JPH03171324A - オペランドの平方根を計算する回路及び方法 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】 〔産業界の利用分野〕 本発明は一般に電子デバイスを使い数学的機能を果す分
野に関する。ことに本発明は、長方形縦横比乗算回路を
使いシステムで平方根機能を果す方法及び装置に関する
。

〔発明の背景〕

演算装置は、任意の集積電子データ処理システムの最も
重要な部品の１つである。演算装置は、集積システムの
他の部分から転送されるオペランドに広範囲の種類の数
学的機能を果す。基本的な加算、減算及び乗算の機能は
今日演算装置で迅速有効に果される。しかし正確な平方
根機能を果す現用の技術は効率及び速度に関して十分な
満足は得られていない。

正確な平方根という用語は普通の書き方による平方根処
理により生ずる結果に相当する結果すなわち部分根に対
する正の値と負でない場合に最終の場所で厳密には部分
根プラス１単位の２倍より小さい（又は負の場合には根
マイナス１の２倍）「剰余」とを表わすのに使われ、無
限の精度で部分平方根及び剰余の和がオペランドに正確
に等しくなるようにする。

正確な平方根は有界誤差の近似平方根より一層有用な結
果を生ずる。正確な平方根はＩＢＢＥ−７５４−　１９
８５　　によυ規定されるような無限に精密な丸めの実
現の規準となる。さらに正確な平方根を構成する部分根
及び剰余は、もとのオペランドに関係なく正確な平方根
の引続く一層高い精度の決定を開始する出発点となる。

己れ等の特長はいずれも、有界ではあるが不確定の誤差
の近似平方根からは得られない。

正確な平方根を見出す１方法は普通の書き方の平方根法
の２進の変形である。この方法は、各反復が１ないし３
ビットの部分根だけにしか役立たなくてオペランドの精
度が増すに伴い多くの反復を必要とするという欠点があ
る。ｌ７かしこの方法は精密な丸めに適当な正確な平方
根を生ずる。

別の現用のシステムはニュートンーラフソン（Ｎｅｗｔ
ｏｎ−Ｒａｐｔ）ｓＣｐｎ）近似法を使う平１５根Ｌｔ
使用する。このシステムでは根の逆数の近似は、全精度
フォーマットで逆数に対する近似値を得るのに反復法を
使用して計算する。全精度逆数近似は次いで全精度オペ
ランドを乗じて根の全精度評価を得る。評価した根の不
確定誤差内への制限ブどけしか知られていない。Ｃの情
報は精密な丸めの実施には不適当である。距確な平方根
を得るには誤差の不確定性を第２の全精度乗算によって
除く。第２の全精度乗算ステップでは、近似根はこの根
南体を乗じ、正確な差はオペランド及び近似平方根の間
で計算する．らの情報はこの場合、剰余の回復を許容し
又は適当な精密な丸め手順を得或はこれ等の両方を行う
のに十分である。すなわちニュ・一トンーラフソンの正
確な平方根は、時間のかかる２回の全精度乗算を必要と
する。

従って、適当ｆＪ：．ｎ密な丸め手順に使うことができ
る１ｆ確な平方根が得られるが従来開発されたシステム
よりかかる時間が少なく又一層有効である平方根法を使
うシステムが必要になっている。

Ｌ発明の要約〕 本発明によれば、正確な平方根機能を果すのに使われる
従来の演算技術に伴う欠点及び問題を実質的Ｋなくし又
は減らす平方根の方法及びシステムが得られる。

本発明の平方根システムは先ず根の逆数の近似を定め、
バイアスして、これを打切り、長方形縦横比乗算回路の
短辺を実質的に満たすのに必要なヒ゛ット数に正確に等
しい以下短い逆数と称する。

平方根システムは次いで極めて大きい基数に対応ずる根
ディジット値を開発する。この大きい基数は長方形乗算
器の短い辺のビット数に実質的に等しい。短い逆数に必
要な精度は、この大きい基数内の】ディジットプラス適
当な保護ビットに限定される。重嬰なことは短い逆数の
誤差は、逆数値の誤差の限界がこの処理に対ｌ７て必項
なだけであるから不確定の筐−１．に残して、ニュート
ンーラフソンの正確な正方根法の時間のかかる特長をな
くす。各根ディジット値は、根の短い逆数に長方形乗算
器の剰余を乗じ結果を適当に打切るらとにより定める。

根ディジット値は対応する正確な剰余で逐次に定める。

この方法により定められる各根ディジット値は、新らた
な符号伺き刺余が定められる根ディジット値の最終の場
所内の１以下の値に対応する場合に、大きい基数システ
ム内の多くとも２つの可能な値の１つである。このよう
な符号付き剰余はこの場合ＩＥＥＩ号−７５４−１９８
５　Ｋよ９特定されるような精密な丸めの簡単な実施が
できるのに十分である。長方形乗算器のこの使用によｌ
】　引縛（全Ｍｌｆ垂算ステップを，Ｑ／、舒川，介い
〜本発明の重要な技術的利点は、本発明で長方形縦横比
乗算回路を使う点にある。長方形乗算器の使用による平
方根法の複数の位置で時間の節約になる。根ディジット
値を形成するのに使う各乗算ステップは短×長のはるか
に簡単な乗算である。

な釦重要なことには新らたな正確Δ剰余を生成するのに
必要な乗算及び引続く減算はすべて、長方形乗算器の単
一の適用Ｋｘ．つて行われる。根の逆数の初期評価は長
方形乗算器の短い方の辺の精度Ｋ概算するだけでよいの
でさらに時間の節約ができる。このよう（Ｆ−シて評価
の精度を全精度幅に拡大スルのに二一・一トンーラフノ
ン反復に必要な乗算ステップを節約すると共に、根近似
にお・ける不確定性を除くのに使われる引続く全精度乗
算が節約される。

〔実施例〕

実施例について図面を参照して説明すると、本発明の演
算装置は平方根機能を果す新規な方法を使う，この方法
は第１図フローチャ−１・に示してある。例示した方法
ｄ、長方形縦横比乗算器脊備えた演算装置で演算するよ
うにとくに例示してある。本発明演算装置は、たとえば
１９　Ｘ　６９ビットの縦横比を持つ長方形乗算器を備
えている。この乗算器は、４つのｌ７−ビット根ディジ
ットを生ずることにより６８ビット数の正確な平方根演
算を行うのに使う。非負数剰余を持つ所望の全精度６８
ビット部分根は本発明方法では、大きい基数２　を使う
４つの符号付き１７−ビットディジットから成るものと
見られる。

第１図に示した方法はオペランドｙの平方根を計算する
のに使う。オペランドｙは、κ＜ｙ＜１でありその指数
が偶数であるように正規化する。

平方根機能は、根の逆数を短い逆数｝｛，ｆ得るのにオ
ペランドの精度より低い精度に近似することによって生
ずる。根ディジット値ｄｉ　−ｑ逐次に定め累算して部
分根Ｄを生ずる，。剰余はレジスタ２内に生じ記憶する
。本方法は４９　ｘ　６９ビットの縦横比を持つ配列乗
算器に関して述べる。しかし本発明平方根法が広い範囲
の長方形縦横比乗算器に応用できるのはもちろんである
。本説明で述べる特定の長方形乗算器は、本発明のため
に選定した実施例であり本発明の範囲を限定するように
構成したものではない。

第１図に示すように本方法は、剰余レジスタ２にオペラ
ンドｙをロードし根レジスタを零にセットするステップ
（ｌＯ）で開始する。本方法ではオペランドは１より小
さくなるように正規化された６８ビット数であり、又６
９ビット．剰余レジスタ２の最上位ビットは２進基数点
の左方の唯一のビットであるから初めにはＯに等しいこ
とを前もって推定するのはもちろんである。本方法は次
いで、根の短い逆数Ｒを（Ｎ十ｋ）ビットの精度に定め
、るステップ（　１２　）　Ｋ進む。Ｎは、根ディジッ
ト．Ｋ協働する大きい基数内のビット数になるよう，Ｋ
定める。この場合Ｎ＝１７であり、ｋは制限された保護
ビット数である。たとえばｋはこの場合２に等しい。本
実施例によれば短い逆数Ｒは正確な逆数に１８ビット以
上の精度棟で近似する。短い逆数Ｒは真の逆数１／６−
に対しつねに大きいか又は等しい。

この場合真の逆数は１よシ大きく２より小さいか又は２
に等しい。近似ステップ（１２）は、第２図についてな
お詳しく述べるニュートンーラフソン近似法の変化を使
う。

第１の根ディジット値は、この場合剰余レジスタＺ内の
オペランドに短い逆数Ｒを乗じ少なくとも１つの先行零
を持つ積８８ビット幅を生ずることによりステップ（１
４）で計算する。短い逆数とオペランドとの積にはこの
場合ディジットバイアス調整因子δ１を加える。１９　
Ｘ　６９ビットの縦横比を、持つ乗算器を使う本発明の
１実施例では、δｌ　は、根ディジットを打切った最終
位置内でｌＫ対してｌの九に等しい。ディジットバイア
ス調整因子δ１、δ２、δ３、δ４　は、符号付き１７
−ビット根ディジット値を生成するように積の打切シか
ら生ずる誤差を相殺するように加える静的に生ずる補正
因子である。ディジットバイアス調整因子−δｉ　は、
計算される根ディジット値が正である、場合に初めて根
ディジット値を生成するように加えられ、第１のディジ
ット値が負になった後に根ディジット値を観察する。δ
ｉを加えるときのこの制限は、ディジット打切り誤差が
大きさ減らして、正の根ディジット値に対して根の値を
減らすように作用し又負の根ディジット値に対し根の値
を増すように作用することに基づく。互いに異なるディ
ジットバイアス調整因子は、第２、第３及び第４の根デ
ィジット値の計算とは対照的に第１の根ディジット値の
計算で選択的に加える。本実施例ではディジットバイア
ス調整因子δ２、δ３、δ４　はすべて打切Ｄｖｃ対し
最終の場所でμ単位に等しく、得られる根ディジット値
が正である場合だけ打切りに先光って第２、第３及び第
４の根ディジット値で加える。ステ゛ツプー（ｌ４）で
は第１根ディジット値及び短い逆数の後に各根ディジッ
ト値に対し右に１個所の位置にシフトした２レジスタの
積と適当なディジットバイアス調整因子δｉとの和は次
いで打切って単一の符号付き１７−ビット根ディジット
値を生成する。ディジットという用語は、この場合大き
い基数２　に関して使われ、そして正規化に関係なく２
　−１又はそれ以下の値を持つ任意の正又は負の整数値
に対応する。１９　Ｘ　６９ビットの長方形縦横比の場
合Ｋは６８−ビットオベランドの完全な６８−ビツ１・
根に対し４つの根ディジット値が必要である。すなわち
乗算器を通る４回のパスは４つの根ディジット値を生ず
るのに必要である。

本実施例Ｊｔ７１よって定められるｉ番目の符号伺き１
．７−ビット整数デイジツ１・は、対応ずる根ディジッ
ト値を特定する際に、最も左のビツ１・の左Ｋ２進基数
点ｌ７（＋−１）の位置を持つように取る。このことは
、無限Ｋ精密な根が凭く石＝く１の範囲内の値を持つこ
とに対応１〜、従ってｄ１−．１ｂ２１）３・・・ｂ，
７ｕ生成ずる第１の根ディジット値であり、ｄ２−±．
　００００００　００００００　０００００１）１８ｂ
，９ｂ２ｏ−ｂ３４は生成する第２の根ディジット値で
ある。

本方法はステップ（　１６　）　Ｋ進む。ステップ（１
６）では剰余レジスタｚ（ｒ’１次の根ディジット値の
計算を更新する。新たな２レジスタ値は、２レジスタか
ら｛（｝られる現在の剰余と、新たな根ディジット値と
部分根の２倍及び新たな根ディジット値の和Ｖコ等しい
協との積との間の差に等しい。

本方法はステップ（１８）に進む。ステップ（１８）で
は新たな部分根をｉ　＝　ｌ、２、３、４に対し累算す
る。このようにして各根ディジット値を定めると、初め
に零の部分根Ｄは１７以上の精度ビットまで累積され記
憶する。

本方法は次いでステップ（　１４　）　Ｋ戻る。ステッ
プ（】４）では次の根デ珂ジット値は、新たな剰余の半
分ど短い逆数との積を取り、デイジツ１・バイアス調整
因子を条件付きで加え打切るこどによって生ずる。この
ようにして根ディジット値は中間の部分根及び正確な剰
余と共に逐次に生ずる。この処理の終りに全精度部分根
の正確な剰余は別の処理に利用できる。部分根及び剰余
の対は剰余が正又は負のいずれかであるらとによってこ
の点では独得のものではないが、精密な丸めｌＩ′ｊ：
適当な条件付き丸め論理装置によりこの点で行うことが
できる。本実施例によれば補正ステップは条件付き丸め
論理装置の必要をなくすように行う。

本発明の１実施例の１９　Ｘ　６９ビット長方形乗算器
を使うと、平方根法は：、全精度平方根機能を完了する
のに４つの根ディジット値の発生を必要とする。各根デ
ィジットは、それぞれステップ（１４）及びステップ（
　１６　）　Ｋ対応する複合の乗算及び加算ステップと
複合の乗算及び減算ステップとを必要とする。

第３図Ｋついてなト詳しく述べる本発明の長方形乗算器
の重要な利点は、らの乗算器が又付加的な加算器ポート
を備えることである。この付加的加ＬＴ　Ｗ．ｉポート
により、長方形乗算器を通る１回のバスで若干の乗算及
び加算を行うことができるようにする。従って１７　Ｘ
　６！ｌ）ビット積及び差を及協するステップ（ｌ６）
で示した演算並びに所定の定数の加算ど共に若干の１９
　Ｘ　６９又は若干の２０　Ｘ　６９ビット積金含むス
テップ（１４）で示した演算はそれぞれ長方形乗算器を
通る単一のパスで行うことができる。

部分根及．び剰余の対は、第１図のステップ（２０）に
より例示した補正順序を経て部分根及び剰余を通すこと
により独｛ｌに行われる。ステップ（１２）で逆数の評
価で行われるステップによって、補正順序自体はかなり
簡単である。この実施例では最一６８ 終剰余は、２　　と最終場所における最終部分根プラス
１の２倍との積に等しい正の量より小さく又２−６８と
最終場所における最終部分根マイナス１の２倍との積に
等しい負の量より大きくなければならない。剰余が負で
あれば、剰余の再計算では最終場所における最終部分根
マイナス１の２倍に等ｌ７い適当にシフトした量を剰余
に加算する。次いで最終部分根を最終場所で１だけ減ら
す。この簡単な補正順序は、ステップ（１２）で生ずる
逆数の近似を、短い逆数が剰余を乗じたときに根ディジ
ット値を生ずるようにして生ずるので可能である。これ
等の根ディジット値はつねに部分根に対する正確な打切
り値又は打切られた根ディジット値の最終場所では大き
すぎる１のいずれかである。近似はこれ等の２つの可能
な結果に注意深く制限するので正確な平方根機能が実施
される。その理由は任意の平方根演算の得られる部分根
及び剰余は前記した簡単な補正順序は非負の剰余と共に
独得の全精度部分根を生ずるような値であるからである
。非零剰余が正の値により独得の根を生じさせなければ
ならないと仮定するのは前記の教示の便宜な点である。

独得の根は又負の剰余を絶えず強制することによっても
生ずる。独特の部分根及び剰余の対は正確な平方根機能
の結果と考えられる。

前記した短い逆数値を計算するのに使うニュート／−ラ
フソ／評価法の新規な変化を第２図のフローチャートに
示してある。この方法はステップ（２２）で開始する。

ステップ（２２）ではオペランドｙの平方根の逆数に近
似的に等しい逆数シード値ｙ′を見出すのにルックアッ
プテーブルを使ウ。

この方法で逆数シード値ｙ′を浮動小数点フォーマット
に正規化されｙ′が１より大きいかＩＫ等しく又２より
小さくそしてｙ′は長方形縦横比乗算器の小さい方の寸
法より小さ〈又はこの寸法に等しいビット数を持つよう
にすることを前もって推定するのはもちろんである。前
記したようにルックアップテーブルはこのテーブルの寸
法の制限によって少数のビットが得られるだけである。

すなはちｙ′はシード値として使われ、近似値内の正確
なビットの数は反復法によって増す。この実施例ではシ
ード値ｙ′は、逆数バイアス調整因子の加算に先だって
２　より小さい絶対誤差で近似逆数を生ずるのに十分な
精度を持つように選定する。

この方法はステップ（２４）に進む。ステップ（２４）
では、反復処理の第１のステップはＹを計算するのに使
う。ｙ′は、第１の結果をｙ及びｙ′の積として計算す
ることによって計算する。第１の結果は、６９ビットに
打切り、ｙ’／を乗じ、占か２ ら減算して第２の結果を生成する。第２の結果は６９ビ
ットに打切りｙ′を乗じて第３の結果を生成する。第３
の結果は６９ビットＫ打切ｂｙ“に対する値が得られる
ようにする。この方法は次セでステップ（２６）に進む
。ステップ（２６）では近似逆数値ｙ″′の計算が図示
のようにニュートンーラフソン近似式の付加的反復によ
う同様に計算され、７′に対して乗算器の短い方の辺に
利用するために１７ビットに打切ったＹの前回に計算し
た値を使う。ｙ′又は７′は、異なる寸法の乗算器を短
い逆数Ｒに一層少数の正確なビットを必要とする本発明
の異なる実施例に使う場合に近似逆数値として使うこと
ができるのはもちろんである。この方法はステップ（２
８）で終了する。ステップ（２８）では短い逆数の最終
値は近似の逆数値ｙ″′の値を逆数バイアス調整因子ε
（エプシロン）に加え結果を適当に打切ることにより得
られる。εは根ディジット値の基数に従って静的に生ず
る量である。εは２つの項の和に等しい。第１の項は２
−（Ｎ＋ｋ−１）Ｋ等しい。この式で前記したようにＮ
は根ディジット値の基数のビット数に等しく、ｋは前も
って定めた保護ビットの数である。第２の項はニュート
ンーラフノン近似の結果を真の逆数より大きくなるよう
にバイアスするのに十分なだけ大きくなるように定める
。しかし第２項は又根ディジット値を１４に決定すると
定められた根ディジット値の最終場所Ｋ１以下に対応す
る剰余を生ずるように十分小さくなければならない。１
９　Ｘ　６９ビットの縦横比を持つ乗算器配列を使う本
発明の１実施例では、εは近似逆数のＮ番目の場所で１
の１７７ｆ，４Ｋ等しい。

この近似逆数は本実施例でＮ＝１７、ｋ＝２及び１ζｙ
″′＜２とすると２−１８＋２−２２に等しい。打切シ
によう得られる短い逆数Ｒは、１（Ｒ（２の範囲内で１
９ビット値か又はＲ　＝　１０．００・・・Ｏｋ１８に
より与えられる加ビット値である。この加ビット値はこ
の場合第１図に例示した方法に使われ部分根及び剰余を
生ずることができる。この部分根及び剰余は、第１図の
ステップ（　２０　）　Ｋ関して前記した簡単な補正法
により独特の正確な結果を生ずることができる。

ニュートンラ７ソ／の式の各反復は、長方形縦横比乗算
器が付加的な加算器ポートを含む場合に長方形縦横比乗
算器を通る３回のパスを必要とするだけである。第１の
パスは積ｙ−ｙ’を生成する。

第２のパスは積及び差（３／２）−（ｙ／２）・（ｙ−
ｙりを生或．する。第３のパスは、ｙ′・（　（　３／
２　）−　（　ｙＶｚ　）・（ｙ−ｙつ｝を生成するこ
とによう反復を完了する。前記したように付加的加算器
ボートを設けてあるので第２項（　３／２　）−　（　
ｙ／２）・（ｙ−ｙ’）は長方形乗算器を通る単一のパ
スで計算する。これ等の逐次の乗算の結果は、２３ ２　内の１部よう小さい誤差に対し正確な逆数の近似を
必要とするだけであるから長方形乗算器の長辺の長さに
それぞれ打切る。

本発明の平方根機能を果す方法が短い逆数Ｒ・を計算す
るのに使う特定の方法には佑存しないのはもちろんであ
る。ニュ・一トンーラフソン法の前記した変化はこの値
を発牛する枦Ｋ１つの可能な方法である。たどえば近似
逆数値を生ずるのに単一の反復又は２回以上の反復を使
うニュ・一トン一ラフソン近似法の変化は、それぞれこ
の実施例より一層少ない又は一層多い正確度ビツｌ−を
持ク短い逆数を必要とした乗算器を使うンステムで適当
である。さらに本発明の１実施例が短い逆数に一層小さ
い偶数の正確ビットを必要とする場合に逆数バイアス調
整因子の加算１尾先だって近似逆数値の直接テ・−ブル
ルックアップ又はバイアス調整因子を前屯って含む短い
逆数の直接テーブルルックアップが実際的である。第２
図について述べｌｒ−力法は本発明の説明のフコめに述
べたものであり、短い逆数Ｒ・を生ずるこの方法又は任
意特定の方法に本発明の範囲を限定するものではない。

第３図は本発明の正方根機能を果す方法を行うことので
きる１つの回路例のブロック図である。

第３図では回路（３ｏ）は、マイク口ブロセッザ（図示
してない）と回路（３０）を備えた算術演算コブロセツ
ザとの間を通じさぜるシステムバス（３２）を使う。シ
ステムバス（３２）は、たとえばマイクロブロセツザか
らのデ・一夕回線、アドレス回線及び制御回線を備えて
いる。システムバス（　３２　）　ＫはＤラッヂ（３４
）、ディジットラッチ（３６）、逆数ラッチ（３３）及
びＥラッチ（３８）を結合してある。一般にＤラツチ（
３４）、逆数ラッチ（３３）及びディジットラッチ（３
６）は、マイク口プロセッサカラオペランドを受け、こ
れ等のオペランド金算術演算に使えるよう｛尾記憶し、
Ｅラッチ（３８）は演算の出力を記憶するように作用す
る。

逆数ラッチ（３３）はシステムバス（３２）から１９ビ
ットを受け１８の低次ビットをマルチプレクザ（４４）
に出力する。先行ビツｌ・は，フィードバックレジスタ
（５４）と加算器（４８）への入力との間に結合された
シフタ（　５２　）　ｖｃ出力する。ディジッｌ・ラッ
チ（３６）は、システムバス（３２）から１７ビツ１・
を受けこれ等の１７ビツ１・をマルチプレクザ（　４４
　）　＋で又マルチブレクザ（３５）に出力する。マル
チブｌ／クサ（３５）の出力は３条の各別のデータ径路
を経て加痒器（　３７　）　Ｋ結合してある．，Ｄラツ
チ（３４）！ｄシステムバス（　３２　）から６９ビッ
トを受け６９ビットをｌＪ［］算器（３７）に出力する
。加算器（３７）の出力ｔｒｉマルチプレクザ（４０）
に入力する。

含ま′ｉｌ−る量の符号に関連する作用は背景ｉ１；ｌ
御により又は全部のビットを冗長２進の実施の符号付き
ビットになるように取ることにより取扱うものと仮定す
る。

マルチプレクザ（３５）ｉｄデイジソトランチ（３６）
Ｖこ記憶さ７ｔたディジットを加算５　（　３７　）に
人力しディジットを３つの各別の群のビツｌ・位置に適
当に位置合せする，，マルチプ１／クザ（４０）への残
りの人力はフィードバックレジスタ（５４）の出力に結
合され、マルチブ１／クザ（４０）の出力は乗算器配列
（４２）の長辺に人力する。

乗算米配列（４２）はメ川算器配列のトリーを備え゛Ｃ
いる。演算回路（３０）を使い単一の短×長の乗算を完
了するように、被乗数はＤラツチ（　３４　）　Ｋロー
ドされ、乗数はディジットラッチ（３６）又は逆数ラッ
チにロードする。乗数は、１８ビットから成丞「短い」
オペランドを備える。被乗数は、６９ビットから成る「
長い」オペランドを備える。被乗数は、第１のマルチプ
レクザ（４０）を通り乗算器配列（４２）に人力する。

１８ビットの乗数は第２のマＡ・チプレクサ（４４）か
ら乗算器配列（４２）の短い辺に入力する。乗算器配列
の出力は８７ビットの幅を持ち１つの入力を第１の加Ｘ
ｉ（４６）に生成する。短×長の乗算がこの１８ビット
幅を越えて延びるように、第１加算器（４６）の第２ポ
ートは、前記した乗算器のイ」加的加算器ポートとして
作用する。第１加算器（４６）の第２ボートは第２の加
算器（４８）の出力に結合してある。加算器（４８）は
その人力を定数ポー｝（，５Ｏ）とフィードバックレジ
スタ（５４）の出力とから受ける。フィードバックレジ
スタ（５４）の出力の６９ビットは又第１マルチプレク
サ（４０）の第２の入カポー１−Ｋ結合され、第２マル
チプレクサ（４４）と共にフィードバックレジスタ（５
４）の１８　Ｘ　６９ビットの積をふたたびフィードバ
ックレジスタ（５４）の内容に条件付きで加算し、シッ
ク（５２）を通し第１加算２％　（　４６　）の出力に
１９　Ｘ　６９ビットの全積を生ずる。

オペランドの平方根が半分に等しいか又はこれに近いと
きは、短い逆数は２に等しいか又は２よりわずかに大き
い。このようにして１９ビットの短い逆数をこの方法の
正規化であふれさせ最上位ビット位置にＯを残す。この
条件は最上位ビット位置を調べることにより検出されシ
フタ（５２）を１だけ左にシフトさせる。この場合フ・
イードバツクレジスタ（５４）の内容を２倍して加える
効果を持ちこれ等の特定の２０　Ｘ　６９ビットの乗数
を適正に取扱うことができる。

加算器（４６）の重要な技術的利点は、オーバフローを
検出し得られる和を飽和することができることである。

根ディジット値の計算中に、短い逆数と剰余との積がオ
ーバフ口一を生じ２１７　　１より大きい大きさを持つ
ディジットを指示する。従つて加算器（４６）の飽和の
機能により、加算器（４６）の含１れる２進基数点の右
に２１７　　１のデイジタト負の剰余に対応する全部で
８６の出力ビットに１に対応する最大和を送るように動
作できる。

第１の加算器（４６）の出力は第１７フタ（５５）の人
力に結合してある。第１シフタ（５５）は第１加算器（
４６）の出力を１個所だけ右又は左にシフトするように
動作する。このシフト動作を使い、データ径路内で流れ
る最大数の有効データビットを保持し、第１図のステッ
プ（４）Ｋついて述べたように位置合せにより剰余に半
分を乗ずる。

第１シック（５５）の出力は結果レジスタ（５６）に人
力する。結果レジスタ（５６）の出力は２個所の各別の
場所に送る。出力は先ず、結果レジスタ（５６）とフィ
ードバックレジスタ（５４）への入力との間に結合した
第２のジフタ（　５８　）　Ｋ送る。この出力はレジス
タ（５４）から引続いて別の計算のために乗算器配列（
４２）又は加算器（４８）又は加算器（　４６　）　Ｋ
戻される。シフタ（５８）を使いデータ径路内の値を左
に１７ビットだけシフトする。シフタ（５８）を使い、
既知の値を持つビットを外にシフトすることによりデー
タ径路内にできるだけ多くの有効データビットをふたた
び保持する。本発明方法の特長により、後続の剰余を生
ずる減算ステップの結果の初期１７ビットはつねに０で
ある。

このことは、この減算ステップのオペランドの初期ビッ
トがつねに相殺することによる。これ等００ビットは従
って左にシフトして出され１７の付加的有効データビッ
トをデータ径路内に留１らせる。

結果レジスタ（５６）の出力は、前記したようにシステ
ムバス（　３２　）　Ｋ結合したＥラツチ（３８）Ｋ入
力する。システムバス（３２）ぱ又累算回路（７０）は
、システムバス（３２）にポートの一方を結合した加算
器（７２）を備えている。加算器（７２）の残りのポー
トはシフタ（７４）に結合してある。加算器（７２）の
出力は、シフタ（７４）の人力にも結合した根レジスタ
（７６）Ｋ入力する。根レジスタ（７６）の出力は又シ
ステムバス（３２）に結合してある。

この結線は、データ径路に送給する。このデータ径路シ
こより部分根を、第１図に示したステップ（ｌ６）につ
いて述べたように後続の剰令の計算、のためにＤラツチ
（３４）に戻す。

前記したように本発明の新規な平方根法を行うのに使う
基本演算は乗算演算である。しかし互いに異なる種類の
乗算演算を識別することが大切である。平方根機能を果
す従来の方法は、根の逆数の全長、全精度の近似を計算
し次いで全精度の「長×長」の乗算を行った。次いで付
加的な全精度乗算を使い結果を補正した。本発明平方根
法は全精度乗算を必要と１，ない。本方法に必要な乗算
演算ははるかに簡単で迅速な「短×長」乗算である。

本発明の平方根機能を果す方法は訃そらく、普通の書き
方による平方根法と協働して調べると明らかになる。こ
れ等の２通りの方法は、比較的よく知られている底１０
で平方根を計算する例を使えば極めて容易に比較される
。

第４ａ図は普通の書き方の平方根法を行うのに必要なス
テップを表の形で示す。第４ｂ図は２の平方根を計算す
るのに使う普通の書き方の方法を示す。又第４Ｃ図は２
００平方根を計算するのに使う普通の書き方の力法を示
す１、己れ等の両例は底１０でｊ１算する。

第４ａ図Ｋ　＄−いてステップ（１）は引き数をディジ
ット対に分類する仁どを必要とする。この点では１０進
小数点がＬ対のデイジツ１・内をてあってはならないこ
とに留意ｆ″ることが大切である。引き数の指数に関連
しなければならないことを知ることが大切である。この
ことは２の平方根が２０の千フｊ根と同じイ■効ディジ
ットを含まない点で次の例に明らかである。ステップ（
２）では根の第１ディジットは、第１ディジット対より
小さいか又（・まらの対に等１〜い最大の完全自乗を再
現しこの完全自乗の根を第１のデイ・ジットとして使う
ことによって生ずる。図示の例では２より小さい又１ｄ
２に１しい最大の完全自乗は１であり、従って２の平！
ｉ根の第１の根ディジット＆ｉ１である。２０より小さ
い最大完全白乗は１６であり、従って２０の根の第１デ
ィジットは４である。

ベテツプ（３）では剰余Ｆｉ．Ｚ１ディジット対及ひ自
乗した第１根ディジットの間の差ε１７て計算する。ス
テップ（４）では次のデイジソト対新らたな剰余を生成
するようにする。剰余及び新た女剰余は共にこれ等の制
限１，か数のデイジツ１・により規正され、もどのオペ
ランドの後続のディジット金ザイクルととｖｃ１つの新
′Ｐｒ′．なディジット対の割合で計ｎに入れろ。２の
平方根の例では新たな剰余ｕ　ｔｏｏであり、２０の平
方根の例では新たな剰余は図示のようＫ　４００である
。ステップ（５０では試行除数は２×底×部分根（て等
しいど計算される。

２の平方根の例では第１の試行除数は２０に等しい。

加の平方根の例では第１の試行除数は８０に等しい。

ステップ（５４）では次の根ディジットは新らたな非零
剰余を試行除数により割り商を切り上げ１を引くことｒ
よって計算する３，新らたな剰余が零であれば次の根デ
ィジットは零にセツ１・する。２の平方根の例と斧の平
方根の例では共に、次の根ディジットは図示のように４
になるように計算し２に対しては１．４又２０Ｋ対して
は４．４の部分根を生ずる。ステップ（６）では次の剰
余を計算する。

次の剰余は次の根ディジットと試行除数及び次の？ディ
ジットの和との積Ｋ等しい。２例の平方根で次の剰余は
４に等（７くなるように計算する。加の平方根の例では
次の剰余を６４になるように計算する。この点で次の剰
余は負である。ステップ（５ｂ）の計算は適当な次のデ
ィジットを必ずしも確認しないことは普通の書き方の平
方根の特長である。この場合次のディジットの現行の推
定は１だけ減少しステップ（６）を反復する。

この方法は次いでステップ（４）に戻り、ステップ（４
）で次のディジット対を新た■剰余を生或ずるようにす
る。普通の＠色方の方法は次いで無期限に進み所望通り
の数の平方根ディジットを生ずることができる，ｍＡａ
図に例示した例から明らかなように普通の書きブｊの平
方根法は、根の各ディジットを生ずるのに多数の複雑な
算術演算を必嬰とす．る。＠根ディジットの発生に必要
な反復ステップは、少なくとも１つの乗算演算と１つの
除算演算と若干の伺加的なシフト演算及び加算演算とに
より算術プロセッサの時間を占める。

第４ｂ図では普通の書き方の力法１ｄ２の平方根を計算
するのに使う。左側の欄では、前回のディジットの２倍
と計算しようとする最後のディジット（ア／ダーライン
してある）との和を示１７てある。零として取ったなお
定めようとする最終のディジット（アンダーラインして
ある）を持つらの項は、第４ａ図でステップ（５）ｖｃ
ついて述べた試行除数を構成する。ステップ（ｓｂ）に
おける除算を試行除数に最終のディジットを加えるのに
先立って行わなければならないことは、負の剰余がステ
ップ（６）で生じ根ディジットの減少とステップ（６）
の角計算とを生じさせる。

第４Ｃ図は正の剰余で９ディジットの精度を持つ部分根
に対１−２０の平方根を計算するのに使う普通の書き方
の平方根法を示す。

本発明により正確な平方根機能を果す方法の底１０の例
を第５図に例示（一である．，第５國は第１図に示した
フローチャートにより例示した方法を使い０．２の平方
根の計算を示す。第５図に示した例は底１００の大きい
基数ディジットを使う。オペランドの大きい基数ディジ
ット自体は各ディジット対に分類する。各群はこの場合
４個所の１０進場所を持つ。初めＫ２の平方根の逆数は
７．０８　　Ｋ等しくなるように近似させる。このこと
は前記した短い逆数の計算に対応する。根の初期ディジ
ットは、オペランド２に７．０８　　を乗ずることによ
り計算し、０．１４１６を生じ、次いで小さいディジッ
トバイアス調整因子を加え、打切りにより第１の根ディ
ジット値として．１４を生ずる。この第１の根ディジッ
ト値は自乗し初期オペランドかな差引き新たな剰余．０
００４を生ずる。第５図の逐次の剰余は、第３図のシッ
ク（５８）について述べたようにデータ径路内に一層多
くのディジットを保持するよウＩ／Ｃ　ｚレジスタ内で
左にシフトしたときに剰余がどのようにして現われるか
を例示するようにさらに２つの先行零に対応する基数点
により各サイクルを削除して示してある。半分のこの剰
余は次いで短い逆数を乗じ、ディジットバイアス調整因
子を加え次いで打切りにより．００１４　Ｋ等しい次の
根ディジット値を生ずる。この根ディジット値を次いで
前回の部分根の２倍に加え和．２８１４を生ずる。根デ
ィジット値．００１４を次いで和．２８１４に乗じ．０
００３９３９６を生ずる。この積は次いで．０００００
６０４　Ｋ等しい次の剰余を生ずる。この処理は、それ
ぞれ．００００２１及び．００００００３６　Ｋ等しい
最終の２つの根ディジット値の発生のために継続する。

この処理は部分根．１４１４２１３６と対応する負の剰
余一．００００　００００　１０６４２４９６　　とで
終了する。負の剰余は、最終場所において部分根マイナ
ス１の２倍の和に１０　　を乗ずることにより与えられ
る量を加えることにより第５図に例示してないステップ
により正にして、減少した最終部分根．１４１４２１３
５　Ｋ対応する最終剰余．ｏｏｏｏ００００　１７６４
　１７７５を生ずる。

第５図の例は、それそれ単一の短×長乗算ステップを使
うことによう根ディジット値は逐次に生じ対応する新た
な正確な剰余を定めることを例示する。本方法は、被乗
数として前回の部分根プラス新たな根ディジット値の，
２倍の累算を必要とする。短い逆数は、各機ディジット
値の計算に追従する剰余が前回の根ディジット値の最終
場所で１以下に大きさが対応するように計算する。

第５図に示した底１０の例により例示した方法は第３図
に示した回路に直接応用できる。第３図に示した回路の
唯一の違いは２進符号付きディジットフォーマットでオ
ペランドを利用することである。さらに第３図に示した
回路により生ずる根ディジットのディジット長は長さ１
７ビットである。

これぱ２　　＝１３１．０７２の基数に対応する。

回路（３０）を使う本発明の平方根法を行うには、逆数
の近似を前記したように生じ逆数ラッチ（３３）に記憶
する。オペランドは、これを変えないで、システムバス
（３２）から回路（３０）を経て通すことによりフィー
ドバックレジスタ（５４）にロードする。すなわちフィ
ードバックレジスタ（５４）は第１図について述べた２
レジスタとして作用する。

第１の根ディジット値を生ずるにはオペランドを乗算器
（　４０　）　Ｋよりフィードバックレジスタ（５４）
から選定し短い逆数を乗ずる。１８低次ビットの短い逆
数をマルチプレクサ（４４）を経て乗算器配列（　４２
　）　Ｋロードし、積を加算器（４６）の一方のボート
ニ人力する。オペランドは又シフタ（５２）に送り短い
逆数の先行ビットにより乗算を行い加算器（４８）への
一方の人力ポートに結果を生ずる。

加算器（４８）の他方の人力ポートは定数ポー｝　｛５
０）からディジットバイアス調整因子δ１を受ける。

加算器（４８）からの和出力は加算器（４６）で乗算器
（４２）からの積に加え結果をシフタ（５５）Ｋ出力す
る。この結果の１７の最上位ビットは第１の根ディジッ
ト値を構成する。第１根ディジット値は次いでディジッ
トラッチ（３６）及びＤ−ラッチ（３４）にロードする
。

第１剰余は、先ず第１根ディジット値を自乗することに
よって計算する。このことは、第１根ディジット値を乗
算器配列（４２）の長辺にロードすることによって行わ
れる。このロードは、第１根ディジット値をＤ−ラッチ
（３４）から加算器（３７）及びマルチプレクサ（４０
）を経て送ることにょυ行われる。マルチプレクサ（３
５）は加算器（３７）に零を出力して、第１の根ディジ
ット値はこれが加算器（３７）を通過する間は変えない
ようにする。

第ｌ根ディジット値は又ディジットラッチ（３６）から
マルチブレクザ（４４）を経てｇ算器配列（４２）の短
い，７Ｊ　Ｖｒ．ｏ−ドずる。次いで乗算器配列（４２
）は第１枳ディジット値を白乗する。オペランドはフィ
ードバックｌ／ジスタ（５４）から第２加算器ｃ４８＞
−ｉｔ−経て第１加算器（　４６　）　Ｋ送る。加算器
（４Ｇ）では、第１根デ４ジツ１・値の自乗を減算する
。第１加算器（　４ｆｉ　）　Ｋよる差出力は、シック
（５５）で右に１個所シフトし結果レジスタ（５６）に
送り新たな剰余の半分を構戒する。この新たな剰余は次
いで第３シック（５８）で左１７ビットにシフトする。

前記したように剰余の第１のｌ７ビットは、すべて零で
あり、これは減算演算のオベラン．ドの初期ビットが相
殺するらとによる。シフトした剰余は次いでフィードバ
ックレジスタ（５４）に口−ドされ次の根ディジット値
の計算カできる。レジスタ（５４）にロードされる実際
のｉｌ′は、ステップ（　１４　）　Ｋおける次の根デ
ィジット値計算に備えてシフタ（　５．５　＞による位
置合せに基づき剰余の半分に等しい。根レジスタ（７６
）からの結果はこの場合、１ごットだけ位置合せしたＤ
−ラッチ（３４）に送り利用できる部分根の２倍に等し
い量をステップ（ＩＧ）の引続＜ｉ復で新たな剰余の計
算のために加算器（　３７　）　Ｉ／ｌ’：送る。

後続の各枳ディジット値は、マルチプレクザ（４４）を
経て乗算肪配列（　４２　）　Ｋ　Ｄ−ドする短い逆数
を乗ずることによって計算し、短い逆数先行ビットを剰
余の半分によりシフタ（　５２　）　ＶＣ人力する。こ
の剰余はフイ・−ドバツクレジスタ（　５４　）　ＶＣ
存在しシック（５２）Ｋ又マルチブレクザ（　４Ｏ　’
）　ｔ経て乗算器配列（４２）の長現に口・一ドする。

ディジットバイアス調整因子ａ２、δ３、δ４は、定数
ポーｔ−　（５０）から人力され加算器（４８）の積の
先行部分Ｋ粂件｛ｔ　！で加算し、その結果は加算器（
４６）の乗算器配列（４２）の出力に加える。

とくに第２の根ディジット値割算のためにδ２は、結果
を打切る最終場所でμに等し〈１７ビットへの打切９の
結果として導入される誤差ｆ．軽減するように加算する
。積が正の場合はこの積及びδ２　の和の１７の最上位
ビット又は積が負の場合は単にこの積の１７の最上位ビ
ットハ第２の根ディジット値を形成する。各ディジット
を生ずると、６のディジットはディジットラッチ（　３
６　）　ｖｃ又累算５（７０）Ｋｒｙ−ドする。累算器
（７０）では各ディジットは、部分根がシフタ（７４）
で左１７個所にシフトされた後加ｎ器（７２）で部分根
に加算する。らの部分根は、次いで根レジスタ（７６）
Ｋロードするが、次の剰余計算に前回の部分根値を使わ
なければならないのでこのときＶｒ．はＤ−ラッチ（３
４）Ｋ送らない。すなわち次の剰余は、ディジットラッ
チ（３Ｇ）に記憶された新たなディジット値′ｆ：Ｄ−
ラッチ（３４）から加算器（　３７　）　Ｋ利用できる
先行部分根の２倍に等しい量に加算する巴とにより計算
することができる。マルチプレクサ（３５）は、計算さ
れる第２、第３又は第４のディジットの一ずれであるか
に従ってディジットの位置合せを処理する。加算器（３
７）は部分根からのボローに適応する必要がある。この
ボローは、ディジットラッチ（３６）にロードされるデ
ィジットが負数の場合に生ずる。

加算Ｄ　（　３７　）から出力されるｉｔ　（　２Ｄ＋
ｄＩ）　　は乗算器配列（４２）の長辺（（人力され、
ディジットｄｉ　　は乗算６　（　４４　）を経て乗算
器配列（４２）の短辺に送る。フィードバック１／ジス
タ（５４）内に存在する剰余の半分の値ｈシフタ（５２
）で倍にし加算器（４６）への人力として剰余を生ずる
。従って乗算語配列（４２）から出力される積は次いで
加算器（４Ｇ）で剰余から減算することができる。この
ようにして新たな剰余を、加算器（　４６　）Ｋ設けた
付加的加算ボートを回路（３０）Ｋ’含めることによっ
て単一の計算ステップで計算する。第３及び第４の根デ
ィジット値の計算のために現行の根ディジット値が正で
あれば加えられるディジットバイアス調整因子δ３及び
δ４の値も又結果が打切られる最終場所で半分に等しい
。

これ等のスガツプは，、４つの根デ４ジット値が累積さ
れ正確な剰余が利用できるまで反復する。

前記したように回路（３０）は次いで最終剰余の値Ｋ基
づいて補正順序を行う，，最終剰余が負であればステッ
プ（２０）で指示された剰余の補正の、最終部分根を加
算器（３７）及び乗算器配列（　４２　）’ｔ経て変え
ないで加算器（８６）Ｋ送りシフタにより｛４られる剰
余の半分の値に加算し、加算器（４６）における加算に
先だって定数ポー｝　（５０）から適当な最終位置で１
の減算を行う。最終剰余の半分に等しい得られる値はシ
ック（５５）内で左に１個所シフトして結果レジスタ（
５６）に出力するための最終剰余を生ずる。累算回路（
７０）は根レジスタ（７６）内に存在する部分根を条件
付きで減小させるように所要のサーキツトリを備えてい
るから最終部分根は条件付きボロ一の後に根レジスタ（
７６）内にある。

要するに本発明によれば、根の逆数を近似し大きい基数
根ディジット値及び正確な剰余を逐次に生ずることから
成る正確な平方根を生ずる方法が得られる。逆数バイア
ス調整因子は逆数の近似に加え、ディジットバイアス調
整因子は正の各根ディジット値計算で加算して、特定の
根ディジット内の誤差を打切りディジットの最終場所で
１以下の誤差に確実に制限するようにする。このように
してディジット内の誤差を残りの根ディジット値の計算
で確実に補償できるようにする。この説明で述べる特定
の回路の実施例は１８ビット×６９ビットの縦横比を持
ち付加的な加算ポートを含む長方形乗算器配列を使う。

この回路の長方形乗算器は、この乗算器配列の短辺が単
一の根ディジット値とほぼ同数のビットを含むので本発
明の平方根演算にとくに適している。

本発明の特定の回路実施例Ｋついて述べたが、本発明の
正確な平方根機能を果す方法は、符号付きディジット又
は非冗長フォーマットと共に配列乗算器を使わない回路
を使い広範囲に変る縦横比を持つ多数の乗算器に同様に
応用できるのはもちろんである。ここに述べる特定の回
路は本発明の範囲を制限するものでなく本発明の精神を
逸脱しないで種種の変化変型を行うことができる。

【図面の簡単な説明】

第１図は本発明の演算システムに使う正方根機能を果す
方法を例示するフローチャートである。 第２図は本発明平方根システムに使おうとする根の逆数
に近似するのに使うニュートンーラフソン評価の変化を
示すフローチャートである。 第３図は本発明の演算システムのブロック図である。 第４ａ図、第４ｂ図及び第４Ｃ図は底１０の数を使う普
通の平方根法の例である。 第５図は底ｌＯの数を使う本発明の平方根法の例である
。 加・・・回路、３２・・・システムバス、羽・・・逆数
ラッチ、３４・・・Ｄラツチ、３６・・・ディジットラ
ッチ、お・・・Ｅラツチ、４２・・・乗算配列、４６・
・・加算益、５６・・・結果レジスタ、５８・・・シフ
タ、７０・・・累算回路手続ネｉｉｉ刹三フ錫４：（方
式〉 特 許 庁 長 官 殿 １．事件の表示 平成２年特許願第２３３４３７号 ３，旬１ｉｉＥをずる者 事件との［矧系

Claims (1)

1. 【特許請求の範囲】 １、オペランドの正確な平方根を計算する回路において
   、前記オペランドの平方根の短い逆数に前記オペランド
   を乗ずることにより根ディジット値を計算するサーキツ
   トリと、 前記オペランドと前記根ディジット値の自乗との間の差
   として剰余を計算するサーキツトリと、全部の適当にシ
   フトした根ディジット値の和として部分根を計算するサ
   ーキツトリと、 前記オペランドの代りに剰余を使い前記根ディジット値
   の自乗の代りに部分根の自乗を使い前記の計算を反復す
   ることにより所望数の逐次の根ディジット値を生じ、前
   記根ディジット値を全部の逐次の剰余が先行根ディジッ
   ト値の最終場所に１以下に対応する大きさを持つように
   計算したサーキツトリとを 包含する計算回路。 ２、オペランドの前記平方根の短い逆数を得るサーキツ
   トリを備えた請求項１記載の回路。 ３、短い逆数を得る前記サーキツトリに、 近似の逆数内の累積誤差を相殺し前記の短い逆数をバイ
   アスするように選定した逆数バイアス調整因子を加え、
   部分根を生成するように累算したときにつねに所定のビ
   ット数に打切つた平方根の正確な値より大きい又はこの
   値に正確に等しい多くても１になる根ディジット値を生
   ずるようにしたサーキツトリを設けた請求項２記載の回
   路。 ４、根ディジット値を計算する前記サーキツトリに、 ディジットバイアス調整因子を前記の短い逆数と前記オ
   ペランドとの積にこの積が正であれば選択的に加えるサ
   ーキツトリと、 前記積を所定数のビットに打切り前記根ディジット値を
   生ずるようにしたサーキツトリとを設けて、前記ディジ
   ットバイアス調整因子が前記打切りにより導入される誤
   差を相殺する動作をするようにした請求項１記載の回路
   。 ５、前記根ディジット値により、これ等の根ディジット
   値が前記の正確な値より大きいときに負の剰余を生ずる
   ようにし、この負の剰余により引続く根ディジット値が
   負になるようにすることによつて、前記の引続く根ディ
   ジット値と前記の負の剰余の大きさを減らすように動作
   できる前回の部分根の２倍との和から成る項との積を生
   ずるようにした請求項１記載の回路。 ６、部分根を計算するサーキツトリに、適当にシフトし
   た根ディジット値の和を計算するサーキツトリを設け、
   前記和により、オペランドの正確な平方根を含む部分根
   及び剰余の対を形成した請求項１記載の回路。 ７、前記短い逆数を得る前記サーキツトリに、複数の逆
   数シード値を記憶するルツクアツプテーブルサーキツト
   リと、 このルツクアツプテーブルサーキツトリに結合され前記
   オペランドに協働する特定の逆数シード値を検索する検
   索サーキツトリと、 この検索サーキツトリに協働し前記の特定の逆数シード
   値と３つの半分及び第２項の差との積に等しい第１の逆
   数近似を計算するようにし、前記第２項を前記特定シー
   ド及び第３項の積とし、前記第３項を前記オペランドの
   半分と前記の特定の逆数シード値との積としたサーキツ
   トリと、前記第１逆数近似と３つの半分及び第４項の差
   との積に等しい第２の逆数近似を計算するようにし、前
   記第４項を前記第１逆数近似及び第５項の積とし、前記
   第５項をオペランドの半分と前記第１逆数近似との積と
   したサーキツトリと を設けた請求項２記載の回路。 ８、前記短い逆数を得る前記サーキツトリにさらに、 前回の逆数近似とこの前回の逆数近似の累積誤差を相殺
   し前記短い逆数をバイアスするように選定した逆数バイ
   アス調整因子との和に等しい前記短い逆数を計算して、
   部分根を形成するように累算したときにつねに所定数の
   ビットに打切つた平方根の正確な値より大きい又はこの
   値に等しい多くても１になる根ディジット値を生ずるよ
   うにしたサーキツトリを設けた請求項７記載の回路。 ９、前記の逆数近似を前回第２逆数近似に等しくした請
   求項８記載の回路。 １０、前記の独得の逆数バイアス調整因子を第１及び第
   ２の項の和に等しくし、前記第１項をＮ番目の場所で２
   ＾−＾ｋ（この場合Ｎは根ディジット値の基数のビット
   数に等しくｋは所定の保護ビット数とする）に等しくし
   、前記第２項は前記短い逆数をバイアスするのに十分大
   きくして前記短い逆数をオペランドの根の真の逆数より
   大きくなるようにし、前記第２項を各剰余に協働する根
   ディジット値の最終の場所で１以下に対応する剰余を生
   ずるのに十分なだけ小さくした請求項８記載の回路。 １１、オペランドの平方根を計算する方法において、オ
   ペランドの短い逆数に初めにこのオペランドに等しい剰
   余値を乗ずることにより根ディジット値を計算し、 全部の適当にシフトした根ディジット値の和として部分
   根を計算し、 根ディジット値と前回の部分根の２倍に等しいが初めに
   零に等しい項との和と根ディジット値との積と剰余値と
   の間の差として新たな剰余を計算し、 根ディジット値を計算し部分根を計算し新たな剰余を計
   算するステップを反復し、根ディジット値を計算し剰余
   を計算するステップを反復するときに剰余値の代りに新
   たな剰余を使うことにより所望数の根ディジット値を生
   じ、これ等の根ディジット値を全部の逐次の剰余が先行
   根ディジット値の最終の場所に１以下に対応する大きさ
   を持つように計算する ことから成る方法。 １２、根ディジット値を計算するに当たり、ディジット
   バイアス調整因子を短い逆数及びオペランドの積にこの
   積が正の場合に選択的に加算し、 前記積を所定のビット数に打切り根ディジット値を生じ
   、前記ディジットバイアス調整因子が打切りにより導入
   される誤差を相殺する動作ができるようにする請求項１
   １記載の方法。 １３、オペランドの短い逆数を得る請求項１１記載の方
   法。 １４、短い逆数を得るに当たり、前回の逆数近似の累算
   誤差を相殺し短い逆数をバイアスするように選定した独
   得の逆数バイアス調整因子を加算して、部分根を形成す
   るように累算したときにつねに所定のビット数に打切つ
   た平方根の正確な値より大きい又はこの値に正確に等し
   い多くても１になる根ディジット値を生ずるようにする
   請求項１３記載の方法。 １５、根ディジット値によりこれ等の根ディジット値が
   正確な値より大きいときに負の剰余を生じ、この負の剰
   余により引続く根ディジット値を負にすることによつて
   引続く根ディジットと負の剰余の大きさを減らすように
   動作できる前回の部分根の２倍との和から成る項と引続
   く根ディジットとの積を生ずる請求項１４記載の方法。 １６、オペランドの短い逆数を得るに当たり、複数の値
   を含むテーブルから逆数シード値を検索し、 特定の逆数シード値と３つの半分及び第２項の差との積
   に等しい第１の逆数近似を計算し、前記第２項を特定の
   逆数シード値及び第３項の積とし、第３項をオペランド
   の半分と特定の逆数シードとの積とし、 第１逆数近似と３つの半分及び第４項の差との積に等し
   い第２逆数近似を計算し、第４項を第１逆数近似及び第
   ５項の積とし、第５項をオペランドの半分と第１逆数近
   似との積とする 請求項１３記載の方法。 １７、オペランドの短い逆数を得るに当たり、前回の逆
   数近似とこの前回の逆数近似の累積誤差を相殺し短い逆
   数をバイアスするように選定した独得の逆数バイアス調
   整因子との和に等しい短い逆数を計算して、部分根を形
   成するように累算したときにつねに所定のビット数に打
   切つた平方根の正確な値より大きい又はこの値に正確に
   等しい多くとも１になる根ディジット値を生ずるように
   する請求項１６記載の方法。 １８、独得の逆数バイアス調整因子を第１及び第２の項
   の和に等しくし、第１の項をＮ番目の場所で２＾−＾ｋ
   （この場合Ｎは根ディジット値の基数のビット数に等し
   くｋは所定の保護ビット数である）に等しくし、第２項
   は短い逆数をバイアスするのに十分大きくしてこの短い
   逆数をオペランドの根の真の逆数より大きくなるように
   し、第２項を各剰余に協働する根ディジット値の最終の
   場所で１以下に対応する剰余を生ずるのに十分なだけ小
   さくする請求項１４記載の方法。