JPH037395B2 - - Google Patents

Description

【発明の詳細な説明】 本発明は主としてゲームや教育用の玩具に用い
られる一組のタイルに関し、切りばめ法
（tessellation）として知られている幾何学分野に
関する。このような切りばめ法は規定された形状
のタイルでもつて規定領域を覆うこととして定義
される。このような分野についての実際的な応用
例としては、床舗装および壁張りについてのデザ
イン、玩具およびゲームの製造、また教材などが
挙げられる。

切りばめ法の最も簡単でしかも周知の形式はた
ぶんジグソーパズルであり、ジグソーパズルにお
いては、不規則形でしかも通常は個別の形状の多
数の部片が簡単な形状例えば矩形もしくは円形を
覆うようになつている。ジグソーパズルの主な特
徴はその組立が１つの特定の態様においてのみ行
われる点にある。切りばめ法のもつと凝つた形式
には同一部片を用いるものがあり、これら部片は
種種の形状を形成するように配置され得るように
なつており、いわゆる“ポリオミノウス
（polyominoes）”と呼ばれるものである。切りば
め法の最近の形式は、ペンローズ（Penrose）に
付与された米国特許第4133152号に開示されてい
る。

ポリオミノウスの例としては、29個の異なつた
“ペンタキユーブ（Pentacube）”の一組からなる
ものであつて、余分な１個のペンタキユーブすな
わち29個の一組のうちの１つと同じものを補足す
ることによつて４つの異なつた形状の組合体が作
られ、しかもそれぞれの容積が150単位立方に等
しくなつているものが挙げられる。これは、1962
年11月27日にベズリイ（Besley）に付与された
米国特許第3065970号に開示されている。

また、三次元のパスルを考案されており、それ
は簡単な中実形状から得られた複数組の部片を使
用するものであつて、例えばパーカーブラザース
（Parker Brothers）から売られているピエト
ヘインス ソーマ キユーブ（Piet Hein′s
Soma Cube）として知られているものである。

本発明は従来のすべての切りばめ法とは異なる
ものであり、本発明による一組のタイルは複数の
異なつた部片から構成され、これら部片は偶数辺
の同一の正多角形を形成するのに種々の態様で配
置し得るようになつている。一組のタイルは比較
的容易に構成し得るようになつているが、そこか
ら正多角形を作り得る態様の数は正多角形の辺の
数を増すことによつて急速に増大する。本発明に
よる複数組のタイルを用いて、種々の複雑性を備
えたパズルの一体系を作り出すことができ、主と
して教育的な目的でゲームとして利用することが
できる。さらに加えて美学上のデザインとしての
取合わせにも利用することができる。ここで、タ
イルとはセラミツクス等に限定されるものではな
く、ゴム、合成樹脂、木材、紙、土等あらゆる材
質から成るプレートや切片を意味するものであ
る。また、下記する斜方形とは４辺の等しい方形
即ち菱形を意味し、正方形はその４角の等しい特
殊な斜方形である。

本発明による一組のタイルは、偶数辺の正多角
形から既知の方法で一群の斜方形を用意すること
によつて得られる。このような準備段階におい
て、所定の一群の斜方形が得られ、それらの多く
のものは互いに異なつた形状のものであるが、或
ものは他の斜方形と同一形状のものとなつてい
る。

本発明によるタイルの一組を得る際の第１段階
として、各形状についての斜方形の見本が所定の
一群から選択される。これらの斜方形は本発明に
よるタイルの一組の一部分を構成し、他の残りの
部分のタイルは所定の一群のうちの２つの斜方形
を或る規則に従つて対に組合わせることによつて
得られる。これは、同一形状の斜方形のモデルと
してすでに選択されしかもそれぞれ異なつた形状
の斜方形を用いて行つてもよく、この場合、斜方
形の対の形成に際して使用するための十分な斜方
形の供給が得られる。ところで、ただ１つの斜方
形のものを選択した後に所定の一群に残された斜
方形が本発明に従つて斜方形の対を形成するため
の見本の正確な数になつていることはきわめて注
目すべき一致である。このことが注目すべき事柄
に値するという理由は、後述の記載から明らかな
ように、斜方形の対の形成についての規則がその
ために使用される斜方形の所定の一群の根源とは
無関係になつているからである。

本発明による一組のタイルを正多角形に配置す
る以外に、同じ組のタイルについて閉鎖領域を形
成するように配置することもできる。この閉鎖領
域は繰返パターンのための格子の単位セルを構成
することになる。これは、本発明による一組のタ
イルについての顕著な特徴の１つである。という
のは、かくして形成された格子の単位セルが２つ
の場合を除くすべてにおいて一組のタイルの基と
なつた正多角形とならないからである。このよう
に形成される繰返パターンは壁紙などのパターン
の形成において有用なものである。

本発明による複数組のタイルについては複数の
正多角形に配置することもできるし、また１つも
しくはそれ以上の巣ごもり状のリングによつて囲
まれたような多角形の形式に配置することもでき
る。したがつて、本発明による一組のタイルから
形成される正多角形はそのようなタイルの別の三
組にでもつて囲むことができ、その結果拡大正多
角形が形成されることになる。このように形成さ
れた拡大正多角形はかかるタイルのさらに別の五
組でもつて囲むことができ、その結果さらに拡大
された正多角形が形成されることになる。

したがつて、本発明による一組のタイルは、種
種の態様でもつて正多角形を単に形成し得るとい
うだけではなくて、興味深くしかも有用な特性を
有するものである。

本発明については、添附図面を参照する以下の
記載により一層明確に理解できるであろう。

添附図面を参照すると、第１図には、本発明に
従つて構成された一組のタイルが図示されてお
り、この一組のタイルは16辺の正多角形に配置さ
れている。各タイルは他のすべてのタイルから異
なつている。このようなタイルの一組は異なつた
態様で同一の多角形を構成するように配置させる
ことができる。このように第１図のタイルを配置
するための態様の数は200以上である。

第１図の各タイルは１個もしくは２個の斜方形
からなる。２つの斜方形が組合わされてタイルを
構成するときには、頂点における２つの縁が同一
直線に配置されないようにされる。この結果、タ
イルに形成された角度によつて、２つの斜方形が
組合わされているところの各頂点がそのタイルに
おいて容易に見分けることができるようになつて
いる。したがつて、第１図に示したタイルのうち
で、タイル１，２，３および４は単一の斜方形か
らなり、他の残りのものは一対の斜方形からな
る。一対の斜方形からなるタイルのうちで、タイ
ル５，６および７は正方形とその他の斜方形から
なり、タイル８，９および１０は同一の２つの斜
方形からなり、その他のタイル１１，１２，１
３，１４，１５および１６は異なつた２つの斜方
形からなる。タイル１１ないし１６のうちで、タ
イル１１および１５、タイル１２および１３、な
らびにタイル１４および１６はそれぞれ“二卵性
双生児”の対をなすと言うことができる。という
のは、“二卵性双生児”の対をなす一方のタイル
を構成する２つの斜方形が他方のタイルを構成す
る２つの斜方形と同一になつているからである。
だが、２つの斜方形の組合の相違により、２つの
異なつたタイルが得られる。

本発明によれば、偶数辺の任意の正多角形に対
し、以下のような方法で一組のタイルを構成する
ことができる。

最初に、正多角形は次のように一組の斜方形に
分けられる。各斜方形の四辺は当然正多角形の辺
と同一の長さを有することになる。正多角形の辺
の数ｐが4qに等しいとすると（ここで、ｑは任
意の整数、すなわち正多角形の辺の数は４で割り
切れる数である。）、一組の斜方形はｑ種の異なつ
た斜方形を含むこととなり、このときｑ個の正方
形と（ｑ−１）種の斜方形のそれぞれについて
2q個とが存在する。したがつて、斜方形の総数
はｑ（2q−１）となる。本発明に従つて、一組の
タイルが作られるときには、一組のタイルの総数
はq²個となる。各種の斜方形はその小さい方の角
度でもつて選定され得る。この角度は360゜／ｐの
整数倍となる。ただし、その整数はｑより大きく
ない数である。

第１図に示した一組のタイルを構成するために
使用される一組の斜方形が第２図に図示されてい
る。第２図を参照すると、正方形が参照番号４，
５ａ，６ａおよび７ａでもつて示されている。第
２図の正多角形において、ｐは16であるから、ｑ
は４でなければならない。したがつて、４個の正
方形が存在する。正方形は斜方形の小さい方の角
度が90゜である特別な場合を示し、この角度90゜は
360゜／ｐの整数倍である。このときの整数は４で
ある（すなわちｑに等しい）。一方、斜方形の小
さい方の角度が360゜／ｐの３倍（67.5゜）となる斜
方形の数は2q個すなわち８個であり、これらは、
第２図において、参照番号３，６ｂ，８ａ，８
ｂ，１１ａ，１２ａ，１３ａおよび１５ａでもつ
て示される。また、斜方形の小さい方の角度が
360゜／ｐの２倍（45゜）となる斜方形の数も2q個
すなわち８個であり、これらは、第２図において
参照番号２，５ｂ，９ａ，９ｂ，１１ｂ，１４ａ
および１６ａでもつて示されている。さらに、斜
方形の小さい角度が360゜／ｐの１倍（22.5゜）とな
る斜方形の数も2q個すなわち８個であり、これ
らは、第２図において、参照番号１，７ｂ，１０
ａ，１０ｂ，１２ｂ，１３ｂ，１４ｂおよび１６
ｂでもつて示される。

第２図において、完全な一組の斜方形が正多角
形に配置された状態で図示されいるが、これは単
に本発明の理解を助けるためのものである。一組
の斜方形を正多角形から作る際に、それら斜方形
を或る特定の態様で配置させる必要はない。とい
うのは、一組の斜方形を作る際の上述の十分な情
報は或る特定の配置態様とは全く無関係であるか
らである。

所定の一組の斜方形が作られると、一組のタイ
ルが本発明に従つて以下のように構成される。最
初に、それぞれ異なつた斜方形について１つの見
本が一組の斜方形からタイルとして選択される。
即ち斜方形の形状の種類は何種類かに特定される
から、まず各形状と同一形状のタイルを形成す
る。第１図を参照すれば明らかなように、これら
タイル１，２，３および４はただ１つの斜方形か
らなる。もちろん、この数は、第２図に示した異
なつた斜方形についての総数である。他のタイル
は、第２図に示した一群の斜方形のうちの残つた
ものを対にすることによつて構成されることにな
る。このとき頂点における２つの縁が同一直線上
に配置されないようにすることは先に述べたとう
りである。したがつて、このことは２つの正方形
からタイルが構成されないことを意味し、正方形
はその他の種類の斜方形のそれぞれと組合わされ
て、３つのタイルが得られることになる。第１図
を参照すれば明らかなように、タイル５，６およ
び７は正方形とその他の種類の斜方形のそれぞれ
とからなる。

次いで、正方形ではない斜方形のそれぞれをそ
れと同一の斜方形に組合わせることによつて、３
つのタイルが得られる。これらは“山形袖章
（chevron）”呼ぶことができるものである。第１
図を参照すれば明らかなように、タイル８，９お
よび１０は“山形袖章”形状のものである。

残りの斜方形のそれぞれは異なつた種類の斜方
形と二通りの方法で組合わされてタイルにされ、
これらタイルは二卵性双生児と呼ぶことのできる
２つの異性体（isomeric forms）をなすことに
なる。例えば、第１図に図示したタイル１１は、
斜方形１１ａと斜方形１１ｂとを組合わせること
によつて、二卵性双生児の一方のものとして“短
め”の形態をなすように構成され、一方、第１図
に図示したタイル１５は、二卵性双生児の他方の
ものとして“長め”の形態をなすように同一の２
つの斜方形の組合によつて構成される。タイル１
２は二卵性双生児の一方のものとして“短め”の
形態をなし、その他方の“長め”の形態のものは
タイル１３である。タイル１４は二卵性双生児の
一方として“短め”の形態をなし、その他方の
“長め”の形態のものはタイル１６である。

第１図に図示したタイルの構成について第１図
および第２図を参照にして説明したが、一組の斜
方形からタイルを構成することについては、切り
ばめパターンの基になる正多角形を参照すること
なく容易に行い得ることは上述の記載から明らか
であろう。

正方形を他の種類の斜方形と組合わせることに
ついては二卵性双生児とすることができるが、こ
の場合には双方が鏡像関係となるので、正方形を
他の種類の斜方形に組合わせることによつて、た
だ１つのタイルが得られるにすぎない。

第１図および第２図に図示した16辺の正多角形
を分け方についての上述の記載においては、その
規則が4q辺の正多角形に適用し得ることを述べ
た。別の偶数辺の正多角形について適用可能な唯
一のものは、辺の数が４（ｑ＋1/2）に等しい正多
角形である。この場合においては、一組の斜方形
はｑ種の異なつた斜方形と、各種についての2q
＋１個の見本とを含むことになる。したがつて、
斜方形の総数はｑ（2q＋１）個である。本発明に
従つて、一組のタイルに構成されると、一組のタ
イルの総数はｑ（ｑ＋１）個である。４で割り切
れる数の辺を有する正多角形の場合のように、各
種の斜方形についてはその小さい方の角度でもつ
て選択することができ、その角度は360゜／ｐの整
数倍でなくてはならない。ただし、その整数はｑ
より大きくない数である。したがつて、かかる角
度についての最大のものは90゜以下であるから、
斜方形のうちで正方形のものは存在しない。一組
のタイルを作るのに必要な一組の斜方形が容易に
構成され得ることは先の記載から明らかであろ
う。また、一組の斜方形からタイルを作ることが
切りばめパターンの基となる正方形を全く参照す
ることなしに行い得ることも明らかであろう。す
なわち、一組のタイルを構成する場合に、タイル
張りパズルを解く必要はない。

本発明に従つて斜方形を対に構成する際に課せ
られる制限、すなわち頂点における２つの縁が同
一直線上に配置されないようにすることは重要で
ある。というのは、かかる制限を無視して作られ
たタイルが一組のタイルの中で用いられると、所
定の正多角形を形成することが不可能となるから
である。

図示の実施例を参照して行われた本発明の原理
についての説明において、特定の用語が用いられ
ているが、それらは記述的な意味で用いられたも
のであつて、本発明の技術的囲を限定するために
用いられたものではない。

以上説明したように本発明の一組のタイルはす
べて異なる形状のタイル片から構成され、しかも
これらの各形状は正多角形から所定の法則に従つ
て簡単に形成することができる。また正多角形の
辺の数を増大することにより、全く同一の法則で
多数の多様な形状の異なるタイル片を形成するこ
とができる。

そして、これらの形状の異なるタイル片により
正多角形を構成する配置パターンは複数あるた
め、きわめて興味のあるゲームを行うことができ
る。また幾何学的な興味を引き出すことができ、
教育的な効果も大きく。更に、組数を増加するこ
とにより正多角形を更に取り囲んで拡大正多角形
を形成すること等も可能であり、複雑性を増加す
ることができるから、上記したゲームの興味や教
育的な効果を増大することが可能である。

【図面の簡単な説明】

第１図は、本発明による一組のタイルを正多角
形に配置した状態を示す平面図。第２図は、第１
図に図示した一組のタイルを構成するための一組
の斜方形を示す平面図。

Claims (1)

1. 【特許請求の範囲】 １ 2n辺の正多角形（但しｎは３以上の整数）
   であり、且つ各辺が該正多角形の辺に等しい
   （（ｎ−１）ｎ）／２個の複数の斜方形に分割可能
   である平面を覆うことが可能な一組のタイルであ
   つて、 前記複数の斜方形の中の異なる形状の斜方形の
   中の各々１つと同形のタイルと、 その他の残りの斜方形の中の２つをそれぞれ形
   状が異なるように、かつ頂点における２つの縁が
   同一直線上に配置されないように組合せた形状と
   同形のタイルと、 を有する表面を覆うための一組のタイル。 ２ 前記正多角形の辺の数2nが4q（但しｑは２以
   上の整数）に等しく、 前記各斜方形の小さい方の角度が360°／2nの整
   数倍になつており（但し、その整数はｑよりも大
   きくない数であり）、 前記複数の斜方形がｑ個の正方形と、その他の
   （ｑ−１）種の斜方形のそれぞれについての2q個
   の斜方形とから成り、 前記一組のタイルの総数がq2である、 特許請求の範囲第１項に記載の表面を覆うための
   一組のタイル。 ３ 前記正多角形の辺の数2nが４（ｑ＋1/2）（但
   しｑは１以上の整数）に等しく、 前記各斜方形の小さい方の角度が360°／2nの整
   数倍になつており（但し、その整数はｑよりも大
   きくない数であり）、 前記複数の斜方形が各形状についての2q＋１
   個の斜方形とから成り、 前記一組のタイルの総数がｑ（ｑ＋１）個であ
   る、 特許請求の範囲第１項に記載の表面を覆うための
   一組のタイル。