JPH08505973A - 値域制御法を用いた多変数予測制御方法 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】 少なくとも１つ制御変数と少なくとも１つ操作変数を含むプロセス制御システムにおけるプロセスのロバスト制御方法。操作変数及び制御変数の所定の束縛条件と、操作変数の現在値を得る。将来の所定数のポイントについて制御変数の新しい値を、それらの制御変数の値が所定の値域内に入ることによって、結果的に得られるコントローラの最適ロバスト性が確保されるように計算する。操作変数についても、所定の束縛条件の範囲内に入るよう、そして制御変数が制御可能なときは所定の値域内に入り、制御可能でないときは、制御変数の束縛条件範囲の逸脱量が最小となるように計算する。複数の解から、最もロバスト性の大きい解を選択する。次に、操作変数を調節して、プロセス制御システムに制御変数の値を計算値に向けさせる。

Description

【発明の詳細な説明】 値域制御法を用いた多変数予測制御方法 発明の背景 本発明は、制御システムに関し、特に、値域制御法を用いたロバスト（robust ）多変数予測制御（ＲＭＰＣ）法による制御方法に関する。 今日のプロセス制御システムにおいては、プロセス変数を所定の設定点に制御 するモデル予測制御法を用いた多くの技術が使用されている。設定点は、システ ムオペレータによるその設定点の値についての最良の推定値であることがしばし ばある。プロセスがある設定点に対して制御されているときに、コントローラな いしは制御装置が最良の制御性能を達成できないことがあり、特にプロセスとモ デルのミスマッチがある場合にこのことが言える。 コントローラの性能を高めるためには、プロセス制御システムのコントローラ に関連する各操作変数をある対応範囲内となるよう指定する、すなわち各制御仕 様値が上界及び下界を持つよう指定することにより、プロセス変数（すなわち制 御変数）を制御するプロセスを制御するための方法を講じることが必要である。 その結果として、コントローラのフロベニウス・ノルムが最小限に抑えられ、従 って、プロセスは製品仕様の所望の公差内で制御され、システムへの衝撃が低減 され、よりロバスト性の大きいコントローラが得られる。 発明の概要 従って、本発明によれば、プロセスの各制御変数をそれぞれ対応する所定の値 域内に入るよう制御するコントローラが得られる。プロセス制御システムには、 少なくとも１つの操作変数と、少なくとも１つ制御変数がある。本発明によるプ ロセスのロバスト制御方法は、操作変数及び制御変数の所定の束縛条件を持つよ うにロバスト制御を初期化するステップを具備したものである。この初期化の後 、操作変数及び制御変数の現在値を得る。次に、将来の所定数のポイントについ て制御変数の新しい値を、それらの制御変数の値が所定の値域内に入ることによ っ て、結果的に得られるコントローラの最適ロバスト性が確保されるように計算す る。操作変数についても、所定の束縛条件の範囲内に入るよう、そして制御変数 が制御可能なときは所定の値域内に入り、制御可能でないときは、制御変数の束 縛条件範囲の逸脱量が最小となるように計算する。複数の解から、最もロバスト 性の大きい解を選択する。次に、操作変数を調節して、プロセス制御システムに 制御変数の値を計算値に向けて駆らしめる。 従って、本発明の目的は、プロセス制御システムのためのよりロバスト性の大 きいコントローラを提供することにある。 本発明のもう一つの目的は、よりロバスト性の大きい多変数予測コントローラ を提供することにある。 本発明のさらにもう一つの目的は、プロセスの各制御変数を上界及び下界を有 する値域内に入るように制御するよりロバスト性の大きい多変数予測コントロー ラを提供することにある。 上記及びその他の本発明の目的は、以下の詳細な説明及び本願の一部をなす添 付図面より明らかとなろう。添付図面において、同じ符号は同じ構成部分を表す 。 図面の簡単な説明 図１は、本発明を使用することが可能なプロセス制御システムを示す機能ブロ ック図である。 図２は、事実上３つのサブコントローラを含む図１のシステムを示すブロック 図である。 図３は、本発明の値域制御方法の一実施態様におけるタイミング図である。 詳細な説明 図１には、本発明で使用することが可能なプロセス制御システムの機能ブロッ ク図が示されている。コントローラ１０は、多重出力を有し、これらの出力は入 力変数ｕとしてプロセス２０に結合される。プロセス２０は、例えば弁、ヒータ 等、制御することが可能な複数の要素を含むことができる。プロセス２０のプロ セス変数ｙは、製品品質を左右する温度、圧力、液面、流量、．．．等である。 入力変数（または操作変数）ｕは、次式で定義される。 出力変数（または制御変数）ｃｖは、次式で定義される。 このように、プロセス２０は、ｍ個の操作変数と、ｎ個の制御変数を有する動的 プロセスＰ（ｓ）である。制御変数（ｃｖ）は、ｎ₁個の調整ｃｖ、ｎ₂個の束縛 ｃｖ、及びｎ₃個の最適化ｃｖを含む。一般に、ｎ≧ｍ≧ｎ₁である。 本発明においては、制御仕様値ｒ（これは従来のシステムでは設定点と呼ばれ る）は、次式で定義される。 最後に、最適化ｃｖについては、全く限界はない。 図２には、図１のシステムで上記の３つの場合を扱う３つのサブコントローラ １１、１２、１３を実質的に含むシステムが示されている。コントローラ１０の 値域制御関数は、上記３つの場合を次式で扱うように公式化される。 式中、Ｗはユーザ加重行列である。 Ａは、出力のプロセス動特性を入力と関連付ける行列（ａ_ij係数）であり ；ｙは、値域変数（設定点の外延）であり；ｘは、アプリケーションによって操 作変数ｕまたは△ｕ（すなわち、△ｕ＝ｕ_CURRENT−ｕ_LAST）である。ｐｖ及び コントローラは、操作変数ｕの移動量（変化量）を表すｘの最良解のみならず 、プロセスを値域内で、すなわち、上界と下界の間において動作させる最適点も 見付けなければならない。 コントローラの公式の解は、下記の３つのケースのどれか１つに帰着し得る。 ケース１−−（ｘ^*，ｙ^*）の一意解があり、かつＡｘ^*≠ｙ^*； ケース２−−（ｘ^*，ｙ^*）の解が無限にあり、かつＡｘ^*＝ｙ^*； ケース３−−（ｘ^*，ｙ^*）の解が無限にあり、かつＡｘ^*≠ｙ^* 大部分の解は、ケース２またはケース３に当て嵌まる。ケース１は、プロセスが 制御可能でないことを示す。 ケース２及びケース３については、最もロバスト性の大きい解を見付ける、す なわちモード／プロセス間のミスマッチがあってもリスクが最小となる（一般に は移動量が最小になる）解を見付けることが望ましい。このように、ケース２及 び３の場合は、次式のように、コントローラの最大特異値の上界を、ｘ^*＝Ｑｘ （予測誤差）となるよう最小にする、すなわちコントローラのノルムを最小にす ることが望ましい。 min‖Ｑ‖_fro ｑ_ij 式中、Ｑはコントローラ行列であり、ｑ_ijは、コントローラ行列Ｑの要素である 。ノルムは、コントローラの大きさの尺度、すなわちコントローラ利得の外延で ある。多変数の場合においては、利得の概念はなくなる。数学的には、利得は、 「最大特異値」またはその上界、すなわちフロベニウス・ノルムによって説明さ れる。このように、コントローラの大きさの最小値に相当する解が見付かる。そ の結果、コントローラのロバスト性は非常に高くなる。 長所は増えるが、複雑さが加わる結果、コントローラ１０上の計算負荷は増大 する。ロバスト性を大きくし、かつＰＶ束縛条件を扱うためには、コントローラ は、操作変数がどの辺りにあるべきか、また制御変数（ｃｖ）がどの辺りにある べきかを計算する必要がある。コントローラ１０は、「ステージ型」非線形計画 問題を解くものである。まず、値域制御の公式を解き、次に（ケース２またはケ ース３の解について）コントローラの大きさを最小にする解を求める。この計画 法は、当業者に周知の「ステージ型」セミポジティブ二次計画法（ＱＰ）の解に 変換することができる。 図３は、本発明の値域制御公式の一応用例のタイミング図であり、多用な性能 上の特徴が示されている。この例においては、プロセス変数はある値域を有する 。 下界ＰＶを有する。同様に、前述のようにして、ユーザが操作変数（ＭＶ）の上 界及び下界（図示省略）を指定する。現在時刻はｔ＝０で示してあり、この例に おいては、各ＰＶ毎に５つのＰＶ値が先行して予測される。２０種類のＰＶがあ る場合は、最初のＰＶについてＮｏ．１〜５のＰＶ値対、２番目のＰＶについて Ｎｏ．６〜１０のＰＶ値対、．．．．、そして２０番目のＰＶについて最後のＮ ｏ．９６〜１００のＰＶ値対というように、全部で１００対のＰＶ値を入れるこ る。ここで、ロバスト性を確保するために、ＭＶ値は一定に保たれるものと仮定 する。値域制御公式の解は、ｙ^* ₁、ｙ^* ₂、ｙ^* ₃、ｙ^* ₄及びｙ^* ₅である。これらの 各解ｙ^*は、指定されたＰＶの上下界の範囲内にある。「漏斗」を指定すること （ＰＶの上界及び下界の指定）によって、軌線は漏斗内のどこにでも取り得るか ら、多数の解が得られ、コントローラ行列の大きさの最小値に対応する１つの解 が求まる。 このように、本発明による値域制御の公式は、束縛された制御変数の数が操作 変数の数より多い場合でも、全ての制御変数の束縛条件を動的に扱い、より大き い制御のロバスト性を呈する。 次の「値域の概念及び値域制御の公式」という名称の節（最初に付録１として 添付したもの）では、詳細な数式の展開によって本願の詳細な説明を裏付ける。 値域の概念と値域制御の公式 大部分のＭＩＭＯ制御アプリケーションにおいては、操作に利用可能なＭＶよ り制御対象のＰＶの方が多いことがしばしばある。幸いなことに、制御対象の大 部分のＰＶは、２つの明確に異なる上下の束縛条件（または上下界）の範囲内で 制御されるようになっている。これらのＰＶは、束縛ＰＶと呼ばれる。通常は、 束縛ＰＶがそれらの上下界の範囲内にある限り、制御機能は必要ない。この理由 のために、束縛ＰＶは、ある選択された数の束縛ＰＶの直線を物理的束縛条件の 範囲内に保つ（予測において）ことより望ましいことがしばしばあるより大きな 制御のロバスト性を得るため、従来のＣＶ（制御変数）とは異なる仕方で扱うこ とができ、またそのように扱うべきである。 頭字語「ＣＶ」（Ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｄ Ｖａｒｉａｂｌｅ；制御変数）につ いては、これまでさらに小さく分けられるような曖昧な概念が付きまとっている から、ＣＶの定義を拡張して、制御変数の下に新たに２つのサブカテゴリ（下位 区分）を定義すると好都合であるように思われる。 この拡張された定義の下では、制御変数の意味は、もはや、多くのＭＩＭＯコ ントロールパッケージに含まれあるいは多くのＭＩＭＯコントロールパッケージ で定義されているように、（内部または外部の）設定点で制御されるＰＶに限定 されないということに留意すべきである。また、調整ＰＶ及び束縛ＰＶと並置し て、あるいは調整ＰＶ及び束縛ＰＶのサブカテゴリとして、さらにサブカテゴリ を定義することができることにも留意すべきである。 このＣＶの拡張された定義においては、調整ＰＶは、上界と下界が偶然互いに 等しく、同じ設定点になる束縛ＰＶの特別な場合であるということは注目に値す る。これによって、数学的に好都合な値域制御の公式が得られる。言い換えると 、値域制御アルゴリズムが値域−−上界／下界の概念上で公式化される。設定点 における調整は特別な場合と見なされ、そのために、調整のタスクと束縛条件を 扱うタスクが数学的に統一される。 一般に、プロセス・モデルは、非正方系である。ここで、プロセスがｍ入力− ｎ出力の系、すなわちｎ×ｍの系であると仮定する。そして、プロセス制御タス クの非常に多くの部分を次のように表すことができる：系のｎ₁の出力を調整し たい（あるいは設定点で制御したい）；ｎ₂の出力は、それらの上界−下界（こ れらの上界、下界の一部は無限であってもよい）の範囲内で制御したい；第２の カテゴリの中では、ｎ₂の出力の中のｎ₃の出力が、上下界の有無にかかわらず最 適化される（最大または最小にする）。 このモデルは多重入力の有限のステップ応答によって説明することができると 仮定すると、多重出力の変化は、常に下記の形で表すことができる。 △ｐｖ＝Ａ△ｍｖ 式中、ＡはＮ×Ｍ型の行列である。Ｎ＝ｎ^*（予測点）；Ｍ＝ｍ^*（ｍｖブロッキ ング点）。 さらに、ここで、ｎ₁の調整プロセス変数に対する調整を達成し、ｎ₂の束縛プ ロセス変数をそれぞれ各上下界の範囲内に維持し、かつ、可能ならば、ｎ₃の最 適化プロセス変数を最適条件に移動させるために、最も制御ロバスト性の大きい 移動量を見付けたい場合がある。 上記のタスクを達成するためのコントローラは、図３．１で説明することがで きる。 「ロバスト調整コントローラ」、「ロバスト束縛コントローラ」及び「動的オ プティマイザ」は、３種類の異なるサブコントローラを表す。以下、これらの各 サブコントローラについて説明する。 まず、ロバスト調整コントローラ及びロバスト束縛コントローラのオンライン 部分は、次の一般形で公式化することができる。 全てのベクトル△ｍｖ∈Ｒ^M及び動的システムの行列Ａ∈Ｒ^N×Mに対して、対 応する出力の変化Ａ・△ｍｖがＡの値域空間を形成する。△ｍｖがボックスＢ_PV （ｍｖボックスと呼ばれる）内に束縛されている場合、すなわちｉ＝１，．．． ，Ｍでｘ１_i≦△ｍｖ_i≦ｘｕ_iならば、Ａ・△ｍｖは空間Ｒ^N中に凸領域ＲＡを形 成する。 制御におけるある特定の時間間隔において、予測出力変化△ｐｖ∈Ｒ^Nは、可 能ならば、定義済みのボックスＢ_pv（ｐｖボックスと呼ばれる）、ｙ１_j≦△ｐ ｖ_j≦ｙｕ_j，∀ｊ＝１，．．，Ｎの内部に束縛することが望ましい。これらの調 整プロセス変数については、ｙ１_j＝ｙｕ_j、それ以外については、−∞≦ｙ１_j ≦ｙｕ_j≦∞。 地理学的には、制御タスクは、Ｂ_pv∩ＲＡ＝｛０｝ならば、２つの領域Ｂ_pvと ＲＡの間の最短距離（通常加重形）を求めることであり、Ｂ_pv∩ＲＡ≠｛０｝な らば、最も制御ロバスト性の大きい移動量（例えば、‖△ｍｖ‖₂−最小解）を 求めて、Ａ・△ｍｖ_solution∈Ｂ_pvとなるようにすることである。 ここで、ｘは△ｍｖを表し、ｙは△ｐｖを表すものとすると、コントローラは 、数学的には次式に公式化される。 ただし、ｘ１_i≦ｘ_i≦ｘｕ_i，∀ｉ＝１，．．．，Ｍ ここで また、ｗ_j＞０は、ｊ番目のＰＶ逸脱量の正加重値である。 多重解が存在する場合は、最も大きなロバスト性が得られる解を見付ける。 説明を解り易くするために、ここでは、上記の‖△ｍｖ‖₂−最小解を使用す る。‖Ｑ‖_fro−最小解については、ＱがＭＩＭＯコントローラである次節で説 明する。 この値域制御公式の数学的表現は、下記のような多数の長所を有する。 （ａ）調整プロセス変数を除いて、全てのプロセス変数が上下界の範囲内の どこにあるべきかを「勝手に」は指定しない。そうではなく、制御ロバスト性を 確保する、あるいは‖Ｑ‖_froを最小にするためには、プロセス変数があるべき 最良の位置はどこかをコントローラに計算させる。 （ｂ）制御の設計者が、調整プロセス変数の一対のより厳格な上下界を予測 範囲の終りに指定し、かつ同じ調整プロセス変数の一対のより緩い上下界を予測 範囲の始めと中程に指定することが可能である。 コントローラの公式（３．３．１）のコンピュータによる実施は、図３．１の 最初の２つのサブコントローラ、すなわちロバスト束縛コントローラ及びロバス ト調整コントローラに対応する次の２つのステップによって行うことができる。 １）束縛コントローラのタスクは、Ｂ_pv∩ＲＡ＝｛０｝であるかどうかを吟 味し、それに従って解を得ることである。次の二次計画（ＱＰ）問題を解いて、 予測ＰＶ逸脱量を最小にするためのＭＶ移動量を見付ける。 ただし、ｘ１_i≦ｘ_i≦ｘｕ_i，∀ｉ＝１，．．．，Ｍ； ｙ１_j≦ｙ_j≦ｙｕ_j，∀ｊ＝１，．．．，Ｎ 式中、Ｗ＝Ｄｉａｇｏｎａｌ（［ｗ₁，．．．，ｗ_N］）は、対角加重行列であ る。（３．３．２）の解を（ｘ^*，ｙ^*）で表し、Ｄ^*＝Ａｘ^*−ｙ^*と定義する。 Ｄ^*≠０ならば、Ｂ_pv∩ＲＡ＝｛０｝。そして、多重解が依然存在し得る。する と、 ただし、ｘ１_i≦ｘ_i≦ｘｕ_i，∀ｉ＝１，．．．，Ｎ Ａｘ−ｙ＝Ｄ^*（Ｄ^*は最適逸脱量）； ｙ１_j≦ｙ_j≦ｙｕ_j，∀ｊ＝１，．．．，Ｍ 次に、（３．３．３）の解ｘ_3.3 ^*は、その時間間隔におけるコントローラのＭ Ｖ移動量である。ＢｐｖとＲＡが互いに平行で密接な上下界を有するときのみ、 （３．３．３）の解は（３．３．２）と異なるということに留意する必要がある 。 ２）Ｄ^*＝０のときは、Ｂ_pv∩ＲＡ≠｛０｝を意味し、（３．３．２）の多 重解が存在する。ロバスト性を有する２−ノルム最小解を見付けることができる 。（‖Ｑ‖_fro最小解については、下記の説明を参照のこと。）そのタスクは、 下記のように定義される。 ただし、ｘ１_i≦ｘｉ≦ｘｕ_i，∀ｉ＝１，．．．，Ｍ， ｙ１_j≦ａ_jｘ≦ｙｕ_j，∀ｊ＝１，．．．，Ｎ この値域制御アルゴリズムの最も重要な長所の１つは、結果的に得られるコ ントローラができるだけ多くのＣＶを制御しようとするということである。束縛 ＰＶに対する制御機能は、調整ＰＶの場合と本質的に同じである。ユーザは、明 示性のＣＶも含意性のＣＶ（または分離型ＣＶも非分離型ＣＶも）指定する必要 がない。 もう一つの明白な長所は、モデルの不確実性の記述なしに、より大きなロバス ト性が得られるということである。このようなロバスト性の達成は、値域制御問 題（３．３．２）にしばしば無限の解のあるということに基づくものである。 値域制御アルゴリズムは、束縛コントローラと調整コントローラを区別しない ということは注目に値する。しかしながら、オフラインの最大−最小アルゴリズ ムは、ロバスト安定性及びロバスト制御性能を考慮する場合、これら２つのコン トローラを異なるように扱う。その基本的な違いは、調整コントローラは、単独 では結局線形制御装置であるが、束縛コントローラは、そうではないということ である。従って、これら２つのコントローラを結合したものは、束縛コントロー ラが、調整コントローラと相互に作用するので、線形ではない。値域制御の数値解法 計算リソースが限られている場合、値域制御アルゴリズムは、主として次のよ うな数値的な困難に遭遇する。 １）最初の公式（３．３．２）の大きさが従来の制御公式よりはるかに大き い。この値域制御の公式は、Ｒ^(N+N)の空間にあるのに対し、従来の制御はＲ^Mの 空間にある。Ｎは通常≧Ｍであり、ＱＰ問題に必要なＣＰＵ時間は、通常、（大 きさ）²〜（大きさ）³ に比例するということに注意する必要がある。 ２）多重解がある場合（通常無限の解がある）、より大きな制御ロバスト性 は、最良解を見つけることで得られる。これは、数値解法の技術をより複雑にす ることにつながる。 ３）結果的に得られるコントローラは、非線形になり、少なくとも区分的に は線形である。その結果、オフラインのロバスト制御の設計が著しく困難になる 。 一方、この値域制御公式は、従来の制御公式にはないような数学的に好都合な 特徴をいくつか有する。それらの特徴は、下記のとおりである。 １）公式（３．３．２）における束縛条件は、全て簡単な条件である。数値 的手順を簡単化するために用いることができる数値処理法はたくさんある。 ２）公式（３．３．２）の多くの項は、解では消すことが可能である。従っ て、必ずしも全ての項が反復処理に関与する必要がない。 ３）多重解という条件の下で、最も制御ロバスト性の大きい解が見付かる。 これは、最終の制御解に対するブロッキングの感度を著しく低下させるのに役立 つ。また、内部軌線の最初の部分を指定する必要はほとんどない。ノルム及びスケーリング ノルムとスケーリングは、ほとんど常に相俟って行われる。ノルムは、適切な スケーリングなしでは、誤った結果に到達することがある。また適切なノルムの 定義なしでは、制御の公式は、起こり得る全ての不確実性に対処するためのロバ スト性を得ることがほとんどできない。最大特異値、フロベニウス・ノルム及び２−ノルム 全てのＭＩＭＯコントローラは、下記の行列形式で表すことができる。 △ＭＶ＝Ｑ△ｅ 式中、△ＭＶは予測ＭＶ移動量であり、△ｅは誤差項である。 値域制御アルゴリズムの場合、誤差計算はやや異なる。最終目的は、次式を満 たすロバスト性を有するＭＶ移動量を見付けることである。 従って、誤差△ｅの変化は次のように計算されるはずである。（より厳密な式 については、定理１を参照のこと）。 ＲＭＰＣコントローラには、次の３つのノルムが関与する。 ＲＭＰＣコントローラの最大特異値 ＲＭＰＣコントローラのフロベニウス・ノルム ＲＭＰＣコントローラによる制御異動量の２−ノルム 最初のの２つは行列ノルムであり、３番目はベクトルノルムである。これらの ノルムは、互いに密接に関連づけられている。しかしながら、これらの関係は、 常に簡単であるとは限らない。（ゴーラブ（Ｇｏｌｕｂ）及び（ファン・ローン （Ｖａｎ Ｌｏａｎ））。 コントローラの最大特異値（コントローラ・ノルム）を最小にすることが最終 目的である。しかし、このタスクは、難し過ぎて、各実行時にオンラインで処理 することはできない。フロベニウス・ノルムは、適切にスケーリングすれば、最 大特異値の良好な近似上界となる。ＲＭＰＣコントローラのフロベニウス・ノル ムを最小にすることは、ＣＰＵ時間の面ではるかに低コストである。 無加重のロバスト制御の解は、各ＣＶ（調整及び束縛ＰＶを含む）に対するデ フォルトの制御機能を生じさせる。ユーザの観点からは、加重ＲＭＰＣコントロ ーラの最大特異値を最小にすることが望ましい場合がしばしばある。この加重に よって、ユーザは次の２つの事項を指定することができる。１）制御対象の各Ｐ Ｖに対する相対的制御性能；及び２）どのＣＶを制御するのにどのＭＶを使用す るか。 そして、ＲＭＰＣコントローラの加重フロベニウス・ノルムは、加重最大特異 値の上界になる。そのような解が存在する（閉ループ系に持続的な束縛条件逸脱 がない）場合は、次のように表すことができる。 Ｑ＝［ｑ_ij］_M×N，ｗ_ijｊ≧０と置くと、 式中、△ｅは次式で表すことができる。 ここで、Ｈ．を（３．４．１）の解を束縛するＨ行列の行の集合とする。また、 Ｑ．をＱの対応する束縛列とする。Ｑの残りの列は全てゼロであることに着目す る。すると、（３．４．１）は、等価的に次式で書き直すことができる。 Ｑ＝［ｑ_ij］_M×N，ｗ_ij≧０と置くと、 ただし、Ｈ．Ｑ．＝Ｉ（単位行列）定理１ ： 加重が全て等しく、ｗ_ij＝ｗ，∀Ｉ，ｊならば、（３．４．１）は行列Ｑのフ ロベニウス・ノルムを最小にすること、あるいは行列Ｑ．のフロベニウス・ノル ムを最小にすることである。そして、解は下記のようになる。 １）ＭＶ移動量の２−ノルム‖△ＭＶ‖₂を最小にすることと等価である。 ２）次式で表すことができる。 Ｑ．＝Ｈ．^T［Ｈ．Ｈ．^T］^-1 式中、Ｈ．は（３．４．１）の解で束縛するＨの行の集合である。 Ｑは、Ｈが非束縛行を有する対応位置にゼロ列を加えることによってＱ．から 構成することができる。証明 ： Ｑ．＝［ｑ₁，ｑ₂，．．．，ｑ_p］_r×p＝［ｑ_ij］，（ｒ＝Ｍ＞ｐ）と置くと 、（３．４．２）は、下記のように書き直すことができる。 ただし、Ｈ．Ｑ．＝Ｈ．［ｑ₁，ｑ₂，．．．，ｑ_p］＝［ｅ₁，ｅ₂，．．．， ｅ_p］＝Ｉ_pxp これらの束縛条件は、目的関数で平方和が取られるｑｊに関して分離可能であ り、従って最初の最小を得る問題は、下記のｐ個の部分問題と等価である。 ∀ｊ＝１，２，．．．，ｐ （３．４．３） ただし、Ｈ．ｑ_j＝ｅ_j＝［０．．．０１０．．．０］^T （ｊ番目の要素は１） 式中、ｅ_j＝［０．．．０１０．．．０］^Tはｒ×１の単位ベクトルである。 各部分問題に関しては、例えばｊ＝ｋの場合、（３．４．３）の解は次式のよ うになる。（ゴーラブ（Ｇｏｌｕｂ）及びファン・ローン（Ｖａｎ Ｌｏａｎ） １９８５年）。 ここで、ｕ_i、ｖ_i及びσ_iは、次式のように、Ｈ．の特異値分解から得られる。 Ｕ^TＨ．Ｖ＝Σ 式中、Ｕ＝［ｕ₁，ｕ₂，．．．，ｕ_r］、Ｖ＝［ｖ₁，ｖ₂，．．．，ｖ_p］ 及びΣ＝［ｄｉａｇ（σ₁、σ₂，．．．，σ_p），０］ また、Ｈ．は次式（３．４．５）として組立て直すことができることに着目する 。 式中、Ｕ_p、Ｖ_p及びΣ_pは、Ｕ、Ｖ、及びΣの分割であって、Ｕ_p＝［ｕ₁，ｕ₂， ．．．，ｕ_p］、Ｖ_p＝［ｖ₁，ｖ₂，．．．，ｖ_p］及びΣ_p＝ｄｉａｇ（σ₁，σ₂ ，．．．，σ_p）である。 さらに、（３．４．４）のｑ_kは、次式のように書き直すことができる。 そして、最適解Ｑ．は、次式のように組み立てることができる。 Ｈ．^T［Ｈ．Ｈ．^T］^-1△ｅ．も、次式のように同じ束縛条件の集合に対しては ‖△ＭＶ‖₂の解になることに着目する。 ただし、Ｈ．△ＭＶ＝△ｅ． 従って、（３．４．７）の解は、（３．４．１）の解と同じである。証明終り （３．４．１）の加重が等しくないときは、制御移動のベクトル２−ノルムと コントローラのフロベニウス・ノルムが関連付けられるが、その形はそれほど明 白ではない。最適スケーリングとユーザ加重 最適スケーリング： スケーリングの目的は、次のように、２つある。１）作業系の数値的「挙動」 を改善する；２）ノルムをより意味のあるものにする。これらのどちらののタス クも、作業行列の条件数ｃｏｎｄをスケーリングによって減らすことにより、さ らには最小にすることにより達成することができる。非常に一般的な形で、スケ ーリングは次式により行うことができる。 及びＨ_s＝Ｄ_rＨＤ_c 式中、Ｈは最初のモデル行列であり、Ｈ_sはスケーリングされた作業モデルであ る。Ｄ_rは、左変換行列であり、Ｄ_cは右変換行列である。この手法の１つの欠点 は、条件数がＤ_rとＤ_cの非常に複雑な関数であるため、（３．４．^*１）を計算 するための効率的アルゴリズムがないことである。 行スケーリングはＤ_r、列スケーリングはＤ_cとして、Ｄ_r及びＤ_cが対角行列に 変形される場合については、１つの効率的なアルゴリズムが発見されている。そ れでも、Ｈ_sの条件数はＤ_rとＤ_cの非常に複雑な関数であるということが分かる 。 ここで、Ｄ_r及びＤ_cは適切な大きさのベクトルにすることができるということ に着目する。［Ｄ_r，Ｄ_c］空間を検索することは、条件数は勾配及びヘッセ行列 で計算しなければならない相当高コストの関数であるため、ＣＰＵ時間の面から は実現不可能である。（３．４．^*１）については、特殊な最適化アルゴリズム が公式化される。その検索ステップは、収束を劇的に改善するための下記のアル ゴリズムに基づいている。ｋ回目の繰り返しで： Ｈ＝Ｄ_r（ｋ）．．．Ｄ_r（１）ＨＤ_c（１）．．．Ｄ_c（ｋ） 式中、ｈｒ_i及びｈｃ_jは、それぞれＨのｉ番目の行ベクトル及びｊ番目の列ベク トルである。条件数ｃｏｎｄ（Ｈ）を改善することができないときは、反復は停 止する。異なる行列の大きさについて行った約５０のテストケースによれば、最 適条件に達するのに２〜５ステップが必要である。最も長いものは、許容範囲を １Ｅ−４になるよう設定して、１２ステップであった。 この手法をＬＩＮＰＡＣＫで推奨または使用されているものと比較すると、こ の新しい手法によってより良いスケーリング、あるいはより小さいｃｏｎｄ（Ｈ ｓ）が得られるということが分かる。この手法の速度は、ＬＩＮＰＡＣＫの簡単 な非最適スケーリングに匹敵し、ＬＩＮＰＡＣＫ推奨の最適スケーリングより圧 倒的に速い。 次表は、実際に得られた例で、Ｈは、ＦＣＣＵ接触分解装置の利得行列である 。 上表でスケーリングしたＨ_sの要素は、はるかに一様な分布を有するというこ とが分かり、このことは全ての要素が単位に近くなっているということを意味す る。そして、Ｈ_sの条件数はＨの条件数よりはるかに小さい。 また、動的行列全体についてスケーリングしても、利得行列のみにスケーリン グした後、動的要素を利得要素と同じ方法でスケーリングする場合に比べて、そ れほど大きな効果は得られない。その主な理由は、利得は動的要素の一部であり 、各ＳＩＳＯ部分は、常にある程度平行であることである。ＲＭＰＣについては 、まず利得行列のみに基づいてスケーリングを達成し、その後そのスケーリング を全ての動的要素に適用するのが良いと思われる。最適スケーリングは、オフラ インで行うことになる。オンラインでは、その最適スケーリングをユーザ加重と 「マージ」して（スケーリング）、Ｈ行列に適用する。ユーザ加重法 ＲＭＰＣユーザは、一部のＭＶを他のＭＶより多く使用したい場合、あるいは 一部のＰＶの束縛条件逸脱量を他のＰＶより小さくしたい場合がある。これには 、最適内部スケーリングの上に、ユーザ加重を行う必要がある。ユーザによるＭ Ｖ加重は、Ｄｃに対して直接適用（乗算）することができる。しかしながら、ユ ーザによるＰＶ逸脱量加重は、理想的には、持続した逸脱がある場合にのみＤｒ に 適用（乗算）すべきである。 注：ユーザによるＰＶ加重は、ＰＶ加重は常に調整ＣＶに対して影響を及ぼし 、束縛ＣＶに対するＰＶ加重はＰＶ束縛条件の逸脱があるとき効果があるので、 やはり相対的制御性能加重と解釈することができる。オンライン解及び状態表示 ユーザに対しては、常時ＲＭＰＣコントローラが何を行っているかに関する何 らかの指示手段を講じることが望ましい。一つの簡単な指示方法は、コントロー ラの状態を表示することである。ＤＰＣに使用される状態は、オペレータやプラ ント技術者に十分受け入れられるように思われる。それらの状態を次表に示す。 以下、これらのＲＭＰＣコントローラの状態について詳細に説明する。 １．ＯＦＦ状態は、ＲＭＰＣコントローラがオンライン状態にないことを示 すが、ＲＭＰＣコントローラのデータ取得部分は動作状態にあり、その時現在の ＰＶとＭＶの値を表示し続ける。 ２．ＩＮＩＴ状態は、ＲＭＰＣコントローラがちょうどＯＦＦモードからＯ Ｎモードになったばかりであるということを示す。ＲＭＰＣコントローラは、コ ントローラ自身を初期化し、下流のコントローラとの接続を確立する。通常、Ｒ ＭＰＣコントローラは、１実行期間の間だけＩＮＩＴ状態を示すはずである。そ の例外は、下流のコントローラがその実行間隔の終りになってもレディー（作動 可能）にならないとき起こり得る。その場合、ＲＭＰＣコントローラは、所定数 の実行期間だけＩＮＩＴ状態のまま待機する。 ３．ＲＥＧ状態は、ＲＭＰＣコントローラが調整ＰＶをそれらの設定点に向 けて制御しているということを示す。調整コントローラは、ＲＭＰＣコントロー ラがＯＮに設定されている間動作する。ＲＥＧ状態は、常にアクティブであるが 、次の２つの条件が両方共満たされたときだけ表示される。 ・束縛ＰＶｍ及び最適化ＰＶのどちらもアクティブな束縛条件がない。 ・オプティマイザの移動規模がゼロにセットされているか、または束縛ＰＶ の少なくとも１つがその束縛帯域外にある。 これらの両方の条件が満たされると、ＲＥＧ状態が表示される。 束縛ＰＶの１つがその束縛帯域外にあると、束縛コントローラが優先され、動 的オプティマイザは待機モードにセットされる。これは、ＲＭＰＣコントローラ がシミュレーションで理想的なモデルプロセスを処理しているときは、意味があ るようには思われないかもしれない。しかしながら、モデル／プロセス間のミス マッチがある場合に、ＲＭＰＣの動的オプティマイザのプロセスに対する過度の 作用が防止される。これによって、オプティマイザの移動規模に対する保護が講 じられ、モデル／プロセス間のミスマッチが顕著になったときの復帰努力が低減 される。 ＯＰＴ、ＣＮＳ、ＣＣＦ及びＣＭＶ状態は、互いに排他的な状態である。すな わち、ある時点においては、これらの中の１つの状態しか有効になることができ ない。ＯＰＴ、ＣＮＳ、ＣＣＦ及びＣＭＶ状態が表示されているときは、束縛制 御状態はオーバーライド（無効化）される。従って、ＲＥＧ状態が表示されてい るときは、これによってＯＰＴ、ＣＮＳ、ＣＣＦ及びＣＭＶの状態がいずれもア クティブではないということも指示される。 ４．ＯＰＴ状態は、ＲＭＰＣコントローラが経済的目標（式（３）を参照） に従ってプロセス動作を最適化しているということを示す。この状態は、下記の 場合にのみ表示される。 ・束縛ＰＶまたは最適化ＰＶのどれもアクティブな束縛条件を持たない。 ・オプティマイザ移動規模が正の値にセットされている。 ・どの調整ＰＶも、それらの調整帯域外にない。 束縛制御は、オーバーライドされる。 ５．ＣＮＳ状態は、ＲＭＰＣコントローラが束縛ＰＶ及び最適化ＰＶの予測 によるまたは実際の束縛条件逸脱量を処理しているということを示す。これは、 逸脱が予測されるときの早期警告手段として働く。内部的には、ＲＭＰＣ束縛コ ントローラがアクティブになり、動的オプティマイザは待機モードに設定される 。束縛制御はオーバーライドされる。 ６．ＣＣＦ状態は、ＲＭＰＣが少なくとも１対の激しく競合ないしは矛盾す る束縛条件がアクティブであることを検出したときするとき、ＣＮＳ状態の特殊 な部分集合を指示し、これを処理するための特殊なアルゴリズムが採用される。 大部分の競合束縛条件は、ＣＮＳ状態下において予測範囲内でロバスト法により 解消することができるため、この状態はめったに起こらない。 ＣＣＦ状態は、通常、次のような異常な状況によって起こる：例えば、主要な ＭＶの１つが消失するか、あるいは１つＰＶ測定のバイアスが過大で、過度に束 縛された状況を引き起こしている。内部では、束縛コントローラは加重逸脱量を 最小限にする。ＣＣＦは、（ある程度）予測される指示であり、通常は、それが ２乃至３実行期間の間表示されてから、消える。ノイズの多い環境では、２、３ 回点滅させるようにすることも可能である。 ＣＣＦが表示された場合は、必要に応じて、何らかのエンジニアリング・アセ スメントを実施し、競合の原因を突き止めるとともに解消することが望ましい。 これは、ＲＭＰＣプロジェクトの立ち上げ段階において非常に役立つのではない かと考えられる。何らかの厳しい上界または下界の束縛条件を指定することによ って、互いに競合する一対の束縛条件を人工的に導入することが可能である。 束縛制御はオーバーライドされる。しかしながら、ＣＣＦ状態が持続すると、 オフセットが起こることも考えられる。 ７．ＣＭＶ状態は、過度に厳しいＭＶ束縛条件が多過ぎて、ＲＭＰＣコント ローラが正常に動作することができないことを示す。この状態は、無束縛ＭＶが 調整ＰＶの数より少ない場合に表示される。 このＣＭＶ状態は、下流のコントローラが余りにも多くターンオフになってい ることを警告する。 束縛制御はオーバーライドされる。しかしながら、ＣＭＶ状態が持続すると、 オフセットが起こることも考えられる。

───────────────────────────────────────────────────── フロントページの続き (72)発明者 ホーン，ブライアン・シイ アメリカ合衆国 85028 アリゾナ州・フ ィーニクス・イースト コーテズ ストリ ート・4121

Claims (1)

1. 【特許請求の範囲】 １） 少なくとも１つの制御変数と少なくとも１つの操作変数を有するプロセス 制御システムにおけるプロセスのロバスト制御方法において： ａ）ロバスト制御を上記操作変数及び上記制御変数の所定の束縛条件を持つ ように初期化するステップと； ｂ）上記操作変数及び上記制御変数の現在値を得るステップと； ｃ）将来の上記制御変数の値を所定の値域内とするために所定数のポイント に対して制御変数の新しい値を計算し、結果的に得られるコントローラの最適ロ バスト性を確保し、上記操作変数が所定の束縛条件の範囲内に入り、上記制御変 数が、制御可能なときは所定の値域内に入り、制御可能でないときは、上記制御 変数の束縛条件範囲の逸脱量を最小に保つステップと； ｄ）複数の解から最もロバスト性の大きい解を選択するステップと； ｅ）上記操作変数を調節して、プロセス制御システムに上記制御変数の値を 上記ステップ（ｄ）の計算値に向けさせるステップと； を具備したロバスト制御方法。 ２） 上記の最もロバスト性の大きい解を選択するステップが： ａ）最小のコントローラの大きさに対応する一組の制御変数を決定するステ ップ； を具備する請求項１記載のプロセス制御システムにおけるプロセスのロバスト制 御方法。