JPH076233A

JPH076233A - 曲線を描く装置及び方法

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Publication number: JPH076233A
Application number: JP6097419A
Authority: JP
Inventors: Dean D Ballard; ディーバラードディーン
Original assignee: Microsoft Corp
Current assignee: Microsoft Corp
Priority date: 1993-05-14
Filing date: 1994-05-11
Publication date: 1995-01-10
Anticipated expiration: 2015-07-31
Also published as: EP0624849A2; EP0624849B1; JP3071357B2; DE69423129T2; CA2122771A1; CA2122771C; US5381521A; EP0624849A3; DE69423129D1

Abstract

(57)【要約】【目的】データ参照用テーブルを使用して曲線をラス
タ化して曲線を描く装置及び方法を提供する。【構成】２画素長を超えないほぼ等長の一連の直線線
分で近似するように曲線を細分する。線分が画素の水平
軸を横切れば、参照用テーブルを使用して線分が水平軸
を横切る点からその画素の中心点までの距離を決定す
る。参照用テーブルをアドレスするポインタは、データ
参照用テーブルに必要な乗算を排除するように重み付け
されている３つの索引テーブルのデータ値の合計であ
り、索引テーブルは３つの索引ポインタを使用してアド
レスされる。索引テーブルは画素分解能の縮小も組入れ
てあり、分解能縮小によりもたらされる丸め誤差が最大
になる領域に多くのデータエントリが存在するように非
線形でもある。もし線分が画素の中心の左側で水平軸を
横切っていれば、その画素の論理状態が変化させられ
る。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【産業上の利用分野】本発明は、一般的には曲線を描く
ための装置及び方法に関し、特定的には曲線をラスタ化
する装置及び方法に関する。

【０００２】

【従来の技術】コンピュータシステムは、曲線及び英数
字を表示することができる表示画面もしくは図形プリン
タのような図形表示装置を含むことが多い。図１はグラ
フの形状の曲線２及び一連の英数字３を示し、これらは
典型的なコンピュータ表示画面もしくは図形プリンタ上
に表示させるとができる。図形画像は、表示画面もしく
はプリンタ上に一連の小さいドットとして示される。画
素とは、表示画面もしくはプリンタ上のアドレス可能な
最小要素またはドットを意味している。表示画面もしく
は印刷されたページは、１つの次元内に、典型的には水
平次元内に配列される多くの走査線で作られ、各水平走
査線は１画素の高さである。各水平走査線は一連の画素
からなる。例えば、典型的なレーザプリンタは 300ドッ
ト／インチの分解能を有してい。これは、印刷されたペ
ージがインチ当たり 300本の水平走査線からなり、各水
平走査線がインチ当たり 300個の画素からなっているこ
とを意味する。曲線もしくは英数字は、その曲線及び文
字を近似する画素の群を使用して表示画面もしくはプリ
ンタによって表示される。

【０００３】図形表示コンピュータシステムは、一般
に、表示すべき曲線もしくは文字のディジタル表現を記
憶するためのメモリを含んでいる。従来のコンピュータ
システムでは、これらのディジタル値が表示画面もしく
は印刷されるページ上の各画素を表す。図形表示のため
のこの方法は、図形表示の各画素のディジタル値を表す
ためには極めて大きいメモリを必要とする。このような
システムは、先ず曲線を表すディジタル値を生成する時
に遅過ぎ、例えば表示画面上で曲線を回転させたりもし
くは再配置する時のように曲線を処理する時にも遅過ぎ
る。同様に従来のコンピュータシステムはメモリ内の図
形英数字をビット写像として表し、ビット写像内の各ビ
ットを表示画面上の１つの画素に対応させている。個々
の英数字の曲線は、各英数字毎のビット写像データによ
って限定される。これは、ビット写像データを記憶する
ための大容量のメモリを必要とし、英数字を処理するこ
とを困難にしている。これらの問題の故に、多くのコン
ピュータ図形システムは曲線をモデル化するベジェ( Be
zier )スプライン法を使用している。これは英数字を一
連の線、及び TrueType ^TM文字フォントとして知られる
ベジェスプラインとしてモデル化する方法を含む。

【０００４】ベジェ曲線と呼ばれることも多いベジェス
プラインは、曲線及び湾曲面のための数学的構成体であ
る。二次元図形システムのために一般に使用されるベジ
ェ曲線は、図２に示す二次ベジェ曲線４である。二次ベ
ジェ曲線４は、曲線４を限定するために３つの制御点
５、６及び７を必要とする。３つの制御点が指定される
と、ベジェ曲線４が限定される。しかしながら公知のよ
うに、高次ベジェ曲線は二次元、三次元もしくはより高
い次元の高度に複雑な曲線を作ることができる。このよ
うに、複雑なベジェ曲線は少数の点によって表すことが
できる。ベジェ曲線は、ベジェ曲線自体を表示画面上に
表示する場合に、小さい集合のデータ点により１つの曲
線を限定することを可能にするが、曲線を追跡するため
に使用される各画素毎のデータ値を指定しなければなら
ない。曲線上の各及び全データ点の決定は緩速な、計算
的に非効率なプロセスであるから、ベジェ曲線を近似す
ることが極めて有益であることが分かっている。このよ
うにすることの利点は、ベジェ曲線を線分（もしくはラ
インセグメント）の有限集合によって極めて精密に近似
できることにある。ベジェ曲線を適当に近似するために
必要な線分の数は、ベジェ曲線の曲率と表示画面もしく
はプリンタの分解能とを含む幾つかの要因に依存する。
ある曲線を線分の有限集合によって近似することを、
“曲線を描く”と呼ぶ。

【０００５】以上の説明は、若干のパラメタは変化する
にしても、他の図形装置並びに表示画面、もしくはプリ
ンタにも等しく適用される。例えば典型的なレーザプリ
ンタ上の画素の大きさは、典型的な表示画面上の画素の
大きさとは異なる。しかしながら、レーザプリンタもし
くは他の何等かの型の図形表示装置上に曲線を描く場合
には、表示画面上にベジェ曲線を描く場合と同じ諸問題
に直面する。ベジェ曲線を描く典型的な方法は、曲がっ
た線を視覚的に表すにはどの画素をターンオンさせ、ど
の画素をターンオフさせるべきかを決定する必要があ
る。ターンオン及びターンオフとは、画素が互いに逆の
２進論理状態を有していることを意味しているだけのこ
とである。特定の表示モード（例えば反転ビデオ）に依
存して、ターンオンした画素が表示画面上に光った領域
を作ったり、もしくは印刷されたページ上に暗い領域を
もたらすことができるのは明白である。本明細書では、
画素のターンオンとは、表示画面もしくは印刷されるペ
ージのその画素の位置に可視ドットを作るプロセスのこ
とを言う。同様に画素のターンオフとは、表示画面もし
くは印刷されるページ上に不可視の特定画素を残すプロ
セスのことを言う。

【０００６】従来技術でベジェ曲線を描くためには、先
ず曲線を、曲率及び図形表示装置の分解能に依存する長
さを各々が有する一連の線分に分ける。次に従来技術の
システムは、ベジェ曲線を近似するために使用される線
分を近似するにはどの画素をターンオンさせるべきかを
決定しなければならない。一般的に、線を描く手順は公
知のブレセンハム( Bresenham ) アルゴリズムもしくは
その変形を使用する。曲率の大きいベジェ曲線の部分
は、曲率の小さいベジェ曲線の部分よりも長い線分によ
って近似することができる。しかしながら、可変長の線
分を描くのは、多くの計算を要する緩速な長たらしいプ
ロセスであり得る。従って、長い計算プロセスを必要と
しないでベジェ曲線を描くための装置及び方法に対し強
い要望が存在している。

【０００７】

【発明の概要】本発明は、図形表示ユニット上にＮ＋１
制御点によって限定されるＮ次曲線を描くためのコンピ
ュータシステムで実現される。図形表示ユニットは、第
１の次元内に配列された第１の連の画素と、第２の次元
内に配列された第２の連の画素とを使用して二次元画素
アレイを限定する。図形表示ユニットは、第１の次元内
の画素アレイを走査して曲線を表示し、各画素は第１及
び第２の互いに逆の２進論理状態によって限定される。
コンピュータシステムは、１画素より大きい分解能を有
する選択された測定単位を有する第１及び第２の次元内
の座標系を使用する。コンピュータシステムは、所定数
の画素よりも大きくない長さと、第１及び第２の端点と
を各々が有している複数の線分に曲線を細分するため
に、制御点を使用する線分発生器を備えている。好まし
い実施例では、これらの線分の長さは１もしくは２画素
より長くない。各端点は、第１及び第２の次元内の各点
の位置を表す第１及び第２の座標を有し、これらの座標
は選択された測定単位で表される。画素解析装置は画素
アレイの各第１の画素連内の画素を順次に解析し、線分
の１つが解析中の第１の画素連の第１の中心軸を横切っ
ているか否かを決定する。もし線分が第１の中心軸を横
切っていれば、画素解析装置は第１、第２及び第３の索
引（インデックス）ポインタを生成する。第１の索引ポ
インタは線分の第１の端点から第２の端点までの第１の
次元における距離に対応する。第２のポインタは線分の
第１の端点から第２の端点までの第２の次元における距
離に対応する。第３のポインタは第１の端点から第１の
中心軸までの第２の次元における距離に対応する。第
１、第２及び第３のポインタは選択された単位で表され
る。もし線分の長さが１画素より大きければ、画素解析
装置は線分の何れかが、隣接する第１の画素連の第１の
軸を横切っているか否かをも決定し、もし横切っていれ
ば画素解析装置はその線分を細分して細分された各線分
が１つの第１の中心軸だけを横切るようにする。細分さ
れた各線分は、第１及び第２の次元内の端点の位置を表
す第１及び第２の座標を有する第１及び第２の端点によ
って限定される。

【０００８】データ参照用（ルックアップ）テーブル
は、第２の画素連の１つの第２の中心軸から、線分が第
１の中心軸と交差する点までに第１の次元内に存在し得
る距離の範囲に対応し且つ選択された単位で表されてい
る複数の距離値を含む。最終アドレスポインタは、解析
中の第１の画素連内の第１の中心軸と交差する特定の線
分を指し示す。第１、第２及び第３の索引（インデック
ス）テーブルは、この最終アドレスポインタを生成する
ために使用される。各索引テーブルは、第１、第２及び
第３の索引ポインタの存在し得る値の範囲にそれぞれ対
応するように選択された複数の索引テーブル位置を含
む。第１、第２及び第３の索引ポインタはそれぞれ、第
１、第２及び第３の索引テーブル内の特定の索引テーブ
ル位置を指し示す。システムは、第１、第２及び第３の
索引ポインタによって指し示された索引テーブル内の特
定位置からの索引値から最終アドレスポインタを生成す
るアドレス手段をも含む。ラスタライザ( rasterizer )
はデータ参照用テーブルからの距離値を、第１の端点の
第１の次元における座標に加算する。もし距離値と、第
１の端点の第１の次元における座標との合計が第２の中
心軸の値より小さければラスタライザは、その画素の２
進論理状態を変化させる。

【０００９】一実施例では、索引テーブルは乗算係数を
含むように事前に重み付けられた索引データ値を含み、
それによって最終アドレスを生成する際の乗算を排除す
る。加算器は、第１、第２及び第３の索引ポインタによ
ってそれぞれ指し示された索引テーブル位置から索引デ
ータ値を受信し、これらの索引データ値を加え合わせて
最終アドレスポインタを生成する。第１、第２及び第３
の索引テーブルは、所定の分解能から、第２の、より低
い分解能へ分解能を低下もしくは縮小させる除算係数を
含む索引値を含むことができる。第１、第２及び第３の
索引テーブル位置は、分解能の低下によって導入される
誤差を補償するために非線形の索引データ値を含むこと
もできる。

【００１０】

【実施例】本発明は、曲線を容易に描くための装置及び
方法を提供する。以下に示す諸例はベジェ曲線に関して
いるが、本発明の原理はベジェ曲線に限定されるもので
はなく、どのようなスプラインもしくは曲線にも適用可
能である。ラスタとは、表示領域を均一にカバーする線
の所定のパターンのことである。前述したように、典型
的なラスタは、１画素の高さの一連の水平走査線からな
る。各水平走査線自体は、一連の画素からなる。ラスタ
化( rasterization ) とは、ベジェ曲線を表示画面、プ
リンタ等の上の一連の画素に変換することである。本発
明は、如何なるコンピュータ上にでも容易に実現するこ
とができる。従来システムであろうと、本発明のシステ
ムであろうと、如何なるシステムもどの画素をターンオ
ン及びターンオフさせるかを決定しなければならない。
典型的なラスタは水平方向に走査するから、本発明は各
水平走査線を順次に解析して特定水平走査線内のどの画
素をターンオンさせるか、もしくはターンオフさせるか
を決定する。もしベジェ曲線を近似する線分がある画素
の中心点の左側を通過していれば、その画素は２進論理
状態（即ち、ターンオンもしくはターンオフ）を変化さ
せる。線分近似が画素の中心点の左側を通過して２進論
理状態を変化させられた画素にその水平走査行内で後続
する複数の画素の中の１つの画素の中心点の左側をある
線分近似が通過するまでは、上記後続する複数の画素に
上記画素に割り当てられた２進論理状態と同一の２進論
理状態が割り当てられる。上記１つの画素の中心点の左
側をある線分近似が通過した時点で、上記１つの画素
（及びその後の複数の画素）には全て上記１つの画素と
同一の２進論理状態が割り当てられる。

【００１１】例えば、図３の水平走査線２４は、始めは
全ての画素がターンオフにされている。画素２５ａは、
その中心点２７の左側をある線分２６が通過している。
従って、ラスタ化プロセスは画素２５ａの論理状態を変
化させ、この例ではそれをターンオンさせる。画素２５
ａ以降の画素２５ｂ、２５ｃ及び２５ｄも、線分がこれ
らの画素を通過していないのでターンオンにされてい
る。しかしながら、線分２８が画素２５ｅの中心点２７
の左側を通過しているので、ラスタ化プロセスは画素２
５ｅの論理状態を変化させ、それをターンオフさせる。
画素２５ｅに後続する画素２５ｆ、２５ｇ及び２５ｈ
も、線分がこれらの画素２５ｆ、２５ｇ及び２５ｈを通
過していないのでターンオフにされる。このプロセスは
全ての水平走査の行に対して繰り返される。ラスタ化プ
ロセスは、線分が何処で画素を通過しているかを正確に
決定しなければならない。線分が何処で画素を通過して
いるかを正確に決定するために、システムは１画素より
細かい分解能を用いて計算を遂行する。典型的には、計
算は1/64 画素分解能を用いて遂行される。線分２６の
端点２９ａ及び２９ｂは、それぞれ１対の座標（ｘ₁,ｙ
₁）及び（ｘ₂,ｙ₂）によって限定される。画素の中心
点２７から線分２６までの水平距離をＤ_xと定義する。

【００１２】従来技術の若干のシステムは、このＤ_xの
データ値を含む参照用テーブルを使用することを試みて
いる。従来技術の参照用テーブルは典型的に、その参照
用テーブルへの索引としてベジェ曲線線分の端点の座標
を使用している。従って従来技術のシステムは、Ｄ_xの
値を決定するためには４つの分離した索引（即ちｘ₁、
ｙ₁、ｘ₂及びｙ₂値）を必要とする。もし従来技術の
システムが 1/64 画素分解能計算を遂行し、４つの索引
を使用するものとすれば、64⁴の考え得るデータ値が存
在することになる。 1600 万を超えるデータ値を有する
データテーブルは明らかに実用的ではない。これに対し
て、本発明は、従来技術が典型的に使用しているｘ₁、
ｙ₁、ｘ₂及びｙ₂値を使用する代わりに、３つの索引
Δｘ_L、Δｙ_L及びΔｓ_yだけを使用するので、探索プ
ロセスはより扱い易くなる。索引Δｘ_L、Δｙ_L及びΔ
ｓ_yに関しては後述する。ベジェ曲線を近似する線分が
全て極めて短いので、この応用ではテーブル探索操作
（ルックアッププロセス）を使用する。本発明の線分は
全て、それらの長さが２画素より大きくないことが保証
されている。これはＤ_xの値を正確に決定するために必
要なデータ値の数を最少にする。更に、ブレセンハム技
術に見られる可変線分長とは異なって、これらの線分は
全て、ほぼ同一の長さである（即ち、２画素長より短
い）。このため参照用テーブルを便利に使用することが
できる。また更に、現在では好ましい実施例の参照用テ
ーブルの分解能は 1/8 に縮小される。従って、本発明
のデータ参照用テーブル内のデータ値の合計数は 1377
である。このデータテーブルの大きさは扱い易いもので
ある。

【００１３】図４に示す本発明を実現するコンピュータ
システム２は、キーボード１１及び表示画面１２を備え
たコンピュータ１０を有している。図形画像は表示画面
１２上に表示させることはできるが、コンピュータシス
テム２はプリンタ１３のような他の図形装置を含むこと
もできる。図形データはキーボード１１によって入力さ
れるが、コンピュータシステム２はマウス１４もしくは
離散化タブレット１５等のような他の位置決め装置を含
むことができる。本発明の原理は、図形画像の表示及び
印刷に関する。図５に示すように、コンピュータ１０は
中央プロセッサユニット（ＣＰＵ）１６、メモリ１７、
及び情報及び制御信号を伝送するバス１８を有してい
る。またコンピュータ１０は、コンピュータ１０とキー
ボード１１とを結合するキーボードインタフェース１９
をも有している。他のインタフェースには、コンピュー
タ１０と表示画面１２とを結合する表示インタフェース
２０、コンピュータ１０とプリンタ１３とを結合するプ
リンタインタフェース２１、コンピュータ１０とマウス
１４とを結合するマウスインタフェース２２、及びコン
ピュータ１０と離散化タブレット１５とを結合するディ
ジタイザインタフェース２３が含まれる。これらの各イ
ンタフェース１９、２０、２１、２２及び２３は、バス
１８によってＣＰＵ１６及びメモリ１７に接続されてい
る。各インタフェースは、コンピュータ１０と共にそれ
ぞれに結合された装置を適切に動作させるための適切な
データ及び制御信号を供給する。

【００１４】ベジェ曲線のためのベジェ制御点は、公知
の多くの方法で決定することができる。例えば、もし表
示すべき図形画像が TrueType ^TMフォント文字のような
キーボード１１を使用してタイプされた英数字であれ
ば、ベジェ制御点は表示すべき特定の文字及びフォント
と、その文字を表示すべき位置とから決定される。代替
として、ベジェ曲線はマウス１４、もしくは離散化タブ
レット１５を使用して作成することもできる。ベジェ制
御点の実際の生成は公知であるので、説明は省略する。
図６に、本発明のコンピュータシステム２のシステム部
分３０を機能ブロック線図で示す。メモリ１７（図５）
内に記憶されているベジェ制御点３２がシステム部分３
０へ供給される。コンピュータ１０内の線分発生器３４
はベジェ制御点３２を受信して、ベジェ曲線を近似する
一連の線分を生成する。計算の都合上、システム部分３
０は各画素を所定数の副画素に分割する。本発明は各画
素を 64の副画素に分割して 1/64 画素分解能を得てい
るが、後述するように、データ記憶要求を低下させるた
めにこれらの数は 1/8 に丸められる。本発明の好まし
い実施例では、ベジェ曲線は、長さが２画素より長くな
い等長の一連の線分に細分される。しかしながら、線分
発生器３４は長さが１画素よりも長くない線分を生成す
ることもできる。２画素長線分は１画素長線分より迅速
にラスタ化されるが、プロセスは後述するような余分な
処理段階を必要とする。他の線分長も使用できることを
理解されたい。例えば、３もしくはそれ以上の画素の長
さの線分を使用することができるが、データ参照用テー
ブルの大きさが増大し、システム部分３０は後述する余
分な処理段階を遂行しなければならない。短い線分だけ
を使用することによって、本発明は、特定画素をターン
オンさせるべきか、もしくはさせないべきかを決定する
ためにテーブル探索操作を使用することができる。この
方法は、可変線分長を描くブレセンハム技術を使用する
必要性を排除する。

【００１５】画素解析装置３６は、水平走査行内の各画
素を順次に解析する。もしある線分がある画素の中心点
を通過している水平軸を横切っていると画素解析装置３
６が判定すると、その特定画素はより詳細に解析しなけ
ればならない。各水平走査行毎の水平軸は、その水平走
査行内の各画素の中心点を通過している仮想水平直線に
よって限定される。より詳細な解析を必要とする画素に
関して画素解析装置３６は、その線分の端点と、１つの
端点からその画素の中心点までの垂直距離とを使用し
て、図６に入力線で示されている３つの索引ポインタ３
７、３９及び４１を決定する。３つの索引ポインタ３
７、３９及び４１の値を決定するために使用される方法
に関しては後述する。索引ポインタ３７、３９及び４１
はそれぞれ、３つの索引テーブル３８、４０及び４２の
集合内の位置を指し示す。索引テーブル３８、４０及び
４２はコンピュータ１０のメモリ１７（図５）内に記憶
されている。３つの索引ポインタ３７、３９及び４１に
よって指し示された索引テーブル３８、４０及び４２内
の特定位置に含まれる３つの値は、加算器４４によって
加え合わされる。加算器４４によって生成された合計
は、データ参照用テーブル４６内の１つの位置を指し示
すデータポインタ４５になる。データ参照用テーブル４
６もコンピュータ１０のメモリ１７内に記憶されてい
る。データポインタ４５によって指し示されたデータ参
照用テーブル４６内の特定の位置に含まれている値は、
その特定画素をターンオンさせるべきか、もしくはター
ンオフさせるべきかを決定するために使用される。

【００１６】コンピュータ１０内のラスタライザ４８
は、画素解析装置３６及びデータ参照用テーブル４６が
生成するデータを使用して、水平走査行内の画素をター
ンオンさせるために使用される画素制御データを生成す
る。前述したように、もし線分がある画素の中心の左側
において特定水平走査行の水平中心線を横切っていれば
その画素はターンオンされる。線分が別の画素の中心の
左側において水平中心線を横切っているとシステム部分
３０が決定するまでは、水平走査行内の後続する１もし
くは複数の画素もターンオンされる。この別の画素及び
その水平走査行内の後続する全ての画素がターンオフさ
れ、このプロセスは各水平走査線毎に繰り返される。シ
ステム部分３０は、ある線分がある画素の中心の右側に
おいて水平中心線を横切っていることを検出するような
異なる判定基準も使用できることを理解されたい。画素
制御データは、図形画像を生成する図形表示ユニット５
０によって受信される。前述したように、図形表示ユニ
ット５０は、図４に示す表示画面１２もしくはプリンタ
１３等のような如何なる図形装置であっても差し支えな
い。画素制御データは、特定の図形装置のためのインタ
フェースが要求するフォーマットで図形表示ユニット５
０へ供給される。例えば、もし図形表示ユニット５０が
表示画面１２であれば、画素制御データは表示インタフ
ェース２０によって処理される。同様に、もし図形表示
ユニット５０がプリンタ１３であれば、画素制御データ
はプリンタインタフェース２１によって処理される。

【００１７】本発明の方法は、ベジェ曲線を線分発生器
３４によって一連の直線線分に細分することを含む。こ
れらの線分は、２画素よりも短い等しい長さである。シ
ステム部分３０は、どの線分の長さも２画素より長くな
ることがないように、ベジェ曲線を細分する最少のステ
ップ数を決定しなければならない。図７のベジェ曲線１
１６に対してこのプロセスを遂行するための本発明の方
法を図８に流れ図で示す。図７に例示の目的で示されて
いるベジェ曲線は、３つの制御点によって限定される二
次ベジェ曲線である。しかしながら、本発明の装置及び
方法は、如何なる次数のベジェ曲線を描くのにも等しく
有用である。図７に示すように、ベジェ曲線１１６は、
３つのベジェ制御点１１８、１２０及び１２２によって
限定される。端点とも呼ばれる制御点１１８は、図形表
示ユニット５０（図６）上の位置を限定する座標（ｘ₁,
ｙ₁）を有している。同様に、ベジェ制御点１２０及び
１２２は座標（ｘ₂,ｙ₂）及び（ｘ₃,ｙ₃）をそれぞれ
有している。プロセスの開始点１００においては、ベジ
ェ制御点１１８、１２０及び１２２は既に限定され、メ
モリ１７（図６）内に記憶されている。前述したよう
に、システム部分３０は 1/8 画素分解能に丸める前に
1/64 画素分解能で計算を遂行する。従って、ベジェ制
御点の座標は 1/64 画素分解能でシステム部分３０へ供
給される。

【００１８】図８の段階１０２においては、線分発生器
３４（図６）が、垂直及び水平の両方向におけるベジェ
制御点間の距離を決定する。システム部分３０は１つの
ベジェ制御点から次のベジェ制御点までの“Ｘ”及び
“Ｙ”の変化の絶対値を別々に決定する。次式はこの演
算を遂行する１つの技術を示す。 Δｘ₁＝｜ｘ₁−ｘ₂｜， Δｙ₁＝｜ｙ₁−ｙ₂｜， Δｘ₂＝｜ｘ₂−ｘ₃｜，及び Δｙ₂＝｜ｙ₂−ｙ₃｜，図７のベジェ曲線１１６の場合には、段階１０２によっ
て次の値が計算される。Δｘ₁＝５、Δｙ₁＝ 17 、Δ
ｘ₂＝ 23 、及びΔｙ₂＝６。ベジェ制御点間の距離を
決定するための他の公知の方法も本発明と共に使用でき
ることを理解されたい。より高次のベジェ曲線の場合に
は、より多くの制御点、従ってより多くのΔｘ及びΔｙ
値が存在する。Ｎ次ベジェ曲線の場合には、Ｎ＋１制御
点が存在するので、値はΔｘ₁乃至Δｘ_N、及びΔｙ₁
乃至Δｙ_Nになる。段階１０２においてシステム部分３
０は全ての距離のための値Δｘ₁乃至Δｘ_N、及びΔｙ
₁乃至Δｙ_Nを決定する。爾後の諸段階は、如何なる次
数のベジェ曲線に対しても同じように遂行される。

【００１９】段階１０４においてシステム部分３０は、
上述したようにして決定されたΔｘもしくはΔｙ値の何
れかの最大値を選択する。段階１０４はベジェ曲線１１
６の４つの値の最大値としてΔｘ₂＝ 23 を選択するこ
とになる。もし１画素長の線分を望むのであれば、段階
１０４における最大値に２を乗じて、ステップの最大数
を決定する。もし他の線分長を使用するのであれば、段
階１０４は相応に調整される。コンピュータにおける計
算は２進数で遂行されるので、システム３０は段階１０
６において、段階１０４で選択し値を次に最高の２進数
に切り上げて丸め、爾後の計算がコンピュータによって
より容易に遂行できるようにする。従って、現在では好
ましい実施例に必要とされるステップの最少数は２の累
乗である。この値を切り下げて丸めると、線分が２画素
長よりも大きくなる恐れを生じるので、この値は決して
切り下げられないことに注目されたい。ベジェ曲線１１
６の場合、段階１０６は 23 を次に最高の２の累乗であ
る 32 へ切り上げる。段階１０８は、必要ステップの最
少数を決定するプロセスを終わらせる。ステップの最少
数が上述したようにして決定されると、ベジェ曲線は順
方向差分（ forward differencing ）として知られる技
術によって線分に細分される。順方向差分プロセスは公
知であり、従って説明は省略する。ベジェ曲線を、各々
が２画素よりも短い等しい長さの一連の短い線分に細分
した後に、各線分の端点の座標を決定する。

【００２０】線分の端点を決定した後に、その線分が通
過している画素をターンオンさせるべきか否かを決定す
る必要がある。画素解析装置（図６）は、ある線分が水
平走査行の水平軸を横切っている画素に出会うまで各水
平走査行を順次に解析する。例えば図９において、ベジ
ェ曲線６０及び６２は英数字もしくは何等かの図形曲線
のような図形対象６４の一部を形成しているものとす
る。図形対象６４の上側及び下側の境界をそれぞれ画定
しているベジェ曲線６０及び６２は、幾つかの水平走査
行６６ａ−ｊを占めている。図１０に拡大して示す図形
対象６４の部分６８は、５つの水平走査行６６ａ乃至６
６ｅの部分をカバーしている。図１０で斜線を施した部
分は、図形部分６８を正確に表示するために理論的に光
らせるべき表示画面１２の部分を示している。しかしな
がら、画素の一部分を光らせることはできず、画素全体
を光らせることができるだけである。図１１には、それ
ぞれの長さが２画素より短い直線線分７０ａ−ｄ及び７
２ａ−ｄを示してある。これらの線分は図１０の拡大さ
れた部分６８を近似するために線分発生器３６（図６）
によって生成される。線分７０ａ−ｄは部分６８の上側
境界６０を近似し、線分７２ａ−ｄは部分６８の下側境
界６２を近似する。図形表示を正確に近似するために、
システム部分３０はベジェ曲線６０を近似する線分７０
ａ−ｄより下の画素と、ベジェ曲線６２を近似する線分
７２ａ−ｄより上の画素とを光らせる。現在では好まし
い実施例では、もし画素の中心点が線分７０ａ−ｄ及び
７２ａ−ｄによって画定される境界内にあれば、その画
素が光るようにされる。もしある画素が位置している水
平走査行の水平軸をある線分が横切らなければ、その画
素は解析する必要がない。その特定の画素は、その水平
走査行内で線分が水平軸を横切っている他の画素に基づ
いてターンオンもしくはターンオフされる。図１１で斜
線を施した領域は、システム部分３０によって光らされ
る画素を示している。

【００２１】前述したように、水平走査行内のある画素
がターンオンされると、ある画素の中心８６の左側にお
いて水平軸を横切る次の線分をシステム部分３０が見出
すまでは、その水平走査行内の後続する全ての画素もタ
ーンオンされる。これは、これらの後続画素の中心点が
全て線分によって画定される図形対象の境界内に含まれ
るからである。同様に、もし水平走査行内の複数の画素
がターンオンされ、ある画素の中心点の左側において水
平中心線をある線分が通過しているような画素をシステ
ム部分３０が見出すと、その画素及びそれに後続する画
素はターンオフされる。これは、その画素及びそれに後
続する画素の中心点が線分によって画定される図形対象
の境界内に含まれないからである。このように、画素の
中心８６の左側において水平軸を横切る線分は画素の論
理状態（即ち、光っているから光らないへ、または光っ
ていないから光るへ）を変化させるのである。例えば、
図１１の例では、画素７８ｂが上述した解析に基づいて
ターンオンされる。画素７８ｃ−ｄも、これらの画素の
水平軸７６を線分が通過していないので、ターンオンさ
れる。しかし、画素７８ｆとその水平走査行６６ｂ内の
後続画素は、線分７０ｄが画８３の中心８６の左側にお
いて水平軸７６を横切っているためにターンオフされ
る。

【００２２】同様に、線分７２ａ−ｄは、図形対象６４
の下側境界（図９）を構成しているベジェ曲線６２を近
似している。システム部分３０は上述した解析と同じ解
析を行う。例えば、水平走査行６６ｅの画素８０ａは、
図１１に示す図形部分６８の外（左）側の画素の解析の
結果としてターンオンされている。画素８０ｂは、線分
７２ｂがその水平走査行６６ｅの水平軸７６を画素８０
ｂの中心８６の左側において横切っているので、ターン
オフされる。これは、画素８０ｂの中心８６が線分７２
ｂによって画定される下側境界内に含まれないことを指
示している。後続する画素８０ｃ−ｅは、水平走査行６
６ｅのこれらの画素内の水平軸７６を線分７２ｃ及び７
２ｄが横切っていないので、光らない。水平走査行６６
ｅの画素８０ｆは、線分７２ｄがその水平走査行６６ｅ
の水平軸７６を画素８０ｆの中心８６の左側において横
切っていて、画素８０ｆの中心８６が線分７２ｄによっ
て画定される境界内に含まれることを指示しているの
で、光らされる。このプロセスは全ての水平走査行に対
して繰り返される。部分６８の水平走査行６６ｃ−ｄ内
の全ての画素が図１１では光っていることに注目された
い。図９に示してあるように、水平走査行６６ｃ−ｄ内
の画素は、部分６８の外（左）側の画素の解析によって
光っているのである。しかしながら、上記解析と同一の
解析はラスタの各水平走査行に対して遂行される。

【００２３】代替として、システム部分３０は、始めに
線分７０ａ−ｄ及び７２ａ−ｄを解析して、どの線分が
水平走査行６６ａ−ｅの水平軸を横切っているかを決定
することができる。次いで、システム部分３０は、線分
が水平軸を横切っている画素だけを解析することができ
る。この方法は分離した解析を必要とするが、各水平走
査行内の各画素を解析する必要性を排除する。現在では
好ましい実施例ではシステム部分３０は、単に、線分の
端点の“Ｙ”座標と、現在解析中の水平走査行の水平軸
７６の“Ｙ”座標とを解析することによって、線分が水
平軸を横切っているか否かを決定する。もし線分７０ａ
−ｄの１つが水平軸を横切っていれば、以下に説明する
ようにその線分の端点の“Ｙ”座標は水平軸の“Ｙ”座
標を包含する。例えば、図１２に拡大して示す線分７０
ｂを考える。図１２には、図１１の画素７８ａ及び７８
ｃも拡大して示されている。線分７０ｂは座標（ｘ₁,ｙ
₁）及び（ｘ₂,ｙ₂）をそれぞれ有する端点９０及び９
２によって限定される。線分７０ｂが水平走査行６６ｂ
の水平軸７６を横切っているか否かを決定するために、
システム部分３０は水平軸７６の“Ｙ”座標が端点９０
及び９２の最も左及び最も右の“Ｙ”座標内にあるか否
かを（即ち、水平軸７６の“Ｙ”座標の値が端点９０及
び９２のｙ₁及びｙ₂の“Ｙ”値の間にあるか否かを）
決定する。図１２の例では、水平軸７６の“Ｙ”座標の
値はｙ₁よりは大きいが、ｙ₂よりは小さい。従って、
線分７０ｂは水平軸７６を横切っていることが分かる。
線分７０ｂが水平軸７６を横切っているのであるから、
システム部分３０は線分７０ｂが水平軸７６を横切る点
を精密に決定しなければならない。即ち、システム部分
３０は、画素７８ｂの中心８６から、線分７０ｂが水平
軸７６を横切る点８８までの水平距離Ｄ_xを決定しなけ
ればならない。もし線分７０ｂが画素７８ｂの中心８６
の左側において、もしくは中心において水平軸７６を横
切っていて、中心の右側において横切っているのでなけ
れば、画素７８ｂは光らされる。距離Ｄ_xが決定される
と、そのＤ_xは端点９０の“Ｘ”座標ｘ₁に加算されて
線分７０ｂが水平軸７６を横切る点が決定される。もし
得られた和が画素７８ｂの中心８６の“Ｘ”座標より小
さいか、もしくは等しければ、線分は画素７８ｂの中心
８６の左側において水平軸７６を横切っているのであ
る。従って、画素７８ｂは光らされる。本発明は、距離
Ｄ_xを決定するための簡単且つ高速の技術を提供する。

【００２４】システム部分３０は１組の参照用テーブル
を使用して、画素の中心８６の左側で線分が特定の水平
走査行の水平軸７６を横切っているか否かを決定する。
線分の垂直及び水平方向における長さ、及び１つの端点
から水平軸７６までの垂直距離が参照用テーブルに使用
される３つの索引である。システム部分３０は、上述し
たようにして線分の垂直方向の長さΔｙ_Lと、線分の水
平方向の長さΔｘ_Lとを決定する。線分の１つの端点か
ら水平軸までの垂直距離Δｓ_yは、特定水平走査行の水
平軸の“Ｙ”成分から最左端の端点の“Ｙ”成分を減算
することによって容易に決定される。線分が水平軸を横
切る点から画素の中心点までの水平距離Ｄ_xは、データ
参照用テーブル４６（図５）を使用して決定される。Ｄ
_xを決定するためにシステム部分３０が使用する方法
は、図１２に関連して図１３及び１４の流れ図に示され
ている。図１２の端点９０及び９２の座標は、上述した
線分発生プロセスによってシステム部分３０に知らさ
れ、図１３の段階２００においてシステムに供給され
る。画素解析装置３６は画素を詳細に解析して、その画
素の水平軸７６を横切る線分を含むか否かを決定する。
判断ブロック２０２において、線分の“Ｙ”座標が調べ
られ、その線分が水平軸７６（その“Ｙ”座標は分かっ
ており、値ｙ_scanによって表されている）を横切ってい
るか否かが決定される。もし判断ブロック２０２の結果
が NO であれば、段階２０４においてシステムはその水
平走査行内の次の画素へ移動する。もし判断ブロック２
０２の結果が YES であれば画素解析装置３６は上述し
た画素の詳細な解析を遂行する。

【００２５】システム部分３０は画素を詳細に解析する
前に判断ブロック２０６において、その線分が、隣接す
る２つの水平走査行内の水平軸７６を横切っているか否
かを決定する。もし判断ブロック２０６の結果が YES
であれば、段階２０８において公知の何れかのプロセス
によってその線分は半分に細分される。残りの諸段階は
個々の各線分に対して独立的に遂行される。もし線分の
長さが１画素よりも大きくならないようにシステム部分
３０がベジェ曲線を細分していれば、この段階は不要で
あることを理解されたい。図１２の例では、線分７０ｂ
は２つの水平走査線７６を横切ってはいないから、判断
ブロック２０６の結果は NO である。索引Δｘ_L、Δｙ
_L及びΔｓ_yは、段階２１０において線分の端点から容
易に計算される。現在では好ましい実施例では、もし必
要ならば、ベジェ曲線の端点を交換してベジェ曲線を逆
さまに描かせることに注目されたい。従って、Δｙ_L及
びΔｓ_yの値は常に正であり、これは索引テーブル４０
及び４２（図６）の考え得るデータ値の数及びコンピュ
ータ１０のメモリ１７（図５）に要求される記憶容量を
減少させる。ベジェ曲線を逆さまに描く結果としてΔｘ
_Lの値は、線分の勾配に依存して正もしくは負であり得
る。従って、索引テーブル３８（図６）内の値Δｘ_Lの
ためのデータ値は２倍に多くなる。

【００２６】図１２の例では、索引Δｘ_Lはｘ₁からｘ
₂を減算することによって計算される。同様に、索引Δ
ｙ_Lはｙ₁からｙ₂を減算することによって計算され
る。線分の始まり（即ち（ｘ₁,ｙ₁））から、垂直方向
における走査線の中心点までの距離索引Δｓ_yは、ｙ
_scanからｙ₁を減算することによって計算される。解析
中の画素の中心８６の座標をｘ_scan及びｙ_scanと呼ぶ。
前述したようにこれらの計算は 1/64 画素分解能で遂行
されるが、これらの値は以下に説明するように 1/8画素
分解能に丸められる。段階２１２において、システム部
分３０は計算された索引Δｘ_L、Δｙ_L及びΔｓ_yをそ
れぞれ、索引テーブル３８、４０及び４２を指し示すポ
インタとして使用する。索引テーブル３８、４０及び４
２内に含まれるデータ値は段階２１２におけるテーブル
探索操作によって決定される。索引Δｘ_L、Δｙ_L及び
Δｓ_yによってそれぞれ指し示された位置の索引テーブ
ル３８、４０及び４２内に含まれているデータ値は、図
１４の段階２１４において互いに加え合わされる。段階
２１４で得られた値がデータポインタ４５である。デー
タポインタ４５は、Ｄ_xの値が記憶されているデータ参
照用テーブル４６内の位置を指し示す。システム部分３
０は段階２１６においてテーブル探索プロセスを使用し
てＤ_xの値を決定する。

【００２７】図１４の段階２１８において、値Ｄ_xが値
ｘ₁に加算される。判断ブロック２２０においてシステ
ム部分３０は、Ｄ_xとｘ₁との合計が解析中の画素の中
心８６の“Ｘ”座標ｘ_scanより大きいか否かを決定す
る。もし線分が画素７８の中心８６の右側において水平
軸７６を横切っていれば、判断ブロック２２０の結果は
NO であり、解析中の画素の論理状態は変わらない。シ
ステム部分３０は図１３の段階２０４へ戻されてその水
平走査行内の次の画素を解析する。もし線分が画素の中
心８６の左側において水平軸７６を横切っていれば、判
断ブロック２２０の結果は YES であり、その画素の２
進論理状態は段階２２２において変化させられる。上述
したように２進論理状態の変化はオフからオンへ、もし
くはオンからオフへの何れかであることを理解された
い。前述したように、一旦水平走査行の２進論理状態が
変化すると、別の線分が水平軸を横切るのをシステム部
分３０が見出すまで、その新しい２進論理状態に留ま
る。新しい線分を詳細に解析することによって、それら
の画素の２進論理状態を再度変化させるか否かが決定さ
れる。システムは図１３の段階２０４へ戻り、曲線内の
新しい線分を解析する。前述したように、索引Δｘ_L、
Δｙ_L及びΔｓ_yは参照用テーブル４６内のアドレスを
決定するために使用される。公知のようにコンピュータ
は、コンピュータ１０のメモリ１７（図５）内の連続す
る位置を占める線形アレイ内にデータを記憶することが
できる。最終アドレスの計算には、典型的には索引の値
を乗算し、加算して最終アドレスを生成する必要があ
る。前述したように、ベジェ曲線は下から上へ描かれる
のでΔｙ_L及びΔｓ_yは正の数になるが、Δｘ_Lはベジ
ェ曲線を近似する線分の勾配に依存して正にも負にもな
り得る。システム部分３０は1/64 画素分解能で計算を
遂行するから、索引Δｙ_L及び索引Δｓ_yが存在し得る
範囲は０乃至 63 であり、索引Δｘ_Lの値は＋ 63 乃至
− 63 の範囲内にある。最終アドレスは異なる索引に重
み付けし、各索引に重み付けして得られた重要度を加え
合わせることによって計算することができる。索引Δｘ
_L、Δｙ_L及びΔｓ_yについて、最終アドレスは次式に
よって計算することができる。

【００２８】アドレス＝基底＋（ 256＊Δｘ_L）＋（ 16 ＊Δｙ_L）＋Δｓ_y （１）ここに基底はコンピュータ１０のメモリ１７内に記憶さ
れているデータテーブルの基底アドレスであり、Δ
ｘ_L、Δｙ_L及びΔｓ_yはそれぞれ３つの索引テーブル
３８、４０及び４２のための値である。事実上、索引テ
ーブルは基底アドレスにオフセットされている。索引Δ
ｙ_Lの代わりに索引Δｓ_yに 64 を乗ずるというような
他の手法で索引に重み付けできることを理解されたい。
上例に示した最終アドレスの計算には２回の別々の乗算
と、２回の加算が必要である。公知のように、乗算には
時間がかかる。乗算を排除するために、索引テーブル３
８、４０及び４２（図６）内に含まれるデータ値内に乗
算係数を含ませるべくシステム部分３０は３つの索引Δ
ｘ_L、Δｙ_L及びΔｓ_yに対する索引テーブル３８、４
０及び４２を事前に重み付けする。各索引テーブルは、
乗算計算を遂行済のデータ値を含む。即ち、索引テーブ
ル３８、４０及び４２内に含まれるデータ値が乗算計算
を含むように事前に重みが付けられているのである。短
いテーブルを探索するルーチンは、上記（１）式に記載
のアドレス公式に示された乗算計算よりは高速とするこ
とができる。

【００２９】事前重み付けの概念を示すために、図６の
索引テーブル３８、４０及び４２の一部である表１を考
える。表１は上式（１）によって事前に重み付けしたデ
ータエントリを含む。表１事前重み付けした索引テーブル索引索引テーブル値ポインタ値 Δｘ_L Δｙ_L Δｓ_y 0 0 0 0 1 256 16 1 2 512 32 2 3 768 48 3 4 1024 64 4 5 1280 80 5 6 1536 96 6 7 1792 112 7 8 2048 128 8 9 2304 144 9 10 2560 160 10 11 2816 176 11 12 3072 192 12 13 3328 208 13 14 3584 224 14 15 3840 240 15 表１に示す例では、もし索引Δｘ_L、Δｙ_L及びΔｓ_y
の索引ポインタ３７、３９及び４１の値がそれぞれ２、
３及び４であるものとすれば、結果は、256 ＋192 ＋４
＝452 になる。この結果が、データ参照用テーブル４６
内のＤ_xの値を記憶している位置を指し示すのに使用さ
れるデータポインタ４５である。乗算計算の代わりに事
前に重み付けした参照用テーブルを使用すると、ベジェ
曲線を描く速度が増加する。

【００３０】1/64 画素分解能と３つの索引を使用する
と、通常ならばデータ参照用テーブル４６内のデータ値
は（ 64 × 64 × 129＝） 528,384 になる。この分解
能を使用するとデータ参照用テーブルは大き過ぎるもの
になる。従って本発明は座標値を 1/8 画素分解能に丸
めているのである。あり得る座標値の数を 64 から８へ
減少させることによって、データ参照用テーブル４６内
のデータ値の数が減少する。各索引テーブル４０及び４
２毎に０から８までの範囲の９つの考え得るデータ値が
存在する。索引テーブル３８には０を含む−８から＋８
までの範囲の 17 の考え得るデータ値が存在する。従っ
てデータ参照用テーブル４６には（９×９× 17 ＝）1,
377 のデータ値が存在する。これはコンピュータ１０内
のメモリ１７（図５）に対する総合要求を低下させる。
1/64 画素分解能から 1/8 画素分解能まで縮小させる
のは、座標値を８で除し、剰余を捨てることによって達
成することができる。しかしながら、除算は時間のかか
る計算である。代替として、システム部分３０は、 1/6
4 画素分解能におけるデータ値を３ビット右へけた送り
して 1/8 画素分解能が得られるようにすることによっ
て、 1/64 画素分解能から 1/8 画素分解能までの縮小
を遂行することができる。現在では好ましい実施例で
は、索引テーブル３８、４０及び４２は 1/8 画素分解
能まで縮小されたデータ値を含んでいる。即ち、索引テ
ーブル４０及び４２内に０から 63 までの範囲のデータ
値を含ませ、索引テーブル３８内に−63から＋63までの
データ値を含ませるのではなく、システム部分３０はそ
れぞれ０から８までの範囲のデータ値と、−８から＋８
までの範囲のデータ値とを使用するのである。

【００３１】以下の表２は、表１のデータ値を変更して
1/64 画素分解能から 1/8 画素分解能までの縮小と、
データ参照用テーブル４６内の最終アドレスを決定する
際の乗算計算を排除するために事前に重み付けを行った
データ値を示している。表２分解能縮小を用い事前重み付けした索引テーブル索引索引テーブル値ポインタ値 Δｘ_L Δｙ_L Δｓ_y 0 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 3 0 0 0 4 256 16 1 5 256 16 1 6 256 16 1 7 256 16 1 8 256 16 1 9 256 16 1 10 256 16 1 11 256 16 1 12 512 32 2 13 512 32 2 14 512 32 2 15 512 32 2 表２に示す例では、もし索引Δｘ_L、Δｙ_L及びΔｓ_y
の索引ポインタ値がそれぞれ２、３及び４であるものと
すれば、結果は 128＋ 64 ＋1 ＝193 になる。この結果
が、データ参照用テーブル４６内のＤ_xの値を記憶して
いる位置を指し示すのに使用されるデータポインタ４５
である。1/8 画素分解能に縮小しても索引テーブル３
８、４０及び４２の大きさには影響を与えることはない
が、データ参照用テーブル４６の大きさが大幅に縮小さ
れることに注目されたい。即ち、分解能の縮小は、本発
明が要求するメモリ１７（図５）の量の節約をもたらし
ているのである。

【００３２】表２に示すデータ値は、線形に配列された
1/64 画素分解能から 1/8 画素分解能への縮小と、乗
算重み付けとを提供している。しかし線形配列は 1/64
画素分解能から 1/8 画素分解能への丸めに起因してＤ
_xの値に大きい誤差をもたらす。これは、線分の勾配が
小さい（即ちΔｘ_Lが大きくΔｙ_Lが小さい）ような状
況において特に明白である。誤差が可変であることを示
すために、図１５に示すような大きいΔｘ_Lと小さいΔ
ｙ_Lとを有し、Ｄ_xが０に等しい線分２５０を考える。
図１６に示すように、丸めによる端点２５２及び２５
２’の位置の僅かな変化がＤ_xに大きい変化をもたらし
得る。これに対して図１７に示す線分２５４は小さいΔ
ｘ_Lと小さいΔｙ_Lとを有し、Ｄ_xは０に等しい。図１
８に示すように端点２５６及び２５６’の位置に僅かな
変化があってもＤ_xには重大な変化は生じない。実際に
は、丸め誤差は図１６及び１８に示す程重大ではない。
図１６及び１８に示す誤差は、誤差の効果を誇張してい
るに過ぎない。システム部分３０は、索引テーブル３
８、４０及び４２（図６）内に非線形データ値を意図的
に作ることによって丸め誤差を補償する。索引テーブル
３８、４０及び４２（図６）内の非線形データ値の効果
は、丸め誤差によって最大の影響を受ける画素の領域の
ためのデータ参照用テーブル４６内にはより多くのデー
タ値が存在するようになること、及び丸め誤差によって
最小の影響しか受けない画素の領域のためのデータ参照
用テーブル４６内にはより少ないデータ値が存在するよ
うになることである。この実施例では、データ参照用テ
ーブル４６は総合的により多くのデータ値を有しておら
ず、総合誤差を低下させるようにデータ値の数を非線形
的に移している。

【００３３】以下に示す表３は、 1/64 画素分解能から
1/8 画素分解能への縮小に起因する丸め誤差を補償す
るために、非線形データ値を含むように表２を変更する
手法を示すものである。表３分解能縮小を用い非線形事前重み付けした索引テーブル索引索引テーブル値ポインタ値 Δｘ_L Δｙ_L Δｓ_y 0 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 3 256 0 1 4 256 0 1 5 256 0 1 6 256 16 2 7 256 16 2 8 256 16 2 9 256 16 2 10 512 16 2 11 512 16 2 12 512 32 3 13 512 32 3 14 512 32 3 15 512 32 3 表３では、Δｘ_Lの大きい値に対してはより多くのデー
タ値が割り当てられ、Δｘ_Lの小さい値に対してはデー
タ参照用テーブル４６内に相応して少ないデータ値が割
り当てられていることに注目されたい。同様に、Δｙ_L
及びΔｓ_yの小さい値に対してより多くのデータ値が割
り当てられている。表３は、分解能縮小及び事前重み付
けの簡単な例を示しているが、これらの原理は非線形デ
ータテーブルの使用を通して丸め誤差を補償できるよう
な如何なる状況にも容易に拡張できる。これらの原理
は、表示分解能もしくはデータ参照用テーブルの大きさ
のどのような他の縮小にも適用される。例えば、もし分
解能を 1/64 画素分解能から1/8 画素分解能へ縮小する
だけであれば、データ参照用テーブルは現在では好まし
い実施例が使用する 1/64 画素分解能から 1/8 画素分
解能への縮小より多くのデータ値と、小さい丸め誤差を
含むようになる。従って、非線形索引テーブルは表３に
示した例とは同一にはならない。表３に示したデータ値
は、画素の大きさ、計算の分解能、分解能の縮小、及び
データ参照用テーブル４６の大きさのような諸要因に依
存して応用毎に変化し得るものであることを理解された
い。

【００３４】データ参照用テーブル４６内の距離値は、
ある画素内に存在し得る各線分毎の距離Ｄ_xを決定する
ための公知の幾何学的測定技術を使用して決定される。
存在し得る各線分は異なるΔｘ_L、Δｙ_L及びΔｓ_yを
有している。幾何学的技術を使用して特定の線分の距離
Ｄ_xが決定されると、その距離値は本発明の技術を使用
してデータ参照用テーブル４６の距離値と比較される。
幾何学的に計算された距離と、システム部分３０が計算
した距離との差が、丸めによって導入された誤差を表
す。データ参照用テーブル４６内のデータ値及び索引テ
ーブル３８、４０及び４２上の非線形データ値は、自乗
平方根誤差を減少させる繰り返し技術を使用して実験的
に決定される。即ち、ある画素内に存在し得る全ての線
分に対する総合誤差を最小にするように、索引テーブル
３８、４０及び４２内の非線形データ値の移り目（もし
くは遷移、即ち区切り点）を何処で発生させるべきかを
実験的に決定することができる。図１９乃至２１はそれ
ぞれ、索引テーブル３８、４０及び４２のために使用さ
れる実際のデータ値である。図２１は、1/8 画素縮小を
使用した２画素長に対応する０乃至 16 の範囲内にある
Δｓ_y（索引テーブル４２）のデータ値をリストしたも
のである。同様に図２０は、０乃至 16 の範囲内にはあ
るが 17 の倍率（索引テーブル４２の合計範囲に対応す
る）を乗じたΔｙ_L（索引テーブル４０）のデータ値を
リストしたものである。図１９は、− 16 から＋ 16 ま
での範囲内にはあるが索引テーブル４０及び索引テーブ
ル４２の合計範囲に対応する乗算係数 272＋ 17 ＝ 289
を含むΔｘ_L（索引テーブル３８）のデータ値をリス
トしたものである。図１９乃至２１のテーブルは本発明
の好ましい実施例を示すために添付したものであるが、
もし選択された分解能が 1/64 画素分解能とは異なる
か、もしくは分解能縮小が 1/8画素分解能以外である
か、もしくは２画素以外の線分長が選択されていれば、
これらのデータ値が変化することは明白である。

【００３５】以上説明したように、データ参照用テーブ
ル４６は時間のかかる除算計算を必要とせずに合理的な
大きさに維持され、また３つの索引テーブル３８、４０
及び４２は時間のかかる乗算及び除算の何れをも排除す
るために事前に重み付けがなされている。３つの索引テ
ーブル３８、４０及び４２内に含まれるデータ値は互い
に加え合わされて、データ参照用テーブル４６内のある
位置を指し示すデータポインタ４５を発生する。表３に
示す例では、もしΔｘ_L、Δｙ_L及びΔｓ_yのデータ値
がそれぞれ２、３及び４であれば、Δｘ_L、Δｙ_L及び
Δｓ_yに対応する非線形索引テーブル内のデータ値はそ
れぞれ０、 64 及び１である。これらの数の合計 65
が、データ参照用テーブル４６内に最終アドレスを供給
するデータポインタ４５である。要約すれば、データ参
照用テーブル４６内に含まれるデータはＤ_xの値を指示
する。システム部分３０は値Ｄ_xを座標ｘ₁に加算す
る。もしｘ₁＋Ｄ_xの合計がその画素の中心点の“Ｘ”
座標の値であるＸ_scan より小さいか、もしくは等しけ
れば、その線分はその画素の中心点の左側において水平
軸を横切っている。その画素を光らせるか否かの判断
は、その線分が上述したように水平軸を横切る点に基づ
いて決定される。

【００３６】本発明のシステム部分３０は、図形画像を
発生させるための便利なプロセスを提供する。索引テー
ブル３８、４０及び４２は時間のかかる乗算及び除算計
算の必要性を排除する。データ参照用テーブル４６の寸
法が縮小されているために、本発明は如何なるコンピュ
ータでも容易に実現される。非線形データエントリは丸
め誤差を最小にし、受け入れ可能な総合誤差で図形画像
を発生させることができる。以上の説明は水平走査行に
関するものであったが、本発明の原理は垂直に、もしく
は如何なる方向に走査する図形表示ユニットにも等しく
適用可能であることを理解されたい。以上に添付図面を
参照して本発明を若干の実施例について説明したが、こ
の説明は例示のためのものに過ぎず、本発明は本発明の
範囲から逸脱することなくその細部に変更を施し得るの
ものである。従って、本発明は特許請求の範囲によって
のみ限定されるものである。

【図面の簡単な説明】

【図１】コンピュータ表示画面もしくは図形プリンタ上
に表示される典型的な図形表示を示す図である。

【図２】典型的な二次ベジェ曲線を示す図である。

【図３】どの画素をターンオン及びターンオフさせるか
を決定するために従来技術のシステム及び本発明のシス
テムが使用する技術を説明する図である。

【図４】本発明を実施するコンピュータ図形システムを
示す図である。

【図５】図４のコンピュータシステムの機能ブロック線
図である。

【図６】本発明のシステムの機能ブロック線図である。

【図７】本発明の原理に従って細分されたベジェ曲線を
示す図である。

【図８】ベジェ曲線を細分する本発明の方法の一部を示
す流れ図である。

【図９】図４の表示画面上に表示される図形文字の一部
を示す図である。

【図１０】図９の図形文字の一部を拡大して示す図であ
る。

【図１１】図１０の拡大された部分を本発明の原理に従
ってラスタ化するプロセスを示す図である。

【図１２】図１１のラスタ化プロセスを３つの画素につ
いて説明する図である。

【図１３】ベジェ曲線を描くための本発明の方法の流れ
図の一部を示す。

【図１４】図１３の流れ図の続きである。

【図１５】緩い勾配を有する線分がある画素の中心を横
切る様を示す図である。

【図１６】図１５に示す線分によってもたらされる丸め
誤差を説明する図である。

【図１７】急な勾配を有する線分がある画素の中心を横
切る様を示す図である。

【図１８】図１７に示す線分によってもたらされる丸め
誤差を説明する図である。

【図１９】本発明の索引テーブルの１つの非線形データ
値を示すテーブルである。

【図２０】本発明の別の索引テーブルの非線形データ値
を示すテーブルである。

【図２１】本発明の更に別の索引テーブルの非線形デー
タ値を示すテーブルである。

【符号の説明】

２曲線３英数字４二次ベジェ曲線５、６、７制御点１０コンピュータ１１キーボード１２表示画面１３プリンタ１４マウス１５離散化タブレット１６ＣＰＵ１７メモリ１８バス１９キーボードインタフェース２０表示インタフェース２１プリンタインタフェース２２マウスインタフェース２３ディジタイザインタフェース２４水平走査線２５画素２６線分２７画素の中心点２８線分３０システム部分３２ベジェ制御点３４線分発生器３６画素解析装置３７、３９、４１索引（インデックス）ポインタ３８、４０、４２索引（インデックス）テーブル４４加算器４５データポインタ４６データ参照用（ルックアップ）テーブル４８ラスタライザ５０図形表示ユニット６０、６２ベジェ曲線６４図形対象６６水平走査行６８被説明部分７０、７２線分７６水平軸７８、８０画素８６画素の中心点８８水平軸と線分との交点９０、９２端点１１６ベジェ曲線１１８、１２０、１２２ベジェ制御点

Claims

【特許請求の範囲】

【請求項１】画素の二次元アレイを限定するために第
１の次元内に配列された少なくとも１つの第１の連の画
素と、第２の次元内に配列された第２の連の画素とを使
用してＮ＋１制御点によって限定されるＮ次曲線を描
き、図形表示ユニット上に表示させるコンピュータ装置
であって、上記図形表示は曲線を表示するために第１の
次元内の画素アレイを走査し、各画素は第１及び第２の
互いに逆の２進論理状態によって限定され、上記コンピ
ュータ装置は１画素よりも大きい分解能を有する選択さ
れた測定単位を有する第１及び第２の次元内の座標系を
使用し、上記コンピュータ装置は、線分発生器と、画素解析装置と、データ参照用テーブル
と、第１、第２及び第３の索引テーブルと、アドレス手
段と、ラスタライザとを具備し、上記線分発生器は、上記複数の制御点を使用して曲線
を、１画素より大きくない長さと、第１及び第２の端点
とを各々が有する複数の線分に細分し、上記各端点は第
１及び第２の次元内の上記端点の位置をそれぞれ表す第
１及び第２の座標を有し、上記座標は選択された単位で
表され、上記画素解析装置は、上記線分の１つが第１の画素連の
第１の中心軸を横切っているか否かを決定し、上記１つ
の線分が上記第１の中心軸を横切っていれば上記画素解
析装置は、上記１つの線分の第１の端点から第２の端点
までの第１の次元における距離と、上記１つの線分の第
１の端点から第２の端点までの第２の次元における距離
と、上記１つの線分の第１の端点から上記第１の中心軸
までの第２の次元における距離とにそれぞれ対応する第
１、第２及び第３の索引ポインタをも生成し、上記データ参照用テーブルは、上記１つの線分が上記第
１の中心軸を横切っている第２の画素連の第２の中心軸
から、上記線分が上記第１の中心軸を横切る点までに第
１の次元内に存在し得る距離の範囲に対応し且つ選択さ
れた単位で表されている複数の距離値を含み、上記デー
タ参照用テーブルは、上記１つの線分に関する距離値を
含む上記データ参照用テーブル内の特定位置を指し示す
最終アドレスポインタを有し、上記第１、第２及び第３の索引テーブルは、上記最終ア
ドレスポインタを生成するために使用され、上記各索引
テーブルはそれぞれ上記第１、第２及び第３の索引ポイ
ンタの存在し得る値の範囲に対応するように選択された
複数の索引テーブル位置を含み、上記第１、第２及び第
３の索引ポインタはそれぞれ上記第１、第２及び第３の
索引テーブル内の特定の索引テーブル位置を指し示し、上記アドレス手段は、上記第１、第２及び第３の特定位
置から上記索引データ値を受信して上記最終アドレスポ
インタを生成し、そして上記ラスタライザは、上記距離
値を上記１つの線分の上記第１の端点の上記第１の座標
に加算して上記１つの線分が上記第１の中心軸を横切る
点を決定し、もし１つの線分が上記第２の中心軸に対す
る所定の位置において上記第１の中心軸を横切っていれ
ば、上記１つの線分が上記第１の中心軸を横切っている
画素の２進論理状態を逆の２進論理状態に変化させるこ
とを特徴とする装置。
【請求項２】上記第１、第２及び第３の索引テーブル
位置は、選択された測定単位からより低い分解能を有す
る第２の測定単位へ変化させるための除算係数を含む索
引データ値を含む請求項１に記載の装置。
【請求項３】上記第１、第２及び第３の索引テーブル
位置は、上記分解能の低下により誘起される誤差を補償
するように選択された非線形データ値である索引データ
値を含む請求項２に記載の装置。
【請求項４】上記索引テーブル位置は乗算係数を含む
ように事前に重み付けされた索引データ値を含み、それ
によって上記最終アドレスポインタを生成する際の乗算
を排除し、上記アドレス手段は上記第１、第２及び第３
の特定位置から上記索引データ値を受信し、上記索引デ
ータ値を加え合わせて上記最終アドレスポインタを生成
する請求項１に記載の装置。
【請求項５】画素の二次元アレイを限定するために第
１の次元内に配列された複数の第１の連の画素と、第２
の次元内に配列された第２の連の画素とを使用してＮ＋
１制御点によって限定されるＮ次曲線を描き、図形表示
ユニット上に表示させるコンピュータ装置であって、上
記図形表示は曲線を表示するために第１の次元内の画素
アレイを走査し、各画素は第１及び第２の互いに逆の２
進論理状態によって限定され、上記コンピュータ装置は
１画素よりも大きい分解能を有する選択された測定単位
を有する第１及び第２の次元内の座標系を使用し、上記
コンピュータ装置は、線分発生器と、画素解析装置と、データ参照用テーブル
と、第１、第２及び第３の索引テーブルと、アドレス手
段と、ラスタライザとを具備し、上記線分発生器は、上記複数の制御点を使用して曲線
を、２画素より大きくない長さと、第１及び第２の端点
とを各々が有する複数の線分に細分し、上記各端点は第
１及び第２の次元内の上記端点の位置をそれぞれ表す第
１及び第２の座標を有し、上記座標は選択された単位で
表され、上記画素解析装置は、上記線分の１つが第１の画素連の
第１の中心軸を横切っているか否かを決定し、上記１つ
の線分が上記第１の中心軸を横切っていれば上記画素解
析装置は、上記１つの線分の第１の端点から第２の端点
までの第１の次元における距離と、上記１つの線分の第
１の端点から第２の端点までの第２の次元における距離
と、上記１つの線分の第１の端点から上記第１の中心軸
までの第２の次元における距離とにそれぞれ対応する第
１、第２及び第３の索引ポインタをも生成し、上記ポイ
ンタは選択された単位で表され、上記画素解析装置は、
上記複数の線分の何れかが第１の画素に隣接する第２の
画素の上記第１の中心軸を横切っているか否かをも決定
し、上記画素解析装置は、第１の画素連の上記第１の画
素の上記第１の中心軸及び第１の画素連の上記隣接する
第２の画素の上記第１の中心軸の両者を横切っている線
分を半分に細分し、上記細分された線分は上記線分と同
一の手法で処理され、上記データ参照用テーブルは、上記１つの線分が上記第
１の中心軸を横切っている第２の画素連の第２の中心軸
から、上記線分が上記第１の中心軸を横切る点までに第
１の次元内に存在し得る距離の範囲に対応し且つ選択さ
れた単位で表されている複数の距離値を含み、上記デー
タ参照用テーブルは、上記１つの線分に関する距離値を
含む上記データ参照用テーブル内の特定位置を指し示す
最終アドレスポインタを有し、上記第１、第２及び第３の索引テーブルは、上記最終ア
ドレスポインタを生成するために使用され、上記各索引
テーブルはそれぞれ上記第１、第２及び第３の索引ポイ
ンタの存在し得る値の範囲に対応するように選択された
複数の索引テーブル位置を含み、上記第１、第２及び第
３の索引ポインタはそれぞれ上記第１、第２及び第３の
索引テーブル内の特定の索引テーブル位置を指し示し、上記アドレス手段は、上記第１、第２及び第３の特定位
置から上記索引データ値を受信して上記最終アドレスポ
インタを生成し、そして上記ラスタライザは、上記距離
値を上記１つの線分の上記第１の端点の上記第１の座標
に加算して上記１つの線分が上記第１の中心軸を横切る
点を決定し、もし１つの線分が上記第２の中心軸に対す
る所定の位置において上記第１の中心軸を横切っていれ
ば、上記１つの線分が上記第１の中心軸を横切っている
画素の２進論理状態を逆の２進論理状態に変化させるこ
とを特徴とする装置。
【請求項６】上記第１、第２及び第３の索引テーブル
位置は選択された測定単位からより低い分解能を有する
第２の測定単位へ変化させるための除算係数を含む索引
データ値を含む請求項５に記載の装置。
【請求項７】上記第１、第２及び第３の索引テーブル
位置は上記分解能の低下により誘起される誤差を補償す
るように選択された非線形データ値である索引データ値
を含む請求項６に記載の装置。
【請求項８】上記索引テーブル位置は乗算係数を含む
ように事前に重み付けされた索引データ値を含み、それ
によって上記最終アドレスポインタを生成する際の乗算
を排除し、上記アドレス手段は上記第１、第２及び第３
の特定位置から上記索引データ値を受信し、上記索引デ
ータ値を加え合わせて上記最終アドレスポインタを生成
する請求項７に記載の装置。
【請求項９】画素の二次元アレイを限定するために第
１の次元内に配列された複数の第１の連の画素と、第２
の次元内に配列された第２の連の画素とを使用してＮ＋
１制御点によって限定されるＮ次曲線を描き、図形表示
ユニット上に表示させるコンピュータ装置であって、上
記図形表示は曲線を表示するために第１の次元内の画素
アレイを走査し、各画素は第１及び第２の互いに逆の２
進論理状態によって限定され、上記コンピュータ装置は
１画素よりも大きい分解能を有する選択された測定単位
を有する第１及び第２の次元内の座標系を使用し、上記
コンピュータ装置は、線分発生器と、画素解析装置と、データ参照用テーブル
と、第１、第２及び第３の索引テーブルと、アドレス手
段と、ラスタライザとを具備し、上記線分発生器は、上記複数の制御点を使用して曲線
を、所定数の画素より大きくない長さと、第１及び第２
の端点とを各々が有する複数の線分に細分し、上記各端
点は第１及び第２の次元内の上記端点の位置をそれぞれ
表す第１及び第２の座標を有し、上記座標は選択された
単位で表され、上記画素解析装置は、上記線分の１つが第１の画素連の
第１の画素の第１の中心軸を横切っているか否かを決定
し、上記１つの線分が上記第１の中心軸を横切っていれ
ば上記画素解析装置は、上記１つの線分の第１の端点か
ら第２の端点までの第１の次元における距離と、上記１
つの線分の第１の端点から第２の端点までの第２の次元
における距離と、上記１つの線分の第１の端点から上記
第１の中心軸までの第２の次元における距離とにそれぞ
れ対応する第１、第２及び第３の索引ポインタをも生成
し、上記ポインタは選択された単位で表され、上記画素
解析装置は、上記複数の線分の何れかが第１の画素に隣
接する第２の画素の上記第１の中心軸を横切っているか
否かをも決定し、上記画素解析装置は、解析中の第１の
画素連の上記第１の画素の上記第１の中心軸及び第１の
画素連の上記隣接する第２の画素の上記第１の中心軸の
両者を横切っている上記線分を細分して第１の画素連の
１つより多くの上記第１の中心軸を横切らない細分され
た線分を生成し、上記細分された各線分は上記線分と同
一の手法で処理され且つ第１及び第２の端点を有し、第
１及び第２の座標を有する上記各端点は第１及び第２の
次元内の上記端点の位置を表し、上記座標は選択された
単位で表され、上記データ参照用テーブルは、上記１つの線分が上記第
１の中心軸を横切っている第２の画素連の１つの第２の
中心軸から、上記線分が上記第１の中心軸を横切る点ま
でに第１の次元内に存在し得る距離の範囲に対応し且つ
選択された単位で表されている複数の距離値を含み、上
記データ参照用テーブルは、上記１つの線分に関する距
離値を含む上記データ参照用テーブル内の特定位置を指
し示す最終アドレスポインタを有し、上記第１、第２及び第３の索引テーブルは、上記最終ア
ドレスポインタを生成するために使用され、上記各索引
テーブルはそれぞれ上記第１、第２及び第３の索引ポイ
ンタのあり得る値の範囲に対応するように選択された複
数の索引テーブル位置を含み、上記第１、第２及び第３
の索引ポインタはそれぞれ上記第１、第２及び第３の索
引テーブル内の特定の索引テーブル位置を指し示し、上記アドレス手段は、上記第１、第２及び第３の特定位
置からの上記索引値から上記最終アドレスポインタを生
成し、そして上記ラスタライザは、上記１つの線分の上
記距離値を第１の次元内の上記第１の端点の上記座標に
加算して上記１つの線分が上記第１の中心軸を横切る点
を決定し、もし上記１つの線分が上記第２の中心軸に対
する所定の位置において上記第１の中心軸を横切ってい
れば、上記１つの線分が上記第１の中心軸を横切ってい
る画素の２進論理状態を逆の２進論理状態に変化させる
ことを特徴とする装置。
【請求項１０】上記索引テーブル位置は乗算係数を含
むように事前に重み付けされた索引データ値を含み、そ
れによって上記最終アドレスポインタを生成する際の乗
算を排除し、上記アドレス手段は上記第１、第２及び第
３の特定位置から上記索引データ値を受信し、上記索引
データ値を加え合わせて上記最終アドレスポインタを生
成する請求項９に記載の装置。
【請求項１１】上記第１、第２及び第３の索引テーブ
ル位置は選択された測定単位からより低い分解能を有す
る第２の測定単位へ変化させるための除算係数を含む索
引データ値を含む請求項９に記載の装置。
【請求項１２】上記第１、第２及び第３の索引テーブ
ル位置は上記分解能の低下により誘起される誤差を補償
するように選択された非線形データ値である索引データ
値を含む請求項１１に記載の装置。
【請求項１３】画素の二次元アレイを限定するために
第１の次元内に配列された少なくとも１つの第１の連の
画素と、第２の次元内に配列された第２の連の画素とを
使用してＮ＋１制御点によって限定されるＮ次曲線を描
き、図形表示ユニット上に表示させるためにコンピュー
タ装置及び上記図形表示ユニットを使用する方法であっ
て、上記図形表示は曲線を表示するために第１の次元内
の画素アレイを走査し、各画素は第１及び第２の互いに
逆の２進論理状態によって限定され、上記コンピュータ
装置は１画素よりも大きい分解能を有する選択された測
定単位を有する第１及び第２の次元内の座標系を使用
し、上記方法は、（ａ）上記曲線を、１画素よりも大きくない長さと、第
１及び第２の端点とを各々が有する複数の線分に細分
し、上記各端点に第１及び第２の次元内の上記各点の位
置をそれぞれ表す第１及び第２の座標を与え、上記座標
を選択された単位で表す段階と、（ｂ）上記線分の１つが第１の画素連の第１の中心軸を
横切っているか否かを決定する段階と、（ｃ）もし上記線分の１つが上記第１の中心軸を横切っ
ていれば、上記１つの線分の第１の端点から第２の端点
までの第１の次元における距離と、上記１つの線分の第
１の端点から第２の端点までの第２の次元における距離
と、上記１つの線分の第１の端点から上記第１の中心軸
までの第２の次元における距離とにそれぞれ対応する第
１、第２及び第３の索引ポインタを生成し、上記ポイン
タを選択された単位で表す段階と、（ｄ）上記第１、第２及び第３の索引ポインタをそれぞ
れ使用して上記第１、第２及び第３の索引ポインタの存
在し得る値の範囲にそれぞれ対応するように選択された
複数の索引テーブル位置を各々が含む第１、第２及び第
３の索引テーブル内の第１、第２及び第３の特定の索引
テーブル位置を決定する段階と、（ｅ）上記第１、第２及び第３の索引テーブル内の索引
データ値を使用して最終アドレスポインタを生成する段
階と、（ｆ）上記１つの線分が上記第１の軸を横切っている第
２の画素連の第２の中心軸から、上記線分が上記第１の
中心軸を横切る点までに第１の次元内に存在し得る距離
の範囲に対応し且つ選択された単位で表されている複数
の距離値を含むデータ参照用テーブルから、上記１つの
線分に関する距離値を含む上記データ参照用テーブル内
の特定位置を上記最終アドレスポインタを使用して決定
する段階と、（ｇ）上記距離値を上記１つの線分の上記第１の端点の
上記第１の座標に加算して、上記１つの線分が上記第１
の中心軸を横切る点を決定する段階と、（ｈ）上記１つの線分が上記第２の中心軸に対する所定
の位置において上記第１の中心軸を横切っていれば、上
記１つの線分が上記第１の中心軸を横切っている画素の
２進論理状態を逆の２進論理状態に変化させる段階を具
備することを特徴とする方法。
【請求項１４】曲線を上記複数の線分に細分する上記
段階（ａ）は、１）Ｎ＋１の各制御点から第１の次元内で隣接する制御
点までの画素の差の絶対値を測定して第１の次元のＮ差
分値を求める段階と、（２）Ｎ＋１の各制御点から第２の次元内で隣接する制
御点までの画素の差の絶対値を測定して第２の次元のＮ
差分値を求める段階と、（３）第１及び第２の次元の上記Ｎ差分値の最大値を決
定する段階と、（４）上記最大値を２倍して曲線を細分している線分の
最少数を決定する段階を含む請求項１３に記載の方法。
【請求項１５】もし段階（ｈ）が、上記１つの線分が
上記第１の中心軸を横切っている画素の２進論理状態を
変化させれば、段階（ｈ）が上記１つの線分が上記第１
の中心軸を横切っている別の画素の２進論理状態を逆の
２進論理状態に変化させるまで、第１の画素連内の上記
画素以降の全ての画素の２進論理状態を変化させる段階
をも含む請求項１３に記載の方法。
【請求項１６】上記索引テーブルは乗算係数を含むよ
うに事前に重み付けされた索引データ値を含み、上記最
終アドレスポインタを生成する上記段階（ｅ）は、上記
第１、第２及び第３の特定の索引テーブル位置内の索引
データ値を加え合わせ、それによって上記最終アドレス
ポインタを生成する際の乗算を排除する請求項１３に記
載の方法。
【請求項１７】上記索引テーブルは選択された測定単
位から分解能がより低い第２の測定単位へ変化させるた
めの除算係数を含む索引データ値を含み、上記段階
（ｅ）は、低下した分解能を有する上記索引データ値を
使用して上記最終アドレスポインタを生成する請求項１
３に記載の方法。
【請求項１８】上記索引テーブル位置は上記除算係数
によってもたらされる誤差を補償するための非線形デー
タ値を含み、上記段階（ｅ）は、低下した分解能を有す
る上記非線形データ値を使用して上記最終アドレスポイ
ンタを生成する請求項１７に記載の方法。
【請求項１９】画素の二次元アレイを限定するために
第１の次元内に配列された複数の第１の連の画素と、第
２の次元内に配列された第２の連の画素とを使用してＮ
＋１制御点によって限定されるＮ次曲線を描き、図形表
示ユニット上に表示させるためにコンピュータ装置及び
上記図形表示ユニットを使用する方法であって、上記図
形表示は曲線を表示するために第１の次元内の画素アレ
イを走査し、各画素は第１及び第２の互いに逆の２進論
理状態によって限定され、上記コンピュータ装置は１画
素よりも大きい分解能を有する選択された測定単位を有
する第１及び第２の次元内の座標系を使用し、上記方法
は、（ａ）上記曲線を、２画素よりも大きくない長さと、第
１及び第２の端点とを各々が有する複数の線分に細分
し、上記各端点に第１及び第２の次元内の上記各点の位
置をそれぞれ表す第１及び第２の座標を与え、上記座標
を選択された単位で表す段階と、（ｂ）上記線分の１つが第１の画素連の第１の画素の第
１の中心軸を横切っているか否かを決定する段階と、（ｃ）上記線分の何れかが第１の画素連内の隣接する第
２の画素の第１の中心軸を横切っているか否かを決定す
る段階と、（ｄ）上記第１の画素連の上記第１の画素の上記第１の
中心軸及び上記第１の画素連内の上記隣接する第２の画
素の上記第１の中心軸の両者を横切る上記線分を細分し
て細分された各線分が一方の第１の中心軸だけを横切る
ようにし、上記細分された各線分を上記線分と同じ手法
で処理し、上記細分された各線分の第１及び第２の端点
に第１及び第２の次元内の上記各点の位置をそれぞれ表
す第１及び第２の座標を与え、上記座標を選択された単
位で表す段階と、（ｅ）もし上記線分の１つが上記第１の中心軸を横切っ
ていれば、上記１つの線分の第１の端点から第２の端点
までの第１の次元における距離と、上記１つの線分の第
１の端点から第２の端点までの第２の次元における距離
と、上記１つの線分の第１の端点から上記第１の中心軸
までの第２の次元における距離とにそれぞれ対応する上
記１つの線分のための第１、第２及び第３の索引ポイン
タを生成し、上記ポインタを選択された単位で表す段階
と、（ｆ）上記第１、第２及び第３の索引ポインタをそれぞ
れ使用して、上記第１、第２及び第３の索引ポインタの
存在し得る値の範囲にそれぞれ対応するように選択され
た複数の索引テーブル位置を各々が含む第１、第２及び
第３の索引テーブル内の第１、第２及び第３の特定の索
引テーブル位置を決定する段階と、（ｇ）上記第１、第２及び第３の特定の索引テーブル位
置内の索引データ値を使用して最終アドレスポインタを
生成する段階と、（ｈ）上記１つの線分が上記第１の軸を横切っている第
２の画素連の第２の中心軸から、上記線分が上記第１の
中心軸を横切る点までに第１の次元内に存在し得る距離
の範囲に対応し且つ選択された単位で表されている複数
の距離値を含むデータ参照用テーブルから、上記１つの
線分に関する距離値を含む上記データ参照用テーブル内
の特定位置を上記最終アドレスポインタを使用して決定
する段階と、（ｉ）上記距離値を上記１つの線分の上記第１の端点の
上記第１の座標に加算して、上記１つの線分が上記第１
の中心軸を横切る点を決定する段階と、（ｊ）もし上記１つの線分が上記第２の中心軸に対する
所定の位置において上記第１の中心軸を横切っていれ
ば、上記１つの線分が上記第１の中心軸を横切っている
画素の２進論理状態を逆の２進論理状態に変化させる段
階を具備することを特徴とする方法。
【請求項２０】曲線を上記複数の線分に細分する上記
段階（ａ）は、（１）Ｎ＋１の各制御点から第１の次元内で隣接する制
御点までの画素の差の絶対値を測定して第１の次元のＮ
差分値を求める段階と、（２）Ｎ＋１の各制御点から第２の次元内で隣接する制
御点までの画素の差の絶対値を測定して第２の次元のＮ
差分値を求める段階と、（３）第１及び第２の次元の上記Ｎ差分値の最大値を決
定する段階と、（４）上記最大値を使用して曲線を上記複数の線分に細
分して線分の最少数を決定する段階を含む請求項１９に
記載の方法。
【請求項２１】もし段階（ｊ）が、上記１つの線分が
上記第１の中心軸を横切っている画素の２進論理状態を
変化させれば、段階（ｊ）が上記１つの線分が上記第１
の中心軸を横切っている別の画素の２進論理状態を逆の
２進論理状態に変化させるまで、第１の画素連内の上記
画素以降の全ての画素の２進論理状態を変化させる段階
をも含む請求項１９に記載の方法。
【請求項２２】上記索引テーブル位置は乗算係数を含
むように事前に重み付けされた索引データ値を含み、上
記最終アドレスポインタを生成する上記段階（ｇ）は、
上記第１、第２及び第３の特定の索引テーブル位置内の
索引データ値を加え合わせ、それによって上記最終アド
レスポインタを生成する際の乗算を排除する請求項１９
に記載の方法。
【請求項２３】上記第１、第２及び第３の索引テーブ
ル位置は選択された測定単位から分解能がより低い第２
の測定の単位へ変化させるための除算係数を含む索引デ
ータ値を含み、上記段階（ｇ）は、低下した分解能を有
する上記索引データ値を使用して上記最終アドレスポイ
ンタを生成する請求項１９に記載の方法。
【請求項２４】上記索引テーブル位置は上記除算係数
によってもたらされる誤差を補償するための非線形デー
タ値を含み、上記段階（ｇ）は、低下した分解能を有す
る上記非線形データ値を使用して上記最終アドレスポイ
ンタを生成する請求項２３に記載の方法。
【請求項２５】画素の二次元アレイを限定するために
第１の次元内に配列された複数の第１の連の画素と、第
２の次元内に配列された第２の連の画素とを使用してＮ
＋１制御点によって限定されるＮ次曲線を描き、図形表
示ユニット上に表示させるためにコンピュータ装置及び
上記図形表示ユニットを使用する方法であって、上記図
形表示は曲線を表示するために第１の次元内の画素アレ
イを走査し、各画素は第１及び第２の互いに逆の２進論
理状態によって限定され、上記コンピュータ装置は１画
素よりも大きい分解能を有する選択された測定単位を有
する第１及び第２の次元内の座標系を使用し、上記方法
は、（ａ）上記曲線を、所定数の画素よりも大きくない長さ
と、第１及び第２の端点とを各々が有する複数の線分に
細分し、上記各端点に第１及び第２の次元内の上記各点
の位置をそれぞれ表す第１及び第２の座標を与え、上記
座標を選択された単位で表す段階と、（ｂ）上記線分の１つが第１の画素連の第１の画素の第
１の中心軸を横切っているか否かを決定する段階と、（ｃ）上記線分の何れかが第１の画素連内の隣接する第
２の画素の第１の中心軸を横切っているか否かを決定す
る段階と、（ｄ）上記第１の画素連の上記第１の画素の上記第１の
中心軸及び上記第１の画素連内の上記隣接する第２の画
素の上記第１の中心軸の両者を横切る上記線分を細分し
て細分された各線分が一方の第１の中心軸だけを横切る
ようにし、上記細分された各線分を上記線分と同じ手法
で処理し、上記細分された各線分の第１及び第２の端点
に第１及び第２の次元内の上記各点の位置をそれぞれ表
す第１及び第２の座標を与え、上記座標を選択された単
位で表す段階と、（ｅ）もし上記線分の１つが上記第１の中心軸を横切っ
ていれば、上記１つの線分の第１の端点から第２の端点
までの第１の次元における距離と、上記１つの線分の第
１の端点から第２の端点までの第２の次元における距離
と、上記１つの線分の第１の端点から上記第１の中心軸
までの第２の次元における距離とにそれぞれ対応する上
記１つの線分のための第１、第２及び第３の索引ポイン
タを生成し、上記ポインタを選択された単位で表す段階
と、（ｆ）上記第１、第２及び第３の索引ポインタをそれぞ
れ使用して、上記第１、第２及び第３の索引ポインタの
存在し得る値の範囲にそれぞれ対応するように選択され
た複数の索引テーブル位置を各々が含む第１、第２及び
第３の索引テーブル内の第１、第２及び第３の特定の索
引テーブル位置を決定する段階と、（ｇ）上記第１、第２及び第３の特定の索引テーブル位
置内の索引データ値を使用して最終アドレスポインタを
生成する段階と、（ｈ）上記１つの線分が上記第１の軸を横切っている第
２の画素連の第２の中心軸から、上記線分が上記第１の
中心軸を横切る点までに第１の次元内に存在し得る距離
の範囲に対応し且つ選択された単位で表されている複数
の距離値を含むデータ参照用テーブルから、上記１つの
線分に関する距離値を含む上記データ参照用テーブル内
の特定位置を上記最終アドレスポインタを使用して決定
する段階と、（ｉ）上記距離値を上記１つの線分の上記第１の端点の
上記第１の座標に加算して、上記１つの線分が上記第１
の中心軸を横切る点を決定する段階と、（ｊ）もし上記１つの線分が上記第２の中心軸に対する
所定の位置において上記第１の中心軸を横切っていれ
ば、上記１つの線分が上記第１の中心軸を横切っている
画素の２進論理状態を逆の２進論理状態に変化させる段
階を具備することを特徴とする方法。
【請求項２６】曲線を上記複数の線分に細分する上記
段階（ａ）は、（１）Ｎ＋１の各制御点から第１の次元内で隣接する制
御点までの画素の差の絶対値を測定して第１の次元のＮ
差分値を求める段階と、（２）Ｎ＋１の各制御点から第２の次元内で隣接する制
御点までの画素の差の絶対値を測定して第２の次元のＮ
差分値を求める段階と、（３）第１及び第２の次元の上記Ｎ差分値の最大値を決
定する段階と、（４）上記最大値を使用して曲線を上記複数の線分に細
分して線分の最少数を決定する段階を含む請求項２５に
記載の方法。
【請求項２７】もし段階（ｊ）が、上記１つの線分が
上記第１の中心軸を横切っている画素の２進論理状態を
変化させれば、段階（ｊ）が上記１つの線分が上記第１
の中心軸を横切っている別の画素の２進論理状態を逆の
２進論理状態に変化させるまで、第１の画素連内の上記
画素以降の全ての画素の２進論理状態を変化させる段階
をも含む請求項２５に記載の方法。
【請求項２８】上記索引テーブル位置は乗算係数を含
むように事前に重み付けされた索引データ値を含み、上
記最終アドレスポインタを生成する上記段階（ｇ）は、
上記第１、第２及び第３の特定の索引テーブル位置内の
索引データ値を加え合わせ、それによって上記最終アド
レスポインタを生成する際の乗算を排除する請求項２５
に記載の方法。
【請求項２９】上記第１、第２及び第３の索引テーブ
ル位置は選択された測定の単位から分解能がより低い第
２の測定の単位へ変化させるための除算係数を含む索引
データ値を含み、上記段階（ｇ）は、低下した分解能を
有する上記索引データ値を使用して上記最終アドレスポ
インタを生成する請求項２５に記載の方法。
【請求項３０】上記索引テーブル位置は上記除算係数
によってもたらされる誤差を補償するための非線形デー
タ値を含み、上記段階（ｇ）は、低下した分解能を有す
る上記非線形データ値を使用して上記最終アドレスポイ
ンタを生成する請求項２９に記載の方法。