JPH0489162A - 連続鋳造装置 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】 〔産業上の利用分野］ 本発明は、溶融金属の連続鋳造装置に係り、更に詳しく
は、運転中の鋳型と鋳片との間の摩擦を流体摩擦と固定
摩擦とに分離して演算することのできる連続鋳造装置に
関する。

〔従来技術］ 溶融金属の連続鋳造は５周知のように、溶ｍ鍋を通して
鋳型に注入された溶融金属が前記鋳型の下方から鋳片と
して連続的に所定の速度で引き抜かれることによりなさ
れる。このとき、鋳型は連結された鋳型振動装置により
波形、振幅といった所定の振動条件のもとで鉛直方向に
駆動される。

それにより、鋳型内の溶融金属上に供給される熔融パウ
ダは、鋳型と該鋳型の冷却により固化した鋳片との間に
流入し、それぞれの間の潤滑状態を良好にさせる働きを
する。ここで、鋳型と鋳片との間の摩擦力を把握するこ
とは、溶融金属の安定した連続鋳造を行っていく上で非
常に重要なことと言える。即ち、前記摩擦力を適当に低
く保持することにより、鋳片の表面品質を良好に保ち、
且つ鋳型と鋳片との間のスティッキング（焼付き）を極
力抑えることができる。

それにより、鋳片は過大な引張り力を受けることがなく
、連続鋳造の生産性を著しく阻害させる拘束性のブレー
クアウトが発生しにくくなる。更に、前記摩擦力を常時
監視することにより拘束性のブレークアウトの出現を予
知することが可能でそれに応した対策を即座に且つ未然
に講じることができる。

上記したような摩擦力を測定する方法としては従来より
数多くの開示がなされている。

例えば、特開昭５７−３２８６６号公報開示による。力
の釣合い条件を用いて鋳型の慣性力と振動伝達機構の弾
性力とから鋳型と鋳片間の摩擦力を求め、これに基づい
てブレークアウトを予知する方法 特公昭６０−２１８１１号公報に開示された振動動装置
からの振動入力と鋳型振動出力とを検出し、オンライン
にて周波数伝達関数を求め、その変化状態から鋳型と鋳
片間の潤滑状態を判断しこの判断結果に基づいて、前記
潤滑状態が規定の範囲内になるように鋳片の引抜き速度
及び鋳型の振動周期を変更し、前記潤滑状態を制御する
方法。

特開昭６０−２３１５６１号公報に開示の、振動駆動装
置内の駆動伝達ピンに作用する振動荷重若しくは加振力
をピン型ロードセルにより測定し空運転時の前記加振力
と鋳造時の前記加振力とから鋳型と鋳片との間に生しる
摩擦力を測定する方特開昭６１−２７９３５０号公報記
載の、上記した特開昭５７−３２８６６号公報記載の方
法に加え、鋳型と接触する鋳型の内面近傍の温度を測定
し、該温度と、摩擦力と温度のブレークアウト原因に対
応して予め設定された基準値とを比較することによって
、ブレークアウトを予知する方法及び特開昭６２−２８
６６５６号公報開示の非鋳造中の鋳型加振力と鋳造中の
鋳型加振力とを共に求め、これら直流成分の値の差に基
づいて鋳型と鋳片との間の摩擦力を算出する方法等が知
られている。

（発明が解決しようとする課題〕 ところが、連続鋳造装置の加振力計測装置に係る従来の
摩擦力測定方法は、その多くが基本的に鋳造中の鋳型加
振力の振幅値から非鋳造中の鋳型加振力を差し引き、こ
の加振力差を摩擦力と仮定する方法、所謂、振幅差法で
あって鋳型と鋳片の間の全体の摩擦力を検出するもので
あり、上記摩擦力を流体（粘性）摩擦力と固体摩擦力と
に細分化して検出することができなかった。しかしなが
ら、上記固体摩擦力からは制御上有用な情報を得ること
ができる。例えば、この固体摩擦力は拘束性のブレーク
アウトを予知するための指標となりその値に基づいて上
記ブレークアウトを未然に防くための処置を講しること
ができる。

一方、上記したような装置からの観測値には通常、ノイ
ズが含まれており、この観測値から演算された状態量１
例えば上記鋳型加振力等にも当然ながらランダム的なノ
イズが含まれることになる。このようなノイズは、上記
摩擦力を高精度に演算する上で大きな阻害因子になって
いた。

従って３本発明の目的とするところは、運転中の鋳型と
鋳片の間の流体摩擦と固体摩擦の双方を精度良く演算す
ることのできる連続鋳造装置を提供することにある。

［課題を解決するための手段］ 上記目的を達成するために１本発明が採用する主たる手
段は、振動装置により振動されつつある鋳型を用いて鋳
片を連続に鋳造する連続鋳造装置においで、上記鋳型と
上記鋳片との間の流体摩擦と固体摩擦とよりなる摩擦力
の方程式と、上記振動装置全体の動特性を表わす運動方
程式の双方に拡張カルマンフィルタを適用し演算するよ
うにした点を要旨とする連続鋳造装置として構成されて
いる。

［作用］ 本発明によれば、鋳型と鋳片の間の流体摩擦と固体摩擦
とよりなる摩擦力の方程式と５振動装置全体の動特性を
表わす運動方程式とよりなる数学モデルが連続鋳造装置
に適用される。

そして、上記摩擦力の方程式と運動方程式の双方に拡張
カルマンフィルタが適用され、これらの方程式を演算す
る。上記拡張カルマンフィルタは上記連続鋳造装置から
の観測値及び該観測値から演算された連続鋳造装置の状
態量にそれぞれ含まれるノイズによる上記状態量の誤差
のバラツキを最小にすることにより、そのときの上記状
態量を高精度に推定する。同時に、上記状態量に上記流
体摩擦及び固体摩擦に係る未知パラメータを含ませるこ
とによって、上記流体摩擦及び固体摩擦を高精度に同定
演算することができる。

［実施例］ 以下添付した図面を参照して９本発明を具体化した実施
例につき説明し２本発明の理解に供する。

ここに第１図は本発明の一実施例に係る連続鋳造装置の
概略構成を示す構成図、第２図は同連続鋳造装置を示す
斜視図、第３図は同連続鋳造装置の動特性を表わす２自
由度数学モデルを示す概念図第４図は同連続鋳造装置の
２自由度数学モデルに適用された拡張カルマンフィルタ
による流体摩擦及び固体摩擦を演算するための処理手順
を示すフローチャート、第５図乃至第７図はルンゲ・ク
ノタ・ギル法により得た粘性摩擦係数及び固体摩擦力に
対して比較した拡張カルマンフィルタにより得た粘性摩
擦係数及び固体摩擦力の収束状態を示すグラフ、第８図
（ａ）乃至（ｆ）はそれぞれ未知パラメータを含む拡張
状態ヘクトルの状態量若しくは未知パラメータのシミュ
レーション実行中の時間変化を示すグラフ、第９図（ａ
）乃至（ｆ）は第８図（ａ）乃至げ）のシミュレーショ
ン実行中における推定誤差共分散行列の対角型Ｐ　１１
乃至Ｐ　ｂｂの時間変化を示すグラフ、第１０図は上記
連続鋳造装置の動特性を表わす１自由度数学モデルを示
す概念図である。

尚、下記する実施例は２本発明の具体的−例に過ぎず２
本発明の技術的範囲を限定する性格のものではない。

本実施例の連続鋳造装置１は、第１図及び第２図に示す
ように、平断面矩形の内輪祁ａを有する鋳型２がその垂
直軸芯を鉛直方向に保持可能に鋳型ロッド５を介して振
動梁３上に支持されている。

前記振動梁３は、その一端がコンロッド４を介してクラ
ンク機構１８に連結され、他端が振動支点となる支点軸
６に支持されている。前記鋳型２はその周囲に鋳型冷却
用の給水フレーム１２が配設されている。このように、
前記連続鋳造装置１の振動装置は、鋳型２．該鋳型２を
支えて振動させる振動梁３．コンロッド４．鋳型ロッド
５、クランク機構１８．該クランク機構１８に連結され
た駆動用のモータ並びに減速機、モータの駆動を制御し
その時のモータ電流値を出力する制御盤１３及び支点軸
６から構成されている。

そして、鋳型２又は該鋳型２の振動装置にはそれぞれの
振動状態を計測するためのセンサが設けられている。例
えば、鋳型２の上面には、鋳型２の上下方向の速度を測
定する鋳型速度センサ１１が固設され、振動梁３の上面
には、コンロッド４接続部位の上方にてコンロッド４の
上下方向の速度を測定するコンロッド速度センサ９が配
設され、支点軸６と先端との間に振動梁加速度センサ８
が設けられている。更に、正面から見て（矢印Ｋ）振動
梁３の右部に上下方向の曲げ歪を測定する振動梁歪ゲー
ジ７が固設され、左部にも前記右部と同様に振動梁歪ゲ
ージ（不図示）が設けられている。コンロッド４には軸
方向の歪を計測するためのコンロッド歪ゲージ１０が配
設されている。

又、上記クランク機構１８の近傍には、コンロッド４下
端の変位を測定するコンロッド変位センサ１９が配設さ
れている。

上記した各センサ７．８，９．１０，１１．１９からの
出力信号は、それぞれアンプ１４を介してバンドパスフ
ィルタ１５により必要な周波数成分以外がカットされＡ
Ｄ変換器１６を経た後にマイクロコンピュータシステム
１７に入力される。

該マイクロコンピュータシステム１７は、主としてＣＰ
Ｕ　メモリ、入出力インクフェイスからなる汎用のシス
テムであって、予め上記メモリにプログラムとしてそれ
ぞれ記憶された後述する鋳型２・鋳片２１間の摩擦力の
方程式、上記振動装置全体の動特性を表わす方程式、及
び上記振動装置からの出力信号に含まれる誤差を逐次的
に減少させこの出力信号から振動装置の状態を推定する
拡張カルマンフィルタのアルゴリズムに、それぞれ上記
出力信号を与え、そのときの鋳型２と鋳片２１との間の
流体摩擦力の指標となる粘性摩擦係数や固体摩擦力を演
算する同定システムとして働くとともに、拘束性のブレ
ークアウトを予知したりする。

尚、詳細な実施例の説明に先立ち１本発明のポイントに
関し、以下に説明する。

先ず、カルマンフィルタに関して説明する。上記カルマ
ンフィルタとは３例えば上記振動装置各部の加速度、速
度、変位、振動梁３やコンロッド４の歪み等に係る出力
信号若しくは該出力信号からの演算値を観測し、これら
の観測値から上記振動装置の時々刻々と変化する状態量
（上記観測値とは物理量が異なる場合が多い）を推定す
るにあたって、上記観測値には観測誤差が含まれている
ものとして当該観測誤差のバラツキを逐次的に最小にす
ることによって上記状態量の推定精度の向上を図るもの
である。上記カルマンフィルタのアルゴリズムはソフト
ウェア若しくはハードウェアとして実現できる。

上記カルマンフィルタでは１対象とする装置の数学モデ
ルを表現する運動方程式が線形であること（線形性：　
Ｌｉｎｅａｒｉ　ｔｙ）　、鋳型振動装置、摩擦力より
なる動的システム及び観測値に係るノイズが周波数成分
の−様な、いわゆる白色性（ｉｌｈｉｔｅｎｅｓｓ）で
あって且つその振幅分布がガウス分布になるガウス性（
Ｇａｕｓｓｉａｎ）であること、及びこのカルマンフィ
ルタにより得られた推定値が最小二乗規範（Ｑｕａｄｒ
ａｔｉｃ）に従うことといった。いわゆるＬＱＧ仮定が
前提とされている。

そこで　上記カルマンフィルタを非線形の運動方程式に
適用できるように、適用範囲を拡張したものが拡張カル
マンフィルタである。

更に、この拡張カルマンフィルタを、未知パラメータを
含む装置の状態量に関する運動方程式に適用したものが
、適応型の拡張カルマンフィルタである。

本実施例では、この適応型の拡張カルマンフィルタを適
用し、鋳型２と鋳片２１との間の摩擦力を支配する粘性
摩擦係数及び固体摩擦力等を未知パラメータとして用い
た。

連続鋳造装置１に上記拡張カルマンフィルタを適用する
ためには、上記したように７対象とする連続鋳造装置１
の振動装置全体の動特性を表す数学モデルが必要になる
。又、マイクロコンピュタシステムによるリアルタイム
処理を行うには少ない自由度で数学モデルを表現する必
要があり本実施例では第３図に示す２自由度数学モデル
を用いた。

第３図において、各符号は ｘｌ　：鋳型２の上下変位量 Ｘ２　：コンロッド４下端の上下変位量Ｕ　：コンロッ
ド４の下端の強制変位量ｍ１　：鋳型２及び振動梁３の
１次モード有効質量ｍ２　：コンロッド４上部の梁有効
質量に１　：振動梁３の１次モードの等価バネｃｌ　：
振動梁３の１次モードの等価減衰に２　：コンロッド４
の軸剛性を表すハネＣ２：コンロッド４軸方向の減衰 ｌＩ　：支点軸６から鋳型２取付位置までの振動梁３の
距離 １２　：支点軸６からコンロッド４取付位置までの振動
梁３の距離 である。

そこで、鋳型２・鋳片２１間に働く摩擦力をｆとすると
、この摩擦力ｆは鋳型２・鋳片２１間の相対速度をｖ（
ｖ−χ、＋ｖｃ、ｖｃ＝鋳片２の引抜き速度）として次
の（１）式のように表すことができる。

１−　（１ｖ＋θ　　　　・・・（１）ここで、右辺第
１項は相対速度に比例する粘性（流体）摩擦の成分を表
し、ＣＩは鋳型−鋳片間の粘性摩擦係数である。同第２
項のθは、クーロン（固体）摩擦力を表し、その正負号
は■≧０の時− ｖ＜０の時十である。

又、（）は時間による微分（ｄ／ｄｔ）を表す。即ちＸ
、は鋳型２の速度を示す。

尚１時間による２次微分（ｄ／ｄ２　ｔ）は（）で以下
示す。

即ち、マイクロコンピュータシステム１７において　コ
ンロッド４下端の強制変位量Ｕはコンロッド変位センサ
１９により計測され、このＵの時間微分によって強制速
度Ｕが演算される。

いま、ＸＩ　、ｘｚ　、ｕ、ｆをともに上向きを正とし
て示すと、鋳型２にかかる力のつりあいを表す運動方程
式は、（２）式のようになる。ただし、α＝１＋／ｌｚ
　とおく。

ｍ＋　　　Ｘｌ　　　＋　　Ｃ＋　　　　（ＸＩ　　　
−α　ｘｚ）＋に＋　　（ｘｌ　　　ｚｘ２　） 士ＣＲ（ｘｌ　＋ｖｃ）±θ−０−・・（２）ここで、
θの正負号は ｘ、＋ｖｃ≧０の時十 ｘ　１＋　ｖ　（＜　０の時−である。

（２）弐において、左辺第１項は鋳型２の慣性力を同第
２項は粘性減衰力を、同第３項は復元力を同第４項は流
体摩擦力を、同第５項は固体摩擦力をそれぞれ表してい
る。

更に、コンロッド４側端部の振動梁３にかかる力のつり
あいを表す運動方程式は （３）式のように示される。

いま、上記振動装置各部の動特性に係る状態を表す状態
量として”　、ｘｌ　＋　　ｘｌ　＋　　ｘｚを抽出し
、これらを行列ヘクトル表示した状態ベクトルＸとして
表すと 次式のようになる。

ｘ＝　（ｘｌ　、　　ＸＩ　、　　Ｘｚ　、　　Ｘｚ　
ｌ　”　　　・＝（４）尚１式中の右肩に付記したＩＴ
Ｉ　　は転置行列であることを示す。

そこで、（２）弐〜（４）弐より（５）式に示す連続系
の運動方程式が導かれる。

ｔ ＋ＩＢ３ｆ　　（θ、　　ｘ）　　・・・（５）ただし
、各係数行列及び（２）式の摩擦力の項はに１　α　（
χ１−αＸ２） ＋ｃｚ　　（ｘｚ　　　ｕ） ＋ｋｚ　　（Ｘｚ　　　ｕ）　＝０　　＝１３）即ち、
上記（２）式及び（３）式によって振動装置全体の動特
性が基本的に表現される。

・・・（６） ＴＢ＋　　＝　　（０，０，０，ｋｚ　／ｍｚ　　ｌ　
”　　　　”’（７）ＩＢ２　　＝　　（０，０，０，
Ｃｚ　／ｍｚ　　）”　　　　−（８）ＩＢ３　　＝　
　（０，１／ｍ、　　、　　Ｏ，Ｏｌ　”　　　　−（
９）ｆ（θ、　ｘ）　＝　　Ｃｍ　　（ｘｌ　十ｖｃ）
工θ−００１である。

又、係数行列Ａには、鋳型２に係る固有振動数ω＋　　
（＝Ｆ丁７）１ｒ）や減衰係数ζＩ（−ＣＩ／２ｒ−〒
芹）、或いはコンロッド４側端部の振動梁３に係る固を
振動数ω２　　（−Ｆ［コ石面）や減衰係数ζｍ　　（
−ｃ４／２Ｆ丁７τｍｚ　）　ニ関するパラメータが含
まれているが１本実施例ではこれらの固有振動数ω１．
ω２及び減衰係数ζ１ζ２は上記連続鋳造設［１の空運
転による加振テストによって予め決定されている。

この（５）式はルンゲ・クソタ・ギル法を用いた時間積
分により解くことができる。即ち（５）弐にＣ１θを仮
定して与え、各時刻の解を得るもので　この時仮定した
ＣＲ１θは本実施例装置の検証時に正解値として用いら
れる。

（１１式において表現できると仮定した鋳型２・鋳片２
１間の摩擦力を支配する未知パラメータとしての粘性摩
擦係数ＣＲ７固体摩擦力θ及び鋳片２１の引抜き速度ｖ
ｃを、各センサの出力信号より求められた観測値として
の鋳型２に係る速度ＸＩ振動梁３先端部に係る速度ｘ２
及びコンロンド軸力Ｎ＝（ｋｚ　　（Ｘ２　　ｕ））よ
り同定する場合を考える。この場合、上記３個の観測値
ｘｌ　ｒ　　Ｘ　２Ｎの内最低２個の観測値をセンサか
ら求めればよい。

そこで１式（５）を時間刻みΔｔの離散系に変換すると
１次の００式を得ることができる。

尚、Δｔはタイムステップｉとタイムステップｉ＋ｌと
の間の時間きざみである。

ｘ　Ｉ＊　１　＝　１’　４　　ｘ　４　＋　ＩＢ　ｔ
　Ｉｕ　ｔ　＋１８　ｔ　ｚ　ｕ　。

＋Ｃｉ　　ｆ、　　（θ、　　り　　＋曹、・・・ＯＤ
ココニ、　各係数行１ｎ；　、　ＩＢｔ＋、　ＩＢ；ｚ
、　Ｃ，ハ、ｋ　！ 〜　　　　　　　　　（Δｔ）Ｚ ＝■十ΔｔＡ＋　　　　　　Ａ２＋・・・・・・０２） ”’　　（ｋ＋１） （ｋ＋１） （Δｔ）２ −　（Δｔ＋ Ａ１　＋・・・）旧。

・・・ａ４ ２Δｔ　　ＩＢ、　　＋ Ｂ３　　Ａ＋・・・ ・・・０ω であって、それぞれ予め算出することができる。

尚、０２）弐以下のｋは係数行列中、を高次式に展開す
る際の項数と同義の整数であって５本実施例では１５以
下の値である。又、■は単位行列である。

θ３）式のＳはＩＢｌを含む関数を積分するときに便宜
上用いられる時間変数である。

また、Ｏｌ）式において薯、は、上記同定システムに係
るシステムノイズを表すガウス白色ノイズである。

今、鋳型２の速度χ１．コンロッド４上端の速度Ｘｔ、
及びコンロノド４の軸力Ｎは、それぞれ時間きざみΔを
毎に観測された観測値とすると。

観測ベクトルＹは ｙ−［ｘ＋　、　　χ２．Ｎ）　　・・・０ωで表され
る。

尚、上記観測値としては、上記Ｎを省略してもよく、更
に、速度の代わりに変位量や加速度を用いることもでき
る。

０６）式は上記離散系において次の動式のように表され
る。

ｙｌ−Ｃｒｔ　Ｘｉ　十ＣＨｚ　ｕ　＝　＋　ｖｔ　　
・・・Ｏηここに、係数行列Ｃ；＋、　Ｃｒｔは とおくと、状態ベクトルが４行から６行に増えることに
なるので、（１０式は次式のように示される。

である。

また　Ｗ、は観測値のノイズ（観測誤差）を表し、上記
システムノイズに係る曹、とは独立のガウス白色雑音で
ある。

摩擦パラメータＣ６，θを同定するため、これらの未知
パラメータを上記状態ベクトルＸ、に加えてパラメータ
の種類が拡張された拡張状態ベクトルｌ、を。

ここで、Ｗｉ　は、ＣＲ，θの変動を考慮したガウス白
色ノイズである。

ここでは、鋳片２１の引抜き速度ｖｃを目標値ＶｃＯに
一定とした。しかしながら、これが変動するものとして
上記状態ベクトルｌに含めてもよい。

一方、ａ力式は、 Ｗｒ　＝　ＣＣｒｔ、　（Ｄ）　ＺＨ＋　ＣＨ２ｕ　；
　＋　ｖｉ・・・（２２） として変換することができる。この（２２）式は観測ベ
クトルｙ、と拡張状態ベクトル１．とを関係づけるもの
で０η式の状態ベクトルＸ８を上記ｌ、に置換したもの
である。

そして、　（２１）式の右辺第１項と同第４項をまとめ
て次式として表すこともできる。

Ｚｉ、ｌ　＝＠ｉ　（Ｚｉ　）　＋１Ｄｉｌｕｉ　＋［
１ｉ２ｕｉ＋曹□　・・・（２３） この（２３）式が拡張カルマンフィルタの後述する時間
更新の式である。尚１式中の＠、（Ｚ、）は更に、（２
３）式において、係数行列ｒＤｒ−，ＩＤ；ｚＷ、は以
下に示す通りである。

と書ける。

また（２４）式においてｆ、（１，）はｆｒ　　（Ｚ；
　）　＝’；ｌｌ　（５）　　（ｌ（２）　＋Ｖｃｅ１
工１（６）　・・・（２５） である。

この（２５）式は００）式の各項が拡張された状態ベク
トルで示したものである。例えば９式中の１（５）は１
２０式の５番目の拡張状態ベクトルｌｉのＣ＋ｔｉであ
り、以下１（２）はＸｉｌを１（６）はθ、をそれぞれ
意味する。

そして　（２２）式に以下の係数行列＋、を導入して書
き換えると。

ｙ、−旧、７１、＋Ｃ；２ｕＨ＋ｖ；　　　＝（２７）
となる。

ここに、　ＩＨ，＝　（Ｃ，、、■）　　　　・・・（
２８）である。

上記拡張カルマンフィルタのアルゴリズムは後述するよ
うに９時間更新の式、観測更新の式。

初期値設定の式から主として構成される。

先ず、　（２４）式を１で微分すると２次の（２９）式
が得られる。

−Ｚｉ／ｉ　　（５）、０．Ｏ，−（Ｚ；ｚ＋　　（２
）＋ｖ（０）、＋　ｌ　）　　　　　　　・・・（２９
）（２９）式は非線形である０、を今回（ｉ　／　ｉ　
）求められた拡張状態ベクトルｌ、７、で微分すること
により線形の０１を得るためのものである。（２９）式
において、右辺第２項は を示す。

尚、符号の上方に付された（　）マークは推定値を表す
。又、符男に付与された添字においてｉはタイムステッ
プｉにおける値を示し１例えば。

ｉ　＋　ｌ　／　ｉはタイムステップｉにおける拡張カ
ルマンフィルタへの入力に基づいてタイムステップｉ＋
１における予測値を演算することを示す、即ち２分母に
示されるタイムステップ時の入力に基づいて分子に示さ
れるタイムステップ時の演算出力を得ることを示す。

そこで１時間更新の弐としては２次の（３０）式及び（
３１）式がある。

上記時間更新とは、タイムステップｉにおいて当該同定
システムが保有する固有値ω１．ω２ζ１．ζ２既知の
運動方程式を解くように、タイムステップｉにおける状
態量の推定値から時間きざみΔを後（タイムステップｉ
＋１）の状態量を推定（予測）することである。

ｌ；＋＋ｚ；　−＠ｉ　　（ｌＬｚｉ　”）　＋１Ｄｉ
ｌｕｉ＋　Ｄ　；　２　ｕ　；　　・・・（３０）（３
０）式は（２３）式に（２９）式を導入したものである
。

ＩＦ’　；　＊　＋　ｙ、＝ｔ３ｒ　ＩＰ、、、　ｅ、
　’　＋Ｑ、　　　・・・（３１）尚、この時間更新に
おいて、拡張状態ベクトルの推定値１１７８に含まれる
未知パラメータＣＩ。

θ以外のパラメータは、　　（２４）式の右辺第１項の
φ８により修正更新される。上記未知パラメータは、こ
こでは上記右辺第１項の単位行列■により更新されず１
次に述べる観測更新においてのみ。

修正・更新される。従って、上記未知パラメータＣＲ１
θは時間更新ムこよって変動しない（第８図（ｅ）、　
　げ））。

又、観測更新の式としては１次の（３２）式、　（３３
）式、　（３４）式がある。

この観測更新とは、タイムステップｉにおいて観測され
た観測へクトルｊ、と前回のタイムステップｉ−１にお
いて時間更新により予測された今回（ｉ＝１）の拡張状
態ベクトルの推定値ｌ、／。

に対応する推定観測ベクトルとの差に基づいて上記推定
値Ｚ　ｉ　／　ｉ　−１を修正更新し、同時に前回のタ
イムステップにおいて求められた推定値２．、、。

の推定誤差のバラツキ（共分散）　ＩＰｉ／ｉ−１を修
正更新することである。

１、八−７，、、−、＋ＩＫ、（ｙｔ Ｔｉｅｒ　　Ｚｒｙｒ−＋　　　ＣｔｚＬＪ＋　　）　
　　・・・（３２）Ｋ＝　　＝−ＩＰ、、、＋ＩＨ＋［
：旧ｉ　　ＩＰｉ／ｉ−１旧。

十ＩＲ五〕−１・・・（３３） ＩＰ　ｉ／ｉ’　＝ＩＰｉ／ｉ−１−ＩＫｉ　　ＩＨ４
ＩＰｉ／ｉ−１・・・（３４）尚、　ＩＨ，は（３２）
式においてＺ　ｉ　／　ｉ　−１の物理量の次元をＹ、
のものと同しくするための係数行列である。即ち（３２
）弐の右辺第２項（）内のｘ２．Ｎを表す。

更に、初期値設定の式は次の（３５）式、　（３６）式
がある。

１ｏｙ−１＝ｌｏ　　（平均値）　　　　・・・（３５
）ｔｐ　ｏ７−、−Σ。（推定誤差共分散の初期値）・
・・（３６） ここで、１０は状態ベクトルｌ中の各状態量のこれまで
の平均値である。又、Σ。とじては上記各状態量のこれ
までの平均値がもつ５既知の誤差のバラツキ（共分散）
の値が入力される。

尚２式（３３）で与えられる■、はカルマンゲインと称
され今回観測された観測ベクトルと前回予測された推定
観測ベクトルとの差に対する重みを表し、６×４の行列
である。また、ｌＰｒ１ｒ　は推定誤差共分散行列であ
って（（３１）式）＋ＩＰｔｚ、−１は予測誤差共分散
行列（（３３）式、（３４）式）でともに６×６の行列
である。

Ｒ８は観測ノイズｖ８の共分散行列である。Ｑｌはシス
テムノイズ曹、の共分散行列である。

尚、上記拡張カルマンフィルタにおいて、適用される観
測へクトルｊ、拡張状態ヘクトルｌの値は、実際には無
次元化され、実用上適度の大きさに揃えられている。従
って、（５）式以鋒の式も無次元化されたものが実際に
用いられる。

ただし３本実施例においては、説明を容易にするために
、上記各ベクトル量及び式を無次元化表示していない。

本実施例に係る連続鋳造装置１は上記したように構成さ
れている。

上記連続鋳造装置１による鋳型２と鋳片２１の間の粘性
摩擦係数及び固体摩擦力の演算手順につき、第４図のフ
ローチャートを用いてステップＳＬ、Ｓ２．・・・の順
に以下説明する。

先ず、上記連続鋳造装置１の各センサからの出力信号は
、アンプ１４．バンドパスフィルタ１５゜ＡＤ変換器１
６を介してマイクロコンピュータシステム１７に入力さ
れた後、観測４ｉ１Ｘ＋、ｘｚＮに演算された観測ベク
トルＹとして拡張カルマンフィルタに供されるようにな
っている。

そこで、上記観測ベクトルＹを拡張カルマンフィルタに
取り込むサンプリング設定時間Ｔ、そのサンプリング間
隔（時間きざみ）ΔＬ、予め加振テストにより求められ
たシステムパラメータとしての鋳型２並びに振動梁３先
端部に係る固有振動数ω３．ω２及び減衰係数ζ３．ζ
２が１例えばキーボード２０からマイクロコンピュータ
システム１７に設定人力される（Ｓｌ）。

そして、上記拡張カルマンフィルタのアルゴリズムに基
づいて、当該拡張カルマンフィルタの係数行列蜜；　、
　ｆＤ；＋、　ＩＤ；ｚ、　Ｃ；が演算される（Ｓ２、
０Ｚ〜０５１ｓｔ）。

続いて、推定誤差共分散行列侶。７−８．システムノイ
ズｗ８の共分散行列Ｑ０．観測ノイズＷ、の共分散行列
Ｒ０が初期設定される（Ｓ３）。両正。／−１は（３６
）式により設定され、ＱＯ、ｖｏは適当な値が設定され
る。

このとき、タイムステップｉ、タイムステンプｉにおけ
るサンプリング時間Ｔ、も初期設定される（Ｓ４）。更
に、拡張状態ベクトルｌの推定値の初期値２．、−、　
　が初期設定される（Ｓ５．（３５）式）。

更に、上記初期設定されたＩＰ、、−、と、このときの
旧。とＲｏとよりカルマンゲイン■、の初期値ＩＫｏが
求められる（Ｓ８．（３３）式）。そして、上記連続鋳
造装置１からの観測値が時間きざみΔｔのタイムステッ
プｉ毎にサンプリングされ、これが無次元化された後、
観測ベクトルｙ８として拡張カルマンフィルタに入力さ
れる（Ｓ７）。

そして、　（３０）式、　（３１）式より初期設定時点
（タイムステップＯ）から時間きざみΔを経過後のタイ
ムステップ１−１における拡張状態ベクトルの予測推定
値１１７゜と推定誤差共分散行列の予測値Ｐ、／。を計
算し、　（３３）式よりタイムステップｉ−１における
カルマンゲインＩＫｌ　を演算する（Ｓ８）。

そこで、タイムステップｉ＝１において、観測ベクトル
ｙ１を観測し、これを再び（３２）式、　（３４）式に
導入し、更に先に求めたＩＫｌ　とにより、現在のタイ
ムステップｉ／１（ｉ＝１）における推定値ｌ、７．と
推定誤差共分散行列Ｐ、７１を求める（Ｓ８；観測更新
）。

そして、上記タイムステップ１（−１）から時間きざみ
Δを経過した次のステンプタイムｉ＋１（＝２）におい
て（Ｓ９）、拡張状態ベクトルの予測推定値１２／ｌ及
び推定誤差共分散行列の予測値Ｐ２７．が（３０）　、
　（３１）式に基づいて演算される（Ｓ１０；時間更新
）。

このように、演算されたタイムステップｉ＋１のときの
予測推定値７１ｒ、＋ｙｒ　と前回のタイムステ、７プ
１における推定値１．７．とが一致若しくは近似するま
で上記観測更新ステップ（Ｓ８）と時間更新ステップ（
ＳＩＯ）が逐次繰返される。

それにより、上記観測ベクトルＹ、に係る観測ノイズＷ
８がある程度除去される。

上記ステップの繰り返し毎に得られたＣえ、θの値は次
回のタイムステップにおける拡張状態ベクトルの未知パ
ラメータの初期値として用いられる。

そして、上記観測更新と時間更新のステップが交互に繰
返し実行される間に、上記未知パラメタＣ，，θの推定
値が当該初期値に一致若しくは近似すれば、これらの推
定値がこのときの鋳型２と鋳片２１との間の上下方向に
関する粘性摩擦係数ＣＲ２固体摩擦力θとして同定され
る。このような観測更新と時間更新を繰返す処理手順は
、サンプリング設定時間Ｔが経過するまで実行される（
Ｓｌｌ）。

即ち、初期設定当初、上記拡張状態ベクトルｌ、の未知
パラメータについてはある範囲内の値であることが経験
上わかっているので、その範囲内の適当に選んだ初期値
のもとに上記未知パラメータに対し第１回目の同定が行
われる。

次に、第１回目の同定結果を初期値として、再び同定が
繰り返され、上記初期値とそのときの同定結果の値がほ
ぼ等しくなる拡張状態ベクトルの推定値ｌを最終の推定
値とすればよい。

このように、初期条件に影響されないで、同し同定結果
が得られれば当該同定システムが安定していると考えら
れる。尚、推定誤差共分散行列Ｐの初期値は、ｌの初期
値の動きやすさを意味するもので、可制御性であればＰ
の最終値はかなり小さくなる。

他方、ある時点の推定誤差共分散行列Ｐの同定結果に適
宜の重みを付与し、これを次回の同定時の初期値として
用いれば、同定処理初期の活性化を抑え且つ正解値に向
けて安定化する速度を高めることもできる。

そこで　上記したような連続鋳造装置１に適用された拡
張カルマンフィルタによる。鋳型２と鋳片２１間の粘性
摩擦係数ＣＲと固体摩擦力θに関する同定手法の妥当性
を検証するために、上記２自由度数学モデルを用いてシ
ミュレーションを行った。

その結果を以下に説明する。

この場合、観測ベクトルｙは Ｗ＝　（Ｘ＋　、Ｘｚ　、Ｎｌ　”　とする。

基本の運動方程式（（５）式）の無次元化された式をシ
ミュレーション法を用いてルンゲ・フッタ・ギル法によ
り解き、この解に、それぞれの観測値にその共分散の１
％の観測誤差としての白色ノイズを加えたものを、検証
時の観測ベクトルｙとして、上記拡張カルマンフィルタ
に入力した。

又、拡張状態ベクトルを。

Ｚ＝　（Ｘ＋　＋　　Ｘ＋　、ｘｚ、Ｘｆｆ１＋　　ｃ
Ｒ，θ）Ｔとした。そして、このときの正解値を上記ル
ンゲ・クソタ・ギル法による解とする。

その結果、初期値として、拡張状態ベクトルの初期値Ｚ
ｏ、その誤差共分散の初期値Ｐ。／−２を適当に仮定し
た場合に、初期値の仮定いかんにかかわらず、安定した
同定結果が得られることを確認した。

第５図乃至第７図、第８図（ｅ）及び同図（ｆ）に、上
記したような同定結果の例を示す。

第６図及び第７図によれば、未知パラメータＣ＋ｔθの
初期値が、上記正解値Ｍｆｆ　、　Ｍ４　、　Ｍｆｆ　
９Ｍｅに対してかなり大きな値に設定された場合に、こ
れらのパラメータは拡張カルマンフィルタによって当該
正解値に向けて逐次的に安定して収束することがわかる
（曲線Ｅ３．Ｅ、、Ｅ、、Ｅ、参照）。

他方、第５図及び第８図（ｅ）、　（ｆ）によれば、上
記ＣＲ２θの初期値が、当該正解値Ｍ＋　、Ｍｔ　、Ｍ
ｓＭ６に対してかなり小さな値に設定された場合でも当
該正解値に向けて逐次的に安定して収束している（曲線
Ｅ、、Ｅ２．Ｅ５．Ｅ６）。

従って２本実施例装置は、初期値の設定状況いかんに拘
わらず上記粘性摩擦係数ＣＲ及び固体摩擦力θを精度よ
く短時間で同定することができる。

尚、第８図（ｅ）、げ）において示した拡張状態ヘク（
Ｚ（５１）、　　θ（Ｚ　（６）　）と同時のシミュレ
ーションにより得られた。他のパラメータｘ、（Ｚ（１
））。

；＜ｌ　（ｚ（２））、ｘ、（Ｚ（３））、　　灸２　
　（Ｚ（４））の時間変化を第８図（ａ）乃至同図（ｄ
）に示す。これらの図のみから上記パラメータＸｌ＋　
　ΩＩ　＋　　Ｘ２　＋　　Ｘ２に含まれる推定誤差の
バラツキが時間経過とともに収束する様子を観察するこ
とは困難である。

そこで、第９図（ａ）乃至同図げ）に示す推定誤差共分
散行列止の対角項Ｐ　Ｉ　＋　’＝　Ｐ　６６の時間変
化により上記パラメータに含まれる推定誤差のバラツキ
の収束状態がわかる。尚、上記対角項Ｐ　１１は拡張状
態ベクトルｌのパラメータＺ（１）に対応し、以下Ｐ２
□がＺ（２）に、Ｐ３３がＺ（３）に、・・・それぞれ
対応している。

上記第９図（ａ）〜第９図（ｆ）によれば、上記拡張状
態ベクトルｌの推定値に含まれるパラメータＸ（Ｚ　（
１１）〜θ（Ｚ　（６）　）の推定誤差のバラツキ、ａ
ちＰ　１１　”　Ｐ　６６の値が一定値に収束している
ことがわかる。これによって、上記拡張状態ベクトルｌ
の推定値が正しい値に極めて近領していると判断するこ
とができる。

このように、ランダム的なノイズによる状態量の推定誤
差のバラツキを最小にすることにより当該同定システム
を用いてそのときの状態量を精度良く推定する。同時に
、上記推定された状態量を上記数学モデルに適用するこ
とにより、実際には観測されていない未知パラメータで
ある粘性摩擦係数Ｃえ、固体摩擦力θを同定することが
できる。

一方、固体摩擦力θとして９次のように上記引抜き速度
ｖｃに対する速度依存性を考慮した数学モデルを考え、
それらの支配パラメータθ３．θ２゜θ３を同定するこ
とにより固体摩擦力θを算出することもできる。

θ＝θ１　ｅ−θｚＪＱｘ−ｗｅ、ｌ＋６３　・（３ｎ
この場合には、状態へクトルＸにθ１．θ２θ３を含め
ることになる。尚、　（３７）式を含む数学モデル以外
の速度依存性も、もちろん考慮できる。

また、摩擦力として、上記したような上下方向の成分以
外に、スラブ連続鋳造の場合のように板幅方向（第２図
矢印上）に変化する摩擦力を知りたい場合には、左右両
側の振動梁３にセンサを設けこれらからの出力値（変位
、速度あるいは梁の曲げ歪み）を観測値に含めるような
数学モデルを構成することにより、上記板幅方向に変化
する摩擦力の同定が可能である。

尚、上記した実施例において、（５）式の係数行列Ａの
パラメータ（ω１　”　＝に１／ｍｌ　、　　ωｚ　”
　＝ｋｇ／ｍｚ、　　ζ＋　＝　Ｃ＋　／　２５２　　
ζ２＝ｃ　ｘ　／　２　Ｆ石］蒔）は、空運転時の加振
テストにより予め求められたが、これらのパラメータに
ついても、上記加振テストによることなく拡張カルマン
フィルタを応用して同定することができる。

即ち、これらの固有振動数ω１．ω２及び減衰係数ζ１
．ζ２を同定する際にも、（５）式に示す連続系の運動
方程式が適用される。

尚、当該方程式に用いられる係数、変数等は予め無次元
化（各符号右肩の＊印で示す）されているので、（５）
式の運動方程式は次の（３８）式のように示すことがで
きる。

Ｒ。

し　αＲｆＲｍ　　２　　ζ αＲＩ　Ｒｍ （−Ｒ，、、′ Ｒ。

２（α２ζ＋Ｒｍ十ζＪ、、）Ｒｆ ただしく３９）式において、 ω１＝Ｌ丁７フ１［ １′ ＋α２Ｒｍ）　Ｒｒ ｄｔ” ＋ＩＢ３”ｆ”（θ”　、　　ｘ　　”）−（３８）こ
こに、各係数行列等に係るパラメータは次の通りである
。尚、　（３９）〜（４３）式は（６）〜θω式に対応
している。

α−１＋／ｌｚ １、ｌ　ｚ　　−ｎ　　　、　　　Ｒｇ　　＝（ＩＪ　
１　　／　ｆ　（６ＲＩＩ　−ｍＩ　７ｍ２ である。

ＩＢＩ　”　−（０，０，０，Ｒ，’　Ｒ，）”ｔｓ２
”＝（Ｏ，０，０，２ζｚ　　Ｒ−Ｒ２ｌ　’ＴＢ３　
”　　＝　（Ｏ，Ｒｔ　、０．０１　”　　　・・・　
（４２）ｆ”　　（θ”、ｘ”） ｍ−２ζ＋　Ｃ＋＋　　（Ｘ＋　”　十ｖｃ”　）＋０
１・・・　（４３） この場合、離散系の無次元化された観測ベクトルｙ″は
θ９式を適用すればよい。

このとき ＣｉＺ”　＝　（０，０，−１，０）”　・・・　（４
４・２）ｕＨ”＝ｕ４／ｕ６　　　・・・（４５）であ
る。

今、　（３８）式において、α＝／！、＃！、、Ｒ１１
−ｍ　１／　ｍ　Ｚは既知として Ｒ，＝ω、　／ｆｃ０．　　Ｒ，、＝ω２／ω１Ｉ ζ蔦 る。

これら４つのパラメータを拡張状態ベクトルに加えて Ｚ”　　（５）−Ｒ，、Ｚ”　　（６）−Ｒ３ｌ”　（
７）＝ζＩ、Ｚ”（８）−ζ２とする。

そこで、空運転時の観測値よりＲ，、Ｒ，Ｊ、　　ζζ
２を同定する場合は、未知パラメータがこれら４つとな
るので、拡張状態ベクトルｌ“は８元のベクトルとなる
。

一方、鋳造中の観測値を用いて、上記Ｒ，，Ｒ，。

ζ１．ζ２を同定する場合は、Ｃえ　、θ′″　ｖｃも
未知パラメータに加えて Ｚ”（９）＝ＣＩ　　　、　　Ｚ“　（１０）−θ９Ｚ
”（１１）＝ｖｃ とする。即ち。

空運転時のｌ＊は、 ２ｆ１］−正〒 となる。

また 鋳造中のｌ″は となる。

以下、上記空運転時若しくは鋳造中の拡張状態ベクトル
ｌ”のいずれかを拡張カルマンフィルタに通用し、先述
したと同様のアルゴリズムを繰り返すことによりこれら
の未知パラメータをそれぞれ同定することができる。

従って　上記拡張カルマンフィルタを適用すれば、従来
のような加振テストを行うことなく、空運転中又は鋳造
中のいずれかにおいて上記固有振動数ω５．ω２及び減
衰係数ζ１．ζ２を得ることができる。

以上のように１本実施例に係る連続鋳造装置Ｉは、鋳型
２と鋳片２１との間の変動する摩擦力を従来法に比べよ
り高精度に且つリアルタイムに求めることができる。

そして　上記摩擦力を構成する成分のうち粘性摩擦力と
固体摩擦力のそれぞれを分離して同時に求めることがで
きる。そのため、連続鋳造における鋳型と鋳片間の潤滑
状態についてより詳細且つ重要な情報を得ることが可能
で、これを最適パウダーの選定や最適鋳造条件の設定に
役立てることができる。又、必要であれば、鉛直方向に
加えスラブ板幅方向のモーメント成分も求めることがで
きる。更に時々刻々変化する上記摩擦力をオンライン処
理によって瞬時に求めることができるため２より正確な
拘束性ブレークアウトの予知およびその対策に使用でき
る。すなわち、得られた固体摩擦力が設定した°しきい
値゛より大きくなれば鋳片の引抜き速度を小さくするよ
う制御指令を出力し、上記ブレークアウトを未然に防止
する動作を実行することができる。そして、計測に必要
なセンサは簡単に取り付けられるので鋳型の振動装置に
特別な改造を必要としない。又、連鋳システムの動特性
も同定できるので加振テストの必要もない。従って、Ｎ
振力の小さなビレット連鋳から板幅の大きなスラブ連鋳
まで、また、油圧駆動及び伝動駆動の如何に関わらず多
様な連続鋳造装置に適用できる。

尚、上記した実施例においては、上記振動装置全体の動
特性を表わす数学モデルとして２自由度数学モデル（第
３図）を用い、鋳型２周辺の運動の釣合いとコンロッド
４側端部の振動梁３周辺の運動のつり合いを評価したが
、これに限定されるものではなく１例えば第１０図に示
す如くの１自由度数学モデルを適用することも可能であ
る。ただし、この場合には、上記振動梁３の端部の上下
変位置Ｘ２がコンロノド４下端の強制変位量ｕ２に等し
いとの仮定が成立しなければならない。この１自由度数
学モデルを適用することにより、マイクロコンピユーク
システムによる演算時間をより短縮化することができる
。

〔発明の効果〕

本発明によれば、振動装置により振動されつつある鋳型
を用いて鋳片を連続に鋳造する連続鋳造装置において、
上記鋳型と上記鋳片との間の流体摩擦と固体摩擦とより
なる摩擦力の方程式と、上記振動装置全体の動特性を表
わす運動方程式の双方に拡張カルマンフィルタを適用し
演算するようムこしたことを特徴とする連続鋳造装置が
提供される。それにより、運転中の鋳型と鋳片の間の流
体摩擦力と固体摩擦力を精度良く検出することができる
。

【図面の簡単な説明】

第１図は本発明の一実施例に係る連続鋳造装置の概略構
成を示す構成図、第２図は同連続鋳造装置を示す斜視図
、第３図は同連続鋳造装置の動特性を表わす２自由度数
学モデルを示す概念図、第４図は同連続鋳造装置の２自
由度数学モデルに適用された拡張カルマンフィルタによ
る流体摩擦及び固体摩擦を演算するための処理手順を示
すフローチャート、第５図乃至第７図はルンゲ・クンタ
・ギル法により得た粘性摩擦係数及び固体摩擦力に対し
て比較した拡張カルマンフィルタにより得た粘性摩擦係
数及び固体摩擦力の収束状態を示すグラフ、第８図（ａ
）乃至（ｆ）はそれぞれ未知パラメータを含む拡張状態
ヘクトルの状態量若しくは未知パラメータのシミュレー
ション実行中の時間変化を示すグラフ、第９図（ａ）乃
至（ｆ）は第８図（ａ）乃至（ｆ）のシミュレーション
実行中における推定誤差共分散行列の対角項Ｐ　Ｉ＋乃
至ｐｂｂの時間変化を示すグラフ、第１０図は上記連続
鋳造装置の動特性を表わす１自由度数学モデルを示す概
念図である。 〔符号の説明〕 ■・・・連続鋳造装置 ２・・・鋳型 ３・・・振動梁 ４・・・コンロノド ５・・・鋳型ロッド ６・・・支点軸 １７・・・マイクロコンピュータシステム１８・・・ク
ランク機構 ２１・・・鋳片

Claims (1)

【特許請求の範囲】
1. （１）振動装置により振動されつつある鋳型を用いて鋳
   片を連続に鋳造する連続鋳造装置において、上記鋳型と
   上記鋳片との間の流体摩擦と固体摩擦とよりなる摩擦力
   の方程式と、上記振動装置全体の動特性を表わす運動方
   程式の双方に拡張カルマンフィルタを適用し演算するよ
   うにしたことを特徴とする連続鋳造装置。