JPH10247249A - 自由曲線表現方法 - Google Patents
自由曲線表現方法Info
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- JPH10247249A JPH10247249A JP9051220A JP5122097A JPH10247249A JP H10247249 A JPH10247249 A JP H10247249A JP 9051220 A JP9051220 A JP 9051220A JP 5122097 A JP5122097 A JP 5122097A JP H10247249 A JPH10247249 A JP H10247249A
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Abstract
(57)【要約】
【課題】 有理Ｂ-spline曲線の形状を変更せず、各中
間ノットの多重度を減らすように各制御点の重みを調整
する。 【解決手段】 隣りあう２つの曲線セグメントの共有節
点をｗ1Ｐ1とし、その両側の制御点をｗ0Ｐ0，ｗ2Ｐ2と
する。次式により、共有節点のノットの多重度を減ら
す。 ｔ0，ｔ1…曲線セグメントのパラメータ長 α，ｗ2…未知数
間ノットの多重度を減らすように各制御点の重みを調整
する。 【解決手段】 隣りあう２つの曲線セグメントの共有節
点をｗ1Ｐ1とし、その両側の制御点をｗ0Ｐ0，ｗ2Ｐ2と
する。次式により、共有節点のノットの多重度を減ら
す。 ｔ0，ｔ1…曲線セグメントのパラメータ長 α，ｗ2…未知数
Description
【０００１】
【発明の属する技術分野】本発明は、自由曲線表現方
法、より詳細には、ＣＡＤ／ＣＡＭを用いた３次自由曲
線表現方法に関する。
法、より詳細には、ＣＡＤ／ＣＡＭを用いた３次自由曲
線表現方法に関する。
【０００２】
【従来の技術】Leslie Piegl and Wayne Tiller，“A M
enagerie of Rational B-Spline Circles”,IEEE CG&
A，September，1989，pp.48-66には、４つの９０度円弧
より構成された有理Ｂ-spline曲線における中間ノット
の多重度を減らすことが提案されている。しかし、上述
文献に記載された発明は、円弧から構成された有理Ｂ-s
pline曲線の場合にしか対応できなかった。
enagerie of Rational B-Spline Circles”,IEEE CG&
A，September，1989，pp.48-66には、４つの９０度円弧
より構成された有理Ｂ-spline曲線における中間ノット
の多重度を減らすことが提案されている。しかし、上述
文献に記載された発明は、円弧から構成された有理Ｂ-s
pline曲線の場合にしか対応できなかった。
【０００３】一方、有理Ｂ-spline曲線を構成する曲線
セグメントの中には、直線、円弧、または有理Ｂezier
曲線が混在するのが一般的である。これらのケースにつ
いて、多重度を減らせば、以下の効果が得られる。 ・曲線の制御点の数が少なくなる。つまり、データ量が
少なくなる。 ・Ｂ-splineの基底関数の連続性を改善できる。 そのため、基底関数を利用したアプリケーションの連続
性も改善できる。例えば、中間ノットの多重度は（位数
−１）である場合には、曲線の連続性がＣ１であって
も、基底関数の連続性はＣ０になる。そのため、例え
ば、その曲線を軌道として、スイープ曲線を生成するア
プリケーションにおいて、生成されたスイープ曲面が不
連続となる。このような場合には、多重度を減らした方
が望ましい。
セグメントの中には、直線、円弧、または有理Ｂezier
曲線が混在するのが一般的である。これらのケースにつ
いて、多重度を減らせば、以下の効果が得られる。 ・曲線の制御点の数が少なくなる。つまり、データ量が
少なくなる。 ・Ｂ-splineの基底関数の連続性を改善できる。 そのため、基底関数を利用したアプリケーションの連続
性も改善できる。例えば、中間ノットの多重度は（位数
−１）である場合には、曲線の連続性がＣ１であって
も、基底関数の連続性はＣ０になる。そのため、例え
ば、その曲線を軌道として、スイープ曲線を生成するア
プリケーションにおいて、生成されたスイープ曲面が不
連続となる。このような場合には、多重度を減らした方
が望ましい。
【０００４】
【発明が解決しようとする課題】本発明は、上述のごと
き知見に基づいてなされたもので、特に、有理Ｂ-splin
e曲線に対して、有理Ｂ-spline曲線の形状を変更せず、
各中間ノットの多重度を減らすように各制御点の重みを
調整することを目的とするものである。
き知見に基づいてなされたもので、特に、有理Ｂ-splin
e曲線に対して、有理Ｂ-spline曲線の形状を変更せず、
各中間ノットの多重度を減らすように各制御点の重みを
調整することを目的とするものである。
【０００５】
【課題を解決するための手段】請求項１の発明は、有理
Ｂ-spline曲線（ＮＵＲＢＳ曲線とも呼ぶ）の表現や有
理Ｂ-spline曲線の基底関数を利用した応用において、
有理Ｂ-spline曲線の形状を変更せず、各中間ノットの
多重度を減らすように各制御点の重みを調整することを
特徴とし、もって、制御点の数を少なくしてデータ量を
減らして、更には、Ｂ-splineの基底関数の連続性を改
善するようにしたものである。
Ｂ-spline曲線（ＮＵＲＢＳ曲線とも呼ぶ）の表現や有
理Ｂ-spline曲線の基底関数を利用した応用において、
有理Ｂ-spline曲線の形状を変更せず、各中間ノットの
多重度を減らすように各制御点の重みを調整することを
特徴とし、もって、制御点の数を少なくしてデータ量を
減らして、更には、Ｂ-splineの基底関数の連続性を改
善するようにしたものである。
【０００６】請求項２の発明は、請求項１の発明におい
て、前記中間ノットの多重度を下記の式を用いて減らす
ようにしたことを特徴とするものである。
て、前記中間ノットの多重度を下記の式を用いて減らす
ようにしたことを特徴とするものである。
【０００７】
【数２】
【０００８】ｗ1Ｐ1…隣り合う２つの曲線セグメントの
共有接点 ｗ0Ｐ0，ｗ2Ｐ2…一直線に並ぶノットの両側の制御点 ｔ0，ｔ1…曲線セグメントのパラメータ長 α，ｗ2…未知数（αが決まるとｗ2が決まる）
共有接点 ｗ0Ｐ0，ｗ2Ｐ2…一直線に並ぶノットの両側の制御点 ｔ0，ｔ1…曲線セグメントのパラメータ長 α，ｗ2…未知数（αが決まるとｗ2が決まる）
【０００９】
【発明の実施の形態】図１は、有理Ｂ-spline曲線の一
例を示す図で、図中、四角（黒及び白）にて示す点を制
御点、黒四角で示す点を節点という。本発明でいう有理
Ｂ-spline曲線とは、図１に示すように、複数本の曲線
セグメント（直線、円弧、または、有理Ｂezier曲線：
各々自由曲線）より構成された曲線（図１の実線Ｓ）で
ある。各自由曲線を区分曲線と呼び、各自由曲線の端点
を節点（黒四角にて示す）と呼ぶ。また、スプライン曲
線Ｓにおける各節点のパラメータをノットと呼び、各ノ
ットの集りをノット列と呼ぶ。なお、各曲線セグメント
の次数を揃え、有理Ｂ-spline曲線で表現されたものを
図３（Ａ）に示す。
例を示す図で、図中、四角（黒及び白）にて示す点を制
御点、黒四角で示す点を節点という。本発明でいう有理
Ｂ-spline曲線とは、図１に示すように、複数本の曲線
セグメント（直線、円弧、または、有理Ｂezier曲線：
各々自由曲線）より構成された曲線（図１の実線Ｓ）で
ある。各自由曲線を区分曲線と呼び、各自由曲線の端点
を節点（黒四角にて示す）と呼ぶ。また、スプライン曲
線Ｓにおける各節点のパラメータをノットと呼び、各ノ
ットの集りをノット列と呼ぶ。なお、各曲線セグメント
の次数を揃え、有理Ｂ-spline曲線で表現されたものを
図３（Ａ）に示す。
【００１０】図２に示すような隣りあう２つの曲線セグ
メントＳ1，Ｓ2において、２つの曲線セグメントＳ1，
Ｓ2の共有節点をｗ1Ｐ1とし、一直線に並ぶノットの両
側の制御点をｗ0Ｐ0，ｗ2Ｐ2とする。ここで、共有節点
ｗ1Ｐ1のノットの多重度を減らすため、次の式を満たす
必要がある（ｗ0，ｗ1，ｗ2は重み、Ｐ0，Ｐ1，Ｐ2は制
御点）。
メントＳ1，Ｓ2において、２つの曲線セグメントＳ1，
Ｓ2の共有節点をｗ1Ｐ1とし、一直線に並ぶノットの両
側の制御点をｗ0Ｐ0，ｗ2Ｐ2とする。ここで、共有節点
ｗ1Ｐ1のノットの多重度を減らすため、次の式を満たす
必要がある（ｗ0，ｗ1，ｗ2は重み、Ｐ0，Ｐ1，Ｐ2は制
御点）。
【００１１】
【数３】
【００１２】ここで、ｔ0，ｔ1は節点ｗ1Ｐ1の左右の曲
線セグメントＳ1，Ｓ2のパラメータ長である。本発明で
は、α，ｗ2を未知数とし、上記の方程式を解くことに
する。式（１）を整理すれば、
線セグメントＳ1，Ｓ2のパラメータ長である。本発明で
は、α，ｗ2を未知数とし、上記の方程式を解くことに
する。式（１）を整理すれば、
【００１３】
【数４】
【００１４】となり、式（４）を式（２）に代入すれ
ば、αに関する１次式となるので、αの値が次の式
（５）により求まり、
ば、αに関する１次式となるので、αの値が次の式
（５）により求まり、
【００１５】
【数５】
【００１６】α（ノット）が求まれば、式（４）によ
り、ｗ2（重み）が求まる。
り、ｗ2（重み）が求まる。
【００１７】隣りあう２つの曲線セグメントの２本目の
曲線セグメントの重みを調整する。例えば、次の公知文
献（Richard R．Patterson，“Projective Transformat
ionof the Parameter of a Bernsten-Bezier Curve”，
ACM Transactions on Graphics，Vol．4，No.4，1985,p
p.276-290）を利用して２本目の曲線セグメントの重み
を調整する。
曲線セグメントの重みを調整する。例えば、次の公知文
献（Richard R．Patterson，“Projective Transformat
ionof the Parameter of a Bernsten-Bezier Curve”，
ACM Transactions on Graphics，Vol．4，No.4，1985,p
p.276-290）を利用して２本目の曲線セグメントの重み
を調整する。
【００１８】この方法によると、以下に示す２本の有理
Ｂezierの形状が同じであることがわかる。
Ｂezierの形状が同じであることがわかる。
【００１９】
【数６】
【００２０】曲線セグメントが２本以上の場合にも、以
上のプロセスを次々へ繰返して適応すれば、すべてのパ
ラメータ長の比が求まるので、各節点のパラメータ（ノ
ット）や、各曲線セグメントの新しい重みを計算でき
る。
上のプロセスを次々へ繰返して適応すれば、すべてのパ
ラメータ長の比が求まるので、各節点のパラメータ（ノ
ット）や、各曲線セグメントの新しい重みを計算でき
る。
【００２１】この方法を図３（Ａ）の有理Ｂ-spline曲
線に適用した結果を図３（Ｂ）に示す。図３（Ａ）の有
理Ｂ-spline曲線の重み及びノット列は次のようにな
る。 重み 1.000000 0.815450 0.815450 1.000000 0.906723 0.906723 1.000000 0.979269 0.979269 1.000000 0.977284 0.977284 1.000000 0.977284 0.977284 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 ノット列 ０ 0.000000 １ 0.000000 ２ 0.000000 ３ 0.000000 ４ 0.171469 ５ 0.171469 ６ 0.171469 ７ 0.422291 ８ 0.422291 ９ 0.422291 10 0.543948 11 0.543948 12 0.543948 13 0.671199 14 0.671199 15 0.671199 16 0.798450 17 0.798450 18 0.798450 19 1.000000 20 1.000000 21 1.000000 22 1.000000
線に適用した結果を図３（Ｂ）に示す。図３（Ａ）の有
理Ｂ-spline曲線の重み及びノット列は次のようにな
る。 重み 1.000000 0.815450 0.815450 1.000000 0.906723 0.906723 1.000000 0.979269 0.979269 1.000000 0.977284 0.977284 1.000000 0.977284 0.977284 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 ノット列 ０ 0.000000 １ 0.000000 ２ 0.000000 ３ 0.000000 ４ 0.171469 ５ 0.171469 ６ 0.171469 ７ 0.422291 ８ 0.422291 ９ 0.422291 10 0.543948 11 0.543948 12 0.543948 13 0.671199 14 0.671199 15 0.671199 16 0.798450 17 0.798450 18 0.798450 19 1.000000 20 1.000000 21 1.000000 22 1.000000
【００２２】図３（Ｂ）の有理Ｂ-spline曲線の重み及
びノット列は次のようになる。 重み 1.000000 0.553972 0.376339 0.257078 0.232478 0.231584 0.236204 0.257217 0.275178 0.332745 0.376094 0.574081 0.757681 0.983467 ノット列 ０ 0.000000 １ 0.000000 ２ 0.000000 ３ 0.000000 ４ 0.216200 ５ 0.216200 ６ 0.410488 7 0.410488 ８ 0.497406 ９ 0.497406 10 0.596610 11 0.596610 12 0.716569 13 0.716569 14 1.000000 15 1.000000 16 1.000000 17 1.000000
びノット列は次のようになる。 重み 1.000000 0.553972 0.376339 0.257078 0.232478 0.231584 0.236204 0.257217 0.275178 0.332745 0.376094 0.574081 0.757681 0.983467 ノット列 ０ 0.000000 １ 0.000000 ２ 0.000000 ３ 0.000000 ４ 0.216200 ５ 0.216200 ６ 0.410488 7 0.410488 ８ 0.497406 ９ 0.497406 10 0.596610 11 0.596610 12 0.716569 13 0.716569 14 1.000000 15 1.000000 16 1.000000 17 1.000000
【００２３】よって、図３（Ａ）の有理Ｂ-spline曲線
の中間ノットの多重度は３から２に減らされ、また、そ
れによって、制御点も５個少なくなった。
の中間ノットの多重度は３から２に減らされ、また、そ
れによって、制御点も５個少なくなった。
【００２４】
【発明の効果】以上の説明から明らかなように、本発明
によると、有理Ｂ-spline曲線（ＮＵＲＢＳ曲線とも呼
ぶ）の表現や有理Ｂ-spline曲線の基底関数を利用した
応用において、有理Ｂ-spline曲線の形状を変更せず、
各中間ノットの多重度を減らすように各制御点の重みを
調整することができ、従って、制御点の数を少なくして
データ量を減らして、更には、Ｂ-splineの基底関数の
連続性を改善するようにしたものである。
によると、有理Ｂ-spline曲線（ＮＵＲＢＳ曲線とも呼
ぶ）の表現や有理Ｂ-spline曲線の基底関数を利用した
応用において、有理Ｂ-spline曲線の形状を変更せず、
各中間ノットの多重度を減らすように各制御点の重みを
調整することができ、従って、制御点の数を少なくして
データ量を減らして、更には、Ｂ-splineの基底関数の
連続性を改善するようにしたものである。
【図１】 有理Ｂ-spline曲線の一例を示す図である。
【図２】 共有節点のノットの多重度を減らす例を説明
するための図である。
するための図である。
【図３】 本発明を図３（Ａ）の有理Ｂ-spline曲線に
適用した結果を図３（Ｂ）にて示す図である。
適用した結果を図３（Ｂ）にて示す図である。
─────────────────────────────────────────────────────
【手続補正書】
【提出日】平成９年３月１７日
【手続補正１】
【補正対象書類名】図面
【補正対象項目名】図１
【補正方法】変更
【補正内容】
【図１】
Claims (2)
- 【請求項１】 有理Ｂ-spline曲線の表現や有理Ｂ-spli
ne曲線の基底関数を利用した応用において、有理Ｂ-spl
ine曲線の形状を変更せず、各中間ノットの多重度を減
らすように各制御点の重みを調整することを特徴とする
自由曲線表現方法。 - 【請求項２】 下記の式を用いて前記中間ノットの多重
度を減らすことを特徴とする請求項１に記載の自由曲線
表現方法。 【数１】 ｗ1Ｐ1…隣り合う２つの曲線セグメントの共有接点 ｗ0Ｐ0，ｗ2Ｐ2…一直線に並ぶノットの両側の制御点 ｔ0，ｔ1…曲線セグメントのパラメータ長 α，ｗ2…未知数
Priority Applications (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP9051220A JPH10247249A (ja) | 1997-03-06 | 1997-03-06 | 自由曲線表現方法 |
Applications Claiming Priority (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP9051220A JPH10247249A (ja) | 1997-03-06 | 1997-03-06 | 自由曲線表現方法 |
Publications (1)
| Publication Number | Publication Date |
|---|---|
| JPH10247249A true JPH10247249A (ja) | 1998-09-14 |
Family
ID=12880858
Family Applications (1)
| Application Number | Title | Priority Date | Filing Date |
|---|---|---|---|
| JP9051220A Pending JPH10247249A (ja) | 1997-03-06 | 1997-03-06 | 自由曲線表現方法 |
Country Status (1)
| Country | Link |
|---|---|
| JP (1) | JPH10247249A (ja) |
Cited By (2)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| KR100823900B1 (ko) | 2004-02-06 | 2008-04-21 | 다솔 시스템므 | 컴퓨터-지원 설계 시스템에서 곡선을 드래프팅하는 프로세스 |
| WO2009152583A1 (en) * | 2008-06-20 | 2009-12-23 | National Ict Australia Limited | Compact representation of a reflectance spectrum |
-
1997
- 1997-03-06 JP JP9051220A patent/JPH10247249A/ja active Pending
Cited By (6)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| KR100823900B1 (ko) | 2004-02-06 | 2008-04-21 | 다솔 시스템므 | 컴퓨터-지원 설계 시스템에서 곡선을 드래프팅하는 프로세스 |
| WO2009152583A1 (en) * | 2008-06-20 | 2009-12-23 | National Ict Australia Limited | Compact representation of a reflectance spectrum |
| CN102067110A (zh) * | 2008-06-20 | 2011-05-18 | 澳大利亚国家Ict有限公司 | 反射光谱的简洁表示 |
| JP2011524578A (ja) * | 2008-06-20 | 2011-09-01 | ナショナル・アイシーティ・オーストラリア・リミテッド | 反射率スペクトルのコンパクト表現 |
| US8666700B2 (en) | 2008-06-20 | 2014-03-04 | National Ict Australia Limited | Compact representation of a reflectance spectrum |
| EP2304601A4 (en) * | 2008-06-20 | 2017-04-19 | National ICT Australia Limited | Compact representation of a reflectance spectrum |
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