JPH03241411A - 楕円軌道座標計算装置 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】 産業上の利用分野 本発明は、画像情報を格子点上のポイントの集まりとし
て表現するような画像処理システム、あるいはパソコン
やワークステーションのビットマツプ上の描画システム
において、星座の運行や原子核の回りの電子の軌道をシ
ミュレーションして表示を行う場合の星座や電子の動き
のように面積速度が一定な楕円軌道を描くような動作の
楕円上の座標計算を低価格で高速高精度に行うものであ
る。

従来の技術 従来の面積速度が一定な楕円軌道座標計算は、角度σに
おける楕円の面積の式 ％式％ 分の応用＋１１面積）からこれらの値の差が一定となる
角度σ１．σ２．・・・・・・σ。を計算した上で、楕
円の座標（ＡＣＯ９（７，、Ｂｓ　ｉｎσ＋）（、Ａｃ
ｏｓ　　σ２．　　Ｂｓ　　ｉｎ　σ２）、　　・−＝
−（、Ａｌｃｏｓ（７１１，Ｂｓ　ｉｎσｎ）として計
算していた。しかしこのような角度σ１．σ：、・・・
・・・、σ。

は比較関係に無く、解を計算するのに処理時間か掛りま
た、楕円の座標に変換する場合にも三角関数演算（合波
書店　解析概論　高木貞治著Ｐ、　１８９５３指数函数
と三角関数）は浮動小数演算を中心とする多項式展開を
行う必要があり、処理時間が多く掛っていた。また高速
化のために面積計算や三角関数計算の多項式展開を短か
くするものもあったが、精度に問題があった。さらにこ
れらを同時に解決するために特殊なリードウェアで演算
するものもあったがコスト的な問題があった。

発明が解決しようとする課題 本発明は、前記従来の問題点を解決するもので、画像処
理システム及びパソコンやワークステーションの描画シ
ステムにおける、星座の運行や原子核の回りの電子の軌
道等を表示するための面積速度か一定な楕円軌道の楕円
座標計算を簡単な構成でかつ高速高精度に行うものであ
る。この課題解決のために、面積速度が一定という物理
量を一定時間に変化する長軸Ａ短軸Ｂの楕円の分割しさ
らに、格子点上の楕円座標は大小比較及び加減算のみで
構成される漸化式で逐次計算し、また始点から逐次計算
される格子点上の隣接する楕円座標（ｘ　＋ｌ＋　　ｙ
　、−＋）　　（ｘ　ｌ＋　ｙ　、）と楕円の中心座標
（Ｘ　ｃ　、　Ｙ　ｃ　）の間に作られる面積（例えば
三角形として定義する）を逐次累積加算し、累積面積（
Ａ−；−＋）が上記分割面積Ａｎの値を越える時点での
楕円座標を順次取り出す事で面積速度が一定な楕円座標
とするものである。本発明の構成によって、星座の運行
や原子核の回りの電子の軌道をノミュレーンヨンして表
示する場合等の面積速度か一定な楕円軌道座標計算を簡
単な構成で高速高精度に行い、これらの処理を行うよう
な画像処理システムやパソコン及びワークステーション
の描画／ステムを低価格で高速高精度な構成にするもの
である。

課題を解決するための手段 本発明は、面積速度が一定な楕円軌道座標座標を、長袖
Ａ短軸Ｂの全楕円に対する分割面積をもとに、大小比較
及び加減算のみで構成される漸化式によって格子上の楕
円座標 （Ｘニー１．ｙ、−＋）を計算し、格子点上の隣接する
楕円座標（Ｘ　５−　ｒ　、　Ｙ　、−１）　　（Ｘ　
＋　、　Ｙ　ｒ　）と中心座標（Ｘｃ、　Ｙｃ）で作ら
れる部分面積を累積加算した累積面積との比較から決定
するものであり、分割面積計算手段、楕円座標計算手段
、累積面積計算手段によって構成される。

分割面積計算□手段は、面積速度が一定という物理量を
一定時間に変化する長軸Ａ短軸Ｂの全楕円の分割面積が
一定であると定義する事から、面積速度が一定である楕
円軌道座標の座標数をｎ（ｎは比較的大きな任意の正の
整数）とすると、Ａｏ＝“ＸＡＸＢを計算する。

楕円座標計算手段は、与えられた中心と楕円の長軸短軸
に対して格子点上の楕円座標を逐次漸化式計算によって
決定するものである。漸化式計算は、高速化のために整
数の大小比較及び加減算のみで行えるような、長軸をＡ
短軸をＢ、中心座標を（Ｘｃ、　　Ｙｃ）、始点を（Ｘ
ｏ−Ｘｃ、Ｙｏ＝Ｙｃ＋　Ｂ）とすると、次式（１）の
（Ｘ、。ｌ＋　　Ｙニー＋）ｃｉ＝。

１．２．・・・・・・、Ｍ−ＬＭは　Ａ２＋Ｂ２に最も
近い整数］で表わされるものとする。

の形はやや複雑となり次式（１） に示すような３段 階の漸化式の座標 （Ｘ。

Ｙ、）　　ｊ −〇。

Ｖ丁］−となる。

２゜ ・・　Ａ Ｃ口］］「 」 ＝Ｂ。

・・・・・（１１式 ここで（１）式において、Ｙ軸方向の漸化式としかつ始
点を （Ｘ　ｏ　＝　Ｘ　ｃ　＋、Ａ ０ Ｙ　ｃ　） とすると式 パテ−丁 そこで特に問題の無い場合には、より簡単な（１）式を
使用するものとする。

累積面積計算手段は、上記楕円座標計算手段によって逐
次計算される格子点上の楕円座標（Ｘ、−＋、Ｙ１−＋
）ｉ　＝０．１．・・・・・・１Ｍ−１の隣接する座標
（Ｘｉ−＋＋　ｙｔ−＋）、’（Ｘｉ、Ｙｉ）及び中心
座標（Ｘｃ、　Ｙｃ）の間で作られる部分面積Ａ　ｄ　
、＋＋　ｉ　＝　０．　１．・・・・・・、Ｍ、−１を
、逐次累積加算して累積面積Ａａｃ＋＋、　１　＝　Ｏ
ｒ　　１　＋　”・”・＋　Ｍ＋を計算するものである
。この部分面積Ａ　ｄ　＋　−＋を隣接する座標（Ｘ　
＋＋ｌ＋　Ｙ　ｔ−＋）（Ｘ　ｉ、　Ｙ　＋）及び中心
座標（Ｘｃ、　　Ｙｃ）の間で形成される３角形で近似
すると第（２）式のようになる。

１ｆ（ｉ＜Ｍ＋Ｎ １ｆ（Ｙ、。＋＝Ｙｔ）　　Ａｄ＋−＋＝上Ｙｉ−１＋
２） ｅｌｓｅ　　ｉ　ｆ（Ｍ＋＜ｉ＜Ｍ−１）（１［ｘｉ、
ｌ＝ｘ、）Ａｄ、。１＝上Ｘ１゜・＋よ２ １ｓｅ Ａｄ　＋　＝圭Ｘ 一１＋ｈ圭Ｙ ２ に最も近い整数 ・・・・・・（２）式 は上記楕円座標計算手段によって計算される楕円座標（
Ｘニー＋、Ｙ；−＋）のＸ座標が逐次変化する事と、Ｙ
座標が隣接する以前の座標と等しいか１だけ小さくなる
事を利用している。また同（２）式におのＹ座標が逐次
変化する事と、Ｘ座標が隣接する以前の座標と等しいか
１だけ大きくなる事も利用している。

する格子点間（Ｘｉ−＋、ｙ；、＋）（ｘ、、ｙｔ）と
中心座標（Ｘ　ｃ　、　Ｙ　ｃ　）で作られる三角形の
面積（（Ｘ　ｒ−＋　　Ｘ　＋　）　×Ｙ　１−＋　×
上＝ｌｘＹ、、・×１２ ＝２Ｙ１−１１及び隣接する格子点間 （ｘ、−＋、Ｙ、−＋）（ｘ、、ｙ＊）と最も最近にＹ
軸が変化した直前の格子点座標（Ｘ　ｏ　ｌ　ｄ　＋　
、−Ｙ　ｏ　１ａ　＋　＋　−ｌ、）で作られる三角形
の面積点 （Ｘ −１） が作る三角形の面積 −Ｍ　）をそれぞれ計算して３つの三角形の面積の和と
する。

増加してＹ軸の座標が１減少して隣接する座標が対角線
上に変化する場合には、隣接する格子点座標ｃＸ、−１
，ｙ、−＋）、（Ｘ、、Ｙ、）と中心座標（Ｘ、、ｙｃ
）で作られる面積を、３つに分割して計算する。第１番
目に元の座標（Ｘ、、Ｙ、）とＸ軸が変化せずＹ軸だけ
を１減した中間的格子点（Ｘ、、”ｒ’＋−１）と中心
座標（Ｘｃ、Ｙｃ）が作る三角形の面積（（Ｙ、　　Ｙ
、−＋）ＸＸ、ｘ−Ｌ−１ｘＸ、ｘ　１２ ＝Ｘ、／２）、第２番目に上記中間的格子点（Ｘ、、Ｙ
、−１）と格子点（ｘ　＝１．　ｙ　１−＋）及び中心
座標（Ｘ　ｃ　、　Ｙ　ｃ　）か作る三角形の面積（（
Ｘ１〜＋　　Ｘ、）　Ｘ　Ｙ、−＋Ｘ−！＝　Ｉ　Ｘ　
Ｙニー＋Ｘ±−２ Ｙ　−−＋／　２　）　、第３番目に隣接する格子点座
標（Ｘ、ｌ、Ｙｌ−＋）（Ｘ：、ｙ：）及び上記中間的
格子る格子点間（Ｘ、。＋＋　Ｙ＊−１）、（Ｘ；、Ｙ
；）と中心座標（Ｘｃ、　Ｙｃ）で作られる三角形の面
積２ｘ、−＋）及び隣接する格子点間（Ｘ、。Ｉ、　　
Ｙｌ−→（ｘ、、ｙ、）と今後量も最近にＸ軸が変化す
る直後の格子点座標（Ｘｎｅｖ＋１−１１＋　Ｙｎｅｗ
＋；−＋＋）で作られる三角形の面積 少してＸ軸の座標が１増加して隣接する座標が対角線に
変化する場合には、隣接する格子点座標（Ｘ　、−１，
Ｙ　、−＋）（Ｘ　：、　Ｙ　、）と中心座標（Ｘｃ、
Ｙｃ）で作られる面積を、３つに分割して計算する。第
１番目に元の座標（Ｘ、、Ｙ、）とＸ軸が変化せずＹ軸
だけを１減した中間的格子点（Ｘｌ、　　Ｙｌ−＋）と
中心座標（Ｘｃ、　Ｙｃ）が作る三角形の面積１−　　
　　１− （（Ｙ　：　　Ｙ　１＋＋　）　ＸＸ　：　ｘ　　　１
　ＸＸ　；　×２−Ｘ、２）、第２番目に上記中間的格
子点（Ｘ、、Ｙニー＋）と格子点（ｘ＋−＋、Ｙ；−＋
）及び中心座標（Ｘ　ｃ　、　Ｙ　ｃ　）が作る三角形
の面積（（ｘニー、−ｘ、）　ｘＹ：。１Ｘ−−ｌ　Ｘ
　Ｙ　Ｈ＋　１Ｘよ＝− ２ ｙ、−＋／２）、第３番目に隣接する格子点座標（ｘ、
−＋、　Ｙｉ、Ｉ）（Ｘｉ、Ｙｉ）及び上記中間的格子
点（Ｘ、、Ｙ、−１）が作る三角形の面積２、・・・・
・・、Ｍ２−１は次の（３）式となる。

Ａａｃｏ＝Ｏ ＡＢＣ＋＋や＋＋　＝　Ａａｃ＋　＋　Ａｄ＋、−ｚ　
　　−−（３１式楕円座標を（１Ｆ式のように、Ｙ軸方
向の漸化式の場合も同様の考え方によって部分面積Ａｄ
＋−１は（２）式のようになる。

１ｆ（Ｏこｊ＜Ｍ’＋）［ ｉ　ｆ　（Ｍ＋＜　ｊ　＜Ｍ’Ｎ ＝Ｌ）をそれぞれ計算して３つの三角形の面積の和とす
る。

以上によって隣接する楕円の格子点座標（Ｘ＝ｌ、Ｙニ
ー＋）（Ｘ、、Ｙ、）及び楕円の中心（Ｘｃ、　　Ｙｃ
）で作られる楕円の部分面積Ａｄを三角形で近似すると
（２）式のようになる。また部分面積Ａ　ｄ　＋＋Ｉの
累積面積Ａａｃ、−，，ｉ　＝　Ｑ、　　ｌ） 」＝０ Ｊ　２Ｍ １゜ 、Ｍ ２゜ ＋１．Ｍ＋ ＋２．・・・・・・１Ｍ Ｍ＝ヅＡ２＋８２−に最も近い整数 ・・・・・・（２）°式 累積面積は（３）°式と同じ形の（３）°式となる。

Ａａｃｏ＝Ｏ ＡＢＣ＋−＋　＝　Ａｄｒ−＋　＋　Ａａｃ、　　　　
−−−・・・（３１’式格子点上の面積速度が一定な楕
円軌道座標を、中心座標（Ｘｃ、　Ｙｃ）　、長軸Ａ短
軸Ｂの楕円の格子点上の座標が中心座標（Ｘｃ、Ｙｃ）
との間に作る面積が一定となる座標として計算するとす
る。

まず、前記分割面積計算手段によって、取り出すべき面
積速度が一定な楕円座標の数をｎとすると分割面積Ａｏ
＝！ｒＸＡｘ８で計算する。次に前記楕円座標計算手段
によって（１）式にもとづいて、長軸Ａ短軸Ｂで中心座
標（Ｘ　ｃ　、　Ｙ　ｃ　）の楕円座標（Ｘ、、Ｙ、）
を始点（Ｘｏ＝Ｘｃ、Ｙｏ＝Ｙｃ＝Ｂ）から計算してい
く。その際に逐次計算される楕円座標（Ｘ、、ｙ：）毎
に、前記累積面積計算手段によって隣接する格子点座標
（Ｘ、。＋＋　　Ｙ、−＋）（Ｘ、、Ｙ、）と中心座標
（Ｘ　ｃ　、　Ｙ　ｃ　）の作る部分面積Ａｄ、、ｌの
累積面積Ａａｃ、−＋を（２）式、（３）式にもとづい
て計算する。そして上記累積面積Ａａｃ１−１が上記分
割面積Ａｎを越える時点での楕円座標（Ｘ　ニー＋、　
Ｙ　；−＋）を順次取り出す事によって面積速度が一定
な楕円軌道座標（Ｘ　ｎ　＝−＋、　Ｙ　ｎ　１−＋）
る対称形として座標変換すれば良い。またｎが奇数なら
ば、（２）′式によって’ｙｒ　〜２　ｙｒの範囲を（
２）式によって計算し、それをＸ軸に対する対称座標変
換を行う。

実施例 以下本発明の実施例を図面に基づいて説明する。第１図
は本発明の楕円軌道座標計算装置をパソコンやワークス
テーション等の原子核の回りの電子の動作軌道をシミュ
レーションして動的に表示する場合のグラフィック描画
システムに適用した場合の例を示し、面積速度が一定な
楕円軌道座標を高速高精度に計算する原理を示している
。第２図は楕円軌道座標計算装置の詳細な構成例を示し
、面積速度が一定な楕円軌道座標を、長軸Ａ短軸Ｂの楕
円の全面積に対して取り出す座標数ｎの数学的な分割面
積Ａｎと、中心座標を（Ｘｃ、　Ｙｃ）とする長軸Ａ短
軸Ｂの格子点上の楕円座標（Ｘ、−＋、Ｙ＋−＋）をｉ
に対する漸化式で逐次計算してのその隣接する楕円座標
（Ｘニー＋、Ｙニー＋）（Ｘｉ、　　Ｙｉ）と中心座標
（Ｘｃ、　Ｙｃ）で作られる部分面積Ａ　ｄ　＋　−＋
を累積加算した累積面積ＡａＣｔ−＋と比較し、累積面
積ＡａＣ，−＋が分割面積Ａｎを越える時点の楕円座標
（Ｘｉ＋１Ｙ１−＋）＝　（Ｘｏ、Ｙｏ）で順次決定す
る処理の流れを示している。

第１図において、楕円軌道座標計算装置１は、取り出す
べき面積速度がｎの場合の、数学的な分割面積Ａｎを計
算する分割面積計算手段２、中心座標（Ｘ　ｃ　、　Ｙ
　ｃ　）と長軸Ａ短軸Ｂに対する格子点上の楕円座標（
Ｘ：、Ｙ、）（ｉ　〜０．１，２゜・・・・・・、Ｍ−
１）［ＭはＪ］］−１１］−に最も近い整数コをｉに対
する漸化式で逐次計算する楕円座標計算手段３、前記楕
円座標計算手段３から逐次計算される現在の楕円座標（
Ｘ　１−１．　Ｙ　ニー＋）に対して一段前の楕円座標
（ｘ、、ｙ、）とでつくられる隣接する楕円座標（Ｘ　
ニー＋、　Ｙ　＋−＋）（Ｘ　ｉ、　Ｙ　ｔ）と中心座
標（Ｘ　ｃ　、　Ｙ　ｃ　）で作られる部分面積Ａ　ｄ
　＋　＋＋を計算し、−没前の累積面Ａａｃ＋に加算し
て現在の累積面積Ａ　ａ　Ｃ＋　−１を計算する累積面
積計算手段４、前記分割面積Ａｎと累積面積Ａａｃ、。

１を比較する比較手段５とよりなる。

座標変換手段６は、楕円軌道座標計算装置ｌによって計
算された各々長軸ＡＩ、Ａ２．Ａ３．Ａ４及び短軸Ｂ＋
、Ｂ２．Ｂ３．Ｂ４の楕円座標が、軸の傾きを持つ場合
の座標軸変換処理を行う。

記憶部７は、楕円軌道座標計算装置１及び座標変換手段
６によって計算された、各々長軸ＡＨ。

Ａ２．Ａ３．　Ａ４．短軸Ｂ＋、Ｂ２．Ｂ３．Ｂ４の楕
円の各々面積速度が一定な、各々ｎｌ、ｎ：！＋　　ｎ
３゜ｎ４ケの楕円軌道座標を記憶する、楕円座標記憶部
７−１．７−２．７−３．７−４からなる。

表示部は、１ドツト単位に表示をオンあるいはオフして
画情報を表示する格子点座標平面９及び、記憶部７から
４つ楕円の座標を読み出し、順次前記格子点座標平面９
に表示を行う表示手段とよりなる。

総合制御手段１０は、表示部に原子核の回りに面積速度
が一定な異なる楕円軌道上を運動する電子の動きを表示
させる動作を総合的に制御するもので、あらかしめ楕円
軌道計算手段１によって長袖Ａｌ＋　　Ａ＝、Ａ３．Ａ
、４短軸Ｂｌ、Ｂ２．Ｂ３．Ｂ＜の４つの楕円の面積速
度が一定となる楕円軌道座標を計算して、記憶部７に記
憶しておき、発振器１１からの信号によって一定時間ご
とに記憶部７の座標を読み出して楕円軌道座標を順次表
示して、電子の動作を表示するものである。

以上のように構成された原子核のまわり電子の動作軌道
をシミュレーノヨンする描画システムの動作説明を第１
図を用いて行う。

総合制御手段１０は、まず表示部の格子点座標平面９上
にとの位置（Ｘ　ｃ　、　　Ｙ　ｃ　）にどのような楕
円軌道（長軸、Ａ　＋、　Ａ　＝、　、Ａ　、］、　　
Ａ　４及び短軸ＢＢ：、Ｂ３．Ｂ４）を、どのような面
積速度（取り出すべき座標数ｎｌ、ｎ２．ｎ３．ｎ４及
び表示周期）で表示するかを決定する。それに従って楕
円軌道座標計算装置に対して取り出すべき座標数ｎ１ｏ
ａ（ｎ、、ｎ２．ｎ３＋　　ｒｚ）、長軸Ａ短軸Ｂ１０
ｂ（（Ａ＋、Ｂ＋）（Ａ＝、Ｂ２）（Ａ３．Ｂ３）（Ａ
４．Ｂ４））及び中心座標（Ｘｃ、　Ｙｃ）　１０　ｃ
を出力し漸化式計算を逐次行なうためのクロック信号ｃ
ｌｋｌｏｄも出力し、長軸Ａ短軸Ｂ１０ｂの面積速度が
一定な楕円軌道座標（Ｘ；−＋、ｙ：、＋）＝　（Ｘ、
、Ｙ、）４ｂを順次計算させて出力させる。これらの各
々長軸Ａｔ、Ａ２．Ａ１．Ａ４短軸Ｂｌ、　　Ｂ２．　
　Ｂ３．　　Ｂ４に対する各々ｎ１．ｎ二、ｎ３．ｎ４
ケの面積速度が一定な楕円軌道座標は、必要な場合には
座標変換手段６による座標軸の傾き処理を行った座標６
−１゜６−２．６−３．６−４として一旦楕円座標記憶
部７−１．７−２．７−３．７−４に記憶させる。次に
発振器１１からの実時間信号１１ａによって一定時間間
隔毎に表示指示信号１０ｅを表示部に出力する。表示部
か表示指示信号１０ｅを受は取ると、表示手段８は格子
点座標平面９上の４つの楕円の一つ前の軌道座標をオフ
して新しい軌道座標を記憶部７から読み出してオンする
。以上の制御ンーケンスによって面積速度が一定な楕円
軌道座標が表示される。

次に本発明による楕円軌道座標計算装置の構成例を第２
図を用いて説明する。

分割面積計算手段２は、総合制御手段１０で指定される
取り出すべき座標数ｎ１ｏａと長軸Ａ短軸Ｂ１０ｂから
一定の面積速度を表わす長軸Ａ短軸Ｂの楕円の分割面積
ｘ　’　Ａ　’　Ｂ　２ａを計算する。

楕円座標計算手段３は、総合制御手段ＩＯから出力され
る中心座標（Ｘｃ、　　Ｙｃ）　１０　ｃ、長軸Ａ短軸
Ｂ１０ｂに対して格子点上の楕円座標（Ｘｌ、□１．ｙ
＋−１）を逐次計算するために、（１）式の初期値で示
したようなパラメータの初期値を設定する初期値計算部
３−１、（１）式の漸化式で計算される前段の値から現
在の１に対する座標を計算する現在座標計算部３−２、
現在座標の計算結果をフィードバックして、次段の計算
準備を行うために記憶しておく前段計算記憶部３−３と
よりなる。

累積面積計算手段４は、楕円座標計算手段３によって逐
次計算される格子点上の楕円座標（Ｘ；−＋＋　　ｙニ
ー＋）３ａ＋、ａ：毎にｉ軸に対して、（２）式で示さ
れるような座標範囲を（Ｑ＜Ｘｔ−＋＜接する格子点間
（Ｘニー＋、Ｙ、、＋）（Ｘｌ、Ｙ；）と中心座標（Ｘ
Ｃ，Ｙｃ）の間で形づくられる三角形の部分面積Ａｄ１
゜ｌを前段の座標と現在の座標から計算しさらにまた（
３）式で示されるような前段までの累積面積Ａａｃｉと
現在の部分面積Ａｄ１゜１を加算して現在の累積面積Ａ
ａＣ１−＋を計算する各々の座標範囲における現在面積
計算部４−２ａ、２ｂ、次段の計算準備を行うために現
在の部分面積と現在の座標を記憶しておく各々の座標範
囲における前段計算記憶部４−３ａ、３ｂとよりなる。

比較手段５は、分割面積計算手段２から出力される分割
面積Ａｎ２ａと、累積面積計算手段４から出力される座
標毎の累積面積ＡａＣ＋＋−ｚを比較し、累積面積ＡＢ
Ｃ０−１１が分割面積Ａｎを越える時点の現在座標（Ｘ
ｉ、ｌ、　Ｙ、、１）＝（Ｘ、、　Ｙｏ）　４ｂｂ：を
順次出力する。

第２図で示した楕円軌道座標計算装置の詳細な構成例に
おける動作原理の説明を行う前に、面積速度が一定な楕
円軌道座標計算のアルゴリズムの説明を第３図、第４図
及び第５図を用いて行う。

第３図において、中心座標（Ｘｃ、　Ｙｃ）は（０，０
）で長軸Ａは１５０、短軸Ｂは１００を使用している。

同図において白マルは、これらの値に対して、楕円座標
計算手段３によって（１）式の漸化式を逐次計算した場
合の格子点上の楕円座標（Ｘ、、Ｙ、）ｉ＝ｏ、１，２
．・・・・・・、１７及び楕円座標（Ｘ、、Ｙ、）ｉ＝
１００．１０１１０２、・・・・・・、１１２を示して
いる。また外構円周１２は、数学的に計算された論理的
な楕円周を示している。同図において斜線部は、（２）
式で計算されるような隣接する格子点座標（ＸＹ　、　
−＋　）　　（Ｘ　ｔ　　Ｙ　、　）と中心座標（Ｘｃ
、　Ｙｃ）で作られる三角形の近似的な部分面積Ａｄ、
−＋　を図式化している。１３，１４．１５．．１６は
Ｘ軸の整数）で１７．１８，１９．２０はＸ軸座標範囲
がＭ−Ａの場合を示している。１３は（２）式のＩＹ、
、、の面積（（ＸＩ、Ｙ＋）、（Ｘｏ、Ｙｏ）と（Ｘｃ
、Ｙｃ）で作られる三角形の面積）と１７２の面積　　
［（ＸＩ、　　　Ｙ＋）　　、　　　（ＸＩ、　　　Ｙ
ｏ）　　　と　　（Ｘｏ、　　　Ｙｏ）で作られる三角
形の面積）を示している。１４は同様に（２）式の２Ｙ
１−１の面積（（Ｘ６．　Ｙ６）　。

（Ｘ５．　　Ｙｓ）と（Ｘｃ、　　ｙｃ）で作られる三
角形の面積）と１／２の面積［（Ｘ６．Ｙ、Ｓ）　、　
　（Ｘ５．　Ｙ５）と（Ｘｏ、　Ｙｏ）で作られる三角
形の面積）を示している。１５は隣接する座標がＸ軸、
Ｙ軸ともに変化する場合の例を示し、（２）式のＴＸｌ
の面積（（ＸＯ，Ｙ９）　、　（ＸＯ，Ｙ＋ｏ）と（Ｘ
ｃ、　　Ｙｃ）で作られる三角形の面積）と２　Ｙ　、
−＋の面積（（ＸＩｏ。

Ｙ　ｔｏ）　、（ＸＯ，Ｙ　ｔｏ）と（Ｘｃ、Ｙｃ）で
作られす る三角形の面積）と−の面積（（ＸＩｏ、　Ｙ＋ｏ）　
。

（ＸＯ，ＹＩＯ）と（ＸＯ，Ｙ９）で作られる三角形の
面積）を示している。１６は、１３．１４と同様に（Ｘ
　１３．　Ｙ　１３）　、　（Ｘ　１２．Ｙ　＋。）と
（Ｘｃ、　　Ｙｃ）で作られる面積を図示している。１
７．１８，１９゜２０は同様にＸ軸の座標範囲が１１４
１７以上の場合の近似面積を表わしており、（２）式に
おける１／２の面積がＸ軸において前向きの計算となる
事を表わしている。外構円周１２と部分面積１３゜１４
、・・・・・・、２０の比較によって、累積面積の近似
精度を推定できる。

上記累積面積の近似精度を数学的に説明したのが、第４
図、第５図である。第４図において横軸は、Ｘ軸の格子
点の座標値Ｘ、ｉ＝０．１．２・・・・・・、１７で、
縦軸はＹ軸の格子点の座標値Ｙｉ＝０．１．２・・・・
・・１７を表わしている。同図において白マルは、長軸
Ａを１５０で短軸を１００とした場合の座標（Ｘ、、Ｙ
、）ｉ−０，１，２・・・・・・　１７を表わしている
。またＸ　＋、　Ｘ　２．　Ｘ　３はＹ軸の値がＢ−１
，Ｂ−２，Ｂ−３と１ずつ減少する場合のＸ軸の値を示
している。理論的な楕円外周１２と＋２１．　＋３１式
による近似誤差は、同図におけるＸ　＋、　Ｘ　＝、　
Ｘ　３　テ’）接ｍｂ＜Ｙ＝Ｂ、Ｙ＝Ｂ−１Ｙ＝Ｂ−２
の直線と交わる所での同図の斜線部ＥＳＩ、ＥＳ２．Ｅ
Ｓ３の各々の三角形の面積の大きさ以下となる。またＸ
　１．　Ｘ　：、　Ｘ　３での接線の傾きはるため三角
形の面積ＥＳＳ、ＥＳ２．ＥＳ３は各々の値は楕円の式
から、 となる。

（４）式となる。

Ｔ　（（ＸＩ−ＸＯ）−（Ｘ２−ＸＩ））・・・・・・
（４）式 第５図は、（２）式で計算される部分面積Ａｄ、が（４
）式で示されるような累積誤差の面積ＥＡ、より大きく
なり、Ｘ軸の分解能において十分精度が出ている様子を
示している。同図において横軸はＸ軸の格子点の座標値
Ｘ、（ｉ＝０．１．２．３・・・・・・及び累積誤差面
積ＥＡ、の面積を表している。

軸の値か１の場合の部分面積Ａｄ、は、（２）式で示さ
れるような値となり、１つの計算式で表わす事かできな
いか、（２）式にもとづいて部分面積Ａｄの最大値と最
小値を同図に示したような、三角形の近似最大部面積２
１ 部分面積Ａｄ、を斜線部の範囲で表わす事ができる。最
大累積誤差面積ＥＡ、は、（４）式で表わされた、理論
的な楕円外周と三角形の近似面積のｉまでな増加曲線と
なる。つまり第５図からｉがと累積面積Ａ、。６３．を
比較する場合に誤差の大きさよりその時点での部分面積
Ａｄ、−＋　の方か大きい事か分かり、常に正しい座標
値が得られる事を示している。

以下に第２図で示した本発明による楕円軌道座標計算装
置の詳細な構成例による動作原理を示す。

総合制御手段１０より、面積速度を表わす元になる取り
出すべき座標数ｎ　１０　ａ　％楕円の長軸Ａ短軸Ｂ１
０ｂ、中心座標（Ｘｃ、　ｙｃ）　１０　ｃが出力され
ると、まず分割面積計算手段２によって数学的な分割面
積Ａｎ＝“ｘＡ＋Ｂ２ａが計算される。次に総合制御手
段１０から出力される漸化式の計算用クロックｃｌ　ｋ
　１０　ｄに従って、座標毎の計算を楕円座標計算手段
３と累積面積計算手段４で実行する。楕円座標計算手段
３と初期値計算部３−１では（１）式の初期値で計算さ
れるｉ、ｊ。

Ｘｏ、Ｙｏ　　、　　　Ｓ　　ＵＭ、　　ｉｓｅｍ、　
　ｊ　　５ＵｋＡ　ｊ＋Ｎｃ、　　１ｏＥｔｒ、　　ｎ
の値を求め、前段計算記憶部３−３に初期値出力３−１
ａを行う。クロックｃｌ　ｋ　１０　ｄが入力されると
、（１）式の漸化式で計算されるｉ、ｊ、ＸＹ□　、　
ｉｓｕＭ、　ｊｓＵ＠、　１ｏＥｔｔ＋　ｎの値の更新
を現在座標計算部３−２と前段計算記憶部３−３により
て行う。また現在座標計算部３−２で更新された値は、
次のクロックで次段の計算に使用するために、前段計算
記憶部３−３にフィードバックして記憶させておく。さ
らに現在座標計算部３−２で計算された現在の座標（Ｘ
５．Ｙ、）３　ａｌ＋　　ａ２は累積面積を計算す′る
ために、累積面積計算手段４に出力される。累積面積計
算手段４の座標判定部４−１では（２）式で示されるよ
うなＸ軸の座標範囲によって部分面積Ａｄ＋−＋の計算
式を切り換える信号４−１ａを出力する。また現在面積
計算部４−２ａ、４−２ｂでは、各々の座標範囲におい
て、（２）式及び（３）式で示されるように現在座標計
算部３−２から出力される現在の座標（Ｘ　１−＋、　
Ｙ　、−＋　）３ａｌ、３ａ２及び前段計算記憶部４−
３ａ、３ｂから出力される前段の座標（Ｘ、、Ｙ＋）と
累積面積Ａ　ａ　ｅ　ｉからクロックｃｉ’ｋｌ　Ｏｄ
に従って現在の部分面積Ａｄニー＋と、現在の累積面積
Ａ　＠　ｅ（、ｌを計算する。座標判定部４−１によっ
て現在面積計算部および前段計算記憶部が切り換わる際
に、その時点での累積面積Ａ　ａｔ　１−１４　２　ａ
　ｌは、前段計算記憶部４−３ｂに入力される。また現
在面積計算部４−２ａ、２ｂで計算された累積面積Ａ　
ａ　Ｃｌａ＋ｃｌ及び現在座標（Ｘｌ−＋　、Ｙ；−＋
　）は次のクロックで次段の計算に使用するために、前
段計算記憶部４−３ａ、３ｂにフィードバックして記憶
させておく。

比較手段５では、クロック毎に累積面積計算手段４によ
って計算される累積面積Ａ　ａ　Ｃ＋ｌ−１＋　４　ａ
と分割面積計算手段２によって計算された分割面積Ａｎ
２ａを比較し、累積面積Ａ　ａ　ｃ　ｔニー＋＋の方が
大きくなった時点でゲート信号５ａを出力する。その事
によって一定の面積速度を持つｎ個の楕円軌道座標を現
在座標（Ｘ；−＋　、Ｙ、−＋　）＝　（Ｘｎ。

Ｙｎ）４ｂ＋、ｂ２として外部に出力する。

以上の構成をとることによって、高速高精度な面積速度
が一定な楕円軌道の座標計算を、簡単な構成で実現でき
る。

発明の効果 以上本発明によれば、面積速度が一定な楕円軌道座標を
面積速度が一定という物理量を一定時間に変化する長軸
Ａ短軸Ｂの楕円の全面積に対する分割面積（Ａｎ＝　　
“ｘＡ＋Ｂ　）が等しいとし、格子点上の楕円座標を大
小比較及び加減算のみで構成される漸化式で逐次計算し
、逐次計算される隣接する楕円座標（Ｘニー＋、Ｙ、−
＋）、（Ｘ、、Ｙ、）と楕円の中心の（Ｘｃ　、　　Ｙ
ｃ　）間に作られる部分面積Ａ　ｄ　；、＋（例えば三
角形として定義する）を逐次累積加算し、累積加算した
累積面積Ａｍｅ＋＋−＋＋が上記分割面積Ａｎを越える
時点の楕円座標（Ｘ、、１．Ｙｉ、ｌ）＝　（Ｘｏ、　
Ｙｏ）として順次水めるものである。上記の構成をとる
ことによって、星座の運行や原子核の回りの電子の軌道
をシミュレーションして表示する場合等の面積速度が一
定な楕円軌道座標計算を簡単な構成で高速高精度に行う
事ができ、このような処理を行う画像処理システムやパ
ソコン及びワークステーションの描画システムを低価格
で高速高精度な構成にする事ができる。

【図面の簡単な説明】

第１図は本発明による楕円軌道座標計算装置を原子核の
回りの電子の軌道を動的に表示する描画システムに適用
した場合の構成例を示す図、第２図は本発明による楕円
軌道座標計算装置の詳細な構成例を示す図、第３図は本
発明による楕円座標及び部分面積の計算結果例と理論的
な楕円外周の関係を示す図、第４図は本発明による楕円
面積の近似と理論的な楕円面積の誤差を最大近似面積で
表わすための関係を示す図、第５図は本発明による楕円
軌道座標計算結果の精度をＸ軸の座標ｉに対する最大累
積誤差とＸ軸の座標ｉでの部分面積の値の範囲との関係
で表わしている図である。 １・・・・・・楕円軌道座標計算装置、２・・・・・・
分割面積計算手段、３・・・・・・楕円座標計算手段、
４・・・・・・累積面積計算手段、５・・・・・・比較
手段、６・・・・・・座標変換手段、７・・・・・・記
憶部、８・・・・・・表示手段。

Claims (1)

1. 【特許請求の範囲】 入力された面積速度を長軸Ａ短軸Ｂの楕円の分割面積と
   して計算する分割面積計算手段、入力された中心（Ｘ＿
   ｃ、Ｙ＿ｃ）と長軸Ａ短軸Ｂに対して格子点上の楕円座
   標を漸化式による逐次計算で決定する楕円座標計算手段
   及び上記楕円座標計算手段によって出力される楕円座標 （Ｘ＿ｉ＿＋＿１、Ｙ＿ｉ＿＋＿１）［（Ｘ＿ｏ＝Ｘ＿
   ｃ、Ｘ＿ｏ＝Ｙ＿ｃ＋Ｂ）ｉ＝０、２、・・・・・・、
   Ｍ＿−＿１、Ｍ＝Ａ＾２／√（Ａ＾２＋Ｂ＾２）に最も
   近い整数］毎に、隣接する格子点と中心（Ｘ＿ｃ、Ｙ＿
   ｃ）の間で作られる部分面積を累積計算する累積面積計
   算手段とよりなり、上記分割面積計算手段によって計算
   した分割面積Ａ＿ｎと上記累積面積計算手段によって逐
   次計算される累積面積Ａ＿ａ＿ｃ＿ｊ＿＋＿１を比較し
   、累積面積Ａ＿ａ＿ｃ＿ｊ＿＋＿１が分割面積Ａ＿ｎを
   越える座標（Ｘ＿ｊ＿＋＿１、Ｙ＿ｊ＿＋＿１）を、面
   積速度が一定な楕円軌道座標とすることを特徴とする楕
   円軌道座標計算装置。