JPH10269280A - 回路解析方法 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】 【課題】 マルチトーン励振および強非線形挙動を有す
る回路をシミュレートする高速で高精度の方法を実現す
る。 【解決手段】 回路変数の多変数形式を用いてマルチト
ーン信号を効率的に表現する。マルチレート回路偏微分
方程式（ＭＣＰＤＥ）を解いて回路解を得る。相異なる
方法でＭＣＰＤＥを解く３つの方法がある。多変数ＦＤ
ＴＤは、ＭＣＰＤＥをグリッド上に配置する。階層的シ
ューティングは、関数空間変数に関する１次元シューテ
ィングステップのネストされた系列を実行する。周波数
−時間混合アルゴリズムは、いくつかの次元に関してハ
ーモニックバランスを用い、他の次元に関してはシュー
ティング／ＦＤＴＤを用いる。適応非一様グリッドを用
いて効率および精度を保証する。方法の選択は、回路の
性質および利用可能な計算資源による。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【発明の属する技術分野】本発明は、集積回路の設計の
分野に関し、特に、マルチトーン励振により強非線形回
路を解析する時間領域法および周波数−時間混合法を用
いて効率的な集積回路（ＩＣ）を製造することに関す
る。

【０００２】

【従来の技術】実用的重要性のある多くの回路は、マル
チトーン（すなわち、いくつかの独立な時間スケールま
たは周波数を有する）励振の下で強非線形領域で動作す
る。よく知られた例は、スイッチトキャパシタ回路およ
びスイッチングパワーコンバータである。最近では、携
帯用通信のためのＲＦ設計が、ベースバンドＩＣ回路か
ら新たなトポロジーを取り込み始めており、これは強非
線形セクションを有することが多い。

【０００３】代表的なＲＦアプリケーションでは、マル
チトーン入力は準周期的である（K.S. Kundert, J. K.
White, and A. Sangiovanni-Vincentelli, "Steady-Sta
teMethods For Simulating Analog And Microwave Circ
uits", Kluwer Academic Publishers, 1990、参照）
か、あるいは、エンベロープ変調され（D. Sharrit, "N
ew Method of Analysis of Communication Systems", M
TTS96 WMFA: NonlinearCAD Workshop, June 1996、参
照）、数桁離れた相異なるトーンの時間スケールを有す
る。

【０００４】回路の周期的あるいは準周期的な定常状態
解を計算する２種類の方法が存在する。すなわち、シュ
ーティング／ＦＤＴＤと、ハーモニックバランスであ
る。

【０００５】シューティングとＦＤＴＤは、いずれも時
間領域法であるが、密接に関連している。シューティン
グ（T. J. Aprille and T. N. Trick, "Steady-state a
nalysis of nonlinear circuits with periodic input
s", Proc. IEEE, 60(1):108-114, January 1972、およ
び、S. Skelboe, "Computation of the periodic stead
y-state response of nonlinear networks by extrapol
ation methods", IEEE Trans. Ckts. Syst., CAS-27
(3):161-175, March 1980、参照）は、回路の微分方程
式に対する初期状態を、回路が入力の１周期後に同じ状
態に戻るように求めることに基づく。初期状態の推測か
ら、１周期後の回路の最終状態は、標準的な過渡解析に
よって決定される。最終状態が初期状態に等しくない場
合、推量は、回路の状態遷移関数の周りでニュートンあ
るいは緩和アルゴリズムを用いて精緻化される。ＦＤＴ
Ｄ法は、シューティングのように順次的にではなく同時
に、入力周期にわたる回路の値を解く。最近、反復線形
代数法がこれらの方法に適用されており（R. Telicheve
sky, K. Kundert, and J. White, "Efficient Steady-S
tate Analysis based on Matrix-Free Krylov Subspace
Methods", Proc. IEEE DAC, pp.480-484, 1995、参
照）、大規模な回路での効率を高めている。

【０００６】これらの時間領域法は、強非線形回路を容
易に解析することができる。しかし、重大な弱点は、大
きく離れたマルチトーン問題を効率的に処理することが
できないことである。通常のアプローチは、最も遅いト
ーンの周期に等しい周期の単一トーンの問題としてマル
チトーン問題を扱うことである。これは、数千個あるい
は数百万個の高速トーンの周期のシミュレーションにつ
ながり、非常に非効率的となる。

【０００７】ハーモニックバランス（ＨＢ）法は、この
問題を周波数領域で扱う（R. J. Gilmore and M. B. St
eer, "Nonlinear Circuit Analysis using the Method
of Harmonic Balance - a review of the art. Part 1.
Introductory Concepts", Int. J. on Microwave and
Millimeter Wave CAE, 1(1), 1991、参照）。回路内の
すべての波形は、打ち切られたマルチトーンフーリエ級
数で表現される。回路の微分方程式は、級数係数に関す
る代数方程式系に置き換えられる。これらの方程式は、
ニュートン−ラフソン法あるいは緩和法で数値的に解か
れる。ＨＢに対する従来のアルゴリズムは、比較的小規
模の回路の解析に制限されていた。最近、この問題は、
ＨＢヤコビ行列に対する因子分解行列形式を利用し、反
復線形解法を用いることによって克服された（R. C. Me
lville, P. Feldmann, and J. Roychowdhury, "Efficie
nt Multi-tone Distortion Analysis of Analog Integr
ated Circuits", Proc. IEEE CICC, May 1995、参
照）。

【０００８】

【発明が解決しようとする課題】ハーモニックバランス
法は、回路が以下の２つの特徴を有する場合に、マルチ
トーン解析の選択肢となる。 （１）すべての波形が、比較的少数の項を有するフーリ
エ級数で精度よく表現される。 （２）非線形性は小〜中程度である。従来のマイクロ波
回路およびＲＦ回路はこれらの性質を有するため、ＨＢ
はこれらのアプリケーションに広範に使用されている。
しかし、最近の携帯用通信のためのＲＦアプリケーショ
ンは、ベースバンドＩＣ回路から取り入れられた新しい
トポロジーを組み込んでおり、強非線形のセクションを
有することが多い。強非線形回路は、短いフーリエ級数
ではうまく表現されない波形を生成するため、ハーモニ
ックバランスはこのようなアプリケーションでは不十分
である。また、入力自体がフーリエ級数でコンパクトな
表現ができない短い波形である場合、ＨＢは、弱非線形
回路（スイッチトキャパシタフィルタ、スイッチングミ
キサ）でも有効でないことがある。

【０００９】もう１つの弱点は、ＨＢヤコビ行列の構造
に関するものである。ＨＢヤコビ行列は、非線形性が弱
い場合にはブロック対角的であるが、非線形性が強い場
合にはそうでなくなる。大規模な回路に対する最近のＨ
Ｂアルゴリズムは、ヤコビアンを反復的に解くためのプ
レコンディショナ（前処理）に基づいている。既存のプ
レコンディショナは、対角性がなくなると有効でなくな
るものが多いため、ＨＢ法は失敗することになる。本発
明の時間領域法は、効率的な表現の問題（フーリエ級数
展開によらない）と、対角性の問題（時間領域ヤコビア
ンはほとんどの実際の回路で対角的である）の両方を解
決するものである。

【００１０】Kundertら（K. Kundert, J. White, and
A. Sangiovanni-Vincentelli, "A Mixed Frequency-Tim
e Approach for Distortion Analysis of Switching Fi
lterCircuits", IEEE J. Solid-State Ckts., 24(2):44
3-451, April 1989）は、１つのトーンのみに関する強
非線形性と、他のトーンに関する弱非線形性によって特
徴づけられるマルチトーン問題の重要な特殊な場合をシ
ミュレートする周波数−時間混合アプローチを提案して
いる。彼らは、弱非線形パスの信号を数項のフーリエ級
数で表現することによって、強非線形トーンの周期によ
って分離された、時間領域サンプルの２つの集合間の関
係を得ている。これらの集合間のもう１つの関係が、回
路の微分方程式から得られる。これらの２つの関係を等
置することにより、準周期解の弱非線形トーンが効率的
に計算される。一般に、強非線形トーン（例えば、クロ
ック）は、弱非線形トーンよりもずっと高速である。こ
れは、このアルゴリズムの数値的な性質を悪くする。そ
の理由は、ゆっくりと変動する信号が、高速トーンの１
周期にわたるその信号の変動から外挿されるためであ
る。

【００１１】

【課題を解決するための手段】マルチトーン励振に対す
る回路の応答を計算する新しいアルゴリズムが実現され
る。この新しいアルゴリズムは、マルチトーン（準周期
的あるいはエンベロープ変調された）信号によって励振
される大規模な強非線形回路に対して効率的かつ強固で
ある。従って、このアルゴリズムは集積ＲＦアプリケー
ションで特に有用である。

【００１２】多変数表現が、（スパイクやパルスのよう
な）強非線形性によって生成される特徴を、従来の周波
数領域表現あるいは時間領域表現よりもずっとコンパク
トに捉える。新しいアルゴリズムは、時間領域または周
波数−時間混合領域で偏微分方程式（ＰＤＥ）を解くこ
とによって、これらの関数を効率的に計算する。周波数
領域スペクトルまたは時間領域波形が、安価な後処理ス
テップとして、多変数関数から生成される。

【００１３】２つの方法、すなわち、多変数ＦＤＴＤお
よび階層的シューティングは、一般の強非線形回路問題
に適した純粋に時間領域の方法である。これらは、メモ
リおよび計算量の必要量において相違する。新しい周波
数−時間混合法は、１個または複数のトーンにおいて中
程度に（強くはない）非線形である回路（例えば、スイ
ッチングミキサ、スイッチトキャパシタフィルタ）に対
して、より効率的である。

【００１４】３つのすべての方法の核心にある線形シス
テムは、本質的に、反復解法に適している。上記方法で
これを利用して、回路サイズに関して計算量およびメモ
リが線形に増大することが達成される。

【００１５】本発明の周波数−時間混合法は、相互に近
い点の集合の時間領域サンプルではなく、遅いハーモニ
ック成分で直接に計算することによって、上記の悪い性
質の問題を回避する。

【００１６】この性質の組合せを有する回路に対する効
率的で強固なシミュレーション方法が実現される。重要
な考え方は、マルチトーン波形は、単一の時間変数の関
数としてよりも、多変数関数（すなわち、いくつかの
「時間」変数の関数）として、ずっと効率的に表現され
ることである。この考え方は以下のセクションＡで、簡
単な例で説明される。多変数関数の使用により、回路の
微分代数方程式（ＤＡＥ）は、偏微分方程式（ＰＤＥ、
以下のセクションＢ参照）に変化する。以下のセクショ
ンＣで説明する新しい方法は、これらのＰＤＥを、多変
数表現の効率性を利用するような方法で解く。

【００１７】強非線形性は、スパイクおよびパルスが精
度よく効率的に表現されるように、非一様間隔の点で適
応的に多変数関数をサンプリングすることによって処理
される。

【００１８】

【発明の実施の形態】本発明では、ハーモニックバラン
スに対してＭＣＰＤＥは純粋には使用されない。その代
わりに、それを時間領域で効率的に解き強非線形性を処
理するために新しい方法が実現される。局所化された
（区分的多項式）基底関数を用いてＭＣＰＤＥを解くこ
とにより、階層的シューティングおよび多変数ＦＤＴＤ
が実現される。局所化基底およびフーリエ基底を組み合
わせることにより、新しい周波数−時間混合法が実現さ
れる。

【００１９】本発明の方法は、時間領域および周波数−
時間混合領域で定式化される。２つの純粋に時間領域の
方法である階層的シューティングおよび多変数ＦＤＴＤ
は、強非線形マルチトーン問題を解決する。階層的シュ
ーティングは、多変数ＦＤＴＤより少ないメモリしか必
要としない。しかし、多変数ＦＤＴＤは高いＱの回路で
はより効率的である。ハーモニックバランスを時間領域
法と組み合わせた周波数−時間混合法も実現される。こ
れは、いくつかのトーンに関して弱非線形性であるが他
のトーンに関しては強非線形性である回路（例えば、ス
イッチングミキサ、スイッチトキャパシタフィルタ）に
対しては、時間領域法よりも効率的である。対角的ヤコ
ビ行列構造のために、反復線形代数法は、本発明の方法
に特に適している。その使用により、計算量およびメモ
リは、回路サイズとともに線形に増大する。

【００２０】この新しい方法の結果をセクションＤに示
す。精度の改善、および、既存の技術に比べて２桁以上
の高速化が、この新しい方法で得られる。

【００２１】［Ａ．実施例：マルチトーン信号の多変数
表現］図１の回路は、コンパレータ（１）と、それに続
く抵抗（２）／キャパシタ（３）（ＲＣ）フィルタとか
らなる。波形ｂ（ｔ）は、ＡＣ発生器（４）からコンパ
レータ（１）への入力（５）であるが、次式で与えられ
る単純な２トーン準周期信号（図２に示す）である。 ｂ（ｔ）＝ｓｉｎ（２πｔ／Ｔ₁）ｓｉｎ（２πｔ／Ｔ₂），Ｔ₁＝１ｍｓ， Ｔ₂＝０．０１ｍｓ （１）

【００２２】２個のトーンの周波数はｆ₁＝１／Ｔ₁＝１
ｋＨｚおよびｆ₂＝１／Ｔ₂＝１００ｋＨｚである。理解
されるように、周期Ｔ₁＝１ｍｓのゆっくりと変動する
正弦波で変調された、周期Ｔ₂＝０．０１ｍｓの１００
個の高速に変動する正弦波がある。

【００２３】従来の回路の過渡あるいはシューティング
解析では、時間ステップは、ｂ（ｔ）の各高速正弦波が
精度よく表現されるほどに十分密な間隔であることが必
要である。各正弦波がｎ個の点でサンプリングされる場
合、遅い変調の１周期に必要な時間ステップの総数はｎ
Ｔ₁／Ｔ₂である。図２を生成するためには、正弦波あた
り１５個の点が使用されているため、サンプルの総数は
１５００である。

【００２４】ここで、次のようにして得られるｂ（ｔ）
の２変数表現を考える。ｂ（ｔ）に対する式でゆっくり
と変動する部分については、ｔをｔ₁で置き換え、高速
に変動する部分についてはｔ₂で置き換える。結果とし
て得られる２変数の関数をｂ＾（ｔ₁，ｔ₂）で表す。 ｂ＾（ｔ₁，ｔ₂）＝ｓｉｎ（２πｔ₁／Ｔ₁）ｓｉｎ（２πｔ₂／Ｔ₂），Ｔ₁ ＝１ｍｓ，Ｔ₂＝０．０１ｍｓ （２）

【００２５】注意すべき点であるが、ｂ＾（ｔ₁，ｔ₂）
からｂ（ｔ）を復元するのは容易であり、単にｔ₁＝ｔ₂
＝ｔと置けばよい。また、注意すべき点であるが、ｂ＾
（ｔ₁，ｔ₂）は二重周期的である（ｔ₁およびｔ₂の両方
に関して周期的であり、ｂ＾（ｔ₁＋Ｔ₁，ｔ₂＋Ｔ₂）＝
ｂ＾（ｔ₁，ｔ₂）である）。長方形０≦ｔ₁≦Ｔ₁，０≦
ｔ₂≦Ｔ₂上のｂ＾（ｔ₁，ｔ₂）のプロットを図３に示
す。ｂ＾は二重周期的であるため、このプロットはｔ₁
−ｔ₂平面の残りの部分にわたって繰り返される。

【００２６】さらに注意すべき点であるが、ｂ＾
（ｔ₁，ｔ₂）は、図２とは異なり、比較的少数の点によ
って表現される。図３は、一様な１５×１５のグリッド
上の２２５個のサンプルでプロットされており、図２よ
りも１桁少ない。

【００２７】さらに、関係ｂ（ｔ）＝ｂ＾（ｔ，ｔ）を
用いて、ｂ＾（ｔ₁，ｔ₂）からもとの準周期信号ｂ
（ｔ）を生成することは容易である。ｂ＾は二重周期的
であるため、ｂ（ｔ）のプロット（図２）の各点は、ｂ
＾（ｔ₁，ｔ₂）のプロット（図３）上の対応する点に写
像される。例えば、次の通りである。 ｂ（１．９５２ｍｓ）＝ｂ＾（１．９５２ｍｓ，１．９５２ｍｓ）＝ｂ＾（ Ｔ₁＋０．９５２ｍｓ，１９５Ｔ₂＋０．００２ｍｓ）＝ｂ＾（０．９５２ｍｓ， ０．００２ｍｓ）

【００２８】上記のことは、２つの重要な特徴を例示し
ている。 １．２変数形式は、もとの準周期信号よりも、数値的に
表現するためにはるかに少ない数の点しか必要としな
い。 ２．２変数形式は、もとの信号を完全に復元するのに必
要なすべての情報を含む。

【００２９】このことは、コンパクトな周波数領域表現
を有する準周期信号（例えば、式１のｂ（ｔ）は、２つ
の周波数成分ｆ₁±ｆ₂のみを有する）に対してだけでな
く、周波数領域で効率的に表現することができないもの
に対しても成り立つ。例えば、次のような、コンパレー
タの出力（６）における準周期ディジタル信号ｙ（ｔ）
を考える。 ｙ（ｔ）＝ｃｏｍｐ（ｂ（ｔ）），ｃｏｍｐ（ｚ）＝１
（ｚ＞０の場合），ｃｏｍｐ（ｚ）＝０（ｚ≦０の場
合）

【００３０】周波数領域でｙ（ｔ）を表現するには、６
２５個以上のフーリエ係数を必要とする。その理由は、
方形波を精度よく表現するには各トーンで少なくとも２
５個の高調波（ハーモニック）が必要であるためであ
る。１変数時間領域表現に関しては、図４に示すよう
に、４００点以上が必要である。しかし、次式で与えら
れ図５にプロットされる２変数表現ｙ＾（ｔ₁，ｔ₂）
は、精度よく表現するために約４０点しか必要としな
い。 ｙ＾（ｔ₁，ｔ₂）＝ｃｏｍｐ（ｂ＾（ｔ₁，ｔ₂）） ｙ（ｔ）は、関係ｙ（ｔ）＝ｙ＾（ｔ，ｔ）およびｙ＾
の二重周期性によって容易に復元可能である。

【００３１】本発明の方法の重要な点は、時間領域およ
び周波数−時間混合領域における新しい数値的方法を使
用して、回路のすべてのノード電圧および分岐電流の多
変数形式について直接に解くことである。

【００３２】これを行うため、回路方程式を多変数関数
で書き直す。図１の回路に対する微分方程式は次式で与
えられる。 ｄｘ／ｄｔ＝（ｃｏｍｐ（ｂ（ｔ））−ｘ）／ＲＣ （３） 理解されるように（後述のセクションＢ参照）、多変数
形式は次の偏微分方程式（ＰＤＥ）を満たす。

【数１】 境界条件は、ｘ＾（ｔ₁，ｔ₂）が二重周期的であるこ
と、すなわち、ｘ＾（ｔ₁＋Ｔ₁，ｔ₂＋Ｔ₂）＝ｘ＾（ｔ
₁，ｔ₂）である。後述のセクションＣで説明する本発明
の方法を用いて得られる解ｘ＾（ｔ₁，ｔ₂）を図６にプ
ロットしてある。ｘ（ｔ）＝ｘ＾（ｔ，ｔ）を用いて生
成される１変数解ｘ（ｔ）を図７にプロットしてある。
明らかなように、与えられた精度で、２変数形式は、１
変数形式よりもずっとコンパクトにサンプリングされ
る。

【００３３】［Ｂ．マルチレート回路偏微分方程式（Ｍ
ＣＰＤＥ）の定式化］このセクションでは、後述の本発
明の方法をよりよく理解するため、マルチトーン回路問
題を偏微分方程式（ＰＤＥ）として提示することが可能
であって、これが強非線形マルチトーン問題に対する効
率的アルゴリズムにつながることを示す。回路を記述す
る微分代数方程式（ＤＡＥ）（式５）に基づいて、マル
チレート回路偏微分方程式（ＭＣＰＤＥ）が式６で提案
される。

【００３４】その後、ＭＣＰＤＥに関する３つの定理を
示し、後述のセクションＣの数値的方法のための準備と
する。定理１および２は、周期的境界条件でのＭＣＰＤ
Ｅの任意の解は、回路ＤＡＥの準周期解に対応すること
を示す。定理３は、標準的な線形ＯＤＥ試験問題に対し
て、ＭＣＰＤＥの一意的周期解が存在することを示す。
また、これらの定理は、ＭＣＰＤＥ定式化が重要であり
うまく定義されていることを正当化する。本発明の数値
的方法はＭＣＰＤＥを用いて多変数表現の効率性を活用
する。

【００３５】回路の方程式はＤＡＥ形式で次のように書
くことができる。 ｄｑ（ｘ）／ｄｔ＝ｆ（ｘ）＋ｂ（ｔ） （５）

【００３６】ｔ（時間）以外のすべての変数はベクトル
に値をとる。ｘは回路の未知量（ノード電圧および分岐
電流）である。ｑは電荷項であり、ｆは抵抗項である。
ｂ（ｔ）は、回路に対する励振のベクトルである（一般
に独立の電圧／電流源からなる）。

【００３７】励振ｂ（ｔ）がｍ個のトーンを有するとき
に式５を解くため、マルチレート回路偏微分方程式が次
のように定義される。

【数２】

【００３８】ｆおよびｑは式５と同じ関数であるが、ｘ
＾（ｔ₁，...，ｔ_m）およびｂ＾（ｔ₁，...，ｔ_m）はｍ
個の変数ｔ₁，...，ｔ_mの新しい多変数関数である。ｍ
変数信号ｘ＾、ｂおよびｍ個の独立変数ｔ₁，...，ｔ_m
は、当面、何ら物理的意味を有すると仮定する必要はな
い。もとの回路に対するそれらの数学的関係は以下で明
らかとなる。しかし、セクションＤで明らかになるよう
に、ｔ₁，...，ｔ_mは、ｍ個のトーンに対応する独立の
「時間」変数と考えることが可能であり、それらの有用
性は、それらが回路のマルチトーン信号の変動のｍ個の
時間スケールを分解するという点にある。同様に、ｘ＾
およびｂ＾は、ｍトーン波形ｘ（ｔ）およびｂ（ｔ）を
表現する効率的手段であることが分かる。

【００３９】まず、次の基本定理を主張する。

【００４０】定理１：ｘ＾（ｔ₁，...，ｔ_n）およびｂ
＾（ｔ₁，...，ｔ_n）がＭＣＰＤＥ（式６）を満たす場
合、ｘ（ｔ）＝ｘ＾（ｔ，...，ｔ）およびｂ（ｔ）＝
ｂ＾（ｔ，...，ｔ）は回路のＤＡＥ（式５）を満た
す。

【００４１】この定理は、ＭＣＰＤＥの解ｘ＾が既知で
ある場合、回路方程式の解は、ｘ＾をｔ₁＝...＝ｔ_n＝
ｔで与えられる「対角線」上で評価することによって直
ちに得られることを示している。回路波形が準周期マル
チトーンであるときには、次に示すように、さらに簡単
な条件がＭＣＰＤＥに引き起こされる。まず、信号の準
周期性の概念を正確に定義する。

【００４２】定義１：１変数関数ｙ（ｔ）は、次の形式
で表すことができる場合に、ｍトーン準周期的であると
いう。

【数３】 Ｙ（ｉ₁，...，ｉ_n）は実数値または複素数値定数であ
る。

【００４３】次に、多変数信号（例えばＭＣＰＤＥにお
けるｘ＾およびｂ＾）に対する周期性の概念を定義す
る。

【００４４】定義２：多変数関数ｙ＾（ｔ₁，...，
ｔ_m）は、すべての実数ｔ₁，...，ｔ_mおよびすべての整
数ｋ₁，...，ｋ_mに対してｙ＾（ｔ₁＋ｋ₁Ｔ₁，...，ｔ_m
＋ｋ_mＴ_m）＝ｙ＾（ｔ₁，...，ｔ_m）である場合に、各
引数に関して独立にｍ周期的（あるいは単にｍ周期的）
であるという。Ｔ₁，...，Ｔ_mは実数定数である。Ｔ
_iを、ｙ＾のｉ番目のトーンの周期、あるいは単にｙ＾
のｉ番目の周期という。

【００４５】以下の２つの補題は、準周期信号と周期多
変数信号が密接に関係していることを示す。補題１は、
任意の周期多変数信号ｙ＾が与えられた場合に、ｙ＾を
対角線上で評価することによって直ちに準周期信号ｙが
得られることを示す。補題２は、任意の準周期信号ｙが
与えられた場合に、補題１を満たす周期多変数信号ｙ＾
が求められることを示す。

【００４６】補題１：ｙ＾（ｔ₁，...，ｔ_m）がその各
引数に関して独立にｍ周期的である場合、ｙ（ｔ）＝ｙ
＾（ｔ，...，ｔ）はｍトーン準周期的である。

【００４７】補題２：任意のｍトーン準周期関数ｙ
（ｔ）が与えられた場合、ｙ（ｔ）＝ｙ＾（ｔ，...，
ｔ）を満たす独立にｍ周期的なｙ＾（ｔ₁，...，ｔ_m）
が求められる。

【００４８】上記の補題を定理１に適用すると、以下の
定理および系が得られる。

【００４９】定理２：ｂ＾が式６のｍ周期的励振であ
り、ｘ＾がｍ周期的解である場合、ｘ（ｔ）＝ｘ＾
（ｔ，...，ｔ）は、ｍトーン準周期的励振ｂ（ｔ）＝
ｂ＾（ｔ，...，ｔ）の下での式５のｍトーン準周期的
解である。

【００５０】系１：ｂ（ｔ）＝ｂ＾（ｔ，...，ｔ）で
あるようなｍ周期的ｂ＾が与えられた場合、回路ＤＡＥ
のｍトーン準周期的解ｘ（ｔ）＝ｘ＾（ｔ，...，ｔ）
を得るためには、ｍ周期的境界条件でＭＣＰＤＥの解ｘ
＾を求めれば十分である。

【００５１】定理２および系１は、回路方程式のｍトー
ン準周期的解を求めるためには、（１）ｂ＾
（ｔ，...，ｔ）＝ｂ（ｔ）を満たすｍ周期的ｂ＾を求
め、（２）ｍ周期的境界条件でＭＣＰＤＥを解く、とい
うことで十分であることを示している。このような境界
条件下でＭＣＰＤＥのうまく定義された解が存在するこ
とは次の定理によって示される。

【００５２】定理３：境界条件 ｘ＾（ｔ₁＋ｋ₁Ｔ₁，...，ｔ_m＋ｋ_mＴ_m）＝ｘ＾
（ｔ₁，...，ｔ_m），ｔ_i∈Ｒ，ｋ_i∈Ｎ，ｉ∈
｛１，...，ｍ｝ で試験ＭＣＰＤＥ

【数４】 （回路方程式ｄｘ／ｄｔ＝λｘ＋ｂ（ｔ）に対応する）
は、Ｒｅ（λ）≠０の場合、任意の与えられたｍ周期的
ｂ＾に対して一意的な解ｘ＾を有する。

【００５３】実際の回路に対応する非線形ＭＣＰＤＥ
は、通常、一意的な解、または、いくつかの相異なる解
のいずれかを有する（１個または複数のＤＣ動作点を有
する回路に相当する）。λの実部が０でないことの必要
性は、ｄｘ／ｄｔ＝＋λｘのさらに単純な周期的解はλ
＝０の場合に一意的でない（任意の定数ｘ（ｔ）が解と
なる）ことを考えれば、驚くべきことではない。

【００５４】［Ｃ．ＭＣＰＤＥに対する効率的な数値的
方法］このセクションでは、本発明の３つの新しい数値
的方法を示す。図２１に、本発明の開始を示す。各場合
の回路方程式はＤＡＥ（微分代数方程式）形式で書かれ
る（２１１）。次に、回路のＭＣＰＤＥ（マルチレート
回路偏微分方程式）が定義される（２１２）。次に、Ｍ
ＣＰＤＥを解く方法のうちの１つが、回路特性に基づい
て選択される（２１３）。

【００５５】これらの方法のうちの２つの方法（多変数
ＦＤＴＤおよび階層的シューティング）は、ＭＣＰＤＥ
を純粋に時間領域で解く。周波数−時間混合法は、ＭＣ
ＰＤＥのいくつかの次元を周波数領域で解く。

【００５６】時間領域法は、適応的に生成される非一様
なグリッドを用いて回路の波形を効率的にサンプリング
する。これは、鋭い局在化した特徴を生成する強非線形
回路で特に有用である。このような回路では、時間領域
法で現れる行列は、周波数領域法の行列よりも反復線形
法に適している。このことは、大規模回路のシミュレー
ションの付加的利点にもなる。

【００５７】多変数ＦＤＴＤよりも階層的シューティン
グが優れている点は、解く必要のある線形システムのサ
イズが小さいことである。これは、メモリの大幅な節約
になる。また、階層的シューティングにおけるグリッド
は、過渡解析アルゴリズムの時間ステップ制御によって
自然に誘導される。特別なグリッド細分アルゴリズムは
不要である。

【００５８】しかし、多変数ＦＤＴＤは、ゆっくりと減
衰する発振を有する回路（例えば、高いＱの回路）で
は、階層的シューティングよりも効率的になりうる。

【００５９】通信回路では多くの場合、いくつかのパス
は弱非線形性のみを通じて正弦波信号を伝送する。この
ような回路では周波数領域法のほうが時間領域法より良
好である。回路が強非線形性のパスを含む場合（例え
ば、スイッチングミキサの場合）、純粋に周波数領域ま
たは時間領域の方法はいずれも問題の一部に対して弱
い。周波数−時間混合法が好ましいのはこのような状況
においてである。

【００６０】［Ｃ．１ 多変数時間領域差分（ＦＤＴ
Ｄ）法］この方法（図２２）では、式６のＭＣＰＤＥ
が、ｔ₁，...，ｔ_m空間におけるグリッド上で解かれ
る。グリッドを、点の集合｛ｔ₍₁₎ ^-，...，ｔ_(n) ^-｝と
する。ただし、各ｔ_(i) ^-＝（ｔ_(i)1，...，ｔ_(i)m）で
ある。ＭＣＰＤＥの偏微分作用素は離散化され、ＭＣＰ
ＤＥはこのグリッド上に配置される。これにより、未知
量｛ｘ＾（ｔ₍₁₎ ^-），...，ｘ＾（ｔ_(n) ^-）｝に関する
非線形代数方程式系が導かれる。これらの非線形方程式
はニュートン−ラフソン法によって解かれる。

【００６１】具体的にするため、２トーンの場合を考え
る。ＭＣＰＤＥは次のように単純化される。

【数５】 境界条件はｘ＾（ｔ₁＋Ｔ₁，ｔ₂＋Ｔ₂）＝ｘ＾（ｔ₁，
ｔ₂）である。長方形［０，Ｔ₁］×［０，Ｔ₂］上のサ
イズｎ₁×ｎ₂の一様グリッド｛ｔ_i,j ^-｝を考える。ここ
で、ｔ_i,j ^-＝（ｔ_(i)1，ｔ_(j)2）、ｔ_(i)1＝（ｉ−１）
ｈ₁およびｔ_(j)2＝（ｊ−１）ｈ₂（１≦ｉ≦ｎ₁，１≦
ｊ≦ｎ₂）である。ｈ₁＝Ｔ₁／ｎ₁およびｈ₂＝Ｔ₂／ｎ₂
は、それぞれ、ｔ₁およびｔ₂方向のグリッド間隔であ
る。

【００６２】（例えば）後退型オイラー則を用いて微分
作用素を離散化すると次のようになる。

【数６】

【００６３】グリッド点｛ｔ_i,j ^-｝にＭＣＰＤＥを配置
することにより、次のようにｎ＝ｎ₁×ｎ₂個の方程式が
得られる。

【数７】

【００６４】しかし、これらのｎ個の方程式は、さらに
多くの未知量に関するものである。ｎ₁＋ｎ₂個の追加の
未知量｛ｘ＾（ｔ_-1,j ^-）｝および｛ｘ＾（ｔ_i,-1 ^-）｝
が、それぞれ、ｔ₁＝０およびｔ₂＝０の直線上の微分作
用素を離散化することから生じている。これらの未知量
は、次のようなＭＣＰＤＥの二重周期的境界条件を用い
て消去される。

【数８】

【００６５】境界条件を適用すると、ｎ₁＋ｎ₂個の未知
量は式９から消去され、ｎ個の未知量に関するｎ個の方
程式系が得られる。この方程式系を次のように表す。

【数９】

【００６６】Ｆ（Ｘ）＝０は、ニュートン−ラフソン法
によって数値的に解かれる。このためには、Ｆ（・）の
ヤコビ行列が必要である。ヤコビアンは次のブロック構
造を有する。

【数１０】

【００６７】各ブロックはそれ自体ｎ₂×ｎ₂ブロック行
列であり、次式で与えられる。

【数１１】 上記において、ｑ′_i,j＝ｑ′（ｘ＾（ｔ_i,j ^-））およ
びｆ′_i,j＝ｆ′（ｘ＾（ｔ_i,j ^-））である。

【００６８】明らかに、∂Ｆ／∂Ｘは疎行列であるの
で、これとの行列・ベクトル積は容易に実行可能であ
る。これにより、各ニュートン−ラフソンステップで生
じる線形方程式を解くために反復線形法が有効となる。
さらに、ｆおよびｑがスカラーである場合、この行列
は、（１）ｑ（・）が線形で、（２）ｆ′がｑ′と同じ
符号を有する場合に、対角的となる。安定な回路の場合
はこれが成り立つ。対角性は、速い収束を保証するた
め、反復線形解法には望ましい性質である。ｆおよびｑ
がベクトル関数である場合、ブロック対角性がほとんど
の実際の回路で成り立つ。

【００６９】上記では、簡単のため、一様グリッドを仮
定した。実際には、グリッドは非一様であり、粗いグリ
ッドから出発して、誤差基準が満たされるまで細分する
ことによって適応的に構成される。

【００７０】［Ｃ．２ 階層的シューティング］このセ
クションでは、ＭＣＰＤＥを解くために、古典的シュー
ティングアルゴリズムの階層的拡張を行う（図２３参
照）。この方法の重要な点は、ＭＣＰＤＥを、関数空間
変数に関する常備分方程式とみなすことである。具体的
にするため、再び式７の２トーンＭＣＰＤＥを考える。

【数１２】

【００７１】この式で、変数ｘ＾、ｑ、ｆおよびｂ＾は
すべて、２変数ｔ₁およびｔ₂のベクトル値関数である。
すなわち、これらはＲ₂→Ｒ_kの写像である。ただし、ｋ
は回路のサイズである。しかし、これらはそれぞれ、ベ
クトル値関数に値をとる１変数の関数とみなすこともで
きる。すなわち、これらはＲ→｛ｈ（・）：Ｒ→Ｒ_k｝
の写像である。これらの写像を、ｑ（ｔ₁，ｔ₂）、ｘ＾
（ｔ₁，ｔ₂）、ｆ（ｔ₁，ｔ₂）およびｂ＾（ｔ₁，ｔ₂）
に対応して、それぞれＱ（ｔ₁）、Ｘ（ｔ₁）、Ｆ
（ｔ₁）およびＢ（ｔ₁）とする（関数に値をとる変数Ｆ
およびＸは、前セクションのベクトル値関数と混同して
はならない）。換言すれば、Ｑ（ｔ₁）は、固定したｔ₁
に対する整関数ｑ（ｔ₁，・）に等しく、他の変数につ
いても同様である。

【００７２】ＭＣＰＤＥは、関数に値をとる変数に関す
るＤＡＥとして形式的に次のように書くことができる。

【数１３】

【００７３】Ｄ_t2は、作用する（ｔ₂の）関数を微分す
る作用素である。

【００７４】式１６は、ＤＡＥであり、シューティング
法を用いた「メタシューティング」（従来技術の一変
形）によって解かれる。Φ（Ｘ₀，ｔ₁）を、このＤＡＥ
の状態遷移関数とする。シューティングは、（例えば）
ニュートン−ラフソン法を用いて次の式を解く。 Φ（Ｘ，Ｔ₁）−Ｘ＝Ｏ （１７）

【００７５】この式のヤコビアンは単純な行列ではな
い。むしろ、それはｔ₂のベクトル値関数の空間に作用
する線形作用素である。これは新規である。従来技術
は、ヤコビアンが行列である場合にシューティングを使
用している。さらに、式１７の左辺の各評価は、式１６
のＤＡＥの過渡解に対応する。この過渡解は、（例え
ば）後退型オイラー則を用いて式１６を次のように離散
化し、未知量Ｘ（ｔ_(1)i）（すなわち、現在の時点ｉに
おけるＸ）について解くことによって求められる。

【数１４】 注意すべき点であるが、式１８自体はｔ₂に関する微分
方程式である。その理由は、式１８は次のように書き直
すことができるからである。

【数１５】

【００７６】ここで、このＤＡＥは、ｔ₂に関するシュ
ーティング（または別の方法、例えば、１変数ＦＤＴＤ
あるいはハーモニックバランス）を用いて解くことがで
きる。この「内側ループ」解は、式１６の「外側ルー
プ」の各時間ステップごとに実行される。

【００７７】外側ループＤＡＥ（式１６）は、周期解を
探索することなく、ｔ₁に関して解き進むことも可能で
ある。すなわち、式１７を強制する必要はない。一方、
内側ループはｔ₂に関する周期解を求めて解かれる。こ
れは、マルチトーンエンベロープ追跡に対する純粋に時
間領域のアルゴリズムとなる。

【００７８】［Ｃ．３ 周波数−時間混合法］図２４
は、この第３の方法の流れ図である。

【００７９】ｘ＾（ｔ₁，...，ｔ_m）およびｂ＾
（ｔ₁，...，ｔ_m）はｍ周期的であるため、各変数ｔ_iに
関するフーリエ級数として表すことができる。いくつか
の変数に関するフーリエ級数が比較的少数の主要な成分
を有するような回路の場合、それらの変数に関するＭＣ
ＰＤＥのフーリエ級数展開をとることによって、周波数
−時間混合系を解くのが有効である。説明のために、再
び２トーンの場合を用いる。

【００８０】式７はｔ₁に関するフーリエ級数として次
のように書き直される。

【数１６】 ただし、ｊ＝（−１）^1/2であり、ｗ₁＝２π／Ｔ₁であ
り、Ｑ_i、Ｆ_i、Ｂ_iはそれぞれ、ｑ（ｘ＾（ｔ₁，
ｔ₂））、ｆ（ｘ＾（ｔ₁，ｔ₂））およびｂ＾（ｔ₁，ｔ
₂）のｔ₁に関するフーリエ成分である。Ｍは主要高調波
の数（小さい）である。式２０のフーリエ成分どうしを
次のように等置することができる。

【数１７】 式２１は次のようにベクトル形式に書き直すことができ
る。

【数１８】

【００８１】式２２は、ベクトルＤＡＥであり、標準の
シューティングや１変数ＦＤＴＤのような標準的な時間
領域法によって周期解が求められる。時間領域で解くこ
とは、非一様時間ステップを使用することを可能にし、
従って、強非線形性の効果を効率的に捕捉することがで
きる。

【００８２】式２２を時間領域で解くために、数値積分
法を用いて式２２中の微分演算ｄＱ^-（ｔ₂）／ｄｔ₂を
離散化する。これにより、ハーモニックバランスによっ
て解かれる周波数領域の内側方程式系が得られる。

【００８３】あるいは、関数空間変数の概念を用いて
（セクションＣ．２のように）、内側ループでシューテ
ィング／ＦＤＴＤを用い外側でハーモニックバランスを
用いる代替法も導出することが可能である。

【００８４】階層的シューティングの場合のように、式
２２は、周期的境界条件ではなく初期値問題として解く
ことができる。これにより、トーンの時間スケールに対
する制約なしに、Feldmannらのエンベロープ追跡法（P.
Feldmann and J. Roychowdhury, "Computation of cir
cuit waveform envelopes using an efficient, matrix
-decomposed harmonic balance algorithm", Proc. ICC
AD, November 1996）の一般化が得られる。

【００８５】［Ｄ．実験結果］このセクションでは、本
発明の方法を、強非線形領域で動作する実際の回路に適
用する。新しい方法の場合のＣＰＵ時間を、従来の方法
の場合とともに、表１にまとめる。回路および波形につ
いては後のセクションで説明する。

【００８６】

【表１】

【００８７】表１から分かるように、新しい方法を用い
て２桁の速度改善が達成される。また、以下のセクショ
ンで示されるように、従来のシューティングは長いシミ
ュレーション中に誤差が累積する傾向があり、全体とし
て制度の低い結果につながるが、新しい方法はこの欠点
がない。

【００８８】［Ｄ．１ 例１：ｃｋｔ１］ｃｋｔ１（図
８参照）は、２トーン電源（１０）によって電源供給さ
れる強非線形ダイオード整流器（１１）である。電源の
波形はｂ（ｔ）である。整流器（１１）の出力はローパ
スフィルタ（１２）によりフィルタリングされる。フィ
ルタ出力（１３）はｘ（ｔ）である。電源（１０）は、
高速パルス列からなり、そのデューティサイクルは、ず
っと遅いレートで変調される。正確には、高速パルス列
中の各パルスは関数ｐｕｌｓｅ（ｔ／０．１μ，ｄｕｔ
ｙ）で与えられる。ただし、ｄｕｔｙはデューティサイ
クル（サイクルのうち１が占める割合）を示す。全励振
ｂ（ｔ）は次式で与えられる。 ｂ（ｔ）＝ｐｕｌｓｅ（ｔ／Ｔ₂，０．２＋０．３ｓｉ
ｎ（２πｔ／Ｔ₁）），Ｔ₁＝１ｍｓ，Ｔ₂＝０．１μｓ

【００８９】時間的に大きく離れた、ｂ（ｔ）の２つの
セグメントを図９にプロットしてある。デューティサイ
クルの変化が分かる。ｂ（ｔ）のデューティサイクルの
変化は、次のように、その２変数形式ｂ＾（ｔ₁，ｔ₂）
においてさらに明らかとなる。 ｂ＾（ｔ₁，ｔ₂）＝ｐｕｌｓｅ（ｔ₂／Ｔ₂，０．２＋
０．３ｓｉｎ（２πｔ₁／Ｔ₁）），Ｔ₁＝１ｍｓ，Ｔ₂＝
０．１μｓ

【００９０】ｂ＾（ｔ₁，ｔ₂）の形を図１０にプロット
してある。デューティサイクルは高い領域の広がりであ
り、ｔ₂方向に沿って動いている。これは、遅い「時
間」変数ｔ₁に関して正弦波的に変化する。

【００９１】回路は、本発明の多変数ＦＤＴＤ法を用い
て、および、比較のために従来の１変数シューティング
によってシミュレートされた。表１に示したように、新
しい方法は２桁以上高速であった。

【００９２】出力ｘ（ｔ）の２変数形式ｘ＾を図１１に
示す。ローパスフィルタは、ｔ₂方向の高速変化を滑ら
かにして除去している。整流された出力は入力のデュー
ティサイクルに依存するため、遅いスケールの正弦波変
化はｔ₁の関数として観察される。

【００９３】１変数解ｘ（ｔ）のプロットを図１２に示
す。２変数解から得られる波形を実線（１２３）で表
し、高速パルスあたり２０および５０時間ステップを用
いた従来のシューティングから得られる波形をそれぞれ
点線１２１および１２２で表す。パルスあたり２０時間
ステップを用いた従来のシューティングは、厳密な局所
的誤差制御にもかかわらず、ｔ＝０．８ｍｓ付近で１５
％に達する誤差が累積している。パルスあたり５０時間
ステップに増やすことにより誤差はかなり減少するが、
それでもなお約３％が見える（表１のＣＰＵ時間はこの
シミュレーションの場合のものである）。新しい方法は
正確な波形を生成する。

【００９４】ｔ＝０付近のｘ（ｔ）の高速スケール詳細
を図１３に、新しい方法（１３１）ならびに２０（１３
０）および５０（１３２）時間ステップの場合について
示す。平滑化フィルタの比較的長い時定数のため、リプ
ルの形状はほぼ三角形である。

【００９５】［Ｄ．２ 例２：ｃｋｔ２］ｃｋｔ２はｃ
ｋｔ１と同じ回路であるが、励振はより急峻である。デ
ューティサイクルは、正弦波としてゆっくりと変化する
代わりに、０．２と０．８の間で急激に切り替わる。こ
の回路の電源ｂ（ｔ）は次の通りである。 ｂ（ｔ）＝ｐｕｌｓｅ（ｔ／Ｔ₂，０．２＋０．６ｐｕ
ｌｓｅ（ｔ／Ｔ₁）），Ｔ₁＝１ｍｓ，Ｔ₂＝０．１μｓ

【００９６】２変数形式ｂ＾（ｔ₁，ｔ₂）を図１４に示
す。

【００９７】階層的シューティングを用いてこの回路を
シミュレートした。出力の２変数形式ｘ＾を図１５に示
す。ｔ₂に関する変化は前と同様滑らかにされて除去さ
れているが、ｔ₁に関する変化は今回は予想される通り
パルス状である。

【００９８】１変数解を図１６に、新しい方法（１６
０）の場合と、高速パルスあたり５０ステップでの従来
のシューティングの場合（１６１）とでプロットしてあ
る。高速パルスあたり５０ステップでの従来のシューテ
ィング（１６１）では３％の誤差が再び明らかである。

【００９９】［Ｄ．３ 例３：ｃｋｔ３］ｃｋｔ３（図
１７）は、スイッチングミキサ（１７２）およびフィル
タ（１７３）からなる。ミキサ（１７２）へのＲＦ入力
（１７０）は、振幅１００ｍＶを有する１００ｋＨｚの
正弦波である。これは、回路を弱非線形領域にドライブ
する。ＬＯ入力（１７１）は、大振幅（１Ｖ）の９００
ＭＨｚの方形波である。これは、高速なレートでミキサ
（１７２）のオンオフを切り替える。

【０１００】新しい周波数−時間混合法と、従来のシュ
ーティングによって、この回路をシミュレートした。新
しい方法では、ＲＦトーンｆ₁＝１００ｋＨｚ（セクシ
ョンＣ．３のｔ₁変数に対応する）において３個の高調
波をとった。ｆ₂＝９００ＭＨｚのＬＯトーンは、ｔ₂変
数に関するシューティングによって処理した。この方法
の出力は、周期Ｔ₂＝１／ｆ₂で周期的に時間変動する高
調波の集合である。第１高調波を図１８に示す。このプ
ロットは、ｆ₁＋ｉｆ₂（すなわち、周波数９００．１Ｍ
Ｈｚ、１８００．１ＭＨｚ、など）の形のすべての混合
成分に関する情報を含む。注目される主要な混合成分９
００．１ＭＨｚは、図１８の波形の第１フーリエ成分を
とることによって求められる。その振幅は６０ｍＶであ
る。

【０１０１】第３高調波を図１９に示す。これは、混合
３ｆ₁＋ｉｆ₂（すなわち、周波数９００．３ＭＨｚ、１
８００．３ＭＨｚ、など）に関する情報を含む。９０
０．３ＭＨｚ成分の振幅は約１．１ｍＶであることが分
かる。従って、ミキサによって導入される歪みは、所望
の信号より３５ｄＢ低い。

【０１０２】従来のシューティングによって生成される
出力を図２０に示す。これは、高速周期あたり５０ステ
ップを用いて実行されたが、新しい方法の約３００倍の
時間がかかった。

【０１０３】［Ｆ．結論］マルチトーン励振および強非
線形挙動の組合せを有する回路をシミュレートするため
の３つの新しい方法について説明した。このような回路
は、既存の方法を用いて解析するのは困難または不可能
であるが、ＲＦ回路をオンチップで集積する新しい設計
では重要である。

【０１０４】新しい方法は、既存の方法よりもずっと高
速で精度が高い。

【０１０５】そのアルゴリズムは、回路変数の多変数形
式を用いてマルチトーン信号を効率的に表現するもので
ある。マルチレート回路偏微分方程式（ＭＣＰＤＥ）を
解いて回路解を得る。３つの方法は相異なる方法でＭＣ
ＰＤＥを解く。多変数ＦＤＴＤは、ＭＣＰＤＥをグリッ
ド上に配置する。階層的シューティングは、関数空間変
数に関する１次元シューティングステップのネストされ
た系列を実行する。周波数−時間混合アルゴリズムは、
いくつかの次元に関してハーモニックバランスを用い、
他の次元に関してはシューティング／ＦＤＴＤを用い
る。適応非一様グリッドを用いて効率および精度を保証
する。

【０１０６】方法の選択は、回路の性質および利用可能
な計算資源による。周波数−時間混合法は、いくつかの
トーンに関して弱非線形性である信号パスを有する回路
に特に適している。弱非線形パスのない回路では、多変
数ＦＤＴＤまたは階層的シューティングのいずれかを使
用可能である。階層的シューティング法のほうが使用す
るメモリはずっと少ないが、多変数ＦＤＴＤよりも収束
が遅くなることがある。これらの３つの方法を少し変形
することにより、強非線形回路の波形エンベロープをシ
ミュレートすることが可能である。

【０１０７】新しい方法を用いて、大きく離れたトーン
によって励振される３つの強非線形回路をシミュレート
した。速い時間スケールと遅い時間スケールの両方で鋭
い遷移を有する整流器に、多変数ＦＤＴＤおよび階層的
シューティングを適用した。周波数−時間混合アルゴリ
ズムを用いてスイッチングミキサを解析した。従来の
（１次元）シューティングに比べて２桁以上の速度改善
とともに、精度の改善が示された。

【０１０８】

【発明の効果】以上述べたごとく、本発明によれば、既
存の方法よりもずっと高速で精度の高い、マルチトーン
励振および強非線形挙動の組合せを有する回路をシミュ
レートするための３つの新しい方法が実現される。

【図面の簡単な説明】

【図１】セクションＡで解析されるコンパレータとＲＣ
フィルタの図である。

【図２】図１の回路の解析で用いられる、コンパレータ
への２トーン準周期波形入力のグラフの図である。

【図３】図１の回路に対する、対応する２周期２変数関
数のグラフの図である。

【図４】図２の波形によってフィードされるときの、図
１のコンパレータの出力のグラフの図である。

【図５】図４の波形の２変数表現の図である。

【図６】本発明の方法を用いた、図１の回路に対する２
変数解のグラフの図である。

【図７】図６の解に対応する１変数解のグラフの図であ
る。

【図８】セクションＤ．１およびＤ．２でｃｋｔ１およ
びｃｋｔ２として解析される非線形回路の図である。

【図９】図８の回路に入力される波形ｂ（ｔ）を表現す
る高速パルス列で、そのデューティサイクルをずっと遅
いレートで変調したものを、大きく離れた時刻でグラフ
化した図である。

【図１０】図９の入力波形の２変数形式の３次元グラフ
の図である。

【図１１】セクションＤ．１で本発明の方法によって解
析される、図８の回路の出力の３次元グラフの図であ
る。

【図１２】図８の回路の整流器出力に対する１変数解の
グラフの図である。

【図１３】図１２のグラフの、ｔ＝０付近の高速スケー
ル詳細のグラフの図である。

【図１４】セクションＤ．２で本発明の方法によって解
析される回路の交番励振（入力波形）の３次元グラフの
図である。

【図１５】セクションＤ．２で本発明の方法によって解
析される、図１４の励振での図８の回路の出力の３次元
グラフの図である。

【図１６】図１５に対応する１変数解の図である。

【図１７】セクションＤ．３でｃｋｔ３として本発明の
方法によって解析されるミキサ／フィルタの図である。

【図１８】図１７の回路の周波数−時間混合出力の第１
ハーモニック成分のグラフの図である。

【図１９】図１７の回路の周波数−時間混合出力の第３
ハーモニック成分のグラフの図である。

【図２０】従来のシューティング法によって生成され
る、図１８の回路の出力のグラフの図である。

【図２１】本発明の第１の多変数ＦＤＴＤ法の流れ図で
ある。

【図２２】本発明の第２の階層的シューティング法の流
れ図である。

【図２３】本発明の第３の周波数−時間混合法の流れ図
である。

【符号の説明】

１ コンパレータ ２ 抵抗 ３ キャパシタ １０ ２トーン電源 １１ 強非線形ダイオード整流器 １２ ローパスフィルタ １３ フィルタ出力 １７０ ＲＦ入力 １７１ ＬＯ入力 １７２ スイッチングミキサ １７３ フィルタ

─────────────────────────────────────────────────────

【手続補正書】

【提出日】平成１０年４月９日

【手続補正１】

【補正対象書類名】明細書

【補正対象項目名】図面の簡単な説明

【補正方法】変更

【補正内容】

【図面の簡単な説明】

【図１】セクションＡで解析されるコンパレータとＲＣ
フィルタの図である。

【図２】図１の回路の解析で用いられる、コンパレータ
への２トーン準周期波形入力のグラフの図である。

【図３】図１の回路に対する、対応する２周期２変数関
数のグラフの図である。

【図４】図２の波形によってフィードされるときの、図
１のコンパレータの出力のグラフの図である。

【図５】図４の波形の２変数表現の図である。

【図６】本発明の方法を用いた、図１の回路に対する２
変数解のグラフの図である。

【図７】図６の解に対応する１変数解のグラフの図であ
る。

【図８】セクションＤ．１およびＤ．２でｃｋｔ１およ
びｃｋｔ２として解析される非線形回路の図である。

【図９】図８の回路に入力される波形ｂ（ｔ）を表現す
る高速パルス列で、そのデューティサイクルをずっと遅
いレートで変調したものを、大きく離れた時刻でグラフ
化した図である。

【図１０】図９の入力波形の２変数形式の３次元グラフ
の図である。

【図１１】セクションＤ．１で本発明の方法によって解
析される、図８の回路の出力の３次元グラフの図であ
る。

【図１２】図８の回路の整流器出力に対する１変数解の
グラフの図である。

【図１３】図１２のグラフの、ｔ＝０付近の高速スケー
ル詳細のグラフの図である。

【図１４】セクションＤ．２で本発明の方法によって解
析される回路の交番励振（入力波形）の３次元グラフの
図である。

【図１５】セクションＤ．２で本発明の方法によって解
析される、図１４の励振での図８の回路の出力の３次元
グラフの図である。

【図１６】図１５に対応する１変数解の図である。

【図１７】セクションＤ．３でｃｋｔ３として本発明の
方法によって解析されるミキサ／フィルタの図である。

【図１８】図１７の回路の周波数一時間混合出力の第１
ハーモニック成分のグラフの図である。

【図１９】図１７の回路の周波数−時間混合出力の第３
ハーモニック成分のグラフの図である。

【図２０】従来のシューティング法によって生成され
る、図１８の回路の出力のグラフの図である。

【図２１】本発明の方法の流れ図である。

【図２２】本発明の第１の多変数ＦＤＴＤ法の流れ図で
ある。

【図２３】本発明の第２の階層的シューティング法の流
れ図である。

【図２４】本発明の第３の周波数−時間混合法の流れ図
である。

【符号の説明】 １ コンパレータ ２ 抵抗 ３ キャパシタ １０ ２トーン電源 １１ 強非線形ダイオード整流器 １２ ローパスフィルタ １３ フィルタ出力 １７０ ＲＦ入力 １７１ ＬＯ入力 １７２ スイッチングミキサ １７３ フィルタ

───────────────────────────────────────────────────── フロントページの続き (71)出願人 596077259 600 Ｍｏｕｎｔａｉｎ Ａｖｅｎｕｅ, Ｍｕｒｒａｙ Ｈｉｌｌ， Ｎｅｗ Ｊｅ ｒｓｅｙ 07974−0636Ｕ．Ｓ．Ａ.

Claims (20)

【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】 ａ．回路のノード電圧および分岐電流を
   微分代数方程式（以下「ＤＡＥ」という。）の形式で特
   徴づけるステップと、 ｂ．前記ＤＡＥから、偏微分作用素および境界条件を有
   しベクトル値関数からなる多変数マルチレート回路偏微
   分方程式（以下「ＭＣＰＤＥ」という。）を導出するス
   テップと、 ｃ．多変数時間領域差分法、階層的シューティング法、
   および周波数−時間混合法からなる群から選択される数
   値的方法を用いて前記多変数ＭＣＰＤＥを解くステップ
   と、 ｄ．解かれた多変数ＭＣＰＤＥに基づいて波形グラフを
   表示するステップとからなることを特徴とする回路解析
   方法。
2. 【請求項２】 前記多変数時間領域差分法は、 ａ．グリッドを生成するステップと、 ｂ．前記ＭＣＰＤＥの偏微分作用素を離散化するステッ
   プと、 ｃ．前記ＭＣＰＤＥを前記グリッド上に配置して非線形
   代数方程式系を得るステップと、 ｄ．前記ＭＣＰＤＥの境界条件を用いて前記グリッドか
   ら余分の未知量を消去するステップと、 ｅ．ニュートン−ラフソン法を用いて前記非線形方程式
   を解くステップとからなることを特徴とする請求項１の
   方法。
3. 【請求項３】 余分の未知量を消去する際に用いられる
   境界条件は二重周期的であることを特徴とする請求項２
   の方法。
4. 【請求項４】 請求項２のステップａは、 ａ．粗いグリッドを生成するステップと、 ｂ．前記グリッドを解析して、誤差基準が満たされてい
   るかどうかを判断するステップと、 ｃ．誤差基準が満たされている場合、請求項２のステッ
   プｂに進むステップと、 ｄ．グリッドを細分するステップと、 ｅ．本請求項のステップｂから繰り返すステップとから
   なることを特徴とする請求項２の方法。
5. 【請求項５】 前記階層的シューティング法は、 ａ．前記ＭＣＰＤＥのベクトル値関数を、ベクトル値関
   数に値をとる１変数関数に写像するステップと、 ｂ．状態遷移関数を有し、ベクトル値関数に値をとる変
   数に関する微分代数方程式として前記ＭＣＰＤＥを特徴
   づけるステップと、 ｃ．反復法を用いて前記状態遷移関数を解いてそのヤコ
   ビアンを得るステップとからなり、 該反復法は、 ｉ．前記微分代数方程式を離散化するステップと、 ｉｉ．現在の時点ｉにおける未知量Ｘを解いて微分方程
   式を得るステップと、 ｉｉｉ．反復法を用いて前記微分方程式を解くステップ
   と、 ｉｖ．時点をインクリメントするステップと、 ｖ．すべての時点が解かれるまでステップｉｉから繰り
   返すステップとからなることを特徴とする請求項１の方
   法。
6. 【請求項６】 ステップｉｉｉの反復法はシューティン
   グ法であることを特徴とする請求項５の方法。
7. 【請求項７】 ステップｉｉｉの反復法はハーモニック
   バランス法であることを特徴とする請求項５の方法。
8. 【請求項８】 ステップｉｉｉの反復法は１変数ＦＤＴ
   Ｄ法であることを特徴とする請求項５の方法。
9. 【請求項９】 前記周波数−時間混合法は、 ａ．前記ＭＣＰＤＥを時間変数に関するフーリエ級数と
   して書き直すステップと、 ｂ．前記フーリエ級数のフーリエ成分を等置して方程式
   を得るステップと、 ｃ．前記方程式をベクトル形式で書き直してベクトル形
   式微分代数方程式を得るステップと、 ｄ．時間領域法を用いて前記ベクトル形式微分代数方程
   式の周期解を解くステップと、 ｅ．数値積分を用いて微分作用素を離散化して複数の周
   波数領域方程式を得るステップと、 ｆ．ハーモニックバランス法によって前記周波数領域方
   程式を解くステップとからなることを特徴とする請求項
   １の方法。
10. 【請求項１０】 ａ．第１回路設計を用意するステップ
    と、 ｂ．数学的解析によって前記第１回路設計の性能を決定
    するステップと、 ｃ．前記第１回路設計の性能を所望の性能と比較するス
    テップと、 ｄ．前記第１回路設計の性能が前記所望の性能から所定
    限界内にある場合、前記第１回路設計に従って回路を製
    造するステップとからなる回路製造方法において、前記
    ステップｂは、 ｉ．回路のノード電圧および分岐電流を微分代数方程式
    （以下「ＤＡＥ」という。）の形式で特徴づけるステッ
    プと、 ｉｉ．前記ＤＡＥから、偏微分作用素および境界条件を
    有しベクトル値関数からなる多変数マルチレート回路偏
    微分方程式（以下「ＭＣＰＤＥ」という。）を導出する
    ステップと、 ｉｉｉ．多変数時間領域差分法、階層的シューティング
    法、および周波数−時間混合法からなる群から選択され
    る数値的方法を用いて前記多変数ＭＣＰＤＥを解くステ
    ップとからなることを特徴とする回路製造方法。
11. 【請求項１１】 前記ステップａ〜ｃの前に、前記第１
    回路設計とは異なる第２回路設計を用意するステップ
    と、 前記数学的解析によって前記第２回路設計の性能を決定
    するステップと、 前記第２回路設計の性能を前記所望の性能と比較するス
    テップと、 前記第２回路設計の性能が前記所望の回路設計の前記所
    定限界内にない場合、前記第２回路設計を前記第１回路
    設計に変更するステップとをさらに有することを特徴と
    する請求項１０の方法。
12. 【請求項１２】 前記多変数時間領域差分法は、 ａ．グリッドを生成するステップと、 ｂ．前記ＭＣＰＤＥの偏微分作用素を離散化するステッ
    プと、 ｃ．前記ＭＣＰＤＥを前記グリッド上に配置して非線形
    代数方程式系を得るステップと、 ｄ．前記ＭＣＰＤＥの境界条件を用いて前記グリッドか
    ら余分の未知量を消去するステップと、 ｅ．ニュートン−ラフソン法を用いて前記非線形方程式
    を解くステップとからなることを特徴とする請求項１０
    の方法。
13. 【請求項１３】 余分の未知量を消去する際に用いられ
    る境界条件は二重周期的であることを特徴とする請求項
    １２の方法。
14. 【請求項１４】 請求項１２のステップａは、 ａ．粗いグリッドを生成するステップと、 ｂ．前記グリッドを解析して、誤差基準が満たされてい
    るかどうかを判断するステップと、 ｃ．誤差基準が満たされている場合、請求項２のステッ
    プｂに進むステップと、 ｄ．グリッドを細分するステップと、 ｅ．本請求項のステップｂから繰り返すステップとから
    なることを特徴とする請求項１２の方法。
15. 【請求項１５】 前記階層的シューティング法は、 ａ．前記ＭＣＰＤＥのベクトル値関数を、ベクトル値関
    数に値をとる１変数関数に写像するステップと、 ｂ．状態遷移関数を有し、ベクトル値関数に値をとる変
    数に関する微分代数方程式として前記ＭＣＰＤＥを特徴
    づけるステップと、 ｃ．反復法を用いて前記状態遷移関数を解いてそのヤコ
    ビアンを得るステップとからなり、 該反復法は、 ｉ．前記微分代数方程式を離散化するステップと、 ｉｉ．現在の時点ｉにおける未知量Ｘを解いて微分方程
    式を得るステップと、 ｉｉｉ．反復法を用いて前記微分方程式を解くステップ
    と、 ｉｖ．時点をインクリメントするステップと、 ｖ．すべての時点が解かれるまでステップｉｉから繰り
    返すステップとからなることを特徴とする請求項１０の
    方法。
16. 【請求項１６】 ステップｉｉｉの反復法はシューティ
    ング法であることを特徴とする請求項１５の方法。
17. 【請求項１７】 ステップｉｉｉの反復法はハーモニッ
    クバランス法であることを特徴とする請求項１５の方
    法。
18. 【請求項１８】 ステップｉｉｉの反復法は１変数ＦＤ
    ＴＤ法であることを特徴とする請求項１５の方法。
19. 【請求項１９】 前記周波数−時間混合法は、 ａ．前記ＭＣＰＤＥを時間変数に関するフーリエ級数と
    して書き直すステップと、 ｂ．前記フーリエ級数のフーリエ成分を等置して方程式
    を得るステップと、 ｃ．前記方程式をベクトル形式で書き直してベクトル形
    式微分代数方程式を得るステップと、 ｄ．時間領域法を用いて前記ベクトル形式微分代数方程
    式の周期解を解くステップと、 ｅ．数値積分を用いて微分作用素を離散化して複数の周
    波数領域方程式を得るステップと、 ｆ．ハーモニックバランス法によって前記周波数領域方
    程式を解くステップとからなることを特徴とする請求項
    １０の方法。
20. 【請求項２０】 回路を表現する複数の回路パラメータ
    を入力する入力デバイスと、 前記回路パラメータを受け取り記憶するメモリおよび蓄
    積プログラムと、 前記蓄積プログラムで動作するプロセッサと、 グラフィック表現を表示するディスプレイとからなる、
    回路の予測性能のグラフィック表現を生成する回路解析
    装置において、前記プロセッサは、 前記回路パラメータを処理する手段と、 回路のノード電圧および分岐電流を微分代数方程式（以
    下「ＤＡＥ」という。）の形式で特徴づける手段と、 前記ＤＡＥから、偏微分作用素および境界条件を有しベ
    クトル値関数からなる多変数マルチレート回路偏微分方
    程式（以下「ＭＣＰＤＥ」という。）を導出する手段
    と、 多変数時間領域差分法、階層的シューティング法、およ
    び周波数−時間混合法からなる群から選択される数値的
    方法を用いて前記多変数ＭＣＰＤＥを解く手段と、 解かれたＭＣＰＤＥから、回路の性能を予測するグラフ
    ィック表現を生成する手段とからなることを特徴とする
    回路解析装置。