오차의 관리 기준(스펙)을 참조하고, 분석 신뢰도와 관련되는 α, γ 값은 일반적으로 통계분석에서 많이 쓰이는 α= 0.05, γ = 0.1 의 값을 사용할 수 있다. σ_x, σ_y 값은 이미 진행된 공정데이터 분석을 통해 얻을 수 있는 값이 바람직하나 참조할만한 공정데이터가 충분하지 않을 경우는 공정 안정성의 확보를 위해 예상되는 공정산포보다 조금 큰 값을 사용하는 것이 바람직하다.

- 동적 계측표본 추출방법.

앞에서 제시한 계측할 샷 위치를 최적화하는 방법과 계측할 샷의 수를 결정하는 방법을 조합하여 동적 계측표본을 추출할 수 있다. 동적 계측표본을 추출하면 공정을 운영할 때 발생할 수 있는 산포의 변화, 관리기준의 변경 등의 변화가 있더라도 항상 최소의 계측을 통해 원하는 분석 정확성을 확보할 수 있다.

도 4는 본 발명의 실시예에 의한 동적 계측 표본추출 절차를 나타내는 흐름도이다.

도 4에 의하면, 먼저 α, γ, w, σ_x 및 σ_y를 결정한다(S200). α, γ, w, σ_x 및 σ_y를 결정하는 사례는 앞에서 제시한 바 있다. 그후, 계측할 샷의 수인 n값을 회귀분석을 위한 계측할 위치의 최소값으로 설정한다(S210). 이때, n값은 공정의 특징을 감안한 값일 수 있다. 최적실험계획법으로 n개의 최적의 계측할 위치를 결정한다(S220). 각 샷에 대한 예측구간의 정밀도 w_n을 계산한다(S230).

이어서, w_n과 w를 비교한다(S240). 만일 계산된 w_n이 w보다 크면, n을 n+1 로 변경하여 최적의 계측할 위치를 다시 결정한다(S250). 만일, 계산된 w_n이 w보다 작거나 같으면, 현재 상태로 계측할 샷의 수와 위치를 결정한다(S260). 이어서, 공정의 변경사항이 발생하였는 지를 확인한다(S270). 만일 공정의 변경사항이 발생하였으면, 상기 α, γ, w, σ_x 및 σ_y를 다시 결정한 후, 상기 절차를 다시 실행한다. 만일, 공정의 변경사항이 없다면, 현재 상태로 계측할 샷의 수와 위치를 결정한다.

- 오류성 데이터를 검출 또는 계측 데이터를 유실한 경우의 데이터 복원방법

오류성 데이터는 다른 계측 데이터들에 비해 그 값이 터무니 없이 크거나 통계적으로 전형 다른 경향성을 보이는 데이터를 의미한다. 예컨대, 웨이퍼 위의 불순물 또는 다른 공정의 영향으로 인한 오버레이 마크(overlay mark)의 손상 등으로 오류성 계측 데이터가 얻어질 수 있고, 심지어는 상기 계측마저 되지 않는 경우가 발생할 수 있다. 오류성 데이터가 존재하는 경우에 회귀분석 결과가 왜곡되는 것은 잘 알려진 바이다. 특히, 중첩위치오차의 정밀한 보정을 위해 고차 회귀분석모형을 이용해서 중첩위치오차를 분석하는 경우 계측 데이터의 유실로 인하여 심각한 왜곡 문제를 야기시킬 수 있다.

도 5는 계측을 하기로 했던 11개의 샷중 1개 샷에 대한 계측 데이터가 유실된 경우를 나타내는 도표(diagram)이다. 계측할 샷의 수는 11개로서, 사각형 모양으로 표시되었고, 계측 데이터가 유실된 샷은 원모양으로 표시되었다. 도 6은 사 각형으로 표시된 10개의 샷에 대한 계측값 만을 이용한 고차 회귀분석에서의 잔차를 나타낸 도표이다.

도 5는 각 샷에서 계측된 중첩위치오차를 벡터 형식으로 표시한 것이다. 즉, 전체 샷을 모두 계측 한 후 이들 중 일부 샷에 대한 계측 데이터만을 이용하여 회귀분석을 실시하여 나머지 샷에 대한 계측 데이터 추정 정확도를 확인하고자 하는 것이다. 원래 11개의 샷을 계측했지만, 한 개의 샷(a)의 계측 데이터에 유실이 생긴 경우는 도 6에서와 같이 계측 데이터가 유실된 샷의 주변에 위치한 샷들에 대한 잔차(b)가 커진다. 즉, 유실된 1개의 계측 데이터를 이용하여 회귀분석을 실시하는 경우 계측 데이터가 유실된 샷 주변의 샷들에 대한 중첩위치오차 추정이 제대로 이루어지지 않았다.

물론 계측 데이터가 유실된 샷과 가까운 위치의 또 다른 샷이 계측되었다면 하나의 계측 데이터가 유실된다 하더라도 그 영향이 도 6의 예처럼 크지 않을 수도 있다. 그러나 본 발명에서는 생산성을 고려하여 최소의 계측으로 원하는 분석 정확도를 얻고자 하므로, 동적 계측 표본추출 방법으로 공정을 운영하게 되는 경우에는 하나의 계측 데이터라도 유실이 된다면 도 6에서와 같은 문제가 발생한다.

본 발명의 실시예에서는 다음과 같은 유실 데이터 복원방법을 제시한다. 먼저, 유실된 계측 데이터를 제외한 나머지 계측데이터를 이용하여 1차 회귀분석을 실시한다. 그후, 앞에서 얻은 1차 회귀분석모형을 이용하여 계측 데이터가 유실된 샷에 대한 계측 데이터의 추정치를 계산하여 이 값으로 유실 데이터를 복원한다. 마지막으로, 계측 데이터와 복원된 데이터로 원래의 고차회귀분석을 실시한다.

본 발명의 실시예에 의한 유실된 데이터 복원방법을 이용하면 도 6에서 발생했던 문제가 도 7처럼 해결된다. 도 7을 참조하면, 본 발명의 실시예에 의해 유실된 데이터를 복원하면 계측 데이터가 유실된 샷 주변의 샷들에 대한 중첩위치오차 추정이 복원 전에 비해 훨씬 정확해졌음을 확인할 수 있다.

상기 유실된 데이터 복원방법은 오류성 데이터 검출에도 활용될 수 있다. 일반적인 회귀분석에서는 오류성 데이터가 검출되면 오류성 데이터로 판명된 데이터를 제거하고 난 후 나머지 데이터로만 회귀분석을 재실시한다. 하지만, 이런 방법은 위에서 논의된 계측 데이터 유실로 발생할 수 있는 문제들을 야기시킬 수 있다. 따라서 본 발명에서는 오류성 데이터를 검출한 후, 검출된 오류성 데이터는 유실 데이터로 간주하여 앞에서 제시한 유실데이터 복원방법을 적용한 후 회귀분석을 실시하면 된다.

오류성 데이터의 검출은 고차 회귀분석을 실시하고자 하는 경우라도 1차 회귀분석을 실시한 후 1) 표준화 잔차(standardized residuals) 2) 스튜던트화 잔차(studentized residuals) 3) 스튜던트화 제외 잔차 (studentized deleted residual) 등의 통계량들을 계산하여 이 값들이 특정값 이상이 되는 데이터를 오류성 데이터로 검출하게 된다. 오류성 데이터 검출을 위해 1차 회귀분석을 실시하는 이유는 계측 데이터의 수가 작은 경우 고차 회귀분석을 하게 되면 모든 데이터에 대한 잔차가 전체적으로 작아져서 오류성 데이터 검출이 용이하지 않기 때문이다.

도 8a 및 도 8b는 오류성 데이터가 포함되지 않은 경우에 각각 최적화된 24개의 샷과 전체 샷에 대하여 중첩위치오차를 추정한 도표이다. 도 9a 및 9b는 고 의로 오류성 데이터(c)를 포함시킨 경우에 각각 최적화된 24개의 샷과 전체 샷에 대하여 중첩위치오차를 추정한 도표이다.

구체적으로, 도 8a는 하나의 웨이퍼에 112개의 샷이 있는 소자에서 앞에서 설명한 최적화기법으로 위치가 최적화된 24개의 샷을 계측하여 3차 회귀분석모형을 통해 중첩위치오차를 분석한 결과이다. 도 8b는 도 8a에서 계측된 중첩위치오차를 전체 샷에 대하여 추정한 결과이다. 이때, 중첩위치오차는 벡터로 표현하였다. 도 9a는 상기 24개의 계측 데이터에서 고의적으로 2개의 샷의 오류성 데이터(c)를 포함시킨 후 회귀분석을 통해 분석한 결과이다. 도 9b는 도 9a에서 오류성 데이터를 포함한 회귀분석을 실시한 결과를 전체 샷에 대하여 추정한 결과이다. 도시된 바와 같이, 오류성 데이터는 오류성 데이터가 계측된 샷 주변의 분석결과가 매우 왜곡되고 있음을 알 수 있다.

도 10은 오류성 데이터를 본 발명의 복원방법에 의해 복원한 경우에 최적화된 24개의 샷의 분석결과를 전체 샷에 대하여 중첩위치오차를 추정한 도표이다.

도 10을 참조하면, 앞서 제시한 방법으로 오류성 데이터를 검출, 복원한 후 회귀분석을 한 결과는 오류성 데이터를 포함시키기 이전의 계측 데이터에 대한 회귀분석 결과(도 8b)와 약간의 차이가 보이긴 하지만 그 차이가 크지 않아 오류성 데이터 검출 및 복원이 제대로 이루어졌음을 확인할 수 있다.

- 강인회귀분석기법을 이용한 오류성 데이터 필터링 방법

회귀분석에서 주로 쓰이는 회귀분석기법은 최소제곱법(least square method)이다. 이 방법에서는 주어진 회귀분석 모형에 대해 모든 계측 데이터의 잔 차 제곱의 합이 최소가 되게 하는 회귀계수를 계산한다. 한편, 중첩위치오차 계측설비업체에서 제공하는 분석 소프트웨어들도 최소제곱법을 사용하고 있다.

그러나 최소제곱법은 오류성 데이터가 존재할 경우 그 분석결과가 크게 왜곡되는 결과를 줄 수 있다. 이 때문에 최소제곱법을 사용하기 위해서는 오류성 데이터에 대한 대처방안이 반드시 고려되어야 한다. 하지만, 강인회귀분석(robust regression analysis) 기법은 오류성 데이터에 의한 분석결과의 왜곡을 최소화할 수 있도록 고안되었다. 따라서, 강인회귀분석에 의해 오류성 데이터를 검출하고 이를 처리하는 데이터 전처리 과정이 필요없이 안정적인 분석 결과를 얻을 수 있다.

대표적인 강인회귀분석기법으로는 M-추정(M-estimation)법이 있다. 일반적인 최소제곱법은 식(1)에서의 잔차 ε_xi, ε_yi에 대해

… 식(7)

를 만족하는 K_x, K_y를 구하게 되지만, M-추정법에서는 이를 일반화하여

… 식(8)

를 만족하는 K_x, K_y를 구하게 된다. 그러나 식(8)에서 추정되는 회귀계수는 ρ함수로 인해 ε_xi, ε_yi의 분산에 영향을 받게 된다. 그러므로 ε_xi, ε_yi 의 분산에 영향을 받지 않도록 식을 수정하면

… 식(9)와 같이 된다.

여기서 s_rx, s_ry는 σ_x, σ_y의 강인추정량(Robust Estimator)이다. 이때, 식(9)을 만족하는 K_x, K_y는 식(9)를 K_x, K_y에 대해 미분하여 0으로 놓은 다음의 미분방정식 (10)을 풀어야 얻을 수 있다.

… 식(10)

식(10)은 비선형 최적화기법을 이용해서 풀 수도 있지만, 일반적으로 컴퓨터 프로그램으로 구현이 용이한 IRLS(Iterlatively Reweighted Least Square) 방법이 사용된다. IRLS 방법을 이용한 강인회귀분석 절차는 다음과 같다. 이때 아래 절차는 K_x의 계산절차이며, K_y도 동일한 절차로 계산할 수 있다).

강인회귀분석은 먼저 최소제곱법을 이용하여

로 계산한다. 이어서, 앞에서 계산한

를 이용하여 가중행렬 W_x를 다음 식(11)과 같이 갱신한다.

… 식(11)

단,

는 표준화된 잔차이고, w는 가중함수이다. 이때, 가중함수 w는 일반적으로 잘 알려진 Andrews함수, Bisquare 함수, Cauchy 함수, Fair 함수 및 Huber 함수와 같은 함수들을 이용할 수 있다.

그후, 갱신한 가중행렬 W_x를 이용하여 다음 식(12)과 같이

를 갱신해준다.

… 식(12)

갱신된

값과 갱신되기 전의

값을 비교하여 그 차이가 기준치 이상이면

식(11)과 식(12)를 구하는 과정을 반복하고, 그렇지 않으면

가 최종 회귀계수가 된다.

도 11은 도 9a의 오류성 데이터가 포함된 계측 데이터에 강인회귀분석기법을 적용한 결과이다. 상기 결과는 전체 샷에 대하여 추정한 것이다.

도 11을 참조하면, 오류성 데이터가 포함된 계측 데이터에 대한 강인회귀분석 결과는 오류성 데이터를 포함시키기 이전의 계측 데이터에 대한 회귀분석 결 과(도 8b) 와 거의 동일한 것을 확인할 수 있다. 강인회귀분석을 적용하면 오류성 데이터의 영향을 효과적으로 제거할 수 있다.

이상, 본 발명은 바람직한 실시예를 들어 상세하게 설명하였으나, 본 발명은 상기 실시예에 한정되지 않으며, 본 발명의 기술적 사상의 범위내에서 당분야에서 통상의 지식을 가진 자에 의하여 여러 가지 변형이 가능하다. 즉, 본 발명에서 제시한 최적기준은 D-최적기준을 사례로 들었으나, 본 발명의 범주 내에서 다양한 최적기준이 적용될 수 있다.

상술한 본 발명에 따른 계측시스템 및 계측방법에 의하면, 2차 이상의 회귀분석을 위한 함수의 행렬인 X의 (X^TX)를 최대화하는 최적기준을 수립함으로써, 실제 참값에 가까운 회귀계수를 구할 수 있다.

또한, 중첩계측오차의 추정치의 신뢰도가 100(1-α)%인 예측구간 길이가 2w보다 작게 될 확률을 100(1-γ)%로 보장하는 최소의 계측할 대상을 선정함으로써, 회귀분석모형과 공정산포에 따른 최적의 계측할 계측대상을 결정할 수 있다.

나아가, 유실된 데이터 또는 오류성 데이터를 복원할 수 있는 기법을 채용함으로써, 상기 데이터들이 영향을 제거할 수 있다.

Claims (30)

1. 반복적인 계측값에 대한 중첩계측오차를 구하기 위한 2차 이상의 회귀분석을 위한 함수에 있어서,

   상기 함수의 행렬인 X에 대한 (X^TX)를 최대화하는 최적기준을 수립하는 것을 특징으로 하는 중첩계측오차를 보정하기 위한 계측시스템.
2. 제1항에 있어서, 상기 계측값은 위치, 두께 및 온도 중의 어느 하나인 것을 특징으로 하는 중첩계측오차를 보정하기 위한 계측시스템.
3. 제1항에 있어서, 상기 최적기준은 상기 회귀분석모형의 함수에서 주어지는 회귀계수의 추정치의 신뢰구간의 부피를 최소화하는 D-최적기준인 것을 특징으로 하는 중첩계측오차를 보정하기 위한 계측시스템.
4. 제1항에 있어서, 상기 최적기준은 상기 회귀분석모형의 함수에서 주어지는 회귀계수의 추정치의 분산의 합을 최소화하는 A-최적기준인 것을 특징으로 하는 중첩계측오차를 보정하기 위한 계측시스템.
5. 제1항에 있어서, 상기 최적기준은 상기 회귀분석모형의 함수에 의한 예측 치에 대한 분산을 최소화하는 하는 G-최적기준인 것을 특징으로 하는 중첩계측오차를 보정하기 위한 계측시스템.
6. 제1항에 있어서, 상기 최적기준은 상기 회귀분석모형의 함수에 의한 예측치에 대한 분산의 합을 최소화하는 하는 V-최적기준인 것을 특징으로 하는 중첩계측오차를 보정하기 위한 계측시스템.
7. 제1항에 있어서, 상기 중첩계측오차는 노광공정에서의 중첩위치오차인 것을 특징으로 하는 중첩계측오차를 보정하기 위한 계측시스템.
8. 제7항에 있어서, 상기 중첩위치오차는 상기 회귀분석모형과 계측하고자 하는 n개의 샷의 수가 정해져 있을 때, 계측할 수 있는 m개의 샷 중에서 n개의 샷들로 이루어진 조합 중에서 det(X^TX)가 최대인 것을 선택하는 것에 의해 최적화되는 것을 특징으로 하는 중첩계측오차를 보정하기 위한 계측시스템.
9. 반복적인 계측값에 대한 중첩계측오차를 구하기 위한 2차 이상의 회귀분석을 위한 함수에 있어서,

   상기 중첩계측오차의 추정치의 신뢰도가 100(1-α)%인 예측구간 길이가 2w보다 작게 될 확률을 100(1-γ)%로 보장하는 최소의 계측할 대상을 선정하는 것을 특징으로 하는 중첩계측오차를 보정하기 위한 계측시스템. 여기서, w는 (신뢰상한-신뢰하한)/2로써, 정밀도라고 한다.
10. 제9항에 있어서, 상기 계측값은 위치, 두께 및 온도 중의 어느 하나인 것을 특징으로 하는 중첩계측오차를 보정하기 위한 계측시스템.
11. 제9항에 있어서, 상기 중첩계측오차는 노광공정에서의 중첩위치오차인 것을 특징으로 하는 중첩계측오차를 보정하기 위한 계측시스템.
12. 제11항에 있어서, 상기 중첩위치오차는 상기 회귀분석모형과 계측하고자 하는 n개의 샷의 수가 정해져 있을 때, 계측할 수 있는 m개의 샷 중에서 n개의 샷들로 이루어진 조합 중에서 100(1-γ)%로 보장하는 최소의 계측할 대상을 선택하는 것에 의해 최적화되는 것을 특징으로 하는 중첩계측오차를 보정하기 위한 계측시스템.
13. 반복적인 계측값에 대한 중첩계측오차를 구하기 위한 2차 이상의 회귀분석을 위한 함수에 있어서,

    상기 함수의 행렬인 X에 대한 (X^TX)를 최대화하는 최적기준을 수립하고, 상기 중첩계측오차의 추정치의 신뢰도가 100(1-α)%인 예측구간 길이가 2w보다 작게 될 확률을 100(1-γ)%로 보장하는 최소의 계측할 대상을 선정하는 것을 특징으로 하는 중첩계측오차를 보정하기 위한 계측시스템.
14. 제13항에 있어서, 상기 계측값은 위치, 두께 및 온도 중의 어느 하나인 것을 특징으로 하는 중첩계측오차를 보정하기 위한 계측시스템.
15. 제13항에 있어서, 상기 중첩계측오차는 노광공정에서의 중첩위치오차인 것을 특징으로 하는 중첩계측오차를 보정하기 위한 계측시스템.
16. 반복적인 계측값에 대한 중첩계측오차를 구하기 위한 2차 이상의 회귀분석을 위한 함수에 있어서, 유실된 데이터 또는 오류성 데이터를 필터링하여 복원한 후, 상기 2차 이상의 회귀분석을 실시하는 것을 특징으로 하는 중첩계측오차를 보정하기 위한 계측시스템.
17. 제16항에 있어서, 상기 계측값은 위치, 두께 및 온도 중의 어느 하나인 것을 특징으로 하는 중첩계측오차를 보정하기 위한 계측시스템.
18. 제16항에 있어서, 상기 중첩계측오차는 노광공정에서의 중첩위치오차인 것을 특징으로 하는 중첩계측오차를 보정하기 위한 계측시스템.
19. 제16항에 있어서, 상기 유실된 데이터 또는 오류성 데이터의 복원은,

    상기 데이터들을 1차 회귀분석에 의한 데이터로 대체하는 것을 특징으로 하는 중첩계측오차를 보정하기 위한 계측시스템.
20. 제16항에 있어서, 상기 유실된 데이터 또는 오류성 데이터의 복원은,

    상기 데이터들을 가중함수를 이용하여 필터링하는 것을 특징으로 하는 중첩계측오차를 보정하기 위한 계측시스템.
21. 제20항에 있어서, 상기 가중함수는 Andrew 함수, Bisquare 함수, Cauchy 함수, Fair 함수 및 Huber 함수에서 선택된 어느 하나인 것을 특징으로 하는 중첩계측오차를 보정하기 위한 계측시스템.
22. 계측할 수 있는 m개의 계측대상에서 계측할 n개의 계측대상을 임의로 선정하는 단계;

    상기 n개의 계측대상으로부터 2차 이상의 회귀분석모형의 함수의 행렬인 X에 대한 (X^TX)값을 구하는 단계;

    상기 n개의 계측대상 중의 하나를 선정되지 않은 (m-n)개의 계측대상과 교체하여 새로운 행렬인 X₁에 대한 (X₁ ^TX₁)을 구하는 단계; 및

    만일, 상기 (X₁ ^TX₁)이 상기 (X^TX)보다 크면, 상기 (X₁ ^TX₁)과 (X^TX)의 차이가 가장 큰 경우의 상기 선정되지 않은 (m-n)개의 계측대상 중의 하나를 상기 선정된 n개의 하나를 대체하고,

    만일, 상기 (X₁ ^TX₁)이 상기 (X^TX)보다 작으면, 상기 (X^TX)을 이루는 상기 선정된 n개의 계측대상을 결정하는 단계를 포함하는 중첩계측오차를 보정하기 위한 계측방법.
23. 제22항에 있어서, 상기 계측대상은 노광공정의 샷인 것을 특징으로 하는 중첩계측오차를 보정하기 위한 계측방법.
24. 제22항에 있어서, 상기 (X^TX)이 커지면, 분석된 계측값에 대한 잔차의 최대값과 최소값이 작아지는 것을 특징으로 하는 중첩계측오차를 보정하기 위한 계측방법.
25. 제22항에 있어서, 상기 (X^TX)이 커지면, 분석된 계측값에 대한 잔차의 표준편차가 작아지는 것을 특징으로 하는 중첩계측오차를 보정하기 위한 계측방법.
26. 반복적인 계측값에 대한 중첩계측오차를 구하기 위한 2차 이상의 회귀분석 을 위한 함수에 있어서, 유실된 데이터 또는 오류성 데이터를 확인하는 단계;

    상기 데이터들을 필터링하여 복원하는 단계; 및

    상기 복원된 데이터를 이용하여, 상기 2차 이상의 회귀분석을 실시하는 단계를 포함하는 것을 특징으로 하는 중첩계측오차를 보정하기 위한 계측방법.
27. 제26항에 있어서, 상기 계측값은 노광공정의 샷의 위치인 것을 특징으로 하는 중첩계측오차를 보정하기 위한 계측방법.
28. 제26항에 있어서, 상기 복원하는 단계는 상기 데이터들을 제거한 후 1차 회귀분석을 실시하여, 상기 1차 회귀분석의 데이터로 상기 유실된 데이터 또는 오류성 데이터를 대체하는 단계를 포함하는 것을 특징으로 하는 중첩계측오차를 보정하기 위한 계측방법.
29. 제26항에 있어서, 상기 복원하는 단계는,

    최소제곱법에 의해 회귀계수를 구하는 단계;

    상기 회귀계수를 가중함수에 의해 갱신한 회귀계수를 구하는 단계; 및

    만일, 상기 갱신하기 전의 회귀계수와 갱신한 후의 회귀계수의 차이가 사전에 정해진 기준치보다 크면, 갱신된 회귀계수를 구하는 과정을 반복하고,

    만일, 상기 갱신하기 전의 회귀계수와 갱신한 후의 회귀계수의 차이가 사전에 정해진 기준치보다 작으면, 갱신된 회귀계수를 상기 2차 이상의 회귀분석을 위한 함수의 회귀계수로 결정하는 단계를 포함하는 중첩계측오차를 보정하기 위한 계측방법.
30. 제29항에 있어서, 상기 가중함수는 Andrew 함수, Bisquare 함수, Cauchy 함수, Fair 함수 및 Huber 함수에서 선택된 어느 하나인 것을 특징으로 하는 중첩계측오차를 보정하기 위한 계측방법.

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