JPS60501930A - リ−ドソロモンコ−ドのディジタル信号の誤り訂正方式 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるため要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】 リードソロモンコードのディジタル信号の誤り訂正方式本発明は、誤り訂正コー ドを用いるディジタルデータの符号化と復号化の方法と、上記方法を行うエンコ ーダおよびデコーダに関するものである。

リードソロモン（Ｒｅｅｄ−８ｏｌｏｍｏｎ）コードは、例えば北オランダ出版 会社（Ｎｏｒｔｈ　Ｈｏ１ｌａｎｄ　Ｐｕｂｌｉｓｈｉｎｇ　Ｃｏｍ−ｐａｎｙ ）のマックウィリアムとスロア（Ｆ、Ｊ、Ｍａｃ　ＶｉｌｌｉａｍｓとＮ、Ｊ、 Ａ、５１ｏａ：ｎｅ）の１９８１年の著作「誤り訂正コードの理論Ｊ（ｒＴｈｅ 　Ｔｈｅｏｒｙ　ｏｆ　Ｅｒｒｏｒ−ＣｏｒｒｅＣｔｉｎｇ　Ｃｏｄｅｓ’）、 第１０章で、説明されでいる。

有限ガロア体ａ　Ｆ　（ｑ）におけるり一下ソロモンコードは、鐸さｌ’Ｊ、＝ ｑ、−１のボーゼ、チオドｉハホッキンハム（Ｂｏｓｅ、　Ｃｈａｕｄｈｕｒｉ 、　Ｈｏｃｑｕｅｎｈｅｍ（Ｂ　ＣＨ））コードであることが想起されよう。

ＢＣＨコードは、定義によれば次式のジェネレータ多項式のコードである。

Ｇ（ｘ）＝（ｘ−ａｍｏ）（ｘ−ａ’ｏ”）−（ｘ−ａ’ｏ”δ−２）ここで、 δは指定距離であり、ｔが訂正される誤りの数を表わすときδ−２＝２ｔ＋１で ある。

故に、Ｇ　（ｘ　）の平方根は、ＧＦ（２）に属する原始光の逐次累乗である。

これは、コード語では次のようになることを意味する； ｖ（ｘ）　＝’Ｉ　ｎ　−１ｘ”−’　十・＝　ｙ　ｎ　’１　ｘ　”リ−ｙ。

’１ｎ−ｉは、−か１の二つの可能値をもつ、また、ｘ”−’はｙ、、−１の位 置を確立する。

リードソロモンコードでは、フィールドの特徴は２でなく、素整数すは体ＧＦ（ ｂ’）となる。各ｙ、−１は二つの形でなく　ｑ＝ｂ　の形である。係数’Ｉ　 ｎ　−１はコード記号である。

多項式の定義は、係数はなく整数０か１（基数２）であり、ＧＦ（ｂ’）の要素 は２進要素で表わされる。

例えば、ｍｏ＝Ｃ）、ｑ＝２３で、フィールドにおける要素をつくる多項式の特 徴がｘ’＋ｘ２＋１である場合は、各係数は３ビット語の形式で表わされる。

１　１　１　ａ’＝ａ＋ａ”＝１＋ａ＋ａ２０　１　１　ａ５＝ａ＋ａ２＋１＋ ａ２＝１＋ａ１　１　０　ａ’＝ａ＋ａ２ ０　０　１　ａ　７＝　ａ　２＋　ａ　′ａ＝　ａ　２＋　ａ　２＋　１　＝　 １２進の場合、多項式の累乗根はこのように示され、ｍｏ＝Ｑについては、コー ド・ジェネレータ多項式は、Ｇ（Ｘ）＝（ｘ　−１）（ｘ　−ａｌ・（ｘ　−ａ ６−２）となる。

ジェネレータ多項式は、訂正される誤りの数ｔの２倍に等しい累乗根の数をもた ねばならない。実は、累乗根は最高の累乗をもつ； ａ８−＝ａ　−ａ 従って、ジェネレータ多項式は、１．ａ、ａ”・・・ａ２ｔ−１となる。

ｑは８に等しい故、コード語の長さはＮ＝７記号で示される。コードＣ（７，４ ）は、各々３ビツトの四つの情報記号と三つの制御記号をもつ。コード語は、例 えば次のように書くことができる。

ここに、Ｉ（ｘ）は情報記号を表わし、Ｒ（ｘ）は■（ｘ）をＧ（ｘ）で除した 剰余からなる制御符号を表わす。

誤りは、ある与えられたコード語の中で、その値と桁（位置）により特徴づけら れる。２進コードの場合、誤りの桁（位置）を定めるだけで十分であり、その値 は計算される桁（位置）での誤り値を補うことにより得られる。故に、２進コー ドによる誤りの訂正は、二つの未知数のある二方定式システムを解くことになる 。しかし、リードソロモンコードの場合は、コード記号はｐビットのパケットで 構成される。この場合、誤りの特徴は、四つのパラメータつまりその二つの値と 二つの桁（位置）による。

リードソロモンコードによる本発明による符号化及図１は、本発明を具体化する リードソロモンコード待人昭ＧＯ−５０１９３０（３） 用エンコーダのブロック図である。

図２は、本発明を具体化するリードソロモンコード用デコーダである。

図３は、復号化アルゴリズムを示す図である。

１−符号化 前述のとおり、コードの記号は２Ｐエレメントの有限体の中のエレメントである 。各コードはＰビットから成る。

コード記号は、情報メツセージＩ（ｘ）をジェネレータ多項式Ｇ（ｘ）で除する ことにより得られる。

コードはｍの情報記号とｋの制御記号から成る。

コードはＣ（ｍ＋に、、ｍ）により定まる。よく知られた符号他力法の構成（式 ）は、先ずＩ（：ｘ）とｘｋを乗じ−にはジェネレータ多項式の最高次数である ー、その積をＧ（ｘ）で除する、すなわち ここで、Ｇ（ｘ）は前にに＝ｍ十δ−１で示した多項式％式％ ここでいうコードは、Ｉ（ｘ）＝ｚ２４７ｘ”７＋−ｚ。

のとき、２Ｆ　＝　２　ｓのコードＣ（２！ｔ５．２４７）である。

Ｇ（ｘ）＝ｘ”＋Ａｘ’十Ｂ　ｘ”＋Ｃｘ’＋Ｄｘ’＋Ｅ　ｘ３４Ｆ　ｘ２＋Ｇ ｘ＋Ｈ係数Ａ、Ｂ、ｃ、Ｄ−、Ｅ、Ｆ、ａおよ′びＨは８ビツト語である。行う 除法は、 除法の結果は、 ｙ２．、、’　ｘ”’　＋　ｙ２５４ｘ２５’　＋　ｙ２，３ｘ”３＋・・・＋ ｙｏｘ’商の第１項は、ｚ２４７ｘ２４７、 第１（項）の部分剰余は、 ｚ２４７Ａｘ”６＋　ｚ２４□Ｂ　ｘ”’−１−・ｚ２．、Ｈｘ２３’商の第２ 項は、（Ｚ　２４Ｇ　＋　Ａ　Ｚ　２４？）　Ｘ２４’、第２（項）の部分剰余 は、 ［ｚ２４６＋Ａ　ｚ２４７］［Ｂ　Ｘ””＋−ＨＸ２３９］最初の記号がシステ ム入力に現われるとき、先行の部分剰余はゼロである。ｚ２４７をこの最初の記 号としよう。回路２は一時的に２２４７を蓄積（記憶）シ。

一方回路３はＺ２４□と、ジェネレータ多項式の各項とを乗じた結果を与える。

部分剰余は、システムの次数特徴に従い回路１に蓄積（記憶）される。

二番目の記号がシステムの入力に着信するとき、それは先行の最高次の部分剰余 にモジュロ２加算される。

その結果は回路２に蓄積（記憶）される。次いで回路３は、先行の部分剰余の乗 法を行い、この過程は２４７番目の記号がシステムに入るまで続く。

回路１は、ｐビットのに語のランダムアクセス記憶装置（ＲＡ　Ｍ）である。

回路２と３とは、ｐビットの記憶装置である。

回路４は、Ｐビットのモジュロ２加算器である。

回路５は、不変性の表から成り、これは、（Ｓ、十Ｒ１１）を記憶装置に入れた とき゛、（Ｓ、＋Ｒｐｉ）の積およびＧ（ｘ）の各係数を示し、Ｓｌは次数ｉの 情報記号であり、Ｒｐ、は次数ｉの部分剰余でありＳ、と同じ次数をもつ。

Ｉ（ｘ）を構成するすべての情報記号をシステムに入れたならば、回路１は、一 定の連続で並ぶ８制御記号を含む。これら記号は、コード語の情報を完成させる ため、ｘ’Ｉ（ｘ）であるラインへ呼込まれねばならないだけである。

２−復号化 本発明を具体化する復号化は、簡単な計算のシステムである。。

−誤りの一連の徴候 −誤りのある多項式の係数 −誤りのある多項式の累乗板 一計算された誤りの桁（位置）と符合する誤り図シンドロームの叶 Ｖ（ｘ）はコード語であり、誤りがあれば、つぎのように書かれることがある。

Ｖ’（ｘ）＝Ｖ（ｘ）＋Ｅ（ｘ） ここで、Ｅ（ｘ）は送信中に生じた誤りの形である。

受信時に誤りを発見するには、受信した語がジェネレータ多項式で除せられるか 否かを調べ、また各コード語が多項式累乗機を累乗板として受入れることを調べ る必要がある。本発明においては、復号化の第二の解法として用いる。

コード語Ｖ　（ｘ　）は、前にあったように、つぎの多項式の形で書かれる； ’Ｖ［ｘ）：ｙｎ−１ｘ”−”ｙｎ−２ｘ″−”””）’ｎ−ｉ　ｘ”−’十” ’＋）’、ｘｌ’　（１）Ｖ（ｘ）が累乗板としてＡｊをもつ場合、つぎのよう に表わされる； Ｖ　（ａ　’　）＝　’Ｉｎ−１（ａ　ｊ）”−”ｙｎ−ｚ　（ａ　’　）”＝ ””　ｙｎ−ｉ　（ａ　ｊ）”−”””ｙｅ　ａ　’もし誤りがありば、コード 語Ｖ　（ａ　’　）は受信されず、コード語はつぎのようになる； Ｖ（ａ’）ｚ＝Ｏであるから、 Ｖ　’　（ａ　’　）　＝　Ｖ　（ａ　ｊ）　＋　Ｅ　（ａ　」）　＝　ｓ　４ ｓｊは次数ｊの誤りの一連の徴候であり、誤りの桁（位置）と値を定める前にｌ ｌｊを計算しなけわばならない。

もし誤りの語が受信されれば、誤りＥ（Ｘ）のある一定の形があり、これは二つ のパラメータｘｉｔ　ｙ　＋（桁と値）により明らかにされる。

りの　る　式での　の シンドロームの ｔの誤りを訂正するには、誤りのある多項式はつぎのように書かれる。

ｘｉ”＋ａ、ｘ（’−’＋ａ２ｘｌ’−”＋＝ｃＢｘ＋”−’＋−ａ（＝Ｏ（３ ）係数σ□、σ２．・・・σ１は、下記のシステムを解くことにより得られる； Ｓｔ＋σ□Ｓい□＋σ２Ｂｔ−２＋・・・σ＋ｓｔ−；十・・・σ、５０＝ＱＳ ｊや□十σ□Ｓｔ＋σ２ｓｔ−１＋−“゛゛°゛°°゛°°°°゛°σｔＳｌ＝ Ｏ５２１−１＋σｘ　ｓ　１ｔ−ｚ＋”””””””””””””’σｔｓＩ− １＝０Δをシステムの第一の行形式とすれば、つぎの等式が成り立つ； 一次方定式を解く法則を応用して、σ１＝Δ１／Δなる結果が出る。ここで 故に、誤りのある多項式の係数はそれぞれっぎの値をもつ； σ、＝Ａ、／Ａ・・・σ、＝Ａ、／Ａ・・・σ１＝Ａ、／Ａ　（４）りのある　 式　の 方定式（３）は、４次のものである場合に解くことができる故、システムは四つ の誤りまでの訂正ができる。従って、四つの誤りの桁（位置）と値は、つぎの解 法である。

ｘ’＋ａ、ｘ３＋ｃｔ２ｘ２＋ａ３ｘ＋ｒｙ、＝ｏ　（３’）この方定式は、つ ぎの四次の形で表わすこともできる。

（ｘ２＋λχ十μ）（ｘ２＋λ′Ｘ十μ’）＝Ｏ（５）次の関係がある 求め、次いで各三次方定式の累乗板の値をめれば十分である。システム（６）を 時には、σ□が０であるか否かによって二つのケースが生じる。

σ１＝Ｏであれば、システム（６）はつぎのようになる。

０ これはλの三次方定式であり、累乗板λ１を与える。

μとμ′の両は、下記条件とすれば、三次方定式の解法である； この結果は、ρについての下記三次肯定式となる；ρ３＋（σ、σ３＋σ２′） ρ＋σ１′σ。＋σ３′＋σ１σ２σ３＝Ｑ　（１１）例えば、累乗板Ｐ１はこ の方定式からめることができ、そこからλとλ′はつぎの四次方定式の解法であ る； λ２＋σ１λ＋ρ１−Δ　（１２） かくてシステム（６）はμとμ′の値を推論できるようにする。

（８または（１１のような三次方定式の解法これら二つの方定式は、つぎの形で ある；ｙ３＋νｙ＋τ＝　Ｏ（１３） この方定式は、Ｚ＝ｙ／ｗ”とＱ＝τ／Ｖψを当てて、１ユ 正準形式（ｙ係数は単位光〔１〕に等しい）で表わすことができ、かくてっぎの ように示せる； ｚ３＋ｚ＋Ｑ＝ｏ　（１４） ρが偶数ならば、フィールドＧＦ（２Ｐ）で三次系乗根をめるのに二つのケース が生じる。

（１）ν＝０の場合、力走式（１３）はｙ３＋τ＝０となり、ｙ３＝で１ｈが表 により与えられる。

従ってｙ工とｙ２は次式の解法である；Ｖ　”　＋３／　ａ　Ｖ＋τ／ｙ３＝ｏ 　（１５）この力走式は、つぎの正準形式で表わせる；Ｙ”＋Ｙ＋Ｒ＝Ｏ（１６ ） Ｙ＝ｙ／ｙ３ｔ　Ｒ＝τ／　ｙ　２”　＝　１の関係がある。

（２）ｖ＝ｏの場合、力走式（１４）を解かねばならない。

２は、Ｑを記憶装置に入れた表により得られる。累乗機ｚ１と２３は、ν＝０で Ｒ≠１について示したのと同じ方法を用いて得られる。

図３は復号化アルゴリズムを示す。

訂正にあたると考える誤りの数は四、三および二でフェーズ１０１は、このケー スで８７から８０の８の数の一連の徴候の計算を表わす。フェーズ１０２は、四 、三および二の場合の第１行列式、（Δ）４．（Δ）３．（Δ）２の待人昭ＧＯ −５０１９３０（５） 計算と、ｉが−から四に変わる場合、つまりΔ＝Δ□。

Δ２．Δ３．Δ。の場合のΔ１の計算を表わす。

もしくΔ４）がゼロ（フェーズ１０３）でないならば、四つ誤りがあると推定さ れ、フェーズ１０４ということになり、ここでは力走式（４）により明らかにな るσ２．σ３゜σ４が計算される。

σ□＝０（フェーズ１０５）であれば、ｐ”（力走式（１１））での力走式の累 乗機計算のフェーズ１０６へいき、次いで力走式（１２）での累乗機λ、λ′の 計算のフェーズ１０７へ、最後に力走式（６）によるμとμ′の計算のフェーズ １０８へいく。

次に、力走式（５）（フェーズ１０９）を解き、Ｘｌ、ｘ２゜Ｘ□、　ｘ　４ｈ ５示され、誤りのアドレス（場所）は式（１７）から推定される。最後にフェー ズ１１０で、式（１８）を用いてＹ□からＹ４が計算される。

（以下余白） （フェーズ１０５）δ１＝０の場合、フェーズｔｏｅ−ｔｏｓは、入ｊ　（方程 式（８））での方程式の解と、＃Ｌ（方程式（９））での方程式の解にそれぞれ 符合するフェーズ１１１−１１２と置換えられる。

図３のアルゴリズムは、さらに三つと二つの誤りを訂正する場合の複合化フェー ズを表わす。これら二つの場合、方程式（３′）はつぎのようになる。

−三つの誤り Ｘ３＋８ＨＸ２＋δ２ｘ＋δ３−Ｏ（３″′）−二つの誤り Ｘ２＋５．Ｘ十５２＝０　（３″′） 方程式（３”）は正準の形で表わすことができ、累乗機の一つはＣａ　ｒｄａｎ の公式（フェーズ（２０Ｂ））により得られる。他の二つの累乗機は、Ｘに関す る二次方程式（フェーズ２０７）を解くことにより得られる。

図３では、＋００について１，２，３．４の数をもつフェーズの中、および１． ！ｌ：１０について同じ数を持つフェーズの中で同値をみる。

係数の値に関する以外はすべての場合１問題の帰するところは正準形式の三次方 程式か二次方程式を解くことである。

誤りの実効位置はつぎのようにしてめられる。

Ｘ　がＸ＝ａｊＩの形式とすれば（この場合ａＪ１は要１ 素Ｇ　Ｆ　（２Ｐ）である）、ｊ、は誤りの位置の特色を表わし、そこからつぎ の式を得る。

ｊ　ｓ　＝　Ｌｏｇ、（Ｘｔ　）　（１７）Ｘ、をめれば、併合する誤り図ｙ　 の計算を可能にする。

５０＝Ｙ、＋Ｙ２＋Ｙ３　＋ｙ、　） Ｓ、＝Ｙ、Ｘ、＋Ｙ２Ｘ２　＋Ｙ３ｘ３＋Ｙ、ｘ、、）（Ｉｓ）Ｓ２　＝ＹＨＸ ’；　＋Ｙ２ｘ２＋ｙ３Ｘ”１　＋Ｙｏ　Ｘｎ　）Ｓ４＝Ｙ、Ｘ、　十ｙ２ｘ、 ＋ｙ３ｘ３＋ｙ４ｘ４）（以下余白） 図２に関して゛は、記号が着信するとき、デコーダは、与えられるｊの値に対す る方程式（２）におけるが如く、Ｓｊを計算する。この演算仲Ｇ　（ｘ）の累＊ 根の回数だけ行なわれる。

次数文のａ記号について、回路１１はつぎの計算を行う。

Ｘｊ＝ａＪ、の解のための７文（ａＪ）Ｌこの結果は、一時、回路１２に蓄積（ 記憶）される。

デコーダは、前の（ｒｔ−ＪＬ）項の和をめ、回路ｌＯに蓄積（記憶）し、回路 １１は透過である。回路１３は加力を行う。

交　−１ と透過である回路１５を経由して通過し、回路１０に蓄積（記憶）される。上述 の演算は、最後の記号が着信するまで繰返される。種々の一連の徴候は、回路１ ０に蓄積（記憶）のまま。

デコーダは三つの蓄積（記憶）装置から成る。

−回路ｌＯ０これは、ｐビットのＵ語のランダムアクセス記憶装置であり、ここ でＵはシステムの特徴である。

−回路１２と１４ｏ　これはｐヒントの記憶装置である。

回路１３゜これは、一連の徴候の計算の間、モジュロ２加算器として機能する。

回路１１゜これは表であり、そこでは、システムが予め定める順序で、保留した 記憶域（ａｒｅａ）がインプントに着信する信号とジェネレータ多項式を乗じる 。

回路１５゜これは表であり、そこでは、この演算の間、透過の記憶域（ａｒｅａ ）が利ｉされる。　□種々の行列式の計算に必要な演算は、情報とモジュロ２加 算である。

ガロア体ＧＦ、’（２Ｐ）における二つの要素の情報は、これら一つの数の底３ 対数のモジュロ（２Ｐ−１）加算に置換えられる。

１日 來」Ｌの」１合 回路１０に蓄積される一連の徴候の値は、その対数を与える回路１１を通りぬけ る。この結果は回路１２に蓄積される。同じ過程を用い、実例の対数は他の一連 の徴候につき計算される。このとき、回路１１と１２からの出力は、この精確な ケースではモジュロ（２Ｐ−ｔ　）として作業する回路１３に送りこまれる。二 つの対数の加算結果は、回路果の真数を与え、その結果は回路ｌＯの保留記憶領 域において起こる。

厭奮立屓泊 この場合は、回路１１と１５は透過で蘂り、回路１３はモジュロ２加算器として 機能する。

前記方法により計算した係数δ１　、δ２・・・δ１・・・δｔは明示する回路 １０の記憶領域に蓄積される。

例 Ｘ’　＋Ｘ４＋Ｘ３＋Ｘ２＋１がコードジェネレータ多項式の形で表わすことの できる特徴をもつ多項式とすると、 Ｃ（ｘ）　＝　（ｘ−１）　（ｘ−ａ）　・・−（ｘ−ａ’　）みられるように 、ジェネレータ多項式は、訂正する誤りの数の２倍の累乗根をもたねばならず、 かつこの場合へつの累乗根があるから、四つの誤りが訂正できるＳＯからＳ７の 八つの一連徴候があり、これら徴候はａＪを１、ａ、δ２　、　３　、δ４　、 ａ’　、δ６．ａ’で連続層により計算される。

一連の徴候は下記の値をもつものと想定する。

ｏ−ａＪ さらに、δ２の位置とａＪの値に一つの誤りがあると想定する、ここでδ２とａ ｊはガロア体ＬＪＦ（２′１）での要素である。

未知のδ！から６４　（四つの誤りについて４次行列式）を解くのを可能にする 第一行列式は、つぎのように書かれる。

この行列式はゼロである。誤りは、多くて土つである。

次いて第一行列式がつくられる。

この行列式はゼロである。誤りは、多くて二つである。

次いで第一行列式がつくられる。

この行列式はゼロである。誤りは−っである。そこで次式がつくられる。

Δ（１）　＝　１ｓ３１　＝　Ｓ３ 行列式はつぎのように示される。

Δ＋　＝　１３４１−　ｓ４ これは、方程式（４）からっぎのようになる。

δ１＝Δ１／Δ（１）　−３４／Ｓ３　＝　ａ”／ａ”　＝　ａ２そこから、Ｘ −６１＝ａ２ これは、誤りの位置につき下した想定を指示する。

訂正した誤りは、方程式（２）により計算したＹｌのψで、つぎのように示され る。

Ｙ、＝Ｓｏ＝ａ３ 国際調査報告

Claims (9)

【特許請求の範囲】
1. （１）ビットから成り且つｍ＋に＝ｎ−１の関係のｍ情報記号とに制御記号とか ら成る（ｎ−１）次の多項式の形式で表わされるコード語につき、リードソロモ ンコードにより符号化したデータの復号化の方法であって、制御記号は２Ｐビッ ト語であり、上記の語は有限ガロア体ＧＦ（２Ｐ）における要素を下記の各段階 でつくることを特徴とする方式； ａ）符号化する一群のビットをに次のジェネレータ多項式で除し、その結果、除 法の商がｍ情報記号を与え且つ除法の剰余かに制御記号を与える； ｂ）コードジェネレータ多項式のある一定の累乗根につき、コード語を表わす多 項式の一連の徴°候の計算、なお上記の一連の徴候は、多くても八つで且つ四つ の一次方程式の二つのシステムに関連するもので、その係数はコード語における 誤りの場所と誤りの値である；Ｃ）行列式Δ（４）の構成およびゼロか非ゼロで ある上記行列式の計算； ｄ）Δ（４）の値がゼロの場合、前記の四つの方程式に含まれる三つの方程式シ ステムの行列式Δ（３）の構成、およびゼロか非ゼロである行列式Δ（３）の値 の計算；ｅ〕Δ（３）の値がゼロの場合、前記の三つの方程式に含まれる二つの 方程式システムの行列式Δ（２）の構成、およびゼロか非ゼロである行列式（２ ゛）の値の計算；ｆ）Δ（２）の値がゼロの場合、前記の二つの方程式に含まれ る一つの方程式の行列式Δ（１）の構成、およびゼロか非ゼロの行列式Δ（１） の値の計算：ｇ）誤りの数“は、行列式Δ（４）、Δ（３）、Δ（２）、Δ（１ ）がそれぞれゼロか否かにより４．３．２またはｌであり、各場所での誤りの訂 正は、上記場所での一連の徴候の値を示す方程式のシステムを解くことにより、 成立する。
2. （２）表（５）、三つの記憶装置（１，２，３）、およびモジュロ２加算器（４ ）から成るリードソロモン符号化システムで、情報記号に加えられる制御記号の 計算を可能にし、並びに、一方では乗法の実施を可能にし、他方。 除法の各段階での認識ができるよう、モジュロ２項を加算して装置（りに蓄積す ることを可能にするもの、なお、上記符号化システムは、有限体ＧＦ’（２Ｐ） でｐが値をもつリードソロモンコード制御記号の計算を可能にすることを特徴と する方式。
3. （３）　Ｅツノ記憶装置ｔ　（１０，１２，１４）　−ソｃ７）内−ツバｐビッ トのＵ後のランダムアクセス記憶装置（ｌθ）であり、Ｕはシステムの特徴であ り、他の二つ（１２と１４　）はｐ２進要素の記憶装置である。−１一連の徴候 語の計算の間は、モジュロ２加算器としての回路（１３）　、保留した記憶域が インプットの記号とジェネレータ多項式との乗法を、システムが予め定める順序 で行う回路（１１）、および透過の記憶域がこの演算の間に利用される表である 回路（１５）から成るリードソロモンコードの誤’Ｊ（７）−Ｍの徴候を計算す るシステムで、ｋ誤りの一連の徴候の計算を可能にする方式。
4. （４）特許請求の範囲第２項に記載の方式で、（Δ）・＝０となる時点まで行列 式（Δ）４　、（Δ）３．（Δ）２・・・（Δ７、の値を連続検査する（１６） があり、誤りのある多用式でのｐビー２トのｔ係数の計算を可能にするもの、な お上記の時点で回路（１６）は観察した誤りを示すメツセージを届ける、一方、 訂正すべき誤りの数に符合する係数δのシステムでの計算を可能にする方式。
5. （５）特許請求の範囲第２項と第３項に記載の方式で、状況に応じモジュロ２か モジュロ（２Ｐ−１）加算器の位置を想定する回路（１３）に対し、行うべき演 算の種類を発見定の記憶域の表である回路（１１）と（１５）−ａｃ　はＧ　Ｆ 　（２”）の要素である−１およびＬ　ｏ　ｇ　ｏ　（０）の如き演算禁止の構 成を発見する回路（１６）を備え、システムが６１から８４までの計算かり能に なる方式。
6. （６）特許請求の範囲第２項、第３項および第４項に記載の方式で、回路（１６ ）が、連続検査のあと、現、われる誤りの数の確認を可能にし、また四つの誤り の場合、システムが正準形式で表わされる三次方程式により位置の計算を行い、 回路（１５）が、計算継続の手順採用には三次方程式の解決のない場合を発見す る方式。
7. （７）特許請求の範囲第２項、第３項、第４項および第５項に記載の方式で、回 路（１５）が正準形式に変形される三次と二次の方程式の累乗根を与えるある一 定の記憶域の不変性の表である方式。
8. （８）特許請求の範囲第２項から第６項に記載の方式で、四つ以上の誤りが現わ れるとき、回路（１５）と回路（１６）の連合がより多くの誤りを除去する方式 。
9. （９）特許請求の範囲第２項から第７項に記載の方式で、回路（ｌＯ）が、その 情報蓄積により、計算によりめた位置での誤った記号の訂正を可能にする方式。