JPH03202981A

JPH03202981A - 三次元図形表示方法及びシステム

Info

Publication number: JPH03202981A
Application number: JP1338897A
Authority: JP
Inventors: Akio Doi; 章男土井; Akio Koide; 昭夫小出
Original assignee: International Business Machines Corp
Current assignee: International Business Machines Corp
Priority date: 1989-12-28
Filing date: 1989-12-28
Publication date: 1991-09-04
Anticipated expiration: 2010-10-09
Also published as: JPH0792838B2; CA2032847C; EP0435492A3; DE69030618D1; CA2032847A1; US5537520A; EP0435492B1; DE69030618T2; EP0435492A2

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】Ａ、産業上の利用分野本発明は、ポリゴンの配列方向に基づいて等関数値曲面
等の三次元図形を表示する方法及び装置に関し、さらに
詳しくは、ポリゴンの奥行計算やポリゴンのソートを行
わないで隠面消去等のポリゴンの奥行順に従った図形処
理を実行する方法及びシステムに関する。

Ｂ、従来の技術及びその課題等関数値曲面等の三次元図形をポリゴンに近似し、その
ポリゴン・データを奥行順に従って図形処理する従来の
代表的な方法として、奥行ソート法と２バツフア法があ
る。奥行ソート法では、ポリゴンすべてについて奥行を
計算し、奥行の順にソートする必要があるので、図形が
複雑な場合、すなわちポリゴンの数が多い場合には、ソ
ートに要する計算が非常に長くなるという問題点がある
。

また、２バツフア法では、ソートは不要であるけれども
、すべての画素について奥行を記憶するために大量のメ
モリを必要とし、かつ透明な物体を表示できないという
問題点がある。また、ポリゴン毎に奥行を計算せねばな
らないという問題点もある。

特開昭６０−１９８６９０号公報では、上記奥行ソート
法の改善を図る方法が開示されている。

その方法によれば、ポリゴン・データを生成・記憶した
のち、ポリゴンを含む空間が、複数のブロックに分割さ
れる。そして、視点の位置が決定されたのち、各ブロッ
クの視点からの奥行が計算される。その計算は、ブロッ
クを節点、ブロックの境界を枝とするグラフを用いて行
なわれる複雑なものである。この様な計算で求まった奥
行に基づいて、ブロックがソートされる。一方、各ブロ
ックでは、ポリゴンの奥行が計算され、その奥行に基づ
いてポリゴンがソートされる。表示に際しては、視点か
らの距離が最大のブロックから順にポリゴン・データを
取り出す。そして、ブロック内では、奥から順にポリゴ
ンを表示する。この様にソートの対象となるポリゴンの
数を減らすことによって、ソート処理時間を短くしてい
る。

しかしながら、すべてのポリゴンについて奥行計算をす
る必要があること、及びブロック毎に行なわれるとはい
え、ポリゴンのソニトを必要とする点において、上記奥
行ソート法の問題点の根本的な解決にはなっていない。

しかも、ブロックの奥行順の決定方法が複雑であるので
、そのために無視できないほどの処理時間とメモリ量を
要するという、新たな問題を生じさせる。

Ｃ１課題を解決するための手段したがって、本発明の目的は、ポリゴンの奥行計算やソ
ートを行わないでポリゴンの奥行順に従った図形処理を
実行する方法及びシステムを提供することにある。

この目的を遠戚するために、本発明によれば、三次元空
間を、複数の要素に、一定の配列方向を与えて仮想的に
分割し、要素毎にポリゴンの配列方向を生成し、要素毎
にポリゴンの配列方向に基づいて三次元図形を表示する
方法において、第１図に示すごとく、視点と注視点を与
え、視点と注視点を結ぶ視線ベクトルのデータを生成す
るステップ１０、視線ベクトル・データと要素の配列方向のベクトル・デ
ータに基づいて、上記要素の奥行順を決定するステップ
１２、上記要素の奥行順にしたがって、要素毎にポリゴンの配
列方向を表示装置に転送するステップ１４を含むことを特徴とする。

上記各要素を、２以上の等しい数の副要素に仮想的に分
割し、一の要素における副要素相互の位置関係はすべて
の要素において共通にし、副要素毎に高々一個のポリゴ
ンの配列方向を生成し、要素毎にポリゴンの配列方向に
基づいて画像を表示する場合には、ステップ１２において、任意の一の要素に含まれる副要
素と視点の位置データに基づき、すべての要素に共通す
るーの要素内での副要素の奥行順を決定し、ステップエ４において、上記要素の奥行順及び一の要素
内の副要素の奥行順にしたがって、要素毎にポリゴンの
配列方向全表示装置に転送する。

Ｄ、実施例Ｄｌ、四面体格子法による多面体近似本発明の実施例は四面体格子法による多面体近似を用い
ているので、まずこれについて説明する。

圧力、温度、密度、電位などの測定データや大規模シミ
ュレーションの結果は、格子点上の数値データや関数形
を定めるパラメータ群として出力される。この出力を人
間が容易に理解できるようにするために、その視覚化が
重要になってきた。

二次元のデータや関数の視覚化において等高線が使われ
るように、三次元のデータや関数の視覚化において等関
数値曲面が使われることが多い。ここで等関数値曲面と
は、定義域を三次元とする関数Ｆと定数Ｃに対し、Ｆ　（ｘ、ｙ、ｚ）−Ｃ−０（１）を満たす点（ｘ、ｙ、ｚ）の集合である。従来は、等関
数値曲面の配列方向を幾つかの断面における等高線の集
まりとして生成していた。そして、サーフェス表示を行
うためには、各等高線を生成した後、等高線同士を結ぶ
処理を行う必要があった。このため、第２図に示すごと
く、隣接する等高線のトポロジカルな性質が変化する場
合、等高線を結ぶ方法は複雑にならざるをえない。また
、関数Ｆの式を求めることなしに等関数値曲面を表示す
ることができない。

そこで、本出願の発明者は、四面体格子法による多面体
近似を提唱している。以下では、（Ｉ）Ａｋｉｏ　　Ｋ
ｏｉｄｅ、　　　Ａｋｉｏ　　Ｄｏｉ、　　　ａｎｄ　
　ＫｏｉｃｈｉＫａｊ　１ｏｋａ、”Ｐｏ１ｙｈｅｄｒ
ａｌ　　ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ　　ａｐｐｒｏａ
ｃｈｔｏ　ｍｏｌｅｃｕｌａｒ　ｏｒｂｉｔａｌ　ｇｒ
ａｐｈｉｃｓ、”　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆＭｏｌｅｃｕ
ｌａｒ　Ｇｒａｐｈｉｃｓ、　Ｖｏｌｕｍｅ　４　Ｎｕ
ｍｂｅｒ　３１９８６年９月、　ｐｐ、１４９　ｔｏ　
１５９．　　および（ＩＩ）Ａｋｉ。

Ｋｏｉｄｅ　　ａｎｄ　　Ａｋｉｏ　　Ｄｏｉ、”Ａ　
　Ｎｏｖｅｌ　　ＴｒｉａｎｇｕｌａｔｉｏｎＭｅｔｈ
ｏｄ　　ｏｒ　　Ｅｑｕｉ−Ｖａｌｕｅｄ　　５ｕｒｆ
ａｃｅ　　ｂａｓｅｄ　　ｏｎＴｅｔｒａｈｅｄｒａｌ
　　Ｇｒｉｄｓ’、　　ＴＲＬ　　Ｒｅ５ｅａｒｃｈ　
　ＲｅｐｏｒｔＴＲ８７−１０１７，１９８７年１２月
１４日、日本アイ・ビー・エム東京基礎研究所発行に開
示された四面体格子法の概要を説明する。

四面体格子法では、三次元空間内に格子点が定義され、
実験によって又は格子点での関数値Ｆ（ｉ＋　　ｊ＋ｋ
＞の計算によって、各格子点に与えられたスカラ値に基
づいて、配列方向が生成される。以下では、関数Ｆと定
数Ｃが与えられている場合について説明を行う。

まず、第３図に示すように、格子空間を、格子点を頂点
とする直方体に分割し、さらに各直方体を格子点を頂点
とする四面体に分割する。そして、直方体と当該直方体
に含まれる四面体とを対応付けるリストを生成し、メモ
リに記憶する一方、四面体と当該四面体を構成する頂点
及びその位置データとを対応付けるリストを生成し、メ
モリに記び、後者を四面体−頂点リストと呼ぶ。ここで
、格子点は、（ｉ、ｊ、ｋ）　　　（ｉ＝１．Ｎｘ。

ｊ−１，Ｎｙ、　　ｋ＝１．Ｎｚ；Ｎｘ、Ｎｙ、ＮＺは
、各Ｘ、Ｙ＋　　Ｚ方向の格子数）で表す。また、直方
体（ｉ、ｊ、ｋ＞　　　（ｉ＝１．Ｉｍａｘ、ｊｌ、Ｊ
ｍａｘ、に−１，Ｋｍａｘ　；　Ｉｍａｘ。

Ｊ　ｍ　ａ　ｘ　、　Ｋ　ｍ　ａ　ｘは、それぞれＩ、
Ｊ、に方向の直方体の数である。）というとき、（ｉ、
ｊ。

ｋ）　、　　（ｉ＋１．　ｊ、　ｋ）　、　　（ｉ、　
ｊ＋ｌ、　ｋ）　。

（ｉ、ｊ、に＋１）、　　（ｉ＋１．ｊ＋１．ｋ）。

（ｉ＋１．ｊ、に＋１）、（ｉ、ｊ＋１．に＋１）。

（ｉ＋１．ｊ＋１．に＋１）を頂点とする直方体を指す
。第４図は、各直方体を６個の四面体に分割する場合全
示し、第５図は、各直方体を５個の四面体に分割する場
合を示す。５分割の場合、四面体Ｔ１〜Ｔ５は、それぞ
れ表１に示すような四個の格子点で表される。

表１Ｔ１（ｉ’、ｊ’、に’）、　（ｉ“、ｊ’、に’）（ｉ”
、ｊ”、に’）、（ｉ”、ｊ’、ｋ”）２（ｉ’、ｊ’＋に’）、　（ｉ”、ｊ”、ｋ“）（１’
ｌＪ”、に’）、（ｉ’、ｊ”、ｋ”）丁３（ｉ　’、　ｊ　’、　ｋ’）、　（ｉ’＋　ｊ”、ｋ
”）（ｉ　’、　ｊ　’＋　ｋ”）＋　（ｉ”、ｊ’、
ｋ”）４（ｉ”、ｊ”、ｋ”）ｌ（ｉ’ｌＪ”、ｋ”）（ｉ”＋
Ｊ’＋ｋ”）、（ｉ“、ｊ”、に’）［］はガガラの記
号であって、少数部分の切り捨て会表す。

次に、各四面体の辺上での線形補間により、等関数値曲
面を近似するポリゴンの頂点データを求める。まず、四
面体の頂点毎に、Ｆ　（ｉ、ｊ、ｋ）−〇を計算してそ
の符号を求める。四面体の四頂点の符号によって表２に
示す１５通の場合に分けられるが、そのうちケース７〜
１３についてのみポリゴンの幾何データを生成する。こ
こで、表１の−、０．十の欄の数字は、Ｆ−Ｃが該当す
る符号を持つ頂点の数である。

５（ｉ　’、　ｊ　’、　ｋ’）、　（ｉ″↓ｊ”、に°
）（ｉ’＋ｊ”、ｋ”）、（ｉ”＋Ｊ’＋ｋ“）ここで
、整数ｉ、ｊ、ｋに対し、ｉ’＝２［（ｉ＋１）／２］、　ｊ’＝２［（ｊ＋１）
／２］、　ｋ’＝２［（ｋ＋１）／２］。

ｉ”＝２ｉ＋１−ｉ’＋　ｊ”＝２ｊ”ｌ−ｊ’、ｋ”
＝２に＋１−に’であり、表２ケース＋生成可能なポリゴンなしなしなしなしなしなし三角形（１個）四角形（１個）三角形（１個）三角形（１個）三角形（１個）三角形（１個）三角形（１個）三角形（１個）三角形（４個）ケース７〜１３では、四面体が等関数値曲面を近似する
ポリゴンを含むと判断される。ポリゴンの各頂点は、四
面体の、その両端でのＦ−Ｃの符号が異なる辺上にあり
、その座標（ｘ、ｙ、ｚ）は辺の両端での関数値ｆｌ＝
ｆ　（ｘｉ、ｙｌ、ｚｌ）とｆ２＝ｆ　（ｘ２．ｙ２．
ｚ２）だけからｔ＝　（ｆ　１−Ｃ）／　（ｆ　１−ｆ
２＞ｘ＝ｘｌ＋ｔ　　（ｘ２−ｘｉ）ｙ＝ｙｌ＋ｔ　　（ｙ２−ｙｌ）ｚ＝ｚｌ＋ｔ　　（ｚ２−ｚｌ）　　　　　　　（２）
で求まる。

このように格子点を頂点とする直方体に空間領域を分割
し、直方体をさらに四面体に分割し、各四面体内で線形
補間を行うことによって得られたポリゴンは、自動的に
互いに接続し、等関数値曲面を近似する多面体を形成す
る。第６図にその概念を示す。

照度計算のためには、ポリゴン（三角形）の向き付けが
行なわれる。ここで、ポリゴン（三角形）の向き付けと
は、第７図に示すように、要素毎にポリゴン（三角形）
の辺を、ポリゴンの法線ベクトルに関して右回りを正と
して並べ替えることである。この向き付は処理は、スタ
ックを用いることにより高速に行うことができる。この
方法は、上記文献（ＩＩ）に詳しいので、ここでは説明
を省略する。

表示したい等関数値曲面の色（これは任意に定めてよい
）のデータと、計算された照度のデータと、ポリゴンの
幾何データを表示装置に送れば、そのポリゴンを表示す
ることが可能である。ポリゴンを表示するのに必要とさ
れる配列方向を、以下では単にポリゴン・データとも呼
ぶ。

第８図は、以上のような四面体格子法の処理の流れをま
とめたものである。

四面体格子法によれば、第２図に示すような複雑な形を
した曲面でも比較的容易に配列方向を生成することがで
きる。また、各格子点に予めスカラ値が与えられている
場合には、表示したい等高面のスカラ値を与えてやれば
、その面の関数形が判らなくても、配列方向の生成が可
能である。

Ｄ２．図形処理のｖ１要上述のように、四面体格子法では、空間が規則的に直方
体・四面体に分割され、四面体には高々一個のポリゴン
が含まれる。このような状況においては、視点及び注視
点の位置が決まり、したがって視線ベクトルが決まると
、第９図に示されるように、直方体及び四面体の、視点
から見た奥行順が簡単に決まる。そして、視点から見て
奥にあるポリゴンから順にポリゴンのデータを表示装置
に転送すれば、ポリゴンの奥行計算やソートを行わなく
ても自動的にポリゴンの奥行順に従った図形処理が行な
われる。なお、第９図で、数字は四面体に付される奥行
順の一例を示している。

従来は、四面体格子法で得られたポリゴンについても、
奥行ソート法やＺバッファ法を適用して図形処理を行っ
ていたので、上述の問題点を避けることができなかった
。本発明によれば、それらの問題点は解消される。

第１０〜１３図を参照して、直方体及び四面体の奥行順
決定プロセス及び隠面消去を説明する。理解を容易にす
るため、二次元空間で話を進める。今、空間は、第１Ｏ
図に示されるように、（三次元空間での直方体に相当す
る）長方形Ａ〜工に分割されている。長方形の一方の配
列方向は直交座標系のＸ軸と平行であり、他方の配列方
向は直交座標系のＹ軸と平行である。各長方形は、（三
次元空間での四面体に相当する〉二つの三角形に分割さ
れる。三角形相互の位置関係は、すべての長方形におい
て共通している。直交座標系の原点側の三角形をａとし
、反対側の三角形をｂとする。第１０図では、（三次元
空間で球に相当する）円を近似するポリゴンも示されて
いる。空間が二次元なので、ポリゴンは線分に相当する
。

この例では、長方形の配列方向の単位ベクトルは、Ｘ＝
　（１，０＞とＹ＝　（０，１）である。長方形の奥行
順は、視線ベクトルＶとベクトルＸの内積、及び視線ベ
クトルＶとベクトルＹの内積だけから求まる。表３及び
表４は、内積Ｖ−Ｘ、Ｖ・Ｙから直方体の奥行順を判定
する基準を示す。

表３Ｘ方向の奥行順Ｖ−Ｘ≧ＯＣ−＞ＡＶ−Ｘ＜ＯＡ−＞Ｃ表４Ｙ方向の奥行順Ｖ−Ｙ≧ＯＧ−＞ＡＶ−Ｙ＜ＯＡ−＞Ｇ土掻の表は、Ｖ−Ｘ＜Ｏのときには、長方形Ａ〜Ｃの中
で、Ａが最も奥でＣが最も手前にあり、長方形Ｄ−Ｆの
中で、Ｄが最も奥でＦが最も手前にあり、長方形Ｇ−Ｉ
の中で、Ｇが最も奥で■が最も手前にあることを示す。

第１１図は、視線ベクトルＶ＝　（−２，二ｌ）である
場合を示す。内積Ｖ−Ｘ＝−２＜０．Ｖ・Ｙ＝−１＜Ｏ
であるから、Ｘ方向の奥行順は、Ａ−＞Ｃであり、Ｙ方
向の奥行順は、Ａ−＞Ｇである。よって、第１１図に大
きな数字１〜９で示すような奥行順が与えられる。次に
、例えば長方形Ｅに着目し、その中に含まれる三角形ａ
とｂの重心の位置データを求めた後、重心と視点の距離
を求める。三角形ａの方が重心と視点間の距離が大きい
ので、三角形ａの方が三角形すより奥にあることが判る
。一の長方形内での三角形の奥行順は、すべての長方形
で共通する。それを、第１１図では、小さな数字で示し
ている。したがって、Ａ−ａ　　−Ｉ−ｂの順に、三角
形内でのポリゴンデータの生成を行ない、要素毎に順に
ポリゴン・データを表示装置に送れば、自動的に隠面消
去が行なわれる。すなわち、第ｔｔ図の例では、三角形
Ａ−ｂでポリゴン・データが最初に生成され、表示装置
に転送される。そして、三角形Ｉ−ａでポリゴン・デー
タが最後に生成され、表示装置に転送される。こうして
、視点から見て奥のポリゴンから順に表示される。尚、
長方形には、第１２図に示すような奥行順を与えてもよ
い。

第１３図は、視線ベクトルＶ＝　（２，−１）である場
合を示す。内’ａＶ−Ｘ＝２＞０．ｖ−Ｙ＝−１＜Ｏで
あるから、Ｘ方向の奥行順は、Ｃ−＞Ａであり、Ｙ方向
の奥行順は、Ａ−＞Ｇである。

よって、第１３図に大きな数字１〜９で示すような奥行
順が与えられる。次に、例えば長方形Ｅに着目し、その
中に含まれる三角形ａとｂの重心の位置データを求め、
重心と視点の距離を求めて比較することによって、三角
形すの方が三角形ａより奥にあることが判る。一の長方
形内での三角形の奥行順は、すべての長方形で共通する
。それを、第１３図では、小さな数字で示している。し
たがって、Ｃ−ｂ＝Ｇ−ａの順に、三角形内でのポリゴ
ンデータの生成を行ない、要素毎に順にポリゴン・デー
タを表示装置に送れば、自動的に隠面消去が行なわれる
。

Ｄ３．アルゴリズムの詳細本発明による図形処理を四面体格子法に適用して三次元
図形を生成・表示する一連のステップを、第１４図を参
照して説明する。

ステップ１００〜１０４は、既にＤｌで説明したとおり
に実行される。ステップ１０６では、視点と注視点の位
置データが適当な入力装置を介して与えられ、視線ベク
トル■のデータが生成される。

この計算は、次の式により行なわれる。

Ｖ＝Ｉ−Ｅここで、Ｅは、視点の世界座標（ｘｅ、ｙｅ。

ｚｅ）であり、■は、注視点の世界座標（ｘｉ。

ｙｉ＋　　ｚｉ）である。

そのほか、このステップでは、スクリーンのサイズを表
すデータも同時に指定する。

次に、ステップ１０８では、以下のサブ・ステップにし
たがって、直方体及び四面体の奥行順が決定される。な
お、直方体の配列方向ベクトル、すなわち格子軸ベクト
ルを、１．Ｊ、にで表すことにする（第３図参照）。ま
た、視線ベクトルをＶで表す。各直方体は、四面体Ｔ１
〜Ｔ５（第５図参照）に分割されるものとする。

ベクトルＩ、Ｊ、Ｋを正規化する。

サブ・ステップ２内積Ｖ−Ｉ、Ｖ−Ｊ、Ｖ−Ｋを計算する。

サブ・ステップ３内積Ｖ・Ｉ、Ｖ−Ｊ、Ｖ−にの符号から、直方体全処理
するための００文（ステップ１１２参照）のパラメタの
値を決定する。符合が負の場合、各インデックスは、１
から順に増加させ、正（またはＯ）の場合は、格子数か
ら順に減少させる（第１５図参照）。Ｆｏｒｔｒａｎ言
語風に記述すると、次のようになる。

サブ・ステップ１ｉｎｔｅｇｅｒ：４　　ｉｌ、　ｉ２．１ｄｅｃｒ。

ｊｌ、ｊ２．ｊｄｅｃｒ。

ｋｌ　、　ｋ２．　ｋｄｅｃｒ　：１ｆ（Ｖｌ＜０．０）　（ｉｌｌ：　　ｉ２＝Ｉｍａｘ
：１ｄｅｃｒ＝ｃ　）ｅｌｓｅ　　　　　（ｉｌｎｍａ
ｘ：　　１２＝１；　　１ｄｅｃｒ＝−Ｃ）汀ｆｆＪ＜
０．０）　ｆ　ｊ１＝１：　ｊ２＝Ｊｍａｘ：　ｊｄｅ
ｃｒ＝１：　）ｅｌｓｅ　　　　　（ｊｌ＝Ｊｍａｘ；
　ｊ２＝１：　ｊｄｅｃｒ−−Ｃ）汀（ＶＫ＜０．０）
　　（ｋｌ４：　　ｋ２４ｍａｘ：　　ｋｄｅｃｒ＝Ｃ
）ｅｌｓｅ　　　　　（ｋｌ＝Ｋｍａｘ；　ｋ２＝１；
　ｋｄｅｃｒ＝−１：）このように、本実施例では、直
方体の奥行順は、Ｄｏ文（ステップ１１２参照）のパラ
メタｉ１．　ｉ２．１ｄｅｃｒ、　ｊｌ、　ｊ２．　ｊ
ｄｅｃｒ、　ｋｌ、　ｋ２．　ｋｄｅｃｒのｆａで表さ
れる。例えば、Ｉｍａｘ＝Ｊｍａｘ＝Ｋｍａｘ＝１００
の場合、各直方体についてその奥行順の値を記憶するな
ら、４Ｍ（＝１００’：１００：’１００＊４）ｂｙｔ
ｅのメモリを必要とする。

これに対し、本実施例では、奥行順を記憶するのに必要
なメモリ量は、３６（＝９：４）ｂｙｔｅのみである。

サブ・ステップ４任意の一の直方体に着目して、当該直方体に含まれる四
面体Ｔ１〜Ｔ５の重心位置データを、上記直方体−四面
体リスト及び四面体−頂点リストを参照して生成する。

その後、重心毎に重心と視点の間の距離りを計算する。

距離りに基づいて、四面体下１〜Ｔ５の奥行順が決まる
。この順序は、すべての直方体内の四面体Ｔ１〜Ｔ５に
共通する。

サブ・ステップ３と４で、直方体と四面体の奥行順、し
たがって処理順が決定された。これらの順序は、視線ベ
クトル方向が変わらない限り、ステップ１１０でユーザ
が決定する、表示される画像の拡大率あるいは等関数値
曲面の定数Ｃが変わっても、繰り返し利用することがで
きる。

ステップ１１２では、以下に示すＤｏループにより、直
方体（ｉ、ｊ、ｋ）を選択する。

ｄｏ　１０　１＝ｉＬ　ｉ２＋　１ｄｅｃｒｄｏ　２０
　ｊ＝ｊ１．ｊ２．ｊｄｅｃｒｄｏ　３０　ｋ＝ｋ１．
　ｋ２．　ｋｄｅｃｒ直方体（ｉ、　ｊ、　ｋ）を処理
せよ。

３０　　　’　　　ｃｏｎｔｉｎｕｅ２０　　　ｃｏｎｔｉｎｕｅ１０　ｃｏｎｔｉｎｕｅ直方体（ｉ、　ｊ、　ｋ）の処理とは、ステップ１１４
〜１１８を実行することである。

ステップ１１４では、ステップ１０８のサブ・ステップ
４で決定された四面体奥行順にしたがって、四面体Ｔ１
〜Ｔ５が選択される。

ステップ１１６では、選択された四面体について、Ｄ、
１で述べたようにして、ポリゴンの幾何データの生成が
行なわれる。ステップ１１８では、０．１で述べたよう
にして、要素毎にポリゴンの照度計算が行なわれる。要
素毎にポリゴン−データは、順次表示装置に転送される
（ステップ１２０）。したがって、座標変換された幾何
データをメモリに保持する必要はない。ポリゴン・デー
タは、視点からの奥行順に表示装置に送られるので、自
動的に隠面消去が行なわれる。

透明な等関数値曲面を表示する場合は、フレーム・バッ
ファにさきに書き込まれている画素値に、データが後か
ら転送されてきたポリゴンの色を加算すればよい。

以上のアルゴリズムによれば、奥行計算を行わないで高
速にポリゴンの奥行順に従った図形処理を実行できる。

実際、シミュレーション結果の解析において、様々な不
透明あるいは半透明の等関数値曲面の表示を対話的に行
うことが多い。本アルゴリズムは、そのような用途に対
して、特に有効である。

Ｄ４．ハードウェアの構成例第１６図に基づいて、本発明による三次元図形表示シス
テムのハードウェアの構成例を説明する。

キーボード等の入力装置２０がら入力された視点と注視
点のデータに応じて、ホスト・コンピュータ２２でポリ
ゴン・データが生成される。要素毎にポリゴン・データ
は、高速バス２４を介して、表示装置２６に送られる。

表示装置２６では、スキャン・コンバージョン装置２８
により、直ちに世界座標系からスクリーン座標系への座
標変換が行なわれる。座標変換後のポリゴン・データは
、グラフィックス・デイスプレィ３２のためのフレーム
・バッファ３０に書き込まれる。フレーム−バッファ３
０は、ルック・アップ・テーブル方式であってもよいし
、２４ビツト（赤、緑、青各８ビット）のフル・カラ一
方式であってもよい。Ｚバッファは、本発明では必要な
い。

Ｄ５．他の実施例以上の例では、要素毎にポリゴン・データを記憶するこ
となしに表示装置に転送した。このようにポリゴン・デ
ータを一旦メモリに記憶しないでもポリゴンの奥行順に
従って図形処理を行えることは、メモリの節約につなが
る。もっとも、ポリゴン・データをそのポリゴンを含む
四面体と関連付けて記憶しておけば、視線ベクトルの変
更に応答して直方体及び四面体の奥行順を決定し、７そ
の順序にしたがってポリゴン・データを表示装置に転送
するだけで、ポリゴンの奥行順に従って処理された三次
元図形を表示することができる。

そのほか、本発明は次のような場合にも適用可能である
。

・格子軸が直交しておらず、したがって空間が直方体以
外の平行六面体に分割される場合（第１７図参照）・空間に分布する格子点の密度が一定でなく、したがっ
て、生成される直方体の大きさが一定でない場合（第１
８図参照）また、格子点の数が非常に大きい場合は、格子空間を小
空間に粗く分割し、小空間毎に本発明を適用することに
より、仮想メモリの小さな計算機でも、本発明を実施す
ることが可能になる。

また、視点が格子空間の中にある場合にも、本発明は適
用できる。但し、その場合は、第１９図に示されるよう
に、視線ベクトルに垂直で視点を含む平面Ｓによりクリ
ッピング処理したポリゴン・データのみが表示装置に転
送される。

もちろん、表示したい三次元図形の面を表す式（１）の
関数Ｆ又は定数Ｃが場所によって異なる場合にも、本発
明は適用できる。

また、三次元空間を、複数の要素に、一定の配列方向を
与えて仮想的に分割し、要素毎にポリゴンの配列方向を
生成する三次元図形表示方法であるならば、本発明は、
四面体格予洗以外の方法にも適用可能である。

Ｅ、効果本発明によれば、奥行順に従って処理されたポリゴンの
配列方向に基づいて、三次元図形を高速に表示すること
ができる。

【図面の簡単な説明】

第１図は、本発明の処理ステップの概要の説明図である
。第２図は、四面体格予洗以外の方法では表示しにくい面
の一例を示す図である。第３図は、空間の直方体への分割及び直方体の四面体へ
の分割を説明する図である。第４図は、直方体の六個の四面体への分割の説明図であ
る。第５図は、直方体の五個の四面体への分割の説明図であ
る。第６図は、四面体格子法によるポリゴンの形成の説明図
である。第７図は、四面体格子法の処理の流れ図である。第８図は、ポリゴンの向き付けの説明図である。第９図は、四面体格子法の空間分割ステップの説明図で
ある。第１Ｏ図乃至第１３図は、本発明による図形処理の概要
を説明するための図である。第１４図は、本発明を適用した四面体格子法を示す流れ
図である。第１５図は、四面体の奥行順決定ステップの説明図であ
る。第１６図は、本発明による三次元図形表示システムの一
例の説明図である。第１７図及び第１８図は、それぞれ空間の直方体への分
割の一例の説明図である。第１９図は、視点が格子空間の中にある場合の図形処理
の説明図である。

Claims

【特許請求の範囲】

（１）三次元空間を、複数の要素に、一定の配列方向を
与えて仮想的に分割し、要素毎にポリゴンの画像データ
を生成し、生成されたポリゴンの画像データに基づいて
三次元図形を表示する方法において、（ａ）視点と注視点の位置データを与え、視点と注視点
を結ぶ視線ベクトルのデータを生成するステップ、（ｂ）視線ベクトル・データと要素の配列方向のベクト
ル・データに基づいて、上記要素の奥行順を決定するス
テップ、（ｃ）上記要素の奥行順にしたがって、生成されたポリ
ゴンの画像データを表示装置に転送するステップを含む、三次元図形表示方法。
（２）三次元空間を、複数の要素に、一定の配列方向を
与えて仮想的に分割し、上記各要素を、２以上の等しい
数の副要素に仮想的に分割し、一の要素における副要素
相互の位置関係はすべての要素において共通にし、副要
素毎に高々一個のポリゴンの画像データを生成し、生成
されたポリゴンの画像データに基づいて三次元図形を表
示する方法において、（ａ）視点と注視点の位置データ
を与え、視点と注視点を結ぶ視線ベクトルのデータを生
成するステップ、（ｂ）視線ベクトル・データと要素の配列方向のベクト
ル・データに基づいて、上記要素の奥行順を決定するス
テップ、（ｃ）任意の一の要素に含まれる副要素と視点の位置デ
ータに基づき、すべての要素に共通する一の要素内での
副要素の奥行順を決定するステップ、（ｄ）上記要素の奥行順及び一の要素内の副要素の奥行
順にしたがって、生成されたポリゴンの画像データを表
示装置に転送するステップを含む、三次元図形表示方法。
（３）上記要素は直方体であり、上記副要素は直方体の頂点同士を結んで形成される四面
体である特許請求の範囲第２項記載の三次元図形表示方法。
（４）上記ステップ（ｂ）では、上記視線ベクトルと上
記要素の配列方向ベクトルの内積の値を計算し、その符
号に基づいて上記要素の奥行順を決定する特許請求の範囲第２項記載の三次元図形表示方法。
（５）上記ステップ（ｂ）では、上記要素の奥行順が、
ポリゴン・データ生成のため要素を選択するループの制
御文のパラメタの形で決定される特許請求の範囲第２項
記載の三次元図形表示方法。
（６）上記ステップ（ｃ）では、任意の一の要素内のす
べての副要素の代表点の位置データを生成し、すべての
代表点について視点との距離を計算し、この距離に基づ
いて上記副要素の奥行順を決定する特許請求の範囲第２項記載の三次元図形表示方法。
（７）上記代表点は副要素の重心である特許請求の範囲第６項記載の三次元図形表示方法。
（８）三次元空間を、複数の要素に、一定の配列方向を
与えて仮想的に分割し、要素毎にポリゴンの画像データ
を生成し、生成されたポリゴンの画像データに基づいて
ミ次元図形を表示するシステムにおいて、（ａ）与えられた視点と注視点の位置データに基づいて
、視点と注視点を結ぶ視線ベクトルのデータを生成する
手段、（ｂ）視線ベクトル・データと要素の配列方向のベクト
ル・データに基づいて、上記要素の奥行順を決定する手
段、（ｃ）上記要素の奥行順にしたがって、生成されたポリ
ゴンの画像データを表示装置に転送する手段を含む、三次元図形表示システム。
（９）三次元空間を、複数の要素に、一定の配列方向を
与えて仮想的に分割し、上記各要素を、２以上の等しい
数の副要素に仮想的に分割し、一の要素における副要素
相互の位置関係はすべての要素において共通にし、副要
素毎に高々一個のポリゴンの画像データを生成し、生成
されたポリゴンの画像データに基づいて三次元図形を表
示するシステムにおいて、（ａ）与えられた視点と注視点の位置データに基づいて
、視点と注視点を結ぶ視線ベクトルのデータを生成する
手段、（ｂ）視線ベクトル・データと要素の配列方向のベクト
ル・データに基づいて、上記要素の奥行順を決定する手
段、（ｃ）任意の一の要素に含まれる副要素と視点の位置デ
ータに基づき、すべての要素に共通する一の要素内での
副要素の奥行順を決定する手段、（ｄ）上記要素の奥行
順及び一の要素内の副要素の奥行順にしたがって、生成
されたポリゴンの画像データを表示装置に転送する手段を含む、三次元図形表示システム。
（１０）上記要素は直方体であり、上記副要素は直方体の頂点同士を結んで形成される四面
体である特許請求の範囲第９項記載の三次元図形表示システム。
（１１）上記手段（ｂ）は、上記視線ベクトルと上記要
素の配列方向ベクトルの内積の値を計算し、その符号に
基づいて上記要素の奥行順を決定する特許請求の範囲第
９項記載の三次元図形表示システム。
（１２）上記手段（ｂ）は、上記要素の奥行順を、ポリ
ゴン・データ生成のため要素を選択するループの制御文
のパラメタの形で決定する特許請求の範囲第９項記載の三次元図形表示システム。
（１３）上記手段（ｃ）は、任意の一の要素内のすべて
の副要素の代表点の位置データを生成し、すべての代表
点について視点との距離を計算し、この距離に基づいて
上記副要素の奥行順を決定する特許請求の範囲第９項記載の三次元図形表示システム。
（１４）上記代表点は副要素の重心である特許請求の範囲第１３項記載の三次元図形表示システム
。